2016考研数学三真题及答案解析
2
别表示为 1 , 2 , 3 的线性组合。 （22）（本题满分 11 分）
设二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D ( x, y ) | 0 x 1, x y
2
x 上服从均匀分
布，令 U
1, 0,
X Y. X Y.
（ I ） 写出 ( X , Y ) 的概率密度； （ II ） 问 U 与 X 是否相互独立？并说明理由； （ III ）求 Z U X 的分布函数 F ( z ) . （23）（本题满分 11 分）
D2 ( x, y ) 0 x 1, 0 y x D3 ( x, y ) 0 x 1, x 2 y 1 则（ ）
A. J1 J 2 J 3 B. J 3 J1 J 2 C. J 2 J 3 J1 D. J 2 J1 J 3 （4）级数为 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散
ex （2）已知函数 f ( x, y ) ，则（ ） x y
A. f x f y 0 B. f x f y 0 C. f x f y f D. f x f y f （3）设 J k
Di
3
x ydxdy (i 1, 2,3) ，其中 D1 ( x, y ) 0 x 1, 0 y 1 ，
0
x
x 2n2 的收敛域及和函数。 n 0 ( n 1)(2n 1)
（20）（本题满分 11 分）
1 1 a 1 0 0 a ， 1 ，且方程组 AX 无解， 设矩形 A 1 a 1 1 a 1 2a 2
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）已知函数 f ( x ) 满足 lim
x 0
1 f ( x ) sin 2 x 1 2 ，则 lim f ( x ) __________. x 0 e3 x 1
（10）极限 lim
1 1 ) sin(n k ) （ k 为常数） （ ） n n 1
D.收敛性与 k 有关 （5）设 A, B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（ A. A 与 B 相似 B. A 与 B 相似 C. A A 与 B B 相似
T T 1 1 T T
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
仅供参考
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （1）设函数 y f ( x ) 在 ( , ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则（ A.函数 f ( x ) 有 2 个极值点，曲线 y f ( x ) 有 2 个拐点 B. 函数 f ( x ) 有 2 个极值点，曲线 y f ( x ) 有 3 个拐点 C. 函数 f ( x ) 有 3 个极值点，曲线 y f ( x ) 有 1 个拐点 D. 函数 f ( x ) 有 3 个极值点，曲线 y f ( x ) 有 2 个拐点 ）
）
D. A A 与 B B 相似
2 2 （6）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) a ( x12 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x1 x3 的正负惯性指数分别
1
1
为 1,2，则（
）
A. a 1 B. a 2 C. 2 a 1 D. a 1 或 a 2 （7）设 A, B 为两个随机变量，且 0 P ( A) 1, 0 P ( B ) 1 ，如果 P( A B) 1 ，则（ A. P ( B A) 1 B. P( A B) 0 C. P ( A B ) 1 D. P( B A) 1 （8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X ~ N (1, 2), Y ~ N (1, 4) ，则 D ( XY ) =（ A.6 B.8 C.14 D.15 ） ）
n
1 1 2 n (sin 2sin n sin ) ___________. 2 n n n n
2 2
（ 11 ） 设函数 f (u , v ) 可微， z z ( x, y ) 由方程 ( x 1) x y x f ( x z , y ) 确定，则
dz |(0,1) __________.
（12）设 D {( x, y ) || x | y 1, 1 x 1} ，则
x e
D
2 y2
dxdy ___________.
1 0 0 1 （13）行列式 0 0
4 3 2
0 0 _________. 1 1
（14）设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球 都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为__________. 三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分 10 分）
求：（1）求 a 的值 （2）求方程组 A AX A
T T
的通解.
（21）（本题满分 11 分）
0 1 1 已知矩阵 A 2 3 0 0 0 0
（Ⅰ）求 A
99
100 （Ⅱ）设 3 阶矩阵 B (1 , 2 , 3 ) 满足 B BA 。记 B ( 1 , 2 , 3 ) ，将 1 , 2 , 3 分
（Ⅰ）求需求函数的表达式； （Ⅱ）求 p 100 万元时的边际效益，并说明其经济意义。 （17） （18）（本题满分 10 分） 设函数 f ( x) 连续，且满足 （19）（本题满分 10 分） 求幂级数
x
0
f ( x t )dt ( x t ) f (t )dt e x 1 ，求 f ( x) 。
3x 2 , 设 总 体 X 的 概 率 密 度 f ( x, ) 3 0
0 x
其中
(0, ) 为 未 知 参 数 ，
X 1 , X 2 , X 3 为来自 X 的简单随机样本，令 T max( X 1 , X 2 , X 3 ) .。
（1）求 T 的概率密度； （2）确定 a ，使得 E ( aT ) .
1
求极限 lim(cos 2 x 2 x sin x)
x 0
x4
。
（16）（本题满分 10 分） 设 某 商 品 的 最 大 需 求 量 为 1200 件 ， 该 商 品 的 需 求 函 数 Q Q( p) ， 需 求 弹 性
p ( 0) ， p 为单价（万元）。 120 p
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三-213_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三-213(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B本题考查区间再现法计算定积分．令，则故答案选择(B)．2.设，那么(A*)*=( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A本题考查矩阵的基本运算，是一道有一定计算量的基础题．AA*=|A|E，(A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(A*)-1=|A|n-1(A-1)*，将A代入计算即可得正确选项(A)．3.已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx-dy的任意解，则( )．SSS_SINGLE_SELA 存在，不存在B 不存在，存在C 不存在，不存在D 存在，存在该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题．将微分方程(x2+y2)dy=dx-dy变形为，于是，则y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明y(x)有界即可．对两边从x到x积分，得，于是设x≥x，则y(x)有上界，所以存在．同理可证，当x≤x时y(x)有下界，所以也存在．故存在，也存在，答案选择(D)．4.设a为常数，则f(x)在区间(-∞，+∞)内的零点个数情况为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题，是常规考题．令，由于e-x＞0，g(x)与f(x)的零点完全一样，又g'(x)=，且仅在一点x=0等号成立，故g(x)严格单调增，所以g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．当a＞0时，f(-∞)＜0，f(+∞)＞0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以f(x)正好有一个零点．当a≤0时，，f(x)无零点．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+(λm-k m )βm=0，则( )．SSS_SINGLE_SEL Aα1，…，αm和β1，…，βm都线性相关Bα1，…，αm和β1，…，βm都线性无关Cα1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关Dα1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C本题考查向量组的线性相关理论，是一道基础题．由于数组λ1，…，λm，k1，…，km不全为零，将题给的已知式整理为λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+k1(α1-β1)+…+km(αm-βm)=0，显然答案选择(C)．6.设每次试验成功的概率为p(0＜p＜1)，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为( )．SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C本题考查伯努利概型，是一道基础题．根据题设条件，前9次取得了3次成功，第10次才取得第4次成功的概率为所以选择(C)．7.以下四个命题，不正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 设存在，则一定存在B 设存在，则一定存在C设|f(x)|在x=x0点处可导，则f(x)在x=x点处不一定可导D设|f(x)|在x=x0点处连续，则f(x)在x=x点处不一定连续该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B本题是一元微积分的基本概念题．对于容易混淆的问题，考生在最后复习阶段，要好好总结和整理，一般说来，正确的要会证明，错误的要能举出反例．这种训练是有益的．对于选项(A)，事实上有如下结论：设，则．可以证明如下．=，当0＜|x-a|＜δ时，|f(x)-A|＜ε，又由于||f(x)|-|A||≤|f(x)-A|，故||f(x)|-|A||＜ε，．命题正确，排除．对于选项(B)，反例f(x)=sgn(x)，不存在．命题错误，入选．对于选项(C)，反例-在x=x0氧处不可导，|f(x)|在x=x点处可导．命题正确，排除．对于选项(D)，在x=x0点处不连续，|f(x)|在x=x点处连续．命题正确，排除．8.设随机变量X取非负整数值，P(X=n)=a n(n≥1)，且EX=1，则a的值为( )．SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A本题考查数字特征的计算，涉及级数求和理论，是一道有一定计算量的基础题．故a=(1-a)2，a2-3a+1=0，，但a＜1，所以，于是选择(A)．二、填空题9.曲线在x=1处的切线方程为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:．本题考查一元微分学的基本知识，求切线是常考题，是基础题．由题意，，故切线的斜率为，当x=1时，y=2，因此所求切线方程为，即．10.=______．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:．本题考查一元函数的不定积分法．属于基础计算题．11.设某商品现售价5000元，分期付款购买，10年付清．若每年付款的数额相同，且以年利率3%贴现，按连续复利计算，每年应付款______元．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:578．本题考查微积分的经济应用，属于基本题．P=5000元，又r=0.03，n=10，由均匀流量的贴现公式，有，解得A=578元，故每年应付款578元．12.级数的收敛域为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[-2，4)．本题考查幂级数的收敛域求法，是常规题，有一定的计算量．令，根据正项级数的比值判别法，有解得-2＜x＜4，此为收敛区问．当x=-2时，原级数化为，收敛；当x=4时，原级数化为，发散．故原级数的收敛域为[-2，4)．13.已知ξ1=(-9，1，2，1 1)T，ξ2=(1，-5，13，0)T，ξ3=(-7，-9，24，11)T是方程组的解，则方程组的通解是______．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:本题考查非齐次方程组的计算，是一道综合性较强的题目．中有2阶子式不为零，故r(A)≥2，又因ξ1-ξ2=(-10，6，-11，11)T，ξ1-ξ3=(-2，10，-22，0)T是齐次方程组Ax=0的线性无关的解，从而n-r(A)≥2，即r(A)≤2．于是得r(A)=2．所以方程组的通解为对一台仪器进行重复测试，直到发生故障时为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，试验次数X的数学期望值为______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14.已知，求a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题是极限计算的反问题，是基本计算题，事实上，本题是求曲线2x-在x→-∞时的斜渐近线．由已知得，于是，将a=3代入原极限，有故a=3，SSS_TEXT_QUSTI15.证明；该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题是一元积分学的综合题，涉及较为复杂的积分计算和夹逼准则，是今年考试的热门出题点，其中第(Ⅰ)问是第(Ⅱ)问的铺垫与提示．SSS_TEXT_QUSTI16.记，求．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当nπ≤x≤(n+1)π时，令n→∞，由夹逼准则，得17.设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f'(0)]2=4．试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题是中值定理考题，涉及多个重要的定理，需要考生具有较强的运算和逻辑推理能力，是一道难题．由拉格朗日中值定理，得又根据题没条件，|f(x)|≤1，得令φ(x)=f2(x)+[f'(x)]2，则φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在ξ∈[ξ1，ξ2](-2，2)上取到，则φ(ξ)≥4，且φ在[ξ1，ξ2]上可导，由费马定理有φ'(ξ)=0，即2f(ξ)·f'(ξ)+2f'(ξ)·f"(ξ)=0．因为|f(x)|≤1，且φ(ξ)≥4，所以f'(ξ)≠0，于是有f(ξ)+f"(ξ)=0，ξ∈(-2，2)．18.求的和．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题考查数项级数的求和，需要通过转化成函数项级数求和后，再代值回去，是典型考研题．记．其收敛区间均为(-1，1)．所以SSS_TEXT_QUSTI19.设D={(x，y)|(a≤x≤b，c≤y≤d该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题考查二重积分的计算，但是比较新颖的非常规考题，涉及抽象的理论推导，在2011年考研中已经有所涉及，本题的设计同样比较独特，希望考生多加体会和总结．证明=f(b，d)-f(a，d)+f(a，c)-f(b，c)．同理，．结论成立．SSS_TEXT_QUSTI20.设D为Oxy平面上的区域，若f"xy 与f"yx都在D上连续，证明f"xy与f"yx在D上相等．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:证明用反证法．设P0(x，y)∈D，有f"xy(x，y)≠f"yx(x，y)．不妨设．f"xy (x，y)-f"yx(x，y)＞0，由于由极限的保号性，，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有f"xy(x，y)-f"yx(x，y)＞ε，取于是，由(1)，，出现矛盾．故f"xy (x，y)与f"yx(x，y)在D上都相等．21.已知5维向量组x1=(1，2，3，4，5)，x2=(1，3，2，1，2)，求一个齐次线性方程组，使x1，x2组成这个方程组的基础解系．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题是方程组问题的逆问题，已知基础解系反求方程组，需要一定的计算量和逻辑推理，是一道中等难度的综合题．设ai1x1+ai2x2+ai3x3+ai4x4+ai5x5=0是方程组Ax=0中的任意一个方程，将x1，x2的坐标代入，得将方程组当作ai1，ai2，ai3，ai4，ai5为未知数的线性方程组来解，此方程组的系数矩阵，就是以x1，x2为向量组成的矩阵，对B作初等行变换，得于是方程组化为因此(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)=(-5ai3-10ai4-11ai5，ai3+3ai4+3ai5，ai3，ai4，ai5)=ai3(-5，1，1，0，0)+ai4(-10，3，0，1，0)+ai5(-11，3，0，0，1)，方程组的一组基础解系是(-5，1，1，0，0)，(-10，3，0，1，0)，(-11，3，0，0，1)，以这组基础解系为行组成矩阵则r(A)=3，于是以A为系数矩阵的齐次线性方程组为经过验证，它最多有2个线性无关解，且x1，x2为上式的两个线性无关解，所以它们组成上式的基础解系，上式方程组即为所求．22.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是该二次型的秩为2，且符号差为0，或秩数等于1．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题考查二次型，是一道比较新颖的考题，在考研中尚未出现过，对考生要求较高，希望同学们见识一下这种提法和做法，并从中学到解题思路和技术．先证明必要性：设f(x1，x2，…，xn)=(a1x1+a2x2+…+anxn)(b1x1+b2x2+…+bnxn)=f1·f2．若f1与f2线性相关，则有f2=kf1，不妨设a1≠0，令即令，P为可逆矩阵，所以x=P-1y是可逆变换，从而，其秩等于1．若f1与f2线性无关，不妨设，令即令，故R为可逆矩阵，所以x=R-1y是可逆变换，则f=y1y2，再令即令，T为可逆矩阵，故y=Tz是可逆变换，从而得到，故秩为2，符号差为0．再证明充分性：f经可逆线性变换化为标准型，不妨设，其秩数为2，符号差为0，则f=(x1+x2)(x1-x2)，即f可分解为两个一次多项式的乘积．另外，设，其秩为1，则f=x1·x1，即f可分解为两个一次多项式的乘积，命题得证．23.设(X，Y)的联合概率密度为求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题考查二维随机变量的边缘密度、条件密度等，是一道有一定计算量的基础题．当x≤0或x≥1时，当0＜x＜1时，故于是可得则某设备维修站共有两个维修点，若有三台设备A，B，C同时送到该维修站进行维修，设A，B先开始维修，当其中一台没备维修结束后即开始对第三台设备C 进行维修．假设各台设备维修所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则SSS_TEXT_QUSTI24.求第三台设备C在维修站等待维修时间T的概率密度；该题您未回答:х该问题分值: 5.5答案:本题是随机变量函数的概率密度和数字特征计‘算的综合题，是历来考生复习中的薄弱环节．设第i台设备维修时间为Xi (i=1，2，3)，则Xi独立同分布，且密度函数都为则第三台设备C等待维修的时间T=min(X1，X2)，度过时间=等待时间+维修时间，即S=T+X3=min(X1，X2)+X3．由于X1与X2独立，故T的分布函数F T (t)=P(min(X1，X2)≤t)=1-P(min(X1，X2)＞t)=1-P(X1＞t)P(X2＞t)则T的密度函数即T=min(X1，X2)服从参数为2λ的指数分布．SSS_TEXT_QUSTI25.求第三台设备C在维修站度过时间S的数学期望ES．该题您未回答:х该问题分值: 5.5答案:由于S=T+X3=min(X1，X2)+X3，则1。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．行列式=( )A．(ad一bc)2。
B．一(ad一bc)2。
C．a2d2一b2c2。
D．一a2d2+b2c2。
正确答案：B解析：由行列式的展开定理展开第一列。
=一ad(ad一bc)+bc(ad—bc)=一(ad一bc)2。
故选B。
知识模块：线性代数2．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )A．E一A不可逆，E+A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：(E—A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。
故E—A，E+A均可逆。
知识模块：线性代数3．设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E一ααT不可逆。
B．E+ααT不可逆。
C．E+2ααT不可逆。
D．E一2ααT不可逆。
正确答案：A解析：由α是n维单位列向量可知(ααT)α=α(αTα)=α，且1≤r(ααT)≤r(α)=1，即1是矩阵ααT的特征值，且r(ααT)=1，所以ααT的特征值为0(n一1重)和1。
矩阵E一ααT的特征值为1(n一1重)和0，则E一ααT不可逆。
E+ααT的特征值为1(n一1重)和2，E+2ααT的特征值为1(n 一1重)和3，E一2ααT的特征值为1(n一1重)和一1，三者的矩阵行列式均不为零，因此均可逆。
不可逆的只有A选项。
知识模块：线性代数4．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A 的转置矩阵。
若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为( ) A．。
B．3。
C．。
D．。
正确答案：A解析：由A*=AT及AA*=A*A=｜A｜E，有aij=Aij，i，j=1，2，3，其中Aij，为aij的代数余子式，且AAT=｜A｜E→｜A｜2=｜A｜3→｜A｜=0或｜A｜=1。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(02年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则【】A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)＝0．B．对任何ξ∈(a，b)，有[f(χ)－f(ξ)]＝0．C．当f(a)＝f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)．正确答案：B解析：由于f(χ)在(a，b)内可导．ξ∈(a，b)，则f(χ)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故[f(χ)－f(ξ)]＝0 知识模块：微积分2．(03年)设f(χ)为不恒等于零的奇函数，且f′(0)存在，则函数g(χ)＝【】A．在χ＝0处左极限不存在．B．有跳跃间断点χ＝0．C．在χ＝0处右极限不存在．D．有可去间断点χ＝0．正确答案：D解析：由于f(χ)为奇函数，则f(0)＝0，从而又g(χ)＝在χ＝0处无定义，则χ＝0为g(χ)的可去间断点．知识模块：微积分3．(04年)设f(χ)＝｜χ(1－χ)｜，则【】A．χ＝0是f(χ)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(χ)的拐点．B．χ＝0不是f(χ)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．C．χ＝0是f(χ)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝0不是f(χ)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：C解析：由f(χ)＝｜χ(1－χ)｜知，f(0)＝0，而当χ＜0，或0＜χ＜1时，f(χ)＞0，由极值的定义知f(χ)在χ＝0处取极小值．又则当χ＜0时，f〞(χ)＝2＞0；当0＜χ＜1时，f〞(χ)＝－2＜0，则(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点，故应选C．知识模块：微积分4．(04年)设f′(χ)在[a，b]上连续，且f′(a)＞0，f′(b)＜0，则下列结论中错误的是【】A．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(a)．B．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(b)．C．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f′(χ0)＝0．D．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＝0．正确答案：D解析：由以上分析知，由f′(a)＞0知，存在χ0∈(a，b)使f(χ0)＞f(a)；由f′(b)＜0知，存在χ0∈(a，b)，使f(χ0)＞f(b)，则选项A、B均不能选．又f′(a)＞0，f′(b)＜0，且f′(χ)在[a，b]上连续，由零点定理知，存在χ0∈(a，b)，使f′(χ0)＝0，则C也不能选，故应选D．知识模块：微积分5．(05年)当a取下列哪个值时，函数f(χ)＝2χ3－9χ2＋12χ－a恰有两个不同的零点．【】A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f′(χ)＝6χ2－18χ＋12＝6(χ2－3χ＋2)＝6(χ－1)(χ－2) 令f′(χ)＝0，得χ1＝1，χ2＝2 f(1)＝5－a，f(2)＝4－a 当a＝4时，f(1)＝1＞0，f(2)＝0．即χ＝2为f(χ)的一个零点，由f′(χ)＝6(χ－1)(χ－2)知当－∞＜χ＜1时，f′(χ)＞0，f(χ)严格单调增，而f(1)＝1＞0，f(χ)＝－∞，则f(χ)在(－∞，0)内有唯一零点．当1＜χ＜2时，f′(χ)＜0，f(χ)单调减，又f(2)＝0，则当1＜χ＜2时，f(χ)＞0，此区间内无零点．当χ＞2时，f′(χ)＞0，f(2)＝0．则χ＞2时f(χ)＞0，即在此区间内f(χ)无零点．故应选B．知识模块：微积分6．(05年)设f(χ)＝χsinχ＋cosχ，下列命题中正确的是【】A．f(0)是极大值，f()是极小值．B．f(0)是极小值，f()是极大值．C．f(0)是极大值，f()也是极大值．D．f(0)是极小值，f()也是极小值．正确答案：B解析：f′(χ)＝sinχ＋χcosχ－sinχ＝χcosχ，f〞(χ)＝cosχ－χsinχf′(0)＝0，f〞(0)＝1＞0，则f(0)是极小值．，则是极大值．故应选B．知识模块：微积分7．(05年)以下四个命题中，正确的是【】A．若f′(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．B．若f(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．C．若f′(χ)在(0，1)内有界，则f(χ)在(0，1)内有界．D．若f(χ)在(0，1)内有界，则f′(χ)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：由于f′(χ)在(0，1)内有界，则存在M＞0，使对任意χ∈(0，1)，｜f′(χ)｜≤M，对任意的χ∈(0，1)，由拉格朗日中值定理知f(χ)－f()＝f′(ξ)(χ－)，ξ∈(0，1) 从而右f(χ)＝则f(χ)在(0，1)内有界．知识模块：微积分8．(06年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0，f〞(χ))＞0，△χ)为自变量χ)在点χ0处的增量，△y与dy分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△χ＞0，则【】A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：由于dy＝f′(χ0)△χ△y＝f(χ0＋△χ)－f(χ0)＝f′(ξ)△χ(χ0＜ξ＜χ0＋△χ) 由f〞(χ)＞0，则f′(χ)单调增，又△χ＞0，且f′(χ)＞0，则0＜dy＜△y 故应选A．知识模块：微积分9．(06年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则【】A．f(0)＝0且f′－(0)存在．B．f(0)＝1且f′－(0)存在．C．f(0)＝0且f′＋(0)存在．D．f(0)＝1且f′＋(0)存在．正确答案：C解析：由＝1，知f(h2)＝0，又f(χ)在χ＝0连续，则f(h2)＝f(0)＝0 则故应选C．知识模块：微积分10．(07年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，下列命题错误的是【】A．若存在，则f(0)＝0．B．存在，则f(0)＝0．C．若存在，则f′(0)存在．D．若存在，则f′(0)存在．正确答案：D解析：由存在及f(χ)在χ＝0处的连续性知，f(0)＝0，从而有＝f′(0)，所以，命题A和C是正确的；由存在，＝0知，(f(χ)＋f(－χ))＝2f(0)＝0，则f(0)＝0，所以，命题B也是正确的．事实上，命题D是错误的．例如，令f(χ)＝｜χ｜，显然＝0，但f(χ)＝｜χ｜在χ＝0处不可导，即f′(0)不存在．故应选D．知识模块：微积分11．(07年)曲线y＝＋ln(1＋eχ)渐近线的条数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由于＝∞，则χ＝0为原曲线的一条垂直渐近线．而＝ln1＝0，则y＝0为原曲线的一条水平渐近线．则y＝χ为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以，本题应选D．知识模块：微积分12．(07年)设某商品的需求函数为Q＝160－2p．其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是【】A．10B．20．C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由＝1知p＝40．故应选D．知识模块：微积分13．(10年)设函数f(χ)，g(χ)具有二阶导数，且g〞(χ)＜0．若g(χ0)＝a是g(χ)的极值，则f(g(χ))在χ0取极大值的一个充分条件是【】A．f′(a)＜0．B．f′(a)＞0．C．f〞(a)＜0．D．f〞(a)＞0．正确答案：B解析：令φ(χ)＝f[g(χ)]，则φ′(χ)＝f′[g(χ)]g′(χ) φ′(χ0)＝f′[g(χ0)]g′(χ0)＝0 φ〞(χ)＝f〞[g(χ)]g′2(χ)＋f′[g(χ)]g〞(χ) φ〞(χ0)＝f′[g(χ0)]g〞(χ0)＝f′(a)g〞(χ0) 若f′(a)＞0，则φ〞(χ0)＜0，故φ(χ)在χ0处取极大值．知识模块：微积分填空题14．(03年)设f(χ)＝其导函数在χ＝0处连续，则λ的取值范围是_______．正确答案：λ＞2解析：当χ≠0时f′(χ)＝当χ＝0时f′(0)＝由上式可知，当λ＞1时，f′(0)存在，且f′(0)＝0 又由上式可知，当λ＞2时，f′(χ)＝0＝f′(0) 即导函数在χ＝0处连续．知识模块：微积分15．(03年)已知曲线y＝χ3－3a2χ＋b与χ轴相切，则b2可以通过a表示为b2＝_______．正确答案：4a6解析：设曲线y＝χ3－3aχ2＋b在χ＝χ0处与χ轴相切，则3χ02－3a2＝0且χ03－3a2χ0＋b＝0 即χ02＝a2且χ0(χ02－3a2)＝－b 从而可得b2＝4a6 知识模块：微积分16．(06年)设函数f(χ)在χ＝2的某邻域内可导，且f′(χ)＝ef(χ)，f(2)＝1，则f″′(2)＝_______．正确答案：2e3解析：由f′(χ)＝ef(χ)及f(2)＝1知，f′(2)＝e f〞(χ)＝ef(χ)f′(χ)＝[f′(χ)]2，从而有f〞(2)＝e2 f″′(χ)＝2f′(χ)f〞(χ)，则f″′(2)＝2e3 知识模块：微积分17．(07年)设函数y＝，则y(n)(0)＝_______．正确答案：解析：y＝＝(2χ＋3)-1；y′＝(－1)(2χ＋3)-2.2；y〞＝(－1).(－2)(2χ＋3)-3.22 则y(n)＝(－1)nn!(2χ＋3)-(n+1).2n；y(n)(0)＝(－1)nn!3-(n+1).2n＝知识模块：微积分18．(09年)设某产品的需求函数为Q＝Q(p)，其对价格P的弹性εp＝0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_______．正确答案：8000解析：由于收益R＝pQ(p) ＝pQ′(p)＋Q(p) 而0．2＝ξp＝则pQ′(p)＝(－0．2)×Q(p) 故＝(－(－0．2)×Q(p)＋Q(p) ＝0．8Q(p)＝0．8×10000＝8000 知识模块：微积分19．(10年)设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1＋P3，其中P为价格，且R(1)＝1，则R(p)＝_______．正确答案：解析：由题设知＝1＋p3 lnR＝lnp＋p3＋C 由R(1)＝1知，C＝－lnR＝lnp＋R＝．知识模块：微积分20．(10年)若曲线y＝χ3＋aχ2＋1有拐点(－1，0)，则b＝_______．正确答案：3解析：曲线y＝χ3＋aχ2＋bχ＋1过点(－1，0)，则0＝1＋a－b＋1，a＝－b y＝χ3－bχ2＋bχ＋1 y′＝3χ2－2bχ＋b y〞＝6χ－2b y〞(－1)＝－6－2b＝0，则b＝3 知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三-262_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三-262 (总分150, 做题时间90分钟) 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1.
已知P-1AP=Λ=，η1是A属于特征值λ1=-1的特征向量，η2和η3是A属于特征值λ2=λ3=4的特征向量，那么矩阵P不能是( )
SSS_SIMPLE_SIN A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:D [考点] 使矩阵A相似对角化的可逆矩阵的性质 [答案解析] P-1AP=Λ，记P=(η1，η2，η3)，左乘P，得AP=PΛ，按列分块写成(Aη1，Aη2，Aη3)=(A1η1，A2η2，A3η3)。 即P的列向量ηi应是A属于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量． (A)，(B)，(C)均正确。 (D)不正确，η1，η2是A分别属于不同特征值λ1=-1，λ2=4的特征向量，从而η1-η2，η1+η2不再是A的特征向量，因此P不能取作(η1-η2，η1+η2，η3)，应选(D)。 2.
极限的值为( ) SSS_SIMPLE_SIN A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:C [考点] 求二重极限 [答案解析] 由x→∞，y→∞无妨设|x|＞1，|y|＞1，对任意实数有2|xy|≤x2+y2故
3. A是m×n矩阵，AT是A的转置矩阵，若η1，η2，…，ηt是齐次方程组ATX=0的基础解系，则r
SSS_SINGLE_SEL A 等于( )(A) t B n-t C m-t D n-m 该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:C [考点] 矩阵的秩与齐次方程组基础解系含解向量的个数 [答案解析] A为m×n矩阵，则AT为n×m矩阵ATX=0是由n个方程，m个未知数组成的齐次方程组，现知m-r(AT)=t，而r(A)=r(AT)，从而m-r(A)=t，故r(A)=m-t。应选(C)， 4. 连续型随机变量的概率密度f(x)是偶函数，分布函数为F(x)，则( )
数学三考研真题和答案解析
数学三考研真题和答案解析数学三是很多考研学子心中的一块巨石，考查的内容广泛，难度也较大。
本文将以为题材，为大家探讨一些常见的考点和解题技巧。
首先，我们先来分析一道典型的数学三考研题目：已知函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，$(a,b)$上的导数在区间$(a,b)$内存在有界，并且$f(a) \neq f(b)$。
证明：存在$c \in(a,b)$，使得$f'(c)=0$。
对于这道题目，考生需要运用中值定理进行解答。
根据题目条件，我们可以得知函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续且可导。
中值定理的应用需要满足连续函数在闭区间上可导的条件，而本题已经给出了这个条件，所以我们可以放心地使用中值定理。
根据中值定理，存在$c \in (a,b)$，满足：$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$由于$f(a) \neq f(b)$，所以$f(b)-f(a) \neq 0$，而$b-a>0$。
因此，我们可以得出结论：$f'(c) \neq 0$。
下面我们将分析这个条件：$(a,b)$上的导数在区间$(a,b)$内存在有界。
这个条件实际上是在说函数的导数在$(a,b)$这个区间内不会无限增长或无限减小。
这种情况下，我们可以使用导函数的介值性质，即函数的导数可以取到区间内的任意值。
假设函数$f'(x)$在$(a,b)$区间内的导数有界，存在$M$，使得$|f'(x)| \leq M$。
根据之前得出的结论，我们知道$f'(c) \neq 0$，所以$|f'(c)|>0$。
由于$|f'(c)| \leq M$，所以我们可以推出：$|f'(c)| \leq M < |f'(c)|$，这是一个矛盾！因此，我们可以得出结论：存在$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=0$。
考研数学三真题及完整解析
研究生入学考试数学三试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1ex- （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ]（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为 (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. （12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. （13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性. （18） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. （21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度.2007答案1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x +→时，1x --，112x，()211122x x -=， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，000lim lim lim 1x x +++→→→==，或lnln(1)ln(1()x x o x o o x =+--=++=.所以应选（B ）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，22202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故选（D ）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0xxx x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1lim lim ln 1e0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线. 故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）. 【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim(sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+. 【评注】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令y u x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即y =，1e x ->.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便. 【详解】利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.29】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122220110d d d d xx x x x x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1112=.所以(D1(,)d 13f x y σ=++⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x y σσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰=.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=， 于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n fx -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n fx -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【详解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而 10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212nn nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑ ， 所以 1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑， 收敛区间为 13x -<<.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101aa A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数； 当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数.由前可知B 的属于－2的特征向量为 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值 21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类） 第二篇【例5.24】23…….【分析】（I ）可化为二重积分计算；(II) 利用卷积公式可得.【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24x x y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷积公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24） (本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（I ）求参数θ的矩估计量θ；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判断()224E Xθ=. 【详解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰， 令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰， 所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+， 所以 ()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故24X 不是2θ的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，。