不同效用函数的边际替代率

不同效用函数的边际替代率

引言

边际替代率是衡量经济学中效用函数的重要概念，它反映了一个经济

主体对两种商品之间平均交换比例的愿意程度。不同的效用函数会导致不同的边际替代率，本文将探讨几种常见的效用函数及其边际替代率的特点。

常见效用函数

1.线性效用函数

线性效用函数是一种简单且常用的效用函数形式，其边际替代率是恒

定不变的。线性效用函数的形式可以表示为：

U(x,y)=a x+by

其中，x和y分别表示两种商品的数量，a和b为常数。根据该线性

效用函数求导可得到边际效用函数：

M U x=a

M U y=b

由于导数值为常数，线性效用函数的边际替代率为常数：

M R S=MU x/MU y=a/b

2.边际效用递减的效用函数

边际效用递减的效用函数是一种常见的效用函数形式，其边际替代率

会随着消费水平的增加而递减。一个典型的边际效用递减的效用函数可以表示为：

U(x,y)=x^a*y^b

其中，x和y同样表示两种商品的数量，a和b为正常数。根据该效

用函数求导可得到边际效用函数：

M U x=a*x^(a-1)*y^b

M U y=b*x^a*y^(b-1)

边际效用递减的效用函数的边际替代率为：

M R S=MU x/MU y=(a/b)*(x/y)

可以看出，当x和y的比值不同时，边际替代率会随着消费水平的不

同而变化。

3.单位弹性效用函数

单位弹性效用函数是一种特殊的效用函数形式，其边际替代率恒定为

常数1。单位弹性效用函数的形式可以表示为：

U(x,y)=f(x/y)

其中，f()为任意单调递增函数。边际效用函数为：

M U x=f'(x/y)/y

M U y=-f'(x/y)*x/y^2

可以看出，边际替代率为：

M R S=MU x/MU y=(f'(x/y)/y)/(-f'(x/y)*x/y^2)=1

单位弹性效用函数的边际替代率恒定为1，这意味着两种商品之间的

交换比率始终保持一致。

总结

不同的效用函数形式会导致不同的边际替代率。线性效用函数的边际

替代率恒定不变，边际效用递减的效用函数的边际替代率会随着消费水平

的变化而递减，而单位弹性效用函数的边际替代率始终为1。通过研究不

同效用函数的边际替代率，我们可以更好地理解经济主体在消费决策中的

行为和偏好。

希望本文对读者理解不同效用函数的边际替代率有所帮助。谢谢阅读！

注：本文所使用的数学符号和公式为L aTe X格式，在Ma rk dow n中进

行展示，无法直接输入公式，因此使用了等价的表示方法。