江苏省高等数学竞赛试题
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n = 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分）1.a = ，b = 时，2limarctan 2x ax x x bx xp+=-- 2. a = ，b = 时()ln(1)1xf x ax bx=-++在0x ®时关于x 的无穷小的阶数最高。
3.2420sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为5.设222,x z x y =-则(2,1)n n zy¶¶=6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则arctan Dydxdy =蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则()()xx yex dx e xy dy G++-ò=8.幂级数1n n nx ¥=å的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列{}n x为122,1,2,)n x x x n +====L L证明：数列{}n x 收敛，并求其极限三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证/1max ()()()b b a x b aaf x f x dxf x dx b a＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面2）求旋转曲面S 所围成立体的体积五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为(),u uA u xy x y抖=+抖 1）求(())A u A u -；2)利用结论1）以,yx y xx h ==-为新的自变量改变方程222222220u u u x xy y x x y y 抖?++=抖抖的形式 六．（8分）求261lim sin()t t xt dxxy dy t +®蝌七．（9分）设222:1(0)x y z z S ++=?的外侧，连续函数222(,)2()()()((,)2)z z zf x y x y x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy S=-+++++-蝌 求(,)f x y八．（9分）求23(3)()(1)(13)x x f x x x -=--的关于x 的幂级数展开式 2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5分，共40分） 1.()3x f x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦ 2. ()()25001lim 1xtx x edt x -→-=⎰ 3. ()1202arctan 1xdx x =+⎰ 4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为 5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值.8.级数()111n pn n∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积. 四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤， 求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(1A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.六（10分）曲线220x zy ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，本科一级考生做2221dxdydz x y zΩ++⎰⎰⎰本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21n n n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1nn n a x n∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112nnn n x ∞=+∑的收敛域与和函数 2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分）1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2. ()23001lim 1xt x e dt x-→-=⎰3. )lim0x ax b →+∞+=，则,a b =4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()211,x e exdx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D=二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x cx f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五（8分）求()12arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x yx y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos Dx y dxdy +⎰⎰.2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式 .2. ()2tan 2lim sin xx x π→=3. 2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f = 5.()()21x x e x dx x e -=-⎰6.()112nn nn ∞==+∑. 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=， 则()1ϕ'= .8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212baf x dx b a =-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使PM MQ +最小 五（10分）求幂级数()()1132n nn n x n ∞=+-∑的收敛域。
2000年江苏省高校高数学试题答案
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题3分，共15分）1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦0x x ≥<⎪⎩ 2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ 2- 3. ()14451x dx x =+⎰10553(331)15(1)x x C x -++++ 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为20x z --=5..设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z zxy x y∂∂+=∂∂z 二选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xx y -=+，点0x =是 B .A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ B ）A. ()00f '=；B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=-（ D ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x y ( D )A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ ( C ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰解：()()()2222000022()4()4()lim=limlim lim 1()3()()2()3()x xxx x x x f t dtf x xf x f x f x f x xf x xf t dtf t dt xf x f x x→→→→''==='++'+⎰⎰⎰四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =解：21x t '=-，2x ''=，得(0)1x '=-，(0)2x ''=，易知01t y ==-时,(1)0y y e te y '++=，得1(0)y e'=-，22()(1)0yy y e y te y te y ''''+++=，得22(0)y e''=20023222=t t d y x y y x edx x e==''''''--=' 五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-。
江苏省第九届(2008年)高等数学竞赛(本科三级、民办本科)真题
江苏省第九届（2008年）高等数学竞赛本科三级竞赛试题一、 填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2lim x ax x x bx x π→∞+=--，则=a ________________；=b ________________.2、()=+∑=∞→n k n k k 131lim ________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxx x ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________. 6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz ________________. 8、 设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。
三、（8分）设()x f 在区间[]b a ,上连续，()⎰=ba dx x f 0. 证明：存在()b a ,∈ξ,使得()()ξξξf dx x f a =⎰。
四、（8分）将xoy 平面上的曲线()()b a a y b x <<=+-0,222绕直线b x 3= 旋转一周所得立体的体积。
五、（8分）设()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+++=0,0,00,0,,24222y x y x y x y x y x y x f 讨论()y x f ,在()0,0处的连续性，可偏导性，可微性。
六、（10分）已知曲面144222=-+z y x 与平面0=--y x z 的交线在xoy 面上的投影曲线为一椭圆，求该椭圆的面积.七、（8分）在平面∏：202=-+z y x 内作直线Γ，使Γ过另一直线L ：⎩⎨⎧=-+=+-343122z y x z y x 与平面∏的交点，且Γ垂直于L .求直线Γ的参数方程.八、（10分）设D 为,222x y x ≤+x y ≤≤0，求⎰⎰-+D dxdy y x 122。
江苏省高等数学竞赛试题汇总
江苏省⾼等数学竞赛试题汇总2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科⼆级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=? 5.4211dx x +∞=-?6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=??++--+≤的⾯积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为. ⼆.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ三．（10分）已知正⽅体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧⾯正⽅形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平⾯与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平⾯截正⽅体所得到的截⾯的⾯积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。
五（12分）求⼆重积分()22cos sin Dx y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n nx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科三级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=?6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y+=8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D⼆.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对⼀切正数x 成⽴，求常数a 的最⼩值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=?.四.（12分）求⼴义积分4211dx x+∞-?五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。
十二届江苏省高等数学竞赛本科一级解答
y2 = 1 沿逆时针方向. b2 ∫∫ 2. 求曲面积分 xdydz + xzdzdx,
Σ
其中， Σ : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) 取上侧.
x−y x+y dx+ 2 dy . x2 + y 2 x + y2 2′ 2′ 2′
1. 解
L
(b2 x2
a2 b2 (x − y ) a2 b2 (x + y ) dx+ 2 2 dy = 2 2 2 2 + a y )(x + y ) (b x + a2 y 2 )(x2 + y 2 )
L
∂P y 2 − x2 − 2xy ∂Q = = (x, y ) ̸= (0, 0) 时， ， 由Green 公式知 ∂x ∂y x2 + y 2 ∫ 2π x−y x+y x−y x+y 原式 = dx + 2 dy = dx + 2 dy = dθ = 2π. 2 2 2 2 x + y2 x + y2 L x +y x2 +y 2 =ε2 x + y 0 ∫∫ 2. 解
(x4 + sec2 x − 1)dx
3′ 3′
2. 解 设切点为 (a, a2 ), 切线为 y − a2 = 2a(x − a), 将 (2, 3) 代入得 a = 1, 3, 于是切线
为 y = 2x − 1, y = 6x − 9. ∫ 2 ∫ 3 2 2 所求面积为： S = (x − 2x + 1)dx + (x2 − 6x + 9)dx = . 3 1 2 三、 （每小题
江苏高等数学竞赛试题汇总
本科一级考生做
本科二级考生做
七(１0分）本科一级考生做1）设幂级数 的收敛域为 ，求证幂级数 的收敛域也为 ;2)试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明;若不正确举一反例说明.
本科二级考生做:求幂级数 的收敛域与和函数
２006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科）
8.级数 条件收敛时,常数 的取值范围是
二.（１0分)某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时,求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于 公里/小时
三.(10分)曲线 的极坐标方程为 ,求该曲线在 所对应的点的切线 的直角坐标方程,并求切线 与 轴围成图形的面积.求其极限
三.(8分)设 在 上具有连续的导数，求证
四.（8分）１)证明曲面
为旋转曲面
2)求旋转曲面 所围成立体的体积
五．（10分)函数 具有连续的二阶偏导数，算子 定义为
1)求 ；2）利用结论1）以 为新的自变量改变方程 的形式
六．（8分)求
七．(9分)设 的外侧,连续函数
七（9分)本科一级考生做:用拉格朗日乘数法求函数 在区域 上的最大值与最小值.
八(9分)设 为 所围成的平面图形，求 ．
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一．填空(每题５分,共4０分)
１． 是周期为 的奇函数，且在 处有定义,当 时， ,求当 时, 的表达式.
２．
3．
4. 时
５.
６． .
7.设 可微， ， ，
8.级数 的和为．
二.（10分）
设 在 上连续，且 ,求证:存在点 ，使得 ．
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。
在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。
评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。
本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。
试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。
试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。
选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。
应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。
评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。
试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。
满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。
对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。
如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。
填空题亦是如此。
对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。
对于应用题，情况稍有不同。
应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。
如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。
如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。
本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。
试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。
评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。
通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。
（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。
（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。
五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。
（1）求切线L 的方程。
2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)
2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分） 1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 2. ()23001lim 1x t x e dt x -→-=⎰3. )lim 0x ax b →+∞+=，则,a b = 4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.7.交换二次积分的次序()211,x e e x dx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D= 二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x c x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞五（8分）求()120arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos D x y dxdy +⎰⎰。
江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--x tdt et 102所确定的隐函数，则==022t dtx d 。
7.已知微分方程()yyy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹角为____________。
10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++ba c x c x 0)cos()(，其中ab >。
四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。
江苏省数学竞赛试题及答案
江苏省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的余数是多少？A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1004. 下列哪个表达式等于 \( \frac{1}{2} \)？A. \( \frac{3}{6} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \frac{3}{8} \)5. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？B. 300C. 400D. 5006. 一个班级有40名学生，其中3/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 8B. 12C. 16D. 207. 一个数的1/3加上它的1/4等于这个数的多少？A. 7/12B. 1/2C. 5/12D. 1/38. 下列哪个数是最小的正整数？A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 1610. 一个数的3倍加上15等于这个数的5倍，这个数是多少？B. 10C. 15D. 20二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的2倍减去8等于36，这个数是_________。
12. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是_________元。
13. 一个长方形的长是15厘米，宽是长的2/3，那么宽是_________厘米。
14. 一个数的1/4加上它的1/2等于这个数的_________。
15. 一个数的倒数是1/5，这个数是_________。
16. 一个数的75%加上25等于这个数本身，这个数是_________。
17. 一本书的总页数是360页，小明第一天读了总页数的1/4，第二天读了总页数的1/6，小明两天共读了_________页。