双曲线及其标准方程(1)学案
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案含解析
2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积． 解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0， 得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |， 即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2， 得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。
学案1：3.2.1 双曲线及其标准方程
3.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2.通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.情境导入做下面一个实验．(1)取一条拉链，拉开一部分．(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？1．双曲线的定义文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.符号语言||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)焦点定点焦距__________的距离121212变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？2．双曲线的标准方程1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( ) (2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b ．( ) (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b ． ( )2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．42C ．33D ．433．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1(x ≤－4)B ．x 29－y 216＝1(x ≤－3)C ．x 216－y 29＝1(x ≥4)D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)4．已知方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．合作探究类型1 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． 规律方法1．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，注意标明条件mn ＜0. 跟踪训练1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)焦距为26，经过点(－5,2)，且焦点在x 轴上； (3)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A (－5,6)．类型2 双曲线定义的应用 [探究问题]1．双曲线的定义中为什么要加条件“常数2a 小于|F 1F 2|”？2．双曲线定义中为什么“距离的差”要加“绝对值”？例2 (1)△ABC 中，A (－5,0)，B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin B sin C ＝( )A ．35B ．±35C ．－45D ．±45(2)已知F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．2．[变条件]若本例(2)条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．3．[变条件]本例(2)中，将条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改为“∠F 1PF 2＝60°”，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 规律方法求双曲线中的焦点△PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积．类型3 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．规律方法求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 跟踪训练2.如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．课堂小结1．双曲线与椭圆的比较曲线 椭圆 双曲线 定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (|F 1F 2|＝2c,2a ＞2c )||PF 1|－|PF 2||＝2a (|F 1F 2|＝2c,2a ＜2c )标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形特征 封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续 根据标准方程确定a ，b 的方法 以大小分a ，b (如x 24＋y 29＝1中，9＞4，则,a 2＝9，b 2＝4) 以正负分a ，b (如x 29－y 24＝1中，a 2＝9，b 2＝4) a ，b ，c 的 关系a 2＝b 2＋c 2(a 最大)a 2＋b 2＝c 2(c 最大)2.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解． 课堂检测1．动点P 到点M (1,0)的距离与点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线D ．一条射线2．已知m ，n ∈R ，则“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．5．已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．参考答案新知初探1．差的绝对值F1，F2 两焦点间思考：[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．初试身手1．[提示] (1)× (2)× (3)× 2．【答案】D【解析】c 2＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3. 3．【答案】D4．【答案】(－∞，－2)【解析】由双曲线标准方程的特点知2＋m ＜0且－(m ＋1)＞0，解得m ＜－2.即m 的取值范围为(－∞，－2)． 合作探究类型1 求双曲线的标准方程例1 解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20. ① ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b 2＝1.②由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. 法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0. ∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.跟踪训练1．解：(1)依题意，得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，c ＝22，所以b 2＝c 2－a 2＝5. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(2)因为焦点在x 轴上，且c ＝6，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 26－a 2＝1,0＜a 2＜6. 又因为过点(－5,2)，所以25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(3)法一：由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5，6)在双曲线上， 所以2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8， 则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.法二：因为焦点在y 轴上，所以双曲线方程可以设为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝36，36a 2－25b 2＝1，解得a 2＝16，b 2＝20.所以所求的双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.类型2 双曲线定义的应用 [探究问题]1．[提示] 把常数记为2a ，只有当2a ＜|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，其轨迹不存在．若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．2． [提示] 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1，F 2分别表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． 例2 (1)【答案】D【解析】在△ABC 中，sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R ＝102R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)．∴sin A －sin B sin C ＝|BC |－|AC |2R 102R ＝|BC |－|AC |10.又∵|BC |－|AC |＝±8， ∴sin A －sin B sin C ＝±810＝±45.](2)解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理， 得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.类型3 与双曲线有关的轨迹问题例3 解：以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )，∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．跟踪训练2. 解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜10＝|F 1F 2|. ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.故动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 课堂检测 1．【答案】D【解析】由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线． 2．【答案】C【解析】方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，必有mn ＜0；当mn ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，所以“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的充要条件．3．【答案】±6【解析】若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，所以k 2＋k ＝32，解得k ＝6； 若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k 2＝1，所以－k ＋⎝⎛⎭⎫－k 2＝32， 即k ＝－6.综上所述，k 的值为6或－6.4．【答案】4【解析】在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.5．解：因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)， 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5， 所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.。
高中数学《双曲线及其标准方程》学案 新人教版选修2-1
2.3.1双曲线及其标准方程【课标要求】了解双曲线的定义和标准方程。
【学习目标】1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。
2、掌握双曲线的标准方程。
3、会例一双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题。
【自主学习】1、双曲线是怎样作出来的（作图）？双曲线的定义是什么？几何画板【百度】/ShowSoftDown.asp?UrlID=1&SoftID=101652、若将定义中的2a<21F F 改为等于或大于，点的轨迹分别是什么？3、双曲线的标准方程是什么？怎样判断焦点的位置？4、求双曲线常用方法有哪些？【典型例题】 例1．（1） 已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线上一点P 到 点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. （2））的双曲线。
，有公共焦点，且过点（求与双曲线12214522=-yx例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．【百度文库】/view/52f58125af45b307e87197a7.html方程。
的轨迹求顶点，且满足边长为中，在例C C B A AB ABC ,sin sin 2sin 28.3=-∆【拓展提高】： 设双曲线在双曲线上。
是其两个焦点，点M F F yx2122,,194=-的面积。
时，求）当（的面积。
时，求）当（212121*********MF F MF F MF F MF F ∆=∠∆=∠【课堂练习】表示双曲线”的是方程“则若133"3",.122=+-->∈k yk xk R k （ ）A 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 充要条件 D 既不充分又不必要条件 的焦距为双曲线1210.222=-yx（ ）A 23B 24 Ｃ 33 D 34到坐标原点的距离是点时，的纵坐标是，当点满足动点已知点P P PF PF P F F 212),0,2(),0,2(.32121=--A26 B23 C 3 D 2===-212221121625,.4PF PF yxF F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点A 2B 22C 4或22D 2或22__________60,13.521212122的面积等于，则是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线PF F PF F P F F yx ∆=∠=-6.已知双曲线 ，A 、B 为过左焦点F1的直线与双曲线左支的两个交点，|AB|=9，F2为右焦点，则△AF2B 的周长为＿＿＿.22194xy-=。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
学案：双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程 日期：学习目标：了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．重点难点：双曲线的定义、标准方程；灵活运用定义和待定系数法求双曲线的标准方程． 学习过程：一、自学课本，复习椭圆定义并解决课后练习；二、交流探究：1、请写出双曲线的定义并指出定义中的关键词；2、若去掉定义中的“绝对值”，则动点的轨迹又将如何？将定义中的条件“大于零且小于12||F F ”变成“等于12||F F ” 呢？若变成“大于12||F F ” 呢？3、请写出双曲线的两种标准方程，并根据标准方程的推导过程说明a 、b 、c 间的关系；4、请用一个方程来统一表示椭圆和双曲线，并说明焦点的位置与方程联系。
三、学以致用：1、已知双曲线的两个焦点分别为12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上一点P 到1F ，2F 的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程．[变式]将条件中绝对值去掉，求双曲线的标准方程．2、判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标。
①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y3、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）3,4a b ==，焦点在x 轴上； （2）a =(2,5)A -，焦点在y 轴上．4、已知,A B 两地相距800m ，一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处迟2s ，设声速为340/m s ．（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程．5、求与椭圆221255x y +=共焦点且过点的双曲线的方程。
6、求与双曲线221164x y -=共焦点，且过点2)的双曲线的方程。
四、概括升华：五、温故知新：习题3-3焦点在x 轴上的双曲线的标准方程：22221(0,0)x y a b a b-=>>， 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程：22221(0,0)y x a b a b-=>>其中222b c a =- 思考：怎样推导出焦点在y 轴上的双曲线标准方程？说明：（1）双曲线的标准方程是与选择的坐标系有关的，当且仅当选择对称轴为坐标轴时有其标准形式．（2）两个标准方程的区别：2x 与2y 的系数符号决定了焦点所在的坐标轴，当2x 系数为正时焦点在x 轴上，当2y 的系数为正时焦点在y 轴上，而与分母的大小无关．（3）以坐标轴为对称轴的双曲线可用方程221(0)ax by ab +=<表示．1、解 由题意，可设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>． 因为 28,5a c ==，所以222224,549a b c a ==-=-= 因而所求双曲线的标准方程为22116x y -=． 2、解：①是双曲线：1F，2(F； ②是双曲线：12(2,0),(2,0)F F -；③是双曲线：12(0,F F ； ④是双曲线：12(0,F F 。
3.2.1双曲线及其标准方程(教案)
3.2.1双曲线及其标准方程一．教学目标1.能直观认识双曲线的几何特征，会识别双曲线的定义和相关概念，能从椭圆，双曲线定义的形成中感受它们的内在联系与区别，能初步应用双曲线的定义解决一些简单的问题.2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据双曲线的定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程，能识别焦点在不同坐标上的双曲线的标准方程，能说出标准方程中特征量的关系，能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些关联问题.3.通过类比学习双曲线定义和标准方程的过程，提升学生直观想象和运算求解的能力. 二．教学重难点双曲线的几何特征，双曲线的定义及标准方程三．教学过程1.复习回顾椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？怎么推导而来？设计意图：对旧知识的复习巩固为引入新知做好铺垫.2.探究定义提出新知:在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？可利用什么工具来展示？实验活动要求：取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1，F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出什么样的曲线？大家开始分组合作，尝试实验.设计意图：实际操作，学生并不能准确的画出图象，但可强化学生对双曲线几何特征的认识|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a上面两条合起来叫做双曲线||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）设计意图：多媒体展示，引导学生抽象出双曲线的定义定义探究1：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹叫做双曲线. ||MF 1|-|MF 2||=2a , F 1，F 2叫双曲线的焦点， |F 1F 2| =2c (2c ＞0)叫做焦距.问：类比椭圆的定义此定义是否可以为双曲线定义.常数即2a 的分析（1）2a ＜2c （图一） 双曲线图一 图二 图三(2)2a ＝2c （图二）两条射线（3）2a ＞2c 不表示任何图形（4）2a ＝0（图三）F 1F 2的中垂线定义探究2：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为非零常数（小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做双曲线.||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <2c ), F 1，F 2叫双曲线的焦点， |F 1F 2| =2c (2c ＞0)叫做焦距.设计意图：通过强化双曲线概念的建立过程，提高学生思维的严谨性与语言的表达能力，同时让学生获得焦点，焦距的概念.3.推导方程过焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴(如图所示)建立直角坐标系. 解：根据题目可设),(y x M ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，由a MF MF 2||||21±=-，得a y c x y c x 2)()(2222±=+--++a y c x y c x 2)()(2222±+-=++⇒22222224)(4)()(a y c x a y c x y c x ++-±+-=++⇒222)(y c x a a cx +-±=-⇒])[()(22222y c x a a cx +-=-⇒)()(22222222a c a y a x a c -=--⇒，F1F2F'F'MM'令222b a c =-（0>b ），得222222b a y a x b =-，即12222=-b y a x ． 设计意图：类比椭圆标准方程的推导过程，明确曲线的方程的大致步骤，以此为载体，深化学生对曲线与方程的关系的理解.思考：如果焦点在y 轴上，它的标准方程又是怎样？——把上面方程的x 2和y 2互换即可，即方程为 双曲线的标准方程当焦点在x 轴上，中心在原点时，方程形式：12222=-by a x 当焦点在y 轴上，中心在原点时，方程形式：12222=-bx a y 参数a,b,c 的关系222b a c +=（0,,>c b a ） a MF MF 2||||21±=-（实轴长） c F F 2||21=（焦距） 设计意图：形成和完善双曲线标准方程的概念4.巩固新知例1 一动点到两定点F 1(-3, 3 )、F 2(3 ,3)的距离差为4，则动点轨迹为（ ）A 、双曲线B 、双曲线一支C 、不存在D 、一条射线例2写出以下双曲线的焦点坐标（1）221169x y -=（2）221169y x -=例3已知双曲线两个焦点分别为F 1(-5,0), F 2(5,0),双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.例4如果方程22112x y m m-=--表示的是双曲线，求m 的取值范围 设计意图：进一步巩固双曲线的概念与双曲线的标准方程.5.课堂小结22221(0,0)y x a b a b-=>>设计意图：及时梳理，提炼与升华所学知识.6生活中双曲线（1）建筑（2）天文在1970年以前就已经确定了610颗彗星，其中245颗的轨道是椭圆，295颗的轨道是抛物线，还有70颗是沿着双曲线轨道运行.只有沿着椭圆轨道运行的彗星能够在以后回归，其它的均要不停地向宇宙深处飞去（3）定位导航(Time Difference of Arrival)利用声波或电磁波到达两点的时间差来确定点的位置的方法设计意图：双曲线的实际应用，感受数学课堂与实际的联系.7．布置作业（1）教材P121 1，2，3（2）思考：已知有相距8公里的A、B两座城镇；某日B城镇听到了山体滑坡带来的轰鸣声，二十秒后A城镇听到了这次声音，设声速为340米/秒，你作为救援队队长如何及时找到灾情发生地前去救援呢？。
双曲线及其标准方程导学案
双曲线及其标准方程导学案
一、要点阐述
1、双曲线的定义及焦点、焦距、
2、双曲线的标准方程及其特点；求简单的双曲线的标准方程
教学过程：一、自主学习
完成《学海导航》P29的一层练习
二、演示实验：用拉链画双曲线并与讲解，对答案。
根据所学完成下列所学定义M不图形同点标准方程焦点方程
MyF2OF1F2某F1某相a、b、c的关系同焦点位置的判断点
二、课前训练
1、写下列双曲线焦点的坐标。
某2y21（2）y2某21（3）4y29某236（1）42某2y21表示双曲线，则k的范围是2、若
k1k1
某2y23、若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线
ab的离心率是
某2y24、如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴
42的距离是某2y21上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是5.
已知点P在双曲线
169P到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是
_________
三、典型例题
9例1、已知双曲线的焦点在y轴上且双曲线上的两点P1（3，-42），P2（，5）
4求双曲线的标准方程？解：
某2y21有共同的焦点，且过P（15，4）例2、已知双曲线与椭圆，
求双曲
2736线的方程。
解：
例 3.双曲线的中心为原点O，焦点在某轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右
AB、OB成等焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已
知OA、差数列，且BF与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
2.4 双曲线及其标准方程-王后雄学案
2.4 双曲线及其标准方程教材知识检索考点知识清单1．我们把平面内与两个 ①21F F 、的距离的② 等于常数 ③ 的点的轨迹叫做双曲线，这两个④ 叫做双曲线的焦点， ⑤叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程有 ⑥ 种情形．3．焦点在x 轴上，标准方程为 ⑦ ，焦点1F ⑧ 、2F ⑨ ，其中=2c ⑩4．焦点在y 轴上，标准方程为 ，焦点1F2F要点核心解读一、双曲线的定义[实验] 任给两个定点21F F 、以及固定的长度2a >0．设计适当的方法或装置画出到21F F 和的距离之差等于d 的点的轨迹，观察轨迹的形状．[注意] 我们希望点的轨迹是一条曲线，至少应有直线21F F 之外的点P ，在21F PF ∆中应当有<-||||21PF PF |,|21F F 即2a <2c ．故应有a<c ．[方法1] 描点作图：如图2 -4 -1所示，先作满足条件a PF PF 2||||21=-的点P 的轨迹． 设.2||21c F F =先在线段21F F 上找出轨迹上的点A ．由c AF A F 2||||21=+及-||1A F a AF 2||2=可解出,222||2a c ac AF -=-=由此可在21F F 上作出点A ．以2F 为圆心、适当的长度d>0为半径画圆弧，再以1F 为圆心、2a + d 为半径画圆弧，所谓“适当的长度d”，就是要使上述两弧相交，也就是,22c d d a >++即.a c d ->设交点为、1P ,2P 则21P P 、都是轨迹上的点.选择不同的长度d>c-a ，作出轨迹上一系列点．依次连成光滑曲线，即得轨迹的一部分的近似形状．以同样的方法可以画出满足条件aPF PF 2||||12=-的点的轨迹． [方法2] 如图2-4 -2所示，取一条拉链，拉开一部分．在拉链的一边上取定一点,1E 设1E 是另一边上在拉链拉开之前与1E 重合的点，在1E 所在那一边上取点2E 使2E 比1E 更接近拉链头，并且,2||12a E E =用大头针将21E E 、分别固定在画图纸上的点⋅21F F 、将铅笔尖放在拉链张开处P 将拉链绷紧，则-||1PF .2||2a PF =随着拉链的拉开，铅笔尖画出的曲线就是所求轨迹的一部分．同理可以画出满足条件a PF PF 2||||12=-的点的轨迹．观察发现，以上画出来的曲线形状像是初中数学中学过的反比例函数xky =的图象——双曲线． 定义：平面内与两个定点21F F 、的距离的差的绝对值是常数（小于||21F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．[注意] (1)在此定义中“常数要大于O 且小于,|,|21F F 这一限制条件十分重要，不可去掉 (2)如果定义中常数改为等于|,|21F F 此时动点轨迹是以21F F 、为端点的两条射线（包括端点）．(3)如果定义中常数为O ，此时动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线． (4)如果定义中常数改为大于|,|21F F 此时动点轨迹不存在．(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹成为双曲线的一支．(6)设M （x ，y ）为双曲线上的任意一点，若M 点在双曲线右支上，|||||,|||2121MF MF MF MF ->);0(2>=a a 若M 点在双曲线的左支上，则,2|||||,|||221a MF MF MF MF l -=-<因此得,2||||21a MF MF ±=-这是与椭圆不同的地方，二、双曲线的标准方程[注意] (1)双曲线的标准方程是指在“标准”条件下的方程，即焦点在坐标轴上，且中心为原点的双曲线方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里,222a c b -=与椭圆中=2b )0(22>>-b a c a 相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a 、b 大小不确定． (3)焦点21F F 、的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，“焦点跟着正项走”，若2x 项的系数为正，则焦点在x 轴上；若2y 项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)当且仅当双曲线的冲心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．(5)双曲线标准形式的特征是,122=+IIy I x 数数数I 与数Ⅱ异号，因此又可写为122=+ny mx(m ·n<0)这种形式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法．(6)双曲线标准方程中a 、b 、c 之间的关系：在标准方程中，因为a 、b 、c 三个量满足,222b a c += 所以a 、b 、c 恰好构成一个直角三角形的三边且c 为斜边，如图2 -4 -3所示．(7)椭圆与双曲线的定义、标准方程的比较：典例分类剖析考点1双曲线的定义 命题规律1．利用双曲线定义判定方程的曲线类型． 2．利用双曲线定义求曲线方程．3．双曲线定义的逆向运用（即把“双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为常数”作性质来用）．[例1] 说明下列方程各表示什么曲线．;4|)3()3(|)1(2222=+--++y x y x ;5)3()3()2(2222=+--++y x y x .6|)3()3(|)3(2222=+--++y x y x[答案] 令),,(),0,3(),0,3(21y x P F F -则有.6||21=F F∴<=-|,|4||||||)1(2121F F PF PF 方程表示的曲线是双曲线． ∴<=-|,|5||||)2(2121F F PF PF 方程表示的曲线是双曲线的右支．∴==-|,|6||||||)3(2121F F PF PF 方程表示的曲线是x 轴上分别以1F 和 2F 为端点，指向x 轴的负半轴和正半轴的两条射线．[误区警示] 对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于|,|21F F 若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在.母题迁移 1．(1)已知平面上定点21F F 、及动点M ，命题甲：a a MF MF <=-2||||||21为常数），命题乙：M 点轨迹是以21F F 、为焦点的双曲线，则甲是乙的( )．A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)已知,2||||),5,0()5,0(a PB PA B A =--、当3=a 或5时，P 点的轨迹为( )． A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线[例2] P 是双曲线13664|22=-y x 上一点，21F F 、是双曲线的两个焦点，且,17||1=PF 求||2PF 的值． [解析] 利用双曲线的定义求解．[答案] 在双曲线1366422=-y x 中，a=8，b=6．故c=10． 由P 是双曲线上一点，得.16||||||21=-PF PF.33||/1||22=⋅=∴PF k PF又.33||,2||22==-≥PF rr a c PF[警示] 本题容易忽略a c PF -≥||2这一条件，而得出错误的结论.33||1||22==PF PF 或[探究] 在双曲线中，为什么有a c PF -≥||2呢？事实上，设21F F 分别为双曲线的左、右焦点，点P 为双曲线右支上的点，则由双曲线定义可知,2||||21a PF PF =-即 .2||||21a PF PF +=又由三角形两边之和大于第三边可知，=>+||||||2121F F PF PF c 2（当且仅当P 在线段21F F 上时等号成立），++∴a PF 2||2.||[2]|22a c PF ch PF J -≥≥母题迁移 2．已知双曲线.1453622=-y x (1)求此双曲线的左、右焦点21,F F 的坐标；(2)如果此双曲线上一点P 与焦点1F 的距离等于16，求点P 与焦点2F 的距离．[例3] 21F F 、是双曲线15422=-y x 的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，，为21F PF ∆的内心，PI 交x 轴于点Q ，若|,|||21PF Q F =则I 分的比λ等于( )．2.A 23.B 21.C 32.D[解析] 由I F 1平分I F Q PF 21,∠平分,2Q PF ∠得⋅===||||||||||2211Q F P F Q F P F IQ λ,|||||||||,|||2121PF PF IQ PI PF Q F =∴= 得①.||4||||||||||||2221PF PF PF PF IQ IQ PI =-=-由,||||||||21QF Q F IQ PI =得②.||6||||||||||||2221QF QF QF Q F IQ IQ PI =+=+ λ1.32||||.32||||||||,22==+-÷PF QF IQ PI IQ PI 得②① ③③式左边分子、分母同除以｜IQ ｜，得,3211λλλ=+-解得.2=λ故应选A ． [答案] A[点拨] 利用双曲线的定义解题时，要注意画图分析，并注意平面几何的有关知识的运用，还应充分挖掘图形中所具有的几何性质，从而创设运用定义的情境．母题迁移 3．过双曲线13422=-y x 的左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，2F 为其右焦点，则+||2MF ||||2MN NF -的值为[例4] 已知圆1)3(:221=++y x C 和圆+-22)3(:x C ,92=y 动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 解决本题的关键是寻找到点M 满足的条件．对于圆与圆的相切问题，自然必须考虑圆心距与半径的关系，还需注意同圆的半径相等这一条件.[答案] 如图2-4 -5所示，设动圆的半径为r ，则有,1||1+=r MC ||||,3||122MC MC r MC -∴+=.2=且),0,3(),0,3(21C C -则,6||21=C C 即.6||2||||2112==-C C MC MC这表明动点M 与两定点12C C 、的距离的差是常数2．根据双曲线的定义，可知动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 与2C 的距离大，与1C 的距离小），这里,3,1==c a 则.82=b 设点M 的坐标为（x ，y ），则其轨迹方程为).0(1822<=-x y x [规律] 用定义法求双曲线的方程时，先要挖掘题目的隐舍条件，并从几何角度进行观察分析，从而判断曲线是否为双曲线，若是，再用待定系数法来求解.母题迁移 4．在△ABC 中，a 、b 、c 为其三边边长，点B 、C 坐标分别为B( -1，O)、C(l ，O)，求满足A B C sin 21sin sin =-的顶点A 的轨迹，并画出图形． 考点2 双曲线的标准方程[例5] 当1800≤≤α时，方程1sin cos 22=+ααy x 表示的曲线怎样变化？[答案] (1)当o0=α时，方程为,12=x 它表示两条平行直线.1±=x(2)当900<<α时，方程为.1sin 1cos 122=+ααy x ①当450<<α时，,sin 1cos 10αα<<它表示焦点在y 轴上的椭圆. ②当45=α时，它表示圆.222=+y x③当o9045<<α 时，,0sin 1cos 1>>αα它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当090=α时，方程为.12=y 它表示两条平行直线.1±=y(4)当oo18090<<α时，方程为,1cos 122=--=αx 它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当180=α时，方程为,12-=x 它不表示任何曲线．[点拨] (1)像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定位”和“定量”两个方面的功能：①定位：以2x 和2y 的系数的正负来确定；②定量：以a 、b 的大小来确定．(2)对于方程122=+ny mx 所表示的曲线的讨论，应以m 、n 的符号为分类标准，确定其曲线是直线、椭圆、圆还是双曲线．还应注意讨论焦点在哪个坐标轴上．母题迁移 5．讨论1-92522=+-ky k x 表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？ [例6] (1)已知双曲线的焦点为),6,0(),6,0(21F F -且经过点（2，-5），求该双曲线的标准方程．(2)已知双曲线经过点)72,3(P 和点),7,26(-Q 求该双曲线的标准方程．[答案] (1)设所求双曲线的方程为,0(12222>=-a bx a y ),0>b 则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.36,14252222b a b a 解得⎩⎨⎧==.4,52b a故所求双曲线的标准方程为.1162022=-x y (2)设所求双曲线的标准方程为).0(122<=+AB By Ax 又双曲线过p ，Q 两点，⎩⎨⎧=+=+∴.14972,1289B A B A 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=-=251,751B A故所求双曲线标准方程为.1752522=-x y [规律] 求双曲线标准方程的基本方法是待定系数法，即：(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程为12222=-b y a x 或-22a y .122=bx(3)寻找关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c 的方程组．(4)得方程：解方程组代入所设方程即为所求．[注意] 与椭圆情况类似，方程)0(122<=+mn ny mx 表示的曲线为双曲线，它包含焦点在x 轴上或在y 轴上两种情形．若将方程变形为,11122=+n y m x 则当0,0<>n m 时，方程为-m x 12,112=-n它表示焦点在x 轴上的双曲线，此时==b m a ,1;1n -当0,0><n m 时，方程为,11122=--mx n y 它表示焦点在 y 轴上的双曲线，此时⋅-==mb n a 1,1 因此，在求双曲线的标准方程时，若焦点的位置不确定，则常考虑上述设法．母题迁移 6．已知双曲线上两点21P P 、的坐标分别为),5,49()24,3(、-求双曲线的标准方程． [例7] 在周长为48的直角三角形MPN 中，=∠=∠PMN MPN otan ,90,43求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．[解析] 首先应建立适当的直角坐标系，由于M ，N 为焦点，所以，如图2 -4 -6建立直角坐标 系，可知双曲线方程为标准方程，由双曲线定义可知,2||,2||||||c MN a PN PM ==-所以，利用已知条件确定△MPN 的边长是关键．[答案] ∵△MPN 的周长为48且,43tan =∠PMN ∴ 设.5||,4||,3||k MN k PM k PN ===则 由.4,48543==++k k k k 得.20||,16||,12||===∴MN PM PN以MN 所在的直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为⋅>>=-)0,0(12222b a b y a x 由,4||||=-PN PM 得.4,2,422==∴=a a a 由,20||=MN 得.10,202=∴=c c.96222=-=∴a c b故所求的双曲线方程为.196422=-y x 又点P 是Rt △MPN 上的一点，则M 、P 、N 三点不共线，故,2=/x 且双曲线为x>2的一支，即所求双曲线方程为=-96422y x ⋅>)2(1x [点拨] (1)当坐标系未建立时，在求双曲线方程之前，首先要建立适当的坐标系，那么如何确定坐标系是否建立呢？依据是：题目中是否涉及与坐标系有关的内容，如点的坐标、方程等． (2)用待定系数法求双曲线标准方程的步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两轴都有可能（但当坐标系未建立时，一般把焦点放在x 轴上）；②设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程[当焦点在两个坐标 轴上都有可能时，一般设为122=+By Ax )];0(<AB③定值：根据题目的条件确定相关的系数母题迁移 7．点B 是双曲线12222=-by a x 上的动点，A(2a ，0)为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程考点3双曲线与椭圆命题规律1．双曲线与椭圆的类比迁移问题． 2.双曲线与椭圆的综合问题 3．双曲线与椭圆的共焦点问题[例8] 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为,PN PM k k 、那么PM k 与PN k 之积是与点 P 位置无关的定值试对双曲线1:2222=-by a x C 写出具有类似特征的性质，并加以证明．[答案] 类似性质为：若M 、N 为双曲线122=-by a x 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任 一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PN PM k k 、时，那么M P k 与PN k 之积是与P 点位置无关的定位其证明如下：设),,(),,(n m M y x P 则),,(n m N --其中,122=-b n a m 即⋅-=)(2222a m ab n,,mx ny k m x n y k PN PM ++=--=∴又,12222=-by a x 即),(22222a x a b y -=⋅-=-∴)(222222m x ab n y⋅=--=⋅∴222222ab m x n y k k PN PM故PN PM k k ⋅是与P 点位置无关的定值．【点拨】 类比迁移能力是继续学习所必须具备的能力，因而也是高考必考查的能力之一．由于双曲线与椭圆的定义只有一字之差（实质上的），因此它们之间的方程和性质之间有着千丝万缕的联系，但毕竟它们之间还是有区别的，因而在高考中经常以它们为背景命制相关试题，旨在考查这种类比迁移能力和鉴剐能力．本例就是根据上海的高考题改编而成的题目，母题迁移8．在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，我们可以设椭圆上任意一点P 的坐标为(acos0，bsin0)，利用它可以解决椭圆的某些问题，那么能否把它类比到双曲线中来呢？如果能，请举例说明它的应用；如果不能，则说明理由．[例9] 求证：任取平面上一点),0)(,(=/ab b a 对于二次曲线,149:22=-+-k y k x C k 总有一个椭圆和一个双曲线通过．[解析] 因为k<4时，k C 为椭圆；94<<k 时，k C 为双曲线，是否有一个椭圆和一个双曲线通过点),0)(,(=/ab b a 就看是否存在这样两个k 值：.94,4,2121<<<k k k k 使和[答案] 当4<k 时，,04,09>->-k k 此时曲线k C 为椭圆： 当94<<k 时，,04,09<->-k k 此时曲线为双曲线．把点（a ，b ）代入,149:22=-+-kb k a C k 得).13(222-++b a k .0943622=--+b a k 设,9436)13()(22222b a k b a k k f --+-++=它是关于k 的二次函数，图象为开口向上的抛物线．,0594********)4(22222<-=--+-++=b b a b a f .0594361179981)9(22222>=--+-++=a b a b a f∴ 抛物线在)4,(-∞内穿过一次横轴，在(4，9)内穿过一次横轴．即方程0)(=k f 的一个根在)4,(-∞内，另一个根在(4，9)内，∴ 平面上任一点k C ab b a ),0)(,(=/中总有一个椭圆和一个双曲线通过该点．[探究] 在方程14922=-+-ky k x 中．当k<4时，它表示焦点在x 轴上的椭圆，且焦点坐标为);0,5(± 而当94<<k 时，它表示焦点在x 轴上的双曲线，且焦点坐标为).0,5(±因而它表示一个共焦点于)0,5(±的二次曲线系（椭圆或双曲线）．一般地有：方程)0(12222>>=-+-b a kb y k a x 是共焦点于)0,(22b a -±的二次曲线系，方程 12222=-++b k y k a x 是共焦点于)0,(b a +±均二次曲线系．对于焦点在y 轴上也有类似情形． 母题迁移 9．设双曲线方程与椭圆1362722=+y x 有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．考点4双曲线方程的综合应用 命题规律1．利用双曲线的形象直观解决有关最值或求取值范围的问题．2．双曲线方程在实际问题中的应用． 3．双曲线与其他知识的综合问题． [例10] 如图2-4 -7所示，某村在P 处有一堆肥料，今要把此堆肥料沿道路PA 或PB 送到一块矩形田地ABCD 中去，已知=∠===APB m BC m PB m PA ,60,150,100,60 能否在田地中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送肥料较近，而另一侧的点沿PB 送肥料较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[答案]设M 点是界线上任一点，则+=+||||||PB MA PA |,|MB 即50||||||||=-=-PA PB MB MA （定值）．故所求界线是以A 、B 为焦点的双曲线的一支，若以直线AB 为x 轴，线段AB 中点0为坐标原点，建立直角坐标系，则可设所求双曲线方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 其中,25=a 在△APB 中，由余弦定理有||2||||||222PA PB PA AB -+=,cos ||APB PB ∠所以,211501002150100||222⨯⨯⨯-+=AB所以,750||=AB 即,750||2==AB c 所以.3750,725222=-==a c b c 因此，双曲线方程为).0,3525(1375062522≥≤≤=-y x y x 所以能在田地中确定一条界线，这条界线是双曲线．[点拨] 应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．本题由题意能获得所求分界线是以A 、B 为焦点的双曲线，但由于｜MA ｜>｜MB ｜故为右支．由于没有坐标系，因此需建系，并确定方程的形式，应用待定系数法求方程，此题极易忽略x 和以y 的范围，因此在实际问题中，要注意由实际意义确定变量范围．母题迁移 10.设声速为am/s ，在相距10am 的A ，B 两个观察所听到一声爆炸声的时间差为6秒，且记录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速a= 340m/s ，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点，P 到AB 、中点M 的距离．[例11] 已知21F F 、是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，A 是双曲线右支上的动点．(1)若点M(5，1)，求||||2AF AM +的最小值． (2)若点M(5，n)，求||||2AF AM +的最小值．[答案] (1)如图2-4 -8所示，由双曲线的定义可知，=+||||2AF AM .2||||1a AF AM -+而点M 在双曲线右支的右边，由图2 -4 -8可知，当A 点在线段1MF 上时，||||1AF AM +最小．故所求的最小值为=-a MF 2||1.8101-(2) 类似(1)可知，当M 在双曲线右支的右边，即49<n 时，≥-+=+a AF AM AF AM 2||||||||12 .81002221-+=-n a MF当M 在双曲线右支的外边或其上，即49≥n 时，+||AM .||||22n MF AF =≥ 故当49<n 时，||||2AF AM +最小值为;81002-+n 当49≥n 时，||||2AF AM +最小值为n[点拨] 解决这类综合性较强的双曲线问题，应注意画图分析，利用图形的形象直观，并注意运用双曲线的定义，对所求解的问题进行恰当的转化，使问题顺利地得到解决，母题迁移 11.P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，M 、N 分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为( )．6.A7.B8.C9.D优化分层测训学业水平测试1．已知双曲线的焦距为,1325,262=c a 则双曲线的标准方程是( )． 116925.22=-y x A 116925.22=-x y B 114425.22=-y x C 114425.22=-y x D 或11442522=-x y 2．双曲线192522=-+-ky k x 的焦距为( )． 16.A 8.B 4.C 342.D3．双曲线两焦点坐标分别为,82),5,0().5,0(21=-a F F 则双曲线的标准方程为( )．12564.22=-y x A 1916.22=-x y B 1916.22=-y x C 12516.22=-x y D4．双曲线192522=-y x 的两个焦点分别为,,21F F 双曲线上的点P 到1F 的距离为12，则P 到2F 的距离为5．方程6)4()4(2222=++-+-y x y x 可化简为6．双曲线,14491622=-y x P 为双曲线上一点，21F F 、为其左、右焦点，且,64||||21=⋅PF PF 求⋅∆21PF F S高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分：共40分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）1．（2008年宁夏高考题）双曲线121022=-y x 的焦距为( )． 23.A 24.B 33.C 34.D2．双曲线191622=-γx 的焦点坐标为( )． )0,7()0,7.(、-A )7,0()7,0.(、-B )0,5()0,5.(、-C )5,0()5,0.(、-D3．满足条件：,2=a 一个焦点为(4，0)的双曲线的标准方程为( )．1124.22=-y x A 1412.22=-y x B 1164.22=-y x C 1416.22=-y x D4．已知方程1)1()1(22=--+y k x k 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( )．11.<<-k A 1.>k B 1.-<k C 11.-<>k k D 或5．已知正数a ，b 的等差中项是,25一个等比中项是6且a>b ．则下列各点中，在双曲线12222=-b y a x 上的是( )．)58,5.(A )38,5.(B )58,5.(-C )58,5.(-D6．若)0(22<=+ab b by ax ，则这曲线是( )．A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上7．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21F F 、是该双曲线的两个焦点，若,2:3||:||21=PF PF 则21F PF ∆ 的面积为( )．36.A 12.B 312.C 24.D8．（2008年山东高考题）设椭圆1C 的离心率为,135焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为( )．134.2222=-y x A 1513.2222=-y x B 143.2222=-y x C 11213.2222=-y x D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案须填在题中横线上） 9．若双曲线8822=-ky kx 的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k 的值为10.（2011年全国高考题）已知21F F 分别为双曲线=-279:22y x C 1的左、右焦点，点,C A ∈点M 的坐标为(2，0)，AM 为21AF F ∠的平分线，则=||2AF11.若双曲线)0,0(122>>=-n m n y m x 和椭圆>=+a by a x （122)0>b 有相同的焦点M F F ,,21为两曲线的交点，则.||1MF ||2MF 等于12.（2009年辽宁高考题）已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，A(l ，4)，P 是双曲线右支上的动点，则||||PA PF +的最小值为三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过)415,3(P 和)5,316(Q 两点的双曲线．14.若双曲线122=-x y 上的点P 与其焦点21,F F 的连线互相垂直，求P 点的坐标．15.（2011年广东高考题）设圆C 与两圆-⋅=++x y x （,4)5(224)522=+y 中的一个内切，另一不外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点),0,5(),554,553(F M 且P 为L 上动点，求||||||FP MP -的最大值及此时点P 的坐标．16.设双曲线2122,194F F y x 、=-是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若,9021 =∠MF F 求21MF F ∆的面积；(2)若 6021=∠MF F 时，21MF F ∆的面积是多少？若 12021=∠MF F 时，21MF F ∆的面积是多少？ (3)观察以上计算结果，你能看出随着21MF F ∠的变化，21MF F ∆的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．。
双曲线及其标准方程教学设计
《2.3.1 双曲线及其标准方程》教学设计一、教学内容解析(一)课标要求：《双曲线及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第三节内容. 课程标准对本节内容的要求是：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.(二)教材地位双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高.如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章.所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础.教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程.突出重点的手段：通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识.二、教学目标设置依据教材的地位与作用，以及新课改对教学目标的要求，确定本节课的教学目标为：1、理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；2、通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3、通过教师指导下的学生交流探索活动，让学生体会数学的理性和严谨，培养学生实事求是和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.三、学生学情分析授课班级为宁夏吴忠市吴忠中学高二年级学生。
从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会.从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水平.具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟.教学难点：双曲线定义的得出和标准方程的建立.突破难点的策略：始终以“类比”作为主线，引导学生动手实验、观察、交流、归纳定义；回顾坐标法求椭圆方程的步骤，亲自体验建立双曲线标准方程的过程.四、教学策略分析著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现.”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课采用了“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点：1、以类比思维作为教学的主线2、以自主探究作为学生的学习方式授之以“鱼”不如授之以“渔”，教师只是课堂教学的引导者、启发者，在新课程改革理念的指导下，要注重突出学生的主体作用.因此，在学习方法的制定上，将充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度.五、教学过程设计（一）回顾旧知，实验探索师：前面我们学习了椭圆，回顾一下，椭圆是如何定义的？（请一位同学回答.）生：平面内与两个定点F1 、F2. 的距离的和等于常数2a （2a >| F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆．师：若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”.即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?学生表示不知道.师：我们不妨通过画图来探究.教师借助于拉链来说明作图方法.（如图）师：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1 ，F 2的距离的差为常数.这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考.学生画出一条曲线（如图1）.教师带领学生分析：这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12P={M||MF |-|MF |=}常数师：如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）.这条曲线是满足什么条件的点的集合？生：21P={M||MF |-|MF |=}常数.师：现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线. 这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.它是满足这两个条件 ①12MF -MF =常数②21MF -MF =常数的点的集合.能不能将这两个条件统一起来呢？ 生：用绝对值.即12MF MF = 常数.师：很好.下面我们借助于几何画板来更直观地感受一下双曲线的形成.【师生活动】 教师用多媒体演示双曲线的形成,引导学生观察，在点M 运动的过程中， 12MF MF 与的差有什么特征？学生不难发现，这个差是一组相反数，即动点M 满足条件12MF -MF =常数.再次验证画图结果.师：双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛.(出示双曲线相关图片——冷却塔、立交 图1 图2桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线.（板书课题：2.3.1 双曲线及其标准方程 指明本节课的学习内容.）【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题.从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲.通过画图让学生直观地感受双曲线的形成，并通过优美图片的展示，渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣.（二）抽象概括，归纳定义提出问题：刚才我们通过直观演示，观察到动点的轨迹是双曲线.你们能根据刚才画双曲线的过程，类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义吗？（出示椭圆图形及定义，引导学生类比.）学生讨论交流，很快可以得出结果：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点12F ,F 叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为21F F =2c .[师生活动]若学生能够得出常数小于21F F ，继续后续问题，如果学生没有发现，教师需要引导学生观察、分析.师：我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：1212P={M |MF |-|MF |=202F F }<<a a ，.【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解.在这个过程中，培养学生的动手实验能力、归纳概括能力、对比分析能力，体会类比和数形结合思想方法.同时渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣.（三）类比椭圆，建立方程师：得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质.师：坐标法建立椭圆标准方程的步骤有哪些？[师生活动]请学生回顾坐标法建立椭圆方程的步骤，分析双曲线的几何特征.请一位同学回答.提出探究内容：你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？【师生活动】这一环节是本节课的难点，但前面经历了椭圆标准方程的建立过程，学生不会感到太困难，因此本环节放手让学生去尝试，有困难可以互相讨论.教师教师巡视、个别予以点拨指导.绝大多数学生会选择建立焦点在x 轴上的双曲线方程.分析如下：(1)建系设点:取过焦点12F ,F 的直线为x 轴，线段12F ,F 的垂直平分线为y 轴(如图所示)建立直角坐标系,设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)，那么12F ,F 的坐标分别是1F (-c,0),2F (c,0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值为2a .(2)写动点满足的集合:由定义可知，点M 满足集合：1212P={M |MF |-|MF |=2}={M |MF |-|MF |=2}±a a ．(3)列方程（用坐标表示条件）：1||MF =,2||MF =2=±a(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：2222222222222()44(),:(c -)x -y =(c -)++=±+-+x c y a x c y a a a a 移项整理两边平方可得类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观 ，即22222x y 1c --=a a（教师待学生得到以上的结论时，请学生展示成果.讲评关键点. 特别强调在方程的形式上可以仿照椭圆的标准方程的处理方式：由双曲线定义2c >2a ， 即c >a ,设222c -=b (b >0)a ，代入上式22222x y -=1c -a a ，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方程：()2222x y -=1>0,b >0ba a . （5）验证说明（由教师带领学生分析.） 师：由推导过程可知，双曲线上任意一点的坐标都满足方程()2222x y -=1>0,b >0ba a ，同时，以方程的解为坐标的点到双曲线的两个焦点1F (-c,0),2F (c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程的解为坐标的点都在双曲线上.由曲线与方程的关系可知，该方程就是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示的双曲线焦点在x 轴上，焦点坐标分别为1F (-c,0),2F (c,0)，这里222c +b =a .（教师板书两种形式的标准方程）师：你能得到焦点在y 轴上的双曲线的标准方程吗？生：类比椭圆，只要交换方程中的x 和y 即可.这样就得到了焦点在y 轴上的双曲线的标准方程, 即为()222210,0-=>>y x a b a b.（教师板书） 得到了双曲线的定义和方程.借助于表格进行双曲线再认识.强化概念.【设计意图】这一过程由学生自主完成，这样设计使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取.通过双曲线标准方程的建立过程，训练学生的运算能力、推理论证能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的合作意识和严谨的学习态度，渗透数形结合的数学思想.并感受双曲线方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！（四）初步应用，例题讲析师：学习了新知识，就要应用，来看习题.练习：（1）已知两定点)0,5()0,5(21F F -若动点P 到21,F F 的距离的差的绝对值等于6，则动点P 的轨迹是 （ ）A 双曲线 Ｂ圆 Ｃ射线 Ｄ 线段（2）已知两定点)0,5()0,5(21F F -若动点P 满足621=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ）A. 双曲线的右支B. 双曲线的左支C. 以1F 为顶点的射线D. 以2F 为顶点的射线例1、已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (-5,0) F2(5,0) ，双曲线上一点P 到F1、F2 的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程.【师生活动】先由学生独2立去做，待大部分同学完成后，由学生叙述，教师板书.例1要强调待定系数法求双曲线方程的步骤：先确定焦点位置，再待定出方程，然后求解方程中的a 和b ，最后写出所求方程.例2、求适合下列条件的双曲线的方程（1)a=4,b=5,焦点在x 轴上；(2)a=3,c=5.练习是属于概念辨析题，可以进一步理解双曲线的定义.例1主要是运用待定系数法求解双曲线的标准方程.例2在例1的基础上再次强化待定系数法的应用，同时对学生进行分类讨论数学思想的渗透，达到拓展知识、提高能力的目的.【设计意图】 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的求解方法，并在解题过程中渗透数形结合的数学思想.通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化.（五）知识总结，形成体系出示问题：1.本节课你学到了什么知识？2.研究双曲线用到了什么思想方法？让学生自己进行总结，相互补充，教师点评：本节课首先通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，由此归纳概括出双曲线的定义，运用坐标法建立了双曲线的标准方程，在习题中应用待定系数法求双曲线的标准方程.在整个过程中，类比椭圆的定义、图象和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题.在这一学习过程中也进一步体会了数形结合的思想.【设计意图】以问题形式来引导学生自我总结.通过总结使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.同时，通过提炼数学的基本思想方法，提高学生的数学素养.（六）布置作业，巩固提高必做题: 课本55页练习2，3题选做题: 课本61页习题A 组2题课外作业：查阅资料：ＧＰＳ中的双曲线导航原理.【设计意图】作业设计有梯度，分为必做题和选做题，注重不同层次的学生的认知水平,学生可以根据自己的实际学习情况完成作业，尽量做到让不同层次的学生都能有所收获.课外作业为学生利用双曲线性质解决实际问题做准备，既可以拓展学生的知识，又可以让学生体会到数学在现实中的广泛应用.板书设计：板书力求重点突出，结构清晰,美观整齐.六、教学设计说明1. 本节课以新课程的教学理念为指导，充分体现素质教育的重点：培养学生的创新精神和实践能力.2.本节课不仅重视结论，也重视知识的生成过程，整个教学过程注重启发探究、类比教学方式的应用，是研究性教学的一次有益尝试.在教学过程中，教师作为引导者、参与者、合作者，努力引导学生动手、探索、分析，亲身经历知识形成的过程.在整个教学过程中渗透了类比、数形结合等数学思想.3.在教学过程中通过学生动手实践、自主探索，培养其分析、交流、抽象概括及数学表达的能力. 在建立双曲线的标准方程的过程中，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.以上就是我对这节课的设计和说明，敬请指正，谢谢!。
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2.2双曲线及其标准方程（一）
出题人：李秋天 陈继波 邹玉超
【学习目标】：
1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；
2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；
3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；
4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；
5．培养学生发散思维的能力
【学习难点】：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
【学习难点】：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组
【学习过程】
一、自主学习：
1 椭圆定义：
2.椭圆标准方程：
3．双曲线的定义：
4.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做
概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21FF”
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）
两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲
线的形状与两定点间距离、定差有关
5．双曲线的标准方程：
取过焦点21FF，的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴
设P（yx,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（0c）
则 )0,(),0,(21cFcF，又设M与)0,(),0,(21cFcF距离之差的绝对值等于2a（常数），
ca22
aPFPFPP221
22
1
)(ycxPF又
，
aycxycx2)()(2222
，
A2A1PF2F
1
x
O
y
化简，得：
)()(22222222acayaxac
，
由定义ca22 022ac
令222bac代入，得：222222bayaxb，
两边同除22ba得：12222byax，
此即为双曲线的标准方程
它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是)0,(),0,(21cFcF，
其中222bac
若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如
焦点在y轴上，则焦点是),0(),,0(21cFcF，将yx,互
换，得到
12222
bxa
y
，此也是双曲线的标准方程
6．双曲线的标准方程的特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在x轴上时双曲线的标准方程为： (0a,0b)；
焦点在y轴上时双曲线的标准方程为： (0a,0b)
(2)cba,,有关系式 成立，且0,0,0cba
其中a与b的大小关系:可以为bababa,,
7.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x、2y项的
分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项
的正负来判断焦点所在的位置，即2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；2y项的系数是
正的，那么焦点在y轴上
二、合作探究
例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量cba,,的值
A
2
A
1
F
2
F
1
x
O
y
例2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到
)0,5()0,5(21FF，
的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程
三、课堂练习：
1．求a=4，b=3，焦点在x轴上的双曲线的标准方程
2．求a=25，经过点（2，-5），焦点在y轴上的双曲线的标准方程
3．证明：椭圆22525922yx与双曲线151522yx的焦点相同
4．若方程1cossin22yx表示焦点在y轴上的双曲线，则角所在象限是（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
5．设双曲线191622yx上的点P到点)0,5(的距离为15，则P点到)0,5(的距离是（ ）
A．7 B.23 C.5或23 D.7或23
五、课堂小结
我的收获
：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222babyax焦点在x轴上，
)0,0(12222ba
bxa
y
焦点在y轴上 cba,,有关系式222bac成立，且
0,0,0cba 其中a与b的大小关系:可以为bababa,,
我的困惑