第二章逻辑代数及逻辑函数的

逻辑函数的基本定律

数字电路与逻辑设计
第二章逻辑函数及其简化分配律： A ( B + C ) = AB + AC A ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C ) A + ( B⊙C ) = (A + B ) ⊙(A + C )
(3) 特殊规律
重叠律： A+A=A A ·A = A A⊙A = 1 A+ A = 0
A + A = 1 A ·A = 0 (2) 交换律、结合律、分配律
交换律： A+B=B+A A ·B = B ·A A⊙B = B⊙A A +B = B +A
A⊙0 = A A⊙1 = A A⊙A = 0
A+1 = A A+0 = A A+A=1
结合律：
A + B + C = (A + B) + C A ·B ·C = (A ·B) ·C A⊙B⊙C = (A⊙B)⊙C A + B + C = (A + B) + C
第二章逻辑函数及其简化
逻辑函数相等的概念逻辑函数的基本定律总结
数字电路与逻辑设计
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
2.3逻辑函数的基本定律
１．逻辑函数相等
假设F 和G 都是变量A1、A2、···、An的逻辑函数，如果对应于A1、A2、···、 An 的任一组状态组合，F和G的值都相同，则F和G是相等的，记作F＝G。
= A(B + B) + B( A + A) = A + B

第02讲逻辑函数的化简：代数法

用与门、或门和非门进行逻辑综合
行号 0 1 2 3 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f(x,y) 0 1 1 1
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
优化结果
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
公式法化简逻辑函数
f1 x2 x3
逻辑代数的基本规则（续）

反演规则：德·摩根定律的一般形式称为反演规则
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
0 0
x2
0
x3
0 1 0 1
f0
1 0 1 1
x3
0 1 0 1 0 1 0 1
f 0
1 0 1 1 0 0 1 0
0 1 1
0
1 1 0 0
f 0 x2 x3 x2 x3 x2 x3
x1 x2
0
x3
0 1 0 1
f1
0 0 1 0
1
1 1
1
0 1 1
f x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x（ x（ 1 x2 x3 x2 x3 x2 x3 ） 1 x2 x3） x1 f 0 x1 f1
（配项法，式1 - 5b）
( 结合律，式1 7b ) ( 吸收率，式1 10b）
公式法化简逻辑函数（续）

2逻辑代数基础

（15）
五、德摩根定理(反演律）：表中8，18 （De Morgan) 证明： 1 AB A B 真值表法、穷举法 2 A B AB
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非）运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非与）运算。
（3）
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 、非 ( not )。一、“与”逻辑与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。规定:
A
E
B
C Y
开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（4）
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律的应用范围！
（23）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反显然： F F 规则: 1.遵循先括号再乘法后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。用处：实现互补运算（求反运算）。

（29）
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。
四种表示方法 n个输入变量
2 种组合。
n
逻辑函数式 (逻辑表示式, 逻辑代数式)
Y AB AB
逻辑图: 波形图
A 1 & ≥1 B 1 &
Y
（30）
Y A B AB AB Y A B AB AB Y A B A B

第二章-逻辑函数及其简化

A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 0 0 1
例2 有X、Y、Z三个输入变量，当其中两个或两个以上取值为1时，输出F为1；其余输入情况输出均为0。试写出描述此问题的逻辑函数表达式。解：三个输入变量有23=8种不同组合，根据已知条件可得真值表如下：
由真值表可知，使F=1的输入变量组合有4个，所以F的与—或表达式为：
F XYZ X Y Z XY Z XYZ
2）逻辑函数的表示方法
（1）真值表逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n个变量时，共有2n个不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值的组合一般按n位二进制数递增的方式列出。用真值表表示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值和变量取值之间的关系。
对偶关系
A(A+B)=AB
4）包含律
证明：
AB+AC+BC=AB+AC
AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC
对偶关系
5) 关于异或和同或运算
对偶数个变量而言，有 A1A2... An=A1 A2 ... An
对奇数个变量而言，有 A1A2... An=A1 A2 ... An
异或和同或的其他性质:
A 0= A 1= A A= A (B C)=(A B ) C A (B C)=AB AC
A 1=A A 0 =A A A= 1 A (B C)=(A B) C A+(B C )=(A+B) (A+C)

第2章逻辑代数基础

同时，函数F的值为“0”。
便于获得逻辑电路图
逻辑表达式的简写:
1.“非”运算符下可不加括号，如
，
等。
2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB。
3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (A·B)+(C·D)可写为AB+CD。
注意:(A+B)·(C+D)不能省略括号,即不能写成A+B·C+D！
A
FA
1
FA
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号非门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.3 逻辑代数的复合运算
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、 “同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或门电路。
能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。
实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。
A
A
A
&
B
F B
F B
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号与门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.2 逻辑代数的基本运算
2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分。
2.1.1 逻辑代数的定义
逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集 K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。

数字逻辑基础2

2、吸收法（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。是另项是 F1 A B A BCD( E F ) A B 多外的另运用摩根定律余一因外如的个子一果。乘，个乘 F2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。因项的 F AB C A C D BC D 子的反 F AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是因是果多子另一 AB ( A B )C 余，一个 AB C ( A B) D 的则个乘 AB ABC AB C AB D 。这乘积 AB C 个积项 AB C D
A B C D
& ≥1 F
与或非门的逻辑符号
5、同或运算：逻辑表达式为：
F AB AB AB
A B 同或门的逻辑符号
A 0 0 1 1
B F 0 1 1 0 0 0 1 1 真值表
=
F
L=A+B
2.2.3逻辑函数及其表示法
一、逻辑函数的建立： 1、逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。输入逻辑变量：等式右边的字母A、B、C、D 输出逻辑变量：等式左边的字母F 原变量，反变量。 2、逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、… 的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称 F是A、B、C、…的逻辑函数。记为 F f ( A, B, C,) 注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。

2 逻辑函数及其化简

1 1 1 1 1 1
AD
B
11
A 冗余项
AC
10
∴ F2 ( A, B, C, D) = AB + BC + AD
C
AB
例：用公式化简法得到下式，问是否最简，若不是请化简之。
F3 ( A , B, C) = A B + AC + AB + BC
填项：
A
0 1
BC00
C
01 1 11 1 10
1
第二章逻辑代数基础
§2.1 逻辑代数运算法则 §2.2 逻辑函数的化简 §2.3 卡诺图法
§2.1 逻辑代数运算法则
依据： 1.逻辑变量只取：0 、1两种状态。 2.与、或、非是三种最基本的逻辑运算。与普通代数运算法则类似的：分配律、结合律、交换律等。与普通代数运算法则不同的： A•A=A A+A=A A = A (还原律）
= B + BD + ABD + ABCD
吸收消去
= B + BD
（长中含短，留下短）
吸收消去（长中含反，去掉反） ∴F1 = B + D（最简与或式）
F2 = AD + AD + AB + AC + BD + ACEF+ BEF + DEFG
A
吸收消去（长中含短，留下短）
(合并项)
= A + AC + BD + BEF + DEFG
ABD
D
01
（ + C) C
直接填入
11
10
01 11
1
1
B A

数字电路第2章逻辑代数基础及基本逻辑门电路

AB＋AC＋ABC＋ABC = = AB＋ABC）＋（AC＋ABC）（ = AB＋AC
（5）AB＋A B = A （6）（A＋B）（A＋B ）＝A 证明：（A＋B）（A＋B ）＝A＋A B＋AB＋0 A（＋B＋B） = 1 JHR A =
二、本章教学大纲基本要求熟练掌握： 1.逻辑函数的基本定律和定理；门、 2.“与”逻辑及“与”门、“或”逻辑及“或”
“非”逻辑及“非”门和“与”、“或”、“非” 的基本运算。理解：逻辑、逻辑状态等基本概念。三、重点与难点重点：逻辑代数中的基本公式、常用公式、基本定理和基本定律。
JHR
难点：
JHR
1.具有逻辑“与”关系的电路图
2.与逻辑状态表和真值表
JHR
我们作如下定义：灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0” 开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑 “0” 则可得与逻辑的真值表。 JHR
3.与运算的函数表达式 L＝A·B 多变量时或读作或 L＝AB L＝A·B·C·D… L＝ABCD… 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
与非逻辑真值表
Z = A• B
3.逻辑真值表
逻辑规律：有0出1 全1 出0
JHR
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Z 1 1 1 0
二、或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
Z = A+ B
先或后非
3.逻辑真值表
JHR
三、与或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
1.代入规则在任一逻辑等式中，若将等式两边出现的同一变量同时用另一函数式取代，则等式仍然成立。
JHR
代入规则扩大了逻辑代数公式的应用范围。例如摩根定理 A＋B = A ⋅ B 若将此等式两边的B用B＋C 取代，则有

第2章逻辑代数基础第3次课

A B C D
1.“与非”、“或非”、“与或非”运算
• “与非”运算就是“与”运算和“非”运算的组合。用逻辑函数表示就是： F = A ⋅ B A F “与非”门逻辑符号 B
2014年9月17日北京理工大学信息科学学院 7
“与或非”门逻辑符号
F
2014年9月17日
北京理工大学信息科学学院
8
数字电路——分析与设计
2014年9月17日北京理工大学信息科学学院 17 2014年9月17日北京理工大学信息科学学院 18
数字电路——分析与设计
第2章逻辑代数基础
数字电路——分析与设计 “同或”运算的两个重要特性
第2章逻辑代数基础
表 2.13 “异或”和“同或”运算公式名称 1. A ⊕ 0 = A 基本运算规律 2. A ⊕ 1 = A 3. A ⊕ A = 0 4. A ⊕ A = 1 交换律结合律分配律 5. 公式 1.＇A⊙1 = A 2.＇A⊙0 = A 3.＇A⊙A = 1 4.＇A⊙ A = 0 5.＇A⊙B = B⊙A 6.＇A⊙(B⊙C ) = (A⊙B)⊙C 7.＇A+(B⊙C ) = (A+B)⊙(A+C ) 类别
第2章逻辑代数基础
(摩根定理) (摩根定理) (还原律) (分配律) (互补律) (自等律) (添加项定理)
作业2：2-9的(4),(5),(6),(7)；2-10；
= A A + AB + A C + B C
= 0 + AB + A C + B C
= AB + A C + B C
= AB + A C
2014年9月17日北京理工大学信息科学学院 14

数字电子技术基础2第二版.ppt

名称 0-1 自等律重叠律互补律交换律结合律分配律反演律（摩根定理）
还原律
表 2.2.1 逻辑代数的基本定律
公式 1 A+1=1 A+0=A A+A=A
A+ A =1
A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+BC=(A+B)(B+C)
AB=AB
公式 2
A 0=0 A 1= A A A=A A A =0 A B=B A (A B) C=A (B C) A (B+C)=AB+AC
第2章逻辑代数基础
名称合并律吸收律○1 吸收律○2 吸收律○3
公式 1
表 2.2.3 若干常用公式
公式 2
AB+A B =A
A+AB=A
(A+B)(A+ B )=A A (A+B)=A
A AB A B
A ( A +B)=A B
AB+ A C+BC=AB+ A C
(A+B)( A +C)(B+C)=(A+B)( A +C)
表2.2.2 反演律证明
AB
AB
AB AB
AB
00
1
1
1
1
01
1
1
0
0
10
1
1
0
0
11
0
0
0
0
第2章逻辑代数基础
2.2.2 三个重要规则
1. 代入规则
任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值，所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基本定律的运用范围。