数列讲座
第28讲 数列概念及等差数列
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列一．课标要求：1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。
体会等差数列与一次函数的关系。
二．命题走向数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。
对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。
预测07年高考：1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。
三．要点精讲1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
等差数列前n项和
2012年高一数学春季班专题讲座 第4讲 等差数列及前N 项和（1）【知识点归纳】1、⑴数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．⑵求通项公式的方法:①观察法；②公式法：任意数列}{n a 满足{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥；③作商法：12()n a a a f n = ，则(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩；④累加法：1()n na a f n +-=； ⑤累乘法：1()n na f n a +=． 2、等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥． （2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-． （3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+． （4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=． 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素．只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 3、等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列． （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k=+．（6）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2121n n S a n -=-.(7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和．法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈．上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.【典型例题】例1____________.例2 已知ΔABC 的三个内角A 、B ．C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有22)cos(22sin sin =-+-C A C A ．（1）求A 、B ．C 的大小； （2）求ΔABC 的的面积．例3 ⑴已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__________；⑵数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为_____________；⑶一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D 例4 ⑴已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，则n a =__________________；⑵数列{}n a 满足12211125222n na a a n +++=+ ，则n a =__________________；⑶数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______________；⑷已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________；⑸已知数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n-+=(2)n ≥，则n a =__________________．例5 ⑴首项为-24的等差数列，前n 项和中9S 最小，则公差的取值范围是___________________；⑵等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝________________；⑶等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 ；⑷在等差数列中，11S ＝22，则6a ＝______；⑸设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ， 那么=nnb a ___________ ．例6 ⑴等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值．⑵在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则( )A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0⑶若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 ．例7 项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.例8 已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .。
第28讲 数列概念及等差数列
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列一．课标要求：1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。
体会等差数列与一次函数的关系。
二．命题走向数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。
对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。
预测07年高考：1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。
三．要点精讲1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
等比数列前n项和
2012年高一数学春季班专题讲座 第8讲 等比数列及前N 项和（2）【知识点归纳】一、等比数列的性质：（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a = . (2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nqa p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n ab 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n nab 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。
当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.(5) 如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
二、递推公式求通项： ⑴累和法：()1n n a a f n +-=；⑵累积法：()1n na g n a +=； ⑶相关数列法：①()1,n n a pa q p q +=+为常数； ②12nn n a pa +=+； ③分式11n n n a a ka b --=+；⑷二阶递推公式：11n n n a pa qa +-=+。
高考数学数列求和
1 3 2n 1 ① 令Tn 2 n 3 3 3 1 1 3 2n 3 2n 1 ② Tn 2 3 n n 1 3 3 3 3 3
①– ②
解：
2 1 2 2 2n 1 Tn 2 n n 1 3 3 3 3 3 1 1 1 1 2n 1 2( 2 n ) n 1 3 3 3 3 3
3 4 5 6
(3)已知数列 {a n }的通项公式
6n 5(n为奇数） an n ，求数列 {a n }的前n项和； 2 (n为偶数） .
（4）已知数列 {a n }中，a n 33 2n, 求数列{ a n }的前n项和； 1 1 1 （5）求数列 ， ， ， 1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 ， 的前n项和 456
2 2 2
2、常用数列和
（二）典型例题：
例1、求下列数列的前 n项和S n。 1 （ 1 ）a n 2n 2 (2)bn n(n 2) 1 n (3)c n (4)d n n 2 n 1 n
n
解：
(1)拆项法：S n (2 2) (2 2 2 )
例2、若函数f ( x)
1
x
2 2 f (4) f (0) f (5) f (6)
解：倒序相加法： f (n) f (n 1) 1 2
n 1 n
, 求T f (5)
1 2
2
n
2 2 1
2 1 2
n n
① +②
① ②
2 2T 12 T 3 2 2
例3、 （ 1 ）求数列 1， 3 4， 5 6 7， 7 8 9 10， ， 的前n项和； （2）求数列 1，a a , a a a ,
2013年高考中档题过关专题讲座：《数列》常见题型及其解法
1 1 1 1 1 1 Tn (2)( ) 2 (2)( ) 3 (2)( ) n (3 2n)( ) n 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n1 ( ) [1 ( ) ] 1 1 2 (2) 2 (3 2n)( ) n1 . 1 2 2 1 2 1 n 整理得 Tn (2n 1)( ) 1 ④ 2
n 1
1 2
由①式得 c k 1 [3 2(k 1)]( )
1 2
k 1
1 (1 2k )( ) k 1 0• . 所以 Tk 1 T1 . 2
这就是说，当 n=k+1 时，不等式也成立. 由（i）（ii）得，对于一切 n 2 且 n N * ，总有 Tn T1 成立.
策略一 利用差值比较法 由④式得 Tn 1 (2n 3)( )
1 2
n 1
1 ，所以
策略四 利用导数法
为求出 an f (n) 的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数 y f ( x)(x 1) 的导数，进而求出该 函数的单调区间，从而可知数列 {an } 的单调性，最后求出数列 {an } 的最大项或最小项.
策略五 先猜后证 通过分析，推测数列 {Tn } 的第一项 T1 下面证明： Tn T1 (n 2且n N*) . 方法 1 分析法 因为 Tn (2n 1)( ) 1 ，所以只要证明 (2n 1)( ) 1
n n
1 . 2 2、已知函数 f ( x) log3 (ax b) 的图象经过点 A(2,1) 和 B(5,2) ，记 an 3 f ( n) , n N *.
策略四 利用导数法
1 x 考查函数 g ( x) (2 x 1)( ) 1( x 1) 的单调性. 2 1 1 1 1 1 g ( x) 2( ) x (2 x 1)( ) x ln 2( ) x [2 (2 x 1) ln ], • 2 2 2 2 2 1 1 1 . 因为 x 1 ，所以 2 x 1 3 ，而 ln 0 ，所以 (2 x 1) ln 3 ln • 2 2 2 1 1 3 1 1 1 1 又 3 ln ln( ) ln ln 2 2 ，所以 (2 x 1) ln 2 ，所以 2 ( 2 x 1) ln 0 . 2 2 8 2 2 e 1 x 1 x 1 又 ( ) 0 ，所以 ( ) [2 (2 x 1) ln ] 0 ，即 g ( x) 0 ，所以 g ( x) 在 1• ,• 上是单调递减函 2 2 2 1 1 数，所以当 x=1 时， g ( x) max g (1) (2 1) 1 . 2 2 1 x 1 n 1 因为 g ( x) (2 x 1)( ) 1( x 1) ，所以 Tn g (n) (2n 1)( ) 1 ，所以 Tn 存在最大值 T1 . 2 2 2
高考数学二轮专题讲座五 递推数列及数列的应用
教考网特约名师高考数学二轮专题讲座五递推数列及数列的应用●考点透视阅读与数列相关的实际问题，并能够从中归纳、提炼出数列问题模型．能灵活运用等差数列、等比数列基础知识，求出数列问题的解．能用切合实际意义的语言表述问题的解．增强用数学的意识，体会数学就在我们身边．有关递推数列及数列的应用高考命题情况，我们首先观察一下2003年、2004年及2005年的全国卷及各省单独命题. 递推数列及数列的应用一道选择题或填空题，一道解答题，试题分数为15分至18分．有三分之一的省市放在压轴题.●名师串讲○重点讲解用数学不仅是用数学的知识，也包括用数学的方法、数学的思想．解数列应用题与解其他应用题一样，首先要认真阅读领悟，学会翻译（数学化）．其次再考虑用熟悉的知识建立数学模型，求出问题的解．最后，常常还需验证求得的解是否符合实际．○技巧方法纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●考题解析【例1】(2004年某某文史卷)已知数列{}n a 的前n 项和为).)(1(31,*∈-=N n a S S n n n （Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证数列{}n a 是等比数列． 【思路串讲】本题主要考查递推数列、等比数列的概念，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解题突破口：利用a n 、S n 的关系式a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…)可求得1-n n a a 为常 数. 【标准答案】(Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21-又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a . (Ⅱ)当n>1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a 得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列. 【例2】(2004年全国卷理Ⅱ)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明：(1)数列{nS n }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n ． 【思路串讲】本题主要考查递推数列、等比数列的概念，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解题突破口：利用a n 、S n 的关系式a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…)来解决此类问题.【标准答案】（1）： 由a 1=1,a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3，…)，知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S ,又a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…),则S n+1－S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列. (2)由数列{n S n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n =2n －1,∴S n+1=(n+1)2n (n ≥1)而a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3，…)，则a n =11-+n n S n －1=11-+n n ·(n －1)2n －2=(n+1)2n －2(n=2,3，…), ∴S n+1=4a n . 又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .【例3】(2004年某某文史类卷)设),2,1(,3235,35,11221 =-===++n a a a a a n n n （1）令1,(1,2......)n n n b a a n +=-=求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .【思路串讲】本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决 问题的能力. 解题突破口：利用已知条件找n b 与1+n b 的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.【标准答案】（I ）因121+++-=n n n a a b n n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++ 故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32( ==n b nn （II ）由得n n n n a a b )32(1=-=+ )()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=- 注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n n n 记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则 1832)3()1(232)21(3232)3(9)32(3])32(1[9,)32(])32(1[3)32()32()32(32131)2()32()32(23232),1()32(3221112111221-+++=-+++=+++=+-=--=--=-++++=⋅++⋅+=⋅++⋅+=-+---n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n na a a S n n T n n T n T n T 从而故两式相减得 【例4】某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【思路串讲】本题涉及的知识主要是等差数列、等比数列、函数性质等，这些都是高中数学的主干知识．所提出的两个问题，逐步推进，抓住数列、函数、不等式的知识网络交汇点，综合自然，独具匠心，合情合理，有较高的区分度．解题突破口：对于不进行技术改造，题目给出了纯利润的等差数列规律；而对于进行技术改造，题目给出了利润的通项公式．第(l)小题提出了在这两种情况下，分别求累计纯利润A n ，B n 的表达式．显然，求A n 用等差数列的求和公式；求B n 用特殊数列的求和方法，这里需拆项转化为常数数列和等比数列求和．对于A n 和B n 大小的比较，一般采用作差比较法．这里，关键是作差、变形后，如何判断A n －B n 的符号，需要考生具有观察分析能力和函数的思想，运用函数性质分析估算，最终要进行严密推理． 解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2；B n =500[(1+21)+(1+221)+…+(1+n 21)]－600=500n －n 250－100. （Ⅱ）B n －A n =(500n －n 2500－100) －(490n －10n 2) =10n 2+10n －n 250－100=10[n(n+1) －n 250－10]. 因为函数y=x (x +1) －x 250－10在（0，+∞）上为增函数， 当1≤n ≤3时，n(n+1) －n 250－10≤12－850－10<0； 当n ≥4时，n(n+1) －n 250－10≥20－1650－10>0. ∴仅当n ≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.【例5】(2004年某某理科卷) ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n的坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.【思路串讲】本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力. 解题突破口：利用图形及递推关系即可解决此类问题. 解答本题的主要错误为：(1)缺少严格的推理．如第(1)小题，由 a 1=a 2=a 3=2得a n =2．这仅仅是特殊到一般的猜想，要实现猜想，还必须进行严格证明．但是，甚至包括第(2)或(3)小题，不少考生也是由特殊到一般完成的所谓“证明”．(2)思维层次的薄弱．不能够充分利用“P n ＋3为线段P n P n ＋1的中点”这个重要的解题信息，进行理性化的分析和变换．(3)心理素质欠缺．本题字符较多，有点列{P n }，同时还有三个数列{a n }，{y n }，{ b n }，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．【标准答案】 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414n n y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++- =)(41444n n y y --+ =,41n b - 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列． 【例6】(2004年全国卷理Ⅰ) 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.【思路串讲】本题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力. 解题突破口：利用数列求和知识及分奇偶性讨论求通项公式.【标准答案】（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k = a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=n n n a 【例7】（2004年某某理工卷）已知0>a ，数列}{n a 满足,1,11nn a a a a a +==+n=1，2，…． （Ⅰ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求A=n n a ∞→lim (将A 用a 表示)； （Ⅱ）设,2,1,=-=n A a b n n …，证明：)(1A b A b b n n n +-=+； （Ⅲ）若nn b 21||≤对,2,1=n …，都成立，求a 的取值X 围． 【思路串讲】 递推数列，也是一个高中数学的难点，常规的题型是应用特例验算得出数列的前几项，然后利用不完全归纳、猜想等，得出数列的一般规律，最后辅之以数学归纳法等的证明，这也就是“特例一一归纳一一猜想一一证明一一结论”的似真推理模式．本题中则是回避了这些常规问题，利用极限的运算法则求出数列的极限，并利用变量代换思想，得出另一个递推数列，并最终研究新递推数列的有关结论解题突破口：对于(l)显然想通过求出数列的通项公式再行求极限的办法是困难的，那就不妨使用极限的四则运算法则来求极限．对于(2)更多的应运用目标意识，将变量代换后，首先消去a n ，而得出b n 的关系，再行证明b n 与b n ＋l 间的关系．对于(3)应首先使用特例法，不妨先取n=l ，2，3，求出a 的取值X 围，然后从中发现规律，进而发现求a 的过程是有规律的，相似的，于是可用数学归纳法给出问题的统一处理．【标准答案】（Ⅰ）由 n n a ∞→lim 存在，且A=n n a ∞→lim （A ＞0），对nn a a a 11+=+两边取极限得，A=Aa 1+，解得A=242+±a a ,又A ＞0, ∴A=242++a a . (Ⅱ)由1;1n n n n ab A a a a =++=+得111n n b A a b A +++=++． ∴1111()n n n n n b b a A b A A b A A b A +=-+=-+=-+++．即1()n n n b b A b A +=-+对n=1,2,…都成立．（Ⅱ）邻21||1≤b ，得11|(|22a a -≤．∴21|)4(21|2≤-+a a ． ∴142≤-+a a ，解得23≥a ．现证明当23≥a 时，21||≤n b ，对2,1=n ，…都成立． ①当1=n 时结论成立（已验证）．②假设当)1(≥=k k n 时结论成立，既kk b 21||≤，那么 k k k k k A b A A b A b b 21||1|(|||||1⨯+≤+=+．故只须证明21||1≤+A b A k ，既证2||≥+A b A k 对23≥a 成立．由于23≥a 时，142≤-+a a ∴A ≥2． ∴1212||||≥-≥-≥+k k k b A A b 即2||≥+A b A k 故当23≥a 时， 1212121|1|+=⨯≤+k k k b ．即1+=k n 时结论成立．根据①和②，可知结论对一切正整数都有成立．故n n b 21||≤对,2,1=n …都成立的a 的取值X 围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23． ●误区诊断【例11】 (2000年全国高考题)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 误点：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.辨析：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题 属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.答案：(1) a n = 4000×［1－(54)n ］b n =1600×［(45)n －1］(2) 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.自主感悟：●真题演练1. （2001年某某春季卷） 若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为 （ ）A.}{12+k aB.}{13+k aC.}{14+k aD.}{16+k a 【答案】B2.(2005年某某卷) 已知数121211{},(),3,4,.lim 2,22n n n n n n x x x x x x n x x --→∞==+===满足若则（） A ．23 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B3.(2000年高考某某、某某卷)设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a na na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________．【答案】n1 4.（2003年全国高考题）已知数列).2(3,1}{111≥+==--n a a a a n n n n 满足（Ⅰ）求;,32a a （Ⅱ）证明.213-=n n a 【答案】（Ⅰ）a 2=4, a 3=13 .5. （2001某某春季高考）某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金nb 元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ).【答案】(1) a 2=n 1(1－n 1)b ， a 3=n 1(1－n 1)2b ，…， a k =n 1 (1－n 1)k －1b ; (2)a k －a k +1=21n (1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3) eb b P n n =∞→)(lim .6.（2002年全国高考题）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）1231111111112n a a a a ++++≤++++【答案】（I ）1+=n a n （1≥n ）7. (2005年某某市春季卷) 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）【答案】（1） 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. （2）2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.●名师押题预测1：对于任意函数f （x ）定义域为D ，如图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入初始数据D x ∈0，输出)(01x f x =②若D x ∉1，则机器自动停止；若D x ∈1，则数据x 1反馈回输入端，再输出)(12x f x =，依次继续下去．设),0[,3)(2+∞∈--=x x x x f ．问（1）若输入一个初始数据x 0，使得机器运行一步后即停止工作，求x 0的取值X 围；（2）若输入一个初始数据x 0，使得机器能产生一个无穷的常数数列，求x 0的值；（3）若输入一个初始数据x 0，使得机器能产生一个无穷的递增数列，求x 0取值X 围． 思考∶认真读懂题意是解决问题的关键.答案∶（1）02310≥>+x （2）30=x （3）x 0＞3 预测2：已知数列n a 的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列.若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，某某数a 、b 满足的条件．思考∶利用等差数列的定义判断{}n a 是否是等差数列.答案∶（Ⅰ）}{n a 不可能是等差数列 (Ⅱ) ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧+=-≠01221b a a b a 或 预测3：已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0. (1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1 , ［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆与+1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .思考∶利用二次函数h k x a x f +-=2)()(求)(x f .再用待定系数法求a n 和b n . 答案∶(1)f (x )=x 2－(t +2)x +t +1.(2)a n =t1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)r n =2)1(21+++t t n ,S n =432(1)(2)t t t π++［(t +1)2n －1］ 预测4：设二次函数)(,*)](1,[,)(2x f N n n n x x x x f 时当∈+∈+=的所有整数值的个数为g(n).word11 / 11 （1）求g(n)的表达式.（2）设.,)1(*),()(321432123n n n n n S a a a a a S N n n g n n a 求--++-+-=∈+= （3）设l Z l l T b b b T n g b n n n nn 求若),(.,2)(21∈<+++== 的最小值. 思考∶由)(x f 的值域可求)(n g .讨论n 的奇偶性求n S . 答案∶（1） *).(32)(N n n n g ∈+=（2）.2)1()1(1+-=-n n S n n （3）l 的最小值是7.。
系列讲座之六——非线性递推数列问题的解题策略
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又 。 １ Ｙ 一 ２ 由归 纳 法 易 推 得 所 有 的 都 一 ， ，
２ 借 助 于 变 量 代 换
（ ）对 任 意 Ｅ Ｎ，ａ １ 为 正 整 数 ； （ ）对 任 意 ， Ｅ Ｎ，ａｎ 一 １为 完 全 平 方 数 ． ２ ｚ ｎ
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例 ４ 已知 数 列 ｛ ｎ ）中 ， 一 １ ｎ 一 Ｏ １＋ ｎ ， 上 （
证 明
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２１ 第 ６ ０ ０年 期
１ ４ 将 ｎ ＝篮 ＋２ ， 代入原式
一
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即 ２ 井 一 ６ ＋ ３ ６ ３一 １（ ｂ ，井 一 ６
１ 借 助 于 韦 达 定 理
由原 表 达 式 得
≥ 丁 ．≥ ３ ｙ
所 以
一
≠ ０ 由 ① ， 知 １ ， ② ，
一 ＋ １— ３ 于 是 ｙ，
是整数．
是 方 程 ｚ 一 ３ ｙｚ＋ ：
例 １
数 列 ｛ 满 足 ：。 一 １ 口 ａ｝ 口 ，
＋ １— ０的 两 个 不 相 等 的实 数 根 ， 韦 达 定 理 得 由
（ ０ ５年 全 国高 中数 学联 赛 试 题 ） ２０
江苏省宿迁中学2006届高考数列专题复习讲座 人教版
( 2005江苏卷23题、14分) 设数列{an}的前n项的和 为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1（5n+2）Sn=An+B，n=1,2,3,…，其中A，B为常数.
（1）求A与B的值； （2）证明数列{an}为等差数列； （3）证明不等式
5a mn a n a m 1
宿迁市2005年秋季 高中数学教学研讨会 专题材料
数列专题复习
江苏省宿迁中学
一．高考大纲剖析
2005年高考数学考试大纲，对于《数列》一章 的考试内容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了 解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的 一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项; (2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式 与前n项和公式，并能解决简单的实际问题; (3)理解 等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式，并能解决简单的实际问题.”这同2004年、 2003年高考数学考试说明对这部分内容的要求完全 一样.
1 例11.设正项等比数列｛an｝的首项a1= ,前n项 2 的和为Sn,
且210S30-(210+1)S20+S10=0.
数列在物理中的应用
解析；小车与墙撞后，应以原速率弹回。 铁块由于惯性 继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用， 过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度 再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重 复第一次碰后的情况。 以后车与墙就这样一次次碰撞下 去。 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑动一段距 离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰 后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路 程之和。 设每次与墙碰后的速度分别为v1 、v2 、v3 、… 、 vn 、…车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s1 、 s2 、s3 、… 、sn 、… 。 以铁块运动方向为正方向，在 车与墙第(n－1)次碰后到发生第n次碰撞之前，对车和铁 块组成的系统，由动量守恒定律有：
结论。 再根据多次作用的重复性和它们的共同 点，把结论推广，然后结合数学知识求解。 或 用递推法导出联系相邻两次作用的递推关系 式。
下面就结合一些例题来说明这个问题
例1：质点以加速度a从静止出发做直线 运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时 刻2t ，加速度变为3a ；… ；在nt时刻， 加速度变为(n + 1) a ，求： （1）nt时刻质点的速度； （2）nt时间内通过的总路程。
在高中物理牵扯到的这类问题中，常涉及到的 数列是: 等差数列 an=a(n-1)+d=a1+(n-1)d Sn=na1+ n(n 1)d 2 等比数列 an=a(n-1)q=a1q(n-1)
n( a1 an ) = 2
Sn=
a1 an q = 1 q
a1 (1 q n ) 1 q
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一、累加法 适用于：1()nnaafn 转换成1()nnaafn，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。
解：由121nnaan得121nnaan则 112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn
例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。 解；由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn
二、累乘法 1.适用于： 1()nnafna - 2．若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，， 两边分别相乘得，1111()nnkaafka 例3. 已知数列na满足321a，nnanna11，求na。 解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即
1342312nnaaaaaaaann1433221naan11 又321a，nan32 三.公式法：已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。 特地提醒：公式法不光适用于已知nS与n的关系下求通项问题，对于已知nS与na的关系时可同样适用，如已知数列na满足11154,3nnnaSSa，求na。
四、待定系数法 基本思路是转化为等差数列或等比数列， 1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型
（1）若c=1时，数列{na}为等差数列; （2）若d=0时，数列{na}为等比数列; （3）若01且dc时，数列{na}通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 例4已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。 解法一：121(2),nnaan 112(1)nnaa 又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列 12nna，即21nna
解法二：两边同时除以n2，…… …… …… 2．形如：nnnqapa1 (其中q是常数，且p1) ①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可. ②若1p时，即：nnnqapa1， 例5已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。 解法一（待定系数法）：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2， 则数列143nna是首项为111435a，公比为2的等比数列， 所以114352nnna，即114352nnna
解法二（两边同除以1nq）： 两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，转化为第一种情况 下面解法略
解法三（两边同除以1np）： 两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，转化为等比，下面解法略
总结：求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1np.目的是把所求数列构造成等差数列
即： nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab，则nnnqppbb)(11,然后类型1，累加求通项.
ii.两边同除以1nq . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： qqaqpqannnn111, 令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为情形1来解， iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设)(11nnnnpapqa.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
3．形如bknpaann1 例6 在数列}{na中，,23,111naaann求通项na.（逐项相减法） 解：，,231naann ① 2n时，)1(231naann， 两式相减得 2)(311nnnnaaaa.令nnnaab1,则231nnbb 利用情形1的方法知2351nnb 即 13511nnnaa ②
再由累加法可得213251nann. 亦可联立 ① ②解出213251nan
n.
例7. 在数列{}na中，362,2311naaann,求通项na.（待定系数法） 解：原递推式可化为ynxayxnann)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12nnbb
所以nb是一个等比数列，首项299611nab,公比为21.1)21(29nnb 即：nnna)21(996 故96)21(9nann. 4．形如cnbnapaann21 (其中a,b,c是常数，且0a) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例8 已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。
解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz 比较系数得3,10,18xyz， 所以2213(1)10(1)182(31018)nnannann 由213110118131320a，得2310180nann 则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此
2131018322nnann，则42231018nnann。
5.形如21 nnnapaqa时 例9 已知数列{}na满足06512nnnaaa，且5,121aa,且满足,求na. 解：令)(112nnnnxaayxaa,即0)(12nnnxyaayxa,与已知
06512nnnaaa比较，则有65xyyx,故32yx或23yx
下面我们取其中一组32yx来运算，即有)2(32112nnnnaaaa, 则数列nnaa21是以3212aa为首项，3为公比的等比数列，故 nnnnaa333211,即nnnaa321,利用第二种情况的方法，可得 nnna23.
总结：21 nnnapaqa原递推式可化为211()() nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。
五．构造数列法 例10.在数列{an}中，ananannnnn1132212，()()()，求通项公式an。 解：对原递推式两边同除以nnn()()12可得： annannnn12112()()()①
令bannnn()1② 则①即为bbnn12，则数列{bn}为首项是ba1111132()×，公差是bbnn12的等差数列，因而bnnn3221212()，代入②式中得annnn12141()()。 故所求的通项公式是 annnn12141()() 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例11 已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。
解：求倒数得11111111111,,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan