信号的时域运算及系统冲激响应

信号的时域运算及系统冲激响应一、实验目的1、掌握信号的基本时域变换和时域运算；2、用周期延拓的方法将一个非周期信号进行周期信号延拓形成一个周期信号；3、牢固掌握系统的单位冲激响应的概念，掌握LTI系统的卷积表达式及其物理意义，掌握卷积的计算方法、卷积的基本性质；4、掌握利用MA TLAB计算卷积的编程方法，并利用所编写的MA TLAB程序验证卷积的常用基本性质；基本要求：掌握用MA TLAB实现各种信号的时域变换和运算，并且以图形的方式再现各种信号的波形。

掌握线性时不变连续系统的时域数学模型用MATLAB描述的方法，掌握卷积运算、线性常系数微分方程的求解编程。

二、实验原理1. 信号的时域变换与时域运算1.1 信号的时移信号的时移可用下面的数学表达式来描述：设一个连续时间信号为x(t)，它的时移y(t) 表示为：y(t) = x(t - t0)其中，t0为位移量。

若t0为正数，则y(t)等于将x(t)右移t0秒之后的结果。

反之，若t0为负数，则y(t)等于将x(t)左移t0秒之后的结果。

在MA TLAB中，时移运算与数学上习惯表达方法完全相同。

程序Program 1_5对给定一个连续时间信号x(t) = e-0.5t u(t)，对它分别左移2秒钟和右移2秒钟得到信号x1(t) = e-0.5(t+2)u(t+2)和x2(t) = e-0.5(t-2)u(t-2)。

% Program1_5% This program is used to implement the time-shift operation% on a continuous-time signal and to obtain its time-shifted versions% and to draw their plots.clear,close all,t = -5:0.01:5;x = exp(-0.5*t).*u(t); % Generate the original signal x(t)x1 = exp(-0.5*(t+2)).*u(t+2); % Shift x(t) to the left by 2 second to get x1(t)x2 = exp(-0.5*(t-2)).*u(t-2); % Shift x(t) to the right by 2 second to get x2(t)subplot(31 1)plot(t,x) % Plot x(t)grid on,title ('Original signal x(t)')subplot (312)plot (t,x1) % Plot x1(t)grid on,title ('Left shifted version of x(t)')subplot (313)plot (t,x2) % Plot x2(t)grid on,title ('Right shifted version of x(t)')xlabel ('Time t (sec)')1.2 信号的时域反褶对一个信号x[n]的反褶运算在数学上表示为y[n] = x[-n]这种反褶运算，用MATLAB实现起来也是非常简单的。

有多种方法可以实现信号的反褶运算。

方法一，修改绘图函数plot(t,x)和stem(n,x)中的时间变量t和n，即用-t和-n替代原来的t 和n，这样绘制出来的图形，看起来就是原信号经时域反褶后的版本。

方法二，直接利用原信号与其反褶信号的数学关系式来实现。

这种方法最符合信号反褶运算的实际意义。

方法三，使用M ATLAB内部函数fliplr()来实现信号的反褶运算。

其用法如下：y = fliplr(x)：其中x为原信号x(t)或x[n]，而y则为x的时域反褶。

需要说明的是，函数fliplr()对信号作时域反褶，仅仅将信号中各个元素的次序作了一个反转，这种反转处理是独立于时间变量t和n的。

因此，如果信号与其时间变量能够用一个数学函数来表达的话，那么建议将时间变量t和n的范围指定在一个正负对称的时间区间即可。

1.3 信号的时域尺度变换信号x(t)的时域尺度变换在数学描述为y(t) = x(at)，其中a为任意常数。

根据a的不同取值，这种时域尺度变换对信号x(t)具有非常不同的影响。

当a = 1时，y(t) = x(t)；当a = -1时，y(t) = x(-t)，即y(t)可以通过将x(t)反褶运算而得到；当a > 1时，y(t) = x(at)，y(t)是将x(t)在时间轴上的压缩而得到；当0 < a < 1时，y(t) = x(at)，y(t)是将x(t)在时间轴上的扩展而得到；当-1 < a < 0时，y(t) = x(at)，y(t)是将x(t)在时间轴上的扩展同时翻转而得到；当a < -1时，y(t) = x(at)，y(t)是将x(t)在时间轴上的压缩同时翻转而得到；由此可见，信号的时域尺度变换，除了对信号进行时域压缩或扩展外，还可能包括对信号的时域反褶运算。

实际上，MA TLAB完成式1.5的运算，并不需要特殊的处理，按照数学上的常规方法即能完成。

1.4周期信号在《信号与系统》课程中，周期信号是一类非常重要的信号。

给定一个信号x(t)或x[n]，如果满足x(t) = x(t+kT)x[n] = x[n+kN]则该信号叫做周期信号。

其中，k为任意整数，T和N为常数，通常称为信号的基本周期或最小周期。

周期信号可以看作是一个时限的非周期信号经过周期延拓之后形成的。

在数字信号处理中，周期延拓这一信号处理方法非常重要。

下面的程序段，就是将一个非周期信号x1(t) = e-2t[u(t)-u(t-1)]经过周期延拓之后而得到一个周期信号：clear, close all;t = -6:0.001:6;T = 2; x = 0;for k = -2:2;x = x+exp(-2*(t-k*T)).*(heaviside(t-k*T)-heaviside(t-1-k*T));end仔细阅读该程序，可以发现其算法就是：∑∞-∞=-=kkTtxtx)()(1由于k无法计算到无穷，而是以有限值加以替代，反映到有限宽度图形窗口中得到的效果完全符合要求。

2 LTI系统的时域描述2.1线性时不变系统在分析LT I系统时，有关LTI系统的两个重要的性质是必须首先掌握和理解的。

这就是线性性（Linearity）和时不变性（Time-invariance）。

所谓线性性就是指系统同时满足齐次性和叠加性。

这可以用下面的方法来描述。

假设系统在输入信号x1(t)作用时的响应信号为y1(t)，在输入信号x2(t)作用时的响应信号为y2(t)，给定两个常数a和b，如果当输入信号为x(t)时系统的响应信号为y(t)，且满足x(t) = x1(t) + x2(t)y(t) = y1(t) + y2(t)则该系统具有叠加性（Additivity）。

如果满足x(t) = ax1(t)y(t) = ay1(t)则该系统具有齐次性（Homoge neity）。

一个系统如果是线性系统的话，那么这个系统必须同时具有叠加性和齐次性。

又假设系统在输入信号x(t)作用时的响应信号为y(t)，对一个给定时间常数t0，如果当输入信号为x(t-t0)时，系统的响应信号为y(t-t0)的话，则该系统具有时不变性。

同时具有线性性和时不变性的系统，叫做线性时不变系统，简称LTI系统。

LTI系统有连续时间LTI系统和离散时间LTI系统之分。

连续时间系统的输入和输出信号都必须是连续时间信号，而离散时间系统的输入和输出信号都必须是离散时间信号。

2.2 LTI系统的单位冲激响应和卷积模型给定一个连续时间LTI系统，在系统的初始条件为零时，用单位冲激信号δ(t)作用于系统，此时系统的响应信号称为系统的单位冲激响应（Unit impulse response），一般用h(t)来表示。

需要强调的是，系统 的单位冲激响应是在激励信号为δ(t)时的零状态响应（Zero-state response ）。

离散时间LTI 系统的单位冲激响应的定义与连续时间LTI 系统的单位冲激响应相同，只是离散时间单位冲激函数δ[n]的定义有所不同。

系统的单位冲激响应是一个非常重要的概念，对于一个系统，如果我们知道了该系统的单位冲激响应，那么，该系统对任意输入信号的响应信号都可以求得。

也就是说，系统的输入信号x(t)、x[n]和输出信号y(t)、y[n]之间的关系可以用一个数学表达式来描述，这个数学表达式为∑∞-∞=-=k k n h k x n y ][][][ 这个表达式就是 LTI 系统的卷积模型，它是根据系统的线性性和时不变性以及信号可以分解成单位冲激函数经推理得到的。

这个表达式实际上告诉了我们一个重要的结论，那就是，任意LTI 系统可以完全由它的单位冲激响应h(t)/h[n]来确定。

由于系统的单位冲激响应是零状态响应，故按照上式求得的系统响应也是零状态响应。

上式中的积分运算叫做卷积积分，求和运算叫做卷积和，是描述连续时间系统输入输出关系的一个重要表达式。

2.3卷积的计算卷积的计算通常可按下面的五个步骤进行（以卷积积分为例）：1. 该换两个 信号波形图中的横坐标，由t 改为τ，τ变成函数的自变量；2. 把其中一个信号反褶，如把h(τ)变成h(-τ)；3. 把反褶后 的信号做移位，移位量是t ，这样t 是一个参变量。

在τ坐标系中，t > 0时图形右移， t < 0时图形左移。

4. 计算两个信号重叠部分的乘积x(τ)h(t-τ)；5. 完成相乘后图形的积分。

对于两个时限信号 （Time-limited signal ），按照上述的五个步骤，作卷积积分运算时，关键是正确确定不同情况下的积分限。

只要正确地确定了积分限都能得到正确定积分结果。

尽管如此，在时域中计算卷积积分，总体上来说是一项比较困难的工作。

程序convlution_demo 用来演示上述作卷积积分运算的五个步骤。

本程序较为复杂，不建议读者读懂该程序，只需执行这个程 序，观看程序执行过程中有关卷积积分的运算过程，以便于理解这五个步骤。

借助MATLAB 的内部函数conv()可以很容易地完成两个信号的卷积积分运算。

其语法为：y = conv(x,h)。

其中x 和h 分别是两个作卷积运算的信号，y 为卷积结果。

为了正确地运用这个函数计算 卷积，这里有必要对conv(x,h)做一个详细说明。

conv(x,h)函数实际上是完成两个多项式的乘法运算。

例如，两个多项式p 1和p 2分别为：432231+++=s s s p 和 1234232+++=s s s p这两个多项式在MATLAB 中是用它们的系数构成一个行向量来表示的，如果用x 来表示多项式p 1，h 表示多项式p 2，则x 和h 分别为x = [1 2 3 4]h = [4 3 2 1]在MA TLAB 命令窗口依次键入>> x = [1 2 3 4];>> h = [4 3 2 1];>> y=conv(x,h)在屏幕上得到显示结果：y = 4 11 20 30 20 11 4这表明，多项式p 1和p 2的乘积为：411203020114234563++++++=s s s s s s p正如前所述，用MATLAB 处理连续时间信号时，独立时间变量t 的变化步长应该是很小的，假定用符号dt 表示时间变化步长，那么，用函数conv()作两个信号的卷积积分时，应该在这个函数之前乘以时间步长方能得到正确的结果。