广义Lucas数列的一些求和公式
＝
（ ＋１ ） ｗ ０ ～ｗｌ —ｓ ＋（ 一 １ ） ｗ ＋（ 一 １ ） ｗ ＋ ｌ （ 一 １ ） ” ｗ ＋ ｌ ＋（ 一 １ ） ｗ 一２ ｋ 一１
ｋ 。
其中 ｗ ｎ ＝ ２ ， ｗ１ ＝１，
ｗ ｗ ＋ ２ 一ｗ ＋ ｌ ＝ ｋ ｗ ｗ ＋ ｌ ＋ 叫 一 １ ｗ ＋ １ 一（ ２ ＋ ３ ） （ 一 １ ） 一叫 ＋ ｌ 。 而ｗ 。 ＝ ｗ 一 １ ｗ ｌ ～（ ２ ＋ ３ ） （ ～ １ ） ， 那么 ｗ Ⅲ ｍ ＋ ２ ℃ 卅 ＋ ｌ ＝一 （ ２ 愚 ＋３ ） （ 一 １ ） 盼 ¨＝（ ２ 志 ＋３ ） （ 一 １ ） ，
＝
从而有
Ｗ ｍ ＋ｌ：
去 （ ＋ 一 ２ ＋ 一 ） 广 ｆ ∑ ｎ １ （ ～ １ ） 川 一 ∑ ｎ （ 一 １ ） 川 一 ２ ∑ ｎ （ 一 １ ） 一 ２ （ ２ 十 ３ ） （ 一 １ ） Ｊ 壶 （ ＋ 吐 一 ２ 一 ２ （ ２ ＋ ３ ） （ 一 １ ） ）
那么 ： Ｋ ５ 一 。 一 １ ＋ ２ 一 ３ ＋… ＋（ 一 １ ）
当 ：１ 时， ２ ｘ （ ＋２ ） 一１ ：２ ｋ ＋ ３ ：（ ２ ｋ ＋３ ） （ 一 １ ） 显然成立 ；
假设 当 ＝ 时成立 ， 即 ｗｍ － １ 叫 ＋ １ ｗ ＝（ ２ ＋３ ） （ 一 １ ） ， 那么
求和 式 广义 Ｌ ｕ ｃ ａ ｓ 数 列 的 一雎
渭南 市瑞 泉 中学 关夏 云
【 摘 要］ 由 二次线性递 推公式所定义的Ｆ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 数列｛ Ｆ ） 在数学的理论 研究中 有重要的 作用， 不少学者对这个数列的一些 特征进
行 了深入 细致的研 究。本文通过查阅 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ ， ￣￣ ０ 的相 关文献 ， 在 已有的有关广义 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 数 列相 关定理的基 础上进 一步推 广， 给
去 （ ＋ 一 ）
， ＝１ １ １ ｌ
ｍ
假 设当 ＝ 优时 成 立， 即∑
，＝ ｌ
训 ＋ ｌ ＋ｗｍ一３ 那 么 当
＝ｍ ＋ １
＝
时有 ：
ｍ ＋ｌ
＝
ｍ
＋ 叫 ＝ 坐
兰＿ ４ － Ｗ ｍ ＋ Ｉ 而 训一 ＝劬 ＋叫
在文献［ １ — ４ ］ 中研究了广义 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 一 序列的求和公 式 ， 在文献［ ５ — ７ ］ 中讨论 了Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 数的几个组 合恒等式。这里 ， 我们广义 的Ｌ ｕ ｃ ａ ｓ 数列 ：
证明： 因为 ： Ｗｎ － １ Ｗ 一 ２ 一Ｗ ＝（ ２ ｋ ＋３ ） （ 一 １ ） ， 从而有 ： ｗｎ － ｉ Ｗ 叫 ＋ １ 一 叫 。 ＝（ ２ ＋３ ） （ 一 １ ） ｎ ＋ ｌ 训 所以： Ｗｎ － １ 叫 ¨１ ＝ 甜 。 ＋（ ２ ＋３ ） （ 一 １ ） ｎ ＋ １ Ｗ
有Ｗ ＝ 叫 ｌ Ｗ ＋ １ 一（ ２ ＋３ ） （ 一 １ ） ， 那么当 ＝ ＋１ 时有 ｗ ｗ ＋ ２ 一 ＇ Ｌ Ｕ ｅ ｒ ＋ １ ２ （ ２ ＋３ ） （ 一 １ ） 。
应用定义我们有 ｗ ＋ ２ ＝ｋ ｗ ＋ ｌ ＋训 ， 则
ｓ ：一 ｗ ｏ ＋硼ｌ 一 ２ ＋ 一… ＋（ 一 １ ） ｗ 则： Ｋ Ｓ —ｓ ：触 。 一 叫２ ＋叫 ３ 一叫４ ＋… ＋（ 一 １ ） 叫
棚
一
弓 ｌ 理１ ｗ ｎ － １ 说 ＋ ｌ — Ｗ 。 ＝（ ２ ｋ ＋３ ） （ 一 １ ） ”
证明 ： 通过 已知我们很容易就算 出 ｗ ｏ ＝ ２ ， ｗ１ ：１ ， ｗ ２ ＝ ＋ ２；
（ ２ ）
证明： 令： Ｓ ＝ ０ 一 ∞１ ＋ 叫２ 一 础３ ＋… ＋ （ 一 １ ） ｎ Ｗ
引理 １ 得证 。
所以∑（ 一 １ ｙ 令五 ） ＝ ∑
１ ）
一
我们有 ：
ｇ ｉ Ｎ ２ ∑ — ＇ Ｌ Ｕ ｎ － ３
Ｗｎ ＋１ ￣ －
—
推 论１∑ｒ ， （ ）
阜 定
＋ 一 ｌ ， 则有
（ ８ ）
７ｆ Ｊ ：
—
’ １
证 明 ： ∑ ｎ ＝
在文献 ［ １ ］ 中给 出了 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 的一些恒等式 ， 广义 的Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 序列
被定义为 ：
定理 ２ ｗ ｎ － １ 叫 Ｗ ＋ １ ＝ 砌 。 ＋（ ２ ｋ ＋３ ） （ 一 １ ） ｎ ＋ ｌ 叫
ｆ （ ｋ ， ７ １ ） ：ｋ ｆ （ ， 一１ ） （ ， 一２ ） （ ， ０ ） 一０ ， ａ ｎ ｄ ｆ （ ｋ ， １ ） ＝１ 。
训 ＝ ｗ２ ＋ｗ ｌ －３
＝
当 ｎ ＝ １ 时
＝
定 理 ４ ｎ （ 一 １ ） ＝ ＿ ｌ ｌ ＝ 一 １ ） 叫 ； 一 （ 一 １ ） ｎ ＋ ｌ 叫 ； ＋ ＋ ２ （ ２ ＋ ３ ） 一 １ ］ （ ９ ）
证 明： 因为 ＋ １ ：
＝
１
等式 （ ６ ） 得证 。
ｆ （ ｋ ， ） ＝ｋ ｆ （ ， ７ ／ 一１ ） — （ ， ＂ 一２ ） Ｉ 厂 （ ， ０ ） ＝２ ， ａ ｎ ｄ ｆ （ ｋ ， １ ） ＝１
２ ． 引理及引理的证明 为 了证 明一些结论 ， 我们先给 出几个相关的引理。
（ １ ）
出 了 更为 广 泛 的广 义 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 数列的求和公式 ， 采 用 了递 推 归 纳 的 方 法 证 明 。
有 ∑
ｌ ｌ
［ 关键词 】 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 数列
１ ． 引 言
Ｌ ｕ ｃ ａ ｓ 数列 归纳 求和公式
定理 １ 得证 。
一些特殊不定方程的整数解
第37卷第2期 (2021 年 3 月）福建师范大学学报（自然科学版）Journal of Fujian Normal University (Natural Science Edition)Vol. 37, No. 2Mar. 2021DOI：10. 12046/j. issn. 1000-5277. 2021. 02. 003 文章编号：1000-5277(2021)02-0018-08一些特殊不定方程的整数解高志贤，杨标桂(福建师范大学数学与信息学院，福建福州350117)摘要：通过引入平衡、余平衡、Lucas-balancing和Lucas-cobalancing数列，研冗其性质，再利用这些数列给出一些特殊不定方程的所有正整数解.关键词：不定方程；平衡数；余平衡数；Lucas-balancing数；Lucas-cobalancing数中图分类号：0156. 1文献标志码：AInteger Solutions of Some Special Diophantine EquationsGAO Zhixian, YANG Biaogui(College of Mathematics and Informatics ^Fujian formal University ^Fuzhou350117, China)Abstract：In this paper,balance,cobalancing,Lucas-balancing and Lucas-cobalancing sequence sequences are introduced to study their properties,and then all positive integer solutions of some special Diophantine equations are given by mean of these sequences.Key words ：Diophantine；balancing numbers；cobalancing numbers；Lucas-balancing and Lucas-cobalancing numbers1999年，Behera等1引入了平衡数（balancingnumber),即平衡数m(m e Z+)是不定方程1 +2 + *-* + (m-l) = (m+l) + (m + 2) +••• +(m +r)(1)的解，称r(r e N)为平衡数m所对应的平衡因子（balancer).例如平衡数1、6、35、204分别对应 的平衡因子为0、2、14、84•由式（1)得m(m - 1)r(r + 1)----------------=mr + ---------------,225从而—(2m+ 1) + V8m2+ 1、r =-------------------2-----------------. 2对于n = 1，2,…，令' 表示第a i个平衡数.显然，由式（2)知圪是平衡数当且仅当+ 1是完全平方数.2005年，Panda等[2]通过修改式（1)，从而引入了余平衡数（cobalanicng numbe)，即余平衡数m(m e N)是不定方程12+••• +m =(m + 1) + (m + 2) + --- + (m+r)(3)的解，称e Z+)为余平衡数m所对应的余平衡因子（cobalancer).例如余平衡数0、2、14、84 分别对应的余平衡因子为1、6、35、204.由式（3)得m(m + 1)r(r+l)--------=mr + --------,22从而-（2/71 + 1) + \iSm2 + + 1..收稿日期：2020-09-15基金项目：国家自然科学基金资助项目（11761049)通信作者：杨标桂（1976-)，男，副教授，研究方向为几何学、数论.bgyang@ 163. com第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解19对于n = 1，2,…，令表示第n个余平衡因子.由式（4)知是余平衡数当且仅当V叫+ 86… + 1是完全平方数.由于V8# + 1和^b2n + 86… + 1都是完全平方数，那么+ 1和+ 86… + 1都是正整数.诸多学者从多方面研究平衡数和余平衡数的性质及应用[3_6].Panda等;_7_分别令 C… = + 1,c…= -J^bl + 8fe… + 1，其中 C…为第 n个 Lucas-halancing数，cn为第 n个Lucas-cobalancing 数，并给出 了平衡、余平衡、Lucas-balancing和Lucas-cobalancing数列的二阶递推关 系：=6B…_ A-丨，A= i，b2=:6，(5)h=:66… -bn-l42，bx= 0,b2=2，(6)c n+l:~ Cn-\, C, = 3, C2=17，(7)C n+i = 6c…~ C n-1，ci = 1，c2=7.(8)同时也给出了平衡和余平衡数列的非线性递推关系:B…+1 = 3Bn + J%B2… + 1 ,(9)= 36… + 78^ + 86… + 1+ 1.(10) Panda等进一步还研究了平衡数与Lucas-丨)alancing数、余平衡数与Lucas-cobalancing数之间的关 系：C…tl =3C… + 8B…, (I Dcn+i = 3c…+ + 4_( 12)数列、IC…l和|c…l的比内公式分别为：a f-a f^(13)4V22(14)(15)(16)其中 a, = 1 + ，a: = 1 - •近年来，不定方程的研究有了新的进展，有学者对于不定方程的整数解提出了一些理论.K o-shy[8:研究不定方程-办2 = ±1和;c2 -办2 = &的整数解，具体见下面几个引理.引理1(1)设d是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a，/8)为Pell方程V -办2 = 1的基础解，则它的全部解可由U…，y…)给出，(a + (3\[d)"+ (a -fi-Jd)"---------------------2---------------------，(a+/3^/d)n-(a-^J d)nJn 二-------------------------------------------’2-Jd其中（*i，) = (a，P )且灯彡2.(2)设cf是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a，/3)为P ell方程;c2-办2 =- 1的基础解，则它的全部解可由（\，y…)给出，(a+p j d)2"-'+ (a-/3^/d)2"-'xn=------------------------------------，" 2(a+P^Jd)2"-'-(a~/3-Jd)2n-'2-Jdyn=20福建师范大学学报（自然科学版)2021 年其中（U i) = (a，0 )且《 彡2.引理2 设r/是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a ,y3 )为P e ll方程办2 = 1的基础 解，（u,为不定方程x2 -办2 = A的一个解，那么（au.+奶?;）2 - + m;)2 = A：,则是不定方程的一个解.这个递推公式可以用来生成不定方程的无限多个解，这些解与«；)是相关联的且它们属于同一类解.实际上，不定方程W -办2 = A的基础解不止一个.下面的引理为不定方程-办2 = &的基础解 U,t；)限定了范围.引理3设^/是一个非平方的正整数，令（a，0 )为不定方程；c2 -办2 = 1的基础解，（u,〃）为不定方程d -dy2 =A；的基础解，其中A：> 0,则《，j;满足0 < I u I0 ^ v ^ /3k2(a+ 1)事实上，如果r f>〇, A >0,且d不是平方数，那么不定方程办2 =々的解仅有有限类，且所 有类的基本解可以由引理3经过有限步求出，于是所有类所包含的全部解就是不定方程V -办2的全部解.若不定方程V-办2 =1没有解满足引理3,则不定方程x2-办2 = A无解.本文主要研究某些不定方程的正整数解是由一些特殊的整数序列给出的.首先引人平衡、余平衡、Lucas-halancing和Lucas-cobakndng数列并且研究其性质，再利用这些数列给出某些特殊不定方 程的所有正整数解.1定理及证明考虑尤2 + ；y2 - ± 8 = 0，x2 + y2 - 34xy ± 288 = 0 和a：' + 36).- - 36;cy ± 288 = 0 等不定方程的正整数解都是由特殊的整数数列给出的.1.1以Lucas-ba丨ancing数列| C J为整数解的不定方程由引理1，得到如下结果：定理1设n身1，则P ell方程；c2-8/= 1的所有正整数解为（*, y) = (C…, S J.证明P e ll方程a:2 -8/ = 1的基础解为（a，/S )= (3，1)，由引理1(1)知P e ll方程x2 -8/ =1的全部正整数解可由（*，y)表出，其中(3 + 272 )" + (3 - 2V2 )"(1 + V2 )2" + (1 - V2 )2nX=-----------------------------------------------------------------------=---------------------------------------------------------------22(3 +2j2)n-(3- 2V2 )n(1 +72)2n - (1 - 72 )2ny-------------------------------=------------------------------•472 4V2又由数列1c…丨和丨fi…!的比内公式得(1+ V2 )2" + (1 -72)2n<+«2n^"=--------2--------=~T—=C"'(1 + 72 )2" - (1 - V2 )2"-a2ny=------------------------------=----------=B….4V2 4^2即定理得证.由定理1，可得到定理2、定理3.定理2设《 >丨，则不定方程-8/ + 16*y-9二0的所有正整数解为U,y) = (C…,B…+,).证明假设:t和y为不定方程P - 8/ + 16巧-9 = 0的正整数解.由于不定方程V - 8/ + 16y -9 = 0 等价于不定方程 9-t2 - 8(y - *)2 = 9，从而 9 丨（y -尤）2，即 3 丨（y - *).令 h = a:，u =第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解21^一，将;c = w和y = 3ti + u代人不定方程x2 - 8y2 + 16xy - 9 = 0中，可得it2 - 8(3ij + u)2 + 16«(3ii + u)- 9 = 0,整理得u由定理 1 知 u = C…，t; = B,,，即;《 = u = C…，y = 3d + u = + C… = 3B… + V賊 + 1=相反的，如果（*，y) = (C…，B…+1)，由定理1和式（9)得C2n- 8B^, + \6Cn Bn+l -9= C] -S(3Bn+C n)2+ 16C…(3B… + C…) - 9 =Cl -8(9B2…+C2n+6BnCn) + 48BnC… + l6C2n-9 =9C2n-12B\ - 9 =9{C l -SB]-1) = 0,即定理得证.定理3设^1& 1，则不定方程*2 + / -6巧+ 8 = 0的所有正整数解为U,y) = (C…, C…+1).证明假设i和y为不定方程V+y2-6；c y+ 8 = 0的正整数解.由于不定方程W+/-6町+8 = 0 等价于（x-y)2-4xy + 8=0,从而41 (;c-y)2,即21 (x-y)，从而*和y的奇偶性相同.接下来 按x和y的奇偶性分为以下两种情况：情形1x和y都为奇数.因为*为奇数，即8 I(V- 1)，又由于不定方程％2+ /- 6xy + 8 = 0等价于（y- 3*)2-r一3尤8 (尤2 - 1) = 0，从而 64 1(y-3尤）2，即 81 (y-3x) •令 u=;c，i; = ^―-—，即 x u，y= 3u + 8f,O再将A： = a和;y = 3w + 8f代入不定方程尤2 + y2 - 6;cy + 8 = 0中得u2+ (3u+ 8t;)2-6u(3u+ Sv)+8=0,整理得u2-Sv2=1.由定理 1 知 “ =C...，I；二坟，即 X = u = ，y = 3u + % = 3C... + 8坎=C (1)相反的，如果h，y)= (Q,C…+1)，那么C〗+0+1 -6C人+1 +8=0,下面用数学归纳法证明此 性质.当n = 1时显然成立.假设当n = m时此恒等式是成立的.当n=m+l时，由式（7)得Cm+1+ Cm+2~ 6C m+l Cm +2+ 8 =C>+ (6Cmtl - C J2 - 6Cm+1(6C m+1 - C J+ 8 =C, + ^ -6CmtlCm + 8-0.情形2 *和y都为偶数.令 * = 2;^，y = 2y,，将 x = 2；)：,和 y= 2y,代人不定方程 a:2 + y2 - 6xy + 8 = 0 中，整理得 x丨+;^- 6*,;^ + 2 = 0，显然;t,和；y,的奇偶性相同.若;c,和y,都为偶数，令;《：, = 2*2,y,二2y2，再将*, = 2j c2和= 2y2代人不定方程4Z _ 6;^;^ + 2 = 0中，整理得知丨+ 4y〖-24»:2y2+ 2 = 0,显然4 1 (44+4H-24:«:2；k2),但4乜，产生矛盾.同理，若〜和:^同为奇数也会产生类似的矛盾，因此x和 y不可能都为偶数，即此定理得证.由定理3,可得到定理4和定理5.定理4设》為1,则不定方程8V- /- 8 = 0的所有正整数解为（X，y)= (C…,8S…).证明假设*和y为不定方程8x2-y2-8=0的正整数解•令u=;c，i;=;k + 3：v，即•* = “，y = r - 3u，再将x=u和y=t;-3u代入不定方程8a:2 - y2 - 8 = 0中得8u* ~ (v —3u)2 — 8 = 0,整理得u2+ v2-6uv+ 8=0.由定理 3 知 “ =C…，t; = C…+，，即 x = u = C…，y = t； - 3u = C…+1 - 3C… = 8B…•22福建师范大学学报（自然科学版)2021 年相反的，如果（*，y) = (C…，8B J,由式（11)和定理3得%C2…-(8B J2-8 = 8C^ -(C…+1-3C…)2-8 = -(C^ + C^+1-6C…C…+1+ 8) = 0,即定理得证.定理5设n >2,则不定方程；c2+y2 -34巧'+ 288 = 0的所有正整数解为（x,y)=证明假设x和y为不定方程V +/ - 34巧+ 288 = 0的正整数解.由于不定方程*2+/-+288 = 0 等价于（x + y)2 - 36xy + 288 = 0,即36 1(x+y)2，从而 61 (文+y) •令u = —,•" "6，即尤=6w —r，y=v，再将尤=6u —p和），=f代人不定方程a;2 + y2 _ 34xy + 288 = 0中得(6w - z；)2 + i；2 - 34(6w - v)i; + 288 二0，整理得u2+ v2-6uv + 8=0.由定理 3 知u = C...，i; = C...+1，即x = 6u - r= 6C... - (：...+| = (：..._,，y二i; = C (1)相反的，如果（*，y) = (C…_,，C…+I)，由定理3和式（7)得C, +C, -34C…_,C…+, + 288 =C l, + (6C… - C…_,)2 - 34C….,(6C… - C…_,) + 288 =36C^_, + 36C^ - 216C…_,C… + 288 =36K -6C…_,C… + 8) = 0,即定理得证.由定理5和定理3,可得到如下结果.定理6设n & 1，则不定方程;c2 + 36y2 - 3知' + 288 = 0的所有正整数解为（*，y)= (6C…，C…+,).证明假设a:和；y是不定方程a：2 + 36y2 - 36xy + 288 = 0的正整数解.令u=;«-y，i;=y，即再将x=“+j;和y=t;代人不定方程x2 + 36y2 — 36巧+ 288 = 0中得(u+ v)2+36v2-36(u + v)v+ 288 = 0,整理得u2 + v~—3Auv + 288 = 0.由定理 5 知u = C..._,，r = C...+1，即x = w + t)= C..._, + C...+, = 6C...，y= i; = C (1)相反的，如果（;<:，y) = (6C…,C…+1)，由定理3得(6C…)2 + 36C, -36(6C J C…+1 + 288 = 36(C X丨-6C…C…+1 +8) = 0，即定理得证.1.2以Lucas-cobalancing数列| C…|为整数解的不定方程结合式（14)、（16)和引理1，得到如下结果：定理7设《 & 2,则不定方程*2 - 8/ - 8y - 1 = 0的所有正整数解为（*，y) = (c…,6…).证明不定方程*2-872-8；^-1=0等价于*2-2(27+1)2=-1.令“=；»:，1；= 27+1，从而得 到Pel丨方程u2 - 2d2 二-1.P e ll方程的基础解为（《，0)= (1，1),由引理1(2)知P e ll方程的全部正整数解可由〇表出，其中(1+ V2 )2""' + (1 -V2 )2""*u =--------------------------,2 ，(1+V2 )2""' - (1 - V2 )2"-'v=---------------------------------------.i-fi同时，又由数列|c…丨和|6…|的比内公式得第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解23(1+72)2"-' + (1 -72)2n"(1+72)2n-' - (1 -72)2"-'--------------------------=262V2因此，A： = U = C…且y = ^ ，即定理得证.由定理7得到如下结果：定理8设y - a:三1(mod 3)且r a &1,则不定方程aT- 8广+ 16;cy + 8(；«- y) + 7= 0的所有正 整数解为 U，y) = (c n,/»…+|)•证明假设和y为不定方程的x2 - 8；y2+ 16a:y+ 8(x- y)+ 7 = 0正整数解.令u= ：»：，u= -—---，即：《 = “，7 = “ + 31；+1，再将；》：= “和7 = « + 3|；+1代人不定方程；>：2-872 + 16町 + 8(X-y)+ 7 = 0 中得u'-8(u + 3i;+ I)2+ 16u(u + 3t)+ 1) +S[u-(u+3v+1)] + 7= 0,整理得u2- Sv2-8i>-1= 0.由定理 7 知 it = c…，i; = 6…，即 x = u = c… , y = “ + 3j;+ 1= cn+ 36n+ 1= 6n+1•相反的，如果U, y) = (c…，6…+,)，由定理7和式（10)得cl ~ ^b2n+l +16c…6…tl + 8(c… -bn+l)+ 7 =4_ 8(c…+ + l)2+ 16c…(c… + 36… + 1) + 8[c… _ (c… + 36… + 1) ] + 7 =9c2n-72b2n-72bn-9 = 9(c2…-8b2n-8bn-1) = 0,即定理得证.由引理2和引理3得到如下结果.定理9 设n 3= 1,则不定方程a:2 + y2 - 6*y - 8 = 0的所有正整数解为（a:,y) = (cn，c n+1).证明不定方程;c2+y2- 6xy- 8 = 0 等价于不定方程（3y-x)2 - 2( 2y)2= 8，令 u= 3y-x，t; = 2y显然P e ll方程u2 -2t;2= l的基础解为（3, 2).令〇,，d,)为不定方程u2 -2«;2=8的基础解.由 引理3知，“丨和1)丨须满足不等式0<l u丨丨备4，0专&矣2，即-4矣U|矣4,0矣^^2，其中#0，从而基础解（U|,*;,)共有24种可能，其中只有这两种（±4, 2)是不定方程u2-2t;2=8的基 础解.由于（-4, 2)不是正整数解，则与它相关联的同一类解都不是正整数，那么不定方程u2-2i;2 =8满足条件的基础解只有一对，即（U|，V|)= (4, 2)，从而此不定方程的所有正整数解是由基础解 (u,,%) = (4, 2)和与它相关联的同一类解构成的.由引理2知，与基础解（Ul,力）=(4, 2)相关联的同一类解（u,,可由下列表示：、2、'34、、丨、"34、h-'20、U2J、2 3,U丨)、2 3y w,14, "34、v厂3 4)〔20)016) U3^、2 \K v2 )、2 3八1七182 yp o-p4)卜、+ 4^.；U J b3J U…-i J+ 3l,…-ly乂+丨、，34)M ，3“… + VUn+1J、23J U J y2un + 2>v n,24福建师范大学学报（自然科学版)2021 年因此 u…+, = 3u… + 4n+l 二2u… + •下面利用数学归纳法证明！^+1 = 3c n+l~ C n和\+i =:2cn+1 *当n = 1时，有 u2 = 3c2 - c, = 20 和2c2 = 14,此时成立.假设当n = m- 1时，有=3c m-c和、=2c…x^ n = mU m+\=3um+ =3(3cm -'C m-1)■^4(2c J =\lcm-3c m_!=■I7cm-3(6cm -C m+1)=:3c m+1 - c m,V m+ l=2um+ 3vm=2(3cm -C m-\)-^3(2c J =12cm-2cm m-,=12cm~2(6c,n - C m+1)=2cm+l，从而不定方程^-2^=8的所有正整数解为（u,t；)= (3c…+1-c…，2c…+,)(n&l)，因此= c…+,,3A： = y l；-u = 3c…+1 - (3c…+1 - c…) = c… .相反的，如果（*，；>〇= ((；…,^)，那么£；〖+匕-6£：人+|-8= 0.下用数学归纳法证明此性质.当r a = 1时恒等式显然成立，假设当r a = m时恒等式成立，当n=m+l时，由式（8)得C m+1 + C m+2 ~ 6cm+lC m+2 ~ 8 ~C m+l + (6cm+l~ C m)2~6cm+l(6cm+l~ C m)" 8 =C l,+ C m+1_6cm C m+l -8=0,即定理得证.由定理9,可得到定理10和定理11.定理10 设n&1，则不定方程8*2 -y2 - 8y - 8 =0的所有正整数解为U，y)= (C…,86…).证明假设*和y为不定方程8*2- 8y- 8 = 0的正整数解.令u=A：,2；= 3^+y + 4,即* = u，y=t i-3u-4,再将;c=u和 — 4 代入不定方程 - y2 — 8y - 8 = 0 中得8u2—(v —3u — 4)" - 8(u — 3u — 4) —8=0,整理得u2+ v2-6uv -8=0.由定理9知“=(：…，1；二(；…+1，即;《= “=(；…，7=1；-37-4=«；…+1-3(；…-4= 86….相反的，如果 (*, y) = (C…，86J，由定理 9 和式（12)得84-（8/〇2-8(86…) -8 =8c^ _ (cn+i _ 3c… _ 4)： _ 8(c…+i - 3cn - 4) - 8 =~ (cn+i+ cl ~+i-8) = 0,即定理得证.定理11 设n & 2,则不定方程*2+ /- 34外-288 = 0的所有正整数解为（*,y) = (c…_,，c…+1) •证明假设尤和y为不定方程W+ /-34*y -288 = 0的正整数解.由于不定方程V + /-34#-288 = 0 等价于方程U+ y)2- 36外-288 = 0，即36 I(* + y)2，从而 6 丨（a： + y) •令《=——1；=7,即》=:6(/_11，7 = 1；，再将：*::：611-1；和7=1)代人不定方程：*2+72_34；«：7_288 =0中6得(6u - v)1+ v2- 34(6u - v)v - 288 = 0,整理得u2+ v2- 6uv -8=0.由定理 9 知a = c...，t; = c...+1，B P尤=6a —i;= 6c... - c...+1 = y = r = c (1)相反的，如果U，c…+1)，由定理9和式（8)得C l-\+ C l+\~ ^C n-\C n+\ ~288 =(6cn-c n+l)2 + c2n+l - 34(6cn - c…+1)c n+1 - 288 =第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解2536(4 + 4+1 - 丨- 8) = 〇，即定理得证.结合定理9和定理11，可得到如下结果.定理12假设n > 1，则不定方程;c2 + 36y2 - - 288 = 0的正整数解为（i，y)= (6c n，(:n+1).证明假设a:和y为不定方程;c2 + 36y2 - 36xy- 288 = 0的正整数解•令u=A：-y，i；=y,即尤= a +汐，y=汐，再将a；=w+i;和y=i;代人不定方程；c2 + 36y2 - 36xy - 288 = 0中得(u + v)2 + 36v2- 36(a + v)v- 288 = 0,整理得w, + iT - 34iu> - 288 = 0.由定理 11 知 u = c…_i，i; = c…+i，艮fU = u + i; = c…_i+ c…+i = 6c…，y = i; = c…+1 •相反的，如果（％,y) = (6c…, c…+1)，由定理9得(6c J2 + 36c^+1 -36(6c j c n+1- 288 =36(4 + g+1 - 6c…c n+1 -8) = 0，即定理得证.参考文献：[1] BEHERA A, PANDA G K. On the square roots of triangular numbers [ J]. Fibonacci Quarterly, 1999, 37 (2) ：98-105.[2] PANDA G K, RAY P K. Cobalancing numbers and cobalancers [ J]. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005, 2005 (8)：1189-1200.[3] G〇ZRRI G K. On Pell, Pell-Lucas, and balancing numbers [J]. Journal of Inequalities and Applications, 2018, 2018(1): 1-16.[4] DASH K K, OTA R S, DASH S. Sequence t-balancing numbers [ J]. Int J Contemp Math Sciences, 2012, 7 (47)：2305-2310.[5 ] KARAATLI 0, KESKIN R. On some Diophantine equations related to square triangular and balancing numbers [ J ]. J Algebra Number Theory, Adv Appl, 2010, 4 (2)：71-89.[6] KESKIN R, KARAATLY 0. Some new properties of balancing numbers and square triangular numbers [ J]. Journal of Integer Sequences, 2012, 15 (1)：1-13.[7] PANDA G K, RAY P K. Some links of balancing and cobalancing numbers with Pell and associated Pell numbers [ J].Bulletin of the Institute of Mathematics, Academia Sinica (New Series) , 2011, 6 ( 1) ：41-72.[8] KOSHY T. Pell and Pell-Lucas numbers with applications [M].New York：Springer, 2014：31-55.(责任编辑：杨柳惠)。
关于正整数幂的多重卷积公式
关于正整数幂的多重卷积公式
林杨;郑德印
【期刊名称】《杭州师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(008)005
【摘要】若k个正整数的和为n,那么这k个正整数积的r次幂的多重和就是正整数的r次幂的k重卷积.使用生成函数方法首先得到了一次幂和二次幂的k重卷积的求和公式,然后借助于导数算子和第二类Stirling数给出了一般的r次幂的k重卷积的求和公式.
【总页数】5页(P327-330,349)
【作者】林杨;郑德印
【作者单位】杭州师范大学理学院,浙江杭州,310036;杭州师范大学理学院,浙江杭州,310036
【正文语种】中文
【中图分类】O157.1
【相关文献】
1.关于正整数n的r次幂因子的几个渐近公式 [J], 金晶;朱伟义
2.正整数n的k次幂部分数列的几个渐近公式 [J], 刘兴茹;王艳青;赵珍珍
3.涉及Fibonacci数和Lucas数的多重卷积公式 [J], 王悦
4.一个组合数公式与正整数方幂的和 [J], 李太新
5.多重卷积公式及其应用 [J], 毛惠良
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高斯求和计算公式
高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。
1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。
用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。
1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。
解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。
则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。
高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。
在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。
Fibonacci数与Lucas数平方组合的一组恒等式
研 究 ． 为 Ｆｂ ｎｃ ｉ 与 Ｌ ｃｓ数 的 研 究提 供 了新 的 思 路 ． 并 ｉ ａｃ 数 ｏ ｕａ
关键 词：ｉＯ ａｃ 数；ｕａ Ｆｂ ｎｃｉ Ｌ ｃｓ数 方 平 恒等 式 中 图分 类号 ： ５ ． 文 献标识 码 ： 文章编 号 ：６ ４ Ｏ ３ （０ ７ ０ — ０ １ ０ ０１６４ Ａ １ ７ 一 ０ ３ ２ ０ ）４ ０ ０ — ３
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其中 ∑ 表示 切满 ＋ ＋ ＝ 的 负 数组 ｄ …，） ｍ为 整 对一 足ｄ … ｄ ｎ 非 整 ，， 求和， 正 数． ＋ ｍ ２
关 于 Ｆｂ ｃ 数和 Ｌ ｃｓ 的计 算 公式 的研 究 ， ｉｏ ｉ ｕａ 数 已得到 了大 量 的结论 ［］这里 利 用 Ｆｂ ｎ ｃｉ １， － ９ ｉｏ Ⅱｃ 数 与 Ｌ ｃ ｓ 的生成 函数 及其表 达式 ， 到 了下 列积和 式 的计 算 公式 ： ｕａ 数 得
２ ２ ２ ２ ２
ｄ＋ ｌ ＋… ＋ ． “ ｄ ＝
Ｆｂ ｎｃ ｉ 列｛ 和 Ｌ ｃｓ数列 ｛ （＝ ，，， ） ｉｏ ａｃ 数 ｝ ｕａ ｝ｎ Ｏ１ … 的表 达式分 别 为： ２
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科研热词 推荐指数 fibonacci数 6 merrifield-simmons指标 5 四元素链 2 hosoya指标 2 fibonacci数列 2 通项公式 1 递推关系 1 译码结构 1 组合数 1 素因数 1 猜想 1 标准分解式 1 斐波那契数列 1 指数 1 恒等式 1 四角链 1 同余 1 初等方法 1 分段式电流舵 1 三角链 1 三元素链 1 smarandache-pascal数列 1 dac 1
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风险中性测度 风险中性 频谱 顶推力 韦伯定律 鞅测度 面积向量 非线性阈值 非线性边值 非线性滤波 非线性方程 非线性控制函数 非灰辐射 非正则奇性全特征型偏微分方程 非对称碰撞 非分歧扩域 非光滑边界 静电除尘器 静止轨道卫星 隧道开挖 隙孤子 隐 markov模型 随机时滞神经网络 随机图 随机债务 随机介质 除数函数d(n) 除数函数 阶乘进制 防范措施 防抱制动系统 阈图 闸门 间歇性排气噪声 锚索抗滑桩 锚索倾角 错层计算方法 铬盐生产系统 钻井工程 钢筋混凝土 钉扎力 金属氧化物变阻器 量纲分析 重置期权 重对数律 重力异常 采收率 部分因析设计 逼近. 逻辑系统ln* 逻辑系统(￡)*n 速度前瞻 通解公式. 通用楔形管片
Fibonacci数列与Fibonacci行列式
Fibonacci数列与Fibonacci行列式
王红;张家宏
【期刊名称】《齐齐哈尔大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1999(015)004
【摘 要】给出Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列通项公式的行列式证法，以及在特殊行列
式中的应用。
【总页数】4页(P49-52)
【作 者】王红;张家宏
【作者单位】齐齐哈尔大学数学系;齐齐哈尔市实验中学
【正文语种】中 文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.广义Fibonacci数列的行列式计算 [J], 关夏云
2.Fibonacci数列与对角形行列式 [J], 杨长恩
3.Fibonacci数列的通项与行列式的关系 [J], 刘学鹏;李兆廷
4.关于Fibonacci数列和Lucas数列的几个行列式 [J], 张福玲
5.Fibonacci数列的行列式性质 [J], 王月山
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【国家自然科学基金】_递推公式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
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分数阶系统 分数阶微积分 分块矩阵 光谱 信道估计 伪zernike矩 亚像元 二维直方图区域斜分 中心焦点 不可靠多项式 三次系统 一阶常微分方程组 z变换 tustin变换 taylor级数法 poisson过程 lugre摩擦模型 kalman滤波 h∞滤波 hill方程 gerber-shiu折现罚金函数 3-d时域有限1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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科研热词 推荐指数 支持向量机 5 分类 5 模式识别 3 光滑 3 递推公式 2 破产概率 2 均值 2 光滑函数 2 风险模型 1 非齐次序列 1 随机摄动 1 递推算法 1 递推 1 路径依赖 1 误码率 1 计数函数 1 裂纹扩展 1 色散介质 1 自适应提取 1 自由因子 1 腐蚀:马尔可夫过程 1 置信下限. 1 纤维薄板 1 红利 1 管线 1 等离子俸 1 移位算子 1 离散灰色模型 1 磁化等离子体 1 破产时 1 破产后赤字 1 破产前盈余 1 破产前理赔次数 1 矢量球函数 1 矢量拟合技术 1 矢量场 1 疲劳寿命 1 疲劳 1 焦点量 1 灰色系统 1 桥梁工程 1 样本空间排序法 1 最小路递推分解算法:网络可靠度 1 时域有限差分方法 1 无套利原理 1 数字平方和函数 1 控制点 1 捷联惯导系统 1 拉普拉斯变换 1 扰动的sparre andersen盈余过程 1 扩展集员滤波 1 循环载荷 1
数列的递推与递归
数列的递推与递归数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域。
而数列的递推与递归是数列研究中的两个重要概念。
本文将探讨数列的递推和递归的含义、特点以及其应用。
一、数列的递推数列的递推是指通过前一项或前几项来确定后一项的方法。
递推关系通常是数列的定义式，可以通过运算操作或公式得出。
递推关系常见的形式有线性递推和非线性递推。
1.1 线性递推线性递推是指数列中的项与前一项之间存在线性关系。
常见的线性递推关系是通过数列的差分算子来表示的。
例如，一个数列的线性递推关系为an = an-1 + d，其中an表示第n个项，d为公差。
1.2 非线性递推非线性递推是指数列中的项与前一项之间存在非线性关系。
这种关系常见于一些特殊的数列，如Fibonacci数列和Lucas数列。
非线性递推的定义通常需要借助递推关系表达式或者递推公式。
二、数列的递归数列的递归是指通过前面的项来定义后一项的方法。
递归关系通常是用数列前一项的表达式来表示的。
递归关系是数列的重要定义方式，可以描述数列的规律与特性。
2.1 线性递归线性递归是指数列的每一项都由前面的有限个项来确定的递归关系。
例如，斐波那契数列就是一个线性递归数列，其递推关系为Fn = Fn-1+ Fn-2，其中F0 = 0，F1 = 1为初始条件。
2.2 非线性递归非线性递归是指数列的每一项都由前面的无限项来确定的递归关系。
这种递归关系常见于一些特殊的数列，如康托尔集合和自然数集合等。
三、递推与递归的应用递推与递归在数学中有广泛的应用，特别是在数列和函数的研究中起到重要作用。
3.1 数列模型递推和递归可以用来建立数列的模型，通过递推或递归关系可以简洁地描述数列的变化规律。
这种模型常用于解决实际问题中的数学建模和计算机算法等领域。
3.2 函数拟合递推和递归可以应用于函数拟合问题。
通过数列的递推或递归关系，可以得到一组函数值，从而拟合出数学函数表达式，用来描述实际问题中的规律和趋势。
四柱汉诺塔问题数学公式
四柱汉诺塔问题数学公式摘要：1.四柱汉诺塔问题的概述2.四柱汉诺塔问题的数学公式3.四柱汉诺塔问题的算法解决方案4.四柱汉诺塔问题的应用示例正文：一、四柱汉诺塔问题的概述四柱汉诺塔问题是一个数学问题，它的起源可以追溯到法国数学家爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas）在1883 年提出的汉诺塔问题。
四柱汉诺塔问题的具体描述是：有三根柱子，其中一根柱子自底向上串着尺寸渐小的多个圆盘，遵循以下规则：一次只能移动一个圆盘；大圆盘不能放在小圆盘上面。
请问最少需要移动多少步，才能将所有圆盘移到另一根柱子上？二、四柱汉诺塔问题的数学公式为了解决四柱汉诺塔问题，数学家们提出了许多算法和公式。
其中，最著名的公式是斐波那契数列。
斐波那契数列是一个由0 和1 开始的数列，后续的每一项都是前面两项的和。
这个数列与四柱汉诺塔问题的解法有什么关系呢？假设有n 个圆盘需要移动，如果我们将问题拆解为子问题，即将n 个圆盘从第一根柱子移动到第二根柱子，然后再移动到第三根柱子，最后再移动到第四根柱子，那么移动每个圆盘所需的步数可以用斐波那契数列来表示。
例如，当n=1 时，移动一个圆盘需要1 步；当n=2 时，移动两个圆盘需要3 步；当n=3 时，移动三个圆盘需要6 步。
依次类推，我们可以得到移动n 个圆盘所需的步数。
三、四柱汉诺塔问题的算法解决方案虽然斐波那契数列可以给出四柱汉诺塔问题的解法，但是随着n 的增大，斐波那契数列的增长速度会非常快，这使得问题变得非常困难。
为了解决这个问题，数学家们提出了许多高效的算法，如分治法、动态规划法等。
其中，最著名的算法是Stewart 算法。
Stewart 算法是一种基于递归的思想，可以将四柱汉诺塔问题分解为子问题，从而降低问题的复杂度。
通过Stewart 算法，我们可以在较短的时间内求解出移动n 个圆盘所需的最少步数。
四、四柱汉诺塔问题的应用示例四柱汉诺塔问题不仅在数学领域具有重要的理论意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。