河北省衡水中学2021届高三上学期七调考试数学(理)试题 (含答案)
1 河北省衡水中学2021届高三上学期七调考试 数学（理）试题 本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名，考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数2izi=+，若复数1z，2z
在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12zz的虚部为（ ）
A．35− B．35 C．45− D．45 2．已知集合2{},|1xAyyxR==+
，()ln6*{}BxyxxN==−,，集合CAB=．则集合C的子
集的个数为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．已知随机变量X服从正态分布()0,1N，随机变量Y服从正态分布()1,1N，且()10.1587PX=，则()12PY=（ ）
A．0.1587 B．0.3413 C．0.8413 D．0.6587 4．已知正项等比数列na的首项11a=，前n项和为nS，且1S，2S，32S−成等差数列，则4a=（ ）
A．8 B．18 C．16 D．116 5．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，正视图中的曲线为四分之一圆弧，则该几何体的表面积是（ ） 2
A．36 B．32 C．28 D．24 6．函数1()sin||fxxxx=−
在[),0,]0(−的图象大致为（ ）
A． B． C． D． 7．执行如图所示的程序框图，如果输入的10N=．那么输出的S=（ ） A．11112310++++ B111.12!3!10!++++ C．11112311++++ D．11112!3!11!++++ 8．已知点()3,2M−−，抛物线24xy=
，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线．P为抛物线上一点，过P
作PQl⊥，点Q为垂足，过P作FQ的垂线1l，1l与l交于点R，则QRMR+的最小值为（ ） A．113+ B．13 C．10 D．32
9．设实数x，y满足不等式组40300xyxyy−+
+
，若zaxy=+的最大值为1，则a=（ ）
A．14− B．14 C．2 D．2−
10．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q．这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U．其3
计算式子为212121111UkcqRRxxRxRx=+−−+−+−，其中，kc为静电常量，1x，2x分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知12121xxRxxRR−+−=+，1111xRxRR+=+，221xRxRR−=−
．且()1211xxx−+−+，则U的近似值为（ ）
A．2123kcqxxR B．2123kcqxxR− C．21232kcqxxR D．21232kcqxxR− 11．已知双曲线2222:1(0,xyCabab−=0）的左，右焦点分别为1F，2F，过1F的直线MN与C的左支
交于M，N两点，若()21210FFFMMF+=，22||2FNFM=，则C的渐近线方程为（ ） A．33yx= B．3yx= C．22yx= D．2yx=
12．若,min,,aababbab
=
，()sincosfxxx=+，()sincosgxxx=−，()()min{,()}hxfgxx=，
关于函数()hx的以下结论： ①T=； ②对称轴方程为212kx+=，kZ； ③值域为2,1−；
①在区间35,44上单调递减． 其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．已知向量()1,2a=−，()3,4b=，若向量c与a共线，且c在b方向上的投影为5，则c=__________． 14．国际高峰论坛组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个4
媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为__________． 15．设数列na的前n项和为nS．若11a=，535S=．且11(2*11nnnSSSnnNnnn−+=+−+且），则
12231011111aaaaaa+++值为__________．
16．已知正方体1111ABCDABCD−
的棱长为1．以顶点A为球心，233为半径作一个球，则球面与正方体
的表面相交所得到的曲线的长等于__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos3sinbcaBaB+=+． （1）求角A； （2）若23a=，求ABC△的面积的最大值． 18．（本小题满分12分〉） 如图①，平行四边形PBCD中，A为PD的中点，2PD=，2PB=，45P=，连接AB，将PAB△沿AB折起，得到四棱锥PABCD−，如图②，点E在线段PA上，若//PC平面BDE．
（1）求证：2PEAE=； （2）若二面角PABC−−的平面角为60，求平面PBC与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 5
19．（本小题满分12分） 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的焦距为27，其中一条渐近线的倾斜角为，且tan=32．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．
（1）求椭圆E的方程； （2）设点A是椭圆E的左顶点，P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为14−，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点．说明理由． 20．（本小题满分12分） 已知函数()2lnfxxmxmx=−−，其中0m． （1）若1m=．求函数()fx的极值； （2）设()()gxfxmx=+．若1()gxx在()1,+上恒成立，求实数m的取值范围． 21．（本小题满分12分） 中国女排，曾经十度成为世界冠军．铸就了响彻中华的女排精神．女排精神的具体表现为： 扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧；顽强拼搏，同甘共苦，团结我斗，刻苦钻研，勇攀高峰．女排精神对各行各业的劳动者起到了激励，感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞． （1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格 月份x 1 2 3 4 5
体重超重的人数y 640 540 420 300 200
若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？ （2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员，B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为12，传给C队员的概率为12；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为23，传给C队员的概率为13；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为23，传给B队员的概率为13，记na，nb，nc为经过n次传球后球分别恰由A队员，B队员，C队员控制的概率． 6
（i）若3n=，B队员控制球的次数为X，求()EX； （ⅱ）若112233nnnabc−−=+，111123nnnbac−−=+，111123 nnncab−−=+，2n，*nN． 证明：
数列25,na−为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与25的大小．
附1：回归方程ybxa=+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1122211()(())nniiiiiinniiiixynxyxxybxnyxxx====
−−==−−−
，aybx=−．
附2：参考数据：515180iiixy==，522222211234555iix==++++=． 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程cos,3sin3xy==（为φ为参数）．圆2C的方程为()2211xy−+=，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l
的极坐标方程为()00=． （1）求曲线1C和2C的极坐标方程； （2）当002时，若射线l与曲线1C和圆2C分别交于异于点O的M、N两点，且2ONOM=，求2MCN△的面积． 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()fxxaxbc=++−+，其中0a，0b，0c （1）当1abc===时，求不等式()4fx的解集；
（2）若()fx的最小值为3．求证：2223bcaabc++．
河北省衡水中学2021届高三数学上学期四调考试试题 理(含解析)
2021-2022度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ） A. (),0-∞B. (],0-∞C. ()1,+∞D.[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据AB A =得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）35 30 6【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠= 设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD 中6cos ,6226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 4.已知α、β都为锐角，且217sin α=2114cos β=，则α﹣β＝（ ）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解. 【详解】因为α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，所以27cos α=，57sin β=，由()21212757491sin sin cos cos sin 982αβαβαβ-=-==-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A. 32B. 52C. 72D. 92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A.21+ B.312+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+，再由AM AB λ=，AN AC μ=，可得出1344AP AM AN λμ=+，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值. 【详解】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC ∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC AN μ=，1344AP AM AN λμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133331211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+31+，故选B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为 故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B = E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQDNC 11111hV V V V S h h Sh S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭下． 故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设()()22D 22x x a e aa =-+-++,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )A. 2B. 3C. 21+D. 31+【答案】C 【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线xy e =的垂线，此时D 取得最小值， 即Q 为切点，设(,)m m e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有112FQ +==，则D 的最小值为21+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0xx x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4 【解析】 【分析】先求18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】因为函数()2log ,042,0xx x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】 【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧，∴1122AF F MAF MF==3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y轴右侧时，|AF2|10542==，故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC∆中，斜边4AB=，D为AB的中点，将ACD∆沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD'-，若三棱锥C A BD'-的外接球的半径为5，则A DB'∠=_________.图（1）图（2）【答案】23π【解析】【分析】5分析即可解决．【详解】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=，∴A 'F 2251R OF =-=-=2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =-=-=2，∴三角形A 'DF 为等边三角形， ∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e 【解析】 【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f xg x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0），即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e+）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]，则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x=+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减，∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0， 故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为：32e ⎛⎫⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE . 【答案】（1）60C =；（2）CE =【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-，BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=， 60C ∴=；（2）由1()2CE CD CB =+，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以192CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EFPB ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2, 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB=．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k=<与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ面积的2倍，求k的值．【答案】（1）22194x y+=；(2)12-．【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得3,2a b==.则椭圆的方程为22194x y+=.（II）设点P的坐标为()11,x y，点M的坐标为()22,x y，由题意可得215x x=.易知直线AB的方程为236x y+=，由方程组236,,x yy kx+=⎧⎨=⎩可得2632xk=+.由方程组221,94,x yy kx⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x=.结合215x x=，可得89k=-，或12k=-.经检验k的值为12-.详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得2259ca=，又由222a b c=+，可得23a b=．由||AB==,从而3,2a b==．所以，椭圆的方程为22194x y+=．（II）设点P的坐标为11(,)x y，点M的坐标为22(,)x y，由题意，21x x>>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1294x k =+．由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ； （2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（25【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出BD 3=，继而得到BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得3BD =，进而90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠， 在ADE ∆，1AD =，3DE =，6AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=， ∴5sin 3ADE ∠=，∴53AH AD =⋅，在Rt AHB ∆中，5sin 6AH ABH AB ∠==， ∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值56.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =- 【解析】 【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p+），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程． 【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2pA -， 设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++，即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（I ）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -.（II ）（i ）见解析.（ii ）[7,1]-. 【解析】试题分析：求导数后因式分解根据1a ≤，得出4a a <-，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对()g x 求导，根据函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，解得0()0f x '=，根据()f x 的单调性可知()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，得出32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤，求出()f a 的范围，得出b 的范围.试题解析：（I ）由()()32634f x x x a a x b =---+，可得()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，令()'0f x =，解得x a =，或4x a =-.由1a ≤，得4a a <-. 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.（II ）（i ）因为()()()()''xg x e f x f x =+，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()()()()0000000'x x x x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.（ii ）因为()xg x e ≤，[]001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.又因为()01f x =，()0'0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于1a ≤，故14a a +<-，由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()xg x e ≤在[]001,1x x -+上恒成立.由()()326341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令()32261t x x x =-+，[]1,1x ∈-，所以()2'612t x x x =-，令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]7,1-. 所以，b取值范围是[]7,1-.【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.。
2021届河北省衡水中学高三上学期新高考四调考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前衡水中学2020－2021学年度高三年级上学期四调考试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2og 1{|l }A x x =<，集合{|B y y ==，则A B ⋃=（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞2．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若双曲线()2210mx ny m +=>，则mn=（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．－44．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2D5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，BC AC =．根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（ ）A B C ．2D ．8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()20202020f e < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点()1,2M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0-B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．||AB =10．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b+ B ．21a b+的最小值为2 C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++ 11．已知函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ）A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若()()124f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为－212．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α、下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C ．点M 为1CC ；的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设,a b 为单位向量，且|1rra b -=，则|2|a b -=__________．14．已知数列{}n a 满足21,1log (3),2,*n n n a n n n N +=⎧=⎨+≥∈⎩，定义使123)(*a a a k N ⋅⋅∈为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]1,2020内所有“幸福数”的和为__________． 15．关于x 的方程ln 1xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围__________． 16．设双曲线222116x y b -=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程__________；M 在曲线E 上，点()8,0A ，()5,6B ，则1||||2AM BM +的最小值__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，4n n a S +=，设2log n n b a =（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由． （2）求数列21211n n b b -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos222CC -+=③()sin sin sin a A B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，sin sin A B =，2c =，__________，求角C 及ABC △的面积S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点．（1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点(F ，椭圆的两顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点M ，N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．22．已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =…是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案详解1．D解：∵{}2log 1A x x =<{}02x x =<<，{B y y =={}0y y =≥，∴[0,)AB =+∞，故选：D ．2．D依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(),1,122a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选D ．本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。
河北省衡水中学2021届高三上学期新高考四调考试数学(理)试题含答案
衡水中学2020－2021学年度高三年级上学期四调考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2og 1{|l }A x x =<，集合{|B y y ==，则A B ⋃=（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞2．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若双曲线()2210mx ny m +=>mn=（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．－44．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2D 5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，12BC AC =．根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ． C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．2D ．8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()20202020f e < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点()1,2M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0-B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．||AB =10．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b +B ．21a b +的最小值为2C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++11．已知函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ）A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为－212．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α、下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C ．点M 为1CC ；的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设,a b 为单位向量，且|1rra b -=，则|2|a b -=__________．14．已知数列{}n a 满足21,1log (3),2,*n n n a n n n N +=⎧=⎨+≥∈⎩，定义使123)(*a a a k N ⋅⋅∈为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]1,2020内所有“幸福数”的和为__________．15．关于x 的方程ln 1xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围__________． 16．设双曲线222116x y b -=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程__________；M 在曲线E 上，点()8,0A ，()5,6B ，则1||||2AM BM +的最小值__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，4n n a S +=，设2log n n b a =（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由． （2）求数列21211n n b b -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos222CC -+=③()sin sin sin a A B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，1sin sin 4A B +=，2c =，__________，求角C 及ABC △的面积S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点．（1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点(F ，椭圆的两顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点M ，N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．22．已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =…是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案详解1．D解：∵{}2log 1A x x =<{}02x x =<<，{B y y =={}0y y =≥，∴[0,)AB =+∞，故选：D ．2．D依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(),1,122a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选D ．本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。
2021届河北衡水中学高三上学期一调考试数学(理)试卷
C． D．
二、填空题
12．设 ，变量 ， 在约束条件 下，目标函数 的最大值为 ，则 _________．
13．函数 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是_________．
14．已知 在 时有极值0，则 的值为____．
15．定义在 上的函数 满足： ，当 时， ，则不等式 的解集为_________．
联立方程 ，可得点 ，
因此曲线 ，直线 及y轴所围成的图形的面积为：
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了定积分的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
6．B
【分析】
利用奇偶性可排除A、C；再由 的正负可排除D.
【详解】
，
，故 为奇函数，排除选项A、C；又 ，排除D，选B.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.
2．C
【解析】
试题分析：由题意得， ，故选C．
考点：复数的运算．
3．B
【解析】
试题分析：由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为 ，三棱柱的体积为 ，所以该几何体的体积为 ，故选B．
考点：几何体的三视图及几何体的体积．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图，得出该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，即可求解该组合体的体积．
【详解】
2019届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(文)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．2．已知复数z满足，则A．B．1 C．D．5【答案】C【解析】试题分析：由题意，．【考点】复数的运算．3．已知，，，(为自然对数的底数)，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分别计算出和的大小关系，然后比较出结果【详解】，，，则故选【点睛】本题考查了比较指数、对数值的大小关系，在解答过程中可以比较和的大小关系，然后求出结果。
4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【答案】D【解析】选项A错，并无周期变化，选项B错，并不是不断减弱，中间有增强。
C选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大。
D选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以会比1月份。
选D.5．在等差数列中，，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.【详解】在等差数列{a n}中，由与作和得：=（）+-（）∴a1+a9 =a2+a8，∴==6．∴a5=6．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．6．设是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（）A．3 B．C．4 D．【答案】A【解析】用表示,在利用向量数量积的运算，求得的值.【详解】，故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的计算，还考查了等边三角形的几何性质，属于基础题.7．已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（）A．B．5 C．D．4【答案】C【解析】分析：先设，再根据的最小值为求出p的值，再求|BF|的长得解.详解：设，则因为，所以或（舍去）.所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查抛物线的基础知识.(2)解答本题的关键是转化的最小值为，主要是利用函数的思想解答.处理最值常用函数的方法，先求出函数|PA|的表达式再求函数在的最小值.8．已知，则的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B 9．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：由三视图可知还几何体是以ABCD为底面的四棱锥，由此可求其外接球的半径，进而得到它的外接球的表面积.详解：由三视图可知还几何体是以为底面的四棱锥，过作，垂足为，易证面，设其外接球半径为，底面ABCD 是正方形外接圆，．设圆心与球心的距离为，则由此可得，故其外接球的表面积故选B.点睛：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.11．在斜中，设角，，的对边分别为，，，已知，若是角的角平分线，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，可得结合余弦定理可得又是角的角平分线，且，结合三角形角平分线定理可得，再结合余弦定理可得的值，则可求.【详解】由已知，根据正弦定理可得又由余弦定理可得故即结合三角形角平分线定理可得，再结合余弦定理可得，，由，可得故故选B.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.12．（原创，中等）已知函数，若且满足，则的取值范围是（)A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，结合分段函数的范围可得，又，构造函数，求函数导数，利用单调性求函数值域即可.【详解】由，得.因为，所以，得.又令.令 .当时，，在上递减故选A.【点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值域取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。
2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学(文)试题(解析版)
12021届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，，则=A ．B ．C ．D ．2．下列关于命题的说法错误的是 A ． 命题“若，，则”的逆否命题为“若，则”B ． “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C ． 命题“，使得”的否定是：“均有”D ． “若为的极值点，则”的逆命题为真命题3．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为A ． 第二象限B ． 第一象限C ． 第四象限D ． 第三象限4．函数的极值点的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 5．函数的图象是A ．B ．C ．D ．6．已知函数在区间内单调递增，且，若，则的大小关系为 A ．B ．C ．D ．7．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是A ． 0B ． 0或C ．或D ． 0或8．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像 A ．向左平移512π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向右平移512π个长度单位9．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．10．若函数在区间内没有最值，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．已知函数，，若成立，则的最小值是A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2 12．已知函数 ，若方程在上有3个实根，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知角的终边经过，则________．14．给出下列四个命题：函数的一条对称轴是；函数的图象关于点对称；若，则，其中；④函数的最小值为.以上四个命题中错误的个数为____________个.15．已知()()y f x xR =的导函数为()f x '，若()()32f x f x x --=，且当0x ≥时()23f x x '>，则不等式()()21331f x f x x x -->-+的解集是__________．三、解答题16．已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.17．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.18．函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.19．已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.20．已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.21．已知函数()2ln f x x mx =-， ()212g x mx x =+， R m ∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.22．已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.2019届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】因为，或，所以，故选.2．D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A 是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。
河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学(文)试题(精编含解析)
，若
且满足
，则
的取值
A.
B.
【答案】A
【解析】
【分析】
C.
D.
由
，得
，结合分段函数的范围可得
，又
数
，求函数导数，利用单调性求函数值域即可.
【详解】由
，得
.
因为
，所以
，得
.
又
令 .
令
.
当
时，
， 在 上递减
，构造函
故选 A. 【点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根 的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值域取值范围问题；研究方程根 的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思 想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、 函数与方程、分类讨论思想的应用.
，
若
，则目标函数在 点取得最大值，
解方程
，得
，则
，解得
若
，则目标函数在 点取得最大值，
，不满足题意；
解方程 故答案为 2.
，得
，则
，解得 ，满足题意。
题。
【点睛】本题考查了目标函数含参的线性规划问题，属于中档
15.已知定义在 上的偶函数 ，满足
，当
时，
，则
__________．
【答案】
【解析】
分析：由
；此外，需注意裂项之后相消的
18.等边三角形 的边长为 6， 为三角形 的重心， 过点 且与 平行，将 沿直线 折起，使
得平面
平面 .
数学丨衡水中学2021届高三上学期二调考试数学试卷及答案
河北省衡水中学2021届高三上学期二调考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}220,1381,{2,N}x A x x x B x C x x n n =-=<<==∈∣∣∣，则()A B C ⋃⋂= A.{}2B.{}0,2C.{}2,4D.{}0,2,42.要得到函数2cos y x =的图象，只需将函数2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C.向上平移4π个单位D.向下平移4π个单位3.已知函数()()f x x x a b =-+，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()10f =，则b 的值为 A.-2B.-1C.1D.24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为2212,1,n S a a a +=与4a 的等差中项为2，则4S 的值为 A.6 B.-2 C.-2或6 D.2或65.已知3sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.33B.63 C.13 D.13-6.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是A.1()sin 22f x x x =-B.()sin 2f x x x =+C.()tan f x x x =+D.1()cos 2f x x x =-7.已知min{,}m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，当0a b <<时，有()()f a f b =，则的值为 A.6B.8C.9D.168.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=A.10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B.9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ C.5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D.4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分共20分。
河北省衡水中学2019-2020高三上学期七调考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年度上学期高三年级七调考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则集合（）A. B.C. D.2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（）A. -2B. 4C.D. -43. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.4. 已知数列为等比数列，若，则（）A. 有最小值12B. 有最大值12C. 有最小值4D. 有最大值45. 如图，中心均为原点的双曲线和椭圆有公共焦点，，是双曲线的两个顶点，若，，三点将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）学+科+网...学+科+网...A. 3B. 2C.D.6. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图是一枚8圆形金质纪念币，直径是22，面额为100元.为了测算图中军旗部分的面积，现将1粒芝麻向纪念币内投掷100次（假设每次都能落在纪念币内），其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.7. 函数的部分图像大致为（）A. B. C. D.8. 已知曲线，，曲线经过怎样的变换可以得到，下列说法正确的是（）A. 把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度B. 把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C. 把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D. 把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变9. 更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（）A. 68B. 17C. 34D. 3610. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B.C. D.11. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（）A. 6，3B. 5，2C. 4，5D. 2，712. 若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知某校100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是__________．14. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则以两双曲线的四个焦点为顶点的四边形的面积为__________．15. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围为__________．16. 如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在中，为边上一点，且，已知，.（1）若是锐角三角形，，求角的大小；（2）若的面积为，求的长.18. 国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（已知该校学生平均每天运动的时间范围是），如下表所示.男生平均每天运动的时间分布情况：女生平均每天运动的时间分布情况：（1）假设同组中的每个数据均可用该组区间的中间值代替，请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）.（2）若规定平均每天运动的时间不少于的学生为“运动达人”，低于的学生为“非运动达人”.（ⅰ）根据样本估算该校“运动达人”的数量；（ⅱ）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.参考公式：，其中.参考数据：19. 如图，在三棱柱中，已知，，点在底面上的投影是线段的中点.（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长.（2）求三棱柱的侧面积.20. 如图，已知直线关于直线的对称直线为，直线，与椭圆分别交于点，和，，记直线的斜率为.（1）求的值.（2）当变化时，试问直线是否恒过定点，若恒过定点，求出该定点的坐标；若不恒过定点，请说明理由.21. 已知函数的最大值为，的图像关于轴对称.（1）求实数，的值.（2）设，则是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位长度得到曲线.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）解不等式；（2）若实数，满足，求的最小值.2019-2020学年度上学期高三年级七调考试解析版一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】,所以.故选.2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（）A. -2B. 4C.D. -4【答案】B【解析】,虚部为,故选B.3. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,由于两个向量垂直,所以,解得,故选B.4. 已知数列为等比数列，若，则（）A. 有最小值12B. 有最大值12C. 有最小值4D. 有最大值4【答案】A【解析】,所以,故选A.5. 如图，中心均为原点的双曲线和椭圆有公共焦点，，是双曲线的两个顶点，若，，三点将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】是双曲线的两顶点，将椭圆长轴四等分椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍双曲线与椭圆有公共焦点，的离心率的比值是故答案选视频6. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图是一枚8圆形金质纪念币，直径是22，面额为100元.为了测算图中军旗部分的面积，现将1粒芝麻向纪念币内投掷100次（假设每次都能落在纪念币内），其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】B学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...则圆形金质纪念币的面积为πr2=π×112=121π，∴估计军旗的面积大约是.故选：B.7. 函数的部分图像大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.8. 已知曲线，，曲线经过怎样的变换可以得到，下列说法正确的是（）A. 把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度B. 把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C. 把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D. 把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变【答案】B【解析】对于,,所以先所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到,再向右平移个单位长度得到.故选B.9. 更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（）A. 68B. 17C. 34D. 36【答案】C【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当时，，此时，则；这时，，此时，，这时，输出，运算程序结束，应选答案C。
优质解析：河北省衡水中学2021届高三上学期四调考试数学(文)试题(解析版)
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知复数32iz i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：3223115iz i i i i i-=-+=---=--,所以15z i =-+对应的点在第二象限，故选B. 考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.2. 设 A B ，是全集{}1 2 3 4I =，，，的子集，{}1 2A ＝，，则满足A B ⊆的B 的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B考点：集合的表示及集合间的关系. 3. 抛物线23y x =的焦点坐标是（ ）A ．3 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 012⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】C 【解析】试题分析：抛物线23y x =的标准方程为213x y =，所以其焦点坐标为10 12⎛⎫⎪⎝⎭，，故选C.考点：抛物线的标准方程及几何性质.4. 设向量()()1 2 1m =-=a b ，，，，若向量2+a b 与2-a b 平行，则m =（ ） A ．72- B ．12- C.32 D ．52【答案】B考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.5. 圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．22k ≤-或22k ≥B ．22k ≤- C.2k ≥ D ．22k ≤-或2k > 【答案】B 【解析】试题分析：圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点211k ⇔≤⇔+22k ≤-或22k ≥,所以“22k ≤-”是“圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件”，故选B. 考点：1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件.6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（ ） A ．3 B ．303 C.3- D ．303- 【答案】A 【解析】试题分析：由201620172016(1)0a a a q +=+=得1q =-，所以10113S a ==，故选A. 考点：等比数列的性质与求和.7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ．18-B ．18 C.116 D ．132【答案】A考点：1.程序框图；2.二倍角公式与诱导公式. 8. 函数()2xf x x a=+的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】试题分析：当0x =时，1()f x x=为第中个图象；当0a >时，函数的定义域为R ，对应图象为第二个，当0x <时，2()x f x x a=+的定义域为{}|x x a ≠±-，对应图象为第三个，因此函数()2xf x x a =+的图象可能是（2）（3）（4），故选C.看完 考点：函数的定义域与函数的图象.9. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面面积为（ ）A ．26．656．2346 【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，取DC 的中点M ，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面为五边形EFMHN ，其中1222MF BD ==，222114442322HM PC ==++= 334HR PC HM =-=由题意可得BD ⊥平面PAC ，所以MF EF ⊥,那么五边形EFMHN 的面积12223223532S =⨯= C.NRMHFEC DABP考点：1.平面的性质；2.线面垂直的判定与性质.10. 设1F ，2F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ，若1225tan 15PF F ∠=，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．5 B ．5 C.5 D ．5 【答案】D考点：1.圆的性质；2.椭圆的标准方程及几何性质.【名师点睛】本题考查圆的性质、椭圆的标准方程及几何性质，属中档题；椭圆的几何性质是高考的热点内容，求离心率或取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量,,a b c 满足的等量关系或不等量关系，以确定ca的取值范围．11. 四棱锥P ABCD-的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD-的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为（）A．12π B．24π C.36π D．48π【答案】A考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积与体积.【名师点睛】本题考查三视图、球的切接问题、球的表面积与体积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及计算能力，属中档题；；根据三视图判断几何体的结构特征，画出几何体的直观图，根据几何体的特征，进行计算得出结果，是高考常考题型.12. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，定点()0 2A ，，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线C 的准线交于点N ，则:MN FN 的值是（ ） A ．()52:5- B ．2:5 C.()5:15+ D ．1:25【答案】C考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，属中档题；在解抛物线有关问题时，首先应该画出图形，数形结合求解，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线()1:12220l m x y m +++-=，()2:2220l x m y +-+=，若直线12l l ∥，则m =． 【答案】2-【解析】试题分析：直线1l 的斜率112l m k +=-，直线2l 的斜率222l k m =--，由1222m m +-=--得2m =-或3m =，当2m =-时，直线1:260l x y -+-=与直线2:2420l x y -+=平行，符合题意；当3m =时，直线1:4240l x y ++=与直线2:220l x y ++=重合，不符合题意；所以2m =-. 考点：两条直线的位置关系.14. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，且3 6A C c ==，，()2cos cos 0a c B b C --=，则ABC △的面积是． 【答案】183考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换与诱导公式.15. 若不等式组1026x y x y x y a≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是．【答案】(3,5) 【解析】试题分析：在坐标平面内作出不等式组所表示的平面区域，由图可知，当直线x y a +=位于图中虚线1:3l x y +=与2:5l x y +=之问题是，该平面区域为四边形，所以实数a 的取值范围是(3,5)考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属中档题；本题是含参数的线性规划问题，解决的基本方法就是先画出不含参的二元一次不等式所表示的区域，再由侌参的直线在直角坐标平面内平移或旋转，数形结合，由图形凑数符合题意的条件，求出参数的范围即可。