二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质PPT课件
_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
➢ 二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax²的形状相同，位置不同。利用配方法能够将y=ax²+bx+c转化为顶点式，即：
abacabxaacababxabxaacxabxacbxaxy442222222222
➢ 二次函数y=ax²+bx+c的性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 abx2 abx2
顶点坐标 (ab2, abac442) (ab2, abac442)
增减性 当abx2时，y随x的增大而减小；
当abx2时，y随x的增大而增大； 当abx2时，y随x的增大而增大；
当abx2时，y随x的增大而减小；
最值 当abx2时，y有最小值，abacy442 当abx2时，y有最大值，abacy442
例1：已知二次函数4212xxy
1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴
2) 当x取何值时，y随着x的增加而增大？当x取何值时，y随着x的增加而减小？ 知识点二：抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系
抛物线在坐标系内的位置与系数a，b，c的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a，b，c的符号；反过来，由a，b，c的符号能够确定抛物线的大致位置。它们之间的关系如下：
系数 图象的特征 系数的符号
a 开口向上 a>0
开口向下 a<0
b 对称轴为y轴 b=0
对称轴在y轴左侧 a，b同号
对称轴在y轴右侧 a，b异号
c 经过原点 c=0
与y轴正半轴相交 c>0
与y轴负半轴相交 c<0
例2：抛物线cbx2axy经过点(-1, 0)，对称轴l如以下列图所示。则以下结论：①abc>0；②a-b+c=0；③2a+c<0；④a+b<0。其中所有准确的结论是（ ）
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
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◆本节课内容
一、二次函数y=ax2+bx+c
1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：
2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：
二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法
先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法 2 / 19 利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：
（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；
（2）作出二次函数y=ax2的图像；
（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数
y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：
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二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系
注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定
（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法
求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
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◆课堂练习
题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值
1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
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题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围
2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。设t=a+b+1，则t的取值范围是（ ）
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1 / 11 二次函数cbxaxy2的图象和性质
要点链接
★二次函数y=ax²+bx+c可配方为：224()24bacbyaxaa，其顶点坐标为（ ， ），对称轴直线是 .
★求抛物线顶点和对称轴的方法：
（1）直接代入顶点公式24(,)24bacbaa，对称轴公式2bxa
（2）将函数y=ax²+bx+c配方成y=a（x-h）²+k的形式得到顶点坐标和对称轴.
★a、b、c与图象的关系：
1.a正负决定抛物线的 ：a＞0时， ；a＜0时， .|a|决定抛物线的开口大小：|a|越大，则 ，|a|越小，则 .
2.a、b同时决定 ：①当b=0时，对称轴是 ；②左同右异，即当a、b同号时，对称轴在 ；当a、b异号时，对称轴在 .
3.c决定抛物线与y轴 ：①当c＞0时，抛物线与y轴交点在 ；②当c＜0时，抛物线与y轴交点在 ；③当c=0时，抛物线经过 .
题型一 直接利用cbxaxy2获取图象信息
例1 下列对于二次函数xxy2的图象描述正确的是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
【变式训练1】对于二次函数12842xxy下列说法正确的是（ ）
A.图象开口向下 B.顶点坐标是（-1,3）
C.当0x时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线1x 人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
2 / 11 题型二 确定抛物线cbxaxy2的解析式
二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质
精心整理
精心整理 二次函数cbxaxy2的图象
【教学目标】
1、会用描点法画出二次函数、与的图象；
2、能结合图象确定抛物线、、的对称轴与顶点坐标；
3、通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;
【教学重点】
画出形如、与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
【教学难点】
理解函数、、与及其图象间的相互关系
【知识点梳理】
知识点一、二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadraticfuncion).其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.
知识点二、二次函数的图象及画法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.
1.用描点法画图象
首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.
2.用平移法画图象 精心整理
精心整理 由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：
函数 a的符号 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最大(小)值
y=ax2 a>0 向上 (0，0) y轴 x>0时，y随x增大而增大
x<0时，y随x增大而减小 当x=0时，
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
1 教案
教学内容
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
一、 学习目标：
1.会用描点法画出二次函数y=ax²+bx+c的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质；
2.通过独立思考、小组合作、动手操作，掌握二次函数y=ax²+bx+c的性质，并会灵活应用.
二、 知识回顾：
1．一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同， 不同.抛物线 y=ax2向 平移 个单位，向 平移 个单位得到抛物线y=a(x-h)2+k（h>0,k>0）.
2. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
（2）对称轴是直线x=h.
（3）顶点坐标是（h,k）.
3．二次函数y=ax2，y=ax2+k的性质有哪些？请填写下表．
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2（x+3）2+5
y=-3（x-1）2-2
y=4（x-3）2+7
y=-5（2-x）2-6
三、 知识梳理：
1、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
（1）二次函数y=ax²+bx+c的顶点和对称轴：
2 一般地，二次函数y=ax²+bx+c可以通过配方化成y=a（x-h）²+k的形式，即y=a（x+a2b）2+a4b-ac42，所以二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，它的顶点为（-a2b，a4b-ac42），对称轴是直线x=-a2b。
例如y=x²-2x+3可以配方成y=（x-1）²+2，其顶点为（1,2），对称轴为直线x=1.
人教版初三数学教案 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
学习目标：1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
重点：能够熟练地求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
难点：会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k.
自主学习
一、知识链接
1.说说函数y=a(x－h)2+k图象的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减变化情况.
2.将下列式子因式分解：
（1）a2+2ab+b2=____________; (2)a2-2ab+b2=____________.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k
问题 怎样将216212yxx化成y=a(x－h)2+k的形式？
填一填
（1）x2-12x+36=_____________; （2）x2-12x=_____________ .
想一想
（1）请将216212yxx化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；
（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？
练一练
将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．
（1）y=x2-2x+1； （2）y=2x2-4x+6．
探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
问题1 你能说出21632yx的对称轴和顶点坐标吗？
问题2 二次函数21632yx可以看作是由212yx怎样平移得到的？
问题3 如何画二次函数216212yxx的图象？
二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)
教学目标：
1．会用配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．能根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴；
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．知道二次函数
y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的区别和联系
教学重点：根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴；
教学难点：用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标
教学过程
一、创设情境，引入新课
1、二次函数22(3)5yx图象的开口_____，对称轴是____，顶点坐标_______，它可由22yx先向_____平移_____个单位，再向_____平移_____个单位。
2、我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k）,二次函数y＝12 x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？能够画出它们的图象吗？
二、学习新课：
1、回顾：将下列多项式进行配方
（1）22__)(___10xx
（2）_____)(______)6(136222xxxxx
（3）222__)(3__)__(312123xxxxx
2、用配方法将二次函数y＝12 x2－6x＋21化为y=a(x-h)2+k的形式，并画出图象
因此，抛物线开口_______，对称轴是直线_________，顶点坐标是（ ） 由对称性列表：
x … …
3)6(212xy …
3、自学检测：
1. 根据y＝12 x2－6x＋21 的图象说出函数的变化趋势
2.用配方法确定抛物线2241yxx的开口方向、对称轴和顶点坐标
人教版九年级数学上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(教师版)
初中数学试卷
灿若寒星整理制作
22-6 y=ax2+bx+c的图象和性质 人教九上
一、学习目标 1．描点法画出y=ax²+bx+c的图像；
2．探索抛物线y=ax²+bx+c的性质．
二、知识回顾 1．一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 形状 相同， 位置 不同.抛物线 y=ax2向 右 平移 h 个单位，向 上 平移 k 个单位得到抛物线y=a(x-h)2+k（h>0,k>0）.
2. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
（2）对称轴是直线x=h.
（3）顶点坐标是（h,k）.
3. 填表
三、新知讲解 1．函数y=ax2+bx+c图象和性质
四、典例探究
扫一扫，有惊喜哦！
1．二次函数y=ax²+bx+c化的图象和性质
【例1】（2014秋•江都市期末）画出二次函数y=﹣x2+4x+5的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）对称轴为直线______，顶点坐标为_________，最____值是_______；
（2）与x轴、y轴的交点坐标分别为___________；
（3）当x取______时，y随x的增大而增大；当x取_______时，y随x的增大而减小；
（4）当0≤x＜3时，函数y的值为_______；
（5）当0＜y＜5时，自变量x的取值范围为_____________．
总结：
1. 二次函数y=ax2+bx+c图象的画法：
（1）“化”：化成顶点式；
（2）“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）“画”：列表、描点、连线.
2. 利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式后，可求出二次函数的顶点坐标和最值，顶点坐标是（﹣，），并在顶点处取到最值. 当a＜0时，最大值是；当a＞0时，最小值是．
3. 在二次函数y=ax2+bx+c中，
（1） 当a>0时，在对称轴x=-2ba的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；
知识卡片-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质
能量储备
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质
了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，一般方法是现将一般式y=ax2+bx+c通过配方化为顶点式y=a（x--h）2+k，然后找出顶点坐标、对称轴，画出图象并观察图象得到它的增减性和最值．
函数
2y(0)axbxca（a,b,c是常数a≠0）
a＞0 a＜0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 24,24bacbaa
对称轴 2bxa直线
增减性 22bxayxbxayx对称轴左侧，即，随增大而减小；对称轴右侧，即，随增大而增大 22bxayxbxayx对称轴左侧，即，随增大而增大；对称轴右侧，即，随增大而减小
最值 224=4bxaacbya最小值当时， 224=4bxaacbya最大值当时， 通关宝典
★ 基础方法点
方法点1：利用抛物线的对称性解题
如果抛物线上两点(x1，m)，(x2，m)的纵坐标相等，那么这两点关于抛物线的对称轴直线x＝x1＋x22对称；反过来，如果两点(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线上的对称点，那么这两点的纵坐标相等，即y1＝y2.
例：如图所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为( )
A．(2，3) B．(3，2) C．(3，3) D．(4，3)
解析：∵ 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴ 点A与点B关于对称轴x＝2对称．又∵ A(0，3)，∴ AB＝4，yB＝yA＝3，∴ 点B的坐标为(4，3)，故选D.
答案：D
方法点2：比较两个二次函数值大小的方法
(1)把自变量直接代入解析式求值．
通河县三中九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=
1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
学习目标
1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像．
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．
3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．
教学过程
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判
如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可 2 知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.
方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得A.b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得A.b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．