2021年高二数学下学期期中考试卷含答案
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第
四象限
2．若集合{1,0,1,2}M，{|21,}NyyxxM，则集合NM等于 （ ）
A．{1,1} B．{1,2} C．{1,1,3,5} D．{1,0,1,2}
3．设i是虚数单位，复数iai21为纯虚数，则实数a为（ ）
A．2 B．2 C．21 D．21
4．经过极点倾斜角为的直线的极坐标方程是（ ）
A． B． C．或 D．2
5．若t为参数,则参数方程btyatxsincos表示的点的轨迹为（ ）
A．直线 B.椭圆 C.圆 D.圆或
直线
6．函数
2
()21fxxx
的值域是（ ）
A.]2,( B.),0( C.),2[
D.[0,2]
7．用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程
0
3
baxx
至少有一个实
根”时，要做的假设是（ ）
A．方程
0
3
baxx
没有实数根
B．方程
0
3
baxx
至多有一个实数根
C．方程
0
3
baxx
至多有两个实数根
D．方程
0
3
baxx
恰好有三个实根
8．若ab<0则（ ）
A.ba>ba B.ba
A.命题“若xy，则xy”的逆命题
B.命题“若
2
11xx，则
”的否命题
C.命题“若
2
10xxx，则
”的否命题
D.命题“若
11
abab，则
”的逆否命题
10．椭圆191622yx上的点到直线3x+4y=132上的点的最近距离是（ ）
A．0 B．52 C.52
D．521324
11．已知条件p：12x，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，
则a的取值范围是（ ）
A．1a B．1a C．3a D．3a
12．a,b都是正数a+b=1,则(a+a1)(b+b1)的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．425
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．已知命题:(0,)px，
21
x
，则p为 .
14．已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角
6
，l与圆422yx相交与两点,AB，
则点P到,AB两点的距离之积为____
15．“a＝14”是“对任意的正数x，均有x＋ax≥1”的________条件．
16．11．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a
③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－
b＝0，则a＝b”；
④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－
b>0，则a>b(C为复数集)”．
其中结论正确的个数为
三、解答题：(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．（本小题满分10分）
已知直线l的参数方程为tytx32(t为参数)，曲线C的极坐标方程为
2
cos21
．（参考公式cos2-sin2=cos2）
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．
18．（本小题满分12分）
实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－
15)i
(1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭；(3)对应的点在x轴上方．
19．（本小题满分12分）
已知集合
2
30Axxx， 23,RBxaxaa
.
（1）当1a时，求AB；
（2）若ABA，求实数a的值.
20．（本小题满分12分）
已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有
一个实数x0满足不等式x20＋ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求
a
的范围．
21．（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为tytx221222（t为参数）. 再以
原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有
相同的长度单位. 在该极坐标系中圆C的方程为4sin.
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为2,1，求MAMB的
值.
22．（本小题满分12分）
已知
35
2244fxxx
.
（1）关于x的不等式
2
fxaa
恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设
,Rmn
，且1mn，求证：21212mnfx.
参考答案
选择题：1.B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.D 7.A 8.B 9A 10.B
11.A 12.D
填空题：13.
12,,0
0
0
x x
14. 2 15. 充分不必要 16. 2
18. （1）m=-1 (2)m=1 (3)m>5或m<-3
19. （1）3,2BA (2)0a
20. a>2且a≠8或a<-2
21. 解：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得
圆的直角坐标方程式为
2
2
24xy
（2）直线l参数方程222212xtyt
代入圆方程得：
2
3210tt
设A、B对应的参数分别为
1t、2t，则1232tt，12
1tt
于是MAMB=
12
tt
12
32tt
.
22. 解：（1）
min
2fx
∴不等式恒成立只需
2
2aa
，解得12a
（2）∵
min
2fx
∴只需证明：212122mn成立即可.
221322122mmm
；221322122nnn.
于是
33
2212213422mnmnmn
∴212122mn
故要证明的不等式成立.
2021-2022学年四川省凉山州西昌市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年凉山州西昌市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 存在有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，要做的假设是A ．,,a b c 至多有两个偶数B ．,,a b c 都是偶数C ．,,a b c 至多有一个偶数D ．,,a b c 都不是偶数【答案】D【详解】因为“至少有一个”的否定是“都不是”，因此要做的假设是,,a b c 都不是偶数，故选D ．2．设z 是复数，若()1i i z -=-(i 是虚数单位)，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为i2B ．1i2z -+=C ．1z =D ．1z z +=【答案】D【分析】先求得z ，由此判断出正确选项. 【详解】依题意()11i i z --==， ()()1111112i i z i i i ++===--+，B 错， 所以z 的虚部为12，A 错，z ==C 错， 11122z z +=+=，D 正确. 故选：D3．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为（ ）A ．18B ．316 C ．14D ．12【答案】C【分析】由古典概型的概率计算公式可得.【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ，共有4416⨯=个基本事件；而使不等式a －2b ＋4<0成立的事件包含：(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共有4个基本事件；由古典概型公式得所求概率41=164P =． 故选：C ．4．若()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与B 的关系是 A ．互斥不对立 B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．以上答案都不对 【答案】D【详解】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 也不见得对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的． 【解析】互斥事件与对立事件5．已知()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数fx 的图象如所示，则（ ）A ．()f x 在1x =处取得极小值B ．()f x 在1x =处取得极大值C ．()f x 是R 上的增函数D ．()f x 是(),1-∞上的减函数，1,上的增函数【答案】C【分析】由导函数图象可知0f x在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,即可判断选项.【详解】由图可得,0fx在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,故C 正确、D 错误；所以()f x 没有极值,故A 、B 错误； 故选:C【点睛】本题考查导函数图象的应用,属于基础题.6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”他体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“．．．”即代表着无限次重复，但它却是个定值，可以通过方程11x x +=求得51x +=282828+++=（ ）A ．432-B ．4C ．432+D ．432±【答案】C【分析】282828x +++=28x x +=，注意到0x >，解出x 即可．【详解】282828x +++=28x x +，其中0x >，28x x +两边平方，得282x x =+，即2820x x --=，解得432x =-或432x =+ 故选：C ． 7．设曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，则=a （ ） A ．12B ．1-C ．12-D ．1【答案】C【分析】求出函数的导数，然后可得答案 【详解】由2x y x =-可得()()222222y x x x x '=---=--，所以当4x =时12y '=-，因为曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，所以12a =-， 故选：C8．ACB △是等腰直角三角形，在斜边AB 上任取一点M ，则AM AC <的概率（ ） A 2B ．34C ．12D ．23【答案】A【分析】设1BC AC ==，先求出点M 的可能位置的长度，然后可得答案. 【详解】设1BC AC ==，则2AB =在斜边AB 上任取一点M ，满足AM AC <的点M 的可能位置的长度为1， 22=，故选：A9．若函数()21y ax x =-在区间33(上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <1【答案】A【分析】先对函数求导，由函数在区间33(上为减函数，可得导数小于零的范围为33(，可求得a 的取值范围. 【详解】由函数()21y ax x =-，求导可得()22331y ax a a x '=-=-，因为函数在区间33(上为减函数， 所以在区间33(上()2310y a x '=-≤， 因为231x -在区间33(小于零，且0a ≠， 所以只需0a >即可， 故选：A.10．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．32m ≥B ．32m >C ．32m ≤D ．32m <【答案】A【详解】试题分析：因为函数431()232f x x x m =-+，所以()3226f x x x '=-． 令f′（x ）=0得x=0或x=3，当()()''3,0;03,0;x f x x f x >><<< 经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）=3m-272． 不等式f （x ）+9≥0恒成立，即f （x ）≥-9恒成立，所以3m-272≥-9，解得m≥32【解析】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值11．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．如果不放回的任意取出2个球，则它们重量相等的概率为（ ）． A ．215B ．715 C ．13D ．15【答案】A【分析】计算出总的取法数和列出满足重量相等的情况，即可得到答案.【详解】总共有2615C =种取法，其中满足重量相等的有：取出的球的编号为1,5和2,4，所以概率为215故选：A12．设函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值，求实数a 的取值范围（ ） A ．1e 2e ,∞⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭B ．1e ,e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1e 2e ,∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据函数导函数在区间1(0,)e内有零点，结合常变量分离法，导数的性质进行求解即可.【详解】由22(2)1()ln ()1(1)a x a x f x x f x x x x -++'=+⇒=--， 因为函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值， 所以22(2)1()0(1)x a x f x x x -++'==-在1(0,)e内有解， 即2()(2)10g x x a x =-++=在1(0,)e内有解，21(2)102x a x a x x-++=⇒=+-， 设222111()2()1x h x x h x x x x-'=+-⇒=-=，当1(0,)e x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减，所以min 1()(e)e 2eh x h ==+-，要想方程12a x x =+-在1(0,)e x ∈时有解，只需min 1()e 2ea h x a >⇒>+-，故选：A 二、填空题13．若复数z 满足(1)2z i ⋅+=(i 为虚数单位)，则z =___________. 【答案】1i -【分析】直接进行复数除法. 【详解】解：因为(1)2z i ⋅+=， 所以22(1)2211(1)(1)2i iz i i i i --====-++-. 故答案为：1i -.14．国家级邛海湿地公园在每天上午8点起每半小时会有一趟观光车从景区入口发车入园，某人在9点至10点之间到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待的时间不超过10分钟的概率____________【答案】13【分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】根据题意可知，在9:20~9.30,9:50~10:00这两段时间内到达，等待的时间不超过10分钟，所以等待的时间不超过10分钟的概率为10101603+=， 故答案为：1315．已知函数()()1ln 21f x x x x =+-+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-∆的值为____________【答案】2ln 22--【分析】求导后代入1x =可得()1f '，由导数定义可知所求式子为()21f '-，由此可得结果. 【详解】()1ln 21x f x x x+'=+-，()1ln 21f '∴=+， ()()()()()00121121lim2lim 212ln 222x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆--∆-'∴=-⨯=-=--∆-∆.故答案为：2ln 22--.16．定义在R 上的函数31()33f x x x =-+．①()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数． ②()f x y x'=在(0,)+∞上存在极小值． ③()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+垂直．④设()4ln g x x m =-，若存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，则25m e >-． 以上对函数的描述中正确的选项是：___________ 【答案】①④【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、存在性的性质逐一判断即可. 【详解】由321()3()1(1)(1)3f x x x f x x x x '=-+⇒=-=-+.①：当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以此时函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以以时函数单调递增，因此本结论正确； ②：()1f x y x x x '==-，因为函数1y x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以此时函数没有极值，因此本结论不正确；③：(0)1f '=-，直线22y x =+的斜率为2，因为2(1)21⨯-=-≠-，所以()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+不垂直，因此本选项结论不正确；④：2()()4ln 1g x f x x m x <⇒-<-'，存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，转化为存在[1,e]x ∈，使24ln 1x m x -<-成立，由224ln 14ln 1x m x m x x -<-⇒>-+， 设2()4ln 1h x x x =-+，[1,e]x ∈，所以42(2)(2)()22x x h x x x -+-'=-=， 当[1,2]x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增，当(2,e]x ∈，()0,()h x h x '<单调递减， 所以当2x =时，函数有最大值，因为22(1)0,(e)4e 15e h h ==-+=-，所以2min ()5e h x =-，要想存在[1,e]x ∈，使24ln 1m x x >-+成立，只需2min ()5e m h x >=-，因此本结论正确，故答案为：①④ 三、解答题17．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物“雪容融”，它们的设计充分体现了中国优秀传统文化和奥运精神的融合.如下图．某老师为了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班级学生中的印象，进行了拼词游戏．请同学在大小相同的6个乒乓球上分别写上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再请其他同学从6个乒乓球中一次取出3个，进行拼词游戏．(1)若某同学一次抽取三个乒乓球进行拼词游戏，求能拼成吉祥物名称的概率． (2)若某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率． 【答案】(1)110(2)45【分析】（1）首先运用组合数求出基本事件的总数，再根据古典概型即可求出概率； （2）首先运用组合数求出基本事件的总数和对立事件的总数，再根据对立事件的概率即可求解.【详解】(1)记“能拼成吉祥物”为A 事件.基本事件总数在6个乒乓球中任取3个有3620C =种.而满足条件的只有2种，即“冰墩墩”和“雪容融”. ∴()212010P A ==； (2)记至少抽到一个“墩”为B 事件，则一个“墩”也抽不到的种类数为34C ，则()3436415C P B C =-=.18．若直线L 与曲线2,(0)y x x =>和2249x y +=都相切，则求L 的方程． 【答案】222y x =-【分析】设切点00(,)x y ，再利用导数的几何意义可求得曲线2,(0)y x x =>的切线方程20020x x y x --=，再由切线与圆2249x y +=20202314x =+，从而可求出0x ，进而可求出切线方程【详解】设切点00(,)x y ，即200(,)x x ，00x >.∴02k x =，则切线方程：20002()y x x x x -=-，即20020x x y x --=.20202314x =+，得420091640x x --=. 解得202x =，∵00x >，∴02x =故L 的方程为：222(2)y x -=， 即22y x =-.19．i 是虚数单位，已知数列{n a }，若2i n n a n =⋅，求该数列{n a }的前4n 项的和4n S ． 【答案】44i n n -【分析】利用错位相减法求和即可.【详解】由23441242i 4i 6i 8i nn n S a a a n =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ....①则234414i 2i 4i 6i 8i n n S n +=++⋅⋅⋅+ ....②由①-②得234414(1i)2i 2i 2i 2i 8i n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-即234414142(i i i i )8i 8i 44i 1i 1in n n nn n S n n +++++⋅⋅⋅+--===---.20．已知函数2()2ln f x x a x =-，(0)a >． (1)若1a =时，求函数()f x 的单调区间．(2)若()0f x >在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)(),4e ∞-.【分析】（1）由题可求函数的导数，然后利用导数与单调性的关系即得； （2）利用参变分离法，求函数的最值即得.【详解】(1)当1a =时，()22ln ,(0)f x x x x =->.则由()'f x ()()2121140x x x x x-+=-=>，得12x >， ()0f x '<，得102x <<∴()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，即函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)∵()0f x >在[1,2]上恒成立. ①当1x =时，()0f x >恒成立.②当(1,2]x ∈时，ln 0x >，则由()0f x >得22ln x a x<在(1,2]x ∈上恒成立.令()(]()22,1,2ln x g x x x=∈，则由()g x '()()222ln 10ln x x x -=>， 得2e x >>，()0g x '<得1e x <<即()g x 在e]上单调递减，在e,2⎡⎤⎣⎦上单调递增.∴()(min e 4e g x g==.∴(),4e a ∞∈-.21．观察：下面三个式子的结构规律 ①223sin sincoscos 66334ππππ+⋅+=②22553sin sincoscos 9918184ππππ+⋅+= ③223sin sincoscos 1212444ππππ+⋅+=你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．【答案】223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析【分析】根据三个式子的结构规律可得结论；利用两角和差余弦公式化简整理即可证得结论.【详解】猜想：223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；证明如下：222sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 6666ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+++=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222223131cos cos sin sin sin cos sin cos sin 66244ππαααααααα⎛⎫+-=-++ ⎪⎝⎭223333cos sin cos 444αααα=+=. 22．设函数()()x ln ,bf xg x ax x ==+，函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 设0x >，试比较()f x 与()g x 的大小.【答案】（I ）11,22a b ==-; (II)当()0,1x ∈时，()()f xg x >；当()1,x ∈+∞时，()() f x g x <；当1x =时，()() f x g x =.【分析】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线列方程求解即可；(Ⅱ) 设0x >，令()()()11In 2F x f x g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性，分三种情况讨论，分别比较()f x 与()g x 的大小即可.【详解】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点()1,0也在函数()g x 的图象上， 且在此点处()f x 与()g x 有公切线 ()()21',bf xg x a x x'==-， ∴由题意可得：011,122a b a b a b +=⎧⇒==-⎨-=⎩ （Ⅱ）由（I ）可知()112g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()()()()2221111111211n 11102222F x f x g x l x x F x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=-+-=--≤ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()F x ∴是()0,+∞上的减函数，而F(1)=0，11 ∴当()0,1x ∈时，()0F x >，有()()f x g x >；当()1,x ∈+∞时，()0F x <，有()()f x g x <；当1x =时，()0F x =，有()()f x g x =.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，利用导数比较大小，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.。
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，若()2i i 2i a b +=+，则i a b +=（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】A【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】依题意()2i i 2i 2i a a b +=-+=+，所以2222b a a b -==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以i a b +==故选：A2．下列函数的求导不．正确的是（ ） A ．()232x x --'=-B ．()cos cos sin x x x x x '=-C ．()1ln1010'=D ．()22x x e e '=【答案】C【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A ：由幂函数的导数公式得：()232x x --'=-.故A 正确； 对于B ：由导数的四则运算得：()cos cos sin x x x x x '=-.故B 正确； 对于C ：因为常值函数的导数为0，所以()ln100'=.故C 错误； 对于D ：由导数的四则运算得：()22x x e e '=.故D 正确. 故选：C.3．利用反证法证明“已知12345100a a a a a ++++≥，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（ ） A ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 均不大于20 B ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20 C ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不都大于20 D ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 至多有一个小于20 【答案】B【分析】根据量词的否定即可求解.【详解】1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20的否定是: 1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20.故选:B4．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．[]1,0-【答案】C【分析】设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，求出导数，即可求出切线方程，从而得到0ln 1a x =+，0b x =-，即可得到a b +的表达式，构造函数，利用导数求出函数的单调性与最大值，从而得解；【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点， 由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-， 即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-， 所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞， 所以()111x g x x x-'=-=， 所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞； 故选：C5．在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说的是真的，从而推理出正确答案.【详解】甲说：丁>乙；乙说：甲>丙；丙说：丙>丁；丁说：丙>乙.若甲的成绩最低，甲说的是真，乙丙丁说的是假，则丁>乙>丙>甲，符合题意. 若乙的成绩最低，乙说的是真，丁说的是假，即丙<乙，与乙的成绩最低矛盾，不符合题意.若丙的成绩最低，丙说的是真，即丙>丁，与丙的成绩最低矛盾，不符合题意. 若丁的成绩最低，丁说的是真，丙说的是假，即丙<丁，与丁的成绩最低矛盾，不符合题意. 故选：A6．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x 万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y （单位：万元）与贷款x 满足关系式12ln 9y x x x=--+，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A ．3万元 B ．4万元 C ．5万元 D ．6万元【答案】B【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意12ln 9y x x x=--+，且010x <≤， ()()2'22243112121x x x x y x x x x -++-++=-+==， 所以函数12ln 9y x x x=--+在()'0,4,0y >，函数递增；在()'4,10,0y <，函数递减.所以当4x =万元时，函数取得最大值. 故选：B7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；在三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W 为 A ．44r π B ．43r πC ．42r πD ．4r π【答案】B【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W V '=，求出所求．【详解】由题知，,S l V S ''==，所以类比推理，猜想，W V '=，因为312V r π=， 所以43W r π=，故选B ．【点睛】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力．8．函数()sin sin cos f x x x x =+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可排除错误答案，从而得解； 【详解】解：因为()sin sin cos f x x x x =+，[],x ππ∈-，所以()()()()()sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x f x -=-+--=--=-， 所以()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D ；又sin sin cos 102222f ππππ⎛⎫=+⋅=> ⎪⎝⎭，故排除A ，又3313316sin sin cos 133332f ππππ⎛⎫=+⋅=>= ⎪⎝⎭，故排除C ； 故选：B9．利用数学归纳法证明不等式()211112321nf n +++⋅⋅⋅+<-（*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．k 项 B ．22k 项 C ．12k -项 D ．232k ⋅项【答案】D【分析】由数学归纳法，可知增加的项，由分母的改变量即可求解. 【详解】n k =时,左边为()211112321kf k +++⋅⋅⋅+<-， 当1n k =+时，左边为()2222211111111123212212221kk k k k ++++⋅⋅⋅+++++-++-左边增加了()2222111112212221k k k k +++++++- ，共有()()2122212132k k k +⎡⎤---=⋅⎣⎦. 故选：D10．已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,18B ．()2,18C ．(][)218-∞⋃∞,,+ D ．[]2,18 【答案】B【分析】求出导函数，得到函数在()0,+∞上的单调性，列不等式，即可得到答案.【详解】()2,0.af x x x x '=->当a ≤0时, ()0.f x '>恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a >0时,令()0.f x '>可得：22a x >；令()0f x '<，可得：202a x <<， 所以要使函数()f x 在()1,3内有极值点，只需2132<<a,解可得,2<a <18. 故选：B11．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】C【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ， 452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以111121231a =⨯=. 故选：C12．若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]12ln2e 3--, B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎥⎝⎦, C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,【答案】D【分析】由方程12ln 0x x x mx -+-=分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】依题意关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，12ln 1m x x =+-，构造函数()112ln 1e e x x x x f ⎛⎫+-<< ⎝=⎪⎭，()'221221x f x x x x-=-+=， 所以()f x 在区间()()'11,,0,e 2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.122ln 2112ln 22f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 1e 21e 3e f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11e e 21e e f +=+-=，所以()12ln 2e 3m -∈-,. 故选：D 二、填空题13．(12x dx =⎰________【答案】14π+【详解】因11(2(2)x dx x dx =+⎰⎰，而122(2)101x dx =-=⎰，2222000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t πππππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+．14．已知复数12z =-，则z z =______．【答案】12-【分析】先求出z ，再利用复数的四则运算直接求解. 【详解】因为复数12z =-，所以复数12z =-，所以21212z z ⎛⎫- ⎪==-⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-15．已知函数()()21e e e e 2x x f x a a x =+--（其中R,e a ∈为自然对数的底数）在x ＝1处取得极小值，则a 的取值范围是______． 【答案】()e,∞-+【分析】先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，结合()f x 在1x =处取得极小值来求得a 的取值范围.【详解】()()()()'2e e e e e e e x x x xf x a a a =+--=+-，当0a ≥时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意. 当0a <时，由e 0x a +=解得()ln x a =-，①当()ln 1,e 0a a -<-<<时，()f x 在区间()()()()'ln ,1,0,a f x f x -<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.②当()ln 1,e a a -≥≤-时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞>递增，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是()e,∞-+. 故答案为：()e,∞-+16．已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立．则11b a ++的最大值为______． 【答案】12e【分析】由不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤进行转化，先利用特殊值求得11b a ++的取值范围，再利用导数求得11b a ++的最大值. 【详解】依题意：不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即()()ln 2e 1121x x a x b +-≤+-+①对任意的()0,x ∈+∞恒成立， ln 2e 1y x x =+-在()0,∞+上递增，则10a +>，由①，令1e x =得()()111ln 2e 1121e e e a b +⋅-≤+⋅-+，整理得1112eb a +≤+.当13e 1,2a b =-=时，1112eb a +=+，此时，①即ln 2e 13e 3x x x +-≤-，只需ln e 20x x -+≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()()'e 1ln e 20,x f x x x x f x x-+=-+>=， 所以()f x 在区间()()'10,,0,e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'1,,0,e f x f x ⎛⎫+∞< ⎪⎝⎭递减，所以()111ln e 20e e e f x f ⎛⎫≤=-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：12e【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，主要步骤是先化简不等式，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等来进行求解. 三、解答题17．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（1）设0a b ≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+．（2）设0a >，求证：2211a a a a+≥+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作差可得33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-，由0a b >，可得2()0a b -，可得2()()0a b a b +-，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）证明如下：33223232()()()()a b a b ab a a b b ab +-+=-+- 22()()a a b b b a =-+-222()()()()a b a b a b a b =--=+-又0a >，0b >，∴0a b +>，而()20a b -≥， ∴()()20a b a b +-≥， 故3322()()0a b a b ab +-+≥， 即3322a b a b ab +≥+．（2）证明：要证2211a a a a+≥+， 只要证431a a a +≥+， 只要证43(1)0a a a ---≥， 只要证3(1)(1)0a a a ---≥，只要证()31(1)0a a --≥， 只要证()22(1)10a a a -++≥，因为2(1)0a -≥，22131024a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以()22(1)10a a a -++≥成立，所以0a >时，2211a a a a+≥+成立． 19．已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线所在的直线方程；(3)若抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，求点M 的坐标和最短距离．【答案】(1)1a =，2b =，1c =- (2)420x y --=(3)()1,2M 【分析】（1）对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P 点坐标代入两个函数式，可解得,,a b c ；（2）由（2）得切线斜率，从而得公切线方程；（3）由抛物线的导数值等于4可得M 点坐标，再由点到直线距离公式可得结论． 【详解】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是()()()332100lim lim 3x x x x a x x x ax y y x a x x∆→∆→+∆++∆-+∆'===+∆∆． ()()()22200lim lim 2x x x x b x x c x bx c y y x b x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+∆∆．将()1,2P 分别代入两曲线方程得到21a =+，21b c =++．又213y x a '=+，22y x b '=+，则32a b +=+，解得1a =，2b =，1c =-． (2)由（1）知3y x x =+，2131y x '=+；当1x =时，14y '=，故切线方程 为()412y x =-+，即420x y --=．由（1）知221y x x =+-，222y x '=+，当1x =时，24y '=，故切线方程为()412y x =-+，即420x y --=．综上所述，公切线所在的直线方程为420x y --=．(3)要使抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，则抛物线在点M 处 的切线斜率应该与直线45y x =-相同， 则()()()2200lim lim 224x x x x b x x c x bx c y y x x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+=∆∆，解得1x =．又因为点M 在抛物线上，解得()1,2M ， 所以最短距离即d 为点M 到直线45y x =-的距离，代入点到直线的距离公式得d =20．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈） (1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？ (2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？ 【答案】(1)6.67万元 (2)20.09万件【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.【详解】(1)当5x =时,()212055455 6.6733p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元(2)因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3e 12ln ,p x x x =-- ()3322e e ,1x xx p x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤> 此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，故当3e 20.09x =≈时，33max3e ()12ln e 12318ep x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.21．已知函数()e xf x =，()cosg x x =-．(1)讨论函数()()()g x F x f x =的单调性；(2)设函数()()()G x f x g x ax =+-（R a ∈），若()G x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)增区间π3π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，减区间3π7π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭(2)π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()F x 的单调区间.（2）由()'0G x ≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，分离常数a ，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围. 【详解】(1)()()()cos e xg x xF x f x -==，()F x 的定义域为R .()'sin cos πsin e 4x x x F x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 设Z k ∈， ππ3π2π2ππ,2π2π444k x k k x k <+<+-<<+， π3π7π2ππ2π2π,2π2π444k x k k x k +<+<++<<+， 所以()F x 在区间()()'π3π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'3π7π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭递减.(2)()()()e cos xG x f x g x ax x ax =+-=--，π2x ≥-，()'e sin 0x G x x a =+-≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，e sin x a x ≤+在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，令()πe sin 2xh x x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭，当ππ22x -≤≤时，()'cos 0,e cos 0x x h x x ≥=+>； 当π2x >时，e 1cos 1x x >≥≥-，()'e cos 0xh x x =+>， 所以()h x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，()ππ22ππe cos e 22h x h --⎛⎫⎛⎫≥-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2e a -≤，即a 的取值范围是π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】由函数()f x 在区间上的递增（或递减）来求参数的取值范围，可利用()'f x ≥（或()'0f x ≤）恒成立来建立不等关系式，然后通过分离常数法，再次结合导数来求得参数的取值范围.22．如图，()111,P x y 、()222,P x y 、⋅⋅⋅、(),n n n Px y （120n y y y <<<⋅⋅⋅<）是曲线C ：y =上的n 个点，点(),0i i A a （i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是等腰直角三角形，其中i P 为直角顶点，0A 是坐标原点．(1)写出1a 、2a 、3a ；(2)猜想点(),0n n A a （*n ∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)12a =，26a =，312a = (2)证明见解析【分析】（1）推导出()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，结合0a 的值，可求得1a 、2a 、3a 的值；（2）结合1a 、2a 、3a 的值可猜想得出()()*1n a n n n =+∈N ，然后利用数学归纳法结合()()()2*112n n n n a a a a n ---=+∈N 和{}n a 为单调递增数列，可证得猜想成立.【详解】(1)设00a =，则依题意，可得12n nn a a x -+=，11122nn n n n n a a a a y a ---+-=-=， 代入y x =1122n n n n a a a a ---+= 即()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，由图可知{}n a 为单调递增数列，所以，1n n a a +>，所以12a =，26a =，312a =．(2)由（1）可猜想：()()*1n a n n n =+∈N ． 下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当n k =时猜想成立，即有()1k a k k =+，则当1n k =+时，由()()2112k k k k a a a a ++-=+得()()211121k k a k k k k a ++-+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()2211211120k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()112k a k k +=++（()11k k a k k a +=-<不符合题意，舍去）， 即当1n k =+时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即()()*1n a n n n =+∈N ．。
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
的极大值点为 ，选项B判断错误；
函数 在（a，b）上的极值点为 ， 共2个.选项D判断正确；故选：D.
3.某铁球在 时，半径为 ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为 时铁球的半径为 ，其中a为常数，则在 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10.已知数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是（）．
A. B. 是等比数列
C. D.
12.已知函数 （ ， 且 ），则（）
A.当 时， 恒成立
B.若 有且仅有一个零点，则
C.当 时， 有两个零点
D.存 ，使得 有三个极值点
〖答案〗AC
〖解析〗对于A， 即 ，两边取对数， ，
令 ， ，
单调递增； 单调递减；
的最大值为 ， ，A正确；
对于B，若 有且仅有一个零点，则 ，两边取对数，有： ，
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年
高二下学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离 ,所以直线m与圆C相离，不合题意.
2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()000lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．2-【答案】A【分析】根据题意，由导数的定义可得0lim x ∆→000()()()f x x f x f x x+∆-'=∆，即可得答案． 【详解】根据题意，函数()y f x =在0x x =处的导数为0()1f x '=-，而0000()()lim ()1x f x x f x f x x∆→+∆-'==-∆，故选：A2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（ ） A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算，即每人有5种选法，分三步完成，可求得答案.【详解】窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 即每人都有5种选法，分3步完成，故不同的选法有35555⨯⨯= 种， 故选：B3．记()02012101101x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12310a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1024B ．1023C ．1-D ．0【答案】B【分析】利用赋值法求二次项系数和，令0x =求出0a ，再令1x =即可求解. 【详解】由题意可知，令0x =，得()100101a =+=， 令1x =，得()1010100121024112a a a a +++⋅⋅⋅++===， 所以1231001024102411023a a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-=. 故选：B.4．已知函数()sin f x x mx =-在(),-∞+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-D ．()1,1-【答案】C【分析】求得导数()cos f x x m '=-，根据题意转化为不等式cos x x ≤在R 上恒成立，结合余弦函数的值域，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x mx =-，可得()cos f x x m '=-， 因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，可得()0f x '≥在R 上恒成立， 即不等式cos 0x m -≥在R 上恒成立，即不等式cos m x ≤在R 上恒成立， 因为1cos 1x -≤≤，所以1m ≤-， 所以实数m 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C.5．将5名临床医学检验专家（3男2女）分配到2家医院进行核酸检测指导，要求每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有（ ） A ．6种 B ．9种 C ．12种 D ．16种【答案】C【分析】根据题意，先从3名男专家取2名，再分别安排男专家和女专家，即可求解. 【详解】由题意，每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有22223222C C A A 312212=⨯⨯⨯=种.故选：C.6．()712x +的展开式的第4项的系数为（ ） A ．335x B ．35 C ．3280x D ．280【答案】D【分析】根据二项式的展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意二项式()712x +的展开式的第4项为33347C (2)280T x x ==，所以展开式中4项的系数为280. 故选：D.7．某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（ ）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【答案】C【分析】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法；从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法，由分步计数原理，可得共有339⨯=种不同的走法. 故选：C.8．过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（ ）A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线， 设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--， 将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+即3200230x x a b -+-=（） 由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u = 当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =， 故选：A. 二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x'⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()22ln 2x x '=⋅C ．222e e x xx x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．()22cos 2cos sin x x x x x x '⋅=⋅+⋅【答案】BC【分析】根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可. 【详解】A 选项，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误； B 选项，()22ln 2x x '=⋅，故B 选项正确；C 选项，22222?·2()x x x x xx x e x e x x e e e '⎛⎫--== ⎪⎝⎭，故C 选项正确； D 选项，()222cos 2cos (sin )2cos sin x x x x x x x x x x '⋅=⋅+⋅-=⋅-⋅，故D 选项错误； 故选：BC.10．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行. 甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）A ．若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案B ．安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法C ．若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案D ．已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法 【答案】ACD【分析】根据分组分配法即可判断AC ，根据捆绑法可以判断B ，根据特殊位置优先安排可判断D ．【详解】解：对于A ：若每个比赛区至少安排1人，则有2454C A 240=种不同的方案，故A 正确；对于B ：把甲乙捆绑在一起，看作一个复合元素，再和另外的三人全排，则有2424A A 48=种，故B 错误；对于C ：短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有2353C A 60=种不同的方案，故C 正确；对于D ：先排前排，由25A 20=种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有22A 2=种，则有20240⨯=种，故D 正确． 故选：ACD11．若()()()()22*012121212nn n x x x a a x a x a x n ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+∈N ，06a =，则下列结论中正确的是（ ） A ．12n = B ．142a = C ．064ni i a ==∑D ．()116nii i ia =-=∑【答案】BD【分析】对于A ，根据已知条件及赋值法令0x =即可求解； 对于B ，利用二项式展开式的通项公式求指定项系数即可； 对于C ，利用赋值法求二项式系数令1x =即可求解；对于D ，根据已知等式两边同时求导数再利用赋值法令1x =-即可求解.【详解】对于A ，由题意可知，令0x =时 ()()()201201201206na +⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯==，解得6n =，故A 不正确；对于B ，由()12n x +展开式的通项公式为()1C 122C rr n r r r rr n n T x x -+=⋅⋅=⋅⋅，由6n =，得()()()26121212x x x ++++⋅⋅⋅++展开式中含x 的项的系数和为111111111123461522C 2C 2C 2C 2C 2468101242a =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=，故B 正确； 对于C ，令1x =，得660122603309231i i a a a a a ==+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+==++∑，故C 不正确；对于D ，对()()()22012121212nn n x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，两边同时求导，得()()()6255122121231261226x x x a a x a x ⎡⎤+++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+⎣⎦， 令1x =-，得12345623456a a a a a a -+-+-()()()()()2345212123124125126126⎡⎤=+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-⎣⎦. 所以()1234561234566a a a a a a -+-+-+=()()612345611234566iii ia a aa a a a =-=-+-+-+=∑，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()ln x f x x=，e是自然对数的底数，则（ ） A ．()f x 的最大值为1eB ．π2π2ln 33ln π3ln 2>>C ．若1221ln ln =x x x x ，则212e x x +=D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则212e x x > 【答案】ABD【分析】对于A ，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B ，根据函数()ln xf x x=的单调性，即可判断；对于C ，构造函数()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈，判断其单调性，结合1221ln ln =x x x x 即()()12f x f x =即可判断；对于D ，将()()12f x f x =展开整理得12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，然后采用分析法的思想，推出1121222(1)ln1x x x x x x ->+，构造函数2(1)(1)ln u t t t t --=+，求其最小值即可判断. 【详解】由题意得()ln x f x x =，则21ln ()xf x x -'=， 当0e x << 时，()0f x '>，()f x 递增 ，当e x > 时，()0f x '<，()f x 递减， 故max 1()(e)ef x f ==，故A 正确；由于3π<，由于当e x > 时，()f x 递减，故(3)(π)f f > ， 即ln 3ln π,2πln3>23ln π3π>⨯ ，即π22ln33ln π>， 因为ln 2ln 4(2)(4)(π)24f f f ===< ， 故ln 2ln π,3πln2<32ln π2π<⨯，即2π3ln π3ln 2>， 故π2π2ln 33ln π3ln 2>>，故B 正确； 因为1221ln ln =x x x x ，即121122ln ln ,()()x x f x f x x x ==， 设()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈ ，由于当0e x << 时，()f x 递增 ，当e x > 时， ()f x 递减，故()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈单调减函数，故()(0)0g t g <=，即(e+)<(e )f t f t -，由于12()()f x f x =，不妨设20e x <<， 则122e x x <- ， 即212e x x +<，故C 错误；对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，不妨设210x x << ， 即1212ln ln x x x x =，设1212ln ln x x m x x ==，则1122ln ,ln x mx x mx ==， 则12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，1212ln ln x x m x x -=-，而212121212121222()ln ln e ln ln 2x x x x x x x x x x x m x -+>⇔+>⇔>-+>⇔112112112222l 2(1n )2()ln 1ln x x x xx x x x x x x x --->⇔>++⇔ ， 设211,x x t => 令2(1)(1)ln u t t t t --=+ ，则2222(1)2(1)(1)0(1)(11)()t t t t t u t t t '+----=>++=， 即2((1)ln ,(11))t u t t t t -->+=为单调增函数，故()(1)0u t u >=， 即1121222(1)ln1x x x x x x ->+成立，故212e x x >，故D 正确， 故选：ABD 三、填空题13．若()1nx +的展开式中，2x 的系数为15，则n =___________. 【答案】6【分析】先求得()1nx +的展开式的通项公式，再根据2x 的系数为15求解. 【详解】因为()1nx +的展开式的通项公式为1rn r r n T x C -+=，且2x 的系数为15，所以2215n nn C C -==，即()1152n n -=， 解得5n =-(舍)或6n =. 故答案为：614．若()()3log 0f x x x =>，则()1f '=________. 【答案】1ln 3【分析】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，所以()11ln 3f '=. 故答案为：1ln 3. 15．在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所示的前n 个数字之和为________.【答案】32n C +【分析】根据组合数的运算性质，即可容易求得. 【详解】由表格可知，所求数列的前n 项和为：2222322223413341n n C C C C C C C C ++++++=++++322323441512n n n C C C C C C ++++++=++=.故答案为：32n C +.【点睛】本题考查组合数的运算性质，属中档题. 四、双空题16．若函数()()()()()()32112f x x x x x x x =---++，则()1f '=________；曲线()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-在点()1,8ln 2处的切线方程为________.【答案】 12 338ln 20x y +--=【分析】根据题意求得()f x '，得出()1f '的值，再结合导数的几何意义，求得切线的方程，得到答案. 【详解】由题意，函数()()()()()()()()()()32112(1)[3212]f x x x x x x x x x x x x x =---++=---++，可得()()()()()()()()()()1[(3)212]1[3212]f x x x x x x x x x x x x x '''=---+++---++()()()()()()()()[(3)212]1[3212]x x x x x x x x x x x '=--+++---++ 所以()12(1)12312f '=-⨯-⨯⨯⨯=； 又由()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-，可得1|4ln 48ln 21030x y ==+=+-，且()()()()()2222ln 3ln 34331ln 3x x x x y x xx f x f x +-+-'=+⨯++--'' ()()()()2221ln 324331ln 3x x x f x f x x x x x ⎛⎫'- ⎪⎝+-+⎭=+⨯++-， 所以()()12103034|333110132x y -+-⨯'=++-⨯=-+-，即切线的斜率为3k =-， 所以曲线在点()1,8ln 2处的切线方程为8ln 23(1)y x -=--，即338ln 20x y +--=. 故答案为：12；338ln 20x y +--=. 五、解答题17．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.(1)一共能组成多少个不同的三位数？(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？ 【答案】(1)120 (2)40【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数． （2）大于500的三位数，则百位应该从5或6中选一个，其他的从剩下的五个里面选2个进行排列，再根据分步计算原理即可得到结果．【详解】(1)解：（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为36A 654120=⨯⨯=.(2)解：百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，则有1225C A 40⨯=个大于500的三位数.18．已知函数()2ln x f x x x-=-． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,e 上的最值．【答案】(1)单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞ (2)()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1【分析】（1）对函数()f x 求导，通过导函数的正负判断()f x 的增加区间； （2）根据（1）中的单调性可得()f x 的极值，与区间端点值比较可得最值. 【详解】(1)由题意知：()()220x f x x x -'=>． 令()0f x '=，解得2x =．2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示.所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞． (2)结合（1）的结论，列表如下：所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．19．在二项式12nx ⎛+ ⎝的展开式中.(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若n 为满足812n <<的整数，且展开式中有常数项，试求n 的值和常数项.【答案】(1)展开式中二项式系数最大的项为3563T x -=，362252x T -=(2)9n =，常数项为7672T =【分析】（1）根据已知条件可得出关于n 的等式，结合N n *∈可求得n 的值，利用二项式系数的单调性可结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项；（2）设第1r +项为常数项，则r 为整数，写出二项展开式通项，令x 的指数为零，可得出32rn =，根据812n <<可求得整数r 的值，进而可求得n 的值，再利用二项式定理可求得展开式中的常数项.【详解】(1)解：由已知()212101C C C C C C 1462n n n n n n n n n n n n ---++=++=++=，整理得2900n n +-=，即()()9100n n -+=，N n *∈，解得9n =. 则展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，即(5443591C 632T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，(43552691C 2522T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)解：设第1r +项为常数项，则r 为整数，(322211C C 22n rr n rr r r nr nnT xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，即32rn =，所以81322r <<，可得1683r <<，解得6r =或7r =. 当6r =时，9n =；当7r =时，212n =（不合题意舍去），所以9n =. 常数项为6379C 2672T =⋅=.20．已知函数()()()2f x x x c c =-∈R . (1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，求c 的取值范围．【答案】(1)6c = (2)2(,)3+∞【分析】（1）求导因式分解后可得当3c x =时，()f x 有极大值，故此时23c=，所以6c =.（2）即()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，所以23c >.【详解】(1)因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()()()22343f x x cx c x c x c '=-+=--.当0fx，即3cx =，或x c =时，函数()f x 可能有极值.由题意，当2x =时，函数()f x 有极大值，所以0c >.当x 变化时，f x ，()f x 的变化情况如下表所示：x,3c ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 3c,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭c(),c +∞f x+-+()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当3c x =时，()f x 有极大值，此时23c=，所以6c =.(2)由（1）可知：()()()3f x x c x c '=--，当0fx时，3cx =，或x c =.由题意，()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，所以()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，由（1）知，()f x 在[,]3c c 上单调递减，所以23c >，解得23c >，或2c ≥，即23c >.综上所述，c 的取值范围是2(,)3+∞.21．如图，实线部分的公园是由圆P 和圆Q 围成，圆P 和圆Q 的半径都是2千米，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地ABCD ．若要建的活动场地ABCD 为等腰梯形，且AD 必须切圆Q 于P ，APB θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)记活动场地ABCD 的面积为()S θ，求()S θ的表达式；(2)当θ为何值时，活动场地ABCD 的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1)()π()4sin sin cos 02S θθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米） 【分析】（1）通过对等腰梯形进行分割，结合三角形面积公式即可得结果； （2）通过导数判断函数的单调性，进而可得最值.【详解】(1)由题意：()()1122sin 222sin π222S θθθ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-()π4sin sin cos 02θθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.(2)令()sin sin cos f θθθθ=+，则()()2cos cos cos sin sin 2cos cos 1f θθθθθθθθ'=++-=+-． 令()0f θ'=，得1cos 23πθθ==，.又03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>；,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'<，所以()sin sin cos f θθθθ=+在3πθ=处取到极大值也是最大值，故3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米）． 22．已知函数()22ln e x xf x a x=-+． (1)当1ea =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)0x y -= (2)20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据函数零点的存在性定理及利用导数法求函数的单调性及函数的最值，再结合分类讨论即可求解. 【详解】(1)因为()()221ln e x x f x a x-'=-， 所以当1ea =时，()11f '=.又因为()11f =，所以()f x 在1x =处的切线方程11y x -=-， 所以()f x 在1x =处的切线方程为0x y -=.(2)因为()()2ln e xx x ax f x x+-=，其中0x >，设()()2ln e xg x x x ax =+-，则()()()12e x x ax g x x+-'=，当0a ≤时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞单调递增，()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，即()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，设()2e x h x ax =-，()()1e xh x a x '=-+，所以()0h x '<， ()h x 在()0,+∞上单调递减. 又()020h =>，2222e 0a h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以020,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h x =，即00e 2xax =，当()00,x x ∈时，()0h x >，此时0g x ，所以()g x 在()00,x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞单调递减. 所以()g x 在()0,+∞有极大值()0g x ，即()()()()00000000max 2ln e 2ln 22ln 1x g x x x ax x x x x =+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦若00ln 10x x +-≤，则()0g x ≤，所以()0≤f x ，()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意.… 若00ln 10x x +->，设()ln p x x x =+，()110p x x'=+>， 所以()p x 在()0,+∞单调递增. 又()11p =，所以01x >.因为()()e 1e 0x x x x '=+>，所以e x y x =在()0,+∞单调递增， 所以002e e x x a=>，即20e a <<，此时()00g x >，()00f x >因为111e e11122(1)e 2e 0e e e e g a a -⎛⎫=-+-=-+-< ⎪⎝⎭， ()g x 在()00,x 单调递增，()00g x >，所以101,e x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =.又因为e 11ln x x x x ≥+>-≥，e 1x x x ≥+>，所以444444442ln 4e 2ln e e 0aa a g a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 因为()g x 在()0,x +∞单调递减，()00g x >，且因为020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以04x a >，所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =．综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】解决此类题型的关键第一问直接利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问利用零点的存在性定理及导数法求函数的单调性和最值但要注意对参数进行分类讨论.。
2021-2022学年天津市耀华中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市耀华中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知()2xf x x e =+，则()0f '=（ ）A ．0B ．4-C ．2-D ．1【答案】D【解析】利用导数的运算法则可求得()f x '，进而可求得()0f '的值.【详解】由题意，得()2xf x x e =+'，则()01f '=，故选：D ．2．曲线ln 2y x x =-在点()1,2-处的切线方程为（ ） A ．10x y ++= B ．10x y +-= C ．30x y --= D ．30x y -+=【答案】A【分析】根据题意，利用导数求出1()2f x x'=-，将1x =代入()f x '求出切线斜率，然后由直线方程的点斜式求出切线方程.【详解】解：由题可知，()ln 2f x x x =-，()f x 的定义域为()0,∞+， 则1()2f x x'=-， 当1x =时，1(1)211f '=-=-，所以曲线在点()1,2-处的切线方程为21(1)y x +=-⨯-，即10x y ++=. 故选：A.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，属于基础题. 3．从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为 A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】B【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况． 4．52()x x-的展开式中3x 的系数为（ ）A ．10B ．10-C ．5D ．5-【答案】B【分析】利用二项式定理展开式的通项公式525(2)r r rC x --可求3x 的系数.【详解】52()x x -的展开式的通项公式为5521552()(2)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令523-=r 可得1r =，所以3x 的系数为15210C -=-.故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理，利用二项式定理求解特定项的系数一般是利用通项公式求解.属于基础题.5．从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法种数共有（ ） A ．24种 B ．9种C ．10种D ．26种【答案】D【分析】分三类讨论：红+黑、红+白、黑+白． 【详解】红球+黑球：4312⨯=种； 红球+白球：428⨯=种； 黑球+白球：326⨯=种；故取出不同颜色的两个小球共有：128626++=种； 故选：D ．6．函数443y x x =-+在区间[2,3]-上的最小值为 A ．72 B ．36C ．12D ．0【答案】D【分析】先根据给出的函数求出导函数；再令0y '>，求出单调递增区间，再令0y '<，求出单调递减区间，确定出函数[2,3]-上的单调性，从而求出最小值. 【详解】解：344y x '=-，令0y '=，即3440x -= 解得1x = 当1x <时，0y '< 当1x >时，0y '> ∴1|0x y y ===极小值，而端点的函数值2|27x y =-=，3|72x y ==，得min 0y =． 故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，关键是确定函数在区间上的单调区间，进而确定最值.7．已知曲线32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))f 处的切线斜率为3，且23x =是()y f x =的极值点，则函数的另一个极值点为（ ） A ．2- B ． 1C ．23-D ．2【答案】A【分析】根据题意可知()213,03f f ''⎛⎫== ⎪⎝⎭，可解出,a b ，再求出另外一个极值点即可．【详解】2()32f x x ax b '=++，由题意有2(1)323222320333f a b f a b =++=⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭'⎝'⎭⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，所以()()2()344322f x x x x x '=+-=-+，令()0f x '=，解得2x =-或23x =，所以函数的另一个极值点为2-． 故选：A ．8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A =“第一次取到的是奇数”，B =“第二次取到的是奇数”，则()P B A =（ ）A ．15B ．310 C ．25D ．12【答案】D【分析】根据题意分别求得5()9=P A ，5()18P AB =，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，事件A =“第一次取到的是奇数”，B =“第二次取到的是奇数”， 可得5()9=P A ，545()9818P AB =⨯=， 根据条件概率的计算公式，可得()41()()82P AB P B A P A ===. 故选：D.9．函数()21ln 4f x x x =-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，进而可得出函数()y f x =的图象. 【详解】()21ln 4f x x x =-，()()2112022x f x x x x x-'∴=-=>，所以当02x时，()0f x '>，当2x ()0f x '<，所以函数()y f x =在(2上是增函数，在)2,+∞上是减函数，()()max 112ln 2022f x f ==-<.故选：A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键．难度中等．10．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）.A ．12164320C C CB ．21164320C C CC ．21316416320C C C C + D ．343201C C -【答案】D【分析】根据题意得都是二等品的概率为34320C C ，求解计算即可.【详解】全部都是二等品的概率为34320C C ，故至少有1个是一等品的概率为343201C C -.故选：D.11．函数32()24f x x x x =--+，当[3,3]x ∈-时，有()f x a ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,11)- B ．[33,)-+∞C ．(,33]-∞-D ．[2,7]【答案】C【分析】先用导数法求得函数()f x 的最小值，再根据[3,3]x ∈-时，有()f x a ≥恒成立求解.【详解】解：函数32()24f x x x x =--+， 则()22()344323f x x x x x ⎛⎫'=--+=--+ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，得23x =或2x =-，当2x <-或23x >时，()0f x '<，当223x -<<时，()0f x '>，所以当2x =-时，()f x 取得极小值()28f -=-，当23x =时，()f x 取得极大值240327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又当3x =-时， ()33f -=-，当3x =时， ()333f =-， 所以()f x 的最小值为：-33因为当[3,3]x ∈-时，有()f x a ≥恒成立， 所以33a ≤-， 故选：C12．已知函数()()2e xf x a x a R =-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．220,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】将问题转化为2()ex x g x =与y a =有三个不同交点，利用导数研究()g x 的性质并画出图象，数形结合法判断a 的取值范围. 【详解】令()2e 0xf x a x =-=，可得2ex x a =，若2()ex x g x =，则(2)()e x x x g x '-=，∴当02x <<时，()0g x '>，()g x 递增；当0x <或2x >时，()0g x '<，()g x 递减； ∴()g x 有极小值(0)0g =，极大值24(2)e g =， 又x →-∞，()g x →+∞；x →+∞，()0g x →；可得()g x 图象如下：∴要使题设函数有三个不同零点，即()g x 与y a =有三个不同交点， ∴240e a <<.二、填空题13．函数()()3e xf x x =-的单调增区间是___________.【答案】()2,+∞[2,)+∞【分析】首先对()(3)x f x x e =-求导，可得()(2)e x f x x '=-，令()0f x '>，解可得答案． 【详解】解：3e ()[()e ]()e (e 2)3x x x x f x x x x '=-=+-=-' 由()0f x '>得2x >，故()f x 的单调递增区间是(2,)+∞. 故答案为：(2,)+∞14．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是___________.(用数字作答)【答案】24【分析】写出展开式通项公式，确定常数项的项数后可得． 【详解】44421441(2)2rrrr r rr T C x C x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，420r -=，2r =， 常数项为2234224T C =⨯=．故答案为：24．15．直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是________． 【答案】(－2,2)【详解】试题分析：结合函数图象，a 介于f(x)的极大值和极小值之间． 因为，()f x ＝x 3－3x ，所以，f’(x)=3x²－3,令f'(x)=0，得：x=－1，x=1 f(－1)=2，f(1)=－2所以，－2<a<2，故答案为(－2,2)．【解析】数形结合思想，转化与化归思想，利用导数研究函数的极值． 点评：简单题，利用数形结合法，将问题转化成利用导数研究函数的极值． 16．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有______种（用数字作答） 【答案】420【分析】选到的3名同学中既有男同学又有女同学可分为1男2女，2男1女，用组合【详解】由题意，选到的3名同学中既有男同学又有女同学可分为1男2女，2男1女即1221106106150270420C C C C +=+=故答案为：42017．若函数()32f x x ax ax =+-在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【答案】[]3,0-【分析】求出函数的导函数，依题意()0f x '≥在R 上恒成立，则0∆≤，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()32f x x ax ax =+-，所以()2320f x x ax a =+'-≥在R 上恒成立，即24120a a +∆=≤，解得30a -≤≤，故实数a 的取值范围是[]3,0-．故答案为：[]3,0-18．已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________. 【答案】11[,)4e【分析】采用数形结合，先计算直线直线y ax =与曲线ln y x =相切时，a 的值，然后讨论114a e ≤<，10,4<<a 104a <<的情况，最后判断可得结果.【详解】作出函数()y f x =的图象如图所示：先考虑直线y ax =与曲线ln y x =相切时，a 的取值， 设切点为(,ln )t t ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 切线方程为1ln ()y t x t t -=-，即1ln 1y x t t =+-，则有1ln 10a tt ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1t e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图象可知，当1a e=时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象没有公共点， 在(1,)+∞有一个公共点，不合乎题意； 当114a e≤<时， 直线与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象没有公共点， 在(1,)+∞有两个公共点，合乎题意； 当104a <<时， 直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象只有一个公共点， 在(1,)+∞有两个公共点，不合乎题意；当0a ≤时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象只有一个公共点，在(1,)+∞没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为：11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查方程根的个数求解参数，采用数形结合，形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题. 三、解答题19．求下列各函数的导数： (1)ln(32)y x =-； (2)e xx y =； (3)()2cos f x x x =+ 【答案】(1)332y x '=- (2)1e xxy -'=(3)()12sin f x x '=-【分析】根据导数求导法则及基本初等函数的导数求解即可. 【详解】(1)ln(32)y x =-，13(32)3232y x x x ''∴=⨯-=--.(2)xx y e =， 2()e (e )1(e )ex x x x x x x y ''--'==.(3)()2cos f x x x =+，()12sin f x x '∴=-.20．计算(1)215103134A A A A +-；(2)299100100C C +．【答案】(1)15 (2)5050【分析】（1）利用排列数公式求解； （2）利用组合数公式求解.【详解】(1)215103134A A 541015A A 3214+⨯+==-⨯⨯-； (2)2992110010010010010099C C C C 10050502⨯+=+=+=. 21．已知函数()32f x x ax bx =-++在区间()2,1-内，当1x =-时取得极小值，当23x =时取得极大值.（1）求函数()y f x =在2x =-时的对应点的切线方程； （2）求函数()f x 在[]2,1-上的最大值与最小值. 【答案】(1)【分析】(1)根据函数解析式得到()'f x ，利用()f x 在1x =-处取极小值，在23x = 处取极大值得到()()'10,'230f f -==，由此求出,a b 的值,结合,a b 的值求出()f x 的解析式，进而求出切点以及()'2f -，利用点斜式求出切线方程；（2）由（1）可得()32122f x x x x =--+，此时根据导数研究函数的最值即可.【详解】（1）()2'32f x x ax b =-++，又1x =-，23x =分别对应函数的极小、极大值， 则1x =-，23x =是方程2320x ax b -++=的两实根，2221,(1)3333b a ∴=-+-=-⨯， 于是1,22a b =-=，经检验满足题意则()32122f x x x x =--+且当2x =-时，()22f -=，且()'28f =-， ∴所求切线方程为()282y x -=-+，即8140x y ++=； （2）()22f -= ，()()322211,,123272f f f ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，()f x ∴在[]2,1-上的最大值为2,最小值为32-，【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 22．已知函数()(ln 1),()(,)f x x x g x ax b a b R =-=+∈．(1)若1a =时，直线()y g x =是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； (2)3b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围；(3)令()()()x f x g x ϕ=-，且()ϕx 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上有零点，求24a b +的最小值．【答案】(1)e b =-； (2)(,ln3]-∞； (3)244e 4e -.【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切点在切线上求解即可； （2）原不等式恒成立分离参数后化为3ln 1a x x≤+-，利用导数求3()ln 1h x x x =+-的最小值即可；（3）设()(ln 1)x x x ax b ϕ=---，()ϕx 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的一个零点为0x ，利用零点转化为24a b +()20004ln 14x x x ≥--，再构造函数22()4(ln 14e e ),t x x x x x =--≤≤，求最小值即可.【详解】(1)当1a =时，(),()ln g x x b f x x '=+=，设切点为()()00,A x f x ， 因为()g x x b =+是()f x 的一条切线，第 11 页 共 11 页 所以()00ln 1f x x ='=，解得0e x =，所以()0(e)0f x f ==，又切点(e,0)A 在切线y x b =+上，所以0e b =+，得e b =-．(2)当3b =-时，由()()f x g x ≥恒成立可得(ln 1)30x x ax --+≥恒成立， 即3ln 1a x x≤+-恒成立，令3()ln 1h x x x =+-， 则22133()x h x x x x-'=-=，当03x <<时，()0h x '<，当3x >时，()0h x '>， 所以()h x 在(0,3)上递减，在(3,)+∞上递增，故3x =时，有极小值也是最小值(3)ln 3h =，所以ln3a ≤.(3)()(ln 1)x x x ax b ϕ=---，设()ϕx 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的一个零点为0x ，则()()()0000000ln 10,ln 1x x x ax b b x x ax ϕ=---==--，()()()2222000000044ln 1424ln 14a b a x x ax a x x x x +=+--=-+--()20004ln 14x x x ≥--，当02a x =时等号成立．令22()4(ln 14e e ),t x x x x x =--≤≤，则()4ln 8t x x x '=-． 因为2e e x ≤≤，则1ln 2,4ln 84280e x x x ≤≤-<⨯-<，即()0t x '<，所以()t x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()t x 的最小值为()224e e 4e 4t =-，故24a b +的最小值为244e 4e -．【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于利用()ϕx 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上有零点，利用零点表示b ，再将24a b +转化为关于a 的二次式得出最小值为()20004ln 14x x x --，之后利用导数求最小值即可.。
2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试卷(含答案)
2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有10题，第1－6题每题4分，第7－10题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果，并按要求拍照上传．1．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．2．棱长为1的正方体中，异面直线1A D 与BC 之间的距离为______．3．正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______．4．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①a α∥，b a b α⇒∥∥；②a b ∥，b a αα⇒∥∥；③αβ∥，a α⊂，b a b β⊂⇒∥． 其中假命题．．．的序号是______．（写出所有假命题．．．的序号） 5．若一个圆锥的母线长为4，其侧面积为过圆锥轴的截面面积的2π倍，则该圆锥的高为______．6．如图所示，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ＝2，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，2EF =，则异面直线AC 与BD 所成角的大小是______．7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，23BC =，沿对角线AC 将矩形折成直二面角D －AC －B ，则线段BD 的长为______．8．如图所示，过三棱台上底面的一边11AC ，作一个平行于棱1BB 的截面，与下底面的交线为DE ．若D 、E 分别是AB 、BC 的中点，则11111i A B C DBEA B C ABC V V −−=______．9．已知如下的定理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面之比均为一定值()0λλ>，则这两个几何体的体积之比也为λ”．设a 、b 为两个常数，且满足0a b >>，则半椭圆()222210x y y a b+=≥绕x 轴旋转一圈所得的几何体体积为______． 10．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M 、N ，点P 为正方体表面上一动点，当线段MN 长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是______．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请直接在智学网上作答．11．已知a 、b 是平面α的两条斜线，则“a 、b 与平面α所成角相等”是“a b ∥”的（ ）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要12．设A 、B 、C 、D 是空间中不共面的四点，令u AD BC =+，v AB CD =+，w AC BD =+，则u 、v 、w 三个向量（ ）． A ．互不相等 B ．有且仅有两个相等 C ．都相等 D ．以上均有可能13．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．814．为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O 和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为36π，底座由边长为12的正三角形铜片ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（ ）．A ．CD 与BE 是异面直线B ．异面直线AB 与CD 所成角的大小为45°C ．由A 、B 、C 三点确定的平面截球所得的截面面积为3πD ．球面上的点到底座底面DEF 的最大距离为336++三、解答题（本大题共有5题，本大题满分56分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤，并按要求拍照上传．15．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．在长方体1111ABCD A B C D −中，AB ＝1，AD ＝2，14AA =，E 、F 分别为线段BC 、1CC 上的点，且CE ＝1，CF ＝1．（1）求证：EF ∥平面11ADD A ；（2）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值．16．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA 、OB 、1OO 两两垂直（OA 、OB 、1OO 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．（1）若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为32立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？（2）应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 17．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．在平面直角坐标系内，我们知道ax ＋by ＋c ＝0（a 、b 不全为0）是直线的一般式方程．而在空间直角坐标系内，我们称ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0）为平面的一般式方程．．．．．．．．． （1）求由点()2,0,0A ，()0,3,0B ，()0,0,4C 确定的平面的一般式方程；（2）证明：(),,n a b c =为平面ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0）的一个法向量；（3）若平面α的一般式方程为ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0），()000,,P x y z 为平面α外一点，求点P 到平面α的距离．18．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分． 如图所示，圆柱1OO 内有一个三棱柱111ABC A B C −，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径，12AB AA ==，点C 为底面圆周O 上的动点．记三棱锥1B ABC −的体积为V ．（1）证明：平面11A ACC ⊥平面11B BCC ；（2）求V 的最大值；（3）当V 取最大值时，求直线11AC 与平面1B OC 所成角的正弦值．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 如图所示，已知球O 的半径为2，在球O 的表面上有三点A 、B 、C ，且O 、A 、B 、C 四点不共面，∠AOB ＝120°．（1）若CO ⊥平面AOB ，求球心O 到平面ABC 的距离；（2）若CO ⊥平面AOB ，一个经过点A 、B 、C 的球O '也经过点O ，求球O '的表面积；（3）若线段AB 上存在一点D ，使得AD ＝CD ，求三棱锥O －BCD 体积的最大值．参考答案一、填空题1．3 2．1 3． 4．①②③ 5．2 6．2π78．37 9．243ab π 10．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题11．B 12．B 13．A 14．C三、解答题15．（1）法一：因为平面11BCC B ∥平面11ADD A ，EF ⊂平面11BCC B ，故EF ∥平面11ADD A ；法二：取AD 的中点M ，棱1DD 上取点N 使得DN ＝1，可得NF EM ∥且NF ＝EM ，四边形EFNM 为平行四边形，所以EF MN ∥，又因为EF 不在平面11ADD A 上，MN ⊂平面11ADD A ，所以EF ∥平面11ADD A ；法三：以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， ()0,1,1EF =，平面11ADD A 的方向向量为()1,0,0n =，因为0EF n ⋅=，且EF 不在平面11ADD A 上，故EF ∥平面11ADD A ．（2）法一：依据（1）中的法二，取1AA 的中点P ，连接MP ，则∠PMN 为异面直线EF 与1A D 的所成角，因为MN =PM PN ==，所以222cos 2PM MN PN PMN PM MN +−∠==⋅， 故异面直线EF 与1A D． （或取1BB 的中点G ，连接EG ，因为1EG A D ∥，所以∠GEF 为异面直线EF 与1A D 的所成角，因为EF =FG GE ==cos GEF ∠=） 法二：依据（1）中的法三，()0,1,1EF =，()10,2,4A D =−，设异面直线EF 与1A D 所成角为θ，111cos cos ,102EF A DEF A D EF A D θ⋅====故异面直线EF 与1A D． 16．（1）法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cos θ、2sin θ，高为1，体积12cos 2sin 1sin 222V Sh θθθ==⋅⋅⋅==，解得6πθ=或3π， 所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π． 法二：设三棱柱底面的一条直角边长为()02x x <<，高为1，体积1122V Sh x ==⋅=x ＝1所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π． （2）法一：同（1）中法一所设， 若长边紧贴底面，体积12cos 2sin 1sin 212V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立； 若短边紧贴底面，体积111cos sin 2sin 2222V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立； 显然112>，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°． 法二：同（1）中法二所设，若长边紧贴底面，体积22141124x x V Sh x +−==⋅≤=，等号当且仅当x =若短边紧贴底面，体积221112222x x V Sh x +−==⋅≤=，等号当且仅当2x =时成立； 显然112>，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．17．（1）代入解得10234x y z ++−=，即6x ＋4y ＋3z －12＝0； （2）记平面α的方程为ax ＋by ＋cz ＋d ＝0，在平面α上任取一条直线，该直线上任取两个不同的点()111,,M x y z 和()222,,N x y z ，则M α∈，N α∈，故有11122200ax by cz d ax by cz d +++=⎧⎨+++=⎩；因为()212121,,MN x x y y z z =−−−，(),,n a b c =，所以()()()2121210n MN a x x b y y c z z d d ⋅=−+−+−=−+=，故n MN ⊥所以n 垂直于平面α上的任意一条直线，所以n 是平面α的一个法向量．（3）任取平面α上一点()111,,Q x y z ，则1110ax by cz d +++=，点P 到平面α的距离d 是向量PQ 在n 的方向上的投影的模，于是(n PQa x d n ⋅=−=，所以点P 到平面α18．（1）因为1111AC B C ⊥且111AC CC ⊥，所以11AC ⊥平面11BCC B ，又11AC ⊂平面11AACC ，所以平面11A ACC ⊥平面11B BCC ． （2）三棱锥1B ABC −以△ABC 为底面，12BB =为高，体积V 最大时，底面积ABC S △最大，易知当OC ⊥AB 时ABC S △最大，故体积的V 最大值为max 111122123323ABC V S BB =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=△，此时C 为弧AB 的中点． （3）法一：以O 为原点，分别以OC ，OB ，1OO 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系， ()10,1,2A −，()11,0,2C ，()10,1,2B ，()1,0,0C ，()111,1,0AC =，设平面1B OC 的法向量为n ，则00n OB n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，不妨取()0,2,1n =−，设11AC 与平面1B OC 所成角为θ，111111sin cos ,55AC nAC n AC n θ⋅====， 所以直线11AC 与平面1B OC 所成角的正弦值为5． 法二：设11AC 与平面1B OC 所成角为θ，点A 到平面1B OC 的距离为d ，因为11ACAC ∥， 所以11AC 与平面1B OC 的所成角等于AC 与平面1B OC 所成角，故sin d AC θ=， 由11112A B OC B AOC B ABC V V V −−−==，知11133B OC S d ⋅⋅=△，又11122B OC S OC OB =⋅=△，所以d =sin 5d AC θ===，所以直线11AC 与平面1B OC 所成角的正弦值为5．19．（1）设球心O 到平面ABC 的距离为d ，由AB =AC BC ==，得ABC S =△；因为C OAB O ABC V V −−=，所以1112223223d ⋅⋅⋅⋅=，解得5d =．。
2021-2022学年高二下学期期中学业质量监测数学试题 (解析版)
一、单项选择题（共8小题）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+53．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．6005．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.05046．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．167．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．1810．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex 11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四【分析】由复数z得到z的坐标得答案．解：∵z＝﹣1+2i，∴在复平面内，复数z＝﹣1+2i对应的点的坐标为（﹣1，2），所在象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+5【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解：设回归直线方程为 1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5＝1.23×4+a∴a＝0.08∴回归直线方程为 1.23x+0.08故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．3．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可．解：∵∴P（X＝2）P（X＝3），∴P（1＜X≤3）故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确利用分布列的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，本题是一个基础题．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有A44＝24种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有A52＝20种情况，则有24×20＝480个符合题意的六位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.0504【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为：p0.2016．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．16【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得1+a能被17整除，从而得出结论．解：设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a＝161010+a＝（17﹣1）1010+a＝171010﹣171009+171008﹣171007+…+（﹣17）+1+a 能被17整除，则1+a能被17整除，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝1﹣P（ξ＜108）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（﹣3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数的单调性情况，进而结合选项得出答案．解：，当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＞0，此时f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选项B，C；当x∈（0，3）时，f′（x）可正可负，此时f（x）有增有减，可排除选项D．故选：A．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．一、选择题9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．18【分析】由，利用组合数的性质即可得出x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解出即可得出．解：∵，∴x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解得：x＝4，或9．故选：AC．【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．解：直线的斜率为k，由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A 不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C 可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x ﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算35 ．【分析】先把化为C33，再根据组合数的性质，∁nm+∁nm﹣1＝Cn+1m，逐个化简，即可求出的值．解：∵∁mn+Cm﹣1n＝∁mn+1，∴原式35．故答案为：35．【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．【分析】直接由排列数公式展开求得；展开排列数公式，得到f（x）的解析式，求出导函数，再由导数小于0求得函数的单调减区间．解：由，得；函数x（x﹣1）（x﹣3+1）＝x3﹣3x2+2x，∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．由f′（x）＜0，得3x2﹣6x+2＜0，解得x．∴函数的单调减区间为（，）．故答案为：；（，）．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 3 ．【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，算出取到白球的概率，由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果．解：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，∴符合二项分布，∴2，∴n＝3故答案为：3【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为43 ．【分析】先求出m的值，令x＝0，可得a0＝﹣2，在所给等式中，两边对x求导数，再令x＝1，可得要求式子的值．解：∵已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，而a1＝﹣1+m1+14m＝27，∴m＝2．∴（x+2）•（2x﹣1）7 ＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8．令x＝0，可得a0＝﹣2．等式两边对x求导数可得，（2x﹣1）7+（x+2）•14（2x﹣1）6 ＝a1+2a2x+3a3x2…+8a8x7，∴再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝43，则ai）＝a1+2a2+…+8a8）＝43，故答案为：43．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．【分析】（1）由题意可得2，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，即2，求得n＝7，或n＝2（舍去）．（2）展开式的通项公式为Tr+1••，令2，求得r＝2，可得展开式中含x2的项为T3••x2•x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先计算出抽取的6人中甲组的人数和乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：甲组乙组合计男生27 3 30女生13 17 30合计40 20 60根据列联表中的数据，可以求得：K214.7；由于14.7＞2.706，所以有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关；（2）因为甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P＝1，答：至少有1人在甲组的概率为．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x ﹣1＝（x+1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或，当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递增，在单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运算求解能力，属于基础题．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，利用组合数求出事件A的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后根据古典概型即可求得概率；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，然后利用组合数与古典概型逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，种，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27＝128种等可能的基本事件，∴P（A）．故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为．（2）每家医院至少1人共有27﹣2＝126种等可能的基本事件，随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，P（ξ＝1）；P（ξ＝3）；P（ξ＝5）．∴ξ的分布列为ξ 1 3 5P数学期望E（ξ）．【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．【分析】（1）利用导数求函数的在x＝1处切线的斜率，进而求出切线方程；（2）利用导数的正负求g（x）的单调区间，当g′（x）＞0时解得为函数的增区间，g′（x）＜0解得为函数的减区间，关键是由于f（x）为分段函数，所以g（x）也要进行分段讨论；（3）利用导数研究函数的单调性，从而证明函数的零点问题，关键是求函数的单调性时，导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围．解：（1）由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，所以f′（1）＝e，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；（2）当x≥1时，g′（x）＝2x+xex ＝x（2+ex）＞0，所以函数g（x）的单调增区间为[1，+∞），当x＜1时g（x）＝x2﹣（x﹣1）ex，所以g′（x）＝2x﹣xex＝x（2﹣ex），令g′（x）＞0得0＜x＜ln2；令g′（x）＜0，得x＜0或ln2＜x ＜1，所以函数的单调增区间为（0，ln2）；单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和[1，+∞）；函数的单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．（3）证明：由题意知，F（x）＝m（x﹣1）ex﹣lnx得，令h（x）＝mx2ex﹣1（x＞0），当时，h′（x）＝（2mx+mx2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝me﹣1＜0，h（ln）1＞0，所以存在唯一的，使得，当x∈（0，x0）时，h′（x0）＜0，所以在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以在（x0，+∞）上单调递增，故x0是h（x）＝mx2ex﹣1（x ＞0）的唯一极值点．令t（x）＝lnx﹣x﹣1，当x∈（1，+∞），，所以在（1，+∞）上单调递减，即当x∈（1，+∞）时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以，又因为F（x0）＜F（1）＝0，所以F（x）在（x0，+∞）上有唯一的零点，所以函数F（x）恰有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题．。
2021-2022学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列求导运算正确的是（ ） A ．(cos )sin 33'=-ππB ．1(ln )(ln )x x x x x'=+e eC ．1(ln 2)2x x'= D ．(3)3x x '=【答案】B【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算和复合函数 求导数的法则即可求解. 【详解】对于A ，11cos ,cos 03232''⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，故A 不正确；对于B ，()()1(ln )l l n l n n x x x x x x x x x ⎛⎫'''==+ ⎪⎭+⎝e e e e ，故B 正确；对于C ，()11(ln 2)22x x x x''==，故C 不正确； 对于D ，(3)3ln 3x x '=，故D 不正确. 故选：B.2．函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '+<的解集（ ）A ．(,2)(1,1)-∞--B ．()(,2)1,2-∞-⋃C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．()2,1(1,)--⋃+∞【答案】A【分析】先通过原函数的单调性判断导函数的正负，在判断(2)()x f x '+的正负即可 【详解】由函数()f x 的单调性可得，在()(),1,1,∞∞--+上()0f x '>，在()1,1-上()0f x '<又因为2x +在()2-∞，-为负，在()2-+∞，为正 故(2)()0x f x '+<的区间为(,2)(1,1)-∞-- 故选：A3．()25y x x y x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝-的展开式中42x y 的系数为（ ）A ．3B ．5C ．9D ．10【答案】C【分析】根据二项式定理分析出42x y 在第几项即可. 【详解】()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭-=+-+ ，在()5x x y +中出现42x y 的项是23242510xC x y x y = ，在()25y x y x-+ 中出现42x y 的项是205425y C x x y x -=- ，所以其系数为10-1=9； 故选：C.4．用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（ ） A ．50 B ．52 C ．54 D ．56【答案】B【解析】特殊元素优先考虑，即优先考虑个位数是0的情况，再考虑不是0的情况，最后将所有结果加起来即可.【详解】能被2整除的三位数是偶数，当个位数是0时，有25A 种情形；当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有111244C C C ⋅⋅种情形，因此，能被2整除的三位数的个数是2111524452A C C C +⋅⋅=种.故选：B【点睛】本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题.5．安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（ ） A ．13 B ．18 C ．22 D ．28【答案】D【解析】根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得.【详解】第一类，乙安排在周二，则有33212A =种，第二类，乙不安排在周二，则从甲乙丙以外的2人中选1人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排，故有1122222216A C A A =种，根据分类计数原理可得，共有121628+=种， 故选：D【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，属于基础题.6．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是112,,323，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．718【答案】D【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M 分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A ，B ，C ，则112(),(),()323P A P B P C ===，汽车在三处遇两次绿灯的事件M ，则M ABC ABC ABC =++，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，而事件A ，B ，C 相互独立， 则112112112()()()()(1)(1)(1)323323323P M P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯718=，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为718. 故选：D7．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A 、B 、C 三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（ ） A ．12B ．625C ．716 D ．49【答案】B【分析】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，有“311++”和“221++”两种人数分配方法，分别计算两种分配方法的数目以及满足甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配数目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解. 【详解】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法有“311++”和“221++”两种，分别是：①，若采用“311++”时，共有31152122C C C 10A =种分堆方法，再分配到三所医院，共有3113521322C C C A 60A =种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到3人组，并从其他3位医生中再选一位凑够3人，剩下的全排，共有1333C A 18=种分配方法；②，若采用“221++”时，共有22153122C C C 15A =种分堆方法，再分配到三所医院，共有2213531322C C C A 90A =种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到2人组，分配剩下的3人，为2131C C 3=种，然后再全排，共有213313C C A 18=种分配方法；所以，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法共有 6090150+=种分配方法，甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配方法有181836+=种，所以甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为36615025P ==. 故选：B.8．有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．12D ．35【答案】B【分析】根据独立事件与古典概型计算分从甲袋子取出2个白球放入乙袋子、从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子和从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子三种情况讨论，从而可得出答案．【详解】解：若从甲袋子取出2个白球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为213621510950C C C C ⋅=；若从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为212421510125C C C C ⋅=；若从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为11132521510310C C C C C ⋅⋅=． ∴从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为9131350251025++=． 故选：B.9．已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【答案】D【分析】求导，由单调性得到23690x mx m -+≥在()1,+∞上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m 的取值范围.【详解】()2369f x x mx m '=-+，因为()f x 在()1,+∞上为单调递增函数， 所以23690x mx m -+≥在()1,+∞上恒成立，令()2369g x x mx m =-+，要满足()61610m x f -⎧=-≤⎪⎨⎪≥⎩①，或()6160m x f m -⎧=->⎪⎨⎪≥⎩②， 由①得：[]1,1m ∈-，由②得：(]1,3m ∈， 综上：实数m 的取值范围是[]1,3-. 故选：D10．若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．()2,-+∞ C ．()2,+∞ D ．()2,2-【答案】A【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<； 则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值. 综上所述：2a <-满足条件 故选：A 二、填空题11．在82x⎛⎝的展开式中，1x 的系数是___________. 【答案】112【分析】由二项式定理求解【详解】由二项式定理知82x⎛ ⎝的展开式的通项为()()38882188221rr rr rr r r T C x C x---+⎛==- ⎝ 令3812r -=-得6r =故7112T x=故答案为：11212．已知函数()ln f x x ax =+的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，则=a ________． 【答案】0【分析】根据导数的几何意义可求出函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程，把点(2,1)代入切线方程即可求出a 的值.【详解】因为()ln f x x ax =+，所以1()f x a x'=+，设函数()f x 在点(1,(1))f 处切线的斜率为k ，则(1)1k f a '==+，又因为(1)f a =，所以函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程为(1)(1)y a a x -=+-， 因为切线过点(2,1)，所以1(1)(21)a a -=+-，解得0a =. 故答案为：0.13．抛郑红、蓝两颗质地均匀的骰子， 记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”， 事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”， 则在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率为___________． 【答案】120.5【分析】分别求出事件A ,事件B 和事件AB 同时发生的概率，由条件概率的公式计算即可.【详解】解：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6636⨯=，事件A 的基本事件数为6212⨯=，∴121()363==P A ， 由于366345548,4664558,56658,668+=+=+=+>+=+=+>+=+>+>， 所以事件B 的基本事件数为432110+++=， ∴105()3618==P B ， 事件AB 同时发生的概率为，61()366P AB ==， 由条件概率公式，得()()()12P AB P B A P A ==， 故答案为：1214．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随机有放回摸出一个球，共摸2次，记“X ”表示摸到红球个数，则()E X =__________.【答案】43【分析】由题可得22,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，即得. 【详解】由题可知从箱子中随机有放回摸出一个球为红球的概率为4263=， 所以22,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故()24233E X =⨯=.故答案为：43.15．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）． 【答案】420【分析】从后排7人中任取2人，插入前排（按2人相邻和不相邻分类计数）【详解】可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为22217424()420C A A C +=．故答案为：420． 三、解答题16．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】(1)67；(2)分布列见解析，175. 【分析】（1）运用古典概型运算公式，结合和事件的概率公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则()1322252547C C C C 6C 7P A +==． 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67；(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．()3347C 11C 35P X ===，()3447C 42C 35P X ===，()3547C 23C 7P X ===，()3647C 44C 7P X ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()14241712343535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．已知函数3211()2()32f x x ax x a =--∈R 在2x =处取得极值.(1)求()f x 在[2,1]-上的最小值；(2)若函数()()()g x f x b b =+∈R 有且只有一个零点，求b 的取值范围.【答案】(1)136-(2)710,,63⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得(2)0f '=，即可求出参数a 的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；（2）依题意32112()32b x x x b -=--∈R 有唯一解，即函数y b =-与()y f x =只有1个交点，由（1）可得函数()f x 的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；【详解】(1)解：因为3211()2()32f x x ax x a =--∈R ，所以2()2f x x ax '=--，()f x 在2x =处取得极值，(2)0f '∴=，即22220a --=解得1a =，3211()232f x x x x ∴=--，所以2()2(1)(2)f x x x x x ==+'---，所以当1x <-或2x >时()0f x '>，当12x -<<时()0f x '<，()f x ∴在[2,1)--上单调递增，在(]1,1-上单调递减，又32321121113(2)(2)(2)2(2),(1)1121323326f f -=⨯--⨯--⨯-=-=⨯-⨯-⨯=-，()f x ∴在[2,1]-上的最小值为136-. (2)解：由（1）知，3211()232f x x x x =--，若函数()()()g x f x b b =+∈R 有且只有一个零点，则方程()()b f x b -=∈R 有唯一解，即32112()32b x x x b -=--∈R 有唯一解，由（1）知，()f x 在(,1),(2,)-∞-+∞上单调递增，在(1,2)-上单调递减， 又710(1),(2)63f f -==-，函数图象如下所示：103b ∴-<-或76b ->，得103b >或76b <-， 即b 的取值范围为710,,63⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．已知函数 ()()()211ln 12x f x a x a x a =--+->，．(1)讨论函数 ()f x 的单调区间；(2)若 ()()1f m f = 且 1m >， 证明： ()()11ln 1x m a x x ∀∈->-，，．【答案】(1)当12a <<时，()f x 的单调增区间为(0,1)a -和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)a -， 当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间，当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和(1,)a -+∞，单调减区间为(1,1)a -. (2)证明见解析【分析】（1）求导[](1)(1)1()x x a a f x x a x x----=-+='，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，含参分类讨论即可得到()f x 的单调性.（2）由ln 1≤-x x ，转化为证：1(1,),1ln -∀∈->x x m a x ，令1()ln x g x x-=，利用导数法得到1()()ln -<=m g x g m m，转化为证11ln m a m -->，由()(1)f m f =，转化为证1ln 21m m m ->+，令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，用导数证明． 【详解】(1)解：()f x 的定义域为(0,)+∞，[](1)(1)1()x x a a f x x a xx----=-+='，因为1a >，所以10a ->，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，当11a -=时，即2a =，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞为增函数，当11a ->时，即2a >，若(0,1)x ∈和(1,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，若(1,1)x a ∈-时，第 11 页 共 11 页 ()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(1,)a -+∞为增函数，在(1,1)a -为减函数， 当011a <-<时，即12a <<，若(0,1)x a ∈-和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，若(1,1)x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)a -和(1,)+∞为增函数，在(1,1)a -为减函数，综上所述：当12a <<时，()f x 的单调增区间为(0,1)a -和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)a -，当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间，当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和(1,)a -+∞，单调减区间为(1,1)a -.(2)令()ln 1h x x x =-+，定义域为(0,)+∞，则1()x h x x-'=，若(0,1)x ∈，()0h x '>，若(1,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h ≤=，即ln 1≤-x x ，欲证：(1,),(1)ln 1∀∈->-x m a x x ，即证：1(1,),1ln -∀∈->x x m a x， 令1()ln x g x x -=，1x m <<．则21ln 1()(ln )x x g x x +='-， 因为ln 1≤-x x ，故1ln 10x x-+≥， 所以()0g x '>，()g x 在(1,)m 上单调递增， 所以1()()ln -<=m g x g m m， 故欲证1(1,),1ln -∀∈->x x m a x ，只需证11ln m a m -->， 因为()(1)f m f =，所以21(1)(1)ln 22--+-=m a m a m ， 即2(1)(1)(1ln )2m a m m -=---， 因为ln 1m m <-，故1ln 0m m -->，故等价于证明：1ln 21m m m ->+， 令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+， 则22(1)()0,()(1)-=>'+x H x H x x x 在(1,)+∞上单调递增， 故()(1)0H x H >=，即2(1)ln 1x x x ->+，从而结论得证． 【点睛】本题第二问关键是利用ln 1,()(1)≤-=x x f m f ，转化为证明1ln 21m m m ->+而得证．。
2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．在数列{}n a 中，12a =，111n n n a a a +-=+，则4a =（ ） A ．13B ．12-C ．－3D ．2【答案】C【分析】利用递推公式依次求出234,,a a a 即得解. 【详解】解：因为12a =，111n n n a a a +-=+，所以1211113a a a -==+，所以2321112a a a -==-+，所以343131a a a -==-+． 故选：C2．函数()1ln 2f x x x x=++的单调递减区间是（ ）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．（0，1）【答案】B【分析】利用导数求函数的单调递减区间即得解.【详解】解：由题意可得()()()222221111212x x x x f x x x x x-++-'=+-==，且函数()f x 的定义域为（0，+∞）． 由()0f x '<，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭． 故选：B3．在等差数列{}n a 中，若3512a a +=，68a =，则数列{}n a 的公差d ＝（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据等差数列得通项公式列出方程组，解之即可得解. 【详解】解：由3512a a +=，68a =，得11261258a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩. 故选：A.4．已知函数()()22ln 223f x x f x x '=+++，则()1f =（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】D【分析】先求导，求得()2f '得到()f x 求解. 【详解】解：()()2222f x f x x''=++， 则()()21422f f ''=++， 解得()21f '=-，所以()22ln 23=-++f x x x x ，故()11234f =-++=． 故选：D5．用数学归纳法证明()()33112332n n n n ++++++=∈N ，则当1n k =+时，等式的左边应在n k =的基础上增加的项数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】分析n k =、1n k =+时等式的左边的代数式，可得结果. 【详解】当n k =时，等式的左边是1233k ++++，等式左边共3k 项，当1n k =+时，等式的左边是()()()1233313231k k k k ++++++++++，等式左边共33k +项，增加了31k +、32k +、()31k +，共3项. 故选：C.6．某技校毕业生小张到某工厂实习，第一天加工某零件20件，随着对加工流程的熟悉，从第二天开始，每一天比前一天多加工1件零件，若小张在实习期间至少需要加工的零件为220件，则小张在该工厂实习的天数至少是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】D【分析】设小张第n 天加工的零件数为n a ，则数列{}n a 是以20为首项，1为公差的等差数列，再根据等差数列前n 项和的公式计算分析即可得出答案.【详解】解：设小张第n 天加工的零件数为n a ，则数列{}n a 是以20为首项，1为公差的等差数列，则120a =，19n a n =+， 故小张n 天一共加工的零件数为()20192n n ++，当n ＝9时，()()201920919921622022n n ++++⨯==<，当n ＝10时，()()20192010191024522022n n ++++⨯==>，故10n ≥，所以小张在该工厂实习的天数至少是10天. 故选：D.7．已知函数()ln mf x x x=+有最小值，且最小值为负数，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．（0，e ）D ．（0，+∞）【答案】B【分析】求导得到()2x mf x x -'=，再对m 分两种情况讨论得解. 【详解】解：由题意可得()221m x mf x x x x-'=-=． 当m ≤0时，()0f x '>恒成立，则()f x 在（0，+∞）上单调递增，从而()f x 没有最小值，故m ≤0不符合题意；当m >0时，由()0f x '>，得x >m ，由()0f x '<，得0<x <m ， 所以函数的增区间为(,)m +∞，减区间为(0,)m ， 所以函数的最小值为()ln 10f m m =+< 解得10em <<． 故选：B8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S =，2436S =，则16S =（ ） A ．24 B ．12C ．24或－12D ．－24或12【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出16S ，再检验即可；【详解】解：因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以8S ，168S S -，2416S S -成等比数列，因为812S =，2436S =，所以()()21616121236S S -=⨯-，解得1624S =或1612S =-，因为816880S S q S -=>，所以160S >，则1624S =． 故选：A 二、多选题9．下列函数中，求导正确的是（ ） A ．()1f x x =，()21f x x'=- B ．()ln f x x x =，()1ln f x x x'=+C ．()1=+xf x x ，()()211f x x '=+ D ．()()22e x f x x x =+，()()242e xf x x x '=++【答案】ACD【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解. 【详解】解：对于A ，()1f x x =，()21f x x'=-，则A 正确； 对于B ，()ln f x x x =，()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，则B 错误； 对于C ，()1=+x f x x ，()()()221111x x f x x x +-'==++，则C 正确； 对于D ，()()22e x f x x x =+，()()()()2222e 2e 42e x x xf x x x x x x '=+++++=，则D 正确． 故选：ACD.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ） A ．若21n n S =-，则{}n a 是等比数列 B ．若11n n n n a aa a +-=（n ≥2），则{}n a 是等比数列 C ．若211n n n S S S -+=（n ≥2），则{}n a 是等比数列D ．若2n n S a =-，则{}n a 是等比数列 【答案】AB【分析】对于选项A 、D ，根据n S 与n a 可求解判断，对于选项B ，由等比数列的定义可判断，对于选项C ，通过举反例可判断.【详解】对于A ，由21n n S =-，得112n n n n a S S --=-=（n ≥2）．当n ＝1时，111a S ==满足12n n a ，则12n na ，即{}n a 是等比数列，故A 正确．对于B ，由11n nn n a a a a +-=，得{}n a 是等比数列，则B 正确． 对于C ，当0n S =时，满足211n n n S S S -+=，即{}n a 不是等比数列，则C 错误．对于D ，由2n n S a =-，得112n n n n a S S --=-=（n ≥2）．当n ＝1时，112a S a ==-不满足12n na ，则12,1,2,2n n a n a n --=⎧=⎨≥⎩当a ＝1时，{}n a 是等比数列；当a ≠1时，{}n a 不是等比数列，故D 错误． 故选：AB11．若函数()y f x =在区间D 上是减函数，且函数()y f x '=在区间D 上也是减函数，其中()f x '是函数()f x 的导函数，则称函数()y f x =是区间D 的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减函数”．则下列区间中，是函数()2sin 2cos f x x x =+的“缓减函数”的是（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AD【分析】利用“缓减函数”的定义求解.【详解】解：由题意得()()2sin cos 2sin 2sin cos 1f x x x x x x '=-=-． 由()0f x '≤，得1122k x k πππ≤≤+，1k ∈Z ， 即f （x ）的单调递减区间为[]112,2k k πππ+（1k ∈Z ）． 设()()2sin cos 2sin g x f x x x x =-'=，则()2222cos 2sin 2cos 4cos 2cos 2g x x x x x x '=--=--．由()0g x '≤，得24cos 2cos 20x x -≤-， 即()()22cos 1cos 10x x +⋅-≤， 解得22222233k x k ππππ-≤≤+，2k ∈Z ，即()f x '的单调递减区间为22222,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（2k ∈Z ）． 由“缓减区间”的定义可得f （x ）的“缓减区间”为22,23k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．故选：AD12．《周髀算经》是中国古老的天文和数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千五百二十岁．”已知有n 个人，他们的年龄之和恰好为十部（即760岁），其中年龄最小的25岁，年龄最大的()120m m ≤岁，且除了年龄最大的以外，其余1n -人的年龄依次相差2岁，则n 的值可以是（ ） A ．15 B ．16C ．17D ．18【答案】CD【分析】根据已知件可得出221m n ≥+，222783n n m ++=，可得出224762n n ≤+，求出n 的值，即可得解.【详解】由题意可知除了年龄最大的外，其余1n -人的年龄依次成等差数列， 设这1n -人的年龄依次记为1a 、2a 、、()12,n a n n -≥∈N ，且首项125a =，公差2d =，则()12522221n a n n -=+-=+， 从而这n 个人的年龄之和为()()2522117602n n m ++-+=，即222783n n m ++=．因为221m n ≥+，所以224762n n ≤+．当17n =时，2172417697762+=⨯<，此时，120m =，符合题意； 当18n =时，2182418756762+=⨯<，此时，63m =，符合题意； 当16n ≤时，175m ≥，不符合题意；时，2224192419817n n +≥+⨯=，不符合题意. 故选：CD. 三、填空题13．在等比数列{}n a 中，32a =，则前5项之积为________． 【答案】32【分析】根据等比数列的性质即可得出答案.【详解】解：由等比数列的性质可得215243a a a a a ==，则55123453232a a a a a a ===．故答案为：32.14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()442lim6x f f x x∆→-+∆=∆，则()4f '=________．【答案】-3【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算作答. 【详解】因为()()()()Δ02Δ0442Δ42Δ4lim2lim6Δ2Δx x f f x f x f xx→→-++-=-=，即()246f '-=，解得()43f '=-， 所以()43f '=-. 故答案为：-315．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若170a >，且17180a a +<，则满足0n S >的最大正整数的n 的值为________． 【答案】33【分析】由()341718170=+<S a a ，170a >得180a <，利用3317330=>S a 可得答案． 【详解】因为17180a a +<，所以()()134341718341702a a S a a +⨯==+<，因为170a >，且17180a a +<，所以180a <，()1333317333302a a S a+⨯==>，故要使0n S >，则需33n ≤． 故答案为：33.16．已知()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导函数，对任意的x ∈R ，()()20f x f x '+>恒成立，且()11f =，则不等式()22e xf x ->的解集是________．【答案】()1,+∞【分析】构造函数()()2e xg x f x =，利用导数分析函数()g x 的单调性，将所求不等式变形为()()1g x g >，利用函数()g x 的单调性可得出原不等式的解集.【详解】设()()2e xg x f x =，则()()()2e 2x g x f x f x ⎡⎤⎣⎦''=+．因为2e 0x >，()()20f x f x '+>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上单调递增.因为()11f =，所以()()22e 1e 1gf ==，由()22e x f x ->可得()22e e xf x >，等价于()()1g x g >，解得1x >，故不等式()22e xf x ->的解集是()1,+∞.故答案为：()1,+∞. 四、解答题17．已知函数()32f x x ax x b =--+，曲线y ＝f （x ）在x ＝2处的切线方程为7x －y －10＝0．(1)求a ，b 的值； (2)求f （x ）的极值． 【答案】(1)a ＝1，b ＝2 (2)13x =-，f （x ）取得极大值，且159327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当1x =，f （x ）取得极小值，且()11f =．【分析】（1）求()f x '，由题意可得()27f '=，()24f =，即可求得a ，b 的值. （1）求()f x '，令()0f x '>，()0f x '<，求出f （x ）的的单调性，即可求得f （x ）的极值.【详解】(1)因为()32f x x ax x b =--+，所以()2321f x x ax =--'． 则所求切线的斜率()2232411147k f a a '==--=-=⨯，解得a ＝1．当x ＝2时，y ＝7×2－10＝4，则()32222224f b b =--+=+=，解得b ＝2． (2)由（1）可知()()()2321311f x x x x x =--=+-．由()0f x '>，得13x <-或x >1；由()0f x '<，得113-<<x ．f （x ）在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和（1，+∞）上单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．故当13x =-，f （x ）取得极大值，且321111592333327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-----+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故当1x =，f （x ）取得极小值，且()111121f =--+=． 18．已知数列{}n a 中，112a =，()12n n n a n a +=+． (1)求2a ，3a ，4a ，5a 的值；(2)根据（1）的计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)223a =，334a =，445a =，556a =(2)1n na n =+，证明见解析【分析】（1）直接代入即可得结果；（2）根据（1）中的计算结果即可猜想{}n a 的通项公式，再用通项公式证明即可. 【详解】(1)因为112a =，()12n n n a n a +=+，所以211233a a ==． 因为223a =，所以322344a a ==． 因为334a =，所以433455a a ==． 因为445a =，所以544566a a ==． (2)根据（1）的计算结果，猜想数列{}n a 的通项公式为1n na n =+． 证明如下：①当n ＝1时，等式成立． ②假设当n ＝k 时，1k ka k =+成立． 当n ＝k +1时，()()111221121k k k k k k a kk a k k k k +++====+++++⋅+． 则n ＝k +1时，等式成立． 由①②可知，对任意的n +∈N ，1n na n =+． 19．在①2n S n n =+，②12n n a a --=，530S =这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且________． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)2n a n = (2)44n nT n =+ 【分析】（1）若选①，利用11,1,,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ，若选②，则可得{}n a 是公差d ＝2的等差数列，再结合530S =可求出36a =，从而可求出n a ， （2）由（1）可得()1111114141n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】(1)选①当n ＝1时，11112a S ==+=．当n ≥2时，()22111n S n n n n -=-+-=-，则()2212n n n a S S n n n n n -=-=+--=（n ≥2）．当n ＝1时，12a =满足上式，则2n a n =． 选②因为12n n a a --=，所以{}n a 是公差d ＝2的等差数列． 因为530S =，所以53530S a ==，所以36a =， 则()()336232n a a n d n n =+-=+-=． (2)由（1）可得()1111114141n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， 则1111111111114242343441n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114144n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 20．已知函数()()213e 242x f x x ax ax =--++．(1)当a ＝1时，求()f x 零点的个数； (2)讨论()f x 的单调性． 【答案】(1)有3个零点； (2)答案见解析.【分析】（1）求导利用导数求函数的单调区间得解. （2）求导，再对a 分四种情况讨论得解.【详解】(1)当a ＝1时，()()213e 242x f x x x x =--++， 则()()()()2e 22e 1x xf x x x x '=--+=--，由()0f x '>，得x <0或x >2，由()0f x '<，得0<x <2，则()f x 在（0，2）上单调递减，在（－∞，0）和（2，+∞）上单调递增， 因为()25220e f -=--<，()03410f =-+=>，()22e 60f =-+<，()911310022f =-+=>，所以()f x 有3个零点．(2)由题意可得()()()()2e 22e x xf x x ax a x a '=--+=--，①当a ≤0时，由()0f x '>，得x >2，由()0f x '<，得x <2，则()f x 在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，②当20e a <<时，由()0f x '>，得1x na <或x >2，由()0f x '<，得ln a <x <2， 则()f x 在（ln a ，2）上单调递减，在（－∞，ln a ）和（2，+∞）上单调递增， ③当2e a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在（－∞，+∞）上单调递增，④当2e a >时，由()0f x '>，得x <2或x >ln a ，由()0f x '<，得2<x <ln a ，则()f x 在（2，ln a ）上单调递减，在（－∞，2）和（ln a ，+∞）上单调递增， 综上，当a ≤0时，f （x ）在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增； 当20<e a <时，()f x 在（ln a ，2）上单调递减，在（－∞，ln a ）和（2，+∞）上单调递增；当2e a =时，()f x 在（－∞，+∞）上单调递增；当2e a >时，()f x 在（2，ln a ）上单调递减，在（－∞，2）和（ln a ，+∞）上单调递增．21．在数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若2312123211111n n b b b b n n a a a a ++++=++++++，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析，21n n a =-；(2)()12124n n T n +=-⨯+. 【分析】（1）化简得到1121n n a a ++=+，即得证，再求出等比数列的通项； （2）2312123211111n n b b b b n n a a a a ++++=++++++， 311212311111n n b b b b a a a a --+++⋯+=++++()()221211n n n -+-+=（n ≥2），两式相减即得数列{}n b 的通项，再利用错位相减法求解.【详解】(1)证明：因为121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+，所以1121n n a a ++=+． 因为11a =，所以112a +=，则数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列． 由等比数列的通项公式可得()11112n n n a a q-+=+=，则21n n a =-． (2)解：因为2312123211111n n b b b b n n a a a a ++++=++++++， 所以()()221231123112111111n n b b b b n n n a a a a --+++⋯+=-+-+=++++（n ≥2），则211n n b n a =++（n ≥2），故()212n n b n =+⨯（n ≥2）． 当n ＝1时，1141b a =+，所以18b =不满足上式， 故()8,1,212,2n n n b n n =⎧=⎨+⨯≥⎩当n ≥2时，()2385272212n n T n =+⨯+⨯+++⨯①，所以()3412165272212n n T n +=+⨯+⨯+++⨯②．①－②得()34112222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯-+⨯， 则()()32122121221212n n n T n -+⨯⨯--=+-+⨯-，解得()12124n n T n +=-⨯+（n ≥2），当n ＝1时，18T =满足上式，故()12124n n T n +=-⨯+．22．已知函数()e 1x f x x =--．(1)求f （x ）的最小值；(2)若对任意的x >1，不等式()43e ln 10x x x a x -+≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)0(2)a ≤－3【分析】（1）由()e 1x f x x =--，求导，分别令()0f x '>，()0f x '<求解；（2）将不等式()43e ln 10x x x a x -+≥-对任意的x >1恒成立，转化为3ln e 1ln x x a x x ---≤对任意的x >1恒成立求解.【详解】(1)解：因为()e 1x f x x =--，所以()e 1x f x '=-．由()0f x '>，得x >0，由()0f x '<，得x <0．则f （x ）在（0，+∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，故f （x ）的最小值为f （0）＝0．(2)不等式()43e ln 10x x x a x -+≥-对任意的x >1恒成立， 等价于3e 1ln 0xx a x x---≥对任意的x >1恒成立，即3ln e 1ln x x a x x---≤对任意的x >1恒成立． 由（1）可知e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，当且仅当x ＝0时，等号成立． 设h （x ）＝x －3ln x ，则()331x h x x x-'=-=． 由()0h x '>，得x >3；由()0h x '<，得0<x <3．h （x ）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增．因为()333ln30h =-<，()22e e 60h =->，所以h （x ）＝0有解， 则3ln e 3ln 1x x x x -≥-+，当且仅当x －3ln x ＝0时，等号成立． 故3ln e 13ln 113ln ln x x x x x x x x----+--≥=-，即a ≤－3． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期期中考试数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知数列满足，，则（ ）{}n a 113a =()1211n n a n a ++=-∈+N 2022a =A ．2B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，，113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ）A ．10B ．15C ．20D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，，1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ）{}n a n 12n n S a b -=⋅+ab A ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出.1a a b =+2a a =32a a =2ab =-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a 故，解得：.()22a a a b =+2ab =-故选：A 4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即，1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即，3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦，2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故，22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以.2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ 5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610 14916 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，1145+=14712++=故第四个五边形数为.1471022+++=故选：D.6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3B ．3C ．-2D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得，()()()()22221sin 1sin 11x x x x f x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x ⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++-'-=+即，()()f x f x ''=-则()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=故选：.D 7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x '=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+∵x >0，∴，∴．2211111112222xx x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为()f x ()f b ()f x ()f a C ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答.()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，，()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增，()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.故选：D9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a c b >>a b c>>b c a>>b a c>>【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增，()0g x ¢>()()f xg x x =()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A 10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）()5ln f x x a x x =--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x ≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数，()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立，()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x ≤+又5x x +≥=x =所以，a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ）()21cos sin 4f x x x x x=-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间．1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵，()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为．81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{na 11a=-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2na 2022a=【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，，11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，，34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+--- 20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++- 321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=-20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________.143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值q 143a a a +【详解】设四个数为，，，，1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则.214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______．【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即，12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x=-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立，12x x <()F x ()0F x '≥因为，()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x -++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x +≤+又，所以，即，12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n a b n ={}n b nT【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2)1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案；()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得，11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②，2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴，13n n a a -=13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，{}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴，13n na -=13n n n n nb a -==∴，，01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n n T --=+++++ ∴，01231112111113113333333313n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴．13313932122323443n n n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且.{}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}n b n n T 【答案】(1)42n a n =-(2)21n nT n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为，{}n a d 由题意得：2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得：211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：，124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+- (84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-，1111(22121n b n n ∴=--+1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ .11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得：2n n S n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：，()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：，()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：，()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：；n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；；111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即；()*1,n k k k N =≥∈21k kS k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k kk S k k ++=+∴，12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立.N*n ∈21k kS k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，．()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x (2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x<<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b 上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：，()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：．32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得：()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值，2x =-()h x 443k -当时，有极小值，2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩．204433k ∴-<<故实数的取值范围是k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数．21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.22sin 2cos x x xa x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增，(,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x在，，，上，，单调递减，(2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得，0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以，22sin 2cos x x x a x +=-令，，，22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即，[2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增，()g x [2π]π又，，24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则，()f x [,]2ππ242a ππ- 故的取值范围，．a (022π。