2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期末考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合
题目要求.
1.已知集合2,1,0,1,2,|31,ABxxkkz，则AB
A. 2,1,0,1,2 B.1,0,1 C. 1,2 D.2,1
2.复数21i的共轭复数是
A. 1i B. 1i C. 1i D.1i
3.已知抛物线22ypx的准线方程是2x，则p的值为
A. 2 B. 4 C. -2 D. -4
4.某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点.
A. 明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨
C. 明天本地下雨的机会是80%
D.气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报
5.已知4,2a，则与a方向相反的单位向量的坐标为
A.2,1 B. 2,1 C.255,55 D.255,55
6.若函数xya在区间0,3上的最大值和最小值的和为98，则函数logayx在区间1,24上的最小值
是
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
7.已知3tan3,2，则cos2sin2
A. 0 B. -1 C. 1 D. 312
8.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，在日常生活中，
我们最熟悉、最常用的是十进制.右图是实现将某进制数a化为十进制数
b的程序框图，若输入的2,110,3kan，则输出的b
A. 14 B. 12 C.6 D. 3
9.已知等比数列的前n项和为A,前2n项和为，公比为q，则BAA的值为
A. q B. 2q C. 1nq D.nq
10.设点P为公共焦点122,0,2,0FF的椭圆和双曲线的一个交点，且123cos5FPF，已知椭圆的长
轴长是双曲线实轴长的4倍，则双曲线的离心率为
A. 12 B. 2 C. 2 D.22
11.已知圆锥底面半径为2，高为5，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的体积
为
A. 32525 B. 32575 C. 85 D.165
12.已知函数2sin0,2fxx，其图象与直线2y最近的两个相邻交点间的距离为
3
，若1fx对,83x恒成立，则的取值范围是
A. ,43 B. ,64 C. ,64 D.,62
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在命题“若mn，则22mn”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数
为 .
14.若,xy满足约束条件1111xyxy，则2zxy的最大值
为 .
15.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一
个半圆组成，则该几何体的表面积为 .
16.对于任意实数x，符号x表示x的整数部分，即x是不超过x的
最大整数，例如22,2.12,2.23，这个函数x叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践
中有广泛的应用.已知函数fxxR满足2fxfx，且当1x时，2logfxx，那么
16151516ffff
的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）ABC的内角,,ABC所对的边分别是,,abc，向量,3mba与
cos,sinnAB
垂直.
（1）求A；
（2）若,212BAa，求ABC的面积.
18.（本题满分12分）已知等差数列nb和各项都是正数的数列na，且11221,10abbb，满足
2
11220nnnnnaaaaa
（1）求na和nb通项公式；
（2）设1nnncba，求数列nc的前n项和.
19.（本题满分12分）下表是高二某位文科生连续5次考试的历史、政治成绩，结果统计如下：
次数 1 2 3 4 5
历史（x分） 79 81 83 85 87
政治（y分） 77 79 79 82 83
（1）求该生5次考试历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变
量,xy的线性回归方程.ybxa
20.（本题满分12分）已知函数xfxxae，其中a为常数.
（1）判断fx在0x处的切线是否经过一个定点，并说明理由；
（2）讨论fx在区间2,3上的单调性.
21.（本题满分12分）已知点0,4P,Q为圆228xy上的动点，当Q在圆上运动时，PQ的中点M的
运动轨迹为C，直线:lykx与轨迹C交于,AB两点.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设,Emn是线段AB上的点，且222311OEOAOB，请将n表示为m的函数.
22.（本题满分12分）已知函数ln.fxx
（1）证明：曲线yfx与曲线1yx有唯一公共点；
（2）若fx的反函数为gx，设mn，比较2mng与gngmnm的大小，并说明理由.
2024湖南省长沙市第一中学高二下学期第二次阶段性考试地理及答案
长沙市第一中学2023—2024学年度高二第二学期第二次阶段性检测地理本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷 选择题（共48分）一、选择题（本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）净活跃度指一定时期区域内就业人口迁入人数与迁出人数的差值，可表示该区域就业吸引力大小。
下图示意武汉近郊各区的净活跃度变化(每个区下面括号里代表的是主导产业)。
据此完成下面小题。
1. 图示期间，该区域（ ）A 就业人口总量呈下降趋势B. 武钢区就业人口总量减少C. 纸坊区就业吸引力最大D. 豹懈区就业吸引力最大2. 为促进产业和城市融合发展（ ）A. 豹解区注重产业升级 B. 纸坊区增加住宅面积C. 引导阳逻区人口外迁D. 物流业向中心城区迁移过江桥梁是打破自然阻隔、连通长江南北的重要交通基础设施，随着近年长江过江桥梁数量不断增多，可达性提升，长江南北两岸地区（市）间过江最短路径由高度依赖某几座高中介中心性过江桥梁（中介中心性越高表示在区域交通网络中对该桥梁依赖度越强）发展为多座过江桥梁共同分担。
目前，高中介中心性过江桥梁主要布局在长江下游地区。
据此完成下面小题。
表：长江干线过江桥梁建设情况（截至2021年6月）.过江桥梁密度地区过江桥梁数量（座）按岸线长度计算（座/100km）按GDP计算（座/104亿元）按常住人口计算（座/107人）上游70 1.3516.5311.16中游30 4.0812.359.92下游28 2.98 2.14 3.033. 长江上游过江桥梁总量占比高是因为上游（）A. 地形崎岖B. 江面狭窄C. 干流距离长D. 城市数量多4. 高中介中心性过江桥梁主要布局在长江下游地区，主要是因为下游（）A. 人口密集，过江需求大B. 水流平缓，轮渡替代强C. 经济发达，南北联系强D. 江面宽阔，建设成本高我国J乳业集团在张家口坝上流转38万亩土地，建立原生态牧草种植基地，改良牧草种植土地3万亩，形成了“田种草、草喂牛、牛产奶、奶加工、粪还田、沼气发电”全产业链绿色生产体系。
湖南省长沙市一中岳麓中学2020-2021学年初三上学期入学考试数学试卷
7．估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
8．如图，两个一次函数图象的交点坐标为 ，则关于x，y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中,正确的是( )
A．两条直线被第三条直线所截,内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形
三、解答题
19．计算：1 23.140
20．先化简，再求值： ，其中x满足x2－2x－2=0.
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE
（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．
22．已知关于x的方程x 2m1xm 20．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根 、 满足 1 112，求m的值.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图象与x轴交点为A3, 0，与y轴交点为B，且与正比例函数 的图象交于点C（m,4）.
（1）求点C的坐标；
（2）求一次函数ykxb的表达式；
（2）设一周的销售利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并确定当销售单价为多少时一周的销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商场决定将一周销售T恤衫的利润全部捐给某村用于精准扶贫的水网改造项目，在商场购进该T恤衫的资金不超过6000元情况下，请求出该商场最大捐款数额是多少元？
25．如图，已知抛物线yx2bxc的图象与x轴交于A1, 0、B4, 0两点， 与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B点运动（运动到B点停止），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC与点Q.
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期适应性调查考试 语文试题附答案
美丽乡村在全国各地不断涌现
班级
学校
语文试题长郡版第! 页共!"页
(%传承乡土文化%保持乡村特 色 成 为 一 致 共 识#一 批 文 化 底 蕴 深 厚%充 满 地 域 特 色 的 美丽乡村在全国各地不断涌现$
)%传承乡土文化%保持乡村特 色 成 为 共 识#一 批 文 化 底 蕴 深 厚%充 满 地 域 特 色 的 美 丽 乡村在全国各地不断涌现$ 偶成 戴望舒 如果生命的春天重到" 古旧的凝冰都哗哗地解冻" 那时我会再看见灿烂的微笑" 再听见明朗的呼唤***这些迢遥的梦$
将一门技术掌握到炉火纯青"这固然是工匠精神"但工匠精神的内涵又远不限于 此$有人说!%没有一流 的 心 性"就 没 有 一 流 的 技 术$&的 确"倘 若 没 有 发 自 肺 腑#专 心 如一 的 热 爱"怎 能 有 废 寝 忘 食#尽 心 竭 力 的 付 出)没 有 臻 于 至 善#超 今 冠 古 的 追 求"怎 能有出类拔萃#巧夺天 工 的 卓 越)没 有 冰 心 一 片#物 我 两 忘 的 境 界"怎 能 有 雷 打 不 动# 脚踏实地的笃定$工匠 精 神 中 所 深 藏 的"有 格 物 致 知#正 心 诚 意 的 生 命 哲 学"也 有 技 进乎道#超然达观 的 人 生 信 念$ 从 赞 叹 工 匠 继 而 推 崇 工 匠 精 神"见 证 社 会 对 浮 躁 风 气#短视心态的自我 疗 治"对 美 好 器 物#超 凡 品 质 的 主 动 探 寻$ 我 们 不 必 人 人 成 为 工 匠"却可以人人成为工匠精神的践行者$
一个时代有一个时代的气质"我们的时代将以怎样的面貌被书写"取决于我们每 个人的表现$工匠精神是手艺人的安身之本"亦是我们的生命的尊严所在)是企业的 金色名片"亦是社会 品 格#国 家 形 象 的 荣 耀 写 照$ 工 匠 精 神 并 不 以 成 功 为 旨 归"却 足 以为成功铺就通天大道$ -%下列对原文论证的分析#不正确的一项是!#分" &%文章第一句话刻画了时代背景#为话题&工匠精神'设置确切的言说范围$ '%文章第二段提出整体观点(在 当 代 背 景 下 工 匠 精 神 对 于 一 个 企 业 乃 至 一 个 国 家 的
湖南省长沙市第一中学2021届高二物理复习训练(卫星问题) Word版含答案
长沙市第一中学2021届高二物理复习训练(卫星问题)学校:___________姓名：___________班级：___________一.选择题1.（多选题）如图所示，1为同步卫星，2为近地卫星，3为赤道上的一个物体，它们都在同一平面内绕地心做圆周运动．关于它们的圆周运动的线速度、角速度、和向心加速度，下列说法正确的是（）A．v2=v3＞v1B．ω1=ω3＜ω2 C．a1＜a2=a3D．a2＞a1＞a 32.放射地球同步卫星时，先将卫星放射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最终再次点火，将卫星送入同步圆轨道3．轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则（）A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度等于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的速率小于它在轨道2上经过Q点时的速率D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度大于它在轨道3上经过P点时的加速度3.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是（）A．太阳对小行星的引力相同B．各小行星绕太阳运动的周期小于一年C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值4.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的平均密度，仅仅需要（）A．测定飞船的运行周期B．测定飞船的环绕半径C．测定行星的体积D．测定飞船的运行速度5.(多选题)如图所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是（）A．v的微小值为gRB．v由零渐渐增大，轨道对球的弹力渐渐增大C．当v由gR值渐渐增大时，轨道对小球的弹力也渐渐增大D．当v由gR值渐渐减小时，轨道对小球的弹力渐渐增大6.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个总质量为m=0.5㎏的盛水容器，以绳的一端为圆心，在竖直平面内作圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为v=4m/s，则下列哪些说法正确（g=10m/s2）（）A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底受到的压力均为零C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N7.一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则（）A．球A的角速度必大于球B的角速度B．球A的线速度必大于球B的线速度C．球A的运动周期必大于球B的运动周期D．球A对筒壁的压力必大于球B对筒壁的压力8.如图所示，A、B为咬合传动的两齿轮，R A=2R B ，则A、B两轮边缘上两点的（）A．角速度之比为2：1 B．向心加速度之比为1：2C．周期之比为1：2 D．转速之比为2：19.(多选题)如图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平速度v0抛出一小球，此时落点到A的水平距离为x1；从A点以水平速度3v0抛出小球，这次落点到A点的水平距离为x2，不计空气阻力，则x1：x2可能等于（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：1210.以v0的速度水平抛出一物体，当其竖直分位移与水平分位移相等时，则此物体的（）A ．竖直分速度等于水平分速度B ．瞬时速度大小为5v 0C ．运动时间为g v 0D ．运动的位移为gv 22 二.非选择题11.宇航员在某星球表面以初速度v 0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h ．已知该星球的半径为R ，且物体只受该星球引力作用． （1）求该星球表面的重力加速度；（2）假如要在这个星球上放射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期． 12.如图所示，一根长0.1m 的细线，一端系着一个质量为0.18kg 的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动．当小球的转速增加到原来转速的3倍时，细线断裂，这时测得线的拉力比原来大40N ．则：（g 取10m/s 2）（1）线断裂的瞬间，线的拉力多大？ （2）这时小球运动的线速度多大？（3）假如桌面高出地面0.8m ，线断后小球垂直桌面边缘飞出，落地点离桌面的水平距离为多少？13.如图所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放置．两个质量均为m 的小球a 、b 以不同的速度进入管内，a 通过最高点A 时，对管壁上部的压力为3mg ，b 通过最高点A 时，对管壁下部的压力为0.75mg ，求a 、b 两球落地点间的距离．14.平抛一物体，当抛出1s 后它的速度方向与水平方向成45°角，落地时速度方向与水平方向成60°角，求： （1）初速度v 0； （2）落地速度v 2；（3）开头抛出时距地面的高度； （4）水平射程．15.地球的两颗人造卫星质量之比m 1：m 2=1：2，圆周轨道半径之比r 1：r 2=1：2． 求：（1）线速度之比； （2）角速度之比； （3）运行周期之比； （4）向心力之比．参考答案1.BD【考点】人造卫星的加速度、周期和轨道的关系．【分析】题中涉及三个物体：地球赤道上有一随地球的自转而做圆周运动物体3、绕地球表面四周做圆周运动的人造卫星2、地球同步卫星1；物体3与近地卫星2转动半径相同，物体3与同步卫星1转动周期相同，近地卫星2与同步卫星1同是卫星，都是万有引力供应向心力；分三种类型进行比较分析即可． 【解答】解：A 、物体3和同步卫星1周期相等，则角速度相等，即ω1=ω3，依据v=r ω， 则v 1＞v 3，卫星2和卫星1都靠万有引力供应向心力，依据 ，解得，知轨道半径越大，线速度越小，则v 2＞v 1．所以v 2＞v 1＞v 3，故A 错误；B 、物体3和同步卫星1周期相等，则角速度相等，即ω1=ω3，依据 ，知轨道半径越大，角速度越小，则ω2＞ω1．所以ω1=ω3＜ω2，故B 正确；C 、物体3和同步卫星1周期相等，则角速度相等，即ω1=ω3，而加速度a=r ω2， 则a 1＞a 3，卫星2和卫星1都靠万有引力供应向心力，依据=ma ，，知轨道半径越大，角速度越小，向心加速度越小，则a2＞a1，所以a2＞a1＞a3，故C错误，D正确；故选：BD．2.C【考点】人造卫星的加速度、周期和轨道的关系．【分析】卫星绕地球做匀速圆周运动时，其向心力由万有引力供应，卫星通过做离心运动或近心运动实现轨道的变化，依据万有引力供应向心力列式求解．【解答】解：A 、卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力供应向心力得：，得，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，所以卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率．故A错误．B、由万有引力供应向心力得：G=mrω2 ，得，则轨道半径大的角速度小，所以卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度，故B错误．C、从轨道1到轨道2，卫星在Q点是做渐渐远离圆心的运动，要实现这个运动必需使卫星加速，使其所需向心力大于万有引力，所以卫星在轨道1上经过Q点时的速率小于它在轨道2上经过Q点时的速率．故C正确．D、卫星运行时只受万有引力，由G=m得：加速度a=，则知在同一地点，卫星的加速度相等，故D错误．故选：C3.C【考点】万有引力定律及其应用；向心力．【分析】小行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力供应向心力，依据半径关系分析选项即可．【解答】解：小行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力供应圆周运动向心力知：A 、太阳对小行星的引力，由于各小行星轨道半径质量均未知，故不能得出太阳对小行星的引力相同的结论，故A错误；B 、由周期知，由于小行星轨道半径大于地球公转半径，故小行星的周期均大于地球公转周期，即大于一年，故B错误；C、小行星的加速度知，小行星内侧轨道半径小于外侧轨道半径，故内侧向心加速度大于外侧的向心加速度，故C正确；D、线速度知，小行星的轨道半径大于地球半径，故小行星的公转速度小于地球公转的线速度，故D错误．故选：C．4.A【考点】万有引力定律及其应用．【分析】争辩飞船在某行星表面四周沿圆轨道绕该行星飞行，依据依据万有引力供应向心力，列出等式表示出行星的质量．依据密度公式表示出密度．【解答】解：依据密度公式得：A 、依据依据万有引力供应向心力，列出等式：得：代入密度公式得：，故A正确．B、已知飞船的轨道半径，无法求出行星的密度，故B错误．C、测定行星的体积，不知道行星的质量，故C错误．D 、已知飞船的运行速度，依据依据万有引力供应向心力，列出等式得：代入密度公式无法求出行星的密度，故D错误．故选A．5.CD【考点】向心力．【分析】小球在最高点，靠重力和管道的弹力供应向心力，最小速度为零，当v=gR 时，轨道的弹力为零，依据牛顿其次定律小球弹力和速度的关系．【解答】解：A 、由于轨道内壁下侧可以供应支持力，则最高点的最小速度为零．故A 错误．B 、当 v ＞gR ，管道上壁对小球有作用力，依据牛顿其次定律得，mg+F=m R v 2，当速度增大时，弹力F 增大．当v ＜gR ，管道下壁对小球有作用力，依据牛顿其次定律得，mg-N=m Rv 2，速度增大时，弹力减小，速度减小，弹力增大．故C 、D 正确，B 错误． 故选：CD ． 6.B【考点】向心力．【分析】当绳的张力恰好时，依据牛顿其次定律求出临界的最小速度，从而推断水能否从容器中流出．对整体分析，运用牛顿其次定律求出绳子张力的大小．【解答】解：A 、B 、当绳的张力恰好为零时，对水和容器整体，依据牛顿其次定律： mg=mLv2解得：v=gL =6.110⨯=4m/s ．可知，“水流星”通过最高点的速度最小速度为4m/s ，绳的张力为零，此时整体的加速度为 a=g ，所以水对桶底压力为零，水不会从容器中流出． 故A 错误，B 正确，D 错误C 、“水流星”通过最高点时，仅受重力，重力恰好完全供应向心力，处于完全失重状态．故C 错误． 故选：B ． 7.B【考点】向心力；线速度、角速度和周期、转速．【分析】对小球受力分析，受重力和支持力，合力供应向心力，依据牛顿其次定律列式求解即可． 【解答】解：对于任意一个小球，受力如图：将F N 沿水平和竖直方向分解得：F N cos θ=ma …①， F N sin θ=mg …②． 所以有：F N =θsin mg，因此质量大的对筒壁压力大，由于A 、B 两球的质量相等，两球受到的支持力相等，则小球对筒壁压力大小相等，故D 错误；由①：②可得：gcot θ=a ，可知两球的向心加速度大小相等．又 a=r v 2=ω2r=224Tr π所以半径大的线速度大，角速度小，周期大，与质量无关，故B 正确，AC 错误． 故选：B8.B【考点】线速度、角速度和周期、转速．【分析】咬合后的两齿轮有两轮边缘上线速度大小相等，依据线速度大小相等和各物理量的关系求解即可． 【解答】解：依据题意有两轮边缘上的线速度大小相等，即有v A =v BA 、依据角速度ω和线速度v 的关系v=r ω得角速度与半径成反比：即 ，故A 错误；B 、依据向心加速度a 与线速度v 的关系得，由于v A =v B 所以：，故B 正确；C 、依据同期T 和线速度v 的关系得，由于v A =v B 所以：，故C 错误；D 、依据转速n 和线速度v 的关系v=n2πR 得：由于v A =v B 所以：，故D 错误．故选：B 9.ABC【考点】平抛运动．【分析】该题考查平抛运动，但问题在于：两次抛出的是落在斜面AB 上，还是落在水平面BC 上，或者是一个在斜面上，一个在水平面上．都在斜面上时，两个的水平位移比值最大，都在水平面上时，两个的水平位移的比值最小，两个的水平位移的比值应当在最大与最小值之间．先求出最小值，再求出最大值，即可．【解答】解：A ：若都落在水平面上，运动的时间相等，有公式：x=vt 得：x 1=v 0t ，x 2=3v 0t ，所以：x 1：x 2=1：3；故A 正确；C ：若都落在斜面上，设斜面与水平面的夹角为θ，水平位移：x=vt ，竖直位移： ，则有：，水平位移：，所以：x 1：x 2=1：9．故C 正确；BD ：都落在斜面上时，两个的水平位移比值最大，都在水平面上时，两个的水平位移的比值最小，其他的状况应在两者之间，故B 正确，而D 错误．故选：ABC 10.B【考点】平抛运动；运动的合成和分解．【分析】通过竖直分位移与水平分位移大小相等，求出时间，依据时间可求出竖直方向的分速度以及速度的大小和方向．【解答】解：A 、竖直分位移与水平分位移大小相等，有v 0t=21gt 2，所以运动的时间为t=g v 02，此时竖直方向上的分速度v y =gt=2v 0．故A 、C 错误．B 、平抛运动瞬时速度的大小为v=220y v v +=5v 0，故B 正确；D 、此时水平方向上的位移的大小为x=v 0t=gv 22，由于此时竖直分位移与水平分位移大小相等，所以此时物体运动的位移的大小为gv x 2222=，故D 错误．故选B 11.见解析【考点】万有引力定律及其应用；竖直上抛运动；向心力．【分析】以初速度v 0竖直上抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，当物体速度减为0时，物体上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，依据匀变速直线运动的速度位移关系可以求出该星球表面的重力加速度g ，卫星绕星球表面做匀速圆周运动，重力供应万有引力，据此列式可得卫星运行的周期和线速度． 【解答】解：（1）由于上抛物体做匀减速直线运动，已知初速度v 0、末速度v=0、位移为h ，据： v 02=2gh（2）卫星贴近表面运转，重力供应万有引力，答：（1）该星球表面的重力加速度是；（2）假如要在这个星球上放射一颗贴近它表面运行的卫星，该卫星做匀速圆周运动的线速度是，周期是．12.见解析【考点】向心力；平抛运动．【分析】（1）球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，由线的拉力供应向心力，依据牛顿其次定律分别对开头时和断开前列方程，结合条件：线断开前的瞬间线的拉力比开头时大40N ，求解线的拉力；（2）设线断时小球的线速度大小为v ，此时绳子的拉力供应向心力，依据向心力公式即可求得速度；（3）小球离开桌面时做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度求出时间，依据水平方向做匀速直线运动求出水平距离．【解答】解：（1）小球在光滑桌面上做匀速圆周运动时受三个力作用；重力mg、桌面弹力F N和细线的拉力F，重力mg和弹力F N平衡，线的拉力供应向心力，有：F n=F=mω2R，设原来的角速度为ω0，线上的拉力是F0，加快后的角速度为ω，线断时的拉力是F1，则有：F1：F0=ω2：ω02=9：1，又F1=F0+40N，所以F0=5N，线断时有：F1=45N．（2）设线断时小球的线速度大小为v，由F1= ，代入数据得：v=5m/s．（3）由平抛运动规律得小球在空中运动的时间为：t=s=0.4s，则落地点离桌面的水平距离为：x=vt=5×0.4=2m．答：（1）线断裂的瞬间，线的拉力为45N；（2）这时小球运动的线速度为5m/s；（3）落地点离桌面的水平距离为2m．13.见解析【考点】牛顿其次定律；平抛运动；向心力．【分析】对两个球分别受力分析，依据合力供应向心力，求出速度，此后球做平抛运动，正交分解后，依据运动学公式列式求解即可．【解答】解：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．对A球：3mg+mg=m解得v A =对B球：mg﹣0.75mg=m 解得v B =由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为：s A=v A t=v A= 4Rs B=v B t=v B=R∴s A﹣s B=3R即a、b两球落地点间的距离为3R．14.见解析【考点】平抛运动．【分析】（1）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．将两秒后的速度进行分解，依据v y=gt求出竖直方向上的分速度，再依据角度关系求出平抛运动的初速度．（2）将落地的速度进行分解，水平方向上的速度不变，依据水平初速度求出落地时的速度．（3）依据落地时的速度求出竖直方向上的分速度，再依据vy2=2gh求出抛出点距地面的高度．（4）依据落地时竖直方向上的分速度，运用v y=gt求出运动的时间．再依据x=v0t求出水平射程．【解答】解：如图，水平方向v x=v0，竖直方向v y=gt，1 s时速度与水平成45°角，即θ=45°由于tanθ=所以v x=v y初速度：v0=gt=10 m/s落地时，cosα=α=60°所以落地速度v2==20 m/s并且落地时竖直速度v y′=v x•tanα=10m/s飞行时间t=s抛出时高度：h=gt2=15 m水平射程：s=v0t=10m．答：（1）初速度为10 m/s；（2）落地速度为20 m/s；（3）开头抛出时距地面的高度为15m；（4）水平射程为10m．15.见解析【考点】万有引力定律及其应用；人造卫星的加速度、周期和轨道的关系．【分析】（1）依据万有引力充当向心力，产生的效果公式可得出线速度和轨道半径的关系，可得结果；（2）依据圆周运动规律可得线速度和角速度以及半径的关系，直接利用上一小题的结论，简化过程；（3）依据圆周运动规律可得运行周期和角速度之间的关系，直接利用上一小题的结论，简化过程；（4）依据万有引力充当向心力可得向心力和质量以及半径的关系．【解答】解：设地球的质量为M，两颗人造卫星的线速度分别为V1、V2，角速度分别为ω1、ω2，运行周期分别为T1、T2，向心力分别为F1、F2；（1）依据万有引力和圆周运动规律得∴故二者线速度之比为．（2）依据圆周运动规律 v=ωr 得∴故二者角速度之比为．（3）依据圆周运动规律∴故二者运行周期之比为．（4）依据万有引力充当向心力公式∴故二者向心力之比为 2：1．。
湖南省冷水江市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
冷水江一中2017-2018学年上学期高二理科数学期末测试试卷说明：本试题分第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，时间120分钟。
第I 卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1. 复数(32)z i i =-⋅的共轭复数等于 ( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i2. 已知向量(2,1)a =r， 2(2,)b k =-，则2k =是a b ⊥的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3．设随机变量X ～N (2，32)，若P(X c 1)(1)P X c ≤-=≥+，则c 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．81πD ．57π5. 将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有（ ） A. 12种 B 24种 C. 36种 D. 48种6. 在正项等比数列}{n a 中, 22435524a a a a a ++=,则35a a += （ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．2或-27. 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38. 将函数sin 2y x =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的 解析式是（ ）A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．1sin(2)4y x π=++ D ．22sin y x =9. 设n a 是n x )1(-的展开式中x 项的系数（ ,4,3,2=n ），若12(7)n n n a b n a ++=+，则n b的最大值是（ ） ABC ．350D ．23310. 直线(0)x t t =>与函数2()1f x x =+，()ln g x x =的图象分别交于A 、B 两点，当AB 最小时，t 的值是（ ）． A ．1B ．12CD二、填空题：（本大题共5个小题，共25分）11．设随机变量X ～(,)B n p ,若E(X)=3，D(X)=2，则p =_______．12. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．13．如果执行右边的程序框图，若输出的55s =，则=k ________．14．设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．15．函数()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞，且其图象上任一点(,)P x y满足方程221x y -=，给出以下四个： ①函数()y f x =是偶函数； ②函数()y f x =不可能是奇函数； ③(,1)(1,)x ∃∈-∞-+∞，()x f x <；④(,1)(1,)x ∀∈-∞-+∞，()x f x >.其中真的序号是________．（此卷不交，只交第二卷）冷水江一中2015年上学期高二理科数学期末测试答题卷一．选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）二、填空题：（本大题共5个小题，共25分）11． 12． 13.14. 15.三、解答题：（本大题共6个小题，共75分）16. （本小题12分）已知函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一下学期期末考试历史试题及答案
D.移民费用是殖民扩张的一大障碍
9.16世纪初，米开朗琪罗两次为教皇设计陵墓。陵墓工程巨大，雕像颇多。艺术家把多年的抑郁、愤懑和屈辱，全部寄托在这座陵墓的各个雕像上面。下图是其中最有代表性的陵前雕塑之一—《被缚的奴隶》。这反映了
A. 宗教压迫激发个性解放诉求B. 宗教改革导致精神生活困扰
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第二学期期末考试
历史
第I卷选择题（共60分）
一、选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分）
1.在古代希腊，制定法律、审查执政官、执行司法权、使用陶片放逐法等权力皆由公民集体行使。服兵役是公民的绝对义务，大多数城邦禁止男子独身。这些现象产生的背景是
A.城邦至上理念盛行B.希腊地区战争频繁
A. 促进了思想观念的进步B. 加速了工业革命的扩展
C. 加快了融入欧洲的步伐D. 推动了国家统一的进程
13.当18世纪末曼彻斯特的一名工人在享用“跨越大陆的一杯茶”时，他从中获得四大洲的能量。这杯茶包括中国或锡兰的茶，荷兰或英格兰的代尔夫特瓷茶杯，非洲奴隶生产的南美糖。它们当时在英国的普及
A.加速英国工业革命的进程B.使英国成为最大殖民帝国
C.引发了宗教改革运动D.促进了理性思想传播
11.1874年美国选举之后，民主党控制了众议院，立即开始搜集关于执政的共和党腐败的资料，总统格兰特的许多内阁成员因此被迫辞职。由此可知，当时美国
A.总统享有的权力受到限制
B.两党秉持不同阶级立场
C.议会开始成为权力的中心
D.两党制体现了制衡原则
12.从1835年到1870年，德国铁路干线总长由6.1公里飙升至2.1万多公里。四通八达的铁路线“在小邦分治主义偏见的长城上打开了一个巨大的缺口”，以至于诗人卡尔·贝克曾如此赞道：条条闪光的铁轨，是婚姻的纽带和证婚的戒指，它柔情地将各邦沟通，良缘就此缔结。这表明德国铁路建设的发展
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。
2020-2021高二数学上期中模拟试卷(含答案)(2)
2020-2021高二数学上期中模拟试卷(含答案)(2)一、选择题1．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．142．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．143．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④4．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．115．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．166．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．567．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.318．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．110B．35C．310D．259．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为1 50；④中部地区学生小张被选中的概率为1 5000A．①④B．①③C．②④D．②③10．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是()A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，812．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．在区间[-3，5]上随机取一个实数x ，则事件“11422x ≤≤（）”发生的概率为____________．14．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________．15．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．16．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为na mb m n+； ④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交． 其中真命题的序号是__________．17．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．18．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．19．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21．(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.22．每年七月份，我国J 地区有25天左右的降雨时间，如图是J 地区S 镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量超过350mm的概率；（2）在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量[100，200）[200，300）[300，400）[400，500）亩产量50070060040023．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82824．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000的这段应抽取多少人？ 25．某“双一流A 类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数x ； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间[)1.85,2.15Ω=，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？26．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；()2若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】 【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4， 由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=； 3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=. 4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102. 255=故答案为D．9．B解析：B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为1001 24001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为1001 24001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++L，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.11．D解析：D【解析】【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数.【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.12．A解析：A 【解析】 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.二、填空题13．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的 解析：38【解析】 【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率． 【详解】设事件A表示11|422xx⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭得2111222x-⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x-≤≤，即构成事件A的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+，所以事件A的概率3 ()8 P A=.故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．14．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）解析：2 5【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2 . 5故答案为2 5 .15．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相解析：108【解析】【分析】不妨设2AB =，小圆与正三角形相切，小圆的半径为63AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为12AB =率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，小圆与正三角形相切，小圆的半径为63AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222108P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事解析：①④. 【解析】分析：根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假. 详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对 因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 不为互斥事件，所以②错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为ma nbm n++，所以③错； 因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以④对.因此真命题的序号是①④.点睛：对命题真假的判断，主要要明确概念或公式.17．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．18．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36 【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.19．【解析】因为公共汽车每5分钟发车一次当乘客在上一辆车开走后两分钟内达到则他候车时间会超过3分钟所以候车乘客候车时间超过3分钟的概率为解析：35【解析】因为公共汽车每5分钟发车一次，当乘客在上一辆车开走后两分钟内达到，则他候车时间会超过3分钟，所以候车乘客候车时间超过3分钟的概率为5-23=55P =。
03挑战压轴题(解答题(一))-2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(湖南长沙卷)(解析版)
∴四边形 CFOE 是矩形，
∴CE = OF = 3 ， O=E C=F 1 ， ∴ BF = BC + CF = 3 ， ∴ BO = BF 2 + OF 2 = 9 + 3 = 2 3 ，
当点 D 在 BO 的延长线时， BD 的长有最大值， ∴ BD 长的最大值 = BO + OD = 2 3 + 2 ．
∴BF= AF 2 − AB2 = − x2 + 2x + 3 CF= EF 2 - CE 2 = x2 −1
∵△ABF∽△FCE ∴ AB = CF ， ∴ x + 1 = x 2 −1
AF EF
4x + 4
x
（
∴
x + 1）2 =
x +1•
x −1
2 x +1
x
解得：x=2
∴ tanα + tan β = 1 + 2 = 2 3 3 23 3
2.（2019 年长沙中考第 24 题）根据相似多边形的 定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四 边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真” 或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（
；（3）
S1 S2
=1
【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
（3）四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，证明相似比是 1 即可解决问题，即证明 DE=AE 即可．
【详解】解（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
数学一轮复习第十一章11.2数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析
课时作业67 数系的扩充与复数的引入［基础达标]一、选择题1．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设i是虚数单位，若复数a＋5i1＋2i(a∈R）是纯虚数，则a＝(）A．－1B．1C．－2D．22．［2021·湖南省长沙市高三调研试题]复数错误!＝（) A.错误!－iB。
错误!－错误!iC．－1D．－i3．[2021·大同市高三学情调研测试试题］设z＝错误!2，则z 的共轭复数为（)A．－1B．1C．iD．－i4．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷］复数z满足错误!＝1－i，则｜z｜＝()A．2iB．2C．iD．15．[2021·合肥市高三调研性检测］已知i是虚数单位，复数z＝错误!在复平面内对应的点位于（)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限6．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知i为虚数单位，z＝错误!，则z的虚部为（）A．1B．－3C．iD．－3i7．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知复数z满足（1－i）z＝2＋i(其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．－错误!－错误!iB.错误!＋错误!iC．－错误!＋错误!iD.错误!－错误!i8．［2021·长沙市四校高三年级模拟考试］已知复数z＝错误!，则下列结论正确的是（)A．z的虚部为iB．|z|＝2C．z的共轭复数错误!＝－1＋iD．z2为纯虚数9．［2021·广东省七校联合体高三第一次联考试题]已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1＝1－2i，则错误!＝(）A.35－错误!iB．－错误!＋错误!iC．－错误!－错误!iD.错误!＋错误!i10．［2021·唐山市高三年级摸底考试］已知p，q∈R,1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，其中i为虚数单位，则p·q＝()A．－4B．0C．2D．4二、填空题11．[2020·江苏卷］已知i是虚数单位，则复数z＝（1＋i)·（2－i)的实部是________．12．［2021·重庆学业质量抽测］已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________。