均值不等式教案2
2.2.4 高中必修一数学教案《均值不等式及其应用》
高中必修一数学教案《均值不等式及其应用》教材分析本节课的内容是通过情境引入进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义的基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时，在推导论证的基础上，推广公式，并学会应用。
均值不等式是本章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性的作用，有利于学生对后续不等式的证明及前面函数的最值、值域的进一步拓展与研究。
学情分析1、从学生知识层面看学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，学生会解决最简单的关于不等式的问题。
2、从学生素质层面看大部分学生基础较好，学生的理解能力、运算能力、思维能力等方面尚可，学生有学好数学的自信心，有一定的学习积极性。
教学目标1、从情景中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题，帮助学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题。
2、通过情境提出问题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想，发现定理，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力。
3、通过设置问题与解决，帮助学生理解生活问题数学化，注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦。
教学重点用均值不等式求解最值问题的思路和方法。
教学难点合理应用均值不等式。
教学方法讲授法，讨论法，练习法教学过程一、问题导入称为a，b的算术平均值；给定两个正数a，b，数a+b2数√ab称为a，b的几何平均值。
两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？二、探究新知1、尝试与发现（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义。
学案2：2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 第1课时 均值不等式知识点一 重要不等式对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 时，等号成立． 体验1．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4知识点二 算术平均值与几何平均值给定两个正数a ，b ，数 称为a ，b 的算术平均值；数ab 称为a ，b 的几何平均值． 知识点三 均值不等式1．均值不等式：如果a ，b 都是正数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当 时，等号成立．2．几何意义：所有周长一定的矩形中， 的面积最大． 思考1．均值不等式中的a ，b 只能是具体的数吗？思考2.均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？3．均值不等式的常见变形(1)当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ； (2)若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. 体验2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.( )体验3.已知x ＞0，则y ＝x ＋3x ＋2的最小值是________． 体验4.当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是______．(填序号)①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab . 题型探究类型1 对均值不等式的理解 【例1】 给出下面三个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4； ③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③规律方法均值不等式使用的条件是什么？[提示] 利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立)． 跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4； ③若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 类型2 利用均值不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋a b ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2ab a ＋b≥ab(2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________． 规律方法1．在理解均值不等式时，从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意不等式成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞P类型3 利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 当堂达标1．对于任意a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋b 2≥abB ．a ＋1a ≥2C ．b a ＋a b≥2D ．⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2 2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －b <0B ．0<a b<1C ．ab <a ＋b2D ．ab >a ＋b3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 24．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－55．若a ＞0，b ＞0且2a ＋1b ＝3，则ab 的最大值为________．课堂小结回顾本节知识，自我完成以下问题：1．试比较不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 的区别与联系．[提示] (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的．前者要求a ，b是实数即可，而后者要求a ，b 都是正实数(实际上后者只要a ＞0，b ＞0即可)．(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a ＝b 时，等号成立”．2．使用均值不等式应注意哪几点？[提示] (1)均值不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0. (2)常见的变形：a ＋b ≥2ab ，ab ≤a 2＋b 22，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. (3)“当且仅当a ＝b 时，取等号”的含义： a ＝b ⇔a ＋b2＝ab .(4)a ，b 可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，但应保证a ＞0，b ＞0.参考答案知识点梳理知识点一 重要不等式 a ＝b体验1．【答案】C【解析】xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．知识点二 算术平均值与几何平均值 a ＋b2知识点三 均值不等式 1．a ＝b 2．正方形思考1．[提示] a ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 思考2. [提示] 不能．如a ＝－3，b ＝－4，均值不等式不成立． 3．均值不等式的常见变形 (2)≤.体验2.【答案】(1)× (2)× (3)√【解析】(1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. 体验3.【答案】23＋2【解析】∵x ＞0，3x ＞0，∴y ≥23＋2，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时等号成立．体验4.【答案】③【解析】根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．题型探究类型1 对均值不等式的理解 【例1】【答案】B【解析】①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件，∴4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y ，⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 跟踪训练1．【答案】②【解析】①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即当x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2 利用均值不等式比较大小 【例2】【答案】(1)D (2)p ＞q【解析】(1)由a ＋b 2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立；∵b a ＋a b≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .∴p ＞q . 跟踪训练2．【答案】B【解析】显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛ 由a ＋b ＞(a ＋b )24⎭⎫也就是a ＋b 4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q . 类型3 利用均值不等式证明不等式【例3】证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c >9.当堂达标 1．【答案】D【解析】A 选项，当a ＜0，且b ＜0时不成立；B 选项，当a ＜0时不成立；C 选项，当a 与b 异号时不成立．故选D ． 2．【答案】C【解析】∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b 2一定成立．3．【答案】B【解析】∵ab ＜⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴ab ＜14，∴2ab ＜12.∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12， ∴a 2＋b 2＞12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2 ＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大． 4．【答案】C【解析】由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．5．【答案】98【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ＝3≥22a b ，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝34，b ＝23时，等号成立，所以a b ≤98.。
均值不等式教案
均值不等式廖士哲(地点： 06文（1）时间：星期二晚第三节课)一、目的要求：系统复习均值不等式，熟练使用a 2+b 2≥2ab 和ab b a 2≥+ ，使学生领会其中的三个条件“一正”、“二定”、“三相等”.，特别是“≥”或“≤”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。
二、教学重点 在运用ab b a 2≥+中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.三．教学难点ab b a 2≥+的运用. 求函数表达式与最值时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。
四．教学过程（一）知识归纳：1.a 2+b 2≥2ab （a.b )R ∈和ab b a 2≥+（a.b +∈R ）当且仅当a=b 时取“=”2.均值不等式的运用条件：“一正”、“二定”、“三相等”3. 均值不等式的运用----放缩功能：和定积最大，积定和最小-4. 均值不等式的变式（二）、例题解析例1 若X<45求y=4x-2+541-x 的（配凑均值不等式成立的条件：“一正”、“二定”）例2.设=)(x f x x+150（1）求当x ∈(0 ∝ )时的最大值（2）求当x ∈[2 ∝ )时的最大值（用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，即“三相等”，当等号不成立时可用函数的单调性求最值。
）例3若x>0 y>0 且x 1+y 9=1 求x+y 的最小值（在运用ab b a 2≥+中要注意配凑“一正”、“二定”、“三相等”三个条件. 如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件的一致性。
）（三）课堂练习选做1 当x ∈(0 1 )时，求=)(x f )21(11x x --的最大值 2求y=3+x +31+x 的最小值 3求y=18-+x x （x>1）的最小值4 若 x 2 +ax+1≥0对一切x ∈(0 21］成立求a 的最小值5若a>0 b>0且ab=a+b+3 求ab 的取值范围6若x>0 y>0 且x+y=1 求12+x +12+y 最大值 （四）课堂小结：．和熟练使用不等式ab b a ab b a 22.122≥+≥+ 的条件．注意使用ab b a 2.2≥+注意取等号的条件．.3”．灵活变换“1.4 5.用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。
高中数学_均值不等式及其应用教学课件设计
a b ab(a,b 0) 2
( a b)2 ab(a, b 0) 2
几何意义： 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.
自主探究 深化认识
问题3：能否给均值不等式另一个几何意义呢？
几何解释 jihe.gsp
几何意义：
半径不小于半弦.
自主探究 深化认识
条件：“一正，二定，三相等”
• 思考与讨论：
学习目标
1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的 比较抽象出均值不等式并能证明；
2.通过自主探究，能够获得均值不等式的几何意义；
3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件，会用 均值不等式解决简单的最大值或最小值问题。
新课导入
.
假设一个矩形的长和宽分别为a 和 b
ab
（1）与这个矩形周长相等的正方形的边长为___2____；
（2）与这个矩形面积相等的正方形的边长为___a_b___；
（3）比较两个边长的大小.
问题探究
问题1：观察 a+b 与
2
你发现了什么结论？
ab 的大小关系，从中
问题2：你能给出它的证明吗？
归纳定理
均值不等式： （符号语言）a, b 0,
a b ab. 2
当且仅当 a = b 时，等号成立.
文字语言：两个正数的算数平均值大于或 误
【注意】：均值不等式中的 a, b 不仅是任意正实数，
还可以代入任意满足条件的式子。
自主探究 深化认识
矩形的长和宽分别为 a 和 b
（1）求出与这个矩形周长相等的正方形的边长； （2）求出与这个矩形面积相等的正方形的边长； （3）比较两个边长的大小.
• （1）判断下列解题过程是否正确，如果不正确请指 出错误原因；
均值不等式教案
均值不等式教案0 均值不等式【核心知识】1.如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 2.基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”.3.两个重要的不等式链(1)),,(22222时等号成立当且仅当b a R b a ab b a b a =∈≥??+≥+. (2) ),0,0(1122222时等号成立当且仅当b a b a ba ab b a ba =>>+≥≥+≥+.例一:已知函数)0(sin 2sin π<<+=x xx y ，求值域. 解：假设]1,0(,sin ∈=x t 则函数转化为]1,0(,2)(∈+=t tt t h ，由对号函数的性质可知：t t t h 2)(+=在]1,0(内单调递减，所以3)1()(min ==h t h ，即tt t h 2)(+=的值域是),3[+∞ 考点一：利用基本不等式求范围例:(原创题)若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_______ ．解法一: 由a 、b ∈R +，由重要不等式得a+b ≥2ab ，则ab=a+b+3≥2ab +3，即32--ab ab ≥)1)(3(0+-?ab ab ≥ab ?0≥3，∴ ab ≥9 ．变式训练: (原创题)若1->x ，则x =_____时,11++x x 有最小值，最小值为_____. 解析: 合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的前提在于使等号能够成立. 解∵1->x , ∴01>+x , ∴011>+x ,∴11++x x =1111x x ++-+12(1)11x x ≥+?-+ 211=-=，当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x . 答案:0,1考点二：利用基本不等式证明不等式例: (原创题)已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++.解: 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥, 相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立.变式训练: (原创题)已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．解析:解法一：∵ a>0，b>0，∴b ba +≥aa 22=?，a ab +≥b a ab 22=?，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．考点三: 基本不等式的应用例: (原创题)已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值. 解析:利用281x y+=，构造均值不等式形式. 利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．解∵2828()1()()28y x x y x y x y xy x y+=+?=+?+=+++,0,0x y >>, ∴280,0y x x y >>1021618x y +≥+=,当且仅当28y x x y=时等号成立,即224y x =, ∴2y x =,又28+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18.变式训练: (原创题)已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．解析:这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将lgx+lgy 转化成lg(xy)考虑．解:∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121??=≤32431212=??+y x ，∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg3 ．由??==+>>y x y x y x 4312430,0 解得==232y x∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ．【课堂巩固，夯实基础】1. (原创题)若实数a 、b 满足a+b ＝2,则3a +3b的最小值是( )A.18B.6C.32D.432 解析:充分考虑基本不等式的应用条件，和定积最大.解:由均值不等式,得3a+3b≥632332==?+b a b a ，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以3a +3b的最小值是6. 答案:B3. (原创题)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )B ．18C ．16D ．9解析：经分析x ＋y ＝12，则122=+y x ,利用1的代换.解:由已知得AB →·AC →＝bccos∠BAC＝23?bc ＝4，故S △ABC ＝x ＋y ＋12＝12bcsinA ＝1?x ＋y ＝12，而1x ＋4y ＝2(1x ＋4y )×(x＋y) ＝2(5＋y x ＋4xy)≥2(5＋2y x ×4xy)＝18. 答案:B5. (2011届年天津和平月考)设a>0，b>0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：充分发挥1的代换,将1换成字母表达式,使待求的式子中出现倒数的形式.解:由题意知3a ·3b即3a ＋b＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a>0，b>0，所以1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案:B6. (改编题)已知x<12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值是( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：凑配成y ＝－[(1－2x)＋11－2x]＋1，是利用基本不等式的关键,要注意1－2x 符号. 解:y ＝2x ＋12x －1＝－[(1－2x)＋11－2x]＋1，由x<12可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋11－2x≥2，当且仅当1－2x ＝1即x ＝0时取等号，则y max ＝－1. 答案:C7. (原创题)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)对称，则4a＋1b的最小值是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．9解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)对称，是指圆心在直线上,也是取得a,b 等量关系的唯一依据,为求最值作准备.解: 由圆的对称性可得，直线2ax －by ＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a ＋b ＝1.所以4a ＋1b＝4(a ＋b)a ＋a ＋bb ＝4b a ＋a b ＋5≥24b a ·a b ＋5＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b 时取等号. 答案:D8. (原创题)若a,b 都是正实数,π是圆周率,e 是自然对数的底数,则下列各式中可能大于a 2+b 2的是( )A.2(a+b-1)B.(2b a +)2+abC.2e(a+b) D.2πab 解析:作差比较,逐个排除.解:对于A,因为a 2+b 2-2(a+b-1)＝(a-1)2+(b-1)2≥0,因此a 2+b 2≥2(a+b-1);对于B,a 2+b 2-［(2b a +)2+ab ］＝46ab -3b 3a 22+＝4b)-3(a 2≥0,因此a 2+b 2≥(2b a +)2+ab;对于D,因为a 2+b 2≥2ab ＞2πab,所以a 2+b 2＞2πab. 综上,可知只有C 满足条件.答案:C 二.填空题10. (原创题) 已知,0,0>>y x 且191=+yx 则y x +的最小值为 . 解析:利用1的代换或换元法消x 或y. 解:169210910)91)((=+≥++=++=+yx x y y x y x y x 当且仅当4,12==x y 时等号成立. 或解：由191=+y x 得9-=y y x ,则1699919≥-+-+=+-=+y y y y y y x . 答案:1611. (原创题) 已知y x m y x y x +=+=+4,lg lg )lg(则m 的取值范围是 . 解析:利用对数的运算性质,得到x,y 的关系. 解:由题意xy y x y x =+>>,0,0,故111=+y x ,945)11)(4(4≥++=++=+yx x y y x y x y x , 当且仅当3,23==y x 时等号成立,9≥m . 答案: 9≥m12. (2010华附)已知,*41x y R x y ∈+=,且,则11x y+的最小值为解析:1的逆用,倒数的出现正迎合了基本不等式的使用条件. 解:∵9454411*,,≥++=+++=+∴∈yxx y y y x x y x y x R y x ，当且仅当61,31==y x 时取等号. 答案:9 三.解答题13.(2010河南焦作一中月考)已知函数c bx ax x x f +++=23)(在点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ,若函数在)1,2(-上单调递增,求b 的取值范围. 解析:此题是方法比较灵活的题目,可以用基本不等式,也可用导数法.解:由b ax x x f ++='23)(2及3)1(='f 得到b a -=2,则b bx x x f +-='23)(. 由题设可得032≥+-b bx x 对∈x )1,2(-恒成立.即23)1(x b x -≥-对∈x )1,2(-恒成立xx b --≥132 对∈x )1,2(-恒成立.只需x x b --≥132在)1,2(-上的最大值.对于这个最大值的计算方法可以是平均值定理法,也可以是导数法,下面选择其中一种.06613)1(3613)1((3132=-≤----=--+=--xx x x x x (当0=x 时等号成立)故0≥b .。
均值不等式教学设计
基本不等式教学设计一、录制内容同学们，大家好！基本不等式是高中数学教材必修五第三章不等式内容的一个重要组成部分，本节课我要讲的内容是“基本不等式”，我将以“什么是基本不等式→如何证明基本不等式→如何利用基本不等式求最值”为探究线索进行讲解。
首先一起来了解两个概念，如果,a b 为正数，则称2a b +为,a b 的算术平均数，,a b 的几何平均数。
在有了这样两个概念之后我们可能会比较好奇这两个数之间有怎样的大小关系呢？下面我们分别从代数角度和几何角度来进行证明。
从代数角度比较大小常用的方法就是作差，所以我们不妨先用作差法来探究之间的大小关系，有一定的应用性，所以我们称其为基本不等式。
那么如何来证明不等式呢？其实刚才作差探究两者大小关系的过程就给出了基本不等式的一种代数证法。
那么基本不等式又有怎样的几何意义呢？一起来看一个图形。
这是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标，此会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，之所以用这个作为会标，一方面是因为它看上去像一个风车，象征了中国人民的热情好客，另一方面，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，揭示了很多的数学奥秘，下面我们就利用这个图形反映出来的面积大小关系对基本不等式加以解释。
设直角三角形的一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，则容易得到大正方形边长为b a +，小正方形边长为a b -。
需要说明的是，当b a =时，原图中的小正方形消失，四个直角三角形刚好拼成一个完整的大正方形。
根据边长可以进一步求得每一个小三角形的面积为2ab ，大正方形面积为b a +，从图形上可以看出大正方形的面积要大于或者等于四个直角三角形面积的和，所以有b a +≥ab 2也就是2b a +≥ab ，当且仅当a b =时，四个直角三角形面积的和2a b +=。
好，这样我们就借助于图形用几何方法对基本不等式做出了证明。
通过以上的学习可以知道基本不等式是解决最大（小）值问题的有力工具，在利用基本不等式求最大（小）值时，我们有这样两个原理：呢？接下来我们看一下例2：们可以归纳出在利用基本不等式求最值时的一般流程：反思本节课的内容可以发现，对基本不等式的证明可以用代数法和几何法，这两种证法刚好将数和形高度的统一到了一起，突出数形结合的思想。
课件2：2.2.4 第1课时 均值不等式
(2)已知 a＞0，b＞0，c＞0，求证：bac＋abc＋acb≥a＋b＋c. [证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bac＞0，abc＞0，acb＞0. 则bac＋abc≥2 aabbc2＝2c，bac＋acb≥2b，abc＋acb≥2a. 由不等式的性质知，2bac＋abc＋acb≥2(a＋b＋c)，∴bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
2．2.4 均值不等式及其应用 第 1 课时 均值不等式
内容标准
学科素养
1.探索并了解均值不等式的证明过程． 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小． 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.
直观想象 逻辑推理
[教材提炼] 知识点 均值不等式 1.给定两个正数 a，b，数a＋2 b称为 a，b 的算术平均值，数 ab称为 a，b 的几何平均 值． 2．如果 a，b 都是正数，那么a＋2 b ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 3．几何意义：所有周长一定的矩形中， 正方形 的面积最大．
课后·素养培优 一、千变万化，不离其宗 ►逻辑推理 均值不等式的几种常见变形及结论 (1)a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0)； (2)ab≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (3)ab≤a＋2 b2，(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥2(ab＞0)；
(5)a＋ak≥2 k(a＞0，k＞0)；
(6)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
方法提升 利用均值不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数 的性质(单调性)． (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足 a＞0，b＞0.
同源异考 重点触类旁通
设 M＝a＋a－1 2(2＜a＜3)，N＝x(4 3－3x)0＜x＜433，则 M，N 的大小关系为(
第二章 2.2.4 第一课时 均值不等式
1.算术平均值与几何平均值 (1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义 a＋b 给定两个正数a，b，数___2____称为a，b的算术平均值；数__a_b__称为a，b的几何
平均值. (2) 均值不等式 如果条件改为a≥0，b≥0，均值不等式仍成立 如果 a，b 都是正数，那么a＋2 b__≥__ ab，当且仅当__a_＝__b__时，等号成立.
题型一 利用均值不等式比较大小
【例1】 设0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
a＋b
a＋b
A.a<b< ab< 2 B.a< ab< 2 <b
a＋b
a＋b
C.a< ab<b< 2 D. ab<a< 2 <b
解析 法一 ∵0<a<b，∴a<a＋2 b<b，排除 A，C 两项.又 ab－a＝ a( b－ a)>0，
能利用均值不等式的形式 已知a，b，c为正数，且 a＋b＋c＝1 ，证明：1a＋1b＋1c≥9.
“1”的代换是常用转化技巧
证明 1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc＋c
＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc
≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立. 故1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c＝13时取等号).
规律方法 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项 或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
【训练 2】 已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证：b＋ac－a＋a＋bc－b＋ a＋b－c c >3. 证明 因为a，b，c全不相等， 所以ba与ab，ac与ac，bc与bc全不相等，所以ba＋ab>2，ac＋ac>2，bc＋bc>2， 三式相加得，ba＋ac＋bc＋ab＋ac＋bc>6， 所以ba＋ac－1＋bc＋ab－1＋ac＋bc－1>3， 即b＋ac－a＋a＋bc－b＋a＋bc－c>3.
均值不等式教案
高考总复习之——均值不等式【均值不等式】依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”【典例讲解】1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求的最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
变式：经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量y （千辆/小时）与 汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系式为)0v (1600v 3v v 920y 2>++=。
在该时段内，当汽车的平均速率v 为多大时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）4、整体代换例4. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值。
变式：已知正数x 、y 满足1y 1x 8=+，求y 2x +的最小值。
5、换元例5. 求函数y x x =++225的最大值。
6、取平方例6. 求函数y x x x =-+-<<21521252()的最大值。
【练一练】1. 若02<<x ，求y x x =-()63的最大值。
2. 求函数y x x x =-+>133()的最小值。
3. 求函数y x x x =+->2811()的最小值。
4. 已知x y >>00，，且119x y +=，求x y +的最小值。
5、已知28,,0,1x y x y >+=，求xy 的最小值。
第2章 224 第2课时 均值不等式的应用精品课件
2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用
2
栏目导航
3
自主预习 探新知
栏目导航
4
大 小
栏目导航
5
栏目导航
6
栏目导航
7
栏目导航
8
栏目导航
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 9
合作探究 提素养
栏目导航
10
利用均值不等式求最值
栏目导航
11
栏目导航
12
栏目导航
13
栏目导航
14
栏目导航
15
栏目导航
16
栏目导航
17
栏目导航
18
利用均值不等式求条件最值
栏目导航
19
栏目导航
20
栏目导航
21
栏目导航
22
栏目导航
23
栏目导航
24
栏目导航
25
栏目导航
26
利用均值不等式解决实际问题
栏目导航
27
栏目导航
28
栏目导航
29
栏目导航
30
栏目导航
31
栏目导航
32
栏目导航
33
栏目导航
34
栏目导航
35
当堂达标 固双基
栏目导航
36
栏目导航
37
栏目导航
38
栏目导航
39
栏目导航
40
栏目导航
谢谢大家
再见
十分感谢大家， 再见！
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
均值不等式教案2
课 题: 第02课时 三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时) 教学目标:
1(能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值
问题;
2(了解基本不等式的推广形式。
教学重点:三个正数的算术-几何平均不等式
教学难点:利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决
最值问题 教学过程:
一、知识学习:
a，b，c3a,b,c定理3:如果，那么,abc。当且仅当时，等号成立。 a,b,c,R，
3
aaa，，？，12nnaa？a推广: ? 。当且仅当时，等号成立。 a,a,？,a12n12nn
语言表述:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
333思考:类比基本不等式，是否存在:如果，那么(当且仅a,b,c,Ra，b，
c,3abc，
a,b,c当时，等号成立)呢,试证明。
二、例题分析:
32例1:求函数的最小值。 y,2x，(x,0)x
31112222333y,2x，,2x，，,32x,,,34解一: ? y,34minxxxxx
333312222y,2x，,22x,,26xx,解二:当2x即时 ,xx2x
31236y,26,,2312,2324 ? min2
上述两种做法哪种是错的,错误的原因是什么,
1a,b,Ra,b,a，变式训练1 的最小值。 若且求，(a,b)b
由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要
_____________________ 例2 :如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去
大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去
的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大,
变式训练2 已知:长方体的全面积为定值,，试问这个长方体的长、宽、高各是
多少时，它的体积最大，求出这个最大值(
由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道:积定____________，和定______________.
三、巩固练习
121.函数的最小值是 ( ) y,3x，(x,0)2x
A.6 B. C.9 D.12 66
422(函数的最大值是( ) y,x(2,x)(0,x,2)
1632A.0 B.1 C. D. 2727
四、课堂小结:
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定
理的适用条件。 五、课后作业
P习题1.1第11，12，13题 10
六、教学后记:
第三课时(略)