【全国市级联考】河北省沧州市2017届高三9月教学质量监测联考理数(原卷版)
【全国百强校】河北省沧州市第一中学2017届高三上学期第一次月考文数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}{}2|,|lg 0M x x x N x x ===≤,则M N =（ ）A ．[)0,1B ．(]0,1C ．[]0,1D ．(],1-∞【答案】C考点：集合的运算.2.若复数z 满足1z i i=-,其中i 为虚数单位, 则z =（ ） A ． 1i + B ． 1i - C ．1i -- D ．1i -+【答案】B【解析】 试题分析：由1z i i=-，得()i i i z +=-=11，则i z -=1，故选项为B. 考点：复数的运算.3.设x R ∈,则“12x <<”是“21x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】 试题分析：由3112<<⇒<-x x ，又因为{}{}3121<<=⊆<<=x x B x x A ，故“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，故选A.考点：充要条件.4.已知命题:,23x x p x R ∀∈<；命题32:,1q x R x x ∃∈=-,则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B 考点：复合命题的真假.5.函数()2563x x f x x -+=-的定义域为（ ） A ．()2,3 B ．(]2,4 C ．()(]4332，，⋃ D ．()(]1,33,6-【答案】C【解析】 试题分析：要使函数有意义需满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≥-0365042x x x x ，解得()(]4332，，⋃∈x ，故选C. 考点：函数的定义域.6.设向量()()1,2,1,1,a b c a kb ===+,若b c ⊥,则实数k 的值等于（ ）A ．53B ．32 C ．32- D ．53- 【答案】C【解析】试题分析：由()()1,2,1,1,a b c a kb ===+，得()k k c ++=2,1，又由b c ⊥得021=+++k k ，解得 23-=k ，故选项为C. 考点：向量的坐标运算.7.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和, 若844S S =,则10a =（ ）A ．172B ．192C ．10D ．12 【答案】B【解析】试题分析：由题意得()⎩⎨⎧+⨯=⨯+=6441288111a a d ，解得211=a ，则219192110=⨯+=a ，故选B. 考点：等差数列的性质.8.已知函数()()1222,1log 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩,且()3f a =-,则()6f a -=（ ） A ．74- B ．54- C ．34- D ．14- 【答案】A【解析】试题分析：由()3f a =-，得7=a ，则()()47221611=-=-=---f a f ，故选A. 考点：分段函数的性质.9.若函数()ln f x kx x ==-在区间()1,+∞上单调递增, 则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 考点：利用导数研究函数的单调性.10.在平面直角坐标系中,O 为原点,()(()1,0,,3,0A B C -, 动点D 满足1CD =,则 OA OB OD ++的取值范围是（ ）A ．[]4,6 B．1⎤+⎦C．⎡⎣D．1⎤-+⎦【答案】D考点：向量的加法及其几何意义.【方法点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．由于动点D 满足1CD =，()0,3C ，可设()θθsin ,cos 3+D []πθ20，∈．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．11.设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A【解析】试题分析：()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为R ，∵()()x f x f =-，∴函数()x f 为偶函数，当0>x 时，()()2111ln x x x f +-+=函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立， ∴12->x x ，∴()2212->x x ，∴x 的范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数()x f 为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在x 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把()()21f x f x >-可转化为12->x x ，解绝对值不等式即可．12.已知函数()()22,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩,若()f x ax ≥,则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[]2,1-D ．[]2,0-【答案】D考点：不等式的解法. 【方法点晴】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数()x f y =的图象，和函数ax y =的图象，把()f x ax ≥转化为()x f y =的图象始终在ax y =的图象的上方，直线介于l 和x 轴之间符合题意，由导数求切线斜率可得l 的斜率，进而数形结合可得a 的范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若函数()22x f x b =--有两个零点, 则实数b 的取值范围是 ．【答案】()0,2考点：函数的零点.【方法点晴】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．当涉及到零点的个数时主要转化为函数图象交点的个数，在该题中由函数()22x f x b =--有两个零点，可得b x =-22有两个零点，从而可得函数22-=x y 函数b y =的图象有两个交点，结合函数的图象可求b 的范围.14.设数列{}n a 满足：11a =,且()11n n a a n n N *+-=+∈,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和等于 ． 【答案】1120 【解析】考点：（1）数列的递推式；（2）数列的求和.15.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切, 则a 的值 为 ．【答案】8【解析】试题分析：ln y x x =+的导数为xy 11+='，曲线ln y x x =+在1=x 处的切线斜率为2=k ，则曲线ln y x x =+在1=x 处的切线方程为221-=-x y ，即12-=x y ．由于切线与曲线()221y ax a x =+++相切，故()221y ax a x =+++可联立12-=x y ，得022=++ax ax ，又0≠a ，两线相切有一切点，所以有082=-=∆a a ，解得8=a ．故答案为：8．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.【方法点晴】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键，难度中档.求出ln y x x =+的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线()221y ax a x =+++相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据0=∆得到a 的值．16.设x θ=时, 函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值, 则cos θ= ．【答案】 【解析】试题分析：()()α-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x x x x f sin 5cos 552sin 555cos 2sin （其中55cos =α，552sin =α），∵θ=x 时，函数()x f 取得最大值，∴()1sin =-αθ，即5cos 2sin =-θθ，又1cos sin 22=+θθ，联立得()1cos 5cos 222=++θθ，解得552cos -=θ．故答案为：． 考点：（1）两角和与差的正弦函数；（2）正弦函数的定义域和值域. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中, 已知2,3,60AB AC A ===.（1）求BC 的长；（2）求sin 2C 的值.【答案】（1）7；（2）734. 考点：（1）余弦定理的应用；（2）二倍角的正弦.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知tan 24A π⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求2sin 2sin 2cos A A A+的值；（2）若 ,34B a π==,求ABC ∆的面积.【答案】（1）52；（2）9.考点：（1）三角恒等式；（2）三角形的面积公式．19.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列,23,a a 是方程2560x x -+=的两个实根.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()2211+⋅-=+n n n S .【解析】试题分析：（1）利用{}n a 是递增的等差数列，23,a a 是方程2560x x -+=的根．得到2560x x -+=，再求首项和公差，进一步求通项公式；（2）利用错位相减法求和．试题解析：（1）方程2560x x -+=的两个实根为2,3,由题意得232,3a a ==,设数列{}n a 的公差为d , 则3232,1d a a =-=-=,从而11a =,所以数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）由（1）知,12322,122232...2n n n n n a n S n =∴=⨯+⨯+⨯++ ①()23121222...122n n n S n n +∴⨯+⨯++-+ ②①-②得，()()2311212222...22212n n n n n S n n ++⨯--=++++-=--()111222122n n n n n +++=--=--，()1122n n S n +∴=-+.考点：（1）等差数列的通项公式；（2）数列求和.【方法点睛】本题主要考查了利用等差数列的性质求等差数列的通项公式，以及常见的利用错位相减法求数列的前n 项和，属于常规题，难度适中.首先通过解一元二次方程，得到等差数列中的两项，从而可以求得等差数列的通项公式；在求数列的前n 项和中，首先应求出该数列的通项公式，然后根据其特征，决定采用何种方法，当表示成等差数列n 和等比数列n2的乘积时，应采用错位相减法.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列, 满足143,12a a ==,数列{}n b 满足 144,20b b ==,且数列{}n n b a -为等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n 3=，123-+=n n n b ；（2）()12132-++=n n n n S . （2）由（1）知,()132n n b n n N -*=+∈,()()231369...31222...2n n S n -∴=++++++++++()()()1123331212122n n n n n n ⨯-+=+=++--. 考点：（1）求数列的通项公式；（2）数列求和.21.（本小题满分12分）已知函数()()24x f x eax b x x =+--,曲线()y f x =在点()()0,0f 处 的切线方程为44y x =+.（1）求,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性, 并求函数()f x 的极大值.【答案】（1）4,4a b ==；（2）()f x 在(),2-∞-和()ln 2,-+∞上单调递增, 在()2,ln 2--单调递减,函数()f x 的极大值为()()2241f e --=-. 考点：（1）利用导数研究曲线上某点处切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性.22.（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2x f x x -=-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：当1x >时,()1f x x <-.【答案】（1）⎛ ⎝；（2）证明见解析.考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）不等式的证明.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式的证明，注重对基础知识的考查，也是在高考中常见的考查形式，难度适中；利用导数求函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求不等式()0>'x f 和()0<'x f 的解集，得单调区间；常见的证明不等式中，()()0>-x g x f ，令()()()x g x f x h -=，使得()0>x h 恒成立即可，转化为()0min >x h 即可，利用单调性得()min x h .：。
河北省衡水中学2017届高三上学期摸底联考(全国卷)数学(理)试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】试题分析：因为A B A =I ，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A. 考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b r r满足()5a a b +=r r r g ，且2,1a b ==r r ，则向量a r 与b r 夹角的余弦值为（ ）A ．3B ． 3-．12 D ．12- 【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=r r r r r r r r r r r r r ，所以1cos ,2a b <>=r r ，故选C.考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B考点：程序框图.5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D考点：三视图.7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B ．32 C ．34 D ．74【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ．86π B ．6π C ．24π D 6π 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个【答案】D 【解析】试题分析：在坐标系内作出函数()y f x =的图象，由图象可知，方程()()f x a a R =∈的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D.考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 【答案】B故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 【答案】2【解析】 试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．【答案】14考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=o 点的仰角45CAB ∠=o 以及75MAC ∠=o ，从C 点测得60MCA ∠=o ，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】150考点：解三角形应用举例.【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ． 【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min 1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x+>∴==+≥Q ，当且仅当1x =时取等号，所以min ()(1)2f x f ==，即()2min 211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e==，所以()1max 1g x k ke⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.（2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD I 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP P .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明,若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23.（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD Θ平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴，)1,2,2(-=,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则 ⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：1X5 67 8 P0.4ab0.1且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性.（2）由已知得，样本的频率分布表如下：2X34 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：2X34 5 6 7 8 p0.30.20.20.10.10.1所以，2 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.若()1z i i +=，则z 等于（ ）A ．1BCD ．123.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．34.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．56. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．609. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，则12k k +的最小值为（ ）A ．1B D 10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A BCD -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ． C.24 D ．11.已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为 ．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积. 18.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值. 19.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三摸底联考(全国卷)数学(理)试题
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且AB A =，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．32 B ． 32- C ．12 D ．12- 4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B ．32 C ．34 D ．749. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．2310. 在四面体S ABC -中，,2,2AB BC AB BC SA SC ⊥=====，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ．86π B ．6π C ．24π D ．6π11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个 12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：1X5 67 8 P0.4ab0.1且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切.（1）求椭圆C 的方程;（2）已知椭圆C 的左顶点A 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点, 且12l l ⊥,求证: 直线MN 过定点, 并求出定点坐标；(3) 在(2) 的条件下求AMN ∆面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()()()1x f x a x e a =--(常数0a R a ∈≠且). （1）证明: 当0a >时, 函数()f x 有且只有一个极值点; （2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:()()12224400f x f x e e <<<<且. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,,,A B C D 四点在同一个圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ,点F 在BA 的延长线上. （1）若11,32EC ED EB EA ==,求DCAB的值; （2）若2EF FA FB =,证明:EF CD .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为:312(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. （1）解不等式()5g x <;（2）若对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立, 求实数a 的取值范围.河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题参考答案一、选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.ADCBA DCDCB DB 二、填空题：每题5分，共20分.13. 2 14. 1415. 150 16. 1e 21k -≥三、解答题17.本题满分12分解：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩（2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策． 18．本题满分12分解：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PB MN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面ABCD 平面ABPE =AB ,⊂BC 平面ABCD ,AB BC ⊥⊥∴BC 平面ABPEPB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD （2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==AD n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴DE ，)1,2,2(-=DP ,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则 ⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为3219．本题满分12分解：（1）16,50.46780.16EX a b =⨯+++⨯= ，即67 3.2a b += ①又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+= ②由①② 得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：2X34 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：2X34 5 6 7 8 p0.30.20.20.10.10.1所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。
河北省衡水中学2017届高三9月摸底联考理数试题解析2
一、选择题（本大题共8 个小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.）1.若会合B x x 0 ，且 A B A ，则会合 A 可能是（）A. 1,2B. x x1C.1,0,1D. R【答案】 A.【分析】试题剖析：∵ A I B A ，∴ A B ，故只有A切合题意，应选 A.考点：会合的关系及其运算.2.复数zi的共轭复数在复平面上对应的点在（）1 iA. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限 [ 根源 om]【答案】 D.考点：复数的观点及其运算.rr r r r r r rr3.已知平面向量a，b知足a (a b)5，且| a | 2，|b | 1，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为（）A.3B.3C. 1D.12222【答案】 C.【分析】r 2r r r r r r1，应选 C.试题剖析：由题意得， a a b 5 4 2 1 cos a,b 5 cos a, b2考点：平面向量数目积 .4.履行以下图的程序框图，如输入的 a 值为1，则输出的k的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】 B.考点：程序框图 .5.已知数列a n中，a11， a n 12a n1(n N ) ， S n为其前n项和，则 S5的值为（）A.57B.61C.62D.63【答案】 A.【分析】试题剖析：∵ a n 1 2a n 1 a n 112(a n1) ，∴ { a n1} 是首项为2，公比为2的等比数列，∴ a n 1 2na n 2n 1 ，∴ S n 2(2 n 1) n 2n 12 n ，∴ S 526 7 57 ，应选 A.2 1考点：数列的通项公式 .6.某几何体的三视图以下图，此中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. 2B.C. 2D. 16 3399【答案】 D.【分析】试题剖析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体， ∴ V1 12 22 4 16 ，32 3 9应选 D.考点： 1.三视图； 2.空间几何体的体积 . 7.为了获得 ycos 2x ，只要要将 y sin(2x) 作以下变换（）3A. 向右平移个单位B.向右平移个单位36C.向左平移个单位D.向右平移个单位1212【答案】 C.【分析】考点： 1.引诱公式； 2.三角函数的图象变换x 08.若 A 为不等式组y 0表示的平面地区，则当 a 从-2连续变化到 1 时，动直y x2线 x y a 扫过A中的那部分地区的面积为（）A.1【答案】 D.【分析】试题剖析：以下列图所示，作出不等式组所表示的地区，进而可知，扫过的面积为S1 2 21227，应选 D.22224考点：线性规划 .9.焦点在x轴上的椭圆方程为x2y21(a b0) ，短轴的一个端点和两个焦点相连a2b2构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b，则椭圆的离心率为（）3A. 1B.1C.1D.2 4323【答案】 C.【分析】考点： 1.引诱公式； 2.三角函数的图象变换10.在四周体S ABC 中， AB BC，AB BC2，SA SC 2 ，二面角 S AC B的余弦值是3，则该四周体外接球的表面积是（）3A.8 6B. 6C.24D.6【答案】 B.【分析】考点： 1.二面角； 2.空间几何体的外接球 .【方法点睛】立体几何的外接球中办理经常用以下方法： 1.联合条件与图形适合剖析获得球心地点； 2.直接建系后，表示出球心坐标，转变为代数； 3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.11.已知函数f ( x)log 5 1 x ,( x＜1)，则对于 x 的方程 f ( x )a, a R 实根个数不行(x2) 22,( x 1)能为（）A.2B.3C.4D.5【答案】 D.【分析】考点： 1.函数与方程； 2.分类议论的数学思想 .【方法点睛】运用函数图象联合数形联合思想求解问题的种类：1.对一些可经过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单一性 (单一区间 )、值域 (最值)、零点时，常利用数形联合思想； 2.一些函数型方程、不等式问题常转变为相应的函数图像问题，利用数形联合法求解．12.函数f ( x) A sin(2 x)(, A＞ 0) 的部分图象以下图，且 f (a) f (b)0 ，对不2同的 x1，x2a,b ，若f (x1) f ( x2 ) ，有 f (x1x2 ) 3 ，则（）A. f ( x) 在 ( 5 ,) 上是减函数B. f (x) 在 ( 5 , ) 上是增函数12 121212C. f ( x) 在 ( , 5) 上是减函数D. f ( x) 在 ( ,5) 上是增函数3 63 6【答案】 B.【分析】考点：三角函数的图象和性质 .【名师点睛】依据 y A sin( x ) ， x R 的图象求分析式的步骤： 1.第一确立振幅和周期，进而获得 A 与；2.求 的值时最好采用最值点求： 峰点： x2k ，2谷点： x2k，2也可用零点求，但要划分该零点是升零点，仍是降零点，升零点(图象上涨时与 x轴的交点 )： x 2k ；降零点 (图象降落时与 x 轴的交点 )： x2k(以上k Z )．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．）13. (1 1)(1 x)4 的睁开式中 x 2 项的系数为 _______.x【答案】 2 .试题剖析：由二项式定理可知(1x)4中，T r 1C4r x r，令r 2，可知 x2的系数为 C42 6 ，令 r 3 ，可知x3的系数为C434，故 (11)(1x)4的睁开式中 x2的系数为6 4 2 ，故x填： 2.考点：二项式定理 .14.已知抛物线y2 2 px( p0) 上一点 M (1, m) 到其焦点的距离为5，双曲线 x2y21a的左极点为 A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a_______.【答案】1 .4【分析】m2 2 pp8m试题剖析：由题意得，p，又∵ A( 1,0) ，∴ K AM 2 ，5m4212渐近线方程为 y ax ，∴ a1a 1，故填：1.244考点：二项式定理 .15.如图，为丈量出山高MN，选择A和另一座山的山顶 C 为丈量观察点，从A点测得 M 点的仰角MAN60o，C点的仰角CAB 45o以及 MAC75o，C点测得MCA 60o，已知山高BC100 m，则山高 MN _______m.【答案】 150 .考点：正余弦定理解三角形.【名师点睛】①这是一道相关解三角形的实质应用题，解题的重点是把实质问题抽象成纯数学识题，依据题目供给的信息，找出三角形中的数目关系，而后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实质问题中，有宽泛的应用．在物理学中，相关向量的计算也要用到解三角形的方法．最近几年的高考取我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热门问题之一．③不论是什么种类的三角应用问题，解决的重点都是充足理解题意，将问题中的语言表达弄理解，画出帮助剖析问题的草图，再将其归纳为属于哪种可解的三角形．16.设函数f (x)x2 1， g(x)x，对随意x1，x2 (0, )，不等式g (x1) f ( x2 ) 恒成x e x k k 1立，则正数 k 的取值范围是________.【答案】【分析】1, ) . [2e1考点： 1.导数的运用； 2.转变的数学思想 .【名师点睛】高考取一些不等式的证明或求解需要经过结构函数，转变为利用导数研究函数的单一性或求最值，进而证得不等式，而怎样依据不等式的结构特点结构一个可导函数是用导数证明不等式的重点．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特点，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实行“松开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地域2015 年人口总数为 45 万，实行“松开二胎”新政策后专家预计人口总数将发生以下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增添 0.5 万人，从 20216 年开始到 2035 年每年人口为上一年的99%．（1）务实行新政策后第n年的人口总数a n的表达式（注： 2016 年为第一年）；（2）若新政策实行后的2016 年到2035 年人口均匀值超出49 万，则需调整政策，不然持续实行．问到 2035 年后能否需要调整政策？（说明： 0.9910=(1-0.01)10≈0.9）450.5n,1 n10；（2）详看法析 .【答案】（1）a n0.99n 10 ,11n 2050【分析】试题剖析：（1）剖析题意将问题转变为等差数列等比数列的通项公式即可求解；（2）依据题意求得S20的值，即可得出结论 .试题分析：（1）当n10 时，数列{ a n}是首项为 45.5 ，公差为 0.5的等差数列，[根源:ZXXK][ 根源 :学|科 |网 Z|X|X|K]∴新政策实行到 2035 年年人口均值为S2048.63 万，由S2049 ，故到2035年不需2020要调整政策．考点：等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和．18.（本小题满分 12 分）如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面 ABCD I 平面 ABPE AB ，且 AB BP 2 ， AD AE 1， AE AB，且 AE / /BP ．（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内能否存在点N，使得MN平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明原因；[根源 :]（2）求二面角D PE A 的余弦值.【答案】（1）分析；（2）2.3【分析】剖析：（1）接AC，BD交于点N，接MN，明MN平面ABCD，进而MN 即所求；（2）成立空直角坐系，求得两个平面的法向量后即可求解.分析：（1）接AC，BD交于点N，接MN，MN平面ABCD，∵MPD 中点， N BD 中点，∴ MNPDB 的中位，∴ MN / / PB ，又∵平面ABCD平面ABPE，平面ABCD I平面ABPE AB ， BC平面ABCD，BC AB ，考点： 1.面垂直的判断与性； 2.面面垂直的性； 3.二面角的求解．19.（本小分 12 分）某品按行生准分红8 个等，等系数X挨次 1，2，⋯，8，此中X 5 准A， X 3 准B，已知甲厂行准A生品，品的零售价 6 元/件；乙厂行准 B 生品，品的零售价 4 元/件，假设甲、乙两厂的品都切合相的行准（1）已知甲厂品的等系数X1的概率散布列以下所示：X1 P56780.4a b0.1且 X1的数字希望 EX1 6 ，求 a ，b的值；（2）为剖析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数构成一个样本，数据以下：353385563463475348538343447567用这个样本的频次散布预计整体散布，将频次视为概率，求等级系数X2的数学希望．（3）在（ 1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购置性？说明原因．[ 根源 : ZXXK]注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学希望/产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购置性．【答案】（1）a0.3；（2） 4.8；（3）详看法析.b 0.2【分析】（2）由已知得，样本的频次散布表以下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频次散布预计整体散布，将频次视为概率，可得等级系数X 2的概率散布列以下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1∴ EX2 3 0.3 4 0.2 5 0.260.170.1 8 0.1 4.8 ，即乙厂产品的等级系数的数学希望等于 4.8 ；（3）乙厂的产品更具可购置性，原因以下：∵甲厂产品的等级系数的数学希望等于 6，价钱为 6 元/件，∴其性价比为6 1 ，∵乙厂产品的等级系数的希望等于 4.8，价钱为 4 元/件，∴其性价比为4.861.2，据此，乙厂的产品4更具可购置性 .考点：失散型随机变量的概率散布及其希望．20.（本小题满分 12 分）已知椭圆C：x2y20) 短轴的两个极点与右焦a2b21(ab点的连线构成等边三角形，直线 3x 4 y60 与圆 x2( y b) 2a2相切.（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知过椭圆 C 的左极点 A 的两条直线l1，l2分别交椭圆 C 于M，N两点，且 l1 l 2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（3）在（ 2）的条件下求AMN 面积的最大值.【答案】（1）x2y21；（2）详看法析；（3）16. 425【分析】试题剖析：（1）依据题意列出a，b知足的方程组，进而求解；（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程28m24m)，同理∴ N(,4m24m211i)m1时，kMN5m，lMN: y5m6)过定点 (6,0) ，24(m2(x4( m1)1)55ii)m1时l MN: x 6，过点(6,0) ，55综上所述，∴ l MN过定点 (6,0) ；5（3）由（ 2）知SAMN24m4m8m3m24m214m417m245 m 48 m 1m81119 ，令t m 1 时取等号，4(m)29 4 m2且 mm m1mmm∴ S 16时，当 m1取等号，即Smax16 . 2525考点：1.椭圆的标准方程及其性质； 2.直线与椭圆的地点关系； 3.椭圆的最值问题．【方法点睛】求解范围问题的常有求法（1）利用鉴别式来结构不等关系，进而确立参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这种问题的中心是在两个参数之间成立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系成立不等式，进而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确立参数的取值范围．21.（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) a(x 1)(e x a) (常数a R 且 a0).（1）证明：当a0 时，函数f (x)有且只有一个极值点；[（2）若函数f (x)存在两个极值点x1，x2，证明：0 f (x1)42且 0 f ( x2 )42 .e e【答案】（1）详看法析；（2）详看法析 .【分析】( ,0) 不存在极值点；②当x 0 时，由h '( x)a(x 1)e x0 ，故 h(x) 在[0,) 上单一递加，∵ h(0) a 20 ，h(a) a(a e a a) a2 (e a1) 0 ，∴ h(x) f '( x) 在[0,) 有且只有一个零点，又∵ f '( x) 的零点左边， f '( x) 0 ，在 f '( x) 的零点右边， f '(x)0 ，[根源:]∴函数 f ( x) 在[0,) 有且只有一个极值点，综上所述，当 a 0 时，函数f ( x)在( ,) 内有且只有一个极值点；（2）∵为函数 f ( x) 存在两个极值点x1， x2（不如设 x1x2），∴ x1， x2是 h(x) f '( x) 的两个零点，且由（1）知，必有a0 ，令 h '( x) a( x 1)e x0 得x 1 ；令h'( x)a( x 1)e x0 得x 1 ；令 h '( x) a( x 1)e x0 得x 1 ，∴h( x) f '( x) 在 ( , 1] 单一递加，在 [ 1,) 单一递减，又∵ h(0) f '(0)a20 ，∴必有 x1 1 x20 ，令 f '(t) a(te t a) 0 ，解得 a te t，又∵ f (x1)e2 x1 x1 ( x11)20，∴ 0 f (x1)42，e当 1 t 0 时，∵t210，2t 10 ，e2 t0 ，∴ g '(t ) 0，则 g(t ) 在 ( 1,0) ( 1,0)单一递减，∵1x20 ，∴ 0 g (0)g( x2 ) f ( x2 ) g ( 1)42，4242e综上可知， 0 f ( x1)且 0 f ( x2 )．考点： 1.导数的综合运用； 2.分类议论的数学思想．【思路点睛】 1．证明不等式问题可经过作差或作商结构函数，而后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分别变量；（2）运用最值； 3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归纳为极值点和单一区间的议论．请考生在第 22、23、24 题中随意选一题作答。
河北省石家庄二中高三上学期9月月考数学(理科)试卷有答案
A B=（．1+∞（﹣，）．已知4a m =（，），2m b ==（，﹣222a b a b +=+，则m =tan 5αβ+=（），f （，那么4tan α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是4,+∞）（）．的面积为3 y=故g x '（）在0+∞（，）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有1,2α∈（） 当0,x α∈（）时，0g x '（）＜；当x α∈+∞（，）时，0g x '（）＞； 所以g x （）在0+∞（，）上的最小值为g α（）． 又由0gα'=（），可得e 2αα=+所以12,3g αα=+∈（）（） 由于①式等价于k g α＜（），故整数k 的最大值为2．河北省石家庄二中2017届高三上学期9月月考数学（理科）试卷解析一、选择题1．【考点】并集及其运算。
【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案。
【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）。
故选：C．2．【考点】函数单调性的判断与证明。
【分析】先看f（x）的定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）是相等还是互为相反数。
【解答】解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称。
因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x），所以f（x）是奇函数。
故选B．3．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值。
【分析】求出函数的导函数，令导数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出函数的极值及端点值，在其中选出最大值。
【解答】解：f′（x）=xe x+1（x+2）令f′（x）=0得x=﹣2或x=0当f′（x）＞0时，x＜﹣2或x＞0；当f′（x）＜0时，﹣2＜x＜0当x=﹣2时f（﹣2）=；当x=0时，f（0）=0；当x=1时，f（1）=e2所以函数的最大值为e2故选C4．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
河北省衡水中学2017届高三9月摸底联考理数试题解析2
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ） A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 【答案】A. 【解析】试题分析：∵A B A =I ，∴A B ⊆，故只有A 符合题意，故选A. 考点：集合的关系及其运算. 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[来源om] 【答案】D.考点：复数的概念及其运算.3.已知平面向量a r ，b r 满足()5a a b ⋅+=r r r ，且||2a =r ，||1b =r，则向量a r 与b r 夹角的余弦值为（ ） A.23 B.23- C.21 D.21-【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，215421cos ,5cos ,2a ab a b a b +⋅=⇒+⋅⋅<>=⇒<>=r r r r r r r ，故选C.考点：平面向量数量积.4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B.考点：程序框图.5.已知数列{}n a 中，11=a ，121()n n a a n N *+=+∈，n S 为其前n 项和，则5S 的值为（ ） A.57 B.61 C.62 D.63 【答案】A. 【解析】试题分析：∵112112(1)n n n n a a a a ++=+⇒+=+，∴{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，∴1221nnn n a a +=⇒=-，∴12(21)2221n n n S n n +-=-=---，∴652757S =-=，故选A. 考点：数列的通项公式.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A.32π B.3π C.92π D.916π【答案】D. 【解析】试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体，∴211216243239V ππ=⋅⋅⋅⋅=，故选D.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（ ）A.向右平移3π个单位B.向右平移6π个单位C.向左平移12π个单位D.向右平移12π个单位【答案】C. 【解析】考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A.1B.1.5C.0.75D.1.75 【答案】D. 【解析】试题分析：如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为112272222224S =⋅⋅-⋅⋅=，故选D.考点：线性规划.9.焦点在x 轴上的椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b ，则椭圆的离心率为（ ） A.41B.31 C.21 D.32 【答案】C. 【解析】考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换10.在四面体S ABC -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A.π68 B.π6 C.π24 D.π6 【答案】B. 【解析】考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球.【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.11.已知函数()52log1,(1)()(2)2,(1)x xf xx x⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜，则关于x的方程()(),f x a a R=∈实根个数不可能为（）A.2B.3C.4D.5 【答案】D.【解析】考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．12.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πϕϕ=+≤＞的部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数【答案】B. 【解析】考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】根据sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω；2.求ϕ的值时最好选用最值点求：峰点：22x k πωϕπ+=+，谷点：22x k πωϕπ+=-+，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与x 轴的交点)：2x k ωϕπ+=；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：2x k ωϕππ+=+(以上k Z ∈)．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为_______. 【答案】2. 【解析】试题分析：由二项式定理可知4(1)x +中，14r rr T C x +=，令2r =，可知2x 的系数为246C =，令3r =，可知3x 的系数为344C =，故41(1)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为642-=，故填：2.考点：二项式定理.14.已知抛物线22(0)y px p =>上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =_______.【答案】14. 【解析】试题分析：由题意得，2284152m pp p m ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=±+=⎩⎪⎩，又∵(1,0)A -，∴22AM m K ==±，渐近线方程为y ax =±，∴1124a a =⇒=，故填：14.学科网考点：二项式定理.15.如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=o ，C 点的仰角45CAB ∠=o 以及75MAC ∠=o ，C 点测得60MCA ∠=o ，已知山高100BC =m ，则山高MN =_______m.【答案】150.考点：正余弦定理解三角形.【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________. 【答案】1[,)21e +∞-. 【解析】考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想.【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）；（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9）【答案】（1）10450.5,110500.99,1120n n n n a n -+≤≤⎧=⎨⨯≤≤⎩；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解；（2）根据题意求得20S 的值，即可得出结论.试题解析：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，[来源:学科网ZXXK][来源:学|科|网Z|X|X|K]∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.6320S ≈万，由204920S <，故到2035年不需要调整政策．考点：等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和．18.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面ABCD I 平面ABPE AB =，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且//AE BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，在面ABCD 内是否存在点N ，使得MN ⊥平面ABCD ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；[来源:]（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）2.3【解析】试题分析：（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，证明MN⊥平面ABCD，从而MN 即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，则MN⊥平面ABCD，∵M为PD中点，N为BD中点，∴MN为PDBMN PB，∆的中位线，∴//又∵平面ABCD⊥平面ABPE，平面ABCD I平面ABPE AB=，BC⊂平面ABCD，⊥，BC AB考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的性质；3.二面角的求解．19.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售X≥为标准A，35价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准（1）已知甲厂产品的等级系数X的概率分布列如下所示：1且1X 的数字期望16EX =，求a ，b 的值；（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望．（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．[来源:学科网ZXXK]注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．【答案】（1）0.30.2a b =⎧⎨=⎩；（2）4.8；（3）详见解析. 【解析】（2）由已知得，样本的频率分布表如下： 2X 3 45 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下： 2X 3 45 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1∴230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为616=，∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.8 1.24=，据此，乙厂的产品更具可购买性.考点：离散型随机变量的概率分布及其期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线0643=++y x 与圆222)(a b y x =-+相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线1l ，2l 分别交椭圆C 于M ，N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求AMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析；（3）1625. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出a ，b 满足的方程组，从而求解；（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程同理∴222284(,)4141m m N m m --++， i) 1m ≠±时，254(1)MN m k m =-， 256:()4(1)5MN m l y x m =+-过定点6(,0)5-， ii) 1m =±时6:5MN l x =-，过点6(,0)5-， 综上所述，∴MN l 过定点6(,0)5-； （3）由（2）知32242244854414174AMN m m m m S m m m m ∆+=+=++++21881194()941m mm m m m m m +==+++++，令121t m m m=+≥=±且时取等号， ∴1625S ∆≤时，当1m =±取等号，即max 1625S ∆=. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆的最值问题． 【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数))(1()(a e x a x f x --=(常数R a ∈且0≠a ).（1）证明：当0a >时，函数)(x f 有且只有一个极值点；[（2）若函数)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1240()f x e <<且2240()f x e <<. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】 (,0)-∞不存在极值点；②当0x ≥时，由'()(1)0x h x a x e =+>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增，∵2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，∴()'()h x f x =在[0,)+∞有且只有一个零点，又∵'()f x 的零点左侧，'()0f x <，在'()f x 的零点右侧，'()0f x >，[来源:学科网] ∴函数()f x 在[0,)+∞有且只有一个极值点，综上所述，当0a >时，函数()f x 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点；（2）∵为函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （不妨设12x x <），∴1x ，2x 是()'()h x f x =的两个零点，且由（1）知，必有0a <，令'()(1)0x h x a x e =+=得1x =-；令'()(1)0x h x a x e =+>得1x <-；令'()(1)0x h x a x e =+<得1x >-，∴()'()h x f x =在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又∵2(0)'(0)0h f a ==-<，∴必有1210x x <-<<，令'()()0t f t a te a =-=，解得t a te =，又∵122111()(1)0x f x e x x =-->，∴1240()f x e <<， 当10t -<<时，∵210t -<，210t -<，20t e >，∴'()0g t <，则()g t 在(1,0)-(1,0)-单调递减，∵210x -<<，∴22240(0)()()(1)g g x f x g e =<=<-=， 综上可知，1240()f x e <<且2240()f x e <<．考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试理数(原卷版)
2016～2017学年度上学期高三年级一调考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2log 1P x x =<-，{}1Q x x =<，则P Q =（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()0,1 D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()2311i z +=-，则z 为（ ）A ．12B C D 3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．8B ．12C ．18D ．244.已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给 出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨⌝． 则其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45.由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4C ．163D ．66.函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．1388.定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞9.若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ） AB ．2 C．D ．810.已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范 围为（ ）A．12⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎫⎪⎪⎭ D．12⎫⎪⎪⎭11.设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的 取值范围为（ ） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-12.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．14.函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．15.已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________． 16.定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，()f x x '<，则不等式()()112f x f x x +≥-+的解集为_________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值．18.（本小题满分12分） 函数21()ln 22f x x ax x =--．（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1,a ∀∈-+∞，()1,e x ∃∈，有()0f x b -<，求实数b 的取值范围．19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4sin b A =．（1）求sin B 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值．20.（本小题满分12分）已知函数()242ln f x ax bx a x =-+（,a b ∈R ）． （1）若函数()y f x =存在极大值和极小值，求ba的取值范围； （2）设m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若存在实数2e 1,2e b a ⎫+∈⎪⎭，使得1m n -=，求a的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()ex xg x =． （1）记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间()1,2内的零点个数并说明理由；（2）记()F x 在()1,2内的零点为0x ，()()(){}min ,m x f x g x =，若()m x n =（n ∈R ）在()1,+∞内 有两个不等实根1x ，2x （12x x <），判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．（1）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（2）设50DBC ∠=︒，30ODC ∠=︒，求OEC ∠的大小．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为10,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=． （1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线l '与圆C 相切，求h ．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-． （1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值； （2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．：。
河北省沧州市第一中学2017-2018学年高三10月月考数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|280}M x x x =--≤，集合{|lg 0}N x x =≥，则MN =（ ）A ．{|24}x x -≤≤B ．{|1}x x ≥C ．{|14}x x ≤≤D ．{|2}x x ≥- 2.复数z 满足(2)3i z i +=-，则||z 等于（ ）A ．1B ．2 D ．43.若直线1:10l ax y +-=与2:3(2)10l x a y +++=平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-3 C ．0或12-D ．1或-3 4.设0.32a =，2log 1.5b =，ln 0.7c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. b a c >> D ．b c a >> 5.平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +等于（ ）A ．．126.若直线10(0)ax by a b ++=>、过圆228210x y x y ++++=的圆心，则14a b+的最小值为（ ）A ． 8B ．12 C.16 D ．207.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．2 C. 13 D ．38.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则n S 取最大值时n 的值为（ ）A ． 7B ．8 C. 9 D ．109.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．233 B ．236C.113 D ．10310.已知函数1()sin()62f x x πω=-+，x R ∈，且1()2f α=-，1()2f β=.若||αβ-的最小值为34π，则ω的值为（ ）A ． 43B ．23 C. 1 D ．8311.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，PA PD ==P ABCD -外接球的表面积为（ ） A ．10π B ．4π C. 16π D ．8π12.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2016)(2016)9(3)0x f x ++--<的解集为（ ）A ．(2019,2016)--B ．(2019,2016)- C. (2019,)-+∞ D ．(,2019)-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若曲线22141x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是____________. 14.已知变量,x y 满足约束条件Ω：21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若Ω表示的区域面积为4，则3z x y =-的最大值为___________.15.已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a =__________. 16.已知ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，外接圆半径为1，且满足tan 2tan A c bB b-=，则ABC ∆面积的最大值为___________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知圆C 经过点(2,0)A ，与直线2x y +=相切，且圆心C 在直线210x y +-=上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(0,1)，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知b c =3A C π+=. （1）求cos sin C B +的值； （2）若b =ABC ∆的面积.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*21()n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设131log n n b a =，n c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点.（1）求证：EH ⊥平面ABCD ；（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12F F ，，过右焦点2F 的直线l 与C 相交于P Q ，两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的. （1）求C 的离心率；（2）设l 的斜率为1，在C 上是否存在一点M ，使得2OM OP OQ =+？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 22.已知函数21()ln (1)2g x a x x b x =++-. （1）若()g x 在点(1,(1))g 处的切线方程为8230x y --=，求,a b 的值；（2）若1b a =+，12x x ，是函数()g x 的两个极值点，求证：12()()40g x g x ++<.2016-2017年度高三年级学段检测数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CBAAB 6-10:CDCDB 11、12：DA 二、填空题13. 33(4,)(,1)22k ∈--- 14. 7 15.12-三、解答题18.解：（1）∵A B C π++=，3A C π+=，∴2B C =.由正弦定理得sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin 3b B C C C C c C C C =====，∴cos 3C =.∵(0,)C π∈，∴sin C =，∴sin sin 22sin cos 3B C C C ===，∴cos sin 3C B +=. （2）21cos cos 22cos 13B C C ==-=-，∴sin sin()9A B C =+=，∵b c =b =92c =，∴1sin 24S bc A ==. 19.解：（1）1n =时，113a =，2n ≥时，1121n n S a --=-，∴11(2)3n n a a n -=≥，∴13n n a =. （2）1n b n =，n c =，∴1n T =20.解：（1）证明：因为//AB EF ，EF EA ⊥，所以AB EA ⊥. 因为AB AD ⊥，且EAAD A =，所以AB ⊥平面AED .因为EH ⊂平面AED ，所以AB EH ⊥.因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EH AD ⊥. 又ABAD A =，所以EH ⊥平面ABCD .（2）因为AD OH HE ，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H xyz -，则(1,0,0)A (1,0,0)D -，(0,1,1)F ，(0,1,0)O ，(1,2,0)C -.设点(,2,0)(02)P m m <≤，于是有(1,1,1)DF =，(1,2,0)DP m =+.设平面PDF 的法向量(,,)n x y z =，则0n DF n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0(1)20x y z m x y ++=⎧⎨++=⎩.令2x =，得(1)y m =-+，1z m =-，所以(2,1,1)n m m =---.平面BDF 的法向量(1,1,0)OA =-，所以||cos3||||OA n OA n π=，解得1m =-.所以点P 的坐标为(1,2,0)-，与点C 的坐标相同，所以2BP BC ==.21.解：（1）∵4a =，即a =，∴e ==. （2）设椭圆方程222332x y c +=，直线方程为y x c =-，代入得2234602x cx c -+=， 设1122(,)(,)P x y Q x y ，，则1232x x c +=，21238x x c =，设00(,)M x y ，则22200332x y c +=，由2OM OP OQ =+得01201222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入得22212123(2)3(2)2x x y y c +++=，即212123(3)02c x x y y ++=，又∵1212121233()()0x x y y x x x c x c +=+--=， 212123(3)02c x x y y ++=无解，所以不存在点M ，使得2OM OP OQ =+. 22.解：（1）根据题意可求得切点5(1,)2，由题意可得，'()(1)ag x x b x=++-，∴5(1)2'(1)4g g ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即15122114b a b ⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩，解得1a =，1b =-. （2）证明：∵1b a =+，∴21()ln 2g x a x x ax =+-，则'()ag x x a x=+-. 根据题意可得20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根12x x ，，即202400aa a a ⎧>⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得4a >，且12x x a +=，12x x a =. ∴2221212121211()()ln()()()ln 22g x g x a x x x x a x x a a a a +=++-+=--. 令21()ln (4)2f x x x x x x =-->，则'()ln 11ln f x x x x x =+--=-， 令()ln h x x x =-，则当4x >时，1'()10h x x=-<，∴()h x 在(4,)+∞上为减函数，即()(4)ln 440h x h <=-<，'()0f x <，∴()f x 在(4,)+∞上为减函数，即()(4)8ln 212f x f <=-， ∴12()()8ln 212g x g x +<-，又∵28ln 21248ln 288(ln 21)8ln e -+=-=-=，2ln 0e<， ∴28ln0e <，即28ln 1240e-+<， ∴12()()40g x g x ++<.。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三摸底联考(全国卷)数学(理)试题
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且AB A =，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．32 B ． 32- C ．12 D ．12- 4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n NS *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．57B ．61C ．62D ．63 6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B ．32 C ．34 D ．749. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．2310. 在四面体S ABC -中，,2,2AB BC AB BC SA SC ⊥=====，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ．86π B ．6π C ．24π D ．6π11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：1X5 67 8 P0.4ab0.1且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切.（1）求椭圆C 的方程;（2）已知椭圆C 的左顶点A 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点, 且12l l ⊥,求证: 直线MN 过定点, 并求出定点坐标；(3) 在(2) 的条件下求AMN ∆面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()()()1x f x a x e a =--(常数0a R a ∈≠且). （1）证明: 当0a >时, 函数()f x 有且只有一个极值点; （2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:()()12224400f x f x e e <<<<且. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,,,A B C D 四点在同一个圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ,点F 在BA 的延长线上. （1）若11,32EC ED EB EA ==,求DCAB的值; （2）若2EF FA FB =,证明:EF CD .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为:312(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. （1）解不等式()5g x <;（2）若对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立, 求实数a 的取值范围.河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题参考答案一、选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.ADCBA DCDCB DB 二、填空题：每题5分，共20分.13. 2 14. 1415. 150 16. 1e 21k -≥三、解答题17.本题满分12分解：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩ （2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策． 18．本题满分12分解：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PB MN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面ABCD 平面ABPE =AB ,⊂BC 平面ABCD ,AB BC ⊥⊥∴BC 平面ABPEPB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD （2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==AD n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴DE ，)1,2,2(-=DP ,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为3219．本题满分12分解：（1）16,50.46780.16EX a b =⨯+++⨯= ，即67 3.2a b += ①又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+= ② 由① ② 得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：2X34 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：2X34 5 6 7 8 p0.30.20.20.10.10.1所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。
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沧州市普通高中2016年9月高三教学质量监测
数学（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合{}101M =-，，，{}2N x x x =≤，则M N =（ ）
A ． {}0
B ．{}01，
C ．{}11-，
D ．{}101-，， 2.设复数21z i
=--（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则i z ⋅在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3.已知向量a b ，满足()1232a b a b ==-=，，，，则2a b +=（ ）
A ．． D
4.已知点()a b ，在圆()222:0C x y r r +=≠的外部，则2ax by r +=与圆C 的位置关系是（ ）
A ．相切
B ．相离
C ．内含
D ．相交
5.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参 加郊游的情况共有（ ）
A ．2种
B ．10种
C ．12种
D ．14种
6.下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）
A ．43
B ．23
C ．1
D ．13
7.函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象的一个对称中心的坐标为（ ）
A ．012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
B ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
C ．04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
D ．203π⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 8.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）
A ．1
B ．43
C ．54
D ．2 9.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．19-
B
C ．
D ．19
10.在[]22-，上随机地取两个实数a ，b ，则事件“直线1x y +=与圆()()22
2x a y b -+-=相交” 发生的概率为（ ）
A ．1116
B ．916
C ．34
D ．14
11.已知A 、B 是双曲线()2
222:100y x C a b a b
-=>>，的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足 2PA PB AB +≤，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．12e <≤
B ．2e ≥
C ． 1e <≤
D ．e ≥
12.已知函数()y f x =的定义域为()0+∞，，当1x >时，()0f x >，对任意的()0x y ∈+∞，，， ()()()f x f y f x y +=⋅成立，若数列{}n a 满足()11a f =，且()()()*121N n n f a f a n +=+∈，则2017a 的值为 （ ）
A ．20141a -
B ．20151a -
C ．20161a -
D ．20171a -
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.在ABC △中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，且cos cos 2B b C a c
=-+，则B ∠=________． 14.已知m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，有下列四个命题：①若m α⊥，
m β⊥，则αβ∥；②若αγβγ∥，∥，则αβ∥；③若m n m n αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥；④若m n ， 是异面直线，m n n αβα⊂⊂，，∥，则αβ∥．其中正确的命题有_______________．（填写所有正确 命题的编号）
15.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在
乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个 人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_______________．
16.已知常数a b ∈R ，，且不等式ln 0x a x a b -+-<解集为空集，则ab 的最大值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．且10523202n n S S a a =+=，．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令()22121n n n n b a a ++=
，数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：对任意n ∈*N ，都有316416
n T ≤<．
18.（本小题满分12分）
中秋节吃月饼是我国的传统习俗，设一盘中盛有7块月饼，其中五仁月饼2块，莲蓉月饼3块，豆沙月 饼2块，这三种月饼的形状大小完全相同，从中任取3块．
（Ⅰ）求这三种月饼各取到1块的概率；
（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙月饼的个数，求X 的分布列，数学期望与方差．
19.（本小题12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒
，AB =，1BC =，13AA =，BD AC ⊥，
M 为线段1CC 上一点． （Ⅰ）求CM 的值，使得AM ⊥平面1A BD ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角B AM C --的正切值．
20.（本小题12分）
已知动圆P （P
为圆心）经过点)0N ，
，并且与圆(22:16M x y ++=相切．
（Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）经过点()02A ，的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且35
AC AD =
，求直线l 的方程．
21.（本小题满分12分）
函数()x f x e =，()()ln 1g x x m =++，（e 是自然对数的底数， 2.71828e ≈）．
（Ⅰ）求函数()y f x =的图象在点()()00P f ，的切线l 的方程；
（Ⅱ）若对任意()x m ∈-+∞，，恒有()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，过圆内接四边形ABCD 的顶点C 引切线MN AB ，为圆的直径．
（Ⅰ）若30BCM ∠=︒，求ABC ∠；
（Ⅱ）已知E 为线段AB 上一点，满足3AE BE =，CE AB ⊥，求证：:2:3BC AE =． O N
M
E D
C
B A
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩
（t 为参数）． （Ⅰ）以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（与平面直角坐标系的单位长度相同），当 60α︒＝时，求直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知点()10P ，，直线l 与椭圆2
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x y +=相交于点A 、B ，求PA PB ⋅的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x x a =-，()()()2g x f x f x =++． （Ⅰ）当1a =-时，解不等式：()421f x x ≥--； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[]02，，求证：()2g x ≥．
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