2019学年北京市昌平区中考二模数学试卷【含答案及解析】
2019学年北京市昌平区中考二模数学试卷【含答案及
解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题
1.
小超同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条
数是1650000 ，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2.
如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示 -3的相反数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3.
用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（ ）
4.
四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况
下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
5.
如图，直线AB∥CD，Rt△DEF如图放置，∠EDF=90°，若∠1+∠F=70°，则∠2的度数
为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
6.
五一期间（5月1日-7日），昌平区每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示
最高温度的这组数据的中位数是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
7.
如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
8.
小明在学习之余去买文具，打算购买5 支单价相同的签字笔和3 本单价相同的笔记本，
期间他与售货员对话如下：
请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付（ ）
A．10元 B．11元 C．12元 D．13元
9.
如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的
长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，
∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
10.
如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为
BD．点P
与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个
点也随之停止．设
点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为
（ ）
二、填空题
11. 分解因式：m－9m= ．
12. 若关于x的一元二次方程k－2x+1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
13.
已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，
点E为AB的中点，若EF=2，则BD= ．
14.
把方程变形为的形式，其中h，k为常数，则
．
15.
在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高0．9m，球刚好打过网，而且落在
离网6 m的位置上，则球拍击球的高度h = m．
16.
一张直角三角形纸片，其中有一个内角为，最小边长为2，点D、E分别是一条直
角边和斜边的中点，先将纸片沿DE剪开，然后再将两部分拼成一个四边形，则所得四边
形的周长是 ．
三、计算题
17. 计算：．
四、解答题
18.
如图，，，，．求证：．
19. 求不等式≤的负整数解．
20. 已知，求代数式的值．
21.
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=－的图象交于A
（－1，m），B（n，－3）两点，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点P是x轴上一点，且△BOP的面积是△BOC面积的2倍，求点P的坐标．
22.
自从2012年9月1日昌平区首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿
色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便．下表是行驶15公里以内普
通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：
23.
车型起步公里数起步价格超出起步公里数后的单价普通燃油型313元2．3元/公里纯
电动型38元2元/公里td
24.
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线交于点O．将△BCD沿直线BD翻折，得
到△BED．
（1）画出△BED，连接AE；
（2）求AE的长．
25.
我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，
为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，
且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是____________；
（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数．
26.
如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，
．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
27.
【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα=，求sin2α
的值．
小娟是这样解决的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα=
= ．
易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB=x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含
x的式子表示），可求得sin2α== ．
【问题解决】
已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ = ，求sin2β的值．
28.
已知抛物线经过原点O及点A（-4，0）和点B（-6，3）．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图1，将直线沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平
移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式；
（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物
线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离．
29.
如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线交于点O，∠BAD的平分线交BC
于E、交BD于F，分别过顶点B、D作AE的垂线，垂足为G、H，连接OG、OH．
（1）补全图形；
（2）求证：OG=OH；
（3）若OG⊥OH，直接写出∠OAF的正切值．
30.
在平面直角坐标系xoy中，给出如下定义：形如y=a+a（x－m）与y=a
－a（x－m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．
（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ；
（2）判断二次函数y=－x与y=－3x+2的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a
与m的值，如果不是，请说明理由；
（3）若一对兄弟抛物线各自与轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物
线的对称轴为直线x=2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】
第25题【答案】
第26题【答案】
第27题【答案】
第28题【答案】
第29题【答案】
【精品中考数学】2019年北京市初三数学二模分类汇编-第15讲 新定义压轴题
【2019·房山二模】1．对于平面直角坐标系中的点P 和⊙C，给出如下定义：若⊙C 上存在点A ，使得∠APC=30°，则称P 为⊙C 的半角关联点.当⊙O 的半径为1时， （1）在点D （12，-12），E （2，0），F （0，32）中，⊙O 的半角关联点是__________； （2）直线l ：32y x =--交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点P （m ，n ）是⊙O 的半角关联点，求m 的取值范围. 【答案】(1) D 、E(2) (23,0),(0,2)M N -以O 为圆心,ON 长为半径画圆，交直线MN 于点G ， 可得 m ≤0设小圆⊙O 与y 轴负半轴的交点为H ， 连接OG ∵ M （23，∴ OM =23，tan∠=3∴ ∠∴ △ ∴ GH ∴ 点G 3x -3-，∴ m ≥3- 3-≤第15讲 新定义压轴题⊙C ，给出如下定义:P 为图形M 上任意一点，Q 为⊙C 上任意一点，如果P ,Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M 到⊙C 的“圆距离”，记作d （M -C ）. （1）点C 在原点O 时，①记点A (4,3)为图形M ,则d （M -O ）=______；②点B 与点A 关于x 轴对称，记线段AB 为图形M ,则d （M -O ）=______；③记函数4y kx =+（0k >）的图象为图形M ，且d （M -O ）1≤，直接写出k 的取值范围；（2）点C 坐标为（t ,0）时,点A ，B 与（1）中相同，记∠AOB 为图形M ，且d （M -C ）=1，直接写出t 的值.【答案】解：（1）①4 ②3③k （2）10t=2t=3或 【2019·西城二模】3．对于平面内的∠MAN 及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距离分别为d1，d2，称12d d 和21d d 这两个数中较大的一个为点P 关于∠MAN 的“偏率”.在平面直角坐标系xOy 中，（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点.①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于∠MON 的“偏率”为____________；②若第一象限内点Q （a ，b ）关于∠MON 的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为____________； （2）已知点A （4，0），B （2，，连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）. 若点C 关于∠AOB 的“偏率”为2，求点C 的坐标；（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为（t ，4），⊙T 是以点T 为圆心，半径为1的圆. 若⊙T 上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF 的“偏率”t 的取值范围. 【答案】解：（1）①5； ②a=b ；（2）∵点A （4,0），B （2,23），∴OA=4，OB=22+(23)2=4,AB=(4-2)2+(23)2=4 ∴OA=OB=AB∴△OAB 是等边三角形 ∴∠OAB=∠OBA=60°过点C 作CD ⊥OA 于点D ，CH ⊥OB 于点H ，如图， 则∠CDA=∠CHB =90° ∴△ACD∽△BCH ∴CD CH =CA CB. ∵点C 关于∠AOB 的“偏率”为2， ∴CD CH =2或CHCD =2. 当CD CH =2时，则CACB =2. ∴CA=23AB=83.∴DA=CAcos60°=43，CD=CAsin60°=433,∴OD=OA -DA=83.∴点C 的坐标为（83，433）同理可求，当CH CD =2时，点C 的坐标为（103，233）。
北京市2019年中考二模数学试卷精选汇编：填空压轴题(含答案)
填空压轴题【2019东城二模】16. 运算能力是一项重要的数学能力。
王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试。
下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩．(气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高．）①在5位同学中，有_______位同学第一次成绩比第二次成绩高；②在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是________．（填“甲”或“乙”）16. 3，甲【2019西城二模】16. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc（a，b，c，d都为正整数），即ba<x<dc，则b+da+c是x的更精确的不足近似值或过剩近似值. 已知π=3.14159···，且3110<p<165，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是4715，它是π的更为精确的不足近似值，即4715<p<165. 那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是.【2019海淀二模】16．右图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有a+b=c+d=17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为___________．16．1【2019朝阳二模】16．某公园门票的收费标准如下：260【2019丰台二模】16. 学校运动会额立定跳远和1分钟跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为参加这两项比赛的10名学生的预赛成绩：在这10名学生中，同时进入两项决赛的只有6人，进入立定跳远决赛的有8人，如果知道在同时进入两项决赛的6人中有“3508号”学生，没有“3307号”学生，那么a 的值是。
北京市2019年中考二模数学试卷精选汇编：一元二次方程专题(含答案)
一元二次方程专题【2019东城二模】20.关于x 的一元二次方程.012=-+-m mx x（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求m 的取值范围. .分分）（分方程有两个实数根（）（）（54.m 3,1-m ，3若方程有一根大于41-,10)1)(1(01-220)2-44m -1-m 4-120.212222 >∴>∴==∴=+--∴=+-∴≥=+==∆m x x m x x m mx x m m m【2019西城二模】20. 已知关于x 的一元二次方程.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于-2且小于0，k 为整数，求k 的值.【2019海淀二模】20．关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k --+-=，其中0k <． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；x 2-k +5()x +3k +6=（2）当1k =-时，求该方程的根．20．（本小题满分5分）解：（1）依题意可知，22(21)4(1)54k k k ∆=---=-,∵0k <,∴0D>．∴方程有两个不相等的实数根.（2）当1k =-时，方程为230x x +=．解得123,0x x =-=．【2019朝阳二模】20．关于x 的方程220mx mx m n -++=有两个实数根．（1）求实数m ，n 需满足的条件；（2）写出一组满足条件的m ，n 的值，并求此时方程的根．20．解：（1）∵关于x 的方程220mx mx m n -++=有两个实数根，∴0≠m ．…………………………………………… 1分2(2)4()m m m n ∆=--+40.mn =-≥……………………………………………………2分∴0≤mn ．∴实数m ，n 需满足的条件为0≤mn 且0≠m ．…………………… 3分（2）答案不唯一，如：1=m ，0=n ． ………………………………4分此时方程为2210x x -+=．解得121==x x ． ……………………………………………………5分【2019丰台二模】20．已知关于x 的一元二次方程 (m -2)x 2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根.(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根.20. 解：（1）由题意，得220,(2)4(2)(3)0.m m m m -≠⎧⎨--+>⎩ ∴62m m <≠且. ............... 3分（2）由题意，得5m =.当5m =时，一元二次方程为231080x x ++=. 解得1242,.3x x =-=- ..................5分【2019石景山二模】20．已知关于x 的一元二次方程()22310m x x -+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m ，并求出此方程的根．【2019门头沟二模】19．已知：关于x 的一元二次方程2420x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．【2019房山二模】20. 已知关于x 的一元二次方程mx 2+nx -2=0.（1）当n =m -2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的m ，n 的值，并求出此时方程的根.【2019顺义二模】20. 已知关于x 的一元二次方程2(3)30mx m x +--=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．【2019平谷二模】20．已知关于x 的一元二次方程221(1)04x k x k +++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小整数时，求此时方程的解．【2019昌平二模】20．已知：关于x 的一元二次方程2410x x m -++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根.。
北京市2019年中考二模数学试卷精选汇编：几何综合专题(含答案) (1)
几何综合专题 【2019东城二模】27.如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A,C 重合)，连接BP ， 过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,连接DE,CE ．（1）求证：BD=CE ；（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点； （3）若△ABC 的边长为1，直接写出EF 的最大值.27.（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,∴△ADE 是等边三角形. 在等边△ABC 和等边△ADE 中 AB ＝ACAD ＝AE∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAD ＝∠CAE ……………………………………………………1分 在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE （SAS ）……………………………2分 ∴BD=CE ……………………………………3分（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ∴∠G ＝∠BDF∵∠ADE ＝60°，∠ADB ＝90° ∴∠BDF ＝30°∴∠G ＝30°……………………………………………………4分 由（1）可知，BD ＝CE ，∠CEA ＝∠BDA∵AD ⊥BP∴∠BDA ＝90°∴∠CEA ＝90° ∵∠AED ＝60°， ∴∠CED ＝30°=∠G ，∴CE ＝CG∴BD ＝CG ……………………………………………………5分 在△BDF 和△CGF 中 BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CGF （AAS ） ∴BF ＝FC即F 为BC 的中点．……………………………………………………6分 （3）1……………………………………………………7分【2019西城二模】27. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF =AE ，连接DE ，DF ，EF . FH 平分∠EFB 交BD 于点H . （1）求证：DE ⊥DF ； （2）求证：DH =DF ：（3）过点H 作HM ⊥EF 于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.EBAE【2019海淀二模】27．已知C 为线段AB 中点，ACM α∠=．Q 为线段BC 上一动点（不与点B 重合），点P 在射线CM 上，连接PA ，PQ ，记BQ kCP =． （1）若60α=︒，1k =，①如图1，当Q 为BC 中点时， 求PAC ∠的度数； ②直接写出PA 、PQ 的数量关系；（2）如图2，当45α=︒时．探究是否存在常数k ，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．图1 图2 27．（本小题满分7分）（1）①解：在CM 上取点D ，使得CD =CA ，连接AD .∵ 60ACM ∠=︒， ∴△ADC 为等边三角形． ∴60DAC ∠=︒.∵C 为AB 的中点，Q 为BC 的中点， ∴AC =BC=2BQ . ∵BQ =CP ,∴AC =BC=CD =2CP . ∴AP 平分∠DAC . ∴∠PAC =∠PAD =30°. ② PA =PQ .（2）存在k =. 证明：过点P 作PC 的垂线交AC 于点D . ∵45ACM ∠=︒，∴ ∠PDC =∠PCD =45°. ∴PC =PD ，∠PDA =∠PCQ =135°.M∵CD=，BQ=，∴CD= BQ.∵AC=BC，∴AD= CQ.∴△PAD≌△PQC.∴PA=PQ.【2019朝阳二模】27．∠MON=45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB=1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA=1，OP，依题意补全图形；（2）若OP AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA 的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA=1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．【2019丰台二模】27. 如图，在正方形ABCD中， E为BC边上一动点（不与点B，C重合），延长AE到点F，连接BF，且∠AFB=45°．G为DC边上一点，且DG =BE，连接DF．点F关于直线AB的对称点为M，连接AM，BM．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：∠DAG =∠MAB；（3）用等式表示线段BM，DF与AD的数量关系，并证明．27. 解：（1）略；.........................1分（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD, ∠ABC =∠BAD=∠ADG=90°.∵BE=DG，∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE=∠DAG.∵点F关于直线AB的对称点为M,∴∠BAE=∠MAB.∴∠DAG=∠MAB. ......................3分（3）222BM DF AD+=. ......................4分2证明：连接BD.延长MB交AG的延长线于点N.∵∠BAD=90°, ∠DAG=∠MAB,∴∠MAN=90°.由对称性可知∠M=∠AFB=45°，∴∠N=45°.∴∠M=∠N.∴AM=AN.∵AF=AM,∴AF=AN.∵∠BAN=∠DAF,∴△BAN≌△DAF.∴∠N=∠AFD=45°.∴∠BFD=90°.∴222+=.BF DF BD∵2=, BM=BF,BD AD∴222+=. .........................7分2BM DF AD【2019石景山二模】27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G.（1）求证：AF=BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明.C【2019门头沟二模】27．如图，在等边三角形ABC 中，点D 为BC 边上的一点，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接AD 、DE ，在AD 上取点F ，使得∠EFD = 60°，射线EF 与AC 交于点G ． （1）设∠BAD = α，求∠AGE 的度数（用含α的代数式表示）； （2）用等式表示线段CG 与BD 之间的数量关系，并证明．AB CD EFG【2019房山二模】27. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=4∠BAC. 延长BC到点D，使CD=CB，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.(1) 依题意补全图形；(2) 求证：∠B=2∠BAD；(3) 用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明.A B。
北京市昌平区2019届高三数学5月综合练习(二模)试题理(含解析)
依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838， ｜BF｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138， a＝1988， a＋c＝2138， c＝2138－1988＝150， 椭圆的离心率为： e c 150 3 ，
a 1988 40 选 B.
【点睛】本题主要考查椭圆的实际应用，椭圆离心率的求解，近似计算的方法等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发 射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，
如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为 400 公 里.已知月球的直径为 3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为
f
(2)
1 e2
，
作出函数 f (x) 的图象如下图，
y
f (x) 与 y m 的图象有 6 个交点，须 0 m
1 e2
，表示为区间形式即
0,
1 e2
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查导函数研究函数图像的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学
思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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V ABC 的面积为 S＝ 1 bc sin A 1 2 2 5 3 10 ＝3.
2
2
10
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形 面积公式的应用等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力.
12.2019 年 3 月 2 日，昌平 “回天”地区开展了 7 种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”
2019北京昌平区高三二模数 学(文)
2019北京昌平区高三二模数 学(文)2019.5本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合2{|9}U x x Z =?，集合{2,2}A =-，则U A =ð(A) {1,0,1}- (B) {1,1}-(C) [1,1]- (D) (1,1)-（2）已知复数1(1i)z a =-++（i 为虚数单位，a 为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数Z 的虚部可以是(A)1i 2- (B) 1i 2(C) 12- (D)12（3）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是 (A) 1-(B)12(C) 1(D)2（4）已知实数x ∈R ，则“0x <”是“ln(1)0x +<”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（5）在平行四边形ABCD 中，AB CD //，(2,2),(2,1)AB AD =-=uu u r uuu r ，则AC DB ⋅=uuu r uu u r(A) 3-(B) 2(C) 3(D) 4（6）若,x y 满足30,230,,x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩且2x y +的最小值为1，则实数m 的值为(A) 5- (B) 1- (C)1 (D) 5 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(B)(C) (D)3（8） 一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为 (A) 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数 (B) 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数 (C) 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关 (D) 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知幂函数()f x x =α（α是实数）的图象经过点，则(4)f 的值为.（10）为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园. 针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查. 已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是．(11) 能说明“设,a b 为实数，若220a b +≠，则直线10ax by +-=与圆221x y +=相切”为假命题的一组,a b 的值依次为___________.（12）等差数列{}n a 满足25968a a a a ++=+，则5a =_____;若116,a =则n =______时，{}n a 的前n 项和取得最大值．（13）已知双曲线221:13y C x -=，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为1，则抛物线2C 的方程为_________________.（14）已知函数()cos()(0,0)f x x =+><ωϕωϕ的最小正周期为π，且π()()3f x f ≥对任意的实数x 都成立，则ω的值为_____;ϕ的最大值为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）在等差数列{}n a 中，28a =，且3524a a a +=.（I ）求等差数列{}n a 的通项公式；（II ）设各项均为正数的等比数列{}n b 满足41b a =，64b a =，求数列{}n n b a -的前n 项和n S .（16）（本小题13分）在ABC △中，4AC =，BC =，2π3BAC ∠=. （I ）求ABC ∠的大小；（II ）若D 为BC 边上一点，AD =DC 的长度.（17）（本小题13分）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试 . 现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如下：《国家学生体质健康标准》的等级标准如下表. 规定：测试数据≥60，体质健康为合格.（I ）从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；（II ）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率； （III ）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为112,X S ，高二学生测试数据的平均数和方差分别为222,X S ，试估计12X X 与、2212S S 与的大小 . （只需写出结论）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，PC PD ==，E 为PB 中点．（I ）求证：PD //平面ACE ； （II ）求证：PD ⊥平面PBC ； （III ）求三棱锥E ABC -的体积.（19）（本小题13分）已知椭圆()2222+=1>>0x y G :a b a b ，经过点(0,1)B .设椭圆G 的右顶点为A ，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于,P Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M .（I ）求椭圆G 的标准方程；（II ）是否存在直线l ，使得BOP ∆的面积是ΔBMQ 的面积的3倍？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（20）(本小题14分)已知函数2()[(1)1]e x f x x a x =+++.（I ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行，求a 的值； （II ）若()f x 在1x =-处取得极大值，求a 的取值范围；（III ） 当2a =时，若函数()()1g x mf x =-有3个零点，求m 的取值范围.（只需写出结论）2019北京昌平区高三二模数学(文)参考答案1.【答案】A【解析】解：∵集合U={x∈Z|x2＜9}={x∈Z|-3＜x＜3}={-2，-1，0，1，2}，集合A={-2，2}，∴∁U A={-1，0，1}．故选：A．求出集合U，集合A，补集定义能求出∁U A．本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵复数z=-1+a（1+i）=-1+a+ai在复平面内对应的点位于第二象限，∴，即0＜a＜1．故选：D．化z为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部小于0且虚部大于0求得a的范围，则答案可求．本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 a i循环前 2 1第一圈是 2第二圈是-1 3第三圈是 2 4…第9圈是 2 10第10圈否故最后输出的a值为2．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出，即可得解．本题主要考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：“ln（x+1）＜0”⇔0＜x+1＜1⇔-1＜x＜0．∴“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件．故选：B．“ln（x+1）＜0”⇔0＜x+1＜1，解出即可判断出结论．本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，==（4，-1），==（0，-3），则=4×0+（-1）（-3）=3．故选：C．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力．6.【答案】B【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图所示：，由，解得：A（2m+3，m），由z=2x+y得：y=-2x+z，显然直线过A（2m+3，m）时，z最小，∴4m+6+m=1，解得：m=-1，故选：B．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，由z=2x+y得：y=-2x+z，显然直线过A（1，2-m）时，z最小，代入求出m的值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7.【答案】D【解析】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故选：D．由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8.【答案】C【解析】解：每个人得的总分是6×5=30，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶函数，与小组人数无关，故选：C．先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．本题主要考查合情推理的应用，计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键．9.【答案】2【解析】解：幂函数f（x）=xα的图象过点，所以f（2）=2α=，解得α=，所以f（x）=，则f（4）==2．故答案为：2．由幂函数f（x）=xα的图象过点求出α的值，写出f（x）的解析式，再求f（4）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．10.【答案】300【解析】解：这次抽样调查抽取的总人数是=300．故答案为：300．根据分层抽样是按比例抽样列式可得．本题考查了分层抽样，属基础题．11.【答案】1，1（答案不唯一）【解析】解：设a，b为实数，若a2+b2≠0，则直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相切，若为真命题，可得=1，即为a2+b2=1，若为假命题，只要a2+b2≠1，要说明“设a，b为实数，若a2+b2≠0，则直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相切”为假命题的一组a，b的值依次可为1，1．故答案为：1，1．由直线和圆相切的条件：d=r，求得a2+b2=1，若为假命题，只要a2+b2≠1，取值a=1，b=1，即可．本题考查命题的真假判断，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】4 6【解析】解：等差数列{a n}满足a2+a5+a9=a6+8，所以3a1+13d=a1+5d+8，即a5=4，a1=16，所以4d=a5-a1=4-16，所以d=-3．令，解得n=6，所以{a n}的前6项和取得最大值．故填：4，6．将a2+a5+a9=a6+8，中的项用a1和d表示，即可得到a5，=4，又因为a1=16，可以计算数列{a n}的正项，即可得到{a n}的前n项和取得最大值时的n．本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和的最值问题，属于中档题．13.【答案】x2=8y【解析】解：双曲线，的渐近线：x±y=0，抛物线的焦点坐标为：（0，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，可得：=1，解得p=4，抛物线C2：x2=8y．故答案为：x2=8y．求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．14.【答案】2【解析】解：∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，φ＜0）的最小正周期为=π，∴ω=2．∵对任意的实数x都成立，∴cos（ωx+φ）≥cos（+φ）恒成立，故cos（+φ）=-1，故+φ=2kπ+π，k∈Z，∴φ=+2kπ，故φ的最大值为-，故答案为：2；-．由题意可得余弦函数的最小正周期为为=π，可得ω的值；再根据题意，cos（+φ）=-1，结合φ＜0求得φ的最大值．本题主要考查余弦函数的周期性和最小值，函数的恒成立问题，属于基础题．15.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由已知，解得，所以a n=4n（n∈N*）．…．（5分）（Ⅱ）设数列{b n}的公比为q，由已知，解得，或，（舍），所以b n=，所以b n-a n=2n-2-4n．S n=（2-1-4）+（20-8）+（21-12）+…+（2n-2-4n）=（2-1+20+21+…+2n-2）-（4+8+12+…+4n）==．…．（13分）【解析】（Ⅰ）利用等差数列{a n}的通项公式结合已知条件求出首项与公差然后求解通项公式；（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列{b n}满足b4=a1，b6=a4，求出公比与首项，利用吃饭求数列{b n-a n}的前n项和S n．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．16.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，所以．因为，所以，，所以．…．（6分）（Ⅱ）在△ABC中，．在△ADC中，由余弦定理AD2=AC2+DC2-2AC•DC cos∠C，得，即，解得，或．经检验，都符合题意．…．（13分）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，转化求解∠ABC的大小；（Ⅱ）通过余弦定理，结合，即可求DC的长度．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．17.【答案】（共13分）解：（I）高二年级学生样本中合格的学生数为：3+4+4+4=15，样本中学生体质健康合格的频率为．所以从该校高二年级学生中随机选取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为．…．（4分）（II）设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93，94，96的学生分别为a1，a2，a3，高二年级测试数据是90，95，98的学生分别为b1，b2，b3．选取的两名学生构成的基本事件空间为：{（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3）}，总数为9，选取的测试数据平均数大于95的两名学生构成的基本事件空间为{（a1，b3），（a2，b3），（a3，b2），（a3，b3）}，总数为4，所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为．…．（9分）（III）＞，＜．…．（13分）【解析】（I）高二年级学生样本中合格的学生数为15，样本中学生体质健康合格的频率为．由此从该校高二年级学生中随机选取一名学生，能估计这名学生体质健康合格的概率．（II）设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93，94，96的学生分别为a1，a2，a3，高二年级测试数据是90，95，98的学生分别为b1，b2，b3．选取的两名学生，利用列举法能求出选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率．（III）．本题考查概率、平均数、方差的求法及应用，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】证明：（I）连结BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以EF∥PD．因为PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，所以PD∥平面ACE．（II）因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以BC⊥平面PCD．因为PD⊂平面PCD，所以BC⊥PD．因为，，所以PC2+PD2=CD2，即PD⊥PC．因为BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC．（III）解：取CD的中点M，连接PM．因为PC=PD=，CD=AB=2，M是CD的中点，所以PM⊥CD，且PM=1，因为平面PCD⊥平面ABCD，PM⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PM⊥平面ABCD，因为E是PB的中点，所以V E-ABC=V P-ABC==．所以三棱锥E-ABC的体积为．【解析】（I）连结BD交AC于点F，连结EF，由中位线定理可得EF∥PD，故而PD∥平面ACE；（II）证明BC⊥平面PCD可得PD⊥BC，利用勾股定理可得PD⊥PC，故而PD⊥平面PBC；（III）作PM⊥CD，可证PM⊥平面ABCD，于是V E-ABC=V P-ABC．本题考查了线面平行，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得．∴椭圆G的标准方程为．（Ⅱ）设Q（x0，y0），则P（-x0，-y0），可知0＜x0＜2，0＜y0＜1．若使△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍，只需使得|OQ|=3|MQ|，即，，即，．由A（2，0），B（0，1），∴直线AB的方程为x+2y-2=0．∵点M在线段AB上，∴，整理得x0=3-2y0，①∵点Q在椭圆G上，∴，②把①式代入②式可得，∵判别式小于零，该方程无解．∴不存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍．【解析】（Ⅰ）由题意可知：，求解得到a，b的值，则椭圆方程可求．（Ⅱ）设Q（x0，y0），则P（-x0，-y0），可知0＜x0＜2，0＜y0＜1．由△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍，得|OQ|=3|MQ|，即，即．写出直线AB的方程为x+2y-2=0．由点M在线段AB上，得x0=3-2y0，再由点Q在椭圆G上，得，则，由该方程无解．可得不存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】（共14分）解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞）．f'（x）=[x2+（a+3）x+a+2]e x．因为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，所以f'（0）=（a+2）e0=0，解得a=-2．此时f（0）=1≠0，所以a的值为-2．…．（5分）（Ⅱ）因为f'（x）=[x2+（a+3）x+a+2]e x=（x+1）[x+（a+2）]e x，①若a＜-1，-（a+2）＞-1，则当x∈（-∞，-1）时，x+1＜0，x+（a+2）＜x+1＜0，所以f'（x）＞0；当x∈（-1，-（a+2））时，x+1＞0，x+（a+2）＜0，所以f'（x）＜0．所以f（x）在x=-1处取得极大值．②若a≥-1，-（a+2）≤-1，则当x∈（-1，0）时，x+1＞0，x+（a+2）≥x+1＞0，所以f'（x）＞0．所以-1不是f（x）的极大值点．综上可知，a的取值范围为（-∞，-1）．…．（10分）（Ⅲ）＞．…．（14分）【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞）．f'（x）=[x2+（a+3）x+a+2]e x．利用导数的几何意义能求出a的值．（Ⅱ）由f'（x）=[x2+（a+3）x+a+2]e x=（x+1）[x+（a+2）]e x，当a＜-1，求出f（x）在x=-1处取得极大值．当a≥-1，f'（x）＞0．-1不是f（x）的极大值点．由此能求出a的取值范围．（Ⅲ）．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．11 / 11。
1_昌平二模答案
昌平区2019-2020学年度初三年级第二次模拟检测一.选择& （共道小毎小越分，共分）二・填空（共道小毎小通分，共分）三.解答fi (本B 共68分，第17-22«,每小05分・第23・26S,毎小B6分，第27-28H. 9小题7分)17 解. ^+2-'-2CO S30°+|73-2|27§+i-2x 迺= 2 2 5 =218.解： 由1式得： 由2 •式得：x ・6 x>6-3-72020. 6+ (2-7§)g x-3 x+7 .- ----- >2x ・l3 :唸・3 :x+7>6x-3-5z> -10x<2 • •不等式的解#为：-3SA<24分CZ^19 解-(1) A = /f-4ac=(2m41)^- 4*l*(nT + frj) A =4nf + 4m* 1- 4nf - 4mA=1>0.•.一元二次方理总有两个不相等的实数根....(2)令n?=0，得一元二次方程：” +"0 解得一元二次方程的解为；N=0,禺='1 20. (1)作图：如圈(共8页)21.解：(1) V在平行四边形48CP中/4P=flC, AD//BC,DF=BE、AF二EC四边形4£CF为平行四边形’•••••••♦•••••I乙4£C=90*平行四边形人£CF为矩形OZX• ••♦••・—♦♦•••••■・•••/J、(2) ••・Qf¥分乙A DC厶ADE= LCDEAD//BC厶ADE二厶CED厶CDE= LCEDEC=DC二AB=55£=3在Rt"gf帆AE- •「在矩形AECF^…厶DAE 二 9CrAE 4 1• .tan 乙ADE =如=8 = 222•解：(1 ) \ PA, PB 是-。
的两条切线PA-PB二乙ACB 七乙少C=90・ 又••乙刊3+乙少Q=9(r• •乙 PAB = ^ACB = ^PBA = 7Q ・•••"P3 = 4(r(2)连接OP,交力3于点D•朋二 J AB ：十 BC ：=10,\-PA,陽是©殆两条切线•••PO 平分 SPB又♦: PA -PB.\BD-AD=4, P0丄力8,:.PO//BC••.LP 0A = SCBSC 3 无=5 5-COS/POA =・ *:.PO = 3A0=5-cosZPOA =m y=— 23.解：(1)①T 点4-2, -1)在双曲线X 上/.zn=22 y=一T 点&（1,用在双曲线 X 上 /./7=2.点力坐标为（1, 2）②•「点£(1, 2)和点5(-2.-"在直线/: y=kx^b± J —1= — 2k + b.I2=k^b rk=i解得：仙「直线创表达式为：/=Jr+1（2）△力面积等于6. a 点馆療上a 平区20ig ・2020学年度初尹占多细零检测数学•著签36a 评分标准 第3页（共8页）24•解：（1）如图: ••点标为(3, 0)或(・ 5. 0)X|UC . ?A(3)估计获得优秀的有.88人25. (!)亦3・8-226. 解：(1)T抛物线的对称轴为：x= 2a = 2・(J) h..m=2二抛物线为：将y=0代入，得°一* + 2X+3(2)加・2或处1将x=m代入y=d + m卅3 ,得y=3•点P (m 2)• •点PS点CT方将"-m 代入y=d+mx+3 , ^y=-2nf+ 3 ,则D(-m,*2nf+ 3)••点Q在点Q上方或与点兢合时.施物线与线段咖有—个公共点2fn-l2-2nf + 3・■整理得方+ 2^0(nu2)(m-1)2 0结合函败图鮫■可得(2)中位数是83.5....... 4分(2)(3) 3.46或40cm28.(1 ) 1判断：貞8 是 _线段他r2旋转点・1分过点D^DF^AC,垂足为点F,AA ---AC^AD. AB = AC. ,AB=AD,厶ABD 二厶ADB 又••乙a4C=3(r,厶少0=90° •・•乙 43Q=Z4D0=3(r .\AP=BP 在A>4P5 = 30*「•PD=2AP…PD 二 2PB（2）当0=60。
北京市2019年中考二模数学试卷精选汇编：圆专题(含答案)
圆专题【2019 东城二模】24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OC，过点A作 AD∥OC交 BC的延伸线于点D，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若 sin ∠CAB＝3，⊙O的半径为5 2，求AB的长．5224.1OAAOC 2 ABC ABC 45°AOC90° 1OC ADAOC OAD=180° 2OAD 90°.OA ADOA OAD O 32CEAB E1AOC 90°OAOC522AC 5 4 Rt ACE AEC 90°sin CAECE3AC5CE 3 AE 4 5Rt BCECEB 90° ABC 45° BCE 45°CEBE3AB AE BE 7 6BEC OD A【2019 西城二模】23.如图， AB是⊙ O的直径， CA与⊙ O相切于点 A，且 CA=BA．连结 OC，过点 A 作 AD⊥OC于点 E，交⊙ O于点 D，连结 DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连结CB交⊙O于点M，交AD于点N．若 AD=4，求 MN的长．2【2019 海淀二模】22．如图， AB 是⊙ O的直径， PA，PC与⊙ O分别相切于点A，C，连结订交于点 D．（1）求证：B CPO 90 ；123（2）连结 BP，若 AC＝5，sin ∠ CPO＝ 5 ，求 BP 的长．22．（本小题满分 5 分）（1）证明：连结 OC，如图 .∵PA， PC 与⊙ O 分别相切于点 A，C，∴OC⊥PC，OA⊥PA，∠ APC=2∠ CPO．∴ ∠ OCP=∠OAP=90°．P∵ ∠ AOC+ ∠ APC+ ∠ OCP+ ∠OAP=360°，AC，BC，OP， AC与 OP C∴ ∠ AOC+∠APC=180°．DA B ∵∠ AOC=2∠B，O∴ BCPO 90．（2）解： 连结 BP ，如图．P∵ AB 是⊙ O 的直径，C∴∠ ACB=90°．∴∠ ABC+ ∠BAC=90°． D∵ ABC CPO 90 ，AOB∴ ∠BAC=∠ CPO=∠APO.∵AC ＝12，sin ∠BAC ＝3,55∴ AB 3,OA3 ．2∵ OA 3，sin ∠APO ＝ 3,2 5∴AP 2.∴ PBAP 2AB 213 ．【2019 旭日二模】22．如图，△内接于以AB 为直径的⊙ ，过点 A 作⊙ 的切线，与 的延伸线订交于点ABC O O BC，在 上截取 = ，连结 并延伸，交⊙ O 于点 ，连结 ．DCB CE CD AE F CF（ 1）求证： AC =CF ；（ 2）若 AB =4， sin B3 ，求 的长．5EF22．（ 1）证明：∵ AD 是⊙ O 的切线，∴∠DAB =90 °．∴∠CAD+∠CAB =90 °．∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ACB =90 °．∴∠CAB ＋∠B=90 °．∴∠CAD =∠B ．4∵CE=CD，∴AE=AD．∴∠CAE =∠CAD=∠B．∵∠B=∠F，∴∠CAE =∠F ．∴AC=CF．3（2）解：由（ 1）可知， sin∠CAE=sin∠CAD =sinB= ．5∵AB=4，∴在 Rt△ABD 中， AD =3， BD=59∴在 Rt△ACD 中， CD =．5187∴DE=，BE=．55∵∠CEF =∠AEB，∠B=∠F，∴ CEF AEB ．EF CE3∴．EB AE521∴EF=．25【2019 丰台二模】22. 如图，AB 是⊙O的直径，P是延伸线上一点，过点P作⊙OBA的切线，切点为D，连结 BD，过点 B 作射线 PD的垂线，垂足为 C．（1）求证：BD均分∠ABC；（2）假如AB=6， sin ∠CBD= ，求PD的长．22. （ 1）证明：连结OD.∵PC切⊙ O的于 D，∴ OD⊥PC.∴∠ ODP=90°.∵BC⊥PC，∴∠ BCP=90°.∴∠ ODP=∠ BCP.∴OD∥BC.∴∠ ODB=∠ DBC.∵OD=OB，∴∠ ODB=∠ OBD.∴∠ OBD=∠ DBC.∴ BD均分∠ ABC.2分（ 2）解：连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ ADB=90°.在 Rt △ADB中，∵sin ABD sin CBD AD 1， AB=6，AB3∴ AD=2.∴BD 42.在 Rt △CBD中，∵sin CBD CD 1，DB 3∴CD 42. 3∴BC 16.36∵OD∥ BC，∴△ PDO∽△ PCB.∴PD OD.PC BC∴PD3.PD 4216 3 3∴PD 12 2.7【2019 石景山二模】22．如图，在 Rt △ABC中，∠C=90o，点O在边AC上，⊙O与边AC订交于点D、与边AB相切于点 E，过点 D作DP∥BC交 AB于点 P．（1）求证：PD=PE；（2）连结CP，若点E是AP的中点，OD: DC=2:1 ，CP=13，求⊙O的半径．AEOD C PB【2019 门头沟二模】23．如图，点C 在⊙O上，为直径，与过点C的切线垂直于，与⊙O交于点．AB BD D BD E（ 1）求证：均分∠；BC DBA（ 2）假如cos ABD 1，OA =2，求的长．2DEDC EAOB【2019 房山二模】22.如图，△ ABC是⊙ O 的内接三角形，∠ ACB＝45°，∠ AOC=150°，过点 C 作⊙ O 的切线交 AB的延伸线于点 D.（1）求证：CD=CB；8（ 2）假如⊙O的半径为 2 ，求AC的长.COA B D【2019 顺义二模】22.已知：如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，E为BD的中点.（1）求证：∠ACD=∠DEC；（2）延伸DE、CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长10ADECBO【2019 平谷二模】22．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上随意一点，过点C作 CD切⊙ O 于点 D，连结 AD.（1）求证：BC=CD；（2）若∠C=60°，BC=3，求AD的长 .CDA BO【2019 怀柔二模】23.AB O EF AB C D是ABA 30，D 30.如图，是的直径，弦⊥于点，点延伸线上一点，（ 1）求证： FD是O 的切线；（ 2）取 BE的中点 M，连结 MF，若 MF=7 ，求O的半径.EBA DO CF12【2019 昌平二模】23．如图，在 Rt △ ABC 中, ∠ C =90°，以 AC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D ，点 Q 为 CA 延伸线上一点，延伸 QD 交 BC 于点 P ，连结 OD ，∠ ADQ = 1∠ DOQ .2（ 1）求证： PD 是⊙ O 的切线；（ 2）若 AQ =AC ，AD = 2 时，求 BP 的长 .BPDQ A O C14。
2019年北京中考数学二模试卷 解析版
2019年北京十一中分校中考数学二模试卷一．选择题1．（3分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×1013 2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（）A．πB．πC．πD．π5．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P 的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里6．（3分）某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则2月份的产值是（）A．（1﹣10%）x万元B．（1﹣10%x）万元C．（x﹣10%）万元D．（1+10%）x万元7．（3分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E 处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（）A．112°B．110°C．108°D．106°9．（3分）为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图（如图）．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm 之间的人数有（）A．12B．48C．72D．9610．（3分）若正整数按如图所示的规律排列，则第8行第5列的数字是（）A．64B．56C．58D．60二、填空题11．（3分）计算：（﹣3）2+（﹣4）0＝．12．（3分）分解因式：2x2﹣2＝．13．（3分）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，则a的取值范围是．14．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y＝（m＜0）图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“＝”或“＜”）15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．三、解答题17．在下面16x8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你画出：（1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心；（2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2；（3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D．18．现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？19．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？20．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：（1）该班级女生人数是，女生收看“两会”新闻次数的中位数是；（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）．根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，2），B（3，n），在反比例函数y＝（m 为常数）的图象上，连接AO并延长与图象的另一支有另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点D（1，0），过点C作CE∥x轴交直线l于点E．（1）求m的值，并求直线l对应的函数解析式；（2）求点E的坐标；（3）过点B作射线BN∥x轴，与AE的交于点M（补全图形），求证：tan∠ABN＝tan ∠CBN．22．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣1，﹣1），且AB∥y轴，AD∥x轴．点P是抛物线y＝x2+2x上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（1）直接写出点B的坐标；（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；（3）以点E为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点F，当点P在正方形ABCD内部（不包含边）时，求a的取值范围．23．阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是；（2）当图③中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝°；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有个（包含四边形ABCD）．拓展提升：当图③中的∠BCD＝90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．2019年北京十一中分校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题1．（3分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形主视图．4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．【解答】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的长为：＝π．故选：B．【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．5．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【分析】根据方向角的定义即可求得∠M＝70°，∠N＝40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．【解答】解：MN＝2×40＝80（海里），∵∠M＝70°，∠N＝40°，∴∠NPM＝180°﹣∠M﹣∠N＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠NPM＝∠M，∴NP＝MN＝80（海里）．故选：D．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．6．（3分）某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则2月份的产值是（）A．（1﹣10%）x万元B．（1﹣10%x）万元C．（x﹣10%）万元D．（1+10%）x万元【分析】直接利用2月份比1月份减少了10%，表示出2月份产值．【解答】解：∵1月份产值x亿元，2月份的产值比1月份减少了10%，∴2月份产值达到（1﹣10%）x亿元．故选：A．【点评】本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键．7．（3分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（）A ．B ．C ．D ．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于6的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率＝＝．故选：A ．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（3分）如图，将矩形ABCD 沿GH 折叠，点C 落在点Q 处，点D 落在AB 边上的点E 处，若∠AGE ＝32°，则∠GHC 等于（ ）A ．112°B ．110°C ．108°D ．106°【分析】由折叠可得，∠DGH ＝∠DGE ＝74°，再根据AD ∥BC ，即可得到∠GHC ＝180°﹣∠DGH ＝106°．【解答】解：∵∠AGE ＝32°，∴∠DGE ＝148°，由折叠可得，∠DGH ＝∠DGE ＝74°，∵AD ∥BC ，∴∠GHC ＝180°﹣∠DGH ＝106°，故选：D ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．9．（3分）为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图（如图）．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm 之间的人数有（）A．12B．48C．72D．96【分析】根据直方图求出身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比，然后乘以300，计算即可．【解答】解：根据图形，身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：×100%＝24%，所以，该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%＝72（人）．故选：C．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题10．（3分）若正整数按如图所示的规律排列，则第8行第5列的数字是（）A．64B．56C．58D．60【分析】观察数据的排列规律得到每一行的第一列的数字为行数的平方，每列的数从第一列开始依次减小1，据此可得．【解答】解：由题意可得每行的第一列数字为行数的平方，所以第8行第1列的数字为82＝64，则第8行第5列的数字是64﹣5+1＝60，故选：D．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用规律解决问题．二、填空题11．（3分）计算：（﹣3）2+（﹣4）0＝10．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝9+1＝10．故答案为：10．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．12．（3分）分解因式：2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．13．（3分）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，则a的取值范围是a＜4．【分析】将x＝3代入不等式，再求a的取值范围．【解答】解：∵x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，∴9﹣＞2，解得a＜4．故a的取值范围是a＜4．故答案为：a＜4．【点评】本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，根据不等式的解的定义得出9﹣＞2是解题的关键．14．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y＝（m＜0）图象上的两点，则y1＞y2（填“＞”或“＝”或“＜”）【分析】由反比例函数系数小于0，可得出该反比例函数在第二象限单增，结合m﹣1、m﹣3之间的大小关系即可得出结论．【解答】解：∵在反比例函数y＝（m＜0）中，k＝m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，∵m﹣3＜m﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是找出函数的单调性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质找出其单调性是关键．15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围是≤CQ＜12．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ的范围．【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，∴AB＝13，①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP，则OP⊥AB，且AC＝AP＝5，∴PB＝AB﹣AP＝13﹣5＝8；设CO＝x，则OP＝x，OB＝12﹣x；在Rt△OPB中，OB2＝OP2+OB2，即（12﹣x）2＝x2+82，解之得x＝，∴CQ＝2x＝；即当CQ＝且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形．②当＜CQ＜12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜时，半圆O与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆O外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．故答案为：≤CQ＜12．【点评】综合运用了直角三角形的性质、圆周角定理的推论以及切线的性质和勾股定理进行计算．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB＝90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝3，AB＝＝5，∵∠BMP＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B，PB＝OP+OB＝7，∴△PBM∽△ABO，∴＝，即：，所以可得：PM＝．【点评】本题主要考查了垂线段最短，以及三角形相似的性质与判定等知识点，是综合性比较强的题目，注意认真总结．三、解答题17．在下面16x8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你画出：（1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心；（2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2；（3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D．【分析】（1）由A为对称中心，故A点不动，连接BA并延长，使AD＝AB，连接CA 并延长，使AE＝AC，连接ED，三角形AED为三角形ABC关于A中心对称的图形，如图所示；（2）连接AP并延长，使A′P＝2AP，连接BP并延长，使B′P＝2BP，连接CP并延长，使C′P＝2CP，连接A′B′，A′C′，B′C′，△A′B′C′为所求作的三角形；（3）满足题意的D点有3个，分别是以AB为对角线作出的平行四边形ACBD1，以AC 为对角线的平行四边形ABCD2，以BC为对角线的平行四边形ABD3C，如图所示．【解答】解：（1）如图所示：△AED为所求作的三角形；（2）如图所示：△A′B′C′为所求作的三角形；（3）如图所示：D1，D2，D3为所求作的点．【点评】此题考查了作图﹣位似变换及旋转变换，以及平行四边形的判定与性质，其中画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形，同时第三问满足题意的点D的位置有3处，注意找全．18．现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？【分析】（1）根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，得出等式进而求出即可；（2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算；（3）首先假设进价为y，则可得出（300+3500×0.8）﹣y＝25%y进而求出即可．【解答】（1）解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．根据题意，得300+0.8x＝x，解得x＝1500，所以，当顾客消费少于1500元时不买卡合算；当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算；（2）小张买卡合算，3500﹣（300+3500×0.8）＝400，所以，小张能节省400元钱；（3）设进价为y元，根据题意，得（300+3500×0.8）﹣y＝25%y，解得y＝2480答：这台冰箱的进价是2480元．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出买卡后付费等式是解题关键．19．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x ＞6）；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6﹣x）•2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积＝×6×8＝24，（6﹣y）•2y＝12，y2﹣6y+12＝0，∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），设经过m秒，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）＝1，m2﹣10m+23＝0，解得m1＝5+，m2＝5﹣，经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，∴m＝5﹣；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），设经过n秒，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）＝1，n2﹣10n+25＝0，解得n1＝n2＝5，经检验，n＝5符合题意．③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），设经过k秒，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）＝1，k2﹣10k+23＝0，解得k1＝5+，k2＝5﹣，经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，∴k＝5+；综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．20．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：（1）该班级女生人数是20，女生收看“两会”新闻次数的中位数是3；（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）．根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．【分析】（1）将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数．（2）先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可．（3）比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．【解答】解：（1）20，3；（2）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%设该班的男生有x人则，解得：x＝25答：该班级男生有25人．（3）该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为，女生收看“两会”新闻次数的方差为：因为2＞，所以男生比女生的波动幅度大．【点评】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，2），B（3，n），在反比例函数y＝（m 为常数）的图象上，连接AO并延长与图象的另一支有另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点D（1，0），过点C作CE∥x轴交直线l于点E．（1）求m的值，并求直线l对应的函数解析式；（2）求点E的坐标；（3）过点B作射线BN∥x轴，与AE的交于点M（补全图形），求证：tan∠ABN＝tan ∠CBN．【分析】（1）将点A（，2）代入y＝求出m的值，再将A（，2），D（1，0）分别代入y＝kx+b，求出k、b的值；（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为C（﹣，﹣2），由y E＝y C求出E点坐标．（3）作AF⊥BN于点G，与射线BN交于点G，作CH⊥BN于点H，由于点B（3，n）在反比例函数图象上，求出n＝，在Rt△ABG中、Rt△BCH中，求出tan∠ABH和tan ∠CBH的值即可．【解答】解：（1）∵点A（，2）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，∴m＝×2＝1．∴反比例函数y＝（m为常数）对应的函数表达式是y＝．设直线l对应的函数表达式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）．∵直线l经过点A（，2），D（1，0），∴，解得，∴直线l对应的函数表达式为y＝﹣4x+4．（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为C（﹣，﹣2）．∵CE∥x轴交直线l于点E，∴y E＝y C．∴点E的坐标为E（，﹣2）．（3）如图，作AF⊥BN于点G，与射线BN交于点G，作CH⊥BN于点H，∵点B（3，n）在反比例函数图象上，∴n＝，∴B（3，），G（，），H（﹣，）．在Rt△ABG中，tan∠ABH＝＝＝，在Rt△BCH中，tan∠CBH＝＝＝，∴tan∠ABN＝tan∠CBN．【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数的性质、三角函数的定义等知识，值得关注．22．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣1，﹣1），且AB∥y轴，AD∥x轴．点P是抛物线y＝x2+2x上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（1）直接写出点B的坐标；（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；（3）以点E为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点F，当点P在正方形ABCD内部（不包含边）时，求a的取值范围．【分析】（1）先利用A点和D点坐标得到正方形ABCD的边长为4，然后写出B点坐标；（2）设点P（x，x2+2x），利用正方形的性质得到PE＝PF，即x2+2x＝﹣x，然后解方程求出x即可得到正方形PEOF的边长；（3）设P（m，m2+2m）（m≠0），则E（m，0），F（0，m2+2m），利用顶点式表示以E为顶点的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2，再把F（0，m2+2m）代入得m＝，接着求出抛物线y＝x2+2x与BC的交点坐标为（1，3），则利用点P在正方形ABCD内部（不包含边）得到﹣1＜m＜1且m≠0，然后分别解﹣1＜＜0和0＜＜1即可．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣1，﹣1），∴正方形ABCD的边长为4，∴B（3，3）；（2）设点P（x，x2+2x），∵四边形PEOF是正方形，∴PE＝PF，即x2+2x＝﹣x，解得x1＝0，x2＝﹣3，∴P（﹣3，3），∴正方形PEOF的边长为3；（3）设P（m，m2+2m）（m≠0），则E（m，0），F（0，m2+2m），以E为顶点的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2，把F（0，m2+2m）代入得a（0﹣m）2＝m2+2m，解得m＝，当y＝3时，x2+2x＝3，解得x1＝﹣3，x2＝1，抛物线y＝x2+2x与BC的交点坐标为（1，3），∵点P在正方形ABCD内部（不包含边），∴﹣1＜m＜1且m≠0，当﹣1＜m＜0时，﹣1＜＜0，解得a＜﹣1；当0＜m＜1时，0＜＜1，解得a＞3，综上所述，a的取值范围为a＜﹣1或a＞3．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解不等式；理解坐标与图形性质．23．阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；（2）当图③中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝80°；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个（包含四边形ABCD）．拓展提升：当图③中的∠BCD＝90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义容易得出结论；（2）先证出∠AEB′＝∠BCB′，再求出∠BCE＝∠ECF＝40°，即可得出结果；（3）由折叠的性质得出BE＝B′E，BC＝B′C，∠B＝∠CB′E＝90°，CD＝CD′，FD＝FD′，∠D＝∠CD′F＝90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；由题意得出∠OD′E＝∠OB′F＝90°，CD′＝CB′，由菱形的性质得出AE＝AF，CE ＝CF，再证明△OED′≌△OFB′，得出OD′＝OB′，OE＝OF，证出∠AEB′＝∠AFD′＝90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论；当图③中的∠BCD＝90°时，四边形ABCD是正方形，证明A、E、B′、F四点共圆，得出，由圆周角定理即可得出∠AB′E的度数．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C≠90°，∠B＝∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；。
【精品中考数学】2019年北京市初三数学二模分类汇编-第11讲 作图题
第11讲作图题【2019规作点P，使点a.点P到Ab.点P到∠小明的作法是：①连接AB②作∠MON所以点P（1（2）证明：∵∴PA= .∵OP∴点的两边的距离相等（）【答案】（1）（2）PB角平分线上的点到角两边的距离相等【2019·昌平二模】2．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线”．小明的作法如下：①在直线l 上取一点A ，以点A 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线l 于点B ； ②分别以P ，B 为圆心，以AP 长为半径作弧，两弧相交于点Q （与点A 不重合）； ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：∵AB =AP =_________=__________ .∴四边形ABQP 是菱形（______________________________）（填推理的依据）.∴PQ ∥l .【答案】解：（1）画图略 （2）BQ ，PQ四条边相等的四边形是菱形【2019·西城二模】3．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程. 已知：平行四边形ABCD.求作：点M ，使点M 为边AD 的中点. 作法：如图， ①作射线BA ；②以点A 为圆心，CD 长为半径画弧， 交BA 的延长线于点E ； ③连接EC 交AD 于点M ． 所以点M 就是所求作的点． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；P（2）完成下面的证明． 证明：连接AC ，ED ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AE//CD ． ∵AE= ，∴四边形EACD 是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∴AM=MD （ ）（填推理的依据）． ∴点M 为所求作的边AD 的中点． 【答案】解：（1）补全图形如图所示： （2）CD,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分【2019·东城二模】4．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.已知：四边形ABCD 是平行四边形.求作：菱形ABEF （点E 在BC 上，点F 在AD 上）. 作法：①以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；②以B 为圆心，AB 长为半径作弧，交BC 于点E ； ③连接EF.所以四边形ABEF 为所求作的菱形. 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明. 证明：∵AF=AB ，BE=AB ，∴ ________ = ________. 在□ABCD 中，AD ∥BC.CBA即AF∥BE.∴四边形ABEF为平行四边形.∵AF=AB，∴四边形ABEF为菱形（_________________________）（填推理的依据）. 【答案】图略 AF,BE；一组邻边相等的平行四边形是菱形【2019·朝阳二模】5．下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BP，∵ _____=_____=_____=AP，∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．∴∠APQ=90°（_____）．（填写推理的依据）即PQ⊥l．【答案】（1）图略．（2）BP，BA，BQ，直径所对的圆周角是直角．【2019·海淀二模】6．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．已知：在△ABC中，∠C=90°．求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．作法：如图，① 分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧交于P ，Q ② 作直线PQ ，与AB 交于点D ，与AC 交于点E ． 所以线段DE 就是所求作的中位线． 根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接PA ，PC ，QA ，QC ， DC ，∵ PA =PC ，QA =_________，∴ PQ 是AC 的垂直平分线（________）（填推理的依据）． ∴ E 为AC 中点，AD =DC ． ∴ ∠DAC =∠DCA ，又在Rt △ABC 中，有∠BAC +∠ABC =90°，∠DCA +∠DCB =90°． ∴ ∠ABC =∠DCB （________）（填推理的依据）． ∴ DB =DC ． ∴ AD =BD =DC ． ∴ D 为AB 中点． ∴ DE 是△ABC 的中位线．【答案】（1）补全的图形如图所示：（作等弧交于两点P ,Q 点1分，直线PQ 1分）（2）QC到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 等角的余角相等【2019·门头沟二模】7．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程．baCMB已知：如图1，线段a 和线段b ．求作：△ABC ，使得AB = AC ，BC = a ，BC 边上的高为b ． 作法：如图2，① 作射线BM ，并在射线BM 上截取BC = a ； ② 作线段BC 的垂直平分线PQ ，PQ 交BC 于D ； ③ 以D 为圆心，b 为半径作圆，交PQ 于A ； ④ 连接AB 和AC ．则△ABC 就是所求作的图形． 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC = a ，AD = b ．∵ PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，∴ AB = AC （ ）（填依据）． 又∵ AD 在线段BC 的垂直平分线PQ 上， ∴ AD ⊥BC ．∴ AD 为BC 边上的高，且AD = b ．【答案】略【2019·平谷二模】8．下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和l 外一点P ． 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2，（1）在直线l 上任取一点A ；（2）连接AP ，以点P 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线l 于点B （点A ，B 不重合）； （3）连接BP ，作∠APB 的角平分线，交AB 于点H ； （4）作直线PH ，交直线l 于点H ． 所以直线PH 就是所求作的垂线． 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 （保留作图痕迹）；图1图2PACB（2）完成下面的证明. 证明：∵PH 平分∠APB ， ∴∠APH = ． ∵PA= ，∴PH ⊥直线l 于H ．( )(填推理的依据)【2019·顺义二模】9．下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.已知：△ABC ．求作：BC 边上的高线．作法：如图，①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，E ； ②作直线DE ，与AB 交于点F ，以点F 为圆心，FA 长为半径画圆，交CB 的延长线于点G ；③连接AG ．所以线段AG 就是所求作的BC 边上的高线．AE根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明.证明：连接DA，DB，EA，EB，∵DA=DB，∴点D在线段AB的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∵ = ，∴点E在线段AB的垂直平分线上．∴DE是线段AB的垂直平分线．∴FA=FB．∴AB是⊙F的直径．∴∠AGB=90°（）（填推理的依据）．∴AG⊥BC即AG就是BC边上的高线．【答案】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上EA=EB直径所对的圆周角是直角【2019·怀柔二模】10．下面是一位同学的一道尺规作图题的过程. 已知：线段 a，b，c.求作：线段x，使得a：b=c：x.x.。