2019年四川省成都七中高考数学二诊试卷及参考答案(理科)
2019年四川省成都七中高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．）1．（5分）已知复数z满足z（1+i）2＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|为（）A．2B．C．D．12．（5分）设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg（x2﹣1）}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x＜1}3．（5分）在（）n的二项展开式中，若第四项的系数为﹣7，则n＝（）A．9B．8C．7D．64．（5分）在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2D．25．（5分）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如果执行如图所示的程序框图，输出的S＝110，则判断框内应填入的条件是（）A．k＜10？B．k≥11？C．k≤10？D．k＞11？7．（5分）已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．8．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，则•等于（）A．B．C．3D．9．（5分）给出下列说法：①“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件；②命题“∃x0∈R，x0+≥2”的否定形式是“∀x∈R，x+＞2”．③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30种．其中正确说法的个数为（）A．0B．1C．2D．310．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A．B．C．D．11．（5分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（f（x））﹣2恰有5个零点，且最小的零点小于﹣4，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（0，+∞）C．（0，1）D．（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为．14．（5分）已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m＝．15．（5分）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，若球O的体积为8π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为．16．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣2）2+y2＝1于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，设b n＝，n∈N*（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设c n＝b n•2n﹣1，且数列{c n}的前n项和S n，若λ∈R，求使S n﹣1≤λc n恒成立的λ的取值范围．18．某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表（1）根据表中数据可知，频数y与日需求量x（单位：个）线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X（单位：元）（ⅰ）若日需求量为15个，求X；（ⅱ）求X的分布列及其数学期望相关公式：＝＝，＝﹣19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC，AB＝BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）求二面角A1﹣BC﹣B1的余弦值．20．如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为﹣1，离心率为，直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A、B都在x轴上方），且∠OF A+∠OFB＝180°．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（Ⅲ）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OF A如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝2xlnx+2x，g（x）＝a（x﹣1）（a为常数，且a∈R）．（1）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值≈4.48，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（2）当x＞3时，证明：f（x）（其中e为自然对数的底数）．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请标明题号。
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP：θ1＝α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2＝与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23．已知a＞0，b＞0，c＞0，设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R（Ⅰ）若a＝b＝c＝1，求不等式f（x）＜5的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为1，证明：++≥18（a+b+c）2019年四川省成都七中高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．）1．（5分）已知复数z满足z（1+i）2＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|为（）A．2B．C．D．1【解答】解：由z（1+i）2＝2﹣i，得，∴，故选：C．2．（5分）设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg（x2﹣1）}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x＜1}【解答】解：∵全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg（x2﹣1）}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴∁U M＝{x|﹣1≤x≤1}，∵集合N＝{x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）＝{x|0＜x≤1}．故选：B．3．（5分）在（）n的二项展开式中，若第四项的系数为﹣7，则n＝（）A．9B．8C．7D．6【解答】解：的二项展开式的通项为T r+1＝∁n r（﹣2﹣1）r，∵第四项的系数为﹣7，∴r＝3，∴∁n3（﹣2﹣1）3＝﹣7，解得n＝8，故选：B．4．（5分）在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2D．2【解答】解：∵在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sin A＝，即×2×AC×＝，解得：AC＝1，由余弦定理得：BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A＝1+4﹣2＝3，则BC＝．故选：B．5．（5分）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω＝{（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S＝（2π）2＝4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s＝4π2﹣π2＝3π2，由几何概型公式得到P＝，故选：B．6．（5分）如果执行如图所示的程序框图，输出的S＝110，则判断框内应填入的条件是（）A．k＜10？B．k≥11？C．k≤10？D．k＞11？【解答】解：由程序可知，该程序是计算，由S＝k（k+1）＝110，得k＝10，则当k＝10时，k＝k+1＝10+1＝11不满足条件，所以条件为k≤10．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）+1的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则4x﹣＝+2kπ，k∈Z；解得x＝+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1﹣x2|的值为T的整数倍，且T＝＝．故选：B．8．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，则•等于（）A．B．C．3D．【解答】解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．则，故选：C．9．（5分）给出下列说法：①“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件；②命题“∃x0∈R，x0+≥2”的否定形式是“∀x∈R，x+＞2”．③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30种．其中正确说法的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①，“x＝”可得“tan x＝1”，反之由tan x＝1，可得x＝kπ+，k∈Z，“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，故①正确；②，命题“∃x0∈R，x0+≥2”的否定形式是“∀x∈R，x+＜2”，故②错误；③，将甲乙丙丁四个人分为2，1，1，可有C＝6种分法，再安排到三个班有6×6＝36种方法，考虑甲乙分到同一个班，可得6种方法，即有甲乙不在同一个班的方法数为30，故③正确．故选：C．10．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知该几何体是三棱锥A﹣BCD，把它放入长方体中，如图所示；则三棱锥A﹣BCD的体积为V A﹣BCD＝S△BCD•h＝××2×4×2＝，三棱锥外接球的直径为2R＝AC，所以4R2＝AC2＝22+22+42＝24，解得R＝；所以外接球的体积为V球＝πR3＝•＝8π，所以该几何体的体积与外接球的体积比为＝．故选：A．11．（5分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F1N＝ON＝MN＝r，则OF2＝2r，根据勾股定理MF2＝2r，又△MF2N∽△PF1F2，∴e＝＝＝＝＝＝，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（f（x））﹣2恰有5个零点，且最小的零点小于﹣4，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（0，+∞）C．（0，1）D．（1，+∞）【解答】解：作出函数f（x）＝的图象如图，由y＝的导数为y′＝，当x＞1时，y＝递增；当0＜x＜1时，函数y＝递减，可得x＝1处y＝取得极小值1，y＝ax+3恒过定点（0，3），设t＝f（x），可得g（x）＝f（t）﹣2，当a≤0时，f（t）＝2有两个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），t＝f（x）不可能有五个实根；当a＞0时，f（t）＝2有三个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），还有一个小于0，t＝f（x），t3＜0时，最小的零点x5＜﹣4，由at3+3＝2，即t3＝﹣，ax5+3＝t3＝﹣，可得3﹣4a＞﹣，可得4a2﹣3a﹣1＜0，解得﹣＜a＜1，由a＞0可得0＜a＜1．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为4．【解答】解：由题意可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，设x＝10+t，y＝10﹣t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x﹣y|＝2|t|＝4，故答案为：4．14．（5分）已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m＝8．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线x﹣y＝6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m＝0必经过直线x﹣y＝6与直线y＝1的交点A（7，1），于是有7+1﹣m＝0，即m＝8．故答案为：8．15．（5分）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，若球O的体积为8π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为．【解答】解：设球O的半径为R，则，得，如下图所示，分别取P A、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE，易知，P A⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴，∴，∵E为BC的中点，则，∵M、N分别为P A、AB的中点，则MN∥PB，且，同理可得NE∥AC，且，所以，异面直线PB与AC所成的角为∠MNE或其补角，且，在△MNE中，，，ME＝3，由余弦定理得．因此，异面直线PB与AC所成成的余弦值为．故答案为：．16．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣2）2+y2＝1于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为13【解答】解：∵y2＝8x，焦点F（2，0），准线l0：x＝﹣2，由圆：（x﹣2）2+y2＝1，圆心（2，0），半径为1．由抛物线的定义得：|AF|＝x A+2，又∵|AF|＝|AB|+1，∴|AB|＝x A+1同理：|CD|＝x D+1当AB⊥x轴时，则x D＝x A＝2，∴|AB|+4|CD|＝15．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y＝k（x﹣2）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴x A x D＝4，x A+x D＝，∴|AB|+4|CD|＝（x A+1）+4（x D+1）＝5+x A+4x D≥5+2＝13．当且仅当x A＝4x D，即x A＝4，x D＝1时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为13．故答案为：13．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，设b n＝，n∈N*（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设c n＝b n•2n﹣1，且数列{c n}的前n项和S n，若λ∈R，求使S n﹣1≤λc n恒成立的λ的取值范围．【解答】（I）证法一：由条件知，，所以，，所以b n+1﹣b n＝1，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n＝n．证法二：由条件，得＝，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n＝n．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，则，①②由①﹣②得，＝＝﹣1+（1﹣n）•2n ∴∵c n＞0，∴S n﹣1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．∵，∴λ≥2．18．某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表（1）根据表中数据可知，频数y与日需求量x（单位：个）线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X（单位：元）（ⅰ）若日需求量为15个，求X；（ⅱ）求X的分布列及其数学期望相关公式：＝＝，＝﹣【解答】解：（1）根据近30天的数据，＝＝21，＝＝6，＝15×10+18×8+21×7+24×3+27×2＝567，＝152+182+212+242+272＝2295，∴＝＝＝＝﹣＝﹣0.7，∴＝﹣＝6+0.7×21＝20.7．所以回归方程为＝﹣0.7x+20.7．（2）（Ⅰ）若日需求量为15个，则X＝15×（10﹣4）+（24﹣15）×（2﹣4）＝72元，（Ⅱ）若日需求量为18个，则X＝18×（10﹣4）+（24﹣18）×（2﹣4）＝96元，若日需求量为21个，则X＝21×（10﹣4）+（24﹣21）×（2﹣4）＝120元，若日需求量为24个或者27个，则X＝24×（10﹣4）＝144．所以X的分布列为：所以E（X）＝72×+96×+120×+144×＝101.6元．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC，AB＝BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）求二面角A1﹣BC﹣B1的余弦值．【解答】（12分）（1）证明：取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，所以FG∥A1B1．又A1B1⊂平面ABB1A1，FG⊄平面ABB1A1，所以FG∥平面ABB1A1．又AE∥A1G且AE＝A1G，所以四边形AEGA1是平行四边形．则EG∥AA1．又AA1⊂平面ABB1A1，EG⊄平面ABB1A1，所以EG∥平面ABB1A1．所以平面EFG∥平面ABB1A1．又EF⊂平面EFG，所以直线EF∥平面ABB1A1．（6分）（2）解：令AA1＝A1C＝AC＝2，由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E⊂平面A1AC，则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A 1（0，0，），A（0，﹣1，0），．所以，，，令平面A1BC的法向量为＝（x1，y1，z1），由则令，则＝（，，1）．令平面B1BC的法向量为＝（x2，y2，z2），由则令，则＝（，，﹣1）．由cos＝＝，故二面角A1﹣BC﹣B1的余弦值为．（12分）20．如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为﹣1，离心率为，直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A、B都在x轴上方），且∠OF A+∠OFB＝180°．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（Ⅲ）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OF A如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：＝1（a＞b＞0），∵离心率为，∴，∴a＝，∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为﹣1，∴c＝1，∴a2＝b2+c2＝b2+1，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为＝1．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（﹣1，0），∴k AF＝＝1，∵∠OF A+∠OFB＝180°．∴k BF＝﹣1，∴直线BF为：y＝﹣（x+1）＝﹣x﹣1，代入，得3x2+4x＝0，解得x＝0或x＝﹣，代入y＝﹣x﹣1，得，舍，或，∴B（﹣，）．∴＝，∴直线AB的方程为：y＝．（Ⅲ）存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OF A如何变化，直线l总经过此定点．证明：∵∠OF A+∠OFB＝180°，∴B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y＝k（x+1），代入，得（）x2+2k2x+k2﹣1＝0，由韦达定理得，，由直线AB的斜率，得AB的方程为：y﹣y1＝（x﹣x1）令y＝0，得：x＝x1﹣y1•，y1＝k（x1+1），﹣y2＝k（x2+1），＝＝＝≥＝﹣2，∴对于动直线l，存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OF A如何变化，直线l总经过此定点．21．已知函数f（x）＝2xlnx+2x，g（x）＝a（x﹣1）（a为常数，且a∈R）．（1）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值≈4.48，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（2）当x＞3时，证明：f（x）（其中e为自然对数的底数）．【解答】解：（1）记F（x）f（x）﹣g（x）＝2xlnx+（2﹣a）x+a，则F′（x）＝2lnx+4﹣a，当a≤4时，因为x＞1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增，F（x）＞F（1）＝2＝，函数y＝F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，F′（x）＝0⇒x＝＞1，且x∈（1，）时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0，所以，F（x）min＝F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min＝F（）＝0，化简得：a﹣＝0，记h（a）＝a﹣，h′（a）＝1﹣＜0，所以h（a）在（4，+∞）上单调递减，又h（6）＝6﹣2e＞0，h（7）＝7﹣2e＜0，所以a∈（6，7），即n＝6．（2）由（1）得：当x＞3时，f（x）≥g（x）＝a（x﹣1）＞6（x﹣1），只要证明：x＞3时，6（x﹣1）即eln（x﹣2）﹣＞0，记G（x）＝eln（x﹣2）﹣，则G′（x）＝﹣＝，记φ（x）＝3ex2﹣（6e+4）x+3e+8，图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝1+＜3，且φ（3）＝12e﹣4＞0，所以当x＞3时，φ（x）＞0，即G′（x）＞0，所以G（x）在区间（3，+∞）上单调递增，从而G（x）＞G（3）＝0，即eln（x﹣2）﹣＞0，成立，所以f（x）成立．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请标明题号。
【全国百强校首发】四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学(理)答案
所以，
1 1 1 ，所以 bn 1 bn 1 ， an 1 an 1 1，所以，数列 {bn } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， a1
又 b1
故数列 {bn } 的通项公式为： bn n .-------5 分
n 1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， cn n 2 ， 0 1 则 Sn 1 2 2 2
2
) ，∴
4
， | OP | 2 2 .-------（10）
23.（I） 当 当 当 时， 时， 时，
，不等式
，即
解集为 （II）
-------(4)
-------(10)
1 4 3 x 2 10 x 11 0, x 2 3( x 1) 2 3( x 2)( x 1) 2
记G ( x) 单调递增， G( x) G(3) 0
ln( x 2) 2( x 3) 4( x 3) 0 ,即 x 3时，f ( x) 6( x 1) ，证毕；------（12 分） 3( x 1) ln( x 2)
选做题
22.解： （Ⅰ）直线 l 的普通方程为 x y 1 0 ，极坐标方程为 cos sin 1 0 ，
曲线 C 的普通方程为 ( x 2) 2 y 2 4 ，极坐标方程为 4cos .------（4） （Ⅱ）依题意，∵ (0,
代入
，得（
）x2 +2k2 x+k2 ﹣1=0，
由韦达定理得
，
，
由直线 AB 的斜率 令 y=0，得： x=x1 ﹣y1 •
，得 AB 的方程为：y﹣y1 =
（x﹣x1 ）
四川省成都市2019届高三二诊模拟考试数学理科试卷含答案
2019届2018~2018学年下期二诊模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，则复数.3A .3B -.3C i.4D i -2.已知全集U =R ，集合{|30}A x x =-<，那么集合U A C B ⋂等于.{|23}A x x -≤≤.{|23}B x x -<< .{|2}C x x ≤-.{|3}D x x <3.若,x y 满足约束条件02326x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =+ 的最小值是.3A -.6B.3D4.则sin 2α的值为5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积 为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为7.等比数列{}n a 中，20a >则25""a a <是35""a a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2018)f=A. B. C. D.9、已知是双曲线的左、右焦点, 点在上若,则的离心率为A. B. C. D.10.，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为11.若函数y =f (x )的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数y =f (x )为“t 函数”.下列函数中为“2函数”的个数有① y =x -x 3 ②y =x +e x ③y =x ln x ④y =x +cos xA.1个B.2 个C.3 个D.4个12、已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于A. B.2 C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．133项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14、已知数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为1的等差数列，且5=62S ，则2=a15．已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是 .16．为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）如图，,,a b c 分别是锐角ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，（1）求sin C 的值；（2）若点D 在边BC 上,3BD CD =，ABC ∆的面积为14，求AD 的长度.18. （本小题满分12分）2018年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与正方形ABC D所在平面垂直，点M为AE的中点.（1）求证：BM//平面EFC，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.（2）若DE AB20、（本小题满分12分）,O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A B 、两点（A 在x 轴上方），交x 轴正半轴于P 点, 若3PB PA +=0，求AOB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知a ∈R ，()(1)ln f x ax x =-（1）若2()ln f x x x x ≤--恒成立，求a 的值； （2）若()f x 有两个极值点，，求a 的范围并证明1()4f x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为（t 为参数）， 直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+. （1）解不等式()4|1|f x x <--（2）若0a >，不等式||()4x a f x --≤恒成立，求实数a 的取值范围．石室中学高2019届2018-2019学年下期二诊模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13. 20-； 14. 4；三、解答题17. 解：（1，因B 为锐角，所以分，分（2分分，由余弦定理，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，解得5AD =…………………………12分18..(1).记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，分 (2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.所以X 的分布列为:19..(1)由题知B D E F A B C ⊥面面，而B D E D ⊥，BDEF ABCD=BD 面面∩，DE BDEF ⊂面所以DE ABCD 面⊥，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则()1,1,0B ，，()0,0,1E ，()1,1,1F ，()0,1,0C ， 所以,1,1,MB ⎛= EFC 的法向量为()1,1,1m =-，则0MB m ⋅=即MB m ⊥，又面MB EFC ⊄，所以//面MB EFC ;……………6分(2)由（1）知.1,1,MB ⎛= , 1,0,DM ⎛=所以面BDM 的法向量为()1,1,1n =- 又()1,0,1AE =-,6cos ,n AE =所以直线AE 与面BDM12分 20.解： （1）设切线为0bx ay ab +-=，则，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程分 （2）设直线l 为(0,0)x my n m n =+>>，联立得222(34)63120m y mny n +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，②由0∆>，可得22340m n -+>…….6分 又因为3PB PA +=0，可得123y y -=③…………7分分分满足0∆>， 所以AOB ∆面积的最大值为此时直线l 的方程为分 21. 解(1)由题:得1ln 0x a x --≥ 令:，，…………………1分 所以F，且．所以当时恒成立，此时在上单调递增，(0,1),()0x F x ∴∈<这与F矛盾；………………………………..3分 当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即，又因为，又F(1)=0 所以………………………..6分①若0a ≥时, 知:'()f x 在(0,)+∞单调递增,不合题…分 此时知道：()f x 在1(0,)x 单减，12(,)x x 单增，2(,)x +∞单减 且易知又110ax -<<1()4f x ∴>…………………………………………………12分 22. (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得, 设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴=即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分23. （1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为．…………………… 5分（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即…………………………….10分。
2019届四川省成都市第七高三二诊模拟考试数学（理）试题
2019届四川省成都市第七中学高三二诊模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足，则为A．B．C．2 D．1【答案】A【解析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.2．设全集，集合，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．在的二项展开式中，若第四项的系数为，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】 ， ， ，解得：，故选B.4．在△ABC 中， 60A =︒, 2AB =,且ABC ∆的面积为3，则BC 的长为（ ） A ．3B ．3C ．23D ．2 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为ABC ∆的面积为3，所以1133sin 22222ABC S bc A b ∆==⨯⨯⨯=，解得1b =，在ABC ∆中，由余弦定理可得22202cos 14212cos603BC b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以3BC =，故选B.【考点】正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据三角形的面积公式，求得1b =，再利用正、余弦定理是解得关键. 5．在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】先列出函数有零点的条件，再根据面积求几何概型概率.【详解】因为函数有零点，所以所以所求概率为，选B.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．6．如果执行如图所示的程序框图，输出的S＝110，则判断框内应填入的条件是( )．A．k＜10? B．k≥11? C．k≤10? D．k＞11?【答案】C【解析】试题分析：因为11200246201102⨯+++++==，所以10k>时结束循环，因此选C.【考点】循环结构流程图【方法点睛】研究循环结构表示算法，第一要确定是当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要注意根据条件，确定计数变量、累加变量等，特别要注意正确理解循环结构中条件的表述，以免出现多一次循环或少一次循环的情况．7．已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A．B．C．D．【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原则，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相关公式是正确解题的关键.8．外接圆的半径为，圆心为，且，，则（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】为边BC的中点，因而,又因为,所以为等边三角形，.9．给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定形式是“，”.③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为种.其中正确说法的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果. 【详解】①时，反之不然，所以“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定形式是“，”, ②错；③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为种.综上正确说法的个数为2，选C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先还原几何体，再根据锥体体积公式求体积，由长方体性质得外接球球心位置，根据球体积公式求条件，最后作商得结果. 【详解】几何体为如图三棱锥S-ABC ，SA=2,SC=4,BD=2,体积为，其外接球球心为SB 中点,外接球半径为，所以几何体的体积与其外接球的体积之比为，选A.【点睛】若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求给定的几何体的体积．11．设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12,F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（ ） AB．34-+ CD．37+ 【答案】D【解析】试题分析：解：设以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切于点K ,圆心为点M ，1PF m = ， 2PF n = ，由题意可知： 2222222{4n m a m n c c a b -=+==+ ，解得：{m a a = ， 设21PF F α∠=，则tan m n α==，在2Rt MKF 中可得：2tan KM KF α== ， 据此可得：22c b -=， 整理可得：(()422291890c a c a -++= ，则：(()4291890e e -++= ，分解因式有：(()229910e e ⎡⎤--⨯-=⎣⎦，双曲线的离心率1e ≠ ，故：(2990e --= ，解得：22e == ，双曲线的离心率：37e +==. 本题选择D 选项.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立,,a b c 的齐次关系式，将b 用,a c 表示，令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式，进而求解．12．已知函数，若函数恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则充分利用函数的图象，分类讨论ａ的取值情况，得到的取值范围．【详解】当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.当时，的图像恒过点，当时，；当时，.有5个零点，即方程有5个解，设，则.结合图像可知，当时，方程有三个根，，（∵，∴），于是有1个解，有1个解，有3个解，共有5个解.由，得，再由，得，∵，∴.而当时，结合图像可知，方程不可能有5个解.故选：C【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，方差为，则的值为__________.【答案】【解析】结合平均数和方差的计算方法，建立方程，计算结果，即可。
四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题含解析
四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|x≤-2或x≥1}，则A∩（∁U B）=（）A. B.C. D. 或2.已知双曲线C：＞的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知向量=（，），=（-3，），则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. D. 14.条件甲：a＞b＞0，条件乙：＜，则甲是乙成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A. B. C. D.6.若，，，且，，则sinβ=（）A. B. C. D.7.已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是（）A. 若平面，则B. 若平面，则，C. 存在平面，使得，，D. 存在平面，使得，，8.将函数f（x）的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. B.C. D.9.已知定义域R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，则f（）=（）A. B. C. D.10.已知a R且为常数，圆C：x2+2x+y2-2ay=0，过圆C内一点（1，2）的直线l与圆C相切交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x-y=0，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.用数字0，2，4，7，8，9组成没有重复数字的六位数，其中大于420789的正整数个数为（）A. 479B. 480C. 455D. 45612.某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观．已知AB=20m，AC=10m，则△DEF区域内面积（单位：m2）的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z=，a R，若z为纯虚数，则|z|=______．14.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=AD=1，BC=CD=BD=，则球O的表面积为______．15.在平面直角坐标系xOy中，定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的折线距离为d（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|．已知点O（0，0），C（x，y），d（O，C）=1，则的取值范围是______．16.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则|PF|+的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S，公比q＞1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S3=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记b n=a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得2×2（）根据列联表，能否有的把握认为满意程度与年龄有关？（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难，该企业拟员工贡献积分x（单位：分）给予相应的住房补贴y（单位：元），现有两种补贴方案，方案甲：y=1000+700x；方案乙：，＜，＜．已知这8名员工的贡献积分为2分，3分，6分，7分，7分，11分，12分，，＞12分，将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”．为了解员工对补贴方案的认可度，现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A类员工”的概率．附：，其中n=a+b+c+d．参考数据：19.如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，（Ⅰ）证明：EF MC；（Ⅱ）求二面角M-AB-D的余弦值．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k2=0，求直线F1M的方程．21.已知函数，a R．（Ⅰ）若f（x）≥0，求实数a取值的集合；（Ⅱ）证明：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α倾斜角），曲线C的参数方程为（β为参数，β[0，π]），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．23.已知函数f（x）=|x-m|-|x+2m|的最大值为3，其中m＞0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b R，ab＞0，a2+b2=m2，求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∁U B={x|-2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）={x|-1＜x＜1}．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：双曲线C：的焦距为4，则2c=4，即c=2，∵1+b2=c2=4，∴b=，∴双曲线C的渐近线方程为y=x，故选：D．先求出c=2，再根据1+b2=c2=4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题3.【答案】A【解析】解：由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴=．故选：A．本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4.【答案】A【解析】解：条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立不一定有条件甲：a＞b＞0成立所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．5.【答案】C【解析】解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确．故选：C．根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．本题考查了茎叶图，属基础题．6.【答案】B【解析】解：，且，可得cosα=-=-．，可得sinαcosβ-cosαsinβ=-，可得cosβ+sinβ=-，即2cosβ+sinβ=-，sin 2β+cos 2β=1，解得sinβ=．故选：B ．利用同角三角函数基本关系式求出cosα，通过两角和与差的三角函数化简已知条件，转化求解sinβ即可．本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查． 7.【答案】C【解析】解：由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知： 在A 中，若c 平面α，则a 与α相交、平行或a α，故A 错误；在B 中，若c 平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误； 在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α，a α，b ∥α，故C 正确；在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a α，b α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误． 故选：C ．在A 中，a 与α相交、平行或a α；在B 中，a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α，a α，b ∥α；在D 中，a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8.【答案】C【解析】解：由图象知A=1，=-（-）=，即函数的周期T=π，则=π，得ω=2，即g（x）=sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ=π，得φ=，则g（x）=sin（2x+），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=sin（2x++）=cos（2x+），故选：C．根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数，且图象关于x=1对称；∴f（2-x）=f（x）；又0≤x≤1时，f（x）=x3；∴．故选：B．根据f（x）的图象关于直线x=1对称，即可得出f（2-x）=f（x），从而得出，再根据f（x）是奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，从而得出．考查奇函数的定义，函数f（x）的图象关于x=a对称时，满足f（2a-x）=f（x），以及已知函数求值的方法．10.【答案】B【解析】解：化圆C：x2+2x+y2-2ay=0为（x+1）2+（y-a）2=a2+1，圆心坐标为C（-1，a），半径为．如图，由题意可得，过圆心与点（1，2）的直线与直线2x-y=0垂直．则，即a=3．故选：B．由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x-y=0垂直，再由斜率的关系列式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，有3种情况，将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，此时有3×A55=360种情况，即有360个大于420789的正整数，，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，有3种情况，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有3×A44=72种情况，即有72个大于420789的正整数，，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有A44=24种情况，其中有420789不符合题意，有24-1=23个大于420789的正整数，则其中大于420789的正整数个数有360+72+23=455个；故选：C．根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，分别求出每种情况下的六位数的数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：△ABC是直三角形，AB=20m，AC=10m，可得CB=，DEF是等边三角形，设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得可得x=，其中tanα=；∴x≥；则△DEF面积S=故选：D．△ABC是直三角形，DEF是等边三角形，AB=20m，AC=10m，CB=，可得∠A=60°，∠B=30°；设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=xcosθ，在三角形△BFE中利用正弦定理求解x的最小值，即可求解△DEF区域内面积的最小值．本题考查三角形的面积的求法，考查DEF边长的求法，角的表示求解最值问题，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用．13.【答案】1【解析】解：∵z==是纯虚数，∴，即a=-1．∴z=i，则|z|=1．故答案为：1．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，得到复数z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】3π【解析】解：如图，取CD中点E，连接BE，可得BE=，设等边三角形BCD的中心为G，则BG=，∴AG=，设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R，则R2=BG2+OG2，即，解得R=．∴球O的表面积为．故答案为：3π．由题意画出图形，解三角形求得三棱锥外接球的半径，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】【解析】解：d（O，C）=|x|+|y|=1，则≥=，．故答案为：．d（O，C）=|x|+|y|=1，利用≥即可得出．本题考查了基本不等式的性质、折线距离，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】6【解析】解：设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：x2-4kx-4=0，可得：x1+x2=4k，x1x2=-4，|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+2+2=4k2+4．对x2=4y两边求导可得：y′=，可得切线PA的方程为：y-y1=（x-x1），切线PB的方程为：y-y2=（x-x2），联立解得：x=（x1+x2）=2k，y=x1x2=-1．∴P（2k，-1）．∴|PF|=．∴|PF|+=+，令=t≥2．则|PF|+=t+=f（t），f′（t）=1-=，可得t=4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）=6．当且仅当k=时取等号．故答案为：6．设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立化为：x2-4kx-4=0，利用根与系数的关系可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+4．对x2=4y两边求导可得：y′=，可得切线PA的方程为：y-y1=（x-x1），切线PB的方程为：y-y2=（x-x2），联立解得P点坐标，可得代入|PF|+，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值、切线方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：（I）∵a2+1是a1，a3的等差中项，∴2（a2+1）=a1+a3，∴a1（q2+1）=2a1q+2，=14，化为2q2-5q+2=0，q＞1，解得q=2，∴a1=2．∴a n=2n．（II）b n=a n•log2a n=n•2n．∴数列{b n}的前n项和T n=2+2•22+3•23+……+n•2n．2T n=2×2+2•23+……+（n-1）•2n+n•2n+1．∴-T n=2+22+23+……+2n-n•2n+1=-n•2n+1．解得：T n=（n-1）•2n+1+2．【解析】（I）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得2（a2+1）=a1+a3，又a1（q2+1）=2a1q+2，=14，联立解得，即可得出．（II）b n=a n•log2a n=n•2n．利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）根据列联表可以求得K2的观测值：k==≈11.42＞6.635，故有99%的把握认为满意程度与年龄有关．（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为：设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名”A类员工“的概率为P，则P==．【解析】（1）根据列联表可以求得K2的观测值，结合临界值可得；（2）先得积分表可得A类员工的人数，再根据古典概型的概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）由题意知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF AB，EF CD，∴折叠后，EF DF，EF CF，∵DF∩CF=F，∴EF平面DCF，又MC平面DCF，∴EF MC．解：（Ⅱ）∵平面BEFC平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD=EF，且EF DF，∴DF平面BEFC，∴DF CF，∴DF，CF，EF两两垂直，以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵DM=1，∴FM=1，∴M（1，0，0），D（2，0，0），A（1，0，2），B（0，1，2），∴=（0，0，2），=（-1，1，0），=（-1，0，2），设平面MAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面ABD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，2，1），∴cos＜，＞===，∴二面角M-AB-D的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出EF AB，EF CD，折叠后，EF DF，EF CF，从而EF平面DCF，由此能证明EF MC．（Ⅱ）以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-D的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（I）由题意可得：2b=4，=，a2=b2+c2．联立解得：b=2，c=1，a=3．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（II）A（-3，0），B（3，0），F1（-1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x=my-1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．∵F1M∥F2N，根据对称性可得：N（-x2，-y2）．联立，化为：（8m2+9）y2-16my-64=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵3k1+2k2=0，∴+=0，即5my1y2+6y1+4y2=0，联立解得：y1=，y2=，∵y1＞0，y2＜0，∴m＞0．∴y1y2=•=，∴m=．∴直线F1M的方程为x=y-1，即2x-y+2=0．【解析】（I）由题意可得：2b=4，=，a2=b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的标准方程．（II）A（-3，0），B（3，0），F1（-1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x=my-1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．由F1M∥F2N，根据对称性可得：N（-x2，-y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（8m2+9）y2-16my-64=0，根据根与系数的关系及其3k1+2k2=0，+=0，联立解得m．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】（I）解：f′（x）=-=．（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=0．因此0＜x＜1时，f（x）＜0．当a＞0时，可得函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴x=a时，函数f（x）取得极小值即最小值，则f（a）=ln a+1-a≥0．令g（a）=ln a+1-a，g（1）=0．g′（a）=-1=，可知：a=1时，函数g（a）取得极大值即最大值，而g（1）=）．因此只有a=1时满足f（a）=ln a+1-a≥0．故a=1．∴实数a取值的集合是{1}．（II）证明：由（I）可知：a=1时，f（x）≥0，即ln x≥1-在x＞0时恒成立．要证明：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x，即证明：e x≥1+x2+（e-2）x，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．令h（x）=e x-1-x2-（e-2）x，x＞0．h′（x）=e x-2x-（e-2），令u（x）=e x-2x-（e-2），u′（x）=e x-2，令u′（x）=e x-2=0，解得x=ln2．可得：x=ln2时，函数u（x）在（0，ln2）内单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．即函数h′（x）在（0，ln2）内单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．而h′（0）=1-（e-2）=3-e＞0．h′（ln2）＜h′（1）=0．∴存在x0（0，ln2），使得h′（x0）=0，当x（0，x0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x（x0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．当x（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．又h（0）=1-1=0，h（1）=e-1-1-（e-2）=0，∴对∀x＞0，h（x）≥0恒成立，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．综上可得：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x，成立．【解析】（I）f′（x）=-=．（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性与极值，进而得出结论．（II）由（I）可知：a=1时，f（x）≥0，即lnx≥1-在x＞0时恒成立．要证明：e x+≥2-lnx+x2+（e-2）x，即证明：e x≥1+x2+（e-2）x，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．令h（x）=e x-1-x2-（e-2）x，x＞0．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（β为参数，β[0，π]），转换为直角坐标方程为：（x-4）2+y2=4（y≥0）．直线l的参数方程为（t为参数，α倾斜角），转换为极坐标方程为：θ=α．（2）由（1）可知：曲线C为半圆弧，若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．设P（ρ，θ），由题意知：，故：，故：ρ2+22=42，解得：．所以：点P（，）．【解析】1（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）∵m＞0，∴f（x）=|x-m|-|x+2m|=，，＜＜，，∴当x≤-2m时，f（x）取得最大值3m．∴m=1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，a2+b2=1，∴+===-2ab．∵a2+b2=1≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．∴0＜ab，令h（t）=-2t，0＜t，则h（t）在（0，]上单调递减，∴h（t）≥h（）=1，∴当0＜ab时，-2ab≥1，∴+≥1．【解析】（Ⅰ）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（Ⅱ）将所证不等式转化为-2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
四川2019届成都高三理数二诊理科数学(含答题卡及答案)
ʑ有９ ９％ 的把握认为满意程度与年龄有关 ． ( 据题意 , 该 ８ 名员工的贡献积分及按甲 , 乙两种方案所获补贴情况为 : Ⅱ) 积分 方案甲 方案乙 ２ ４ ０ ０ ３ ０ ０ ０ ２ ３ １ ０ ０ ３ ０ ０ ０ ３ ５ ２ ０ ０ ５ ６ ０ ０ ６ ５ ９ ０ ０ ５ ６ ０ ０ ７ ５ ９ ０ ０ ５ ６ ０ ０ ７ ８ ７ ０ ０ ９ ０ ０ ０ １ １ ９ ４ ０ ０ ９ ０ ０ ０ １ ２
������������４ 分
������������２ 分
( 解: 根据列联表可以求得 K 的观测值 : １ ８． Ⅰ)
２
n ) ( ２ １－２ n＋１ n＋１ ＝ － nˑ２ ＝( １－ n) －２． ２ １－２ n＋１ ) n－１ ２ ＋２． ʑTn ＝ (
８ ０ (２ ５ˑ３ ０－１ ０ˑ１ ５) ２ ８ ０ k＝ ＝ ʈ１ １． ４ ２ ９． ３ ５ˑ４ ５ˑ４ ０ˑ４ ０ ７ ȵ１ １． ４ ２ ９＞６． ６ ３ ５,
２ [ , ] ; １ ３． －１; ㊀㊀㊀ １ ４． ３ π;㊀㊀㊀１ ５． １ ㊀㊀㊀１ ６． ６． ２ ( 三． 解答题 : 共７ ０ 分)
( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分)
第Ⅱ卷
( 非选择题 , 共９ ０ 分)
( ) ( 解: 由题意 , 得２ 又 S３ ＝ １ ７． a２ ＋１ a１ ＋ a３ ． a１ ＋ a２ ＋ a３ ＝１ ＝ ４, Ⅰ) ( ) ʑ２ a２ ＋１ a２ , a２ ＝４, ＝１ ４－ ʑ １ ４ ȵS３ ＝ ＋４＋４ ４, ʑ q＝１ q＝２ 或q＝ , ２ q , ȵ q＞１ ʑ q＝２．
＋ nˑ２ ．
n
������������７ 分 ������������１ ０分 ������������１ １分 ������������１ ２分 ������������３ 分
四川省成都市2019届高三数学第二次诊断性检测试题理(含解析)
四川省成都市2019届高三数学第二次诊断性检测试题理（含解析）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】进行交集、补集的运算即可．【详解】∁U B＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.已知双曲线的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出c＝2，再根据1+b2＝c2＝4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程.【详解】双曲线C：的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，∵1+b2＝c2＝4，∴b，∴双曲线C的渐近线方程为y x，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题.3.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. －1 D. 1【答案】A【解析】【分析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4.已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【详解】条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
2019成都市高三二诊数学理科试题及详细解析
〖解析〗1、【考点】①集合的表示法；②全集，补集的定义与性质；③交集的定义，性质和运算方法。
【解题思路】根据集合的表示法，运用全集，补集的运算方法求出集合B 的补集，再利用交集的定义，性质和运算方法就可得出结果。
【详细解答】U=R ，B={x|x ≤-2或x ≥1}，∴U C B ={x|-2<x<1}，A={x|-1<x<3}，∴A （U C B ）={x|-1<x<1}，⇒A 正确，∴选A 。
2、【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线焦距的定义与性质；③双曲线渐近线的定义与求法。
【解题思路】根据双曲线焦距的定义与性质，运用双曲线实半轴a ，虚半轴B ，半焦距之间的关系先求出b 的值，再利用双曲线渐近线的基本求法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】双曲线C 为：2x -22y b =1（b>0）的焦距为4，∴2c=4，⇒c=2，a=1，2c =2a +2b ，∴2b =4-1=3，⇒∴双曲线的渐近线方程为：y=±， ⇒D 正确，∴选D 。
3、【考点】①向量坐标表示的定义与性质；②向量数量积坐标运算的基本方法；③向量数量积的几何意义。
【解题思路】根据向量的坐标表示，运用向量数量积坐标运算的基本方法求出向量的数量积，在利用数量积的几何意义就可得出结果。
【详细解答】a =1），b =（-3，∴|b ，a .b =-3⨯⨯a .b =|a |.|b |cos<a ，b >，∴|b |cos<a ，b >=.||a b a ==-1，⇒C 正确，∴选C 。
4、【考点】①不等式的定义与性质；②充分条件，必要条件的定义与性质；③充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法。
【解题思路】运用充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法，结合不等式的定义与基本性质，通过判断就可得出结果。
【详细解答】由a>b>0，可以推出1a <1b ，但由1a <1b，不能推出a>b>0， ∴由条件甲可以推出条件乙，但由条件乙不能推出条件甲，⇒条件甲是条件乙的充分不必要条件，⇒A 正确，∴选A 。
2019年四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科)
2019 年四川省成都七中高考数学二诊试卷（理科）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知复数 z 满足 z （ 1+i ）2=2-i （ i 为虚数单位），则 |z|为（）A. 2B.C.D. 12.设全集 U=R ，集合 M={ x|y=lg （ x 2-1}， N={ x|0 x 2}，则 N ∩ U M） =（）A.B.）C. ＜ ＜（ ?{ x|-2 ≤x ＜1}＜{ x|-1≤x ≤ 1}D.＜1}{ x|0 x ≤ 1}{ x|x 3.在（） n 的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则 n=（）A. 9B. 8C. 7D. 64. 在 △ABC 中， A=60 °， AB=2，且 △ABC 的面积为 ，则 BC 的长为（）A.B.C. 2D. 2225.在区间 [- π， π]内随机取两个数分别记为 a ，b ，则使得函数 f （ x ）=x +2ax-b +π有零点的概率为（）A.B. C. D.6. 如果执行如图所示的程序框图， 输出的 S=110，则判断框内应填入的条件是 （）A. k ＜ 10？B. k ≥ 11？C. k ≤ 10？D. k ＞ 11？f x ） = x+1 ，将 f x7. 已知函数 （ （ ）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1 个单位长度，得到函数 y=g （ x ）的图象，若 g （ x 1）?g （ x 2） =9，则 |x 1-x 2|的值可能为（）8. △ABC 外接圆的半径为1，圆心为 O，且 2 + + = ，| |=| |，则?等于（）A. B. C.3 D.9.给出下列说法：①“ x= ”是“ tanx=1”的充分不必要条件；②命题“ ?x0∈R， x0+ ≥2”的否定形式是“ ? x∈R， x+ ＞ 2”．③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30 种．其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 310.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A.B.C.D.11.设双曲线 C： - =1（a＞ 0，b＞ 0）的左右焦点分别为 F1，F 2，以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以 OF（O 为坐标原点）为直径的圆与PF 相切，12则双曲线 C 的离心率为（）A. B. C. D.12.f x）=若函数g x）=f f x））-2恰有5个零点，且最已知函数（（（（小的零点小于 -4，则 a 的取值范围是（）D.（，）A. （，）B.（，）C. （，）-∞ -10 +∞01 1 +∞二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x y10，119．已知这组，，，数据的平均数为10，方差为2，则 |x-y|的值为 ______．14. 已知实数x y满足，若x- y的最大值为6m=______．，，则实数15.已知A，B 两点都在以PC 为直径的球O 的体积为 8 π，则异面直线 PB 与O 的表面上， AB⊥BC， AB =2， BC=4，若球AC 所成角的余弦值为 ______．三、解答题（本大题共7 小题，共84.0 分）17.在数列{ a n}中，a1=1，a n+1=，设b n=，n∈N*（Ⅰ）求证数列 { b n} 是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设 c n=b n?2n-1，且数列 { c n} 的前 n 项和 S n，若λ∈R，求使 S n-1≤λc n恒成立的λ的取值范围．18. 某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为 4 元，售价为 10 元，该款面包当天只出一炉（一炉至少 15 个，至多 30 个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个 2 元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表日需求量1518212427频数108732（ 1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量 x（单位：个）线性相关，求y 关于 x 的线性回归方程；（ 2）以 30 天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X（单位：元）（ⅰ）若日需求量为15 个，求 X；（ⅱ）求 X 的分布列及其数学期望相关公式：==， = -19.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 ACC1 A1⊥底面ABC，AA1 =A1C=AC，AB=BC，AB⊥BC，E，F 分别为AC， B1C1的中点．（1）求证：直线 EF∥平面 ABB1A1；（2）求二面角 A1-BC-B1的余弦值．20.如图，已知椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为 F ，点 P 为椭圆 C 上任意一点，且|PF|的最小值为-1，离心率为，直线 l 与椭圆 C 交于不同两点A、B（ A、B都在 x 轴上方），且∠OFA +∠OFB =180°．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；（Ⅲ）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数 f（ x） =2xlnx+2 x， g（ x）=a（ x-1）（ a 为常数，且 a∈R）．（ 1）若当 x∈（ 1， +∞）时，函数 f（ x）与 g（ x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n 的值，使得 a∈（ n，n+1 ）（参考数值≈4.48，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（ 2）当 x＞ 3 时，证明： f（ x）（其中e为自然对数的底数）．22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是（ t 为参数），曲线 C 的参数方程是，（φ为参数），以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP：θ1=α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θl 交于 Q 点，若△OPQ 的面积为 1，求α的值和弦长 |OP|．2=与直线23.已知 a＞ 0， b＞0， c＞ 0，设函数 f（ x）=|x-b|+|x+c|+a， x∈R（Ⅰ）若 a=b=c=1 ，求不等式 f（ x）＜ 5 的解集；（Ⅱ）若函数 f（ x）的最小值为 1，证明：+ +≥18（a+b+c）答案和解析1.【答案】 C【解析】2，得，解：由z （1+i ）=2-i∴，故选：C ．把已知等式 变形，利用复数代数形式的乘除运算化 简，再由复数模的公式 计算．本题考查复数代数形式的乘法运算，考 查复数模的求法，是基 础题．2.【答案】 B【解析】解：∵全集 U=R ，集合 M={x|y=lg （x 2-1）}={x|x ＜ -1 或 x ＞ 1} ，∴C U M={x|- 1≤ x ≤ 1}，∵集合 N={x|0 ＜x ＜2} ，∴N ∩（?U M ）={x|0 ＜x ≤ 1}．故选：B ．由全集 U=R ，集合M={x|y=lg （x 2-1）}={x|x ＜-1 或 x ＞1} ，先求出C U M ，再由集合 N 能够求出 N ∩（?U M ）．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基 础题．解题时要认真审题，仔细解答．【答案】 B3.【解析】解： 的二 项展开式的通 项为 Tr+1 r-2-1 r，=C n（ ）∵第四 项的系数为-7，∴r=3，3 -2-1 3∴C n （ ）=-7，解得 n=8，先写出其通 项，再令 r=3，根据第四项的系数为 -7，即可求出 n 的值 ．本题主要考查二项式定理的 应用，二项展开式的通 项公式，求展开式中某 项的系数，属于中档题．4.【答案】 B【解析】解：∵在△ABC 中，A=60°，AB=2 ，且△ABC 的面积为，∴ AB?AC?sinA=，即 ×2×AC × = ，解得：AC=1，由余弦定理得：BC 2=AC 2+AB 2-2AC?AB?cosA=1+4-2=3，则BC=．故选：B ．利用三角形面 积公式列出关系式，把 AB ，sinA ，已知面积代入求出 AC 的长，再利用余弦定理即可求出 BC 的长．此题考查了余弦定理，三角形面 积公式，以及特殊角的三角函数 值，熟练掌握余弦定理是解本 题的关键．5.【答案】 B【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a ，b 使得函数 f （x ）=x 2+2ax-b 2+π有零点，∴△≥0∴a 2+b 2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a ，b ）|-π≤ a ≤π，-π≤ b ≤π}22∴S=（2π）=4π，而满足条件的事件是 { （a ，b ）|a 2+b 2≥π}，2 22∴s=4 π-π=3π，由几何概型公式得到 P= ，先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由 a，b 使得函数 f （x）=x 2+2ax-b2+π有零点，得到关于 a、b 的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．6.【答案】C【解析】该计算，解：由程序可知，程序是由 S=k（k+1）=110，得k=10，则当 k=10 时，k=k+1=10+1=11 不满足条件，所以条件为 k≤10．故选：C．阅读程序框图，可知程序执行的是求从 2 开始的前 k 个偶数的和，利用等差数列求和公式求出前 k 个偶数的和，由和等于 110 算出 k 的值，则判断框中的条件可求．本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f （x）=x+1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），将 f（x ）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得 y=2sin（4x- ）的图象；再把所得图象向上平移 1 个单位，得函数 y=g（x）=2sin（4x-）+1的图象，若 g（x1）?g（x2）=9，则 4x- = +2kπ，k∈Z；解得 x= + ，k∈Z；∴|x1-x2|的值为 T 的整数倍，且 T==．故选：B．化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y=g（x）的解析式，利用 g（x1）?g（x2）=9 求得 x1、x2满足的条件，再求 |x1-x2|的可能取值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵，∴，∴．∴O，B，C 共线，BC 为圆的直径，如图∴AB ⊥AC ．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选：C．利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC 为直角三角形，求出三边长可得∠ACB 的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC 为直角三角形及三边长，是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：①，“x= ”可得“tanx=1，”反之由 tanx=1，可得 x=kπ+，k∈Z，“ x= ”是“ tanx=1的”充分不必要条件，故①正确；③，将甲乙丙丁四个人分为 2，1，1，可有 C =6 种分法，再安排到三个班有6×6=36 种方法，考虑甲乙分到同一个班，可得 6 种方法，即有甲乙不在同一个班的方法数为30，故③ 正确．故选：C．由充分必要条件的定义和正切函数值，可判断① ；由特称命题的否定为全称命题，可判断② ；先考虑将四人分为三组 2，1，1，再安排到三个班，去除甲乙在同一个班，即可判断③ ．本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和命题的否定，以及分组的方法和排列组合应用题的解法，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由三视图知该几何体是三棱锥 A-BCD ，把它放入长方体中，如图所示；则三棱锥 A-BCD 的体积为 V A-BCD = S△BCD ?h=× ×2×4×2=，三棱锥外接球的直径为 2R=AC，所以 4R 2=AC2=22+22+42=24，解得 R=；积为 V球=3=8π所以外接球的体πR= ?，所以该几何体的体积与外接球的体积比为=．由三视图知该几何体是三棱锥，把它放入长方体中，计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积，求出体积比．本题考查了棱锥的结构特征与三视图，几何体的体积计算，是中档题．11.【答案】D【解析】解：设 F1N=ON=MN=r ，则 OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，又△MF2N∽△PF1F2，∴e= = ====，故选：D．设 F1N=ON=MN=r ，则 OF2=2r，根据勾股定理 MF 2=2r，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求得此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于 |2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．12.【答案】C【解析】解：作出函数 f（x）=的图象如图，由 y=的导数为y′=，当 x＞1 时，y=递增；当0＜x＜1时，函数 y=递减，可得 x=1 处 y=取得极小值1，y=ax+3 恒过定点（0，3），设 t=f （x ），可得g （x ）=f （t ）-2，当 a ≤0时，f （t ）=2 有两个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），t=f （x ）不可能有五个实根；当 a ＞ 0 时，f （t ）=2有三个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），还有一个小于 0，t=f （x ），t ＜0 时，最小的零点 x ＜-4，3 5由 at 3+3=2，即t 3=- ，ax 5+3=t 3=- ，可得3-4a ＞- ，可得 4a 2-3a-1＜0，解得- ＜a ＜1，由 a ＞0 可得 0＜ a ＜ 1．故选：C ．画出 f （x ）的图象，设 t=f （x ），可得g （x ）=f （t ）-2，结合函数 g （x ）=f （f （x ））-2 有 5个零点，对 a 分类讨论求解．本题考查函数零点的判定，考 查数形结合的解题思想方法及分 类讨论的数学思想方法，属难题．13.【答案】 4【解析】解：由题意可得：22x+y=20，（x-10）+（y-10）=8，设 x=10+t ，y=10-t ，则 2t 2=8，解得t= ±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为：4．利用平均数、方差的概念列出关于 x 、y 的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出 x 、y ，只要求出|x-y|即可，故可设 x=10+t ，y=10-t ，求解即可．本题考查统计的基本知 识，样本平均数与 样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．【答案】 814.【解析】约作出可行域解：由束条件如图，图形可知，要使直线 x-y=6 经过该平面区域内的点时，其在 x 轴上的截距达到最大，直线 x+y-m=0 必经过直线 x-y=6 与直线 y=1 的交点 A （7，1），于是有7+1-m=0，即 m=8．故答案为：8．依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x-y=6，结合图形可知，要使直线 x-y=6 经过该平面区域内的点时，其在x 轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0 必经过直线x-y=6 与直线y=1 的交点（7，1），于是有 7+1-m=0，即m=8．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】【解析】解：设球 O 的半径为 R，则，得，如下图所示，分别连取 PA、AB 、BC 的中点 M 、N、E，接 MN 、NE、ME 、AE ，易知，PA⊥平面 ABC ，∵AB ⊥BC，∴，∴，∵E 为 BC 的中点，则，∵M 、N 分别为 PA、AB 的中点，则 MN ∥PB，且，同理可得 NE∥AC ，且，所以，异面直线 PB 与 AC 所成的角为∠MNE 或其补角，且，在△MNE 中，，，ME=3，由余弦定理得．因此，异面直线 PB 与 AC 所成成的余弦值为．故答案为：．作出图形，分别取 PA、AB 、BC 的中点 M 、N、E，连接 MN 、NE、ME 、AE ，利用中位线的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线 PB 与 AC 所成的角为∠MNE 或其补角，并计算出△MNE 各边边长，利用余弦定理计算出cos∠MNE ，即可得出答案．本题考查球体体积，考查异面直线的定义，同时也考查了余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．16.【答案】13【解析】解：∵y2，焦点（，），准线圆22，圆心（，），半径=8x l0：x=-2，由：（x-2）F 2 0+y =1 2 0为 1．由抛物线的定义得：|AF|=x A +2，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A +1 同理：|CD|=x D +1当 AB ⊥x 轴时，则 x D=x A=2，∴|AB|+4|CD|=15．当 AB 的斜率存在且不为 0，设 AB ：y=k（x-2 ）时，代入抛物线方程，得：k 2x2-（4k2+8）x+4k2=0，∴x A x D=4，x A +x D=，∴|AB|+4|CD|=（x A +1）+4（x D+1）=5+x A +4x D≥ 5+2=13．当且仅当 x A=4x D，即x A =4，x D =1 时取等号，综上所述 |AB|+4|CD|的最小值为 13．故答案为：13．由抛物线的焦点弦公式：|AF|=x A+2，可得|AB|=x A +2 同理：|CD|=x D+1，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得|AB|+4|CD|的最小值．本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】（ I）证法一：由条件知，，所以，，所以 b n+1-b n=1，又，所以，数列 { b n} 是首项为1，公差为1的等差数列，故数列 { b n} 的通项公式为： b n=n．证法二：由条件，得=，又，所以，数列 { b n} 是首项为1，公差为1的等差数列，故数列 { b n} 的通项公式为： b n=n．（Ⅱ ）解：由（Ⅰ ）知，，则，①②由① -②得，==-1+ （ 1-n）?2n∴∵＞0，∴S -1≤λc 恒成立，等价于对任意 n∈N*恒成立．c n n n∵，λ≥2∴．【解析】（I）证法一：由条件两边取倒数可得：，可得b n+1-b n=1，即可证明．证法二：由条件代入递推关系得=，即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减法即可得出 S ．S≤λc 恒成立，等n n-1n价于对任意 n ∈N *恒成立．代入即可得出．本题考查了数列 递推关系、等差数列的定 义通项公式求和公式、 错位相减法、不等式的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）根据近 30 天的数据， ==21， ==6，=15 ×10+18 ×8+21 ×7+24 ×3+27 ×2=567 ，=15 2+182+21 2+24 2+272=2295 ，∴ = = = =- =-0.7，∴ = - =6+0.7 ×21=20.7．所以回归方程为=-0.7 x+20.7．（ 2）（ Ⅰ ）若日需求量为 15 个，则 X=15×（ 10-4） +（ 24-15） ×（ 2-4） =72 元，（ Ⅱ ）若日需求量为 18 个，则 X=18×（ 10-4） +（ 24-18） ×（ 2-4 ） =96 元， 若日需求量为 21 个，则 X=21×（ 10-4）+（ 24-21 ） ×（ 2-4） =120 元， 若日需求量为 24 个或者 27 个，则 X=24×（ 10-4 ） =144． 所以 X 的分布列为：X 7296120144P所以 E （ X ） =72× +96× +120× +144× =101.6 元．【解析】（1）求出 ， ，∑x i y i ，代入公式，求出 ， 即可．（2）（Ⅰ）若日需求为量 15，则可以以 10 元每个卖出 15 个，剩下的 9 个以 2 元每个卖出，即可求出 X 的值，（Ⅱ）计算出其他的日需求量所 对应的 X ，列出分布列，求出期望即可．本题考查了随机变量的概率分布列，回 归方程的求法，主要 侧重考查计算，属中档题．19.【答案】 （ 12 分）（ 1）证明：取 A 1C 1 的中点 G ，连接 EG ，FG ，由于 E ，F 分别为AC ， B 1C 1 的中点，所以 FG∥A1B1．又 A1B1? 平面 ABB1A1， FG ? 平面 ABB1 A1，所以 FG∥平面 ABB1A1．又AE ∥A1G 且 AE=A1G，所以四边形AEGA1是平行四边形．则 EG∥AA1．又 AA 1? 平面 ABB 1A1， EG? 平面 ABB1A1，所以 EG∥平面 ABB1A1．所以平面 EFG ∥平面 ABB1A1．又 EF? 平面 EFG，所以直线 EF ∥平面 ABB1A1．（ 6 分）（2）解：令 AA1=A1C=AC=2 ，由于 E 为 AC 中点，则 A1E⊥AC，又侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，交线为 AC，A1E? 平面 A1AC，则 A1E⊥平面 ABC，连接 EB，可知 EB， EC， EA1两两垂直．以 E 为原点，分别以EB，EC， EA1所在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，则 B（1， 0， 0）， C（0， 1， 0）， A1（ 0， 0，）， A（ 0， -1， 0），．所以，，，令平面 A1BC 的法向量为=（ x1， y1， z1），由则令，则=（，，1）．令平面 B1BC 的法向量为=（ x2， y2， z2），由则令，则=（，，-1）．由 cos== ，故二面角A1 -BC-B1的余弦值为．（12分）【解析】（1）取A 1C1的中点 G，连接 EG，FG，推出 FG∥A 1B1．证明 FG∥平面ABB 1A1．推出 EG∥AA 1．得到 EG∥平面 ABB 1A 1．证明平面 EFG∥平面ABB 1A1．然后证明直线 EF∥平面 ABB 1A 1．（2）连接 EB，可知 EB，EC，EA 1两两垂直．以 E 为原点，分别以 EB ，EC，EA1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 A 1BC 的法向量，平面B1BC 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角 A 1-BC-B 1的余弦值即可．本题考查直线与平面平行平面与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，可看出空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（ a＞ b＞ 0），∵离心率为，∴，∴a=，∵点 P 为椭圆 C 上任意一点，且 |PF |的最小值为-1，c=1a2 2 22∴ ，∴=b +c =b+1，22解得 a=2，b =1，∴椭圆 C 的方程为=1 ．（Ⅱ）由题意 A（0， 1）， F（ -1，0），∴k AF==1，OFA+ OFB =180 ° k BF=-1，∵∠∠．∴∴直线 BF 为： y=-（ x+1） =-x-1，代入，得 3x2+4x=0，解得 x=0 或 x=- ，代入 y=-x-1，得，舍，或，∴B（-，）．∴= ，∴直线 AB 的方程为： y=．（Ⅲ）存在一个定点M（ -2， 0），无论∠OFA 如何变化，直线l 总经过此定点．证明：∵∠OFA +∠OFB =180°，∴B 在于 x 轴的对称点B1在直线 AF 上，设直线 AF 的方程为： y=k（ x+1），代入，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由韦达定理得，，由直线 AB 的斜率，得AB的方程为：y-y1=（x-x1）令 y=0 ，得：x=x1-y1?，y1=k（ x1+1 ）， -y2=k（ x2+1 ），===≥ =-2 ，∴对于动直线 l ，存在一个定点 M （-2，0），无论 ∠OFA 如何变化， 直线 l 总经过此定点． 【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a ＞ b ＞ 0），由离心率为 ，点P 为椭圆 C 上任意一点，且 |PF|的最小值为-1，求出 a 2=2，b 2=1，由此能求出椭圆C 的方程．题A （0，1），F （-1，0），得kAF==1，从而k BF =-1，进而直线BF（Ⅱ）由 意为：y=-x-1 ，代入，得3x 2+4x=0，由此能求出直线 AB 的方程．（Ⅲ）由∠OFA+ ∠OFB=180°，知B 在于 x 轴的对称点 B 1 在直线 AF 上，设直线AF 的方程为：y=k （x+1），由，得（）x 2+2k 2x+k 2-1=0，由此利用 韦 达定理、直 线 的斜率、直 线 结对 于 动 直 线 l ，存 方程， 合已知条件能求出论 变 线 总经过 此定点．在一个定点 M （-2，0），无 ∠OFA 如何 化，直 l本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.【答案】 解：（1）记 F （ x ）f （ x ）-g （x ）=2xlnx+（2-a ）x+a ，则 F ′（ x ）=2lnx+4- a ，当 a ≤4时，因为 x ＞1， F ′（ x ）＞ 0，函数 F （ x ）单调递增， F （ x ）＞ F （ 1） =2=，函数 y=F （ x ）无零点，即函数 f （ x ）与 g （x ）的图象无交点；当 a 4 时， F x =0 ?x= 1 x1，）时， Fx 0，＞ ′（ ） ＞ ，且 ∈（ ′（ ）＜ x ＞时， F ′（ x ）＞ 0，所以， F （ x ） min =F （），函数 f （ x ）与 g （x ）的图象有且只有一个交点，得 F （x ） min =F （） =0，化简得： a-=0，记 h （ a ）=a-， h ′（ a ） =1- ＜ 0，所以 h （ a ）在（ 4， +∞）上单调递减，又 h （ 6）=6-2e ＞ 0， h （ 7） =7-2e ＜ 0， 所以 a ∈（6， 7），即 n=6．（ 2）由（ 1）得：当 x ＞ 3 时， f （ x ） ≥g （ x ）=a （ x-1）＞ 6（ x-1），只要证明： x ＞ 3 时， 6（x-1）即 eln （ x-2） -＞ 0，记 G（ x） =eln（ x-2） -，则 G′（ x） = -=，记φ（ x） =3 ex2-（ 6e+4 ） x+3 e+8，图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=1+＜3，且φ（ 3） =12e-4＞ 0，所以当 x＞ 3 时，φ（ x）＞ 0，即 G′（ x）＞ 0，所以 G（ x）在区间（ 3，+∞）上单调递增，从而 G（x）＞ G（ 3） =0，即 eln（ x-2） -＞0，成立，所以f（ x）成立．【解析】（1）记 F（x）f（x）-g（x）=2xlnx+ （2-a）x+a，则 F′（x）=2lnx+4-a，当a≤4时，F（x）＞F（1）=2，函数y=F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当 a＞4 时，可得 F（x） =F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交min点，得F x=F=0（）min（），化简得：a-记h（a）=a-导=0，，利用数可得 a∈（6，7），即n=6．（2）由（1）得：当x＞3时，f （x证时，6）≥g（x）=a（x-1）＞6（x-1 ），只要明：x ＞3（x-1）即 eln（x-2）-＞0即可，记 G（x）=eln（x-2）-，利用导数既可证明．本题考查了利用导数求函数单调证查了转计性、明函数不等式，考化思想、算能力，属于难题．22.（ t 为参数），【答案】解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程是转换为直角坐标方程为： x-y+1=0 ．转换为极坐标方程为：ρcos-θρsin θ+1=0．曲线 C 的参数方程是，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅱ）由于 0＜α＜，所以： |OP|=4cos α，|OQ|==．所以：==1，所以： tan α=1，由于： 0＜α＜，故：，所以： |OP|=4cos．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，而 |x-1|+|x+1|表示数轴上的x 对应点到1、 -1 对应点的距离之和，而 -2、 2 对应点到1、 -1 对应点的距离之和正好等于4，故它的解集为（-2， 2）．（Ⅱ）函数 f（ x） =|x-b|+|x+c|+a 的最小值为 |b+c|+a=b+c+a=1，∴（++）（b+c+a）=（++）? （a+b+b+c+a+c）= （+4+9）（a+b+b+c+a+c）≥?=18=18（ a+b+c）．【解析】（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式 f （x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜ 4，利用绝对值的意义求得它的解集．（Ⅱ）（++）（b+c+a）=（++）?（a+b+b+c+a+c），再利用柯西不等式求得要证的结论．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．第21 页，共 21页。
2019年四川省高考数学二诊试卷(理科)-普通用卷
2019年四川省高考数学二诊试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|≥0}，则A∩B=（）A. B. C. D. 2，2.i为虚数单位，若复数（m+mi）（m+i）是纯虚数，则实数m=（）A. B. 0 C. 1 D. 0或13.已知λ∈R，向量=（λ-1，1），=（λ，-2），则“ ⊥”是“λ=2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作a i（i=1，2，3，…，50），若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是（）A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B+b cos A=4sin C，则△ABC的外接圆面积为（）A. B. C. D.6.在（1+）（2x+1）3展开式中的常数项为（）A. 1B. 2C. 3D. 77.若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为（）A. B. C. 1 D.8.已知双曲线＞，＞上有一个点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足=0，且，则双曲线的离心率e的值是（）A. B. C. 2 D.9.节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：预测第年该国企的生产利润约为（）千万元（参考公式及数据：==；=-，（x i-）（y i-）=1.7，-n=10A. B. C. D.10.已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为10的圆（如图），这个几何体内接一个圆锥，圆锥的体积为27π，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.11.已知A（3，0），若点P是抛物线y2=8x上任意一点，点Q是圆（x-2）2+y2=1上任意一点，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 412.设函数f（x）满足f（x）=x[f'（x）-1nx]，且在（0，+∞）上单调递增，则f（）的范围是（e为自然对数的底数）（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sinα=，α∈（，），则sin（α+）的值为______．14.若函数f（x）=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log=______．15.若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值为______．16.在体积为3的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，AB=2，AC=3，则线段BC的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5=，a2a4=4．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n=na n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥．要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在（2）的条件下，再从[240，260），[260，280），[280，300）这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240，260）组，求随机变量ξ的分布列与期望和方差．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BB1C1C是长方形，A1B1⊥BC，AA11=AB，AB1∩A1B=E，AC1∩A1C=F，连接EF．（1）证明：平面A1BC⊥平面AB1C1；（2）若BC=3，A1B=4，∠A1AB=，求二面角C1-A1C-B1的正弦值．20.已知，椭圆C过点A（，），两个焦点为（0，2），（0，-2），E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为k1，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为k2．（1）求椭圆C的方程；（2）求k1+k2的值．21.已知f（x）=x lnx．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）-ax x=0有两个不同解，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为（其中t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=-．（1）把曲线C1的方程化为普通方程，C2的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C1，C2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E，F两点，求．23.已知函数h（x）=|x-m|，g（x）=|x+n|，其中m＞0，n＞0．（1）若函数h（x）的图象关于直线x=1对称，且f（x）=h（x）+|2x-3|，求不等式f（x）＞2的解集．（2）若函数φ（x）=h（x）+g（x）的最小值为2，求的最小值及其相应的m和n的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={1，2，3}，B={x|≥0}={x|x≥3或x＜2}，∴A∩B={1，2，3}∩{x|x≥3或x＜2}={1，3}．故选：C．求解分式不等式化简集合B，再利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，考查分式不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵复数（m+mi）（m+i）=（m2-m）+（m2+m）i是纯虚数，∴，即m=1．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：若“⊥”，则•=0，即（λ-1）λ-2×1=0，即λ2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，即“⊥”是“λ=2”的必要不充分条件，故选：B．根据向量垂直的等价条件求出λ的值，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量垂直的等价求出λ的值是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩a i，（1≤k≤60）k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB+bcosA=4sinC，∴由余弦定理可得：a×+b×==c=4sinC，∴2R==4，解得：R=2，∴△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π．故选：C．设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理化简已知可得c=4sinC，利用正弦定理可求2R==4，解得R=2，即可得解△ABC的外接圆面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵（1+）（2x+1）3=（1+）（8x3+12x2+6x+1），∴（1+）（2x+1）3展开式中的常数项为1+6=7．故选：D．展开（2x+1）3，即可得到乘积为常数的项，作和得答案．本题考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．7.【答案】A【解析】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后图象所对应解析式为：g（x）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x++φ），由g（x）关于y轴对称，则+φ=kπ，φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ=，即f（x）=2sin（2x+），当x∈[0，]时，所以2x+∈[，]，f（x）min=f（）=-，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：g（x）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x++φ），由g（x）关于y轴对称，则+φ=kπ，φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ=，由三角函数在区间上的最值得：当x∈[0，]时，所以2x+∈[，]，f（x）=f（）=-，得解min本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属基础题．8.【答案】B【解析】解：=0，可得AF⊥BF，在Rt△ABF中，|OF|=c，∴|AB|=2c，在直角三角形ABF中，∠ABF=，可得|AF|=2csin=c，|BF|=2ccos=c，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，∴||BF|-|AF||=|AF'|-|AF|=c-c=2a，∴e===+1．故选：B．运用锐角三角函数的定义可得|AF|=2csin=c，|BF|=2ccos=c，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得c-c=2a，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：由表格数据可得，，．-）（y i-）=1.7，又，（x∴=，，∴国企的生产利润y与年份x得回归方程为，取x=8，可得．故选：C．由已知数据求得与的值，可得线性回归方程，取x=8即可求得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．10.【答案】A【解析】解：如图是几何体的轴截面图形，设圆锥的底面半径为r，由题意可得：，解得r=3，所以该圆锥的侧面积：=9．故选：A．利用球的内接圆锥的体积，求出圆锥的底面半径与高，然后求解该圆锥的侧面积．本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为l：x=-2，焦点F（2，0），过P作PB⊥l，垂足为B，由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，圆（x-2）2+y2=1的圆心为F（2，0），半径r=1，可得|PQ|的最大值为|PF|+r=|PF|+1，由≥，可令|PF|+1=t，（t＞1），可得|PF|=t-1=|PB|=x P+2，即x P=t-3，y P2=8（t-3），可得==t+-4≥2-4=4-4，当且仅当t=2时，上式取得等号，可得的最小值为4-4，故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，过P作PB⊥l，垂足为B，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点雨圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及定义法的运用，考查圆的性质，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：令g（x）=f′（x），由f（x）=x[f'（x）-1nx]，故f′（x）=f′（x）-lnx+x[g′（x）-]，故g′（x）=，g′（x）＜0在（0，）恒成立，g（x）=f′（x）在（0，）递减，g′（x）＞0在（，+∞）恒成立，g（x）=f′（x）在（，+∞）递增，故f′（x）min=f′（），∵f（x）在（0，+∞）递增，故f′（x）=+lnx≥0在（0，+∞）恒成立，故在+ln≥0，f（）≥，故选：B．令g（x）=f′（x），求出函数的导数，根据函数的单调性求出f′（x）min=f′（），得到f′（x）=+lnx≥0在（0，+∞）恒成立，求出f（）的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．13.【答案】【解析】解：∵sinα=，α∈（），∴cosα=-，则sin（α+）=sinαcos+cosαsin=-=，故答案为：利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．14.【答案】-1【解析】解：因为f（1）=0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，所以f（0）=1，即=1，解得a=2，所以原式=log 2+log=log2）=-1，故答案为：-1．因为f（1）=0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，根据f（0）=1解得a=2，再代入原式可得．本题考查了函数的值域，属中档题．15.【答案】【解析】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1∴x+1+y=2，+=•（+）=（1+4++）≥（5+2）=，（当接仅当x=，y=时取“=”）故选：D．将x+y=1变成x+1+y=2，将原式+=•（+）=（1+4++）后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．16.【答案】或【解析】解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，四棱柱ABCD-A1B1C1D1体积为3，∴底面ABCD的面积为3．平行四边形ABCD边AB上的高为设BC=m，∠DAB=θ∴ADsinθ=，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos（π-θ）．∴⇒m=或m=．故答案为：或．可得底面ABCD的面积为3．平行四边形ABCD边AB上的高为．设BC=m，∠DAB=θ，可得ADsinθ=，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos（π-θ）．⇒m=或m=．本题考查了空间几何体体积的计算，及解三角形的知识，属于中档题．17.【答案】解：（1）由{a n}是递增等比数列，a1+a5=，a2a4=4=a32=4∴a1+a1q4=，；解得：a1=，q=2；∴数列{a n}的通项公式：a n=2n-2；（2）由b n=na n（n∈N*），∴b n=n•2n-2；∴S1=；那么S n=1×2-1+2×20+3×21+……+n•2n-2，①则2S n=1×20+2×21+3×22+……+（n-1）2n-2+n•2n-1，②将②-①得：S n=+n•2n-1；即：S n=-（2-1+20+2+22+2n-2）+n•2n-1=+n•2n-1．【解析】（1）根据{a n}是递增等比数列，a1+a5=，a2a4=4．即可求解数列{a n}的通项公式（2）由b n=na n（n∈N*），可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和S n．本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）由频率和为1，列方程（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）×20=1，得x=0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5；年平均销售量的众数是=230，∵（0.002+0.009 5+0.011）×20=0.45＜0.5，∴年平均销售量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则（0.002+0.009 5+0.011）×20+0.012 5×（a-220）=0.5，解得a=224，即中位数为224；（2）年平均销售量在[220，240）的农贸市场有0.012 5×20×100=25（家），同理可求年平均销售量[240，260），[260，280），[280，300]的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为=，∴从年平均销售量在[240，260）的农贸市场中应抽取15×=3（家），从年平均销售量在[260，280）的农贸市场中应抽取10×=2（家），从年平均销售量在[280，300）的农贸市场中应抽取5×=1（家）；即年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取3、2、1家；（3）由（2）知，从[240，260），[260，280），[280，300）的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家；所以ξ的可能取值分别为0，1，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×=，方差为D（ξ）=×+×+×+×=．【解析】（1）由频率和为1列方程求出x的值，再计算众数、中位数；（2）求出年平均销售量在[220，240）、[240，260）、[260，280）和[280，300]的农贸市场有多少家，再利用分层抽样法计算应各抽取的家数；（3）由（2）知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望和方差．本题考查了频率分布直方图，众数、中位数，分层抽样，概率，分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．19.【答案】（1）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，A1B1⊥BC，∴A1B1⊥B1C1．又∵在长方形BCC1B1中，B1C1⊥BB1，A1B1∩BB1=B1，∴B1C1⊥平面AA1B1B．∵四边形AA1B1B与四边形AA1C1C均是平行四边形，且AB1∩A1B=E，AC1∩A1C=F，连接EF，∴EF∥BC．又BC∥B1C1，∴EF∥B1C1，又B1C1⊥平面AA1B1B，∴EF⊥平面AA1B1B．又AB1，A1B均在平面AA1B1B内，∴EF⊥AB1，EF⊥A1B．又平面A1BC∩平面AB1C1=EF，AB1⊂平面AB1C1，A1B⊂平面A1BC．∴由二面角的平面角的定义知，∠AEA1是平面A1BC与平面AB1C1所成二面角的平面角．又在平行四边形A1ABB1中，AA1=A1B1，∴平行四边形A1ABB1为菱形，由菱形的性质可得，A1B⊥AB1，∴，∴平面A1BC⊥平面AB1C1；（2）解：由（1）及题设可知，四边形AA1B1B是菱形，，，∴在△A1AB中，由余弦定理可得AB=AB1=AA1=4．又由（1）知，EB，EA，EF两两互相垂直，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∴E（0，0，0），A（2，0，0），A1（0，-，0），C（0，，3），B1（-2，0，0）．，，，，，，，，，，，．设平面AA1C的法向量为，，，平面A1B1C的一个法向量为，，．由，取，得，，；由，取，得，，．∴cos＜，＞=．设二面角C1-A1C-B1的大小为θ，则sinθ=＜，＞=．∴二面角C1-A1C-B1的正弦值为．【解析】（1）由三棱柱的结构特征可知BC∥B1C1，又A1B1⊥BC，可得A1B1⊥B1C1，在长方形BCC1B1中，证明B1C1⊥平面AA1B1B．由四边形AA1B1B与四边形AA1C1C均是平行四边形，可得EF∥BC，进一步得到EF∥B1C1，则EF⊥平面AA1B1B，证明∠AEA1是平面A1BC与平面AB1C1所成二面角的平面角．由菱形的性质可得A1B⊥AB1，即，从而得到平面A1BC⊥平面AB1C1；（2）由（1）及题设可知，四边形AA1B1B是菱形，，，求得AB=AB1=AA1=4．以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．分别求出平面AA1C与平面A1B1C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C1-A1C-B1的正弦值．本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），且c=2，2a=+=+=2，即有a=，b==，则椭圆的方程为+=1；（2）设直线AE：y=k（x-）+，代入椭圆方程可得（5+3k2）x2+3k（5-3k）x+3（-）2-30=0，可得x E+=，即有x E=，y E=k（x E-）+，由直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，可将k换为-k，可得x F=，y F=-k（x F-）+，则直线EF的斜率为k1===1，设直线l的方程为y=k2（x-）+，代入椭圆方程可得：（5+3k22）x2+3k2（5-3k2）x+3（-）2-30=0，由直线l与椭圆C相切，可得△=9k22（5-3k2）2-4（5+3k22）•[3（-）2-30]=0，化简可得k22+2k2+1=0，解得k2=-1，则k1+k2=0．【解析】（1）可设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=2，由椭圆的定义计算可得a，进而得到b，即可得到所求椭圆方程；（2）设直线AE：y=k（x-）+，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E的坐标，由题意可将k换为-k，可得F的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF的斜率，设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的相切的条件：判别式为0，可得直线l的斜率，进而得到所求斜率之和．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线的斜率之和，注意联立直线方程和椭圆方程，运用判别式和韦达定理，考查化简整理的运算能力和推理能力，是一道综合题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ln x+1，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故x=时，f（x）极小值=f（）=-；（2）记t=x lnx，t≥-，则e t=e x lnx=（e ln x）x=x x，故f（x）-ax x=0，即t-ae t=0，a=，令g（t）=，g′（t）=，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜1，令g′（t）＜0，解得：t＞1，故g（t）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故g（t）max=g（1）=，由t=x lnx，t≥-，a=g（t）=的图象和性质有：①0＜a＜，y=a和g（t）有两个不同交点（t1，a），（t2，a），且0＜t1＜1＜t2，t1=x lnx，t2=x lnx各有一解，即f（x）-ax x=0有2个不同解，②-＜a＜0，y=a和g（t）=仅有1个交点（t3，a），且-＜t3＜0，t3=x lnx有2个不同的解，即f（x）-ax x=0有两个不同解，③a取其它值时，f（x）-ax x=0最多1个解，综上，a的范围是（-，0）∪（0，）．【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）记t=xlnx，得到t-ae t=0，a=，令g（t）=，求出g（t）的最大值，通过讨论a 的范围，确定解的个数，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中t为参数），转换为直角坐标方程为：y2=2x．曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=-．转换为直角坐标方程为：x-y-1=0．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且中点P（x0，y0），联立方程为：，整理得：x2-4x+1=0所以：x1+x2=4，x1x2=1，由于：，y0=1．所以线段AB的中垂线参数方程为（t为参数），代入y2=2x，得到：，故：，t1•t2=-6，所以：EF=|t1-t2|==2，|PE||PF|=|t1•t2|=6故：．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）函数h（x）的图象关于直线x=1对称，∴m=1，∴f（x）=h（x）+|2x-3|=|x-1|+|2x-3|，①当x≤1时，（x）=3-2x+1-x=4-3x＞2，解得x＜，②当1＜x＜时，f（x）=3-2x+x-1=2-x＞2，此时不等式无解，②当x≥时，f（x）=2x-3+x-1=3x-4＞2，解得x＞2，综上所述不等式f（x）＞2的解集为（-∞，）∪（2，+∞）．（2）∵φ（x）=h（x）+g（x）=|x-m|+|x+n|≥|x-m-（x+n）|=|m+n|=m+n，又φ（x）=h（x）+g（x）的最小值为2，∴m+n=2，∴=（）（m+n）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为2，其相应的m=n=1．【解析】（1）先求出m=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，（2）根据绝对值三角形不等式即可求出m+n=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．。
2019年四川省成都七中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(解析版)
18． （12 分）如图，边长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，
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（Ⅰ）证明：AF∥面 EBD1； （Ⅱ）求二面角 E﹣BD1﹣A1 的余弦值．
19． （12 分）一袋中装有 6 个球，红蓝两色各半，从袋中不放回取球 k（1≤k≤6，k∈Z）次， 每次取 1 个球． （Ⅰ）求下列事件的概率： ①事件 A：k＝2，取出的球同色； ②事件 B：k＝5，第 k 次恰好将红球全部取出； （Ⅱ）若第 k 次恰好取到第一个红球，求抽取次数 k 的分布列和数学期望． 20． （12 分）如图，点 N（1，0） 、D（﹣4，0） ，点 P 是圆 M： （x+1） +y ＝16 上一动点， 线段 PN 的垂直平分线交线段 PM 于点 Q，设点 Q 的轨迹为曲线 R．且直线 y＝k（x+1） （k＞0）交曲线 R 于 A，B 两点（点 B 在 x 轴的上方） ． （Ⅰ）求曲线 R 的方程； （Ⅱ）试判断直线 DA 与曲线 R 的另一交点 C 是否与点 B 关于 x 轴对称？
2019 年四川省成都七中高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）
一、选择题：本题共 12 道小题，每小题 5 分，满分共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1． （5 分）已知集合 A＝{0，a，1}，B＝{x|0＜x≤l}，若 A∩B 中有两个元素，则实数 a 的 取值范围是（ A． （0，1] C． （﹣∞，0]∪（1，+∞） 2． （5 分） （2x+ A．第 5 项
B．[ ，
7． （5 分）设 x，y 满足约束条件
，若目标函数 z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最
大值为 2，则（ A．a＝4