22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第2课时
九年级数学上册 22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=ax-h2+k的图象和性质一导学课件
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图 象和性质（一）
1 …核…心…目…标…..…
2 …课…前…预…习…..… 3 …课…堂…导…学…..… 4 …课…后…巩…固…..… 5 …能…力…培…优…..…
核心目标
了解二次函数y＝ax2 ＋k与y＝ax2的联系，掌握二 次函数y＝ax2＋k的性质．
也在此抛物线上的是( )
A．(2，1)
B．(－2，1)
C．(1，－2)
D．(－1，2)
课后巩固
10．如下图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax ＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )
A
B
C
D
课后巩固
11．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移3个单位，那么
所得新抛物线＝
1 2
x2；③y＝－2x2＋1；
④y12＝
x2－3.其中形状相同的是
__________，形状相同、开口方向也相同的是
13．二__次__函__数_(y填＝序mx号2＋)．m－2的图象的顶点在y轴的负 半轴上，且开口向上，则m的取值范围为 __________．
课后巩固
课前预习
1．如右图,在同一直角坐标系中, 画出二次函数y＝x2＋1，y＝ x2－1的图象，并填空： (1)抛物线y＝x2＋1的开口向 ______________，对称轴是 ______________，顶点坐标 是_______________； (2)抛物线y＝x2－1的开口向_____________， 对称轴是____________，顶点坐标是
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(课件+教案+练习+反思)
课题：22.1.3二次函数k h x a y +-=2)(的图象教学目标：1、会用描点法画二次函数y=a(x-h)²+k 的图象，并通过图象认识函数的性质.2、能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 教学过程：重点：二次函数y=a(x-h)²+k 的性质.难点：把实际问题转化为数学问题.教学过程设计 一．复习导入1填表：抛物线 开口方向 对称轴顶点坐标+1-1二次函数y=ax²+k 对称轴为 __________，顶点坐标为 ____________ K>0时，y=ax² ___________ y=ax²+k K<0时，y=ax² ___________ y=ax²+k 2填表 抛物线开口方向 对称轴 定点坐标 y=2x ²y=2(x-1)².y=2(x+1)².二次函数y=ax²+k 对称轴为--------------顶点坐标为 -----------h<0时, y=ax² ----------- y=a(x-h)²--，25.0x y -=25.0x y -=25.0x y -=h>0时，y=ax² ------- ------y=a(x-h)²让学生复习已学习的知识，再学习新知识 ，达到新旧 知识的链接。
二．学习新知例题：画出函数 的图像，指出它的对称轴，开口方向，顶点坐标①列表②描点 ③连线x… … ……观察图象可得： 抛物线2)1(221+--=x y 的开口方向 ， 对称轴是 ， 顶点坐标是 ； 当 时，y 随x 的增大而增大，当 时，y 随x 的增大而减小．抛物线2)1(221+--=x y 可以看成是抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到．★你还有其他的平移方法吗？1)1(212-+-=x y 1)1(212-+-=x y学生画出图像，并讨论图像有什么特点： 归纳：1．抛物线k h x a y +-=2)(有如下特点： （1）当a >0时，开口 ，当a <0时，开口 ． （2）对称轴是直线 ．（3）顶点坐标是 ．2．一般地，抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的形状 ，位置 ； 把抛物线 2ax y = 向 向 平移，可以得到抛物线k h x a y +-=2)(平移的方向、距离要根据 、 的值来决定 给学生时间让他们记住这些特点，并能运用这些特点去完成下列题目。
2022九年级数学上册 第22章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质 3二次函数y=a(x-h)
1－(－3)＝4，∴S△PAB＝
1 2
×4×2＝4.
考查角度二 二次函数与水流问题 14.(课本P36例4改编)某公园有一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷 水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下(如图)，假设水流喷 出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25. (1)求喷出的水流离地面的最大高度；
解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间 的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25，∴喷出的水流 离地面的最大高度为2.25 m．
(2)求喷嘴离地面的高度；
(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋2.25＝1.25，∴喷嘴离地面的高度为1.25 m．
(3)假设把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水 流不落在水池外？
(3)当y＝0时，0＝－(x－1)2＋2.25，解得x1＝－0.5(舍 去)，x2＝2.5.∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出 的水流不落在水池外．
拔尖角度一 根据对称轴的位置与最值的关系求待定字母的值
15.二次函数y＝－(x－h)2＋1(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与 其对应的函数值y的最大值为0，那么h的值为( )
y＝2x2
易错点 将图象平移与坐标轴平移混淆
10.函数y＝2x2的图象是抛物线，假设抛物线不动，把x轴、y轴分别向 上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )
B A.y＝2(x－2)2＋2 B.y＝2(x＋2)2－2 C.y＝2(x－2)2－2 D.y＝2(x＋2)2＋2
11.二次函数y＝－(x－1)2＋m(m是常数)，当x分别取－1，1，2时，对应的
知识点二 抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的平移关系
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的
－1 2 0
0 1 －1
1 2 0
2 5 3
3 10
· · ·
·
· · ·
· · ·
8 · · ·
8
y x2 y = x2＋ 1
4
2 y = x2－ 1 －4
－2
－2
2
4
（1）抛物线 y x 1, y x 1 的开口方向、对 称轴、顶点各是什么？ 开口方向都向上，对称轴为y轴， y = x2＋1的顶点坐标是 （0，1）， y = x2－1的顶点坐标是（0，－1） 2 2 y x 1 , y x 1 与抛物线 y x 2 有什么关系？ （2）抛物线 如右图所示
当a＜0时，抛物线y=ax2+ k的开口向下, 在对 称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右上升， 函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，即
x＞0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大
而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数
y取得最大值，即当x=0时，y最大值= k
练习
在同一直角坐标系中，画出下列二处函数的图象：
2
－4 －2 －2 －4 2
4 y 2 x 2 3.4
一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是 y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2的图像向上 （ k＞0）或向下（ k＜0）平移 k 个单位得到的。 当a＞0时，抛物线y=ax2+ k的开口向上, 在对称轴的左边，即x ＜0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称 轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而 增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即 当x=0时，y最小值= k
人教版数学九年级上册22.1《二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质(^2)》名师教案
22.1.3 二次函数2()y a x h k =-+的图象和性质第二课时〔刘佳〕一、教学目标 〔一〕学习目标〔1〕掌握二次函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质及平移规律 〔2〕掌握二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质及平移规律 〔3〕能用二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质解决实际问题 〔二〕学习重点二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象和性质. 〔三〕学习难点二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠与2(0)y ax a =≠的关系. 二、教学设计 〔一〕课前设计 1．预习任务〔1〕抛物线2()(0)y a x h a =-≠当0a >时开口向 上 、当0a <时开口向 下 ，对称轴是 直线x=h ，顶点是 〔h,0〕 ；当0h >时，抛物线2ax y =向 右 平移 h 个单位得抛物线2()(0)y a x h a =-≠，当0h <时，抛物线2ax y =向 左 平移 个单位得抛物线2()(0)y a x h a =-≠。
(2) 抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠当0a >时开口向 上 、当0a <时开口向 下 ，对称轴是 直线x=h ，顶点是 〔h,k 〕 ；当0h >时，抛物线2ax y =向 右 平移 h 个单位、再向 上 (k>0)平移 k 个单位得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠，当0h <时，抛物线2ax y =向 左 平移 h 个单位、再向 下 (k<0)平移 │k│ 个单位得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠。
2．预习自测（1） 抛物线25(2)3y x =-+-的对称轴是_________，顶点坐标是_________.【知识点】2()(0)y a x h k a =-+≠的图象性质 【答案】2x =-，(2,3)--【解题过程】由二次函数图象性质易得答案为：2x =-，(2,3)-- 【思路点拨】掌握2()(0)y a x h k a =-+≠的图象性质，是解题的关键 〔2〕抛物线212y x =向______平移1个单位、再向 平移3个单位可得抛物线21(1)32y x =-+. 【知识点】2()(0)y a x h k a =-+≠的平移规律【答案】右，上【解题过程】由二次函数图象性质易得：右，上【思路点拨】掌握2()(0)y a x h k a =-+≠的平移规律，是解题的关键〔3〕假设抛物线y ＝a(x –1)2＋k 上有一点A(3,5)，那么点A 关于对称轴对称点A′的坐标为__________。
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(教案)
一、教学内容
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质
1.二次函数y=a(x-h)^2的图象特点
- a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下
- h为抛物线的对称轴，即x=h
-抛物线顶点为(h, 0)
2.二次函数y=a(x-h)^2的性质
（2）强调对称轴（x=h）和顶点（(h, k)）的概念，解释它们与函数最值、单调性的关系，并通过具体例子进行说明。
（3）详细讲解图象的平移变换，使学生掌握左加右减、上加下减的变换规律，并能运用到具体问题中。
（4）结合实际情境，如物体抛掷、经济模型等，展示二次函数的应用，强调数学知识在实际问题中的运用。
1.提供更多具有代表性的案例，让学生在实际问题中运用所学知识。
2.加强对学生的引导和启发，提高他们在解决问题时的独立思考能力。
3.优化问题设计，使学生在讨论过程中能够更加聚焦主题。
4.针对不同学生的掌握程度，进行有针对性的辅导和答疑。
2.掌握二次函数图象变换方法，提高学生数学建模、数学运算的能力。
-通过图象变换，培养学生建立数学模型，解决实际问题的能力。
-在变换过程中，锻炼学生准确进行数学运算，提高解题效率。
3.培养学生运用二次函数知识解决实际问题的意识，提升数学应用、数据分析的核心素养。
-结合实例分析，引导学生运用所学知识解决生活中与二次函数相关的问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2022九年级数学上册 第22章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质 3二次函数y=a(x-h)
(2)假设(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D，C的坐标.
(2)令x＝0，则y＝(0－1)2＝1，∴点D的坐标为(0，1)．由
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点一 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝1 (x－2)2的图象可能是(D )
2
A
B
C
D
2.对于函数y＝－2(x－1)2的图象，以下说法不正确的选项D 是( )
15.某抛物线和函数y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点
坐标是(－1，0)，那么此抛物线的解析式为________
______.
y＝2(x＋1)2或y＝－2(x＋1)2
考查角度一 由线段相等求抛物线的解析式
16.如图是二次函数y＝1 (x－h)2的图象，其中OA＝OC，试求该抛物线的解
A.开口向下
B.对称轴是直线x＝1
C.最大值为0
D.顶点坐标是(0，1)
3.以下有关二次函数y＝2(x＋4)2的性质，描述正确的选项D是( ) A.当x＞0时，y随x的增大而减小 B.当x＜0时，y随x的增大而增大 C.当x＞－4时，y随x的增大而减小 D.当x＜－4时，y随x的增大而减小
4.抛物线y＝－(x＋7)2的开口向____下____，对称轴为直__线__x_＝__－__7_，顶点坐标 是_(_－__7_，__0_)；当__x_<_－__7__时，y随x的增大而增大；当__x_>_－__7__时，y随x的 增大而减小；当x＝_-_7______时，函数y有最_大_____(填“最大〞或“最小〞)值.
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：说课稿(22.1.3二次函数的图象和性质(第2课
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：说课稿（22.1.3二次函数的图象和性质（第2课一. 教材分析二次函数是初中数学中的重要内容，对于学生来说，理解二次函数的图象和性质是掌握二次函数的关键。
本节课的内容主要包括二次函数的图象特点、开口方向、对称轴、顶点坐标的求法以及函数的最值等。
教材通过生动的图片和实例，引导学生探究二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究能力。
二. 学情分析初中生已具备了一定的函数知识，对一次函数和正比例函数有一定的了解。
但二次函数图象和性质的学习，对于学生来说还具有一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，采取适当的教学策略，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生掌握二次函数的图象特点、开口方向、对称轴、顶点坐标的求法以及函数的最值。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生探究二次函数图象和性质的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在探究过程中获得成就感。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特点、开口方向、对称轴、顶点坐标的求法以及函数的最值。
2.教学难点：二次函数的图象和性质的内在联系，以及如何运用这些性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用探究式教学法、小组合作学习和多媒体辅助教学等方法。
通过引导学生观察、分析、归纳，培养学生的探究能力和团队合作精神。
同时，利用多媒体课件，生动展示二次函数的图象和性质，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中常见的二次函数实例，引导学生关注二次函数，激发学生的学习兴趣。
2.探究二次函数的图象特点：让学生观察多媒体课件中的二次函数图象，引导学生发现二次函数的开口方向、对称轴等特征。
3.学习二次函数的性质：通过小组合作学习，让学生互相交流讨论，共同总结二次函数的性质。
二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
解析式
对称轴
顶点坐标 （1，1） （-1，1） （2，1） （-2，1） （3，-2） （-3，2）
最值
X=1 解析式 X=-1
1
1
X=2
1
X=-2
1
X=3
-2
X=-3
2
X=h
(h,k)
k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向上 向下 向下 向上
x=3 x=-3 x=2 x=-1
(3,3) (-3,-2) (2,-1) (-1,1)
3 -2 -1 1
结论: 一般地，抛物线 y = a(xh)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数 y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
开口方向对称轴顶点 Nhomakorabea最值
增减性 x<3，递减；x>3，递增 x>-3，递减；x<-3，递增 x>-2，递减；x<-2，递增 x<-1，递减；x>-1，递增
向上平移7个单位，向右平移3个单位
人教版九年级数学教案：22.1.3二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质
二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象和性质教材内容分析： 二次函数是最基本的一类初等函数，也是初中数学的重要的内容之一。
本章内容，既是对之前所学函数知识的一个补充，对函数知识系统的一个完善，也是 以后学习高等函数知识的一个基础。
因此，本章的内容在学生的知识系统中起着 一个承上启下的作用，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所 用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型。
二次函数的图像 ----抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广 泛的应用。
这为学生进一步学习函数、体会函数思想奠定基础和积累经验知识与技能： 会用描点法画出二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象； 过程与方法： 结合图象确定抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 的开口方向、对称轴与顶点坐标及 性质； 情感态度与价值观： 通过比较抛物线 y＝a (x－h) 2＋k 与 y＝ax2 的关系，培养学生的观察、分 析、总结的能力。
学情分析: 学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以 根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生 独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上， 重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点 教学重点：画出形如 y＝a (x－h)2＋k 的二次函数的图象，能指出开口方 向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数 y＝a (x－h)2＋k 与 y＝ax2 及其图象的相互关系。
教学过程 一、复习导入新课 师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察 y＝－x2 、 y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2 这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条 抛物线。
师： 同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物 线能否经过怎样的平移得到抛物线 y＝－(x＋1)2－1 生: 向左平移一个单位,再向下平移一个单位。