效用函数拟凹。
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1, y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
尼科尔森微观经济理论_基本原理与扩展(第9版)课后习题详解(第3章 偏好与效用)
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xyU x y x y=+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。
边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。
边际替代率为：()()0.50.50.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -===，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-9所示。
边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-9 拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-10所示。
边际替代率为：()0.522220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-⋅-⋅=，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。
图3-10 凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-11所示。
五种效用函数
五种效用函数
1.完全替代品（线性数用函数）
完全替代品指两种商品之间的替代比例是固定不变的情况，相应的无差异曲线是一条斜率不变的直线，且在任何一条无差异曲线上，两商品的边际替代率保持不变。
效用函数：U（X1，X2）=aX1+bX2
2.完全互补品（里昂惕夫效用函数）
完全互补品是指两种商品必须按固定不变的比例同时被使用的情况，相应的无差异曲线为直角形状。
效用函数：U（X1，X2）=MIN（aX1，bX2）
只有在无差异曲线的直角点上，两种互补商品刚好按固定比例被消费。
3.拟线性效用函数
U(X1，X2)=V(X1)+X2。
效用函数对商品2来说是线性的，但对商品1来说是非线性的，因此称为拟线性。
无论消费者收入如何变化，他对X1的消费量都是不变的，人们会把所有增加的收入用于消费X2商品。
4.柯布-道格拉斯效用函数
U（X1，X2）=X1αX2β
5.CES效用函数
CES效用函数又称不变替代弹性效用函数，其表达式为：
当ρ=1时，它是表示完全替代的线性效用函数；
当ρ=0时，它是科布−道格拉斯效用函数；
当ρ→∞时，它是表示完全互补的里昂惕夫效用函数。
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中，函数的凹凸性拟凹拟凸是一种常见的理论解释形式，反映了经济决策者在
作出策略选择时付出的成本与获得的益处。
凹凸性拟凹拟凸的凸度指的是当决策者的成本
发生变化时，增加的效用量（或利润）的程度。
如果效用随成本的增加而增加，那么就是
正凸的拟凹拟凸；如果减少，则是反凸的拟凹拟凸。
拟凹拟凸理论是一种常见的经济学理论，是现代经济学中计量型经济理论的重要分支。
它是由经济学家Aldrich提出的，以解释特定经济增长情况下，企业与政府的不同决策策略。
这一理论是由相关成本和预期效用的变化基础，指出当决策者对对策选择、博弈或决
策判断的改变时，效用所获取的数量会发生变化。
这样，决策者可以为凸度拟凹拟凸获得
最佳策略，获得最多的利益。
拟凹拟凸理论在经济中有很多不同的应用。
最常见的应用是用于解释保护主义政策的
设计和开展，即政府通过政策鼓励投资、创新和产品开发，使其在生产过程中能够获得较
高的利润。
例如，政府可以提供补贴或者减免税收，鼓励生产企业节约成本，从而获得较
高的收益。
而且，凹凸拟凹拟凸还可以用于消费者决策的研究，如决策者对物价的变化时，对消费者的行为表现和影响程度的评估。
此外，拟凹拟凸理论在其他领域，如社会规则学、国际贸易理论、环境经济学、相关
市场理论等领域也有广泛的应用。
很多学者认为，拟凹拟凸理论能够有效地提高决策者作
出决策的能力，分析和预测政策、行业和市场对特定结果的影响。
这样可以让决策者作出
有效的经济决策，改善经济结构，实现经济的可持续发展。
效用函数拟凹
效用函数拟凹一、什么是效用函数？效用函数是经济学中用来度量个体对不同选择的偏好程度的函数。
它是一个将不同选择映射到一个实数上的函数，表示个体对每个选择的满意程度。
二、效用函数的拟凹性质在经济学中，效用函数的拟凹性质非常重要。
拟凹性质是指效用函数的二阶导数在定义域内是非负的。
即效用函数的边际满足递减的性质。
为了更好地理解效用函数的拟凹性质，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设一个人对于食物的满意程度与食物的数量成正比，即越多的食物越能让他满意。
那么他的效用函数可以表示为U(x)=x，其中x表示食物的数量。
根据效用函数的定义，我们可以计算出当食物数量从1增加到2时，他的边际效用为U'(2)-U'(1)=1-1=0。
这意味着当食物数量增加时，他对每增加一单位的食物的满意程度是递减的。
这就是效用函数的拟凹性质。
效用函数的拟凹性质在经济学中具有重要的经济解释。
拟凹性质意味着个体对于风险的态度是风险规避的。
换句话说，个体更倾向于选择较为稳定的选项，而不是冒险的选项。
例如，假设一个人面临两个选项：一是获得100元的收益的概率为0.5，二是获得200元的收益的概率为0.5。
根据效用函数的拟凹性质，个体更倾向于选择获得100元的稳定收益，而不是冒险选择获得200元的收益。
这是因为当个体对收益的边际效用递减时，获得200元的收益相对于获得100元的收益所增加的满意程度要小。
因此，个体更倾向于选择稳定的选项，以规避风险。
四、效用函数拟凹性质的应用效用函数的拟凹性质在经济学和金融学中有广泛的应用。
在微观经济学中，拟凹性质用于解释个体的消费决策和风险偏好。
在宏观经济学中，拟凹性质用于解释整体经济的消费行为和经济增长。
在金融学中，效用函数的拟凹性质被广泛用于解释投资者的风险偏好和资产定价。
根据效用函数的拟凹性质，投资者更倾向于选择较为稳定的投资组合，以降低投资风险。
总结：效用函数的拟凹性质是经济学中重要的概念，它揭示了个体对不同选择的偏好程度以及个体对风险的态度。
高级微观经济学数学准备
（一）函数1凹（凸）函数1.1凸集凸集:对于任意两点和,且对于每一个，当且仅当为真时，集合为凸集。
凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。
例如，平面中,一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。
1。
2凹（凸）函数介绍凸集是为了引入凹（凸）函数:不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集.我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数就是一个凹函数，它在定义域内呈现出峰形;函数就是一个凸函数，它在定义域内呈现谷底。
现在具体给出凹（凸)函数的定义：对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为凹函数。
对于函数，其定义域内任意两个不同的点和，当且仅当时,函数f为凸函数。
若将不等号“”和“"分别变换成严格不等号“”和“",上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。
因为凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内。
我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况.凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值可能不是唯一的,因为如果山峰包含一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。
仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。
1。
3凹（凸）函数与凸集的关系首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。
根据定义，可知当“凸的"在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。
这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的"在描述函数时,它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。
但凹(凸）函数确实与凸集有关。
除了定义域都要求是凸集之外,它们都可以引致一个凸集.定理是凹函数是凸集；是凸函数是凸集。
即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线(曲面）之上的点组成的集合若是凸集该函数为凸函数.2拟凹（拟凸）函数不管是凹(凸）函数还是严格凹（凸)函数，它们对函数都有比较强的设定。
西方经济学微观部分(中级)知识整理
西方经济学微观部分（中级）知识整理第一章微观经济学引论一、微观经济学的特点（重要命题点）1.研究对象（1999年真题，重要考点）：个体经济单位（在三个层次上展开：个体消费者、个体生产者、单个市场以及相互之间的作用[一般均衡理论]）2.基本假设条件：理性人（经济人）假设（2005年真题）3.分析方法：（2012年静态与比较静态分析真题）①边际分析法：是西方经济学的基本分析方法之一，是指通过研究增量来分析经济行为，实际上是微积分的求导问题。
例如：边际价值论：“钻石与水的悖论”水的价格低廉是因为其边际价值和边际生产成本较低，而钻石价格昂贵是因为它具有很高的边际价值（因为它们相对稀少）和很高的边际生产成本。
②均衡分析：分析经济力量达到均衡时所需要的条件以及均衡达到时会出现的情况。
用数学语言来说就是所研究的经济问题中涉及各种变量，假定自变量为已知或不变，考察因变量达到均衡时所需要的条件和会出现的情况。
均衡分析有局部均衡分析和一般均衡分析之分。
③静态分析：考察在既定的条件下某一经济事物在经济变量相互作用下所实现的均衡状态的特征。
④比较静态分析：当原有条件发生变化时，考察均衡状态所发生的变化，并比较新旧均衡状态。
⑤动态分析：引进时间变化序列，研究不同时点的均衡的变化过程。
（“蛛网模型”）实证分析和规范分析（重要考点）⑥实证分析：（尼克尔森书本定义）是指将现实世界作为一个客观存在来研究的，并试图解释所观察到的经济现象的分析方法。
实证经济学试图确定经济中的资源事实上到底是如何配置的。
⑦规范分析：（尼克尔森书本定义）是指在所研究的经济问题上持有一定的道德观点，希望研究资源应当、应该如何配置的分析方法。
例如：从事实证经济分析的经济学家可以考察一国的医疗行业是如何定价的，还可以衡量在医疗中投入更多资源的成本和效益。
但是当该经济学家宣称更多的资源应当投入到医疗保健中时，就已经进入了规范分析的阶段。
附录：高鸿业《微观经济学（第六版）》的讲解⑥.1实证经济学：是指研究实际经济体系是如何运行的，对经济行为作出有关的假设，根据假设分析和陈述经济行为及其后果，并试图对结论进行检验。
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图 3-10 凹状的无差异曲线
（5）无差异曲线如图 3-11 所示。边际替代率为：
MRS MUx
MU y
x
y x
y
y2
xy
x y x x y2
xy
y2 x2
即随着 x 的递增，边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。
U
yyU
2 x
0
即当两种商品的边际效用不变时，效用函数不是严格拟凹的。
（2）对于效用函数
U (x, y)= x× y
有：
Ux
1 2
1 1
x 2y2
0,U xx
1 4
3 1
x 2y2
0
Uy
1 2
1 1
x2 y 2
0,U yy
1 4
1 3
x2 y 2
0
U xy
1 4
1 1
x 2y 2
0
则
U
xxU
2 y
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（4）对于效用函数
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U (x, y)= x2 - y2
有：
Ux
x x2
y2
,Uy
y x2 y2
Uxx y2 3 0,Uyy x2 3 0,Uxy
xy
3
x2 y2 2
x2 y2 2
4．如图 3-12 所示，为证明无差异曲线的凸性，一种方法是证明在一条满足 U＝k 的
无差异曲线上的任意两点（x1，y1）和（x2，y2），点
(
x1
+ 2
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效用函数拟凹。
效用函数拟凹是经济学中一个重要的概念，它涉及到人们在选择不同的选项时如何做出最优决策的问题。
下面将从效用函数概念、拟凹定义和实际应用三个方面进行阐述。
一、效用函数概念
效用函数是指人们对于某个商品、服务或者与之相关的经济行为所感受到的满意程度。
效用函数是经济学中一个重要的概念，在研究社会福利、个人消费、企业投资等方面都有广泛的应用。
二、拟凹定义
拟凹是指效用函数在其定义域内所形成的函数图像呈现出凹的特征。
这意味着，对于任意两个不同的点，函数图像的连线位于函数图像下方的点对应的效用值总是高于位于上方的点对应的效用值。
在拟凹的前提下，假设一个人要对不同的选项进行选择，那么这个人总是会选择效用最大的选项。
另外需要注意的是，效用函数的拟凹性可以被视为个人理性决策的基础。
三、实际应用
1.社会福利
拟凹效用函数的概念在社会福利领域中有着广泛的应用。
在社会福利中，拟凹的效用函数被视为公平具有重要意义，这是因为拟凹的效用函数可以防止资源的集中到少数人手中，从而增强整个社会的稳定性和公正。
2.个人消费
在个人消费方面，拟凹的效用函数通常可以用来描述人们对于同一物
品的不同数量的需求，并且能够帮助人们做出最优化的消费决策。
拟
凹效用函数的概念也被应用到了路线规划和交通流量管理的领域中。
3.企业投资
在企业投资的领域中，拟凹效用函数通常被用来优化风险投资的决策。
企业通过利用拟凹效用函数来识别最优的投资组合，从而获得最高的
投资回报率。
拟凹效用函数的概念也可以被用于管理供应链和优化资
源分配。
综上所述，效用函数拟凹是一个经济学中十分重要的概念，它涉及到
人们在选择不同的选项时如何做出最优决策的问题，具有广泛的应用
价值。