效用函数的构造
经济学中效用函数的
矩估计法
定义
矩估计法是一种利用样本矩来估计总体参数的方法。它通过比较样本矩和总体矩的关系来估计总体参数。矩估计法的一个主要优点是它不需要知道数据的分布 假设，因此可以用于任何类型的数据。
优点
矩估计法的优点包括：简单易行、不需要知道数据的分布假设、可以用于任何类型的数据。此外，在某些情况下，矩估计法的解具有唯一性。
要点二
单调递减
如果对于所有的商品组合X和Y，只要X中的商品总价值 低于Y，那么消费者对于X的效用也低于Y。
03
效用函数的应用场景
消费者选择理论
01
描述消费者的偏好
效用函数能够量化描述消费者的 偏好，为研究消费者行为提供依 据。
02
消费者选择模型
基于效用函数构建消费者选择模 型，解释消费者如何在有限的资 源下做出最优的购买决策。
最大似然估计法
定义
优点
缺点
最大似然估计法是一种参数估计方法 ，它通过找到一组参数值，使得模型 预测的结果与实际观察到的数据之间 的似然性最大。换句话说，它试图找 到最有可能产生观察数据的参数值。
最大似然估计法是一种强大的参数估 计方法，因为它可以充分利用已知的 数据信息，并且对于大多数分布假设 ，其估计量是渐近正态的，这意味着 随着样本大小的增加，估计量的精度 也会提高。此外，最大似然估计法还 可以方便地处理缺失数据和异常值。
03
凸函数
一种常见的效用函数，其形式为U(x) = e^(ax)，其中a为常数。凸函数
的特点是随着商品数量的增加，效用值的增加速度逐渐加快。
02
效用函数的基本性质
偏好关系
完全偏好关系
如果消费者对于所有的商品组 合A和B，都更偏好A，那么我 们称A在偏好关系中完全优于B
效用函数的三种形式
效用函数的三种形式
1. 线性形式：指效用函数为一个线性方程，其形式为U(x1, x2, …, xn) = a1x1 + a2x2 + …+ anxn，其中ai为各项系数，xi为各项的数量。
线性形式的效用函数具有可加性，即每个物品单位数量的边际效用是不变的。
2. 段状形式：指效用函数为一系列段状函数的组合，即在不同区间内采用不同的函数形式。
这种形式的效用函数常用于描述边际效用衰减快速的情况，例如食品数量的边际效用在饱食时显著降低。
3. 指数形式：指效用函数为一个指数方程，其形式为U(x)= ax^b ，其中a和b均为正常数，x为物品的数量。
指数形式的效用函数具有递减的边际效用，即当x增加时，其边际效用递减较快，这种形式的效用函数常用于描述人们对于高级消费品（如奢侈品）的效用感受。
高级微观经济学(2)
u(x1) u(x2 ) （严格单调性）
——u(x)是表示偏好关系 效用函数
.
Slide 21
III、u(x)是连续函数
效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆央射(原象)
u1((a, b))
{x
n +
a
u(x) b}
（定义）
{x
n +
ae
u(x) e
b e}（单调性）
{x
t A B A B [0, t ] [t, )
t t A B
.
Slide 18
I、效用函数的构造
A B t* A B
t*e x 而且 t*e x t*e x
而且 t* 是唯一的。因为：
假设 t1e x和t2e x
t1e t2e（传递性）
t1 t2 （严格单调性）
u f : 在 的取值范围上是严格递增函数。
.
Slide 25
1.2.2.2 效用函数的唯一性
定理1.2：效用函数对正单调不欢的 不变性
实值函数u(x)能够表示偏好关系 ， 那么，当且仅当v(x)是u(x)的正单 调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。
.
Slide 26
1.2.2.3 效用函数的性质
f : D n是连续函数，如果S D是D内的紧集，
那么，映射f (S) n是 n内的紧集。
.
Slide 5
数学基础：函数
极值存在性定理
设S是 n上的非空紧集，如果f : S 连续，
那么，存在x*，x S,使得：
f (x) f (x) f (x*) x S
.
Slide 6
数学基础：多变量函数的微分
S(u0 ) {x x X , u(x) u0} 【严格上等值集】
《效用函数》课件
05
效用最大化问题
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
消费者在购买某一商品时愿意支付的 最高价格与实际支付价格之间的差额 。消费者剩余反映了消费者对商品的 主观评价和实际支付之间的差异。
无差异曲线法
预算约束法
通过选择无差异曲线上的点来实现效用最 大化，无差异曲线上的点表示能给消费者 带来相同效用的不同商品组合。
在预算约束条件下，选择能够使总效用最 大的商品组合。
06
效用函数的发展趋势和未来展望
效用函数在经济学中的发展趋势
跨学科融合
随着经济学与其他学科的交叉研究， 效用函数的理论和应用将进一步融入 心理学、社会学和环境科学等领域， 以更全面地解释人类行为和经济现象 。
效用函数作为决策分析的重要工 具，为决策者提供了一套完整的 分析框架和方法。
04
效用函数的性质
边际替代效应
边际替代效应是指消费者在保持总效 用不变的情况下，通过改变消费组合 中不同商品的消费量，以获得最大效 用。
边际替代效应反映了消费者对于不同 商品之间的替代关系，是消费者行为 的一个重要特征。
对同一种商品的效用评价可能不同。
效用具有主观性和个体差异性，反映了消费者的个人偏好和价
03
值取向。
效用函数的定义
01
效用函数：表示消费者对不同消费组合的效用评价 的函数。
02
效用函数将商品的数量或消费组合映射到效用值上 ，反映了消费者的偏好和价值取向。
03
效用函数有多种形式，常见的有线性效用函数、二 次效用函数、对数效用函数等。
效用函数-决策
判断在满足什么条件时存在与之一致的效用函数，Von Neumann-Morgenstern,1944给出了效用的存在性公理， 又称理性行为公理。
21
效用函数存在的条件 书P30
1： 2： 3：
4：
22
效用函数
与上式矛盾
23
效用函数 的定义书P29
满足上述条件前提下，若P上存在实值函数u，有：
注意：此定义是基数效用函数，另外还有序数效用
12
效用的定义
熟悉一下详细描述：书P28：定义：2.4.1
13
效用的定义
书中例子：带伞问题
方案/行动：1、不带伞 2、带伞
方案/行动所带来的后果： 1、不带伞无雨 2、不带伞遇雨 3、带伞不遇雨 4、带伞遇雨 假设天气只有3中情况： 1、遇雨概率为0，不遇雨概率为1 2、遇雨概率为0.5，不遇雨概率为0.5 3、遇雨概率为1，不遇雨概率为0 3种天气情况下决策者的行为是“不带伞”所对应的展望： 书2.4-2.5式
34
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
请写出后果？
35
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
根据题意请写出后果的优先顺序？
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效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
37
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
38
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
3
效用函数
一． 效用理论 上图例子作为商业、经营中实际问题的数学模型有着普遍 意义。现实决策问题中经常遇到类似的情况： 要在期望收益较低但是保险（相当于上例中的礼品）与期 望收益较高风险也较大（相当于上例中的抽奖）这两种行 动中进行选择。 有人认为：抽奖不如礼品，如图所示。有人则相反！
效用函数的构造
效用函数的构造效用函数是经济学中一个重要的概念，用于衡量个体在面临不同选择时所获得的满足感或福利水平。
一个好的效用函数能够准确地描述个体对不同选择的偏好和选择行为，对于经济学的分析和决策制定具有重要的作用。
一、效用函数的定义：效用函数可以简单地理解为描述个体对某个商品集合的偏好函数。
通常用U(x1, x2, ..., xn)来表示，其中x1, x2, ..., xn代表不同商品的数量或消费水平，U(x1, x2, ..., xn)表示个体对于这种消费组合的满意程度。
效用函数可以是单个商品的函数，也可以是多个商品的复合函数。
二、效用函数的性质：1. 偏好性：个体的偏好是传递的（transitivity），即对于任意三个消费组合A、B和C，如果个体更喜欢A比B，更喜欢B 比C，那么个体一定更喜欢A比C。
2. 边际效用递减：当个体消费某种商品时，其边际效用递减，即消费每多一单位的商品，对个体的满意程度的增加量逐渐减少。
3. 凸性：个体的效用函数通常是凸函数，即在一个较小的范围内，效用增长的斜率逐渐变小。
三、效用函数的构造方法：1. 偏好排序法：通过对不同商品组合进行两两比较，判断个体对于不同组合的偏好，进而构造效用函数。
例如，可以要求个体对于不同商品组合A和B给出一个偏好排序，记作A≻B（A优于B），然后根据这些偏好排序构造效用函数。
2. 行为模型法：通过观察个体的消费行为和购买决策推导出效用函数。
例如，根据个体的购买数额、品牌偏好、价格敏感性等信息，可以通过建立经济模型，推导出个体的效用函数。
3. 问卷调查法：通过给个体提供不同的消费选择，并要求个体对于每种选择给出一个评分或偏好程度，进而构造效用函数。
四、效用函数的应用：1. 消费决策分析：效用函数可以用来解释个体在面临不同消费选择时的决策行为。
通过比较不同选择的效用值，可以预测个体的购买意愿和购买决策。
2. 福利分析：效用函数可以用来衡量个体或社会的福利水平。
效用函数的构造
效用函数的构造
效用函数是用来衡量经济参与者对不同选择或状态的偏好程度的函数。
在构造一个效
用函数时，我们需要考虑以下几点：
1. 假设：我们需要确定与该效用函数相关的假设。
这些假设可以包括经济参与者的
行为偏好、理性决策和风险态度等。
2. 变量定义：然后，我们需要定义与效用函数相关的变量。
这些变量可以包括不同
选择或状态的数量、价格、收入等经济因素。
3. 函数形式：根据上述变量的定义，我们可以确定效用函数的函数形式。
一般来说，效用函数可以是线性的、非线性的、凸函数或者凹函数等。
在这个构造过程中，我们需要
确保所使用的函数形式符合相关的经济理论。
4. 参数估计：在确定了效用函数的函数形式后，我们需要根据实际数据对函数中的
参数进行估计。
这可以通过回归分析或其他经济计量方法来实现。
5. 有关限制：有时在构造效用函数时，我们可能需要引入一些限制条件。
这些限制
条件可以包括预算约束、资源限制、时间限制等。
6. 效用解释：我们需要解释效用函数的含义。
这可以包括解释每个变量的作用、效
用曲线的形状、替代效应和收益效应等。
通过以上步骤，我们可以构造一个适用于特定情境的效用函数，用于衡量经济参与者
对不同选择或状态的偏好程度。
注意，在构造过程中不要出现真实名字和引用，以保护相
关信息的机密性。
效用函数
L U Pi MU i Pi 0, (i 1,2,..., n) xi xi
n L I Pi xi 0 i 1
效用最大化条件的数学证明
dU 是货币的边际效用，即 ＝ dI
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
用U ( x, y )表示某消费者的序数效 用函数 , 那么， 消费者认为消费组合 ( x, y )比( x, y)更好，当且仅当 U ( x, y ) U ( x, y); 消费者认为 ( x, y )与( x, y)不相上下，当且仅当 U ( x, y ) U ( x, y)
效用最大化条件的数学证明
a 例子 已知某消费者的收入为: I，其效用函数为U x1 x b，其中 2
x1和x 2 是两种商品的消费量，a 0, b 0为常数。如果商品价格 分别为P1和P2，求该消费者对两种商品的需求函数。
根据最优化条件
b b ax1a 1 x2 bx1a x2 1 即aP2 x2 bP x1 1 P P2 1
第3章
效用函数
（Utility Function)
偏好理论的讨论比较抽象，效用理论是分
析偏好理论的一种简便方法
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
效用（Utility）是满意或幸福的同义词 19世纪经济学家认为
人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中 所获得的效用来度量 效用可以精确计量与加总 其大小可以用1,2,...表示
Px 第二章中消费选择的最 优条件 MRSxy 可改写为 Py MU x Px MU x MU y ＝ ,或 MU y Py Px Py
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效用函数的构造
效用函数是指用来描述个体对不同选择的偏好程度的数学函数，用于分析个体在做出决策时的选择行为。
效用函数的构造包括以下几个方面：
1. 偏好假设：效用函数的构造需要先假设个体的偏好，在不同的选择项之间进行选择时所产生的相对倾向性。
个体的偏好可以从心理学、经济学、行为学等方面的研究中得出。
2. 特征选择：除了偏好之外，效用函数的构造还需要选择与选择相关的特定特征。
这些特征可以是选择所涉及事物的属性和特性，比如价格、品牌、大小、配料等等。
3. 功用计算：对于每一个选择，都需要计算其所对应的效用值。
效用值可以是实际的数字、百分比或其他形式，需要考虑到每一种选择所对应的不同特征，以及这些特征对于个体偏好的影响。
4. 模型评估：构造效用函数后，需要对其进行定量评估。
评估的方式可以是基于数据的实证研究，也可以是基于理论的推演和假设。
只有在不断的评估和调整中，效用函数才能更好地反映个体选择行为的真实情况，并应用于更广泛的决策和分析中。
需要注意的是，效用函数的构造可能因不同的研究领域和个体情况而有所不
同，具体的构造方式需要根据实际情况加以优化和调整。