高考数学三角函数的图像与性质测试
专题十 三角函数的图像与性质
1．
函数1)62sin(3)(xxf的最小值和最小正周期分别是（ ）
A．31， B．31，
C．3， D．31，2
2．
函数22cos()3yx的最小正周期为（ ）
A．2 B． C．2 D．3
3．
下列函数中周期为2的是（ ）
A．22cos1yx B．sin2cos2yxx
C．tan()23yx D．sincosyxx
4．
为了得到函数sin(2)3yx的图象，可以将函数sin2yx的图象（ ）
A．向右平移6个长度单位 B．向左平移6个长度单位
C．向右平移3个长度单位 D．向左平移3个长度单位
5．
已知函数sin()cos()66yxx，则其最小正周期和图象的一条对称轴方
程分别为（ ）
A．2，6x B．2，12x
C．，6x D．，12x
6．
已知函数xxfsin)(在]40[，上单调递增且在这个区间上的最大值为
2
3
，则实数的一个值可以是（ ）
A．32 B．38 C．34 D．310
7．
要得到cos(2)4yx的图象，且使平移的距离最短，则需将sin2yx的
图象向______平移______单位，即可得到．
8．
函数fxxxxxR()cos(sincos)()222取得最大值时，自变量x的集合
是_____________________________________．
9．
已知函数sinsincos()cossincosxxxfxxxx，给出下列四个结论：
⑴ 当且仅当2xk()kZ时，()fx取得最小值
⑵ ()fx是周期函数 ⑶ ()fx的值域是[1,1]
⑷ 当且仅当2222kxk()kZ时，()0fx
其中正确的结论序号是____________（把你认为正确的结论的序号都填上）．
10．
设函数()sin()fxx(0，)22，给出以下四个结论：
⑴ 它的周期为； ⑵ 它的图象关于直线12x对称；
⑶ 它的图象关于点(,0)3对称； ⑷ 在区间(,0)6上是增函数.
以其中两个论断作为条件，另外两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命
题：_________________________．
11．
已知函数()cos223sincosfxxxx()xR．
⑴ 求函数()fx的最小正周期和最大值；
⑵ 函数()fx的图象可由2sinyx()xR的图象经过怎样的平移和伸缩
变换得到？
12．
设函数()cos(3sincos)fxxxx，其中02．
⑴ 若)(xf的周期为，求当63x时()fx的值域；
⑵ 若函数)(xf图象的一条对称轴为3x，求的值．
13．
已知函数2()2cossincosfxxaxx，()06f．
⑴ 求实数a；
⑵ 求函数()fx的最小正周期及单调增区间；
⑶ 若函数()fx的图象按向量(,1)6m平移后，得到函数()gx的图像，
求()gx的解析式．
14．
已知向量(2sin,cos)axx，(3cos,2cos)bxx，定义函数()1fxab．
⑴ 求函数()fx的最小正周期；
⑵ 求函数()fx的单调减区间；
⑶ 画出函数()()gxfx，75[,]1212x的图象，由图象研究并写出()gx的
对称轴和对称中心．
1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C
7．左、8 8．，{|,}8xxkkz 9．⑵⑷
10．⑴⑵⑶⑷ 或 ⑴⑶⑵⑷
11．解：（1）xxxxxf2sin32coscossin322cos)(
Rxxxx)(62sin(2)2sin232cos21(2
）
∴T=
2)(,
最大值
xf
（2）先将Rxxy(sin2）的图象向左移6个单位，得到
)
6
sin(2xy
的图象；再将)6sin(2xy的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，
得到
)
6
2sin(2xy
的图象.
或先将Rxxy(sin2）的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得
到函数
xy2sin2的图象；再将xy2sin2
的图象向左移12个单位，得到
)62sin(2xy
的图象.
12．解：212cos212sin23)(xxxf
.21)62sin(x
（I）因为1,,所以T，
]65,6[62,36xx时当
，
所以，)(xf的值域为]23,0[.
（II）因为)(xf的一条对称轴为),(26)3(2,,3zkkx所以
,2123k
21,0,13
1
,,20kk所以所以又
.
13．(1)∵f(6)=0 ∴2cos26+asin6cos6=0 ∴a=-23
(2) f(x)=2cos2x-23sinxcosx=cos2x+1-3sin2x =2cos(2x+3)+1
∴T=π
f(x)的单调增区间为[kπ+3,kπ+56π](k∈Z)
(3)g(x)=2cos2x
14．15．解：1cos2cossin321)(2xxxbaxf
).62sin(22cos2sin3xxx
………………………………5分
（1）.||2T……………………………………6分
（2）3422322326222kxkkxk
)(326Zkkxk
).](32,6[)(Zkkkxf的单调减区间为函数
……………………9
分
（3）
从图象上可以直观看出，此函数有一个对称中心
（0,12），无对称轴…………14分
x 127 3 12 6 125
62x 2
0 2
y 0 －2 0 2 0
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质一、单选题1．函数()41sin 2x xf x x -=⋅的部分图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()sin 733x xxf x -=- B ．()sin 733x xxf x -=- C ．()cos 733x xxf x -=- D ．()cos 733x xxf x -=- 3．函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的部分图象如图，()f x 的最小正零点是512π，则()f x =（ ）A ．72sin 12x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2sin 26x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．sin(2)6x π+4．函数()43f x cos x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴可能是直线x =（ ）A ．53-B ．13- C ．3π D ．43π5．现有四个命题： ①()0,1x ∃∈，tan 2x x +=； ②ππ,42x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1tan 4tan 1x x +≥-； ③函数()cos tan f x x x x =+的图象存在对称中心；④函数函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小为π．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移6π个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可以为（ ） A ．2π-B ．6πC ．3π D ．2π 7．将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()g x 的周期为π B ．π162g ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数()g x 是奇函数D ．直线πx =是函数()g x 的一条对称轴8．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(]0,2C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦9．已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（ ） A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，那么=2f π⎛⎫⎪⎝⎭（ ）AB ．12CD11．函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0>ω，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ）A ．()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12．下列函数为偶函数的是（ ） A ．2cos y x x = B ．sin y x =- C ．tan2y x = D ．cos sin y x x =+二、填空题13．设函数()sin f x x =，[],x a b ∈，其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，设b a -最大值为M ，最小值为N ，则M N -=________14．函数sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为________．15．已知()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，π02ϕ<<）的图像过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，要使该函数解析式为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，还应该给出的一个条件是________．16．若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图，则ω=________．三、解答题17．已知函数()sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0ϕπ<<，0>ω）图象的一条对称轴方程为12x π=，且()f x 相邻的两个零点间的距离为2π.（1）求()f x 的解析式； （2）求方程()34f x =在区间[]0,2π内的所有实数根之和.18．已知函数()4sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且(0)3f =.（1）求ω和ϕ的值.（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象， ①求函数()g x 的单调递增区间；②求函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.19．已知()()()()()()2sin cos sin 2cos 6211cos cos cos 22x x x x f x x x x πππππππ⎛⎫---⋅--⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫-⋅-++ ⎪⎝⎭．（1）化简函数()f x 的解析式； （2）设函数()324g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调增区间．20．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域.21．已知函数()15sin 22cos 242f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期和单调区间；（2）若()2f x t =在744ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有4个解，求t 的取值范围.22．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. （1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域; （3）若方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围.参考答案1．A 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再根据特殊的函数值排除一个后可得． 【详解】4141()sin()sin ()22x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=，为偶函数，排除BD ，又(0)0f =，排除C ． 故选：A ． 2．D 【分析】由图象知()f x 是奇函数且当0x +→时()f x →+∞，结合各选项的解析式，利用奇偶性定义排除偶函数选项及0lim ()x f x +→=-∞的选项即可. 【详解】由图象知：()f x 是奇函数，而()()sin(7)sin 7()3333()x x x x f x x xf x -----===---，即为偶函数，排除A ；同理B 中()f x 也是偶函数，排除；当0x +→时，由图知()f x →+∞，而cos 71x →且33x x ->，此时cos 73(3)x xxf x -=→-∞-，故排除C. 故选：D 3．B 【分析】由图可得2A =，令()0f x =有(61)6k x πω-=，根据()f x 的最小正零点是512π求ω，即可写出()f x 的解析式.【详解】由图知：2A =，令()2sin()06f x x πω=+=，∴sin()06x πω+=，则(61)66k k x πππωωω-=-=，∵()f x 的最小正零点是512π，且0>ω， ∴当1k =时，55612x ππω==，得2ω=. ∴()2sin(2)6f x x π=+.故选：B 4．A 【分析】先计算出函数的对称轴，再适当地取k 的值进而得到答案. 【详解】 令(3)Z x k k πππ-=∈，解得()1Z 3k x k =+∈. 当2k =-时，53x =-.故选：A. 5．B 【分析】根据单调性判断①，结合基本不等式判断②，根据函数的奇偶性判断③，由正切型函数的周期判断④． 【详解】因为()tan f x x x =+在()0,1上单调递增，且()00f =，()π11tan11tan 24f =+>+=， 所以()0,1x ∃∈，tan 2x x +=．①正确当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 1x >，()1,x ∀∈+∞，1111311x x x x +=-++≥--，当且仅当2x =时等号成立，②错；因为()()cos tan f x x x x f x -=--=-，所以()cos tan f x x x x =+为奇函数， 图象关于原点对称．③正确；函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期π2T =．④错误．故①③为真命题． 故选：B ． 6．B写出平移后解析式，再由对称性得出ϕ值． 【详解】平移后解析式为()sin 2()sin(2)63g x x x ππϕϕ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦，它的图象关于y 轴对称，则,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈，只有B 满足．故选：B ． 7．C【分析】由三角函数图象变换写出()g x 的解析式，然后余弦函数性质判断各选项． 【详解】由题意()sin 2()sin(2)cos 2662g x x x x πππ⎡⎤=++=+=⎢⎥⎣⎦，最小正周期是22T ππ==，A 正确； 1cos 632g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，B 正确；()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，()g x 是偶函数，C 错误；()cos 21g ππ==为最大值，x π=是()g x 的一条对称轴，D 正确．故选：C ． 8．D【分析】根据正弦型函数的单调性，结合题意进行求解即可. 【详解】 当22()22k x k k Z πππωπ-≤≤+∈时，因为0>ω，所以有11(2)(2)()22k x k k Z ππππωω-⋅≤≤+⋅∈，因此函数()sin (0)f x x ωω=>的递增区间为：2222[,]()k k k Z ππππωω-+∈，因为函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以令0k =，且有32424ππωππω⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪-≥⎪⎩，因为0>ω，所以解得：203ω<≤，9．B 【分析】作出1sin 2x =-与1cos 2x =-的图象，结合图象即可求解【详解】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-，所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π，所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥ 综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B 10．B 【分析】本题可根据最大值为1求出1A =，然后根据周期的14为4π求出2ω=，再然后根据过点,13π⎛⎫⎪⎝⎭求出6πϕ=-，最后代入2x π=，即可得出结果.【详解】因为最大值为1，所以1A =，()()sin f x x ωϕ=+，因为周期的14为4π，所以最小正周期为π，2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+，因为过点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，2πϕ<，所以21sin 3πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得6πϕ=-，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则51sin sin6226f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11．C 【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可. 【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =， 由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=， 因为0>ω，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<， 所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：C 12．A 【分析】根据奇偶性的定义判断各选项函数的奇偶性即可. 【详解】A ：22()()cos()cos ()y f x x x x x f x =-=--==且x ∈R ，偶函数；B ：()sin()sin ()y f x x x f x =-=--==-且x ∈R ，奇函数；C ：()tan2()tan 2()y f x x x f x =-=-=-=-且24k x ππ≠+ ()k ∈Z ，奇函数； D ：()cos()sin()cos sin y f x x x x x =-=-+-=-且x ∈R ，非奇非偶函数. 故选：A 13．23π【分析】令117sin ,2+26x x k ππ=-∴=或2122,6x k k k Z ππ=-∈，.令33sin 1,2,2x x k k Z ππ=∴=+∈.求出,M N 即得解.令117sin ,2+26x x k ππ=-∴=或2122,6x k k k Z ππ=-∈，.令33sin 1,2,2x x k k Z ππ=∴=+∈.当172+6a k ππ=或2122,,6a k k k Z ππ=-∈，且332,2b k k Z ππ=+∈所以3122()3b a k k ππ-=--或3222()3b a k k ππ-=-+.当320k k -=时，23b a N π-==；当2126a k ππ=-，且172,6b k k Z ππ=+∈时， 所以1242()3b a k k ππ-=-+.当120k k -=时，43b a M π-==.所以23M N π-=.故答案为：23π 14．23π 【分析】根据正弦函数的周期求解． 【详解】函数sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23T π=．故答案为：23π． 15．2ω=或周期πT = 【分析】由余弦型三角函数的周期可判断所需条件. 【详解】解：由图像过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭可知3πϕ=，若求出解析式还需要一个和ω相关的量，故可直接给出条件2ω=或周期T π=. 故答案为：2ω=或周期T π=. 16．4根据正弦函数图象的对称性求得函数的周期，进而可求得ω. 【详解】由正弦函数图象的对称性得函数的周期00242T x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以22ππω=，解得4ω=.故答案为：4.17．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）133π. 【分析】（1）依题意可得T π=，即可求出ω，再根据函数的对称轴求出ϕ，即可求出函数解析式； （2）作出()y f x =与34y =的大致图象，根据函数的对称性计算可得； 【详解】 （1）()f x 相邻的两个零点间的距离2π， ∴()f x 的最小正周期222T πππω==⨯=，∴2ω=.又函数()f x 图象的一条对称轴方程为2x π=，∴21262k πππϕπ⨯+-=+()k Z ∈，即2k πϕπ=+()k Z ∈，而0ϕπ<<，∴2ϕπ=. 故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()f x 的最小正周期为π，所以()f x 在[]0,2π内恰有2个周期. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，即函数的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈，因为34<，作出()y f x =与34y =的大致图象如图.由图可知两个图象在[]0,2π内有4个交点，横坐标依次为1x ，2x ，3x ，4x ， 且1x 与2x 关于712x π=对称，3x 与4x 关于1912x π=对称， 所以1276x x π+=，34196x x π+=， 故所有实数根之和为133π18．（1）2ω=，6π=ϕ；（2）①,(k )2k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ；②最大值为3.【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到()g x 的解析式. ①根据余弦型函数的单调性进行求解即可； ②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】解：（1）()f x 的最小正周期为π，0>ω 所以2ππ=ω， 即2ω=. 又因为(0)3f =， 所以1sin 2ϕ=，因为|2πϕ<，所以6π=ϕ. （2）由（1）可知()4sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度(纵坐标不变)， 所以2()()4sin(2)14cos 21336g x f x x x πππ=-=-++=-+. ①由2[2,2]()x k k k Z πππ∈+∈，得函数()g x 的单调递增区间为,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.②因为03x π≤≤，所以2023x π≤≤. 当223x π=， 即3x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为33g π⎛⎫= ⎪⎝⎭.19．（1）()2cos f x x =-；（2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈． 【分析】（1）利用三角上的诱导公式，准确运算，即可求解；（2）由（1）得到()2sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）结合诱导公式得()()()()()()2sin cos sin 2cos 6211cos cos cos 22x x x x f x x x x πππππππ⎛⎫---⋅--⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫-⋅-++ ⎪⎝⎭ ()()()()22cos sin cos cos sin cos x x x x x xπ⋅-⋅-=-⋅-2sin cos 12cos 2cos cos sin cos x x x x x x x -=⋅⋅⋅=---， 所以函数()2cos f x x =-．（2）根据（1）可得()322cos 22sin 24244g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得388k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以函数()g x 的单调增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈． 20．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.【分析】（1）由最大值求得A ，由周期求得ω，代入一个点的坐标求得ϕ，得解析式； （2）求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数的性质得出值域． 【详解】解：(1)根据函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，可得32134123πππω⋅=-，求得2ω=，∴最小正周期22T ππ==， 再根据五点法作图可得23πϕπ+=，;3πϕ∴=∴函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+．(2)?,44x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，52,366x πππ⎛⎤∴+∈- ⎥⎝⎦1sin 2,132x π⎛⎫⎛⎤∴+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，函数()f x 在区间,44ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦21．（1）2T π=，单调增区间是52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，单调减区间是592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈；（2）(22t ⎤⎡∈-⋃⎦⎣.【分析】（1）利用二倍角公式结合二次函数化简函数，利用周期的概念求得周期，利用复合函数单调性求得函数单调性；（2）根据x 的范围求得2t 的范围，从而求得结果. 【详解】解：（1）()215cos 22cos cos 2cos 2224244f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos 114x π⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()()22cos 211cos 12144x x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2T π=，设cos 4m x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，[]1,1m ∈-，则函数()211y m =-+在[]1,1-上单调递减，对于函数cos cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当224k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，即 x ∈52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，时，cos 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减， 当2224k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，即 x ∈592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，时，cos 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故函数()f x 单调增区间是52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，单调减区间是592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈.()2由上述单调性知若()2f x t =在744ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有4个解，且74f π⎛⎫ ⎪⎝⎭27cos 1144ππ⎛⎫⎛⎫=--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，且34f π⎛⎫ ⎪⎝⎭23cos 1144ππ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，()54f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭25cos 11544ππ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以225t ≤<，所以(22t ⎤⎡∈-⋃⎦⎣.22．（1）()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]0,2；（3）112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0- 【分析】（1）利用三角函数的定义求出ϕ的值，由题意知223T ππω==可得ω的值，进而可得()f x 的解析式，利用整体代入法以及正弦函数的单调性即可求解； （2）由x 的范围求出33x π-的范围，利用正弦函数的性质即可求解； （3）设()(]0,2f x t =∈，将问题转化为y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，数形结合可得112m -=-或010m ≤-<，即可求解. 【详解】（1）因为角ϕ的终边经过点(1,P ，所以tan ϕ= 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，因为当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 所以223T ππω==，可得：3ω=，所以()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈解得：()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调减区间为()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）当4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，033x ππ<-<， 所以0sin 313x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以()02sin 323f x x π⎛⎫<=-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域为(]0,2，（3）设()(]0,2f x t =∈，因为方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 则230t t m -+=在(]0,2t ∈内有一根或两个相等的实根，因为23m t t -=-，所以y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，作出y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象，由图知：当16t =时211136612y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；当0t =时，0y = ；当2t =时，232210y =⨯-=， 所以112m -=-或010m ≤-≤直线y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点， 当10m -=时，2t =，此时方程()2sin 323f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭只有一解，不符合题意，所以112m -=-或010m ≤-<，即方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 所以：112m =或100m -<≤所以实数m 的取值范围为：112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0-。
2021新高考数学专项训练题--三角函数图像与性质(单选题)(含解析)
三角函数图像与性质一、单选题（共28题；共56分）1.（2021·湛江模拟）将函数f(x)=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为6π，则（）A. ω=B. ω=6C. ω=D. ω=32.（2021·江西一模）函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个长度单位D. 向左平移个长度单位3.（2021·吉安模拟）已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D. -14.（2021·贵阳二模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.5.（2021·成都一诊）已知锐角φ满足sinφ-cosφ=1，若要得到函数f(x)= -sin2(x+q)的图象，则可已将函数y= sin2x的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6.（2021·玉溪模拟）已知函数的部分图象如图所示，若，则函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.7.（2020·安徽模拟）若函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上( )A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值8.（2020·南昌模拟）函数的部分图象如图所示，则( )A. B. C. D.9.（2020·平顶山模拟）已知函数的图象过点，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度10.（2020·龙岩模拟）已知函数，则下列命题中正确的是( )A. 的最小正周期为πB. 的图象关于直线对称C. 的值域为D. 在区间上单调递减11.（2020·辽宁模拟）已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.关于函数,下列说法正确的是（）A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是奇函数D. 当时,函数的值域是12.（2020·莆田模拟）函数的部分图象如图所示，把图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，整体再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论正确的是( )A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点中心对称C. 在上单调递增D. 在上的最大值是213.（2020·池州模拟）已知函数，则关于的有关性质说法中，正确的是（）A. 极值点为B. 最小正周期为C. 最大值为3D. 在上单调递减14.（2020·赤峰模拟）关于函数有下述四个结论：（）① 是偶函数；② 在区间上是单调递增函数；③ 在上的最大值为2；④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是（）A. ①②④B. ①③C. ①④D. ②④15.（2020·马鞍山模拟）关于函数有下述四个结论：① 在区间上是减函数；② 的图象关于直线对称；③ 的图象关于点对称；④ 在区间上的值域为.其中所有正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 416.（2020·梅河口模拟）如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( )A. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变17.（2020·吉林模拟）函数的部分图像如图所示，若，点A的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于y轴对称，则m的最小值为（）A. B. C. D.18.（2020·辽宁模拟）函数的值域为（）A. B. C. D.19.（2020·抚顺模拟）如图，P，Q是函数的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的一个最高点，若是等腰直角三角形，则函数的解析式是（）A. B.C. D.20.（2020·连城模拟）将函数f(x)=sin 3x- cos 3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x= 对称；②它的最小正周期为；③它的图象关于点( ，1)对称；④它在[ ]上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④21.（2020·大庆模拟）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数则函数的图象( )A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称22.（2020·呼和浩特模拟）已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④23.（2020·湛江模拟）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：①函数的图象关于原点对称；②在区间上，的最大值为；③是的一条对称轴；④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．其中正确的结论个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 424.（2020·武汉模拟）已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A. B. C. D.25.（2020·随县模拟）函数的最小正周期是，则函数在区间上的零点个数为（）A. 31B. 32C. 63D. 6426.（2020·大连模拟）如图是函数的部分图象，则，的值分别为（）A. 1，B. 1，C. 2，D. 2，27.（2020·咸阳模拟）关于函数，下列说法正确的是（）A. 函数的定义域为B. 函数一个递增区间为C. 函数的图像关于直线对称D. 将函数图像向左平移个单位可得函数的图像28.（2020·宝鸡模拟）函数的图象为C，以下结论中正确的是（）①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】由题意可知，由，解得故答案为：A【分析】根据图像的坐标变换求出解析式，再根据正弦函数的周期公式即可得出答案。
专题5.3 三角函数的图象与性质(原卷版)
专题5.3 三角函数的图象与性质题型一 三角函数的值域题型一 三角函数的值域例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求2()2cos 2sin 3R f x x x x =--+∈（）的最小值是_____例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为______．练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()14sin sin f x x x =+的最小值为（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数π()cos (sin ),[0,]4f x x x x x =∈的最大值与最小值的和为（ ）A B C D ．3练习3．（2022·高三课时练习）函数y ＝tan(π－x )，x ∈(,)43ππ-的值域为________．练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知()23sin 8cos2xf x x =-，若()()f x f θ≤恒成立，则sin θ=（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin2cos2y x x =+B ．sin cos y x x =+C ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线π6x =-对称 C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称，则ϕ可以为5π6练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数44()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．函数()f x 的一条对称轴为π4x =B ．函数()f x 的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的最小正周期为π2D ．若函数3()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的最大值为2练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数()π2sin 2f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下结论中正确．．的是（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．直线 π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是(练习8．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）已知函数π()cos 25x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的图象关于2π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线8π5x =对称 C ．3π5f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 为偶函数练习9．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫ ⎪⎝⎭在[]π,π-的图象如图所示．则（1）()f x 的最小正周期为__________； （2）距离y 轴最近的对称轴方程__________．练习10．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数题型三 解三角不等式例5．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）不等式tan 1x >-的解集是________．例6．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)用五点法画出函数()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，并写出()f x 的最小正周期；(2)1≤.练习11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦练习12．（2023春·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）已知函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()f x >x 的取值范围.练习13．（2021春·高三课时练习）解不等式1tan x ≤≤－练习14．（2023春·辽宁铁岭·高三铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知某地某天从6时到22时的温度变换近似地满足函数π510sin π2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15C 到25C 之间可以存活则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？练习15．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）函数lgsin y x =_________．题型四 由三角函数的值域（最值）求参数例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()11sin 06f x a x x a =-≠，且()7π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则()f x =______例8．（2023春·上海青浦·高三上海市朱家角中学校考期中）设函数sin y x =定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值为______练习16．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期中）已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.练习17．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数()cos f x x x =-的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的取值范围是（ ） A ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2433ππ,⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习18．（2023·上海·高三专题练习）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.练习19．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为ϕ的一个取值为___________.（写出一个即可）练习20．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．πD ．2π题型五 根据单调求参数例9．（2021·高一课时练习）若不等式tan x a >在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭- 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1a > B ．1a ≤ C ．1a <- D ．1a ≤-例10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数()()()cos 202πf x x ϕϕ=+≤<在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ）． A ．4ππ3ϕ≤≤ B ．π4π23ϕ≤≤ C ．4π2π3ϕ≤≤ D ．4π3π32ϕ≤≤练习21．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间3π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，则ω的取值范围是______．练习22．（2023春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）（多选）若函数cos2y x =与函数()sin 2y x ϕ=+在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）A ．π6B ．3π4C ．4π3-D ．4π3练习23．（2023春·四川成都·高三成都市第二十中学校校考阶段练习）已知函数 tan y x ω=在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数， 则（ ） A ．01ω<< B ．10ω-≤< C ．1ω≥ D ．1ω≤-练习24．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是______.练习25．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知1ω>，函数π()cos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)当2ω=时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，求ω的取值范围.题型六 根据对称求参数例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=_________.例12．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=++的图象的一条对称轴方程是π4x =-，则ϕ的最小正值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2练习26．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数()ππsin cos sin sin 36f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于坐标原点对称，则ϕ的可能取值为（ ） A ．π3-B ．π6-C ．π3D ．2π3练习27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，若对于任意实数x ，都有π()()3f x f x =--，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．4D ．8练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知函数()2s πsin co 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)设[0,π)θ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(2)若()f x 在区间,π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()0f =π6x =为()f x 图象的一条对称轴，则ω的最小值为______．练习30．（2022·高三课时练习）已知()()3sin f x x ωϕ=+对任意x 都有()()33ππ+=-f x f x ，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭等于________．题型七 由图象确定三角函数解析式例13．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()7ππ2cos 123f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭例14．（2022春·福建·高二统考学业考试）（多选）函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的解析式是()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的最小正周期是πD ．函数()f x 的一个对称中心是π,06⎛⎫⎪⎝⎭练习31．（2023春·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为()1,0P -，Q ，R ，且线段RQ 的中点M 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2f -等于（ ）A ．1B ．－1CD ．练习32．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部图象如图所示，则ω=______，ϕ=______；练习33．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图像关于直线5π12x =-对称 C ．将函数2cos2y x =的图像向右平移π12个单位长度得到函数()f x 的图像D ．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-练习34．（湖南省部分名校联盟2023届高三5月冲刺压轴大联考数学试题）（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式是()sin 0,0,0,2y A t A πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．该简谐运动的初相为π6B ．该简谐运动的频率为12πC ．前6秒该质点的位移为12mmD ．当42π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，位移y 随着时间t 的增大而增大练习35．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则 7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2+BC ．D ．题型八 描述三角函数的变换过程例15．（2022春·福建·高二统考学业考试）为了得到函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把曲线()cos f x x =上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B ．向右平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C ．向左平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12D ．向右平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12例16．（北京市2023届高三高考模拟预测考试数学试题）要得到cos 2xy =的图像，只要将sin 2xy =的图像（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π2个单位C ．向左平移π个单位D ．向右平移π个单位练习36．（2021·高三课时练习）函数ππ()2sin(),0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示， 为了得到这个函数的图象，只要将2sin y x =的图象上所有的点 （ ）A ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变练习37．（2023春·江西赣州·高三校考期中）（多选）要得到函数y x =的图象，只需将函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．先向左平移π8个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．先向左平移π4个单位长度，再横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度D ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度练习38．（2023春·贵州·高三校联考期中）为了得到函数πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要将函数πcos 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π8个单位长度 B ．向右平移5π8个单位长度 C ．向左平移5π16个单位长度 D ．向右平移5π16个单位长度练习39．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()cos g x x =图象上的所有点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度练习40．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中（多选））已知函数()()2sin (π0,)f x x ωϕϕω><=+的部分图象如图所示，则()f x 的图象可以由函数()2sin g x x =的图象（ ）A ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移11π12个单位长度得到 B ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移π12个单位长度得到 C ．先向右平移π12个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到 D ．先向右平移π6个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到题型九 求图象变换前（后）的函数解析式例17．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数cos2y x =的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为x =（ ） A ．π80B ．π60C ．π40D ．π20例18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数()πsin 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到函数()g x 的图象，若存在()0,πθ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x ∈R 恒成立，则θ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6练习41．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数()y f x =图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ） A ．15πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭练习42．（2023·辽宁·校联考三模）（多选）已知函数()()cos 202f x x πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴为8x π=，先将函数()f x 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的图像在以下哪些区间上单调递减（ ） A ．[],2ππ B ．[]2,ππ--C ．79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,42ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦练习43．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考期中）（多选）将函数π3sin()3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ） A ．函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线5π12x =对称练习44．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知π3是函数()sin cos f x x a x =+的一个零点，将函数()2y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的表达式为（ ） A ．7π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2cos 2y x =-D ．2cos2y x =。
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质一、单选题1．下列函数中，是奇函数且最小正周期为π的是（ ） A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．sin 2xy =D ．tan 2y x =2．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ） A ．132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()g x 在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．24x π=-是()g x 图象的一条对称轴D ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心3．已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，若()f x 的图象向右平移2π个单位后与()f x 的图象重合，当ω最小时，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在30,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 在711,1616ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的图象关于点3(,0)16π中心对称4．已知函数()cos 22f x x x =，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 的周期为πB ．3x π=是()f x 的一条对称轴C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间5．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度6．函数1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．关于函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是（ ）A ．最小正周期为π，渐近线为直线：()2x k k Z ππ=+∈B ．最小正周期为2π，渐近线为直线：()6x k k Z ππ=+∈C ．最小正周期为π，渐近线为直线：()212k x k Z ππ=+∈ D ．最小正周期为2π，渐近线为直线：()212k x k Z ππ=+∈ 8．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．最大值为2D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称11．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．把()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到函数()2cos2g x x =的图象C ．()f x 在区间11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心12．下列函数在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的是（ ）A ．sin y x =-B ．cos y x =C ．sin y x =D ．cos y x =三、填空题13．函数()2cos(2)6f x x π=-数在[0,]π上的单调增区间为________.14．函数()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为________.15．已知()πcos 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内有最小值，无最大值，则ω=________．16．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象向右平移2π个单位后与()f x 的图象重合，当ω最小时，给出下列结论： ①ω的最小值为4②()f x 在30,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增③()f x 在711,1616ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减④()f x 的图象关于直线2x π=对称⑤()f x 的图象关于点3,016π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中心对称其中，正确结论的编号是____________（填写所有正确结论的编号）． 四、解答题17．已知函数()4cos sin 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.18．已知函数()22()cos )12sin f x x x x +--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x 的值．19．（1）用列表描点法画出1π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈的简图；（2）结合函数()f x 的图象，若方程()f x m =，其中[]0,2πx ∈有两个实数解，求m 的取值范围.20．已知函数()()24cos sin sin cos sin 1(co 24)s xf x x x x x x π=++⎛⎫+ ⎪⎝+-⎭.（1）常数0>ω，若函数()y f x ω=在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的取值范围；（2）若函数()()()21212g x f x af a x x af π⎛⎫+-⎡⎤=--⎢⎥⎣- ⎦⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，求实数a 的值.21．如图，已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<，点A ，B 分别是()f x 的图像与y轴，x 轴的交点，C ，D 分别是()f x 的图像上横坐标为π2，2π3的两点，//CD x 轴，且A ，B ，D 三点共线.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若()1213f α=，ππ,123α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求π4f α⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．函数()2cos2f x x x =+的部分图象如图所示．（1）将函数()f x 化为()()sin f x A x =+ωϕ的形式； （2）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （3）求()f x 的单调递减区间．参考答案1．B 【分析】根据三角函数奇偶性和周期公式逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A ：cos 2y x =是偶函数，周期为2ππ2=，故选项A 不正确； 对于B ：sin 2y x =是奇函数，周期为2ππ2=，故选项B 正确； 对于C ：sin 2x y =是奇函数，周期为2π4π12=，故选项C 不正确；对于D ：tan 2y x =是奇函数，周期为π2，故选项D 不正确； 故选：B. 2．C 【分析】利用三角函数的图象伸缩变换求得()g x ，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，坐标不变，得到函数()g x 的解析式 ()sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 4sin 0333g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：由()242,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得，()5,242242k k x k Z ππππ-+≤≤+∈，故()g x 在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有增有减，故B 错误；对于C ：sin sin 124632g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以24x π=-是()g x 图象的一条对称轴，故C 正确；对于D：2sin sin 6333g ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是()g x 图像的一个对称中心，故D 错误．故选：C ．3．D 【分析】依题意可得()πsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()f x 的单调递增区间可判断A 和B ；由2f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断C ；由316f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断D.【详解】因为()f x 的图象向右平移π2个单位后与()f x 的图象重合，所以π2是()f x 一个周期，又0>ω，所以π2π2k ω=⋅，Z k ∈，所以4k ω=，ω的最小值为4，所以()πsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π42π242k x k -+≤+≤+，解得3ππππ,Z 162162k k x k -+≤≤+∈，当0k =时，()f x 的单调增区间为3ππ,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，()f x 的单调增区间为5π9π,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以A ，B 错误；而ππsin 2π124f ⎛⎫⎛⎫=+≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 错误；3π3ππsin 01644f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确. 故选：D. 4．C 【分析】根据余弦型函数()cos y A x ωϕ=+的性质依次判断. 【详解】因为()cos 222cos 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，最小正周期22T ππ==， ()23f π=-，故3x π=是()f x 的一条对称轴，且,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调递减区间， 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是单调递增区间，所以C 错. 故选: C. 5．D 【分析】对函数进行变形sin 2sin 2666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可得解.【详解】sin 2sin 2666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移6π个单位长度.故选：D 6．C 【分析】直接求函数的零点，再确定区间,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数.【详解】 令23x k ππ-=，k Z ∈，解得：62k x ππ=+，k Z ∈， 因为,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦，所以2,363x πππ=-，，共3个零点.故选：C 7．D 【分析】直接利用正切型函数性质求解，即可得出结果. 【详解】解：由函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知最小正周期2ππT ω==.令()232x k k Z πππ+=+∈，解得()122k x k Z ππ=+∈.故选：D. 8．D 【分析】根据题意，设()sin ,,22y x ππωϕϕ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，利用函数图象求得,ωϕ，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可. 【详解】由题意，设()sin ,,22y x ππωϕϕ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，由图象知：41264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以T π=， 所以22πωπ==，因为点,112π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，所以πsin φ16， 则2,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得3πϕ=，所以函数为sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即cos 2cos 2cos 22366y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D 9．AC 【分析】根据函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，由223ππω=求得3ω=，再逐项判断. 【详解】因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为223ππω=，所以3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故函数sin 312f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确；由,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，sin y x =在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，所以函数()f x 不单调，故B 错误； 当4x π=时，sin 3sin 14442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故()f x 的图象关于直线4x π=对称，故C 正确；函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()sin 3sin 3sin 44y x x x πππ⎛⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭⎫⎪⎝⎭的图象，故D 错误，故选：AC ． 10．AD 【分析】首先根据辅助角公式化简函数()2244f x x x ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，然后根据选项，依次判断函数的性质. 【详解】()2244f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以函数是偶函数，故A 正确；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；C 错误；当4x π=时，sin02y π==，所以函数图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确. 故选：AD 11．ACD 【分析】根据图象求出求出函数解析式，根据平移变换判定B ，结合图象判定C ，计算2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判定D【详解】 由图可得：3532,41234T A πππ==+=，所以最小正周期T π=，所以A 选项正确； 2,2T ππωω===()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，510102sin 2,21212122f k ππππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈ 2,3k k Z πϕπ=-+∈，2πϕ<，所以3πϕ=-，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到：()2sin 22sin 22cos 21232x x g x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，所以B 选项错误；结合图象和周期可得函数的一个减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以C 选项正确；2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心，D 选项正确.故选：ACD 12．AD 【分析】对AB ，直接根据正余弦函数的单调区间判断，对CD ，对正余弦函数在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的区间正负，去绝对值判断即可 【详解】对A, sin y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故sin y x =-在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；对B, cos y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数；对C, sin sin ,,2y x x x ππ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，故sin y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；对D, cos cos ,,2y x x x ππ⎡⎤==-∈⎢⎥⎣⎦，故cos y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数故选：AD 【点睛】遇到绝对值时可先分析绝对值中的正负去绝对值，再根据正余弦函数的单调性判断变化后的函数单调性13．0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先根据余弦函数的性质求出函数的在R 上的单调递增区间，再与所给区间求交集即可； 【详解】解：因为()2cos(2)6f x x π=-，令2226k x k ππππ-+≤-≤，k Z ∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，又因为[0,]x π∈，所以5[0,],0,121212πππ⎡⎤⎡⎤π-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，7137[0,],,121212ππππ⎡⎤⎡⎤π=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 再在区间[0,]π上的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；故答案为：0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；14．23π 【分析】根据周期公式，即可求解. 【详解】函数的最小正周期23T π=. 故答案为：23π 15．143【分析】根据已知条件可得()f x 在π4x =时取得最小值，再由2πππ36T ω=≥-以及0>ω即可求解. 【详解】因为ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的一条对称轴为πππ6324x +==， 又因为()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭内有最小值，无最大值，所以()f x 在π4x =时取得最小值，所以()πππ+2πZ 46k k ω⨯-=∈，可得：()14+8Z 3k k ω=∈，因为2ππππ366T ω=≥-=，可得012ω<≤， 所以0k =，143ω=， 故答案为：143. 16．①⑤ 【分析】()f x 的图象向右平移2π个单位后与()f x 的图象重合，从而可得π2π2k ω=⋅，k Z ∈，求出ω，从而可求出()πsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求解其单调区间和对称轴，对称中心进行判断即可【详解】解析：因为()f x 的图象向右平移π2个单位后与()f x 的图象重合，所以π2是()f x 一个周期，又0>ω，所以π2π2k ω=⋅，k Z ∈，所以4k ω=，ω的最小值为4，所以①正确； 进而()πsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π42π242k x k -+≤+≤+，解得3ππππ,162162k k x k Z -+≤≤+∈，当0k =时，()f x 的单调增区间为3ππ,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，()f x 的单调增区间为5π9π,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以②③错误，而ππsin 2π124f ⎛⎫⎛⎫=+≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以④错误，3π3ππsin 01644f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以⑤正确，故答案为：①⑤．17．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，T π=；（2）(],2-∞. 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简得()f x =2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，由周期公式和正弦函数的单调性可得答案；（2）转化为max ()m f x ≤，由x 的范围得到sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）∵()4cos sin 4cos sin cos cos sin 333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 2cos 2)x x x x =-=+sin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 令222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， ∴函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，由（1）可知，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴当232x ππ-=，即512x π=，()f x 取得最大值2， ∴2m ≤，∴实数m 的取值范围(],2-∞.18．（1）π；（2）当6x π=-2；当4x π=时，最大值为【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步确定函数的最大和最小值． 【详解】（1）函数22()cos )(12sin )sin 2)cos22sin(2)6f x x x x x x x π=+--=+-=-．故函数的最小正周期为22T ππ==． （2）由于[,]44x ππ∈-，所以22[,]633x πππ-∈-，故sin(2)[6x π-∈-．故()f x ∈即当6x π=-2，当4x π=时，函数的最大值为19．（1）答案见解析；（2）332m ≤< 【分析】（1）由[]0,2πx ∈可得1ππ5π,2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，将1π26x -看成一个整体分别取五个关键点和端点，利用五点法作图即可；（2）问题转化y m =的图象与函数1π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈的图象有两个不同的交点，数形结合即可求解.【详解】因为[]0,2πx ∈可得1ππ5π,2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，列表如下：图象如图所示：（2）若1π()3sin 26f x x m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭其中[]0,2πx ∈有两个实数解，则直线y m =的图象与函数1π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈的图象有两个不同的交点，因为1π3(2π)3sin 2π262f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，max ()3f x =，由图知：当332m ≤<时，直线y m =的图象与函数1π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈的图象有两个不同的交点，即方程()f x m =，其中[]0,2πx ∈有两个实数解， 所以m 的取值范围是332m ≤<.20．（1）(0,1]；（2）2-【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式化简()f x ，即可得到()f x ω，根据正弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再由函数在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调性，得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()1sin 2cos i ()2s n g x x a x x a=+---，令cos sin t x x =-，则将函数化为22ay t at =-+-，利用辅助角公式及正弦函数的性质求出t 的取值范围，最后根据二次函数的性质分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()()24cos sin sin cos sin 1(co 24)s xf x x x x x x π=++⎛⎫+ ⎪⎝+-⎭所以()2221cos sin sin cos 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=+++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2221sin sin sin cos 12i (s )n x x x x x =-+-+=即()2sin f x x = 则()()2sin y f x x ωω== 由22,,022k x kx k Z πππωω-≤≤+∈>，得1122,,022k x kx k Z πππωωω⎛⎫⎛⎫-≤≤+∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故函数()y f x ω=的单调递增区间为112,2,,022k kx k Z πππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+∈> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为函数()y f x ω=在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以11,2,2,,03222k kx k Z πππππωωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⊂-+∈> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦易得0,k =即,,,,03222k Z ππππωωω⎡⎤⎡⎤-⊆-∈>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则32,022ππωωππω⎧-≥-⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩ 解得01ω<≤故ω的取值范围为(0,1]. （2）由（1）可得()12sin 22sin 2sin 122g x x a x a x a π⎡⎤⎛⎫=-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 所以()n ()1sin 2co 2s si ,,22g x x x a a x x ππ⎡⎤=+---∈-⎢⎥⎣⎦设cos sin ,t x x =-则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，由3cos sin ,,4444t x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得[t ∈-.则222,224[a a ay t at t t ⎛⎫- ⎪⎝=-+-=--+∈⎭①当12a <-，即2a <-时，在1t =-处，12,2max ay a =---= 解得2a =-(舍去).②当12a -≤≤2a -≤≤2a t =处，2242max a a y =-=解得2,4a a =-=(舍去) ③当2a >a >t =处，222max ay =--=，解得()817a =≥综上，实数a 的值为2-21．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）513.【分析】（1）根据对称关系求解周期得2ω=，代入特殊点的坐标求解ϕ，从而求得函数的解析式； （2）由（1）代入得π12sin 2313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由角的范围求得π5cos 2313α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.再运用诱导公式可求得答案. 【详解】（1）根据题意，点A 与点D 关于点B 对称，∴B 点的横坐标为2π0π323+=. 又点C 与点D 关于直线π2π7π23212x +==对称， ∴()f x 的最小正周期T 满足7πππ41234T =-=，解得πT =，即2ω=. 又()0sin f ϕ=，2π2π4ππsin 2sin sin sin 3333f ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且0πϕ<<，∴π3ϕ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π12sin 2313f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又ππ,123α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2+,32παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5cos 2313α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以πn 4π4si 23f παα⎡⎤⎛⎫=-⎛⎫- + ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎪⎭⎭⎦sin 2sin 2+632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5cos 2+313πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π5413f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.22．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）π，076x π=，02y =；（3）2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简.（2）根据()f x 的解析式求得最小正周期以及00,x y . （3）利用整体代入法求得()f x 的的单调减区间. 【详解】（1）()2cos2f x x x +2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()f x 的最小正周期为22T ππ==. 由图可知02y =，令00572626x x πππ+=⇒=. （3）由3222262k x k πππππ+≤+≤+解得263k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
2023年高考数学微专题练习专练19三角函数的图像与性质含解析理
专练19 三角函数的图像与性质命题范围：三角函数的图像、性质．[基础强化]一、选择题1．[2022·安徽省蚌埠市质检]已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图像如图所示，则ω的值为( )A ．2B ．1C ．12D ．142．[2021·全国乙卷]函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和2B ．3π和2C ．6π和2D ．6π和23．已知函数f (x )＝2a cos (2x －π3)(a ≠0)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最小值为－2，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．－1或2D ．1或24．下列函数中最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin (2x ＋π3)B ．y ＝2sin (2x －π6)C ．y ＝2sin (x 2＋π3)D ．y ＝2sin (x 2－π3)5．[2020·全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝cos (ωx ＋π6)在[－π，π]的图像大致如图，则f (x )的最小正周期为( )A.10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π26．函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD．2π7．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (a ∈R )满足f (0)＝f (π2)，则函数g (x )＝(3－1)sin x ＋f (x )的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝π4C ．x ＝－π3D ．x ＝－2π38．[2022·贵州省普通高等学校招生测试]2022年春节期间，G 市某天从8～16时的温度变化曲线(如图)近似满足函数f (x )＝22cos (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π，x ∈[8，16])的图像．下列说法正确的是( )A ．8～13时这段时间温度逐渐升高B ．8～16时最大温差不超过5℃C ．8～16时0℃以下的时长恰为3小时D ．16时温度为－2℃9．下列函数中，以π2为周期且在区间(π4，π2)单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x | 二、填空题10．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．11．设函数f (x )＝cos (ωx －π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对于任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.12．[2021·全国甲卷]已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f (x )－f (－7π4))(f (x )－f (4π3))>0的最小正整数x 为________．[能力提升]13．[2022·山西省高三模拟]已知函数f (x )＝sin (ωx ＋π3)(ω>0)在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )A ．[53，83)B ．[53，83]C ．[83，113]D ．[83，113)14．[2022·江西省赣州市一模]已知函数f (x )＝sin (ωx －π4)(ω>0)在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：①f (x )在区间[0，π]上有且仅有2条对称轴； ②f (x )在区间(0，π3)上单调递增；③ω的取值范围是(54，94].其中正确的个数为( ) A ．0B ．1 C ．2D ．315．[2022·广西桂林模拟]设函数y ＝sin πx3在[t ，t ＋1]上的最大值为M (t )，最小值为N (t )，则M (t )－N (t )在32≤t ≤72上最大值为________．16．[2022·全国乙卷(理)，15]记函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T ，若f (T )＝32，x ＝π9为f (x )的零点，则ω的最小值为________．专练19 三角函数的图像与性质1．C 由图像可知，函数的半周期是2π，所以πω＝2π，得ω＝12.2．C 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2(22sin x 3＋22cos x3) ＝2(sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4)＝2sin (x 3＋π4)，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.3．C ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π.∴－12≤cos (2x －π3)≤1，又f (x )的最小值为－2，当a ＞0时，f (x )min ＝－a ＝－2，∴a ＝2. 当a ＜0时，f (x )min ＝2a ，∴a ＝－1.4．B 最小正周期为π的只有A 、B ，又当2sin (2×π3－π6)＝2取得最大值，故y ＝2sin (2x －π6)的图像关于直线x ＝π3对称．5．C 解法一：设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可得T <π－(－4π9)且T 2>(－4π9)－(－π)，所以10π9<T <13π9，又因为|ω|＝2πT ，所以1813<|ω|<95.由题图可知f (－4π9)＝0，且－4π9是函数f (x )的上升零点，所以－4πω9＋π6＝2k π－π2(k ∈Z )，所以－49ω＝2k －23(k ∈Z )，所以|ω|＝32|3k －1|(k ∈Z ).又因为1813<|ω|<95，所以k ＝0，所以|ω|＝32，所以T＝2π|ω|＝2π32＝4π3.故选C. 解法二(五点法)：由函数f (x )的图像知，ω×(－4π9)＋π6＝－π2，解得ω＝32，所以函数f (x )的最小正周期为4π3，故选C.6．C f (x )＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝12sin2x ，∴T ＝2π2＝π.7．D 由f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，得sin0＋a cos0＝0＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝sin x ＋cos x ，所以g (x )＝(3－1)sin x ＋f (x )＝(3－1)sin x ＋sin x ＋cos x ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.令x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，令k ＝－1，得函数g (x )的图像的一条对称轴是x ＝－2π3.故选D.8．D 由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A 错误； 8～16时最大温度22℃，最小温度－22℃，最大温差为42℃，B 错误； 8～16时0℃以下的时长超过3小时，C 错误；T ＝4×(13－11)＝8＝2πω，ω＝π4，又过点(13，22)， 故22cos (π4·13＋φ)＝22，解得φ＝3π4，故f (x )＝22cos (π4x ＋3π4)，f (16)＝22cos (π4·16＋3π4)＝－2，故16时温度为－2℃，D 正确．9．A A 中，函数f (x )＝|cos2x |的周期为π2，当x ∈(π4，π2)时，2x ∈(π2，π)，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin2x |的周期为π2，当x ∈(π4，π2)时，2x ∈(π2，π)，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图像知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.10. 5解析：∵f (x )＝22＋12sin (x ＋φ)＝5sin (x ＋φ)， ∴f (x )max ＝ 5. 11.23解析：∵f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，∴f (π4)＝1，∴π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23.12．2解析：由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos (2x ＋φ).点(π3，0)可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos (2x －π6)，所以f (－7π4)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×（－7π4）－π6＝2cos (－11π3)＝2cos π3＝1，f (4π3)＝2cos (2×4π3－π6)＝2cos 5π2＝0，所以(f (x )－f (－7π4))(f (x )－f (4π3))>0，即(f (x )－1)f (x )>0，可得f (x )>1或f (x )<0，所以cos (2x －π6)>12或cos (2x －π6)<0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6∈(π3，π2)，cos (2x －π6)∈(0，12)，不符合题意；当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈(π，7π6)，cos (2x－π6)<0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x 为2. 13．D 函数f (x )＝sin (ωx ＋π3)(ω>0)在[0，π]上恰有3个零点，则3π≤ωπ＋π3<4π，求得83≤ω<113.14．C 对于③，∵x ∈(0，π)，ωx －π4∈(－π4，ωπ－π4)，令f (x )＝sin (ωx －π4)＝0，得ωx －π4＝k π，k ∈Z ，由函数f (x )在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，即ωx －π4取得0，π，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωx －π4>πωx －π4≤2π，解得54<ω≤94，故③正确；对于①，当x ∈[0，π]，ωx －π4∈[－π4，ωπ－π4]，由54<ω≤94，知ωπ－π4∈(π，2π]， 令ωx －π4＝π2＋k π，由于ω值不确定，所以ωπ－π4＝3π2不一定取到，故①错误；对于②，当x ∈(0，π3)时，ωx －π4∈(－π4，ωπ3－π4)，由54<ω≤94，知ωπ3－π4∈(π6，π2] 即(－π4，ωπ3－π4)⊆[－π2，π2]，即f (x )在区间(0，π3)上单调递增，故②正确；所以正确的个数为2个． 15．1解析：函数y ＝sin πx 3的周期为6，函数y ＝sin πx 3在[32，92]上单调递减，当32≤t ≤72时，[t ，t ＋1]⊆[32，92] M (t )－N (t )＝sinπt 3－sin π（t ＋1）3＝2cos (πt 3＋π6)sin (－π6)＝－cos (πt 3＋π6)，因为32≤t ≤72，所以2π3≤π3t ＋π6≤4π3，所以－1≤cos (π3t ＋π6)≤－12，所以12≤M (t )－N (t )≤1，当t ＝52时取最大值1.16．3解析：因为T ＝2π|ω|，ω>0，所以ω＝2πT .由f (T )＝32，得cos (2π＋φ)＝32，即cos φ＝32.又因为0<φ<π，所以φ＝π6.因为x ＝π9为f (x )的零点，所以ωπ9＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝9k ＋3，k ∈Z .又因为ω>0，所以ω的最小值为3.。
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质一、单选题1．函数43()cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()()sin 2f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称D ．函数()f x 是偶函数 3．若函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）关于直线3x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 4．函数()tan 2f x x π=和1()2g x x =-的图象在区间()1,5-上交点的横坐标之和为（ ） A ．6B ．4C ．8D ．125．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．23πB ．45π C ．56π D ．85π6．函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧且距y 轴最近的对称轴方程为（ ）A ．23x π= B ．3x π= C ．6x π= D ．2x π=7．函数()1π2sin π12f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭在[)(]3,11,5-上的所有零点之和等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．函数π6tan 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．ππ,212k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．ππ,212k x x k ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ,23k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．ππ,23k x x k ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z 9．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，且π()(π)2f f >，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．ππ[π,π]()36k k k -+∈ZB ．π2π[π,π]()63k k k ++∈ZC ．π[π,π]()2k k k +∈ZD ．π[π,π]()2k k k -∈Z10．设函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则ω的取值范围是（ ） A ．2610,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2658,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3458,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．26103458,,9399⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭11．若函数)(0)3y x πωω=->的图象上两相邻的对称轴之间的距离为2π，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()cos f x x =是（ ） A ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减二、填空题13．函数3tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是________.14．已知()sin 2y x ϕ=+(其中02)ϕπ<是偶函数，且在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数，则实数ϕ的值是________.15．已知M 、N 是函数()()()2cos 0f x x ωϕω=+>图象与直线y .若MN 的最小值是12π，则ω=________.16．若函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>在[,]63ππ-上单调递增，则ω的取值范围是________．三、解答题17．已知函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象的两条对称轴的最小距离为3π.（1）求ω的值；（2）求函数()f x 的单调区间.18．已知函数()2sin()1(0)6f x x a πωω=+++>图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求a 和ω的值；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间.19．函数()y f x =的定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()y f x =的“P 区间”．（1）判断(,)-∞+∞是否是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”，并说明理由；（2）设ω为正实数，若[,2]ππ是函数cos y x ω=的“P 区间”，求ω的取值范围．20．已知()sin 214f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-对,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数()cos 2.6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）用“五点法”画出()f x 在一个周期内的闭区间上的简图必须列表. （2）写出()f x 的对称中心.22．函数()()()26cos302xf x x ωωω=+->在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且ABC 为正三角形．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()0f x =0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()01f x +的值；（3）若()()21y f x af x =-+的最小值为12，求a 的取值．参考答案1．B 【分析】根据奇偶性排除C 、D;根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时函数值的正负排除A,从而得到答案.【详解】43()cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，()()4433()cos cos ()f x x x x x f x -=--==，所以()f x 为偶函数，故排除C 、D;当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >,430x >,所以()0f x >,故排除A ；故选：B. 2．B 【分析】先化简函数得()()sin cos 2f x x x x R π⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭，然后逐个分析判断即可【详解】解：()()sin cos 2f x x x x R π⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的最小正周期为2π，所以A 正确；对于B ，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以B 错误；对于C ，因为()0cos01f ==，所以()f x 的图像关于直线0x =对称，所以C 正确； 对于D ，因为()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，所以D 正确， 故选：B 3．D 【分析】求出()sin 2y x ϕ=+的对称轴，代入3x π=即可求出.【详解】sin(2)y x ϕ=+∵的对称轴为π2π()2x k k ϕ+=+∈Z ，π2π()2x k k ϕ=-++∈Z ∴，又sin(2)y x ϕ=+关于直线π3x =对称，2πππππ()326k k k ϕ=-++=-+∈Z ∴，又0ϕ>，ϕ∴的最小值为5π6.故选：D ． 4．C 【分析】由题意求得()tan2f x x π=的最小正周期和对称中心及1()2g x x =-的对称中心，分别作出它们的图像，得交点的个数与特征，即可求交点的横坐标之和. 【详解】 解：()tan 2f x x π=，2T =，令22k x ππ=，则,x k k Z =∈，所以函数()tan 2f x x π=的对称中心为(),0,k k Z ∈，因为1()2g x x =-是由函数1y x =向右平移2个单位得到的， 所以1()2g x x =-关于()2,0对称， 故()2,0是函数()tan2f x x π=和1()2g x x =-的对称中心， 画出两函数的图像如图所示：故两函数有四个交点，设从左到右依次为1234,,,x x x x ， 根据对称性，则12,x x 关于()2,0对称，34,x x 也关于()2,0对称，所以12348x x x x +++=， 即函数()tan 2f x x π=和1()2g x x =-的图象在区间()1,5-上交点的横坐标之和为8. 故选：C. 5．B 【分析】 由4()015f π=求得ω的表达式（结合正弦函数减区间较好），再由周期确定ω的一个范围，从而可求得ω值得最小正周期． 【详解】44sin()015153f ωπππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又点4(,0)15π在函数的减区间上，所以42,153k k Z ωππππ+=+∈，152(2)43k ω=+，又最小正周期4152T πππ+<<，所以23230πππω<<，60223ω<<， 由152(2)43k ω=+知 1k =-时，5ω=-不合题意，0k =时52ω=，1k =时，10ω=不合题意． 所以52ω=，55224T ππ==．故选：B ． 6．C 【分析】求出对称轴方程，判断在y 轴右侧且距y 轴最近的对称轴即可． 【详解】 由223x k ππ-=，得6x k ππ=+，k Z ∈，0k =时，6x π=即为所求．故选：C ． 7．D 【分析】 令()11g x x =--()1x ≠，()π2sin π2h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的零点等价于()y g x =与()y h x =两个函数图象交点的横坐标，作出()y g x =与()y h x =的图象，结合对称性即可求解.令()11g x x =--()1x ≠，()π2sin π2h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()1,11111,11x x g x x x x ⎧<⎪⎪-=-=⎨-⎪>⎪-⎩， 所以函数()f x 的零点等价于()y g x =与()y h x =两个函数图象交点的横坐标， 因为()()112211g x g x x x -=-=-=---，所以()11g x x =--关于1x =对称，由正弦函数的性质可得：令()πππ22x k k Z π-=+∈可得：1x k =+()k Z ∈， 所以()y h x =的图象也关于1x =对称， 作出()y g x =与()y h x =两个函数图象：由图知：()y g x =与()y h x =两个函数图象共有8个交点，A 和1A ，B 和1B ，C 和1C ，D 和1D 关于1x =对称，可得122x x +=，342x x +=，562x x +=，782x x +=，所以所有交点的横坐标之和为1234567822228x x x x x x x x +++++++=+++=， 所有零点之和等于8， 故选：D. 8．C利用π2,62x k k ππ-≠+∈Z 直接求解即可. 【详解】为使函数π6tan 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有意义，只需π2,62x k k ππ-≠+∈Z ，即,32k x k ππ≠+∈Z ， 所以函数定义域为：ππ,23k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z . 故选：C. 9．B 【分析】根据π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，结合函数最值的定义，易得π()6f 等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角ϕ的值，结合π()(π)2f f >，易求出满足条件的具体的ϕ的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，可得到答案． 【详解】若π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，则π()6f 等于函数的最大值或最小值，即ππ2π62k k ϕ⨯+=+∈Z ，，则ππ6k k Z ϕ=+∈，， ∵π()(π)2f f >，即sin 0ϕ<，令1k =-，此时5π6ϕ=-，满足条件，令5πππ2[2π2π]622x k k -∈-+，，k Z ∈，解得π2π[ππ]63x k k ∈++，，k Z ∈． 故选B ． 10．A 【分析】由题意，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得ω的范围． 【详解】解：函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．[4x ωπω∈，3]4ωπ， 当46ωππ<，则5352646πωπππ<+，求得ω∈∅； 当46ωππ=，3346ωππ=，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有1个根，不满足题意； 当5646πωππ<<，324646πωππππ+<+，求得261093ω<； 当546ωππ=，则3542ωππ=，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有3个不同的根，满足条件，此时，103ω=， 当246ωπππ=+，33646ωπππ=+，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有5个不同的根，不满足题意； 当246ωπππ>+时，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有5个不同的根，不满足题意． 综上，可得261093ω， 故选：A ． 11．A 【分析】由图象上两相邻的对称轴之间的距离为2π可知22T π=，再利用余弦函数的最小正周期22T πω=，即可求ω. 【详解】由题意知：若函数周期为T ，则22T π=， ∴22T ππω==，可得1ω=. 故选：A 12．D 【分析】根据函数奇偶性的定义和余弦函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()cos f x x =的定义域R ，且()()cos()cos f x x x f x -=-==， 所以函数()cos f x x =为偶函数，又由余弦函数的性质，可得()cos f x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为递减函数.故选：D.13．3,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】根据正切函数的定义域求解即可得出答案. 【详解】函数tan y x =的定义域为：π|π2x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，ππ3ππ424x k x k π∴-≠+∴≠+，即：函数π3tan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为：3π|π4x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故答案为：3π|π4x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，14．2π【分析】由()sin 2y x ϕ=+是偶函数求出ϕ，结合函数()sin 2y x ϕ=+在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数可得答案. 【详解】由于()sin 2y x ϕ=+(其中02)ϕπ<是偶函数， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，其中02ϕπ<，所以2ϕπ=或32π，所以 sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的单调递减区间为()222k x k k Z πππ≤≤+∈，即()2k x k k Z πππ≤≤+∈，0k =时，满足在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数；3sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭时的单调性与cos 2y x =相反，所以2ϕπ=. 故答案为：2π.15．4 【分析】令u x ωϕ=+，作出余弦函数cos y u =的图象，设M 、N 的横坐标为1x 、2x ，设11u x ωϕ=+，22u x ωϕ=+，可得出()2121u u x x ω-=-的最小值为3π，结合题意可得出关于ω的等式，即可解得ω的值. 【详解】由于M 、N 是函数()()()2cos 0f x x ωϕω=+>的图象与直线y = 故M 、N 的横坐标是方程()2cos x ωϕ+=即M 、N 的横坐标1x 、2x （不妨令12x x <）是方程()cos x ωϕ+的解， 设u x ωϕ=+，作出函数cos y u =的图象如下图所示：设11u x ωϕ=+，22u x ωϕ=+，当21x x -取最小值时，()2121u u x x ω-=-取得最小值， 即12663ππππω⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得4ω=. 故答案为：4. 16．(0，1]2【分析】由题意结合正弦函数的性质可得332632πππωπππω⎧+⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩，解不等式组可求出ω的取值范围【详解】 解：因为63x ππ-≤≤，0>ω，所以63333x πππππωωω-+≤+≤+，因为函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>在[,]63ππ-上单调递增，所以23322632k k πππωππππωπ⎧++⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩，k Z ∈，解得162512kkωω⎧≤+⎪⎨⎪≤-⎩，k Z ∈， 因为0>ω，所以当0k =时上式有解， 所以102ω<， 故答案为：(0，1]2．17．（1）3ω=；（2）单调递增区间为()272,318318k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为()225,318318k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）求出函数()f x 的最小正周期，由此可求得ω的值； （2）解不等式()2326k x k k Z ππππ-≤+≤∈可得出函数()f x 的递增区间，解不等式()2326k x k k Z ππππ≤+≤+∈可得函数()f x 的递减区间.【详解】（1）因为函数()f x 图象的两条对称轴间的最小距离为3π，0>ω， 所以，函数()f x 的最小正周期为2233T ππ=⨯=，于是223ππω=，解得3ω=； （2）由（1）知()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2326k x k ππππ-≤+≤，k ∈Z ，得272318318k k x ππππ-≤≤-，k ∈Z . 由2326k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ，得225318318k k x ππππ-≤≤+，k ∈Z . 所以，函数()f x 的单调递增区间为()272,318318k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为()225,318318k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 18．（1）1a =-，2ω=；（2）单调递减区间为[6π，2]3π. 【分析】（1）由最高点坐标求得a ，由周期求得ω；（2）利用正弦函数的单调性求减区间． 【详解】解：（1）函数()2sin()1(0)6f x x a πωω=+++>图象上最高点的纵坐标为2，10a ∴+=，1a =-.且图象上相邻两个最高点的距离为2ππω=，2ω∴=，()2sin(2)6f x x π=+. （2）对于()2sin(2)6f x x π=+，令3222262k x k πππππ+++， 求得263k x k ππππ++，故函数的单调减区间为[6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈，再结合[0x ∈，]π，可得函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间为[6π，2]3π.19．（1）不是，理由见解析；（2）{2}[3,)+∞. 【分析】(1)根据函数值的范围可判定(,)-∞+∞不是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”；(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k ，l Z ∈，使得122,2.x k x l ωπωπ=⎧⎨=⎩，再分类讨论即可求出ω的取值范围. 【详解】(1) (,)-∞+∞不是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”.理由如下：因为()sin 3212f x x π⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，所以对于任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞，都有()()124f x f x +≥，所以(,)-∞+∞不是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”.(2)因为[],2ππ是函数cos y x ω=的“P 区间”，所以存在[]12,,2x x ππ∈，12x x ≠，使得12cos cos 2x x ωω+=.所以12cos 1,cos 1.x x ωω=⎧⎨=⎩所以存在,k l ∈Z ，使得122,2.x k x l ωπωπ=⎧⎨=⎩不妨设12π2πx x ≤<≤，又因为0>ω，所以12π2πx x ωωωω≤<≤，所以222k l ωω≤<≤. 即在区间[],2ωω内存在两个不同的偶数. ①当4ω≥时，区间[],2ωω的长度24ωω-≥，所以区间[],2ωω内必存在两个相邻的偶数，故4ω≥符合题意. ②当04ω<<时，有02228k l ωω<≤<≤<， 所以{}2,22,4,6k l ∈.当24,26k l =⎧⎨=⎩时，有4,62ωω≤⎧⎨≤⎩，即34ω≤≤. 所以34ω≤<也符合题意.当22,24k l =⎧⎨=⎩时，有2,42ωω≤⎧⎨≤⎩，即2ω=.所以2ω=符合题意.当22,26k l =⎧⎨=⎩时，有2,62ωω≤⎧⎨≤⎩，此式无解.综上所述，ω的取值范围是{}[)23,⋃+∞.20．（1）5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）⎛-∞ ⎝⎭，． 【分析】(1)根据整体代换法即可求出正弦函数的单调递增区间； (2)根据题意中的范围得出24x π+的范围，进而得出()f x 的范围，解不等式即可.【详解】 (1)由3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为：5[]88k k k Z ππππ++∈，，；(2)因为[]242x ππ∈，， 所以52344x πππ≤+≤，所以sin(2)14x π≤+≤，所以0()1f x ≤≤， 因为关于x 的不等式()1f x m <-对[]242x ππ∈，恒成立，所以11m -，解得m <，即m 的取值范围为：(-∞ 21．（1）答案见解析；（2）,0,26kk Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用五点法列表描点连线,在坐标系中画出函数图象即可. （2）利用余弦函数的性质即可求解. 【详解】 （1）在坐标系中画出图象如图所示：（2）令()262x k k Z πππ+=+∈可得：()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.22．（1）()43f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()01f x +=；（3）a =【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的图象的应用求出函数的关系式； （2）利用（1）的结论，进一步利用角的变换求出结果；（3）求出()f x 的值域，令()t f x =，利用二次函数的性质即可求解a 的值． 【详解】解：（1）函数2()6cos )33cos )23xf x x x x x ωπωωωω=-==+，由于ABC 为正三角形，所以三角形的高为4BC =． 所以函数()f x 的最小正周期为428T =⨯=，所以4πω=，从而得到())43f x x ππ=+．（2）若0()f x =0sin()43x ππ+=03sin()435x ππ+=，由于0102(,)33x ∈-，所以0(432x πππ+∈-，)2π，所以04cos()435x ππ+=，所以000034(1)sin()3[sin()coscos()sin ]3(44343443455f x x x x πππππππππ+=++=+++=+（3）())3f x x πω=+的值域为[-，令()t f x =，则[t ∈-，所以2()()1y f x af x =-+转化为2()1g t t at =-+，对称轴为2a t =，当232a ，即43a 时，min 1()1212g t g ==-+=，解得a =)；当232a -，即43a -时，min 1()(1212g t g =-=++=，解得a =)；当2a -<a -<22min 1()()12422a a a g t g ==-+=，解得a =综上可得a =。
高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
北师大文科数学高考总复习练习：三角函数的图像与性质 含答案
第3讲 三角函数的图像与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图像知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.答案 A2．(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案 B3．(2016·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4．(2016·铜川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图像可知，函数f (x )的图像不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图像易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确． 答案 C5．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A. 答案 A 二、填空题6．(2017·郑州调研)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 答案 5π67．(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π68．(2016·承德模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图像可知，π3ω＝π2，解得ω＝32. 答案 32 三、解答题9．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2 x ＋cos 2 x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.10．(2017·昆明调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4 ＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)法一 在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(2－x )－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3， 因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.法二 区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B12．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6， 故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6， f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4 ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6.又∵－π2＜5π6－4＜4－7π6＜π6＜π2. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A. 答案 A13．若函数f (x )＝4sin 5ax －43cos 5ax 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．解析 因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35. 答案 ±3514．(2017·安康调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a >0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。