矩阵的各种运算详解
一、矩阵的线性运算
定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为
注:只有两个矩阵是同型矩阵时,才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和,即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.
设矩阵记
,
称为矩阵的负矩阵, 显然有
.
由此规定矩阵的减法为
.
定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为
数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.
矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律:设都是同型矩阵,是常数,则
(1)
(2);
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
注:在数学中,把满足上述八条规律的运算称为线性运算.
二、矩阵的相乘
定义3设
矩阵与矩阵的乘积记作,规定为
其中,(
记号常读作左乘或右乘.
注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.
若,则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即
.
矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)
(4)
注:矩阵的乘法一般不满足交换律, 即
例如, 设则
而
于是且
从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出或
此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设
则
但
定义4如果两矩阵相乘, 有
则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.
注:对于单位矩阵, 容易证明
或简写成
可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.
更进一步我们有
命题1设是一个n阶矩阵,则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n 阶矩阵可换。
命题2设均为n阶矩阵,则下列命题等价:
(1)
(2)
(3)
(4)
三、线性方程组的矩阵表示
设有线性方程组
若记
则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式:
(2)
其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.
如果是方程组(1)的解,记列矩阵
则
,
这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解,即有矩阵
等式成立,则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为
将线性方程组写成矩阵方程的形式,不仅书写方便,而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来,这给线性方程组的讨论带来很大的便利.
四、矩阵的转置
定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,称为的转置矩阵,记作(或).即若
则
.
矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)
(4)
五、方阵的幂
定义5设方阵,规定
称为的次幂.
方阵的幂满足以下运算规律(假设运算都是可行的):
(1)
(2)
注:一般地,为自然数
命题3 设均为n阶矩阵,则有为自然数,反之不成立。
六、方阵的行列式
定义7由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行
列式,记作或
注: 方阵与行列式是两个不同的概念,阶方阵是个数按一定方式排成的数表,而阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值(实数或复数).
方阵的行列式满足以下运算规律(设为阶方阵, 为常数):
(1)
(2)
(3) 进一步
七、对称矩阵
定义8设为阶方阵, 如果即
则称为对称矩阵.
显然,对称矩阵的元素关于主对角线对称.例如
,
均为对称矩阵.
如果则称为反对称矩阵.
八、共轭矩阵
定义9 设为复(数)矩阵, 记
其中表示的共轭复数,称为A的共轭矩阵.
共轭矩阵满足以下运算规律(设为复矩阵,为复数, 且运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)
例题选讲:
矩阵的线性运算
例1 (讲义例1)已知,求
例2(讲义例2) 已知且求
注:n阶数量矩阵=
例3(讲义例3)若求
例4设,。A是一个矩阵,B是矩阵,因此AB有意义,BA也有意义;但
。
例5设,B=。
(这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零),则
(1);
(2);
(3)
例6(讲义例4) 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,生产甲、乙、丙三种产品, 矩阵A表示一年中各工厂生产各种产品的数量,矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元), 矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.
其中, 是第个工厂生产第种产品的数量, 及分
别是第种产品的单位价格及单位利润,及分别是第个工厂生产三种产品的总收入及总利润.则矩阵的元素之间有下列关系:
其中,即
例7(讲义例5) 求与矩阵可交换的一切矩阵.例8(讲义例6)证明: 如果则有
例9(讲义例7)解矩阵方程为二阶矩阵
例10(1)设,则。
(2)设,则。
例11(讲义例8)已知求
例12(讲义例9)设求
例13设,,则
,
又
,
因此地
例14 (讲义例10)设A与B是两个n阶反对称矩阵,证明:当且仅当
时,是反对称矩阵.
例15(讲义例11) 设列矩阵满足E为n阶单位矩阵,证明H是对称矩阵,且
MATLAB中的矩阵与向量运算
4.1 数组运算和矩阵运算 从外观形状和数据结构来看,二维数组和数学中的矩阵没有区别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的体现,矩阵运算有着明确而严格的数学规则.而数组运算是MATLAB软件所定义的规则,其目的是为了数据管理方面,操作简单,指令形式自然和执行计算有效.所以,在使用MATLAB时,特别要明确搞清数组运算和矩阵运算的区别.表 4.1.1 数组运算和矩阵运算指令形式和实质内涵 数组运算矩阵运算 指令含义指令含义 A.'非共轭转置A'共轭转置 A=s把标量s赋给数组A的每个元素 s+B把标量s分别与数组B的每个元素相加s-B, B-s标量s分别与数组B的元素之差 s.*A标量s分别与数组A的元素之积s*A标量s分别与矩阵A的元素之积 s./B, B.\s标量s分别被数组B的元素除s*inv(B)矩阵B的逆乘标量s A.^n数组A的每个元素的n次方A^n A为方阵时,矩阵A的n次方 A+B数组对应元素的相加A+B矩阵相加 A-B数组对应元素的相减A-B矩阵相减 A.*B数组对应元素的相乘A*B内维相同矩阵的乘积 A./B A的元素被B的对应元素除A/B A右除B B.\A一定与上相同B\A A左除B(一般与右除不同) exp(A)以e为底,分别以A的元素为指数,求幂expm(A) A的矩阵指数函数 log(A) 对A的各元素求对数logm(A) A的矩阵对数函数 sqrt(A) 对A的积各元素求平方根sqrtm(A) A的矩阵平方函数 从上面可以看到,数组运算的运算如:乘,除,乘方,转置,要加"点".所以,我们要特别注意在求"乘,除,乘方,三角和指数函数"时,两种运算有着根本的区别.另外,在执行数组与数组运算时,参与运算的数组必须同维,运算所得的结果数组也是总与原数组同维. 4.2 数组的基本运算 在MATLAB中,数组运算是针对多个数执行同样的计算而运用的.MATLAB以一种非常直观的方式来处理数组. 4.2.1 点转置和共轭转置 . ' ——点转置.非共轭转置,相当于conj(A'). >> a=1:5; >> b=a. ' b = 1 2 3 4 5 >> c=b. ' c = 1 2 3 4 5 这表明对行向量的两次转置运算便得到原来的行向量. ' ——共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如: >> d=a+i*a
MATLAB实验二 矩阵基本运算(一)答案
实验一 矩阵基本运算(一) (1)设A 和B 是两个同维同大小的矩阵,问: 1)A*B 和A.*B 的值是否相等? ????? ?? =763514432A ???? ? ??=94 525 313 4B A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A*B, A.*B ans = 37 37 44 44 37 51 65 67 78 ans = 8 9 4 12 5 10 15 24 63 2)A./B 和B.\A 的值是否相等? A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A./B, B./A
ans = 0.5000 1.0000 4.0000 1.3333 0.2000 2.5000 0.6000 1.5000 0.7778 ans = 2.0000 1.0000 0.2500 0.7500 5.0000 0.4000 1.6667 0.6667 1.2857 3)A/B和B\A的值是否相等? A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A/B, B/A ans = -0.3452 0.5119 0.3690 0.7857 -0.7857 0.6429 -0.9762 1.3095 0.5952 ans = 110.0000 -15.0000 -52.0000
92.0000 -13.0000 -43.0000 -22.0000 4.0000 11.0000 4)A/B和B\A所代表的数学含义是什么? 解: A/B是B*A的逆矩阵 B\A是B*A的逆矩阵 (2)写出完成下列操作的命令。 1)将矩阵A第2—5行中第1,3,5列元素赋给矩阵B。 A=[0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186] B=A(2:5,[1,3,5]) A = 0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186 B = 0.2311 0.7382 0.2028 0.6068 0.1763 0.1987 0.4860 0.4057 0.6038 0.8913 0.9355 0.2722 2)删除矩阵A的第7号元素。 A=rand(6,6); >> A(7)=[inf] A = 0.8385 Inf 0.1730 0.1365 0.2844 0.5155
matlab中的矩阵的基本运算命令范文
1.1 矩阵的表示 1.2 矩阵运算 1.2.14 特殊运算 1.矩阵对角线元素的抽取 函数diag 格式X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素,当k=0时,v为X的主对角线;当k>0时,v为上方第k条对角线;当k<0时,v为下方第k条对角线。 X = diag(v) %以v为主对角线元素,其余元素为0构成X。 v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0:抽取主对角线元素;k>0:抽取上方第k条对角线元素;k<0抽取下方第k条对角线元素。 v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。 2.上三角阵和下三角阵的抽取 函数tril %取下三角部分 格式L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分;k=0为主对角线;k>0为主对角线以上;k<0为主对角线以下。函数triu %取上三角部分 格式U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分;k=0为主对角线;k>0为主对角线以上;k<0为主对角线以下。3.矩阵的变维 矩阵的变维有两种方法,即用“:”和函数“reshape”,前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作;而后者是对于一个矩阵的操作。 (1)“:”变维 (2)Reshape函数变维 格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B B = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×… B = reshape(A,[m n p…]) %同上 B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小,元素个数与A中元素个数 相同。 (5)复制和平铺矩阵 函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块,即B由m×n块A平铺而成。 B = repmat(A,[m n]) %与上面一致 B = repmat(A,[m n p…]) %B由m×n×p×…个A块平铺而成 repmat(A,m,n) %当A是一个数a时,该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。 1.3 矩阵分解 1.3.1 Cholesky分解 函数chol 格式R = chol(X) %如果X为n阶对称正定矩阵,则存在一个实的非奇异上三角阵R,满足R'*R = X;若X非正定,则产生错误信息。 [R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息,若X为正定阵,则p=0,R与上相同;若X非正定,则p为正整数,R是有序的上三角阵。 1.3.2 LU分解
C语言程序设计报告 矩阵运算
C程序设计报告 矩 阵 运 算 学院:地质与环境学院 专业:资源勘查工程0901 姓名:王甲 学号:0909030119
目录1.设计任务书 1.1题目 1.2设计要求 1.3程序涉及的知识点 2.功能设计 2.1算法设计 2.2部分模块流程图 3.程序代码设计 3.1源代码 3.2运行结果 4.运行结果 5.程序设计总结 6.致谢 7.参考文献
1设计任务书 1.1 题目 矩阵运算 1.2 设计要求 此程序为矩阵运算的相关程序,用来计算包括两矩阵的加、减、乘运算,求矩阵的转置矩阵、最大值元素、最小值元素及对角线元素之和等运算。 1.2 本系统涉及的知识点 此程序涉及了老师讲授的多个知识点,包括:for、if、printf及scanf 等语句,顺序、选择、循环等结构。 2功能设计 2.1 算法设计 此程序需要实现的功能要求: 利用for、if、printf及scanf 等语句来实现所需功能。 输入矩阵a和b的元素之后,依次计算: 程序一:计算a+b矩阵; 程序二:计算a-b矩阵; 程序三:计算a*b矩阵; 程序四:计算a的转置矩阵; 程序五:计算a矩阵的最小值元素;
程序六:计算a 矩阵的最大值元素; 程序七:计算a 矩阵的主对角线元素之和; 程序八:计算a 矩阵的副对角线元素之和; 程序九:计算a 矩阵的上三角元素之和; 程序九:计算a 矩阵的下三角元素之和; 2.2 部分模块流程图 3 程序源代码 3.1源代码 #include"stdio.h" void main() { int a[3][3],b[3][3],c[3][3], int i,j,k,s,max,min,sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0; printf("计算a+b 矩阵:\n"); for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]; printf("%6d"); printf("\n"); printf(" 请输入a 矩阵元素:\n"); for(i=0;i<3;i++); for(j=0;j<3;j++); scanf("%4d",&a[i][j]); printf("a 矩阵:\n");
矩阵在MATLAB中的运算与应用
矩阵在MATLAB中的运算与应用 摘要:介绍了Matlab在矩阵运算方而的功能。演示了用Matlab构造矩阵,获取矩阵的相关信息,进行矩阵运算的方法,对矩阵运算进行了分析,对矩阵作图进行了研究。 关键词:矩阵;Matlab 1 引言 Matlab的含义是矩阵实验室( Matrix Laboratory) ,是由美国Mathwork公司于1984年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件[1]。现在,它己发展为国际上最优秀的科技应用软件。如果能将它用到相关学科课的学习上无疑是非常有意义的。Matlab赋予学习者一个可实验的环境,一个强大的数值计算和分析及可视化(图形)工具。矩阵论是高等院校理、工科研究生的一门重要基础课程。有人认为“科学计算,归根结底就是矩阵的计算”[2]。因此,对于将来从事科学技术工作的研究生来说,矩阵理论和方法是必不可少的数学工具。矩阵的理论和方法在数学和其他学科中都具有重要的意义,但许多学生无法克服矩阵庞大的计算量带来的恐惧,从而丧失了学习的兴趣和动力。本文展示了如何方便地用Matlab构造矩阵,获取矩阵的相关信息以及完成矩阵的运算,展示了矩阵的结构和运算,以此来说明在机器计算环境中,庞大复杂的计算不再是令人头疼的事情。 2矩阵及其运算 矩阵是进行数据处理和运算的基本元素。在MATLAB中: a、通常意义上的数量(标量)可看成是“1*1”的矩阵; b、n维矢量可看成是“n*1”的矩阵; c、多项式可由它的系数矩阵完全确定。 2.1 矩阵的创建 在MATLAB中创建矩阵有以下规则: a、矩阵元素必须在“[ ]”内; b、矩阵的同行元素之间用空格(或“,”)隔开; c、矩阵的行与行之间用“;”(或回车符)隔开; d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数; e、矩阵的尺寸不必预先定义。 2.1.1 直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素,输入的方法按照上面的规则。建立向量的时候可以利用冒号表达式,冒号表达式可以产生一个行向量,一般格式是:e1:e2:e3,其中e1为初始值,e2为步长,e3为终止值。还可以用linspace函数产生行向量,其调用格式为:linspace(a,b,n) ,其中a和b是
GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)
GE矩阵法及其使用方法介绍 一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司(GE)于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估,也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时,可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务(或事业单位),每个维度分三级,分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 二、方格分析计算方法介绍: GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业 单位进行评估,也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要 对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时,可以以GE矩阵为基础进行战 略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务(或事业单位),
每个维度分三级,分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 绘制GE矩阵,需要找出外部(行业吸引力)和内部(企业竞争力)因素,然后对各因素加权,得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然,在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务(或产品)的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部,分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素(可能需要根据各公司情况作出一些增减)。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等,关键是不能遗漏重要因素,也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始,纵览这张表(使用同一组经理), 并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似,则对其影响做总体评估,若一因素对不同竞争者有不同影响,可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准(1=毫无吸引力,2=没有吸引力,3=中性影响,4=有吸引力,5=极有吸引力)。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定(1=极度竞争劣势,2=竞争劣势,3=同竞争对手持平,4=竞争优势,5=极度竞争优势),在这一部分,应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。 具体的方法是:- 确定内外部影响的因素,并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数(五级)- 最后,用权重乘以级数,得出每个因素的加权数,并汇总,得到整个产业吸引力的加权值 下面分别用折线图和表格两种形式来表示。
C语言矩阵的运算
C语言课程设计题目矩阵的运算 西安科技大学 二0 一一年十一月
一、设计目的 1. 综合C语言相关知识制作简单的应用程序 2. 灵活对程序代码进行利用,修改和编写; 3. 熟练将C语言所学知识和其它知识相结合 二、功能描述 编写一个矩阵运算程序,能够进行矩阵加、减、乘、转置,求矩阵的最大值,最小值,对角线元素的和等 三、流程图
定义及预处理m1=0,m2=0,m3=0,m4=0,l=0;i,j,k,d,max,min; a[M][N],b[M][N],c[N][P] 输出“输入a矩阵” j++,输入a矩阵元素 直到j>=N,i++ 直到i>=M 输出“a矩阵” j++,输出a矩阵 直到j>=N,i++,输出换行 直到i>=M 输出“输入b矩阵” j++,输入b矩阵元素 直到j>=N,i++ 直到i>=M 输出“b矩阵” j++,输出b矩阵 直到j>=N,i++,输出换行 直到i>=M 输出“输入c矩阵” j++,输入c矩阵元素 直到j>=P,i++ 直到i>=N