上海市嘉定区2020届高三数学下学期第二次质量调研测试(二模)试题[含答案]
上海市嘉定区2020届高三数学下学期第二次质量调研测试（二模）试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合，则______．{2,4,6,8},{1,2,3}A B ==A B =∩2．线性方程组的增广矩阵为_________．2538x y x y -=⎧⎨+=⎩3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于_______．4．在的二项展开式中，项的系数为_______．5(2)x -3x 5．若实数满足，则的最大值为_______．,x y 0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩z x y =+6．已知球的主视图的面积是，则该球的体积等于_________．π7．设各项均为正数的等比数列的前项和为，则______．{}n a n 123,1,6n S a a a =+=6S =8．已知函数（且）的反函数为．若，则_____．()2log a f x x =+0a >1a ≠1()y f x -=1(3)2f -=a =9．设，则________．2,90z z ∈+=C |4|z -=10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）．11．设是双曲线的动点，直线（为参数）与圆相交于P 2218y x -=3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩t 22(3)1x y -+=两点，则的最小值是_________．A B 、PA PB ⋅12．在中，内角的对边分别为，若，则ABC A B C 、、a b c、、222sin a b c A ++=______．A =二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知，则“”是“”的（ ）．x ∈R 1x >|2|1x -<A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件14．下列函数中，既是上的增函数，又是偶函数的是（ ）．(0,)+∞A ．B ．C ．D ．1y x=2xy =1||y x =-lg ||y x =15．如图，若正方体的侧面内动点到棱的距离等于它到棱的距离，1111ABCD A B C D -11BCC B P 11A B BC 则点所在的曲线为（ ）．PA ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16．设数列的前项和为，且是6和的等差中项．若对任意的，都有{}n a n n S 2n S n a *n ∈N ，则的最小值为（ ）．13[,]n nS s t S -∈t s -A ．B ．C ．D ．23941216三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为3，，底面．P ABCD -ABCD 5PC =PD ⊥ABCD（1）求四棱锥的体积；P ABCD -（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．AD BP18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数，函数．a ∈R 2()2cos f x x a x =+（1）若为奇函数，求的值；()f x a （2）若，求方程在区间上的解．36f π⎛⎫=⎪⎝⎭()2f x =[0,]π19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬()*x x ∈N菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为2%x 万元．92(0)50a x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭（1）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的x 总年收入，求的取值范围；x （2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求的最大值．a 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆过点，且它的一个焦点与抛物线的焦点相同．直线2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>(0,2)P 28y x =过点，且与椭圆相交于两点．l (1,0)Q ΓA B 、（1）求椭圆的方程；Γ（2）若直线的一个方向向量为，求的面积（其中为坐标原点）；l (1,2)d =OAB O （3）试问：在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存x M MA MB ⋅M 在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项m {}n a 1, 2,nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数{}n a n 和为．n S（1）若，求的值；18,2a m ==7S （2）若，求的值；35,25m S ==1a （3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”．11,a m =1n a m +>n a 嘉定区2019学年第二学期高三年级质量检测卷检测（2020.5.19）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．解析：．{2}2．解析：．125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭3．解析：．2124S ππ=⋅⋅=4．解析：，故的系数为．515()(2)rr r r T C x -+=-3x 225(2)40C -=5．解析：．max 213Z =+=6．解析：．3244133r S r r V ππππ==⇒=⇒==7．解析：由．()6261126(0)26312q q q q S -+=>⇒=⇒==-8．解析：．1(3)2(2)332log 22a f f a -=⇒=⇒=+⇒=9．解析：由，则．2903z z i +=⇒=±|4||34|5z i -=±-=10．解析：．33438247C P C ⋅==11．解析：设圆心为，并且直线过，则(3,1)O O ．22222()()1213PA PB PO OA PO OB PO OA PO ⋅=+⋅+=-=-≥-= 12．解析：()22222222cos sin a b c b c bc A b c A ++=+-++=⇒，而222sin 6bc A b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．222sin 2sin 1sin 16663bc A b c bc A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥⇒+≥⇒+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．解析：，故为必要非充分条件，此题选B ．|2|113x x -<⇒<<14．解析：D ．15．解析：到棱的距离即到的距离．即点到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）P 11A B P 1B P 轨迹为抛物线，故此题选C ．16．解析：111313464636232n n n n n n n n n S a S S S S S S S ---⎛⎫⎛⎫=+⇒=+-⇒=-⇒-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即．若为奇数，；若为偶数，．1311223n n S -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭n 3,22n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦n 43,32n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭而是关于的单调递增函数，并且，，故最小值是13n n f S S =-n S 41334f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11(2)2f =t s -，故此题选B ．11139244-=三、解答题（本大题共5题，共分）141414161876++++=17．解析：（1）易得四棱锥的高为4，所以体积为．2134123V =⨯⨯=（2）即为所求角，且．PBC ∠55tan arctan 33PBC PBC ∠=⇒∠=18．解析：（1）当为奇函数时，必有．()f x (0)00f a =⇒=（2），233cos 3263624a f a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2()22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由或，1()2sin 2226266f x x x k ππππ⎛⎫=⇒+=⇒+=+ ⎪⎝⎭52266x k πππ+=+或，所以在区间上的解为．x k π⇒=()3x k k Z ππ=+∈[0,]π0,,3x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭19．解析：（1）．(100)2(12%)200050x x x -⨯+≥⇒≤≤（2）即恒成立，其中，92(100)2(12%)50x a x x x ⎛⎫-≤-⨯+ ⎪⎝⎭050x ≤≤即恒成立，又因为，当且仅当时等号成立，所以1004125xa x ≤++100411925x x ++≥+=25x =．max 9a =20．解析：（1）．2b c a ==⇒=22184x y +=（2），将直线与椭圆联立得，，故:22l y x =-1614,99A ⎛⎫⎪⎝⎭(0,2)B -．1161416(2)02999ABC S =⨯--⨯= （3）当直线斜率不为0时，设：，，，，将与椭圆联立得:1l x my =+(,0)M a ()11,A x y ()22,B x y l ，()222270m y my ++-=()()1212MA MB x a x a y y ⋅=--+()()()2222121222721(1)(1)1(1)(1)22mm y y a m y y a m a m a m m --=++-++-=+⋅+-⋅+-++，由于该式为定值，故，定值为．()222282452m a a a m -+--=+()2211282454a a a a -=--⇒=716当直线斜率为0时，，，．A (B -111174416MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 综上，定点，定值．11,04M ⎛⎫⎪⎝⎭71621．解析：（1），，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故．18a =2m =730S =（2）设是整数．k ①若，．则121a k =-23242a k a k =+=+12355254a a a k k ++=+=⇒=此时．17a =②若，，，则，此时不存在．14a k =22a k =3a k =123725a a a k ++==k ③若，，，则，此时．142a k =-221a k =-324a k =+12381253a a a k k ++=+=⇒=110a =故或．17a =110a =（3）充分性：若为奇数，则；n a 1n n a a m m +=+>必要性：先利用数学归纳法证：（为奇数）；（为偶数）．n a m ≤n a 2n a m ≤n a ①，，成立；11a m =≤212a m m =+≤312ma m +=≤②假设时，（为奇数）；（为偶数）．n k =k a m ≤k a 2k a m ≤k a ③当时，当是偶数，；当是奇数，，此时是偶数．1n k =+k a 12kk a a m +=≤k a 12k k a a m m +=+≤1k a +综上，由数学归纳法得（为奇数）；（为偶数）．n a m ≤n a 2n a m ≤n a 从而若时，必有是偶数．进而若是偶数，则矛盾，故只能为奇数．1n a m +>1n a +n a 122n n a a m +=>n a。
上海市青浦区2020届高三下学期第二次学业质量调研(二模)数学试题答案
时，
，即
，所以
；
当
时，
，即
若
，则
，所以由（*）可得
，与
若
，则
，所以由（*）可得
所以
与
同号，这与
矛盾；
若
，则
，由（*）可得
.
（*）， 矛盾； ，
猜想：满足
的数列 是：
．
…………………………………………………14分
经验证，左式
，
右式
.
………………………………………………………………………………………16分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.
定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分 14分）本题共 2小题，第（1）小题 6分，第（2）小题 8分.
高三数学 202005
解：（1）因为在正四棱柱
中，
平面
， 是垂足，
所以
是 与平面
所成的角，
设
，又正四棱柱
中，
，
，
，
，
∴
与平面
所成的角的大小为
（2）解一：如图所示：连接 ，
，
是异面直线 与
，
，
所成角，
青浦区 2019学年第二学期高三年级第二次质量调研测试
数学参考答案及评分标准
2020.05
说明： 1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标
准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当
考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难 度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果 有较严重的概念性错误，就不给分．
【名校试题】2020届上海市高三下学期二模数学试题(原卷版)
上海市宝山区2020届高三二模数学试卷一：填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知复数z 满足()2020124z i i +=-（其中，i 为虚数单位），则z =______. 2.函数()arcsin 1y x =+的定义域是______.3.计算行列式的值，0123=______. 4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的实轴与虚轴长度相等，则C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程是______. 5.已知无穷数列()23n na =-，*n N ∈，则数列{}n a 的各项和为______.6.一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其底面半径为______. 7.某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0r np p e ⋅=，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r =______.（精确到1%）8.已知12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为第6项，则常数项为______. 9.某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是______.10.已知方程210x tx ++=（t R ∈）的两个虚根是1x ，2x ，若21x x -=t =______.11.已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则⋅u u u r u u u u r OA OM 的取值范围是______.12.已知平面向量,,a b e v v v满足||1e =v，1a e ⋅=v v，1b e ⋅=-v v，||4a b -=vv ，则a b ⋅u vv 的最小值为_____ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.抛物线24y x =的准线方程是（ ） A. 2x =-B. 1x =-C. 18y =-D. 116y =-14.设函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线4x π=对称，则a 的值为()A.3 B. 3-C. 1D. -115.用数学归纳法证明()()()1351211nnn n -+-+⋅⋅⋅+--=-，*n N ∈成立.那么，“当1n =时，命题成立”是“对*n N ∈时，命题成立”的（ ） A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x ，2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则函数()(),00,0f x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（ ）A. 是偶函数，且在()0,∞+上单调递减B. 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增C. 是奇函数，且单调递减D. 是奇函数，且单调递增三.解答题（本大题共5题，共76分）17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，22AB AC ==，D 是AB 的中点.（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为33111ABC A B C -的高（2）若12C C =，求二面角111D B C A --的大小18.已知函数()()2x f x ωϕ=+，()2g x x ω=，0>ω，[)0,ϕπ∈，它们的最小正周期为π（1）若()y f x =是奇函数，求()f x 和()g x 在[]0,π上的公共递减区间D （2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-，求()h x 的最大值19.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G 基站13万个，部分省市政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）20.已知直线l ：y kx m =+和椭圆Γ：22142x y+=相交于点()11,A x y ，()22,B x y（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程 （2）点)2,1C在Γ上，若0m =，求ABC V 面积的最大值：（3）如果原点O 到直线l 的距离是33，证明：AOB V 为直角三角形. 21.定义：{}n a 是无穷数列，若存在正整数k 使得对任意n *∈N ，均有()n k n n k n a a a a ++><则称{}n a 是近似递增（减）数列，其中k 叫近似递增（减）数列{}n a 的间隔数（1）若()1nn a n =+-，{}n a 是不是近似递增数列，并说明理由 （2）已知数列{}n a 的通项公式为()112n n a a -=+-，其前n 项的和为n S ，若2是近似递增数列{}n S 的间隔数，求a 的取值范围： （3）已知sin 2n na n =-+，证明{}n a 是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.。
上海市嘉定区2020届高三下学期第二次质量调研测试(二模)英语试题+Word版含答案
2020上海嘉定区高三英语二模试卷I. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1.A. Customer and salesperson.B. Teacher and student.D. Guest and waitress.C. Boss and secretary.2. A. The program was not interesting enough.B. She didn't want to listen to the program.C. She had to meet her students.D. The students' questions kept her busy.3. A. Help the man with his essay.B. Memorize her lines by herself.C. Wait until the man finishes his essay.D. Ask Sue to help her.D. Shopping for running shoes4. A. Practice her presentation in front of him.B. Find out who her audience will be.C. Try not to think about her audience.5. A. Writing a term paper.B. Studying for a history test.C. Reading a magazine.D. Watch him make his presentation.6. A. He doesn't like the way Americans speak.B. He speaks English as if he were a native speaker.C. He doesn't mind speaking English with an accent.D. His English is still poor after ten years in America.7. A. The box office is closed today.B. The tickets have been sold out.C. He doesn't want to go to the concert.D. It's too late to buy the morning paper.8. A. He received a good evaluation.B. He enjoyed a wonderful performance.C. He's getting along well with his supervisor.D. He gave a good performance in the evaluation.9. A. The library is closed on weekends.B. He had no idea where the book was.C. He wasn't allowed to check out the book.D. He didn't get the book he needed.10. A. He can't hear Tom clearly.B. Tom's speech is too deep.C. Tom doesn't speak directly.D. Tom doesn't talk about the proposal.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages and one longer conversation, and you will be asked several questions on each of the passages and the conversation. The passages and the conversation will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. He wrote the Superman stories.B. He was the best American journalistC. He was the boss of many newspapers.D. He won prizes for press photography.12. A. It stood up for the common people.B. It made public the wrongdoing of officials.C. It established a famous prize for journalism.英语学习讲义D. It probably provided a model for the Daily Planet13. A. Model newspaper.B. Excellence in journalism.D. Best school of journalism in America.C. Impressive public opinions.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. The fondness for the Ambassador.B. The long history of the Ambassador.C. The brilliant functions of the Ambassador.D. The stop of the production of the Ambassador.15. A. Low demand and lack of money.B. High price and strong competition.C. Lack of buyers and poor economy.D. Few changes and less competitiveness.16. A. Because the car can operate with ease.B. Because the car has a strong steel body.C. Because the car has a very long history.D. Because the car can be fixed at a low cost.Questions 17 through 20 are based on the following conversation.17. A. Whether high-quality students can explain concepts clearly.B. Whether schools should adopt gifted education programs.C. Whether regular students can benefit from gifted ones.D. Whether parents can do something for the smart kids18. A. They will feel superior to their peers.B. They will focus on assisting their teachers.C. They will get motivated and reach their full potential.D. They will lose the chance to tutor their struggling peers.19. A. Gifted education programs are beneficial to some schools here.B. Both slower and advanced learners should receive special education.C. Regular classes discourage bright students' motivation due to boredom.D. Gifted programs rob average students of the chance to learn from bright ones.20. A. He has prejudice against regular students.B. He has preference for bright students.C. He is enthusiastic about gifted programs.D. He lacks understanding of gifted studentsⅡ. Grammar and VocabularySection ADirections: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper from of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.Long-term low self-esteem can cause depressionLow self-esteem makes us feel bad about ourselves. But did you know that over time it also can cause the development of serious mental conditions such as depression?Self-esteem is, very simply, he set of feelings you have about yourself. It’s developed by your experiences, thoughts, feelings, and relationships. (21) ________ self-knowledge, which refers to how much you know about yourself, self-esteem is formed around whether you like yourself or not. Depression is much more than just feeling sad. It drains your energy and makes everyday activities difficult.Doctors use low self-esteem as one possible symptom (22) ________ they diagnose the mental condition of major depressive disorder. They don’t necessarily care (23) ________ low self-esteem causes the depression or vice versa. However, personality researchers have long wondered about the chicken-and-egg problem of self-esteem and depression. Certainly, if you dislike yourself, you’ll be more likely (24) ________ (depress). On the other hand, if you’re depressed, you’ll be more likely to feel bad about yourself. The only way that (25) ________ (employ) to explore the highly related concepts of self-esteem and depression is through continuous research, (26) ________ ________ people are followed up over time.A study on depression conducted by University of Basel researchers Julia Sowislo and Ulrich Orth, (27) ________ (contrast) the competing directions of self-esteem to depression vs depression to self-esteem. The findings have revealed that over time low self-esteem is a risk factor for depression, regardless of who is tested and how. The study indicates that low self-esteem causes depression (28) ________ not vice versa.Therefore, if a person has low self-esteem, there’s a (29) ________ (great) risk of developing depression. This is a very important discovery because it shows that (30) ________ (improve) a person’s self-esteem can make him or her feel better.Section BDirections: Fill in each blank with a proper word chosen from the box. Each word can be used only once. Note that there is one word more than you need.Put down the phone and live in the momentHave you ever unintentionally left your phone at home and wondered how you would get through the day? Baylor College of Medicine’s Dr. Jin Han explains why this might be a sign that you need to put down your phone more often.“There has been a(n) __31__ in technology as our phones have gone from just regular cell phones to smart phones that allow you to multitask all with one device,”said Han, assistant professor at Baylor. “You use your phone now to receive emails, to text and chat and to access social media platforms -- __32__ your phone may be your connection to your social life.”Although they offer many advantages, Han cautions that using your smart devices can be harmful if you use them too much. For example, using your smart phone while driving, or even walking, can cause serious accidents. Also, staring at your screen for too long can be harmful to your __33__.Being __34__ too long to your phone also can impact the quality of your relationships, he said. If you are on your phone constantly and not __35__ with those around you, it can take away from your relationships with your family and friends. In addition, if you are using your phone too much in front your children, then they will likely follow your lead and use their own smart devicesrather than __36__ with you.“ In the end, the question is how you balance using your phone while not negatively __37__ your health.” Han said. “Anything that you are doing to the __38__ is no healthy anymore. While it is going to be almost impossible not to use this technology, we have t create a behavior that is healthy.”To help __39__ the time you spend on your phone, Han offered the following tips:●Limit the time spent on your phone: Set up certain time that you allow yourself to be on thephone.●Do not use your phone at night: Being on your phone late into the night can make it harderfor you to fall asleep and wake up the next day. Restricting your phone use at night can help you __40__ a healthy sleep behavior.Ⅲ. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.The scent of coffee appears to enhance performance in math Drinking coffee has benefits. __41__ the physical improvement, coffee may reduce our risk of heart disease. Coffee may even help us live longer. Now, research also reveals that the scent（气味）of coffee may help people perform better on the analytical portion of the Graduate Management Aptitude Test, or GMA T, a computer adaptive test __42__ by many business schools.The work, led by famous professor Adriana Madzharov, not only __43__ the hidden force of scent and the cognitive（认知）improvement it may provide on analytical tasks, but also expectation that students will perform better on those tasks. Madzharov, with his colleagues, recently published their findings.“It’s not just that the coffee-like scent helped people perform better on analytical tasks, which was already __44__,”says Madzharov. “But they also thought they would do better, and we demonstraded that this expectation was at least partly __45__ their improved performance.”___46___, smelling a coffee - like scent, which has no caffeine in it, has an effect similar to that of drinking coffee, suggesting a placebo（安慰剂）effect of coffee scent.Madzharov’s team tested 100 undergraduate business students, divided into two groups, with GMAT algebra questions. One group took the test in the __47__ of a coffee - like scent, while a control group took the same test - but in an unscented room. They found that the group in the coffee-smelling room scored significantly higher on the test.Madzharov’s team wanted to know more. Could the first group’s performance in quick thinking be explained, in part, by an expectation that a coffee scent would increase __48__ and consequently improve performance?The team designed a follow-up survey, conducted among more than 200 new participants, quizzing them on __49__ about various scents and their effects on human performance. Participants believed that they would feel more alert and energetic in the presence of a coffee scent, in contrast with a flower scent or no scent; and that __50__ to coffee scent would increase their performance on mental tasks. The results suggest that __51__ about performance can be explained by beliefs that coffee scent alone makes people more alert and energetic.Madzharov is now looking to explore whether coffee-like scents can have a(n) __52__ placebo effect on other types of performance, such as verbal reasoning. She also says that the finding - that coffee - like scent acts as a placebo for analytical reasoning performance - has many practical __53__, including several for business.“Sense of smelling is one of our most powerful senses,”says Madzharov. “Employers, architects, building developers, retail space managers and others, can use scents to help __54__ employees’or occupants’experience with their environment. It’s an area of great interest and __55__.”41. A. In contrast to B. Contrary to C. In addition to D. Equivalent to42. A. acquired B. required C. justified D. inquired43. A. distributes B. stimulates C. dominates D. highlights44. A. encouraging B. imposing C. conflicting D. challenging45. A. characterized by B. called for C. responsible for D. typical of46. A. In short B. By comparison C. In particular D. After all47. A. lack B., shift C. withdrawal D. presence48. A. comprehension B. alertness C. conscience D. context49. A. evidence B. definition C. symptom D. belief50. A. adaptation B. commitment C. exposure D. alternative51. A. implication B. expectation C. indication D. illustration52. A. similar B. concrete C. modified D. estimated53. A. simplification B. description C. resignation D. application54. A. enhance B. evaluate C. exploit D. prospect55. A. negotiation B. priority C. potential D. strategySection BDirections: Read the following three passage. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)People generally see themselves through achievements. In doing that, they end up caring more about their image than the reality of who they actually are. Rather than their work doing the talking, they end up defining themselves by external markers that they hope will earn them respect.The problem with this is that it encourages both themselves and other people to judge their worth based on some relatively unimportant measure. For example, one day, their educational diploma may overshadow what they actually learned. Therefore, a better way to know a person, I think, is to ask a different set of questions: What motivates them? What makes them ache? What do they long for?It’s in this spirit that I want to publicly share my values. They are the compass（罗盘）that guides my life. The kindest and most sincere thing I can do is to see, recognize, and understand another person before I make judgments. From there, I can learn to treat others appropriately, depending on the context, learning from my mistakes with time and experience. It’s just a reminder that life is hard for all of us, while at the same time accepting that it’s important we are all also held accountable for our actions.I have learned that we are all deeply self-interested. I hope to be self-aware enough to check out of the power and status games. That means I’m not competing with anyone for a shiny object; I’d rather compete with myself. It’s about becoming so uniquely different that it would be aninsult for me to measure myself against someone else. I believe if I do the work to be internally free from the pull of the power and status games, then I can add value to others bused on my unique knowledge and experience.If this resonates with（与……共鸣）you, I invite you to join me on this journey in understanding and relating to this complex world. It’s a wonderful mystery, and I think together we can better define it -- not just personally, but also collectively.56. According to the article, which of the following is TRUE?A. The external markers are better ways to know a person.B. People generally judge others’ worth by what they have achieved.C. The author is someone who is keen on power games.D. Learning from mistakes is the first step of treating others kindly.57. What does the underlined word “overshadow” probably mean?A. be relatively similar toB. cause something to be stronger thanC. make something less importantD. block off light from something58. What of the following might the author agree with?A. Life is hard, so we shouldn’t criticize others when they are not responsible.B. One should overcome self-interest in order to judge others objectively.C. Everyone is unique, so showing off uniqueness is an insult to others.D. One should see and understand another person using a real compass.59. Why does the author write the article?A. To promote harmonious living.B. To ask people not to judge others.C. To call on readers to learn his values.D. To share his values of understanding the world.(B)The Elementary Science Fair Planning GuideThe most helpful, scientific, kid-friendly science Fair project planner known to kidsA Model, Display or Collection:Shows how something works in the real world, but doesn’t really test anything.Examples of display or collection projects can be: “The Solar System,”“Types of Dinosaurs,”“My Coin Collection.”Examples of models might be: “How a Tornado Forms” or “How an Electric Motor Works”.An Experiment:Lots of information is given, but it also has a project that shows testing being done and the gathering of data.Examples of experiments can be: “The Effects of Detergent（洗衣粉）on the Growth of Plants” or “Which Paper Towel is more Absorbent”.You can tell you have an experiment if you are testing something several times and changing a variable（变量）to see what will happen.Even though you can learn a lot from building a model or display, we recommend that you do an experiment! Why? Well, they are fun, they are more interesting and most of all, they take you through the SCIENTIFIC METHOD, which is the way real scientists investigate in real science labs. Besides that, the scientific method is what the judges are looking for!60. Which of the following science projects might be recommended by the guide?A. How swallows build their nests.B. What the solar system consists of.C. The three dances bees use to communicate.D. What structure can hold the most amount of weight.61. According to the guide, which of the following is TRUE?A. A model or a display is a great choice for the science fair.B. A hypothesis goes before a Question in doing an experiment.C. What tells an experiment from a model is whether to test something.D. The judges will instruct the scientific method before the science fair.62. Who will be most interested in reading this guide?A. Undergraduate students.B. Parents who have young kids.C. Staff working in the science labs.D. Judges invited to a science fair.(C)Getting active in midlife could be as good for you as starting young when it comes to reducing the risk of an early death, researchers have suggested. But experts say the study also shows that the benefits fade once exercise declines.“If you maintain an active lifestyle or participate in some sort of exercise from youth to middle age, you can reduce your risk for dying,” said Dr. Pedro Saint-Maurice, the lead author of the research. “If you are not active and you get to your 40s - 50s and you decide to become active, you can still enjoy a lot of those benefits.”The study was based on data from more than 300,000 Americans aged 50 - 71 who undertook a questionnaire（问卷）in the late-1990s. They were asked to recall the extent of their moderate to vigorous leisure exercise at different stages of their life. Researchers then used national records to track who died in the years up to the end of 2016. After taking into account factors including age, sex, smoking and diet, the team found that those who were exercising into middle age had a lower risk of death than those who had never carried out any leisure exercise. However, when the team looked at different patterns in the way people were active over their life, it found a surprise.Men and women who started exercising at the age of 40 - 50 reduced their risk of death from any cause by about 35%. The benefit was similar to that seen for people who reached and maintained similar activity from their teens or 20s onwards.However, the study found that the protective effect of exercise did not last forever. People whose levels of leisure exercise decreased by middle age had no difference in the risk of an early death to those who had always been couch potatoes. “If you have been active and you slowly decrease your exercise participation as you age, you lose a lot of the benefits that we know are associated with exercise,” Saint - Maurice said.But the study has limitations, including that it is based on individuals recalling how active they were many years before. What’s more, the research looked only at death records, not other aspects of health such as levels of sickness and disease. Nonetheless, he said, the message was positive. “This adds to the growing body of evidence about the importance of physical activity and exercise across he life course, and indicates that it is never too late to start.”63. Which of the following is TRUE about the study?A. The study took about two decades to complete.B. The study involved around 30,000 elderly Americans.C. Questionnaires and interviews were the sources of data.D. The participants in the study took regular physical exercise.64. According to the passage, what does “a surprise” (Para.3) refer to?A. The earlier you exercise, the greater your health benefits will be.B. Participating in exercise from youth to middle age benefits one’s health greatly.C. The benefit of getting active in midlife is similar to that of starting young.D. The benefits of exercising in midlife will decline once you stop exercising.65. It can be inferred from the passage that _________.A. an active lifestyle will not necessarily bring positive health benefits.B. participants’ memories may affect the reliability of the study resultC. people exercising from their teens can maintain health foreverD. women benefit more from vigorous exercise than men do66. Which of the following might be the best title of the passage?A. Exercise has its limitations, studies showB. Getting active when young, experts suggestC. Health benefits fade with age, doctors warnD. Never too old to start, researchers saySection CDirections: Read the following passage. Fill in each blank with a proper sentence given in the box. Each sentence can be used only once. Note that there are two more sentences than you need.Ecotourism can put wild animals at riskEcotourism has become increasingly popular in recent years. _____67_____ There travelers visit natural environments to fund conservation efforts or promote local economies.Now, scientists have analyzed more than 100 research studies on how ecotourism affects wild animals. They find the presence of humans changes the way animals behave, and those changes may put them at risk. Therefore, they concluded that such trips can be harmful to the animals.When animals interact in seemingly kind ways with humans, they may let down their guard. _____68_____. If this transfers to their interactions with predators（捕食者）, they are more likely to be injured or killed.The presence of humans can also discourage natural predators. It creates a kind of safe place for smaller animals that may make them bolder. For example, in Grand Teton National Park, elk and pronghorns in areas with more tourists are less alert and spend more time eating.____69____ “If animals become accustomed to tourists and if tourism practices enhance this taming, we might create unintended consequences - affecting the behavior or population of a species and influencing the species’ function in its community,” the researchers write.Ecotourism has effects similar to those of animal domestication and urbanization. Research has shown that domesticated silver foxes become more obedient and less fearful. Fox squirrels and birds that live in urbanized areas are slower to flee from danger. _____70_____ Scientists hope the new analysis will encourage more research into the interactions between people and wildlife. It is essential to develop further understanding of how various species in various situations respond to human interaction and under what conditions human exposure may place them at risk.Ⅳ. Summary WritingDirections: Read the following passage. Summarize the main idea and the main point(s) of the passage in no more than 60 words. Use your own words as far as possible.71. High level of deforestation continuesWe are all aware of the threats our planet is facing. Experts agree that it’s mainly us humans who are responsible for the destruction of the environment. One of the most destructive activities we are carrying out is cutting down forests - deforestation. This is done for many reasons, such as providing wood for fuel, making land available for housing or for crating space for more cattle to graze（吃草）on. This has been most noticeable in Brazil, which is home to the world’s largest rainforest. Deforestation there has hit its highest rate in a decade, according to official data. Overthe course of a year, an area about five times the size of London has been destroyed.The amount of deforestation in the Amazon and in other tropical（热带的）regions has actually seen a decline but the figures are still large. Global Forest Watch say that in 2018, an area equivalent to 30 football fields were cut down every minute. Frances Seymour from the World Resources Institute says that “If you look back over the last 18 years, it is clear that the overall trend is still upwards. We are nowhere near winning this battle.”What’s special about places like the Amazon is that they are primary forests which exist in their original condition with some species of trees dating back thousands of years. This habitat is home to unique and rare animals and is critical for sustaining biodiversity（生物多样性）. The BBC’s environment correspondent, Matt McGrath, says “These old forests really matter as stores of carbon dioxide, which is way the loss of 3.6 million hectares in 2018 is concerning.”Brazil has taken some steps to try and decrease deforestation by introducing government policies including fines for breaking land use regulations and illegal logging. And International campaigns to stop the trade of soy and beef farmed on deforested parts of the Amazon have also had a significant impact.Ⅴ. TranslationDirections: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.72. 应该高度重视对这种常见病的预防。
上海市静安区2020届高三下学期质量调研二模数学试题Word版含答案
上海市静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷 2017.04本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}0ln |>=x x A ，{}32|<=xx B ，则=B A ________．2．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥,092,,0y x x y x 则y x z 3+=的最大值等于________．3．已知7)(xa x -展开式中3x 的系数为84，则正实数a 的值为 .4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．5．设)(x f 为R 上的奇函数．当0≥x 时，b x x f x++=22)( (b 为常数)，则)1(-f 的值为________．6．设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-==t y t x 26,（t 为参数）和曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 52,cos 51y x （θ为参数）的点，则PQ 的最小值为 ．7．各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ． 对任意*N ∈n ，)2,(11++-=n n n n a a a m 都是直线kx y =的法向量．若n n S ∞→lim 存在，则实数k 的取值范围是________．8．已知正四棱锥ABCD P -的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________． 9．设0>a ，若对于任意的0>x ，都有x xa 211≤-，则a 的取值范围是________． 10．若适合不等式5342≤-++-x k x x 的x 的最大值为3，则实数k 的值为_______． 11．已知x x x f +-=11)(，数列}{n a 满足211=a ，对于任意*N ∈n 都满足)(2n n a f a =+，且0>n a ，若1820a a =，则20172016a a +的值为_________．二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 12．已知,,a b ∈R 则“33log log a b >”是“b a )21()21(<”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知复数z 满足z z-=+1i1（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A ．i B ．－1 C ．1 D ．－i14．当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0k 时，方程()1+=x k x 的根的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．415．曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为（ ）． （1）曲线C 一定经过原点；（2）曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为60的矩形范围内．A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，等腰AOB ∆Rt ，2==OB OA ，点C 是OB 的中点，AOB ∆绕BO 所在的边逆时针旋转一周．（1）求ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ； （2）设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为θ，且满足BD AC ⊥，求θ．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设函数x x x f 2sin 32cos )(+⎪⎭⎫⎝⎛+=π． （1）求函数)(x f y =的最大值和最小正周期； （2）设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ，413-=⎪⎭⎫⎝⎛C f ，求A sin ．18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入)(n g 是生产时间n 个月的二次函数kn n n g +=2)(（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元． （1）求前8个月的累计生产净收入)8(g 的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入． 19．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，m F F 221=，动点P 满足：221216)cos 1(||||m PF F PF PF =∠+⋅．（1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C 满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A ．问：是否存在正实数m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数．若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，91-=a ，2a 为整数，且对任意*N ∈n 都有5S S n ≥．（1）求}{n a 的通项公式； （2）设341=b ，⎩⎨⎧-+-=+为偶数为奇数n b n a b n n n n ,)2(,,1（*N ∈n ），求}{n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列}{n c 满足)N ()21()1(*5122∈-++=++n b b c n a n n n n λ．是否存在实数λ，使得数列}{n c 是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷评分标准与答案一、1．()3log ,12； 2．12； 3．2；4．35； 5．3- 6．55； 7．()()+∞-∞-,01, ； 8．255； 9．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,42 10．8； 11．212-． 二、12．A ； 13．C ； 14．C ； 15．B ．三、16．解：（1）()ππ34122312=-⨯⨯=V ;﹒﹒﹒3分 ()()32223222221+=+⨯⨯=ππS ﹒﹒3分 （2）如图建立空间直角坐标系，得xz()0,0,2A ，()1,0,0C ，()2,0,0B由三角比定义，得()0,sin 2,cos 2θθD ﹒﹒﹒﹒1分则，()1,0,2-=AC ，()2,sin 2,cos 2-=θθBD ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分02cos 4=--=⋅θ，得21cos -=θ，θ[0,2)∈π， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 所以，3432ππθ或=．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 16．解：（1）因为x x x f 2sin 32cos )(+⎪⎭⎫⎝⎛+=π 22cos 13sin2sin 3cos2cos xx x -+-=ππ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分 x 2sin 2321-=， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，函数)(x f y =的最大值为231+，最小正周期π． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 （2）由4132sin 23213-=-=⎪⎭⎫⎝⎛C C f ，得2332sin =C ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 解得，2π=C 或π=C （舍去）． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分因此，31cos sin ==B A ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 18．解：（1）据题意30933)3(2=+=k g ，解得100=k ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分第5个月的净收入为)5(g 109)4(=-g 万元，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 所以，8521093)5()8(=⨯+=g g 万元．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分（2）[]⎩⎨⎧>--+≤+=）（），（5.)4()5()5()5(5100)(2n g g n g n n n n g即⎩⎨⎧>-≤+=），（），（5201095100)(2n n n n n n g ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分要想投资开始见效，必须且只需⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+->+-22)1(370100500)(n n n n n g即.040068)(2>--+n n n g ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 当5,4,3,2,1=n 时，,04006810022>--++n n n n即200)16(>+n n 不成立；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 当5>n 时，,040068201092>--+-n n n 即420)41(>+n n ，﹒﹒﹒﹒2分 验算得，9≥n 时，420)41(>+n n ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，经过9个月投资开始见效． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分19．解：（1）若点21F F P 、、构成三角形则 ||||2||||||cos 21221222121PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=∠ ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 2212212221216)||||2||||||1(||||m PF PF F F PF PF PF PF =⋅-++⋅∴．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 整理得222116|)||(|m PF PF =+，即)024(4||||21>>=+m m m PF PF ．1分若点21F F P 、、不构成三角形，也满足)024(4||||21>>=+m m m PF PF ．1分 所以动点P 的轨迹为椭圆．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分（2）动点P 的轨迹方程为1342222=+m y m x ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 抛物线的焦点坐标为)0,(m 与椭圆的右焦点2F 重合． 假设存在实数m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数． 因为1212||||42||PF PF m F F +==，不妨设|12||1+=m AF ，)(12||,2||*221N m m AF m F F ∈-==． ﹒﹒﹒﹒﹒2分 由抛物线的定义可知m x m AF A +=-=12||2，解得1-=m x A ，﹒﹒﹒﹒﹒1分 设点A 的坐标为),1(A y m -，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=134)1()1(422222m y mm m m y AA ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 整理得032272=+-m m ，解得舍）(71=m 或3=m ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以存在实数3=m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧≥≤0065a a ，,4959≤≤∴d ﹒ ﹒﹒﹒2分22=∴∈d Z a ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分112-=∴n a n ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分（2）当n 为偶数时，nn n n b b 2)2(1=-=++． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分① 当n 为奇数时)3(≥n ，)()()(154321n n n b b b b b b b T +++++++=- 1421222-++++=n b3241)41(434121+-=--+=n n ．当1=n 时也符合上式． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分② 当n 为偶数时， 132323211-+=+=+=--n a b T T nn n n n n ﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=∴+.13232,321为偶数，为奇数，n n n T nn n ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 （3）3)41()1(4--+=n n n n c λ由题意得，0)41(80431>--⋅=-+n n n n c c λ对任意*N n ∈都成立，① 当n 为奇数时，n24803⋅->λ， 当1=n 时，53)4803(max 2-=⋅-n ，53->λ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分② 当n 为偶数时，n24803⋅<λ， 当=n 2时，548)4803(min 2=⋅n ，548<λ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分综上：)548,53(-∈λ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分。
2020届高三数学 二模试卷 嘉定
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤． 17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，边长为 3 ， PC 5 ，
PD 底面 ABCD ． （1）求四棱锥 P ABCD 的体积； （2）求异面直线 AD 与 BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
P
D A
C B
高三数学 共 4页 第 2页
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
设常数 a R ，函数 f (x) 3 sin 2x a cos2 x ．
（1）若 f (x) （ x R ）是奇函数，求 a 的值；
（2）若
f
(
)
3 ，求方程
f
(x)
嘉定区 2019 学年高三年级第二次质量调研测试
数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合 A {2,4,6,8} ， B {1,2,3} ，则 A B ___________．
2
在区间 [0,
] 上的解．
6
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
某村共有100 户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为 2 万元．为了调整产业结构，
该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员 x（ x N* ）户农民从事蔬菜加工， 则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高 2x% ，而从事蔬菜加工的农民
上海市浦东新区2020届高三数学下学期期中教学质量检测（二模）试题（含解析）
上海市浦东新区2020届⾼三数学下学期期中教学质量检测（⼆模）试题（含解析）上海市浦东新区2020届⾼三数学下学期期中教学质量检测（⼆模）试题（含解析）⼀、填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若集合，集合，则_______ .【答案】【解析】【分析】由集合交集的定义可直接得解.【详解】由集合，集合，得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2.若⾏列式，则______ .【答案】3【解析】【分析】由⾏列式的定义列⽅程求解即可.【详解】⾏列式，所以. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了⾏列式的计算，属于基础题.3.复数的虚部为______（其中为虚数单位）.【答案】【解析】【分析】由复数的除法运算直接求解即可得虚部.【详解】复数. 虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及虚部的概念，属于基础题.4.平⾯上有12个不同的点，其中任何3点不在同⼀直线上. 如果任取3点作为顶点作三⾓形，那么⼀共可作_________个三⾓形.（结果⽤数值表⽰）【答案】220【解析】【分析】根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，⼜由任何3点不在同⼀直线上，分析可得答案．【详解】根据题意，12个点中，任取3个，有种取法，⼜由平⾯的12个点中，任何3点不在同⼀直线上，则可以做220个三⾓形；故答案为：220．【点睛】本题考查组合数公式的应⽤，注意“任何3点不在同⼀直线上”的条件．5.如果⼀个圆柱的⾼不变，要使它的体积扩⼤为原来的倍，那么它的底⾯半径应该扩⼤为原来的_______倍.【答案】【解析】【分析】设圆柱的⾼为h，底⾯半径为r，设扩⼤后圆柱的⾼为h，底⾯半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案．【详解】设圆柱的⾼为h，底⾯半径为r，则体积V＝πr2h，设扩⼤后圆柱的⾼为h，底⾯半径为R，则体积V′＝πR2h，由，得R2＝5r2，则R．∴它底⾯半径应该扩⼤为原来的倍．故答案为：．【点睛】本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题．6.已知函数是偶函数，则的最⼩值是________.【答案】【解析】【分析】结合三⾓函数的奇偶性，建⽴⽅程关系2kπ，k∈Z,即可得解．【详解】是偶函数，则2kπ，k∈Z，即，k∈Z，当k＝0时，取得最⼩值，为，故答案为：．【点睛】本题主要考查三⾓函数对称性的应⽤，结合三⾓函数是偶函数，建⽴⽅程求出的表达式是解决本题的关键．7.焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准⽅程为_______.【答案】【解析】【分析】利⽤已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线⽅程．【详解】焦点在x轴上，焦距为6，c＝3，且经过点可得，所以.双曲线的标准⽅程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应⽤，是基本知识的考查．8.已知⽆穷数列满⾜则_______.【答案】0【解析】【分析】直接利⽤数列的极限的运算法则求解即可．【详解】⽆穷数列满⾜，0．故答案为：0．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应⽤，属于基础题．9.⼆项式展开式的常数项为第_________项.【答案】4【解析】【分析】由⼆项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即⼆项式展开式的常数项为第4项，得解．【详解】由⼆项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即⼆项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了⼆项式展开式的通项，属基础题．10.已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯⼀众数是，则这个数⽅差的最⼤值为__________.（精确到⼩数点后⼀位）【答案】12.3【解析】【分析】根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进⽽分析可得若这6个数⽅差的最⼤，则a＝1，b ＝6，c＝12；由⽅差公式计算可得答案．【详解】根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯⼀众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数⽅差的最⼤，6个数据的波动幅度较⼤，此时a＝1，c＝12.由平均数为5，所以，则有b＝6其⽅差s2[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（12﹣5）2]≈12.3；故答案为：12.3．【点睛】本题考查数据的⽅差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的⽅差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题．11.已知正⽅形边长为，若在正⽅形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】【分析】建⽴坐标系，逐段分析?的取值范围及对应的解得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建⽴平⾯直⾓坐标系如图：则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴（﹣x，2），（8﹣x，4）∴?x2﹣8x+8，∵x∈[0，8]，∴﹣8?8，∴当λ＝﹣8时有⼀解，当﹣8＜λ≤8时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）∴?（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y≤8，∴﹣1?24∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有唯⼀解；当﹣1＜λ≤8时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），∴?x2﹣8x+24，∵0＜x≤8，∴8?24，∴当λ＝8时有⼀解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），∴?（2﹣y）?（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y＜8，∴﹣1?24，∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有⼀解，当﹣1＜λ≤8时有两解．综上，在正⽅形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得?λ成⽴，那么λ的取值范围是（﹣1，8）故答案为：（﹣1，8）【点睛】本题考查平⾯向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．12.已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成⽴，⽽且存在实数满⾜：且，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】【分析】由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联⽴，解得中点在得，从⽽在有两不等的实数根，利⽤⼆次函数根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，，所以时满⾜；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，⽽在上，所以，从⽽在有两不等的实数根，令，所以。
2020年上海市浦东新区高中数学高考二模试卷含详解
上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C _______．2.某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为_______．3.若函数()21x x f =，则()=-11f_______．4.若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p _______．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为_______．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是_______．7.若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim _______．8.已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是_______.9.从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m _______．10.已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为_______．11.如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，的最小值为_______.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_______.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则目标函数y x f +=2的最大值为()A ．1B ．2C ．3 D.414.如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线()A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D.不存在15.已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数；②函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581.则正确结论的序号是()A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为()A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、．（1）求()β+αcos 的大小；（2）在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列： ,,,,,54321；②等比数列： 1618141211,,,,--；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷答案解析版一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A == {}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．【答案】100【解析】【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1【解析】【分析】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．【解析】【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i - 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为．【答案】1:8【解析】试卷分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________．【答案】相交【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离2d r =<，问题得解.【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r =圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==<则直线l 与圆O 的位置关系是相交.故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.7.若二项式()412x+展开式的第4项的值为()23lim nn x x x x →∞++++= __．【答案】15【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+ ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==，解得16x =，2311166(1)111115616nnn nx x x x x xx ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+ ，()231111565lim lim nnn n x x x x→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+= .故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.【答案】22221x y -=【解析】【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c =双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=，双曲线的方程是22221x y -=.故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________．【答案】10【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C 情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B = ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴=221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+=整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈ 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1【解析】【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-，()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点，()0=0f ∴由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+ ，若ABC 的面积为332，则AP 的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设,AB AC m n ==，由1sin 22BA AB A C C ⋅⋅∠= ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++= ，可得：13t =，则AP == 222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n== ABC 的面积为332，1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1222mn ==6mn ∴= D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴ 又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399AP AC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________.【答案】202133-【解析】【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=+ ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b +++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n n n a b a b a b ++=++()22n n n na b a b =+={}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =12,n n n a b n N -*∴=∈113323nn n n n n n n n n a b c a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A.有一条B.有二条C.有无数条D.不存在【答案】C【解析】【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（）A.①②B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【解析】【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Zπ=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误；sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确.故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A.711949⋅ B.7021949⋅ C.702371949⋅⋅ D.702721949⋅⋅【答案】C【解析】【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72 ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++ ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72 ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++ ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++ ②707070,070,r r C C r r Z-=≤≤∈ ①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯ 70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020, 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅.故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）83π（2）62arccos 4+【解析】【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积；（2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅ ，即可得解.【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--，()32AC =-- .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=.【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为31025105、．（1）求()cos αβ+的大小；（2）在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）22（2）1=2λ-【解析】【分析】（1）由已知得：cos 105αβ==，故而sin 10α=，sin 5β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以22cos ,sin 22C C ==，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得72sin 10B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c AC bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβ 、为锐角，10sin 10α∴==，sin 55β==cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-22=（2）由2cos(+)2αβ=，αβ 、为锐角，得：4C παβ=+=，22cos ,sin 22C C ∴==由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，解得34sin ,cos 55A A ==[]sin sin ()sin()B AC A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C=+34525210=⨯+⨯=由正弦定理可得：222291sin sin 1252=sin sin 5a c A C bc B C λ---==-【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件②；（2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x 在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x b x +≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件②.（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x +'=+=所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<，所以94b ≥-由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅= ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上.因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥.设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y 与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，由0OA OB ⋅=，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得22m =±0y ±=.（3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F ，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--.1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件，因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=.因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+> ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k -'=-+=当212k >时，()0f k '<，()12f k k k ∴=--在,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭或,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛⎫∴>-= ⎪ ⎪⎝⎭或()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞ .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1,2,3,4,5, ；②等比数列：11111,,,,24816-- ；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,23,a ∈-U 【解析】【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得5,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，由5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则153,2n a +⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5, 通项公式为：n a n=()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-< 所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816-- 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以此数列是跳跃数列（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列.充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=，213112a aa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125n n n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =----①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭；②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得51013,2n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211951013,52n n a a +⎛-+=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若51013,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈，所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U 【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
上海市虹口区2020届高三下学期二模考试数学试题 Word版含解析
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数()3cos21f x x =+的最小值为_______________.【答案】2-【解析】【分析】利用余弦函数的有界性可求得函数()3cos21f x x =+的最小值.【详解】1cos21x -≤≤，23cos214x ∴-≤+≤，所以函数()3cos21f x x =+的最小值为2-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查三角函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.函数()13x f x x -=+的定义域为_______________. 【答案】(]3,1-【解析】【分析】 由根式函数定义域的求法得到103x x -≥+，再转化为()()()310,3x x x +-≤≠-，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为103x x-≥+， 所以()()()310,3x x x +-≤≠-，解得31-<≤x ，所以函数()13x f x x-=+的定义域为(]3,1-. 故答案为：(]3,1- 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.设全集U =R ，若{}|23A x x =-≥，则U A _______________.【答案】()1,5-【解析】【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A ，然后再根据全集求补集. 【详解】因为{}{|23|5A x x x x =-≥=≥或}1x ≤-，又因为全集U =R ，所以|15U A x x ，故答案为：()1,5-【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及绝对值不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为________ 【答案】18 【解析】【分析】根据每位同学都有两种选法，算出共有选法数，再得到周六没有同学参加活动，即3位同学都选了周日的选法数，代入古典概型概率公式求解.，【详解】每位同学都有两种选法，一共有2228⨯⨯=种选法，周六没有同学参加活动，即3位同学都选了周日，共有1种选法， 所以周六没有同学参加活动的概率为18. 故答案为：18 【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.已知函数()g x 的图象与函数()()231xf x log =-的图象关于直线 ?y x =对称，则()3g =__________.【答案】2【解析】【分析】根据函数()g x 的图象与函数()()231x f x log =-的图象关于直线 ?y x =对称，则函数()g x 与函数()f x 互为反函数求解.【详解】令()()2313x f x log =-=， 解得2x =，因为函数()g x 的图象与函数()()231x f x log =-的图象关于直线 ?y x =对称， 所以()32g =.故答案为：2【点睛】本题主要考查互为反函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.设复数cos sin i z i αα=（i 为虚数单位），若z =tan2α=________. 【答案】1【解析】【分析】先利用行列式化简复数，再根据复数的模求解.【详解】因()cos cos sin sin i z i i ααααα==+-，又z =所以)()22cos sin 2ααα+-=， 所以22cos 1sin 20αα--=，即cos2sin 20αα-=，所以tan 21α=.故答案为：1【点睛】本题主要考查二阶行列式以及复数的模，三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.若52ax ⎛ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为________.【答案】12-【解析】【分析】先求得52ax ⎛+ ⎝的展开式的通项公式，再求得常数项，然后根据常数项为52-，建立方程求解.【详解】52ax ⎛ ⎝的展开式中的通项公式为：()2551052155r r r r r r r ax T C C a x ---+⎛⎫==， 令51002r -=，得4r =， 所以常数项为455T C a =， 因为常数项为52-， 所以45552T C a ==-， 12a =-. 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =8c =，30A =︒，则 sin C =_______.【解析】【分析】根据b =8c =，30A =︒，由余弦定理解得a ，然后由正弦定理求解.【详解】因为b =8c =，30A =︒，所以由余弦定理得：2222cos 28=+-=a b c bc A ，解得a =由正弦定理得：18sin sin 7c A C a ⨯===.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.已知点()3,2A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值为____.【答案】16【解析】【分析】由P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，画出可行域，由32OA OP z x y ⋅==-，转化为3122y x z =-，平移直线32y x =，当直线在y 轴上的截距最小时，目标函数取得最大值. 【详解】由P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，画出可行域如图所示阴影部分：32OA OP z x y ⋅==-，转化为：3122y x z =-，平移直线32y x = 当直线经过点()6,1B 时，在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，最大值为16故答案为：16【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知1F 、2F 是椭圆(222:133x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212 ||||MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为_______. 【答案】2323+【解析】【分析】由题意设直线为3y x =，代入22213x y a +=，求得2222223,11a a x y a a==++，根据1212 ||||MF MF MF MF +=-，得到212?||OM F F =，将M 的坐标代入求解. 【详解】设直线为3y x =，代入22213x y a += 解得2222223,11a a x y a a ==++， 因为1212 ||||MF MF MF MF +=-，所以212?||||OM F F =， 所以2222234411a a c a a ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭， 又因为2222,3a b c b =+= ，解得23a =+.所以椭圆C 的长轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =D 为BC 的中点，且PD =O 的体积为________.【解析】【分析】根据2PA AB BC CA ====，PB =PA AB ⊥，由PB =点D 为BC 的中点，利用勾股定理得到,PA AC PD BC ⊥⊥，从而PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAD ，平面PAD ⊥平面PBC ，过A 作AH PD ⊥，球心O 在AH 上，利用P ABC A PBC V V --=，解得AH =，在PBC 中，利用正弦定理得到12sin BC PH BPC =∠，然后在POH 中，由()222R PH AH R =+-求解.【详解】如图所示：因为2PA AB BC CA ====，22PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥， 因为22PB =D 为BC 的中点，且7PD =所以2222PD DB PB PC +==，所以,PA AC PD BC ⊥⊥，所以PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBC ，过A 作AH PD ⊥，所以AH ⊥平面PBC ，所以球心O 在AH 上，因为P ABC A PBC V V --=，即11113232PA AB AC AH BC PD ⨯⨯=⨯⨯， 所以2217AH =， 在PBC 中，7sin sin 22sin cos BPC BPD BPD BPD ∠=∠=∠⋅∠=， 由正弦定理得：12sin 7BC PH BPC ==∠ 在POH 中，()222R PH AH R =+-， 解得21R =，所以球O的体积为334421282133327V R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查球有关的外接问题，找到球心的位置是关键，还考查了空间想象，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 12.已知函数()51,18,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围________.【答案】8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先作出函数()f x 的图象，设()t f x =，则()f t a =恰有5个不同的实数根，根据函数图象，分0a < ，0a =， 01a <<， 1a = ，815a <≤，845a << ，4a = ，4a >讨论求解. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示：设()t f x =，则()f t a =恰有5个不同的实数根，当0a <时，()f t a =无解，不符合题意，当0a =时，()f t a =有唯一解，0t =，此时，()0f x =，解得0x =有一解，不符合题意， 当01a <<时，()f t a =有三解，1230,01,7t t t <<<>，此时，()1f x t =无解，()2f x t =有三解，()3f x t =无解，共三解，不符合题意，当1a =时，()f t a =有两解，455log 2,7t t ==，此时，()4f x t =有三解，()5f x t =无解，共三解，不符合题意， 当815a <≤时，()f t a =有两解，567log 21,47t t <<≤<，此时，()6f x t =有三解，()7f x t =有一解，共四解，不符合题意， 当845a <<时，()f t a =有两解，589log 21,14t t <<<<，此时，()8f x t =有三解，()9f x t =有两解，共五解，不符合题意，当4a =时，()f t a =有唯一解，1t =，此时，()1f x =有两解，不符合题意，当4a >时，()f t a =无解，不符合题意.综上：实数a 的取值范围是8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，利用抛物线的定义得到52M p x +=求解.【详解】因为抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5， 所以52M p x +=， 所以4M x =.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位:2cm ）为（ ）A. 32B. 36C. 40D. 48【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直于底面，垂足为较大锐角的顶点，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】由三视图知该几何体的直观图如图所示：其中PA ⊥平面ABC ， AC BC ⊥， 则,PA BC PA AC A ⊥⋂=， 所以BC ⊥平面APC ， 所以BC PC ⊥所以四个面都是直角三角形 所以该几何体的表面积RtABCRtAPCRtPABRtPBCS S S S S =+++，111134345454322222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查三视图的应用以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 15.已知函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）A. 142,3⎛⎤⎥⎝⎦B. 142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,63⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，转化为方程162sin x πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个根，则由11196266πωπππ<+≤求解.【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以+,6626x ππωππω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭， 因为函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点， 即方程162sin x πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个根， 所以11196266πωπππ<+≤， 解得1063ω<≤. 所以实数ω的取值范围为10,63⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知,m n N +∈，若存在正整数(),1i j i j <<，使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ） A. 16 B. 12C. 8D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先由等比数列的基本运算得到通项，根据i ma 、mn 、j na 成等差数列，由等差数列的中项性质得到2222i j mn m n --=+，即211m n+≤，然后根据,m n N +∈讨论求解. 【详解】由11a =，且24323S S S +=， 整理得：342a a =， 所以2q，12n na ，因为i ma 、mn 、j na 成等差数列， 所以11222i j mn m n --=+， 所以2222i j mn m n --=+， 因为正整数(),1i j i j <<， 所以20,21i j -≥-≥，所以22222i j mn m n m n --=+≥+，所以211m n+≤， 当12m ≤≤时，211m n+≤不成立；当4,2m n ==或3,3m n ==时，211m n+≤成立；此时8mn =或9mn =， 当4n ≥时，120,1n m><，2m >，此时8mn >； 所以mn 的最小值为8. 故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算以及不等式的性质，还考查了分类讨论的思想和化简变形，推理的能力，属于难题.三、解答题（本大题共5题，共141414161876++++=分） 17.已知四棱锥P ABC -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且22PA AD AB ===，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图.（1）求证：//FH 平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）15arcsin 15【解析】 【分析】（1）连接CH ，延长交PD 于点K ，连接BK ，根据E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，易得//FH BK ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）建立空间直角坐标，求得FH 的坐标，平面PBC 一个法向量(),,n x y z =，代入公式sin FH n FH n FH nFH nθ⋅⋅==⋅⋅求解.【详解】（1）如图所示：连接CH ，延长交PD 于点K ，连接BK ， 因为设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点， 所以H 为CK 的中点，所以//FH BK，又FH⊄平面PBD BK⊂平面PBD，所以//FH平面PBD；（2）建立如图所示直角坐标系则()()()()11131 1,0,0,1,2,0,1,1,0,0,0,2,,1,1,,2,0,,,22222B C F P E G H⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()1111,0,2,1,2,2,,,222PB PC FH⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，设平面PBC一个法向量为：(),,n x y z=，则n PBn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，有20220x zx y z-=⎧⎨+-=⎩，令1z=，()2,0,1n=，设直线FH与平面PBC所成角为θ，所以1152sin153154FH n FH nFH n FH nθ⋅⋅====⋅⋅⋅，因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以15θ=.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数()431x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x uf x 恒成立，求实数u 的最大值【答案】（1）2a =，奇函数，2a ≠，非奇非偶函数；理由见解析（2）3. 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求解.（2）当()f x 为奇函数时，2a =，()4231x f x =-+，将对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x u f x 恒成立，转化为对任意的[]1,5x ∈，不等式423133x xx u ⋅≤-+⋅恒成立，令()()4416113232333x xx x x g x ⋅=⋅=⋅-++-++，利用双勾函数的性质求解.【详解】（1）若函数()f x 为奇函数， 则()()f x f x -=-， 即443131x x a a --=-+++，对x ∈R 恒成立，所以24a =， 解得2a =，又()()11,13f a f a =--=-，对任意实数a ，()()11f f ≠-，所以()f x 不可能为偶函数， 所以2a ≠时，函数()f x 是非奇非偶函数. （2）当()f x 为奇函数时，2a =，()4231xf x =-+， 因为对任意的[]1,5x ∈，不等式()3xuf x 恒成立， 所以对任意的[]1,5x ∈，不等式423133xxx u ⋅≤-+⋅恒成立，令()()232441613331xxx x g x =⋅=⋅-++-++， 令[]14,2443xt +∈=，因为462y t t+⋅-=，在[]4,244是增函数， 所以当4t =时，min 3y =，即()min 3g x =， 所以3u ≤，所以实数u 的最大值是3.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H 型”图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，“H ”型图形的面积为S .（1）将AB 、AD 用R 、α表示，并将S 表示成α的函数；（2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可能大，则当α为何值时，S 最大？并求出S 的最大值. 【答案】（1）2sin AB R α=，2cos sin 3AD R R αα=-；22162sin cos sin 33,0,3S R αααπα=-⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12arctan 423πα=-时，2max 81316S R -=⎝⎭. 【解析】 【分析】 （1）设OM 交CD 于N ，根据2AOB α∠=，易得2sin AB R α=2cos sin 3AD OM ON R R αα=-=-，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由矩形的面积公式求解.（2）利用二倍角公式和辅助角公式转化函数为()2281316sin 292,tan 39S R R αϕϕ-==+，再利用正弦函数的值域求解. 【详解】（1）如图所示：设OM 交CD 于N ， 因为2AOB α∠=， 所以,0,2MOB παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭， 所以22sin ,cos ,sin 33BM R OM R ON BM R ααα====， 所以2sin AB R α=，2cos sin 3AD OM ON R R αα=-=-，因为0AD >，所以30tan 32α<<<0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 2221622sin cos sin ,033,33S AB AD AB AD R ααπαα=⨯⨯+⨯⨯=-⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22162sin cos sin 33S R ααα⎛⎫ ⎪⎝-⎭=， 22162sin cos sin 33R ααα=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，2822sin 2cos 2333R αα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()2281316sin 292tan 39,R R αϕϕ=+-=， 因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,3παϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 所以22παϕ+=，即12arctan 423πα=-时，S 取得最大值2max 81316S R ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.设双曲线222:1x C y a-=的左顶点为D ，且以点D 为圆心的圆()()222:20D x y r r ++=>与双曲线C 分别相交于点A 、B ，如图所示.（1）求双曲线C 的方程；（2）求DA DB ⋅的最小值，并求出此时圆D 的方程；（3）设点P 为双曲线C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与x 轴相交于点M 、N ，求证：||||OM ON ⋅为定值（其中O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y -=；（2）13-，()221291x y ++=；（3）4. 【解析】 【分析】（1）由圆心为()2,0-，为双曲线的左顶点，解得2a =，得到双曲线C 的方程.（2）设()()11111,,,,0A x y B x y y ->，利用数量积运算得到2111345,24DA DB x x x ⋅=++<-，再利用二次函数的性质求解.（3）设()00,P x y ，得到直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，同理100101N x y x y x y y +=+，然后代入||||OM ON ⋅求解.【详解】（1）因为圆()()222:20D x y r r ++=>的圆心为()2,0-，且为左顶点， 所以2a =，所以双曲线C 的方程2214x y -=.（2）设()()11111,,,,0A x y B x y y ->， 因为点A 在双曲线上，所以221114x y =-，所以()()2111111132,2,45,24DA DB x y x y x x x ⋅=+⋅+-=++<-， 所以当183x =-，DA DB ⋅取得最小值13-，此时1y =，又点A 在圆上，所以2287112399r ⎛⎫-++=⎪⎝⎭=，所以圆D 的方程()221291x y ++=. （3）设()00,P x y ，则直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，同理100101N x y x y x y y +=+，又点A ，P 在双曲线上，所以()()222200114,411x y x y =+=+，所以()()()()2222222210100122222201001111004411||||444y y x y x y OM ON y y y y y y y y y y ---++⋅====---，所以||||OM ON ⋅为定值.【点睛】本题主要考查双曲线的方程和几何性质，圆的方程以及定值等问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.21.已知项数为*,(2)m m m ∈≥N 的数列{}n a 满足条件：①()*1,2,,n a n m ∈=N ；②12n a a a <<<；若数列{}n b 满足()12* (1,2,,)1n n m a a a a b n m m +++-=∈=-N ，则称{}n b 为数列{}n a 的“关联数列.（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，证明：()111,2,,1n n a a m n m +-≥-=-；（3）已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求数列{}n a 项数m 的最小值与最大值.【答案】（1）存在关联数列：11，10，9，8，7，理由见详解；（2）证明见详解；（3）m 的最小值与最大值分别为2和33.【解析】【分析】（1）根据“关联数列”定义求解判断. （2）根据“关联数列”定义结合数列的单调性讨论即可.（3）根据数列{}n a 和求“关联数列”{}n b 的项的特征结合单调性分析出()212048m -≤，根据11204811m m a a b b N m m *--=∈--=求解. 【详解】（1）因为***12345145545911,10,9515151b N b N b N ---==∈==∈==∈---， **45451345178,7,5151b N b N --==∈==∈-- 所以数列1，5，9，13，17存在“关联数列”11，10，9，8，7. （2）因为数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，所以12n a a a <<<， 所以1101n n n n a a b b m ++--=<-， 所以{}n b 为递减数列，又因为n b N *∈，所以111n n n n a a b b N m *++--=-∈， 所以111n n a a m +-≥-， 所以()111,2,,1n n a a m n m +-≥-=-；（3）因为数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，所以任意1i j m ≤<≤，1j i i j a a b b m --=-， 因为12,...m i b b b b N *∈>>>，所以i j b N b *-∈， 11204811m m a a b b N m m *--=∈--=， 由（2）知11n n a a m +-≥-，又()1213212...1m m m a a a a a a m a a -=++-+≥----，所以()212048m -≤，解得46m ≤，因为20481N m *∈-， 所以233m ≤≤，所以m 的最小值与最大值分别为2和33.【点睛】本题主要考查数列新定义相关问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.。
2020上海二模高三数学含答案
浦东新区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题高三数学2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分。
1.设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则u C A = . 【答案】{}22.某次考试，5名同学的成绩分别为：96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 . 【答案】1003.若函数12()f x x =，则1(1)f −= .【答案】14.若1i −是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q += .【答案】05.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比 . 【答案】81:6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =−⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是 .【答案】相交7.若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()nn x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= .【答案】158.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是 . 【答案】12222=−y x9.从(,4)m m N m *∈≥且个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果事件A 和事件B 的概率相等，则m = .【答案】1010．已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++−的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 . 【答案】{}1 11、如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+，若ABC 的面积为2，则AP 的最小值为 . .【解析】1323AP t AC AB t AC AB =+=+，21133t t ∴+=∴=设||,||AC b AB C ==11sin 2222ABC S bC A bc ∆==⋅⋅=，6bc ∴=22222c 91112os 26932AP AC AB AC AB b c π∴⎪⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅=++⨯⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1(269)2bc ≥+=||min AP ∴=【点评】此题与2019长宁嘉定二模第10题相似 在ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若ABC，3ACB π∠=，则CP 的最小值为 .【解析】4293CP mCA CB mCA CD =+=+，由共线定理，13m =，由ABCS=可得4,2,CA CBCA CB ⋅=∴⋅=222214148393927CP CA CB CA CB CA CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14161642,392793CA CB CP ⎛⎫⎛⎫≥⋅⋅+=∴≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知数列{}{},n n a b ，满足111a b ==，对任何正整数n 均有1n n n a a b +=++， 1n n n b a b +=+−，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 . 【答案】202133−【解析】()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+−+=，12n n n a b −=()1122,n n n n n n n a b a b a b ++++∴=+=113323nn n n nn n n n n a b c b b a a ⎛⎫+∴=+==⨯ ⎪⎝⎭2020202120206133313S ⎡⎤−⎣⎦∴==−−二、选择题（本大愿满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分，13．若x y 、满足01,0x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2f x y =+的最大值为（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 4【答案】.B14.如图，正方体1111A B C D ABCD −中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案】.C15.已知函数()cos cos ,f x x x =⋅ 给出下列结论： ① ()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心(),0;2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭③ 若()()12,f x f x =则()12;x x k k Z π+=∈④ 不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,.88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.A ①② .B ②③④ .C ①③④ .D ①②④【答案】D16.设集合{1,2,3,,2020}S =⋯，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集元素个数之和为（ ）7070.711949.21949.2371949.2721949x A B C D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】C【解析】n 和71n +为最小和最大元素的子集有702个其中1,2,,70n n n +++每个元素出现次数是692所以n 和71n +出现次数是702,这些子集元素个数之和为69707070222372⨯+⨯=⨯ -11949n ∴≤≤，所以总的元素个数之和为702371949⋅⋅，故选C .三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.-17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD （及其内部）AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120︒得到的. （1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数表示【解析】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形． 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ． （2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C −．所以，()222−−=,,FP ，()231−−=,,AC设异面直线FP 与CA 所成的角为α=αcos 426+=所以，异面直线FP 与CA 所成角426+=αarccos【点评】考察几何体体积的计算公式，比较常规。
上海市松江区2020届高三二模数学卷(含答案)
所以 AE AO EO 1 PD 2 2
所以 AEO 60
…………4 分 …………6 分
（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ AP AB AD 2 ，点 E 是棱 PB 的中点，
∴ fmax (x) 3 ， ………………………………5 分
T 2 2
………………………………6 分
（2）由 f ( A) 3 得 sin( A ) 1
2
6
因为 A (0, ) ，所以 A ，得 A ，
62
3
………………8 分
因为 a 1，由余弦定理，得 1 b2 c2 2bc cos ，………………10 分 3
DC DE
0 0
得
2x 0 x2y z 0
取 z＝2，得 n (0,1, 2) ，…………11 分
∴点 B 到平面 ECD 的距离：
BC n
d
2 2
5 …………14 分
n
55
18．已知函数 f (x) 2 cos2 x 2 3 sin x cos x ． （1）求 f (x) 的最大值和最小正周期 T ；
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一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第 1～6 题每个 空格填对得 4 分，第 7～12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分．
1．若集合 A {2, 4, 6,8}， B {x | x2 4x 0} ，则 A ∩ B = ▲ ． 2．已知复数 z1 a 2i ， z2 2 3i （ i 是虚数单位），若 z1 z2 是纯虚数，则实数 a = ▲ ． 3．已知动点 P 到定点 (1, 0) 的距离等于它到定直线 l : x 1的距离，则点 P 的轨迹方程为 ▲ ． 4．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a1 a5 4, a3 a7 12 ，则 S7 = ▲ ． 5．若 (x a)8 的展开式中 x5 项的系数为 56 ，则实数 a = ▲ ．