整式的乘法 导学案

同底数幂的乘法导学案

学习目标：理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算，并能利用它解决简单的实际问题。

学习重点：同底数幂的乘法法则及其简单应用。

学习难点：理解同底数幂的乘法法则的推导过程。

学习过程：【知识回顾】

1、我们可以把8×8×8×8×8写成85，这种求几个相同因数的积的运算叫做______，它的结果叫，在85中，8叫做，5叫做，85读作。

2、通常代数式a n表示的意义是什么？其中a、n、a n分别叫做什么?

3、把下列各式写成幂的形式，并写出它的底数、指数：

(1) 3×3×3×3 ；(2) m·m·m；(3) ；(4) (s－t)·(s－t)·(s－t)

4、用科学记数法表示下列叙述中较大的数：

（1）太阳中心的温度可达15500000。_________________________

5、一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量。那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？

此题可列式___________________________。

【探索发现】

1、103×102＝a4×a3＝

5m×5n＝a m·a n=_________________

2、同底数幂的乘法法则：_________________________________________________。

3.法则的推广:a m?a n?a p=___________________。

思考：三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？

【眼疾口快】口答以下各题：

(1)x·x2= ; (2)x3·x2·x= ;(3)a2·a5= ；

(4)y5·y4·y3= ；(5)m6·m6= ；(6)10·102·105= ；

【火眼金睛】判断下列各式是否正确，不正确的加以改正：

(1)x 2·x 4=x 8 ( ) (2)x 2+x 2=x 4

( )

(3)m 5·m 6=m 30 ( ) (4)m 5+m 6=m 11 ( ) (5)a ·a 2·a 4=a 6 ( ) (6)a 5·b 6=(ab )11 ( ) (7)3x 3+x 3=4x 3 ( ) (8)x 3·x 3·x 3=3x 3 ( ) 【试一试】

例1、求：（1）（－2）8×（－2）7 （2）（a －b ）2·（a －b ） （3）（x +y ）4(x +y )3

想一想（1）、如果a n －

2a n +1=a 11,则n = （2）已知：a m =2， a n =3.求a m +n = .

能说明你是怎么算的吗？

【自我测评】

1、下列四个算式：①a 6·a 6=2a 6；②m 3+m 2=m 5；③x 2·x ·x 8=x 10；④y 2+y 2=y 4．

其中计算正确的有（? ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、m 16可以写成（ ） A ．m 8+m 8 B ．m 8·m 8 C ．m 2·m 8 D ．m 4·m 4 3、下列计算中，错误的是（ ） A ．5a 3－a 3=4a 3 B ．2m ·3n =6 m +n C ．（a －b ）3·（b －a ）2=（a －b ）5 D ．－a 2·（－a ）3=a 5

4、若x m =3，x n =5，则x m +n 的值为（ ） A ．8 B ．15 C ．53 D ．35

5、如果a 2m －

1·a m +2=a 7，则m 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

6、同底数幂相乘，底数_________，指数_________．

7、计算：－22×（－2）2=_____ __．

8、计算：a m ·a n ·a p =_____ ___；（－x ）（－x 2）（－x 3）（－x 4）=______ ___． 9、3n －

4·（－3）3·35－

n =__________．

10、若82a +3·8b －

2=810，则2a +b 的值是__________．

11、x

2

m 2+可写成 （ ） A 、x

1

m 2+ B 、x

x

2

m

2+

C 、x

x

1

m 2

+?

D 、x

x

2

m

2?

学习反思（心得）：

幂的乘方导学案

学习目标：1、经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力

和有条理的表达能力。 2、了解幂的乘方运算性质，并能解决一些实际问题。

教学重点：会进行幂的乘方的运算。 教学难点：幂的乘方法则的总结及运用。 学习过程： 一、预习导学

计算 ⑴33a a += （2） a 2·a 3 = （3）3

342a a a a += 二、自主探究、合作学习 探索发现：1、做一做：

（1）(23)2=_23×23__(根据幂的意义)= 23

＋３

_（根据同底数幂的乘法法则）= 2６

（2）(a 4)3=_________(根据幂的意义)=_______（根据同底数幂的乘法法则）=()

a

______

(3) ()

a n 2

=_________×__________=____________=

()

a

______

(4) (a m )5=()

a

______，()

a m n

=________________(m 、n 为正整数)

2、通过以上计算，你有什么发现？冪的乘方，_______________,___________________。

3、想一想：()a m n 与()

a n m

相等吗？为什么？

三、展示提升

（一）能力频道：能力频道1：灵活使用公式的能力： 计算：⑴

()1035

⑵()a 44

⑶ [（－a ）2]3

= ⑷－()x -43

＝ ＝ ＝ ＝

易错点：第（3）题 ;第（4）题 能力频道2：区分几种运算的能力（合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方） 下面计算是否正确？如有错误请改正。

(1) (a 3)7=a 10 (2) x 2+x 2=x 4 (3) a 4·a 4= a 6 (4) x 3·x 3=2x 3 (5) (x 5)3=x 15 （6）a 4+ a 4= 2a 4 小结:计算中一定要区分什么是合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方？上题中合并同类项的是 ；同底数幂的乘法是 ；幂的乘方是

思想频道1：整体思想 （1） (a 2m )3n

（3） [（3a － b ）2]n +1? [（3a －b ）2n +1]3

= = =

点拨：把（1）中的 看成一个整体；（2）中的 看成一个整体；（3）中的 看成一个整体。 思想频道2：逆向思维

(1) x 20 =( )5=( )4=( )10 (2) a 2m = ( )2 = ( )m

(3)若 a m = 2, 则a 3m =____ _. (4)若 m x = 2, m y = 3 ,则 m 3x +2y =_____ _. 小结：=mn

a

( )m =( )n 与=+n m a ( )m ( )n 区分开。

思想频道3：转化与方程思想

已知 则m =

小结：计算中4、8、16都可转化成底数是 的幂的形式。 四、课堂小结

我的收获：1：知识 2.能力 3.思想方法： 五、课堂检测

1、如果a 3m =4，则a 6m = ；

2、如果a 2m =3，则(a 3m )4 = 2、下面各式中正确的是（ ）．

A ．（22）3=25

B ．m 7+m 7=2m 7

C ．x 5·x =x 5

D ．x 4·x 2=x 8 3、下列各式对不对？如果不对，应当怎样改正？

（1）（x 7）3=x 10； （2）x 7?x 3=x 21； （3）a 4?a 4=2a 8； （4）（a 3）5+（a 5）3=（a 15）2． 4、计算：（1）（103）5 （2）－（a 2）7 （3）[（－6）3]4 （3）[（x 2）3]

7

5、计算：⑴ ()x -32

⑵ ()x m 5- ⑶ ()

a a 533?

6、已知10a =5，10b =6.求102a +3b

44

4816(2)m m ??=

积的乘方 导学案

学习目的：1、探索积的乘方的运算和性质的过程，进一步体会幂的意义。

2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。 学习重点：积的乘方的运算。

学习难点：正确区别幂的乘方与积的乘方的异同，会综合运用学过的三种运算 学习过程：

一、知识回顾：1、同底数幂的乘法法则： 公式表达式：

2、幂的乘方法则： 公式表达式： 。

3、计算： （1）_______25=?x x （2）35x x x -??= （3）

_______)()(3

=-?-x x （6）_______3423=?+?x x x x （7）_____)(33=x （8）_____)(5

2=-x 二、自主探究、合作学习 积的乘方法则

例1 、（1）计算：3

(25)_________________________(___)(___)?=?==?（2×5）?（2×5）?（2×5）=（2×2×2）?（5×5×5）= 23

×53

（2）5

(25)___________________________(___)(___)?=?==? （3）3

(3)_________________________(___)(___)a =?==?

（4）3()ab = ? ? （根据乘方的意义）

= （ ? ? ）?（ ? ? ）（根据乘法交换律、结合律） =

（5）()n ab =___ _×__ ___×…×_ __ ×____ _

=（____×_____×…×___ ×____）? （____×_____×…×___ ×____） = 。 从上面的计算中，你发现了什么规律？

积的乘方法则： 。 公式表达式： 。 推广：3

()abc = ， ()n

abc = 。

【试一试】：计算下列各题：（1）_______)(3

=ab （2）_______)(5

=-xy

（3）___________________)43(2

==ab （4）_______________________)23(32==-b a

（5）____________________)102(22==?（6）___________________)102(32==?- 三、公式的逆用

例2、（1）88

40.25? =

（2）20122012(4)0.25-?= 研究：积的乘方法则可以进行逆运算。即n

a n

b = 。

四、综合应用

例3、地球可以近似地看做是球体，如果用V , r 分别代表球的体积和半径，那么 3

4

3V r π=。 地球的半径约为6×310千米，它的体积大约是多少立方千米？

五、课堂检测

1、计算下列各题：（1）223)21

(z xy - （2）3)32

(m n b a - （3）n b a )4(32

（4）2242)(32ab b a -? （5）32332)(3)2(b a b a -

（6）222)2()3()2(x x x ---+ （7）2

323

24

)3()(9n m n m -+

2、拓展提高：

（1）、计算：2

1

)1(5.022*********--??-

（2）、已知5=n

x 3=n

y 求n

y x 22

)

(的值。

同底数幂的除法

学习目标：经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算． 学习重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算． 学习难点：根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则． 学习过程 一、知识链接

1、同底数幂的乘法法则

（1）符号语言： ；（2）文字语言：同底数幂相乘，______不变，指数_____ 2、问题：一种数码照片的文件大小是82K ，一个存储量为62M （1M =102K ）?的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？列式为： 这是一个什么运算？如何计算呢？

二、探索新知： 2、除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数， 1、根据同底数幂的乘法法则计算： 其实是一种除法运算，?所以这四个小题等价于： （1）（ ）·28=216 （1）216÷28=（ ） （2）（ ）·53=55 （2）55÷53=（ ） （3）（ ）·105=107 （3）107÷105=（ ） （4）（ ）·a 3=a 6 （4）a 6÷a 3=（ ） 从上述运算中归纳出同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，______不变，指数___ ；即a m

÷a n

= ;(a ≠0) 3、分别根据除法的意义填空，你能得什么结论? (1) 32÷32= ( ); (2) 103÷103= ( );

1=÷m m a a ，而(__)(______)a a a a m m ==÷， ∴=0a ，（a 0）

结论：任何不等于0的数的0次幂都等于__________.

三、知识运用 1、计算:（1）x 8÷x 2 ； （2） a 5÷a ； （3）(ab ) 5÷(ab )2；

（4）（－a ）7÷（－a ）5 (5） (－b ) 5÷(－b )2 (6) m 8÷m 8;（m ≠0）

四、能力提升 1、若8=m

x

，5=n x ，则=-n m x

2、若a 6m ÷a x =a 2m ，则x 的值是__________．

3、若（－5）3m +9=1，则m 的值是__________． （x －1）0=1成立的条件是____ ____．

4、已知3m =5，3n =2，求32m －3n +1

的值。

五、当堂检测

1、填空 (1)a 5?( )=a 7; (2)m 3?( )=m 8; (3)x 3?x 5?( )=x 12; (4)(－6) 3( )= (－6) 5.

2、计算: (1) x 7÷x 5; (2) (－a ) 11÷(－a ) 7;

(3) (xy ) 5÷(xy ) 3.

3、填空：=÷3

1244 ； =??

?

??-÷???

??-2

4

2121 ； ()()=-÷-a a 5 ； ()()=-÷-27xy xy ； ()()=-÷-22009

11 ；

()()=+÷+23b a b a ；、 =÷÷239x x x ； ()()=÷5

7

xy xy ； ()()

=÷2

26

2y

x y x ；

=÷÷236a a a ； ()=÷÷3412c c c ； ()=?÷438x x x ；

4、计算(1）27311÷ （ 2）125516÷ （3）(m －n ) 6÷(n －m )；

5、已知: 求,9,4==b

a

x x ,b

a x -=-

b a x 23

单项式乘以单项式导学案

学习目标：1、熟练运用单项式乘单项式法则进行运算；

2、经过单项式乘单项式法则的运用，体验运用法则的价值；培养学生观察、 比较、归纳及运算的能力.

学习重点：单项式乘单项式法则. 学习过程 一、复习回顾

1、回忆幂的运算性质：

a m ·a n =a m +n (m ，n 都是正整数) 即 ． (a m )n =a mn (m ，n 都是正整数) 即 ． (a

b )n =a n b n (n 为正整数) 即

a m ÷a n =(m ，n 都是正整数，且a ≠0) 即 2、计算：22

()a ＝ ； 32

(2)

-＝ ； 23

1[()]2

-＝ ； 323()a a ＝ ；3522＝ ； 223

()2xy ＝ ；

二、自主探索

问题：问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? 根据题目意思，可以列出算式为：

该式的结果等于多少呢?（运用交换律和结合律）

× = × = 根据科学记数法的要求，结果应该改写成 ． 三、合作探究：

1、如果将上式中的数字改为字母，即ac 5·bc 2，这是何种运算？你能算吗?

2、试一试： (1)5225c c (2)232(5)(4)a b b c --

上面两式都是单项式相乘，通过刚才的尝试，归纳出如何进行单项式乘法?

单项式与单项式相乘， 3、新知应用：2

(5)(3)a b a -- 3

2

(2)(5)x xy -

四、能力提升

(1) )83(4322yz x xy -? (2)222

31(4)()2

x y x y y --

（3）2333

(3)(2)a b ab c -- (4) )3

12)(73(3323c b a b a -

五、当堂检测

1.计算2322)(xy y x -?的结果是（ ）A . 105y x B . 84y x C . 8

5y x - D .126y x

2、计算)3()2

1(23

322y x z y x xy -?-?的结果是 ；

3、.___________))((22=x a ax .__________________21511=??--n n n y x y x

._____________)2

1(622

=?-abc b a )53

(32)21(322yz y x xyz -??-= 4、若32=a ，62=b

，122=c

，求证：2b =a +c .

5、已知：693273=?m m

，求m .

单项式乘多项式导学案

学习目标：1、知道利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式。

2、会进行单项式乘多项式的运算。

3、经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。

学习重点：单项式乘以多项式法则。

学习难点：灵活运用单项式乘以多项式法则。

导学过程： 一、导入：

制作边长分别为a 、b ，a 、c ，a 、d 的三个小长方形， 动手拼成一个大长方形，计算拼成的图形面积并交流做法。

二、导疑：

在交流的基础上思考下列问题：

（1）有那些方法计算大长方形的面积？试分别用代数式表示出来。 方法一： ；方法二： ； （2）两种方法所列代数式有何关系？

（3）这一结论与乘法分配律有什么关系？

（4）根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？ 通过探索得：ad ac ab d c b a ++=++)(进而得出单项式乘多项式法则

三、知识应用

计算：①2

2

2(35)a a b - ②2

(4)(31)x x -+

③()()

23232

--?-a a a ④221(2)32

ab ab ab -?

四、能力提升

1、已知2,3,a b ==求2222

3()(232)ab a b ab ab ab a ab a +--+-的值

2、要使()

5523++?-ax x x 的结果中不含4

x 项，则a 的值为多少？

五、课堂检测 1、)9()9

4

322(2a a a -?-- 2、32231(36)43a b c ac ab -+

3、2524()(2)233xy xy xy y --+

4、22227(3)(5)6(2)2

xy x y x xy y -+-

2、一家住房的结构如图，这家房子的主人打算把卧室以外 的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地 砖的价格是a 元/m 2,那么购买所需的地砖至少需要多少元？

多项式与多项式相乘导学案

学习目标：1、探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

2、主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯

教学重点：多项式与多项式相乘的法则 教学难点：多项式与多项式相乘法则的应用 学习过程：

一、回顾旧知，温故知新

1、回忆单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则；

2、计算：263x xy ＝ 22(3)ab ab -＝

2

(4)(2)a b b --＝ ； 2

12()2x x -＝ ；

5(20.2)ab a b -+＝

二、自主学习

1、问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a 米，宽m 米的长方形绿地增长b 米，加宽n 米，求扩地以后的面积是多少？

2、提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?

不同的表示方法之间有什么关系?

方法一：这块花园现在长 米，宽 米，因而面积为 米2． 方法二：这块花园现在是由 小块组成，它们的面积分别为： 米2、 米2、 米2、 米2，故这块绿地的面积为 米2．

由此可得： 和 表示的是同一块绿地面积。所以有： 三、推导结论

由上题得到，多项式乘多项式的公式：(a +b )(m +n )= + + + 多项式与多项式相乘： 四、巩固新知 （友情提醒：1.不要漏乘；2.注意符号； 3.结果最简）

① (a +4)(a +3) ②(3x 1)(x 2) (x 8y)(x y) (x y)(x xy y ) ++--+-+ ③(3x 1)(x 2) (x 8y)(x

y) (x y)(x ++--+

五、能力提升

1、计算（1）2

2

(2)(23)x y x xy y -+- （2）2

(25)(56)x x x +-+

注意：在进行多项式与多项式相乘的时候，应当注意多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，因此每一项都应该包括前面的符号，在计算时一定要注意先确定积中各项的符号。

2、若(x 2＋ax ＋8)(x 2－3x ＋b )的乘积中不含x 2和x 3项，则a 、b 的值。

六、当堂检测

①(3x ＋1)( x －2) ②(2x －5y )(3x －y ) ③(m －2n )(3m ＋n )

④(x －2)(x 2＋4) ⑤(y －4)(y －6) ⑥(x －2y )(x ＋4y )

⑦(x －y ) (x 2＋xy ＋y 2) ⑧(2)(4)(1)8x x x x ++-+-

平方差公式导学案

学习目标：会推导平方差公式，了解公式的几何解释，并能运用公式计算。 学习重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。 学习过程： 一、温故知新：

1．多项式乘以多项式的法则是什么？请用公式表示出来 . 2．请利用多．项式乘以多项式的法则．．．．．．．．．．

计算下列各题： ()()(1)12x x +-； ()()(2)22x y x y -+； ()()(3)11x x -+ ；

()()(4)33x y x y -+； ()()(5)33c d c d +- ； ()()(6)55x y x y +-.

二、探究新知：

观察上面2题中（3）~（6）题的特征和计算结果，你有什么发现？ 大胆猜测：()()a b a b +-＝

即：两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 . 这个公式叫做（乘法的） . 三、思考讨论:

图1中长方形的面积与图2空白部分的面积有什么 关系，通过对两个图形面积的计算．．．．．．．．．．能验证平方差公式吗?

四、拓展延伸：

下列各式能利用平方差公式计算吗？若能，请说出哪一项相当于公式中的a 和b ？若不能，请说明理由.

（1）()()3232a a +-+； （2）()()3232a a ---； （3）()()3232a a +--. 总结规律：能利用平方差公式计算的式子：符号相同的部分相当于公式中的 ，符号不同的部分相当于公式中的 . 五、活学活用

1、下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A 、(2a －3b )(3b －2a ) B 、(－2a +3b )(－2a －3b ) C 、(2a －3b )(－3b +2a ) D 、(2a －3b )(3a +2b )

2、下面各式的计算对不对?如果不对,请改正.

()()2(1)222x x x +-=- ()()2(2)323234a a a +-=-

3、计算：（1）()()33a b a b +-； （2）(23)(23)x y x y -+；

六、拓展提升：

1、下列能利用平方差公式计算的是（ ）． A . (2)(2)m n m n -- B . (3)(2)x x +- C .(2)(2)m n n m --+ D . (2)(2)m n m n ---

2、填空：（1） )52(2

b a --（ ）=22254b a -

（2） （ ＋ ）（ － ）=22169b a -

3、利用平方差公式计算：

（1）()()3434m m +-+； ()()(2)2323x x ---； （3）()()(x y x y y y -+---+-

（4）()()10041004+-； （5）10298?.

完全平方公式导学案

学习目标：1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单运算.

2、会用几何拼图方式验证平方差公式

教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用 教学难点：完全平方公式的应用 教学过程：

1、口算：（1）____)21(2=+ ____212

2

=+ 对吗？22221)21(+=+

（2）____)42(2=+ ____4222=+ 对吗？2224242(+=+ （3）____)53(2=+ ____5322=+ 对吗？22253)53(+=+

2、问题1：如图（1）有一个边长为a 米的正方形广场，现要扩建该广场，要求将其边

长增加b 米，试问扩建后的正方形广场的面积有多大？

（1）如图：四块面积分别是______、______、______、______ （2）我们可以从两种方式计算总面积：

① 看成是边长为______的大正方形，S =__________ ② 看成是四块小面积之和，S =___________________ 得出结论：__________________________________________ 从代数的角度看：

(a +b )2 = (a +b )(a +b ) = ______ _______= _____________

3、口算：（1）____)21(2

=- ____212

2

=-

对吗？22221)21(-=-

（2）____)42(2=- ____422

2=- 对吗？2

2

2

42)42(-=-

2．问题2：如图（2）求阴影部分面积

（1）如图：四块面积分别是______、______、______、______ （2）我们可以从两种方式计算阴影部分面积： ① 看成是边长为______的正方形，S =__________

② 看成是大正方形与三个小面积之差，S =___________________ 得出结论：__________________________________________ 从代数的角度看：

(a －b )2 =(a －b )(a －b ) = ___ __________= _____________

得出结论：________________________________________ __ 【小结归纳】：

完全平方公式：(a +b )2 =______ _______ (a －b )2 =_______ _____ 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍 【巩固练习】

1、填空。（1）___________)1(2

=+a （2）___________)1(2

=-a

（3）___________)3(2

=+b （4）___________)3(2

=-b （5）___________)12(2

=+a （6）___________)12(2

=-a （7）-x 5( ）2 = 4

2

10y xy +-

2、选择题。1、2

)b 23(+a 的计算结果是( ) A . 2

2b 4ab 12a 3++

B . 22b 2ab 12a 9++

C . 22b 4ab 12a 9+-

D . 2

2b 4ab 12a 9++

3、已知：2

2216______4)42(y x y x ++=+,空白应填的是( )

A . 8ab

B . ab 4

C . 16ab

D . ab 2 4、计算：（1）2

)2(a b + （2）2

)2(a b +-

（3）2

)4(y x -- （4）2

)4(y x +-

5、用完全平方公式计算：

（1）1022 （2）992

6、先化简，后求值。

5)12()3()2(222+--++-x x x 1=x 其中