九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程课件新人教版
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人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 一元二次方程
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
不同 点
探究新知
素养考点 一元二次方程一般形式的有关概念
例 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常 数项.
二次项、二
解： 去括号，得
次项系数、一次
3x2-3x=5x+10
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
(3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为
a×22+b×2+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
课堂小结
一元二次 方程
定义 等号两边都是整式，只含一个未知 数且未知数的最高次数是2的方程
概念
判断 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次）
巩固练习
（3）4x(x+2)=25
(4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二 次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
21.1一元二次方程“教案”(杨几何人教课件+教案+学案三统一)
六、布置作业:课本P4，“练习”第1，2题.
教学反思：
二备
教学Biblioteka 过程一、新课导入
1.自主学习课本P1“雕像设计”；
2.自主学习课本P2“问题1”；
3.自主学习课本P2“问题2”。
二、新知探究
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
2．定义：
一元二次方程是：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程.
三、例题讲解
【例1】将方程 化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.
中小学电子教案（导学案）
年级
九年级
班级
九（1）、九（2）班
学科
数学
执教
课题
21.1一元二次方程
课类
新授课
主备
审定
授课时间
第课时
教学
目标
1.了解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程（重点）；
2.理解将实际问题转化为一元二次方程模型的方法（难点）；
3.感受“形式化”的数学思想（重点）.
教法
教师主导步骤（要点问题化）
（2）若x＝2是方程 的一个根，你能求出a的值吗？
【例2】关于x的方程 的一个根为x=3，则实数k的值为（）
A．1B．-1C．2D．-2
跟踪训练：你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
四、随堂练习
1.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，请列出相应的方程。
2.上海世博会某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.请列出相应的方程。
3.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3千万元，预计2010年投入5千万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，请列出相应的方程。
教学反思：
二备
教学Biblioteka 过程一、新课导入
1.自主学习课本P1“雕像设计”；
2.自主学习课本P2“问题1”；
3.自主学习课本P2“问题2”。
二、新知探究
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
2．定义：
一元二次方程是：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程.
三、例题讲解
【例1】将方程 化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.
中小学电子教案（导学案）
年级
九年级
班级
九（1）、九（2）班
学科
数学
执教
课题
21.1一元二次方程
课类
新授课
主备
审定
授课时间
第课时
教学
目标
1.了解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程（重点）；
2.理解将实际问题转化为一元二次方程模型的方法（难点）；
3.感受“形式化”的数学思想（重点）.
教法
教师主导步骤（要点问题化）
（2）若x＝2是方程 的一个根，你能求出a的值吗？
【例2】关于x的方程 的一个根为x=3，则实数k的值为（）
A．1B．-1C．2D．-2
跟踪训练：你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
四、随堂练习
1.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，请列出相应的方程。
2.上海世博会某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.请列出相应的方程。
3.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3千万元，预计2010年投入5千万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，请列出相应的方程。
一元二次方程及其解法
解： 3和-2.
你注意到了吗？ 一元二次方程可
能不止一个根.
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2
√
3y2=(3y+1)(y-2)
×
x2=x3+x2-1
×
3x2=5x-1
√
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 1
练一练
已知关于x的方程 k 3 x2 2x 1 0，当 k__≠_3___
时，它是一元二次方程．
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正 方形？请根据题意列出方程.
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x
3600cm2,得(100 2x)(50 2x) 3600
整理，得 4x2 300x 1400 0
典例精析
例2 解下列方程：
(3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，
再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
人教版九年级数学上册《公式法》优秀ppt
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方
程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将
方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
人教版九年级数学上册《21.2.2公式 法》课 件（共2 8张PPT ）
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时，
x
b
2
2a
b
2
4ac 4a2
＜0.
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
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人教版九年级数学上册《2公1.式2.法2公 》式优 法秀》 ppt课 件（共2 8张PPT ）
x 7 121 7 11.
21
2
即 x1 = -9, x2 = 2 .
2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得
x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式
3x2 - 7x + 8 = 0,
这里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac =(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96
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第二十一章 一元二次方程
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21.1 一元二次方程
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21.2 解一元二次方程
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阅读与思考 黄金分割数
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21.3 实际问题与一元二次方程
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数学活动
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2020人教版九年级数学上册全册 课件【完整版】目录
0002页 0046页 0081页 0109页 0142页 0192页 0204页 0250页 0335页 0412页 0495页 0657页 0743页 0783页 0815页 0837页 0864页
Hale Waihona Puke 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 小结 22.1 二次函数的图象和性质 信息技术应用 探索干净函数的性质 阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系 小结 第二十三章 旋转 23.2 中心对称 23.3 课题学习 图案设计 数学活动 复习题23 24.1 圆的有关性质 实验与探究 圆和圆的位置关系 阅读与思考 圆周率π 实验与探究 设计跑道
小结
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人教版九年级数学上册全册完整 课件目录
0002页 0036页 0081页 0107页 0173页 0225页 0252页 0274页 0307页 0336页 0393页 0437页 0492页 0494页 0518页 0537页 0567页
第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 小结 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 22.3 实际问题与二次函数 数学活动 复习题22 23.1 图形的旋转 信息技术应用 探索旋转的性质 阅读与思考 旋转对称 小结 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积
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第二十二章 二次函数
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22.1 二次函数的图象和性质
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22.2 二次函数与一元二次方程
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21.3 实际问题与一元二次方程
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数学活动
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小结
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复习题21
第二十一章 一元二次方程
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21.1 一二次方程
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21.2 解一元二次方程
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阅读与思考 黄金分割数
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信息技术应用 探索干净函数的 性质
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第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 小结 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 22.3 实际问题与二次函数 数学活动 复习题22 23.1 图形的旋转 信息技术应用 探索旋转的性质 阅读与思考 旋转对称 小结 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积
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第二十二章 二次函数
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21.1 一二次方程
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21.2 解一元二次方程
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2022-2023学年人教版数学九年级上册作业课件 21.1 一元二次方程
A．－2 B．2 C．－4 D．4 6．(4分)(兰州中考)x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的一个解， 则2a＋4b＝( A) A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
7．(4 分)下列数值：①－1；②0；③1；④12 中， 是一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的根的是_①__④_．(填序号)
解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，则原式＝m2＋2m＋ 1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
17．(12分)(教材P4练习T2改)根据下列问题，列出关于x的方程， 并将其化为一元二次方程的一般形式： (1)5个完全相同的正方形的面积之和是36，求正方形的边长x； (2)一个矩形的长比宽多3，面积是100，求矩形的宽x； (3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x. 解：(1)5x2＝36，一般形式为5x2－36＝0 (2)x(x＋3)＝100，一般形式为x2＋3x－100＝0 (3)x2＋(x－2)2＝100，一般形式为x2－2x－48＝0
15．(8分)若关于x的方程(2m2＋m－3)x|m＋1|＋7x－3＝0是一元二次方程， 求m的值． 解：由题意，得|m＋1|＝2，∴m＝1或－3. 当m＝1时，2m2＋m－3＝0，不合题意，舍去， 当m＝－3时，2m2＋m－3＝12≠0，符合题意． ∴m＝－3
16．(8分)已知m是方程x2＋x－1＝0的一个根，求代数式(m＋1)2＋(m＋1)(m －1)的值．
【素养提升】 18．(12分)(大庆中考改)关于x的一元二次方程ax2＋2x＋c＝0(ac≠0). (1)若x＝c是方程的一个根，求ac的值； (2)若x0是方程的一个根，设M＝(ax0＋1)2，N＝1－ac，比较M，N的大小． 解：(1)由题意，得ac2＋2c＋c＝0，∴ac2＝－3c. ∵ac≠0，∴a≠0，c≠0.∴ac＝－3
7．(4 分)下列数值：①－1；②0；③1；④12 中， 是一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的根的是_①__④_．(填序号)
解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，则原式＝m2＋2m＋ 1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
17．(12分)(教材P4练习T2改)根据下列问题，列出关于x的方程， 并将其化为一元二次方程的一般形式： (1)5个完全相同的正方形的面积之和是36，求正方形的边长x； (2)一个矩形的长比宽多3，面积是100，求矩形的宽x； (3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x. 解：(1)5x2＝36，一般形式为5x2－36＝0 (2)x(x＋3)＝100，一般形式为x2＋3x－100＝0 (3)x2＋(x－2)2＝100，一般形式为x2－2x－48＝0
15．(8分)若关于x的方程(2m2＋m－3)x|m＋1|＋7x－3＝0是一元二次方程， 求m的值． 解：由题意，得|m＋1|＝2，∴m＝1或－3. 当m＝1时，2m2＋m－3＝0，不合题意，舍去， 当m＝－3时，2m2＋m－3＝12≠0，符合题意． ∴m＝－3
16．(8分)已知m是方程x2＋x－1＝0的一个根，求代数式(m＋1)2＋(m＋1)(m －1)的值．
【素养提升】 18．(12分)(大庆中考改)关于x的一元二次方程ax2＋2x＋c＝0(ac≠0). (1)若x＝c是方程的一个根，求ac的值； (2)若x0是方程的一个根，设M＝(ax0＋1)2，N＝1－ac，比较M，N的大小． 解：(1)由题意，得ac2＋2c＋c＝0，∴ac2＝－3c. ∵ac≠0，∴a≠0，c≠0.∴ac＝－3
21.1.1一元二次方程(1)
x 21．1 一元二次方程（1）年级：初三 学科：数学 课型：新授 备课时间：执笔： 审核： 上课时间：学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【预习内容】（阅读教材，并完成预习内容。
）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
21.1 一元二次方程
(50-2x)
x
(100-2x)
(100-2x)(50-2x)=3600
你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？
(100-2x)(5ห้องสมุดไป่ตู้-2x)=3600 5000－100x－200x+4x2=3600 4x2－300x+1400=0 x2－75x+350=0
21.1 一元二次方程 ——一元二次方程的相关概念
R·九年级上册
新课导入
情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？
知识点4
一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？
-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边相等.
先去括号
移项、合并同类项
系数化为1
问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为 场. 设邀请 支队参赛，则每支队与其余 支队 都要赛一场.根据题意，你列出的方程是 . 整理为 .
C
解：－4， 3.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x2+1=6x； （2）4x2=81－5x；
x
(100-2x)
(100-2x)(50-2x)=3600
你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？
(100-2x)(5ห้องสมุดไป่ตู้-2x)=3600 5000－100x－200x+4x2=3600 4x2－300x+1400=0 x2－75x+350=0
21.1 一元二次方程 ——一元二次方程的相关概念
R·九年级上册
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情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？
知识点4
一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？
-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边相等.
先去括号
移项、合并同类项
系数化为1
问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为 场. 设邀请 支队参赛，则每支队与其余 支队 都要赛一场.根据题意，你列出的方程是 . 整理为 .
C
解：－4， 3.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x2+1=6x； （2）4x2=81－5x；
九年级数学上册解一元二次方程因式分解法课件新人教版
(3)3x 2 ? 6 x ? ? 3 移项，得： 3 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 提公因式得： 3( x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 所以 3( x ? 1) 2 ? 0 有 ( x ? 1) 2 ? 0 所以 x1 ? x2 ? 1 .
另一解法 :
(4)4x2 ?121? 0
移项：4x2 ? 121
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a 2+2ab+b 2=(a+b)2.
” （3）“x2+(a+b)x+ab 型:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
思考 ?
根据物理学规律,如果把一个物体从地 面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过x 秒物体离地高度（单位：米）为10x-4.9x2 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落 回地面吗？（精确到0.01S）
刻物体的高度是0m．
以上解方程 x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 ①
x ? 0 或 10 ? 4.9x ? 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：x(x?2)??x?2?? 0,
解 : 移项,合并同类项,得：
?x?2?x??1?? 0.