新人教A版高一数学必修四第二章 平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义
[规范解答] (1)证明：∵A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝ 5(e1＋e2)＝5A→B，4 分
∴A→B与B→D共线，且有公共点 B，5 分 ∴A，B，D 三点共线.6 分
(2)∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于 e1 与 e2 不共线， 只能有kλk－－λ＝ 1＝0，0，10 分 ∴k＝±1.12 分
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
1．通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定． 2．理解两向量共线的含义，并能用向量共线定理解决简单的几何问题． 3．掌握向量数乘运算的运算律，并会进行有关运算．
向量数乘运算 实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，这种运算叫作向量的_数__乘___，记作_λ_a__， 它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向_相__同___； 当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向_相__反___． (3)当 λ＝0 时，λa＝0.
∴O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D ＝23O→D＝23(O→A＋O→B)＝23(a＋b)． ∴M→N＝O→N－O→M ＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
向量共线的判定及应用 多维探究型
已知非零向量 e1，e2 不共线， (1)如果A→B＝பைடு நூலகம்1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)， 求证：A，B，D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
教案·课堂探究
向量的线性运算 自主练透型
化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9a＋13b； (2)12（3a＋2b）－a＋12b－212a＋38b； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
解析： (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
高考内容改革新变化
主要变化：高考评价新体系
一核四层四翼的高考评价标准 ---高考命题新定调
“ 一 核 ” 是 总体框 架，体 现了高考核心功能；“ 四 层 ” （考查目标）与 “ 四 翼” （考查要求）是 “ 一 核”的 有机组 成部分 ，共同 构成了 实现高 考评价 功能的 理论体 系。
新高考命题的预测
C→E＝C→B＋B→D＋D→E＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. M→N＝M→D＋D→B＋B→N＝12E→D＋D→B＋12B→C＝－14a－b＋12a＝14a－b.
[归纳升华] 用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和 几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可， 其实质是向量的线性运算的反复应用
数乘向量的运算律 1．λ(μa)＝(λμ)a； 2．(λ＋μ)a＝λa＋μa； 3．λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.
共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使__b_＝__λa___．
[化解疑难] 1．理解数乘向量应注意的问题 (1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解． (2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如 λ＋a，λ－a 均没有意义． (3)当 λ＝|a1|时，即|aa|表示 a 方向上的单位向量． (4)注意向量数乘的特殊情况：①当 λ＝0 则 λa＝0；②当 a＝0 则 λa＝0，特 别应该注意的是结果是向量 0，而非实数 0.
(2)如图，平行四边形 ABCD 中，A→D＝b，A→B＝a，M 为 AB 中点，点 N 在 BD 上，且 BN＝13BD，求证：M，N，C 三点共线．
解析： (1)设存在 k∈R，使得 A，B，D 三点共线， ∵D→B＝C→B－C→D＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2， A→B＝2e1＋ke2， 又∵A，B，D 三点共线，∴A→B＝λD→B， ∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)， ∴2k＝ ＝－4λ，λ，∴k＝－8， 所以存在 k＝－8，使得 A，B，D 三点共线．
2．如图，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，O→B＝b 为边的平行四边形．又B→M ＝13B→C，C→N＝13C→D，试用 a，b 表示O→M，O→N，M→N.
解析： ∵B→M＝13B→C＝16B→A＝16(O→A－O→B)＝16(a－b)， ∴O→M＝O→B＋B→M ＝b＋16a－16b＝16a＋56b. ∵C→N＝13C→D＝16O→D，
[归纳升华] 向量线性运算的方法
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同 类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解析： (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b； (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
解析： (1)对，∵2>0，∴2a 与 a 方向相同，且|2a|＝2|a|. (2)对，∵6>0，∴6a 与 a 方向相同，且|6a|＝6|a|. ∵－2<0，∴－2a 与 a 方向相反，且|－2a|＝2|a|. ∴6a 的模是－2a 的模的 3 倍． (3)对． (4)错，∵0a＝0，0 与任一向量共线，∴λa(λ＝0)与 b 是共线的． 答案： (1)(2)(3)
(2)证明：在△ABD 中，B→D＝A→D－A→B， ∵A→B＝a，A→D＝b，∴B→D＝b－a. ∵N 点是 BD 的三等分点， ∴B→N＝13B→D＝13(b－a)． ∵B→C＝b，∴C→N＝B→N－B→C＝13(b－a)－b＝－13a－23b.① ∵M 为 AB 中点，∴M→B＝12a，
∴C→M＝－M→C＝－(M→B＋B→C)＝－12a＋b ＝－12a－b.② 由①②可得：C→M＝32C→N， 由共线向量定理知：C→M∥C→N. 又∵C→M与C→N有公共点 C， ∴C，M，N 三点共线．
复习成功的关键在于
01 抓思维训练 02 勤于方法总结 03 善于提炼观点
具体措施在：
1.狠抓基础，在主干内容上下足功夫，重概念的生成 2.重点突出，在知识交叉点上着重训练，重视试卷分析 3.精准指导，在图形使用上反复强调，重结构式结论
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关于尖子生培养的几点感悟
关于尖子生培养的几点感悟
• 尖子班不是全力去拼竞赛，而定位于竞赛、自主、高考三位一体的培养； • 数学提高班的学习是绿色的、健康的； • 这是一项思维挑战的学习：
1．化简：1312（2a＋8b）－（4a－2b）＝(
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析： 原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)]＝13(－3a＋6b)＝2b－a，选 B. 答案： B
2．若|a|＝5，b 与 a 的方向相反，且|b|＝7，则 a＝( )
A.57b
B．－57b
C.75b 解析：
[归纳升华] (1)证明三点共线，可转化为证明两个向量共线． (2)解决向量共线问题的关键是能否找到一个实数 λ 使得 b＝λa.若这样的 λ 不 存在，则向量一定不共线；若这样的 λ 存在，则向量一定共线.
3．(1)设两个非零向量 e1，e2 不共线，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝e1＋3e2，C→D ＝2e1－e2.问：是否存在实数 k，使得 A，B，D 三点共线？若存在，求出 k 的值； 若不存在，说明理由；
用已知向量表示未知向量 多维探究型 如图所示，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点，M，N 分别 是 DE，BC 的中点，已知B→C＝a，B→D＝b，试用 a，b 分别表示D→E，C→E，M→N.
[边听边记] 由三角形中位线定理，知 DE 綊12BC，故D→E＝12B→C，即D→E＝12a.
创设具有挑战性的学习任务去引发学生的思维火花，激发思维碰撞，在高 层次的思维训练中完善思维品质。 数学提高班的学习指向高阶思维学习！
处理好测试选题与学生思考消化的关系，注重学生自主交流合作与展示， 注重资源引进与高考研究！ 高考是一种成熟、规范性的考试，在高考试卷中，容易题、中档题和难题( ( 即 综合度、难度较大的题) ) 分别占 30% 、 50% 和 20% 左右，也就是说容易 题及中等难度的题占高考数学总分数的 80% ，即 120分左右。如果学生平时 的模考和练习中的得分没有上 120 分，不是由于难题不会做导致的，更多的 是压根就没把握好中等难度的题。 因此 “ 抓基础、抓常规、抓落实 ” 应依然作为我们后期复习的首要任务 。 高考备考要从 “ 小 ” 做起，成也在小，败也在小！ 临场发挥与规范答题是决定尖子生的高度!
• 去年高考延续了五年的总体要求并在创新上有较大的突破； • 难度把控趋于稳定，基本控制在0.55左右； • 充分体现国家意志“一核”、“四层”、 “四翼”， “一核”是总体框架
体现了高考核心功能；“四层”是考查目标，与“四翼” 是考查要求。突出 传统文化及党的教育方针：“德智体美劳”五育并举；
• 学科思维考察更加凸显，体现数学学科的理性思维特点； • 创新趋于常态，题型不断出新，体现课本与课标的指导作用，保持一致性； • 真实情境数据验证更加科学和合理； • 淡化压轴思想，努力说明哪一部分都有可能压轴！
•
衷心祝愿各位百尺竿头，更进一步！
努力，祝成绩提高 不经一番彻骨寒，怎得梅花扑鼻香？
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D．－75b b 与 a 反向，故 a＝λb(λ<0)，|a|＝－λ|b|，则 5＝－λ×7.所以 λ＝－57.
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课堂达标新人教A版
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1.已知非零向量a，b满足a=-2b，则①a+2b=0；②|a|=2|b|；③向量a，b的方向相同；④a∥b.其中正确的有( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④【解析】选C.因为a=-2b，所以a，b共线且反向，且a+2b=0，|a|=2|b|，所以①②④正确，③错误. 2.在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若=a，=b，则等于( )A.(a+b)B.(a-b)C.(b-a)D.-(a+b)【解析】选C.==(-)=(b-a).3.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a= b.【解析】因为|a|=5，|b|=7，所以||||ab=.又因为b与a的方向相反，所以a=-b.答案：-4.已知e1，e2是两个不共线的向量，而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量，则实数k= .【解析】由题意得a=k2e1+e2=λ(2e1+3e2)，所以解得k=-2或k=.答案：-2或5.设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，=c，试用a，b，c表示向量. 【解析】如图，连接AM并延长交BC于D点.因为△ABC的重心为M，所以D是BC的中点，且AM=AD.所以==(+)=(+)=(-)+(-)=(b-a)+(c-b)=-a+b+c，所以=+=a-a+b+c=a+b+c.6.设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线.已知(a+b)∥c，(b+c)∥a，试判断b与a+c是否共线？证明你的结论.【解题指南】首先引入实数λ，μ把共线向量用等式表示，然后用待定系数法确定λ，μ，确定a+c与b 是否共线.【解析】b与a+c共线.证明如下：因为(a+b)∥c，所以存在实数λ，使a+b=λc(c≠0). ①因为(b+c)∥a，所以存在实数μ，使b+c=μa(a≠0). ②①-②得a-c=λc-μa，所以(1+μ)a=(1+λ)c.又因为a与c不共线，所以1+λ=1+μ=0，所以λ=μ=-1，所以a+b=-c，即a+c=-b，所以b与a+c共线.。
人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(24张)精选ppt课件
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.3向量的数乘运算及其几何意义
λ>0 时，与a方向相同 λ<0 时，与a方向相反 ；
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝ 0 或 λ0＝ 0 .
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝ (λμ)a . (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa . (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb .
本 课 时 栏 目 开 关
果 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在一个实数 λ，使 b＝λa. 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问 题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组) 求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在． 例如，已知 e1，e2 是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－ 8e2，则 a 与 b 是否共线？
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
答
①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
如果 λ＝0 或 μ＝0 或 a＝0，则①式显然成立； 如果 λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有
本 |λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|， 课 时 栏 |(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|， 目 开 故|λ(μa)|＝|(λμ)a|. 关
证明 → → 若 A、B、C 三点共线，则存在 λ∈R，使AC＝λAB.
→ → → → ∴OC－OA＝λ(OB－OA)， → → → ∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.
2.2.3
2.2.3
【学习要求】
向量数乘运算及其几何意义
本 1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． 课 时 栏 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向 目 量运算． 开 关
2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修4
A．a＋34b
B.34a＋14b
C.14a＋14b
D.14a＋34b
解析： A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋34B→C＝A→B＋34(A→C－A→B)＝14A→B＋34A→C＝14a＋34b.
答案： D
3．已知 a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则 3a－b＝( )
A．4e2
B．4e1
C．3e1＋6e2
(1)|λa|＝|λ||a|. (2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向_相__同__； 当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向_相__反__． (3)当 λ＝0 时，λa＝0.
知识点二 数乘向量的运算律 1．λ(μa)＝(λμ)a. 2．(λ＋μ)a＝λa＋μa. 3．λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.
D．8e2
解析： 3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)
＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案： D
4．已知向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝5，且 a＝λb，则实数 λ 的值是________． 解析： 由 a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝35，即 λ＝±35. 答案： ±
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方 法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
◎ 变式训练 1．若 2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，其中 a，b，c 为已知向量，求未知向量 x. 解析： 因为 2x－23a－12b－12c＋32x＋b＝0， 所以72x－23a＋12b－12c＝0， 所以72x＝23a－12b＋12c， 所以 x＝241a－17b＋17c.
高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。
——高尔基学习目标1．掌握向量数乘运算的概念.2．能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.3．掌握向量的共线定理及应用.学习重点平面向量数乘运算法则的应用.学习难点平面向量数乘运算法则的应用自主学习1．向量的数乘运算的概念(1)定义：实数λ与向量a的积是一个______.(2)运算律：①=②=③=特别地，( )= ( )，＝. 2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________.预习评价1．在四边形ABCD中，若，则此四边形是A.平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形2．设，是两个不共线的向量，若向量m=－+ k(k∈R)与向量n= －2共线，则A.k=0B.k=1C.k=2D.3．若向量，a满足2 -3( -2a)=0,则向量=________.4．向量a与b不共线，向量c=3a-b，d=6a-2b，则向量c与的关系_______.(共线，不共线)5． =___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．向量数乘的概念及运算根据向量数乘的概念，思考下面的问题：(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量？2．所得向量λa的几何意义是什么？3．向量的大小与方向如何？4．共线向量定理根据共线向量定理，探究下面的问题：(1)若向量a与向量b(b≠0)共线，则a=λb，如何确定λ的值？(2)定理中为何要限制a≠0？5．若向量a，b不共线，且λa=μb，则λ，μ的值如何？为什么？教师点拨1．对向量数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与λ的正负有关.(2)当λ=0时，λa=0.(3)向量的数乘运算要遵循向量的数乘运算律.2．共线向量定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线.(2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线.交流展示——向量的数乘运算及理解已知向量a，b满足：|a|＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ＝A. B. C. D.变式训练设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是 ( )A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|交流展示——共线向量定理及其应用已知向量，，，则A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线变式训练在中，点是的中点，点在上，且，求证：，，三点共线．交流展示——向量线性运算的应用下列各式计算正确的个数是 ( )①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.A.0个B.1个C.2个D.3个变式训练=A.2a−bB.2b−aC.b−aD.a−b学习小结1．向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数.(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解. 2．由共线向量定理求向量系数的步骤(1)把向量等式通过向量线性运算，转化为与另一个式子相同的形式.(2)由两等式相同知对应系数相同，列方程可求向量的系数.3．用共线向量定理证明三点共线的三个步骤(1)定向量：由三点可确定多个不同的向量.(2)证共线：证明两个向量共线.(3)得结论：说明三点共线.当堂检测1．化简下列各式:(1)-+--;(2)2(a+2b)+3(3a+2b)-4(a-b).2．已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则实数λ的值为. 3．已知关于的方程有，则＝A. B. C. D.无解4．在平行四边形ABCD中，，，，则________(用e1,e2表示).5．已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1-e2，b=k e1+e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值.(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线?若存在，求出k的值，否则说明理由知识拓展已知两个向量e1,e2不共线.如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线?2.2.3 向量数乘运算及其几何意义♒♒♒♒♒♒♒课前预习 · 预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)向量 λa ，｜λ｜｜a ｜，相同 相反 0(2)①(λμ)a ②λa ＋μa③λa ＋λb λa －a λa －λb2．b ＝λa【预习评价】1．C2．D3．6a4．共线5．2b －a♒♒♒♒♒♒♒知识拓展 · 探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)实数λ与向量a 数乘，得到向量λa ，其方向由λ的正负及向量a 的方向共同确定(2)所得向量与原向量是共线向量.2．是把向量a 沿a 的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍或沿a 的相反方向放大(λ<－1)或缩小(－1<λ<0)到原来的｜λ｜倍.3．向量的大小为1，方向与a 的方向相同，所以该向量也是向量a 方向上的单位向量.4．(1)当a ，b 同向时，λ＝，当a ,b 反向时，λ＝－ . (2)共线向量定理中，若不限制a ≠0，则当a ＝b ＝0时，λ的值不唯一，定理不成立.并且当b ≠0，a ＝0时，λ的值不存在.5．:λ＝μ＝0.假设λ≠0，由于向量a ，b 不共线，则a ≠0，b ≠0，且a ＝ b ，从而a ，b 共线，与向量a ，b 不共线矛盾，可知λ＝μ＝0.【交流展示——向量的数乘运算及理解】C【变式训练】C【解析】只有当λ>0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同.【交流展示——共线向量定理及其应用】B【解析】本题主要考查平面向量的共线的定理与向量的应用，由于与有公共点B，因此A、B、D三点共线，故答案为B.【变式训练】证明：．因为，，所以．由于，可知，即．又因为、有公共点，所以、、三点共线．【解析】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．【交流展示——向量线性运算的应用】C【解析】根据数乘向量的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.【变式训练】B【当堂检测】1．(1)原式=(-)-(+)=-0=.(2)原式=2a +4b +9a +6b -4a +4b =(2+9-4)a +(4+6+4)b =7a +14b .2．-1【解析】本题主要考查向量的相关知识,解题的关键是根据a+λb 与b+λa 的方向相反得到恒等式,进而得到关于λ的方程,从而得出λ的值.由a+λb 与b+λa 的方向相反得,a+λb=-k(b+λa),k>0,则λ=-k,-k λ=1,即λ2=1,又k>0,所以λ=-1,此时a+λb 与b+λa 的方向相反.3．B【解析】本题主要考查向量的线性运算.向量的线性运算同多项式的合并化简类似，具体解法如下：由已知得，则. 4．5．（1）由，得，而与不共线， 所以2,21k k λλ=⎧⇒=-⎨=-⎩. （2）不存在.若与共线，则， 有因为为非零向量，所以2λ≠且k λ≠-， 所以，即，这时与共线，所以不存在实数k 满足题意. 【知识拓展】显然c≠0,否则4e 1-7e 2=0,即e 1=e 2,与e 1,e 2不共线矛盾.又d=λa+μb=(λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2(λμ≠0),假设向量d=λa+μb 与c 共线,则存在一个实数γ,使得d=γc,即( λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2=4γe 1-7γe 2,从而,消去γ,得15λ=2μ(μ≠0).所以存在非零实数λ,μ,只要它们满足15λ=2μ(μ≠0),就能使得向量d 与c 共线.。
高一数学人教A版必修4课件：2.2.3向量数乘运算及其几何意义
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2.2
2.2.3
向 量 数 乘 运 算 及 其 几 何 意 义
课前预习·巧设计
读教材·填要点 小问题·大思维
第 二 章 平 面 向 量
平 面 向 量 的 线 性 运 算
考点一
名师课堂·一点通
考点二 考点三
解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
＝2b－a.
[研一题]
(
)
[答案] B
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3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[悟一法]
向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法
与代数式的化简类似，可以进行去括号、移项、合并同类 项等变形手段．
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3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[通一类] 1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝ ( A．－a C．－c B．－b D．以上都不对 )
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3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[悟一法]
1．充分利用平面几何的一些结论，将有关向量转化
为相等向量、相反向量、共线向量，建立已知向量与未知 向量的关系解决问题． 2．此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程 (组)求解．
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3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[通一类]
2．设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC ＝2 BD ，
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
共线吗？
提示：n＝－2m，故m与n共线． 4．与非零向量a共线的单位向量是什么？
提示：由于单位向量的长度总等于 1，所以与非零向量 a a 共线的单位向量应为± . |a|
人教A版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学课件
进行比较。
a
3(2a)和
6a(
a为非零向量)，并
问题二：求作向量 (2 3)a和 2a 3a，并进行比较。
a
问题三：已知向量 a、b，求作向量 2(a b) 和
2a 2b ，并进行比较。
a
b
实根数据与定向义量，积求的作运向算量律 3(2a )和
6a
(
a为非零向
量)，并进行比较。
a
和 MD 吗？
D
C
解：在 ABCD中，
AC AB AD a b
M
b
DB AB AD a b
A
a
B
MA 1 AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
Байду номын сангаас22
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
2
22
的长度和方向规定如下：
（1）大小： a a
相同
相反
实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数 与向量不能相加、相减.
思考：你能说明向量数乘的几何意义吗？
a
数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或反
方向放大或缩短 倍.
思考：类比数的乘法运算律，你能说出向量数乘的 运算律吗？
问题一：求作向量
结合律: λ(μa)=(λμ)a 分配律: (λ+μ)a =λa +μa 分配律: λ(a + b)=λa +λb
特别地
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
(3) 4a
例1 计算（牛刀小试）
（1）
（2） 3(a+b)-2(a b) a （3） (2a+3b-c) (3a-2b c)
高中数学人教A版必修4第二章平面向量2.2.3向量的数乘运算及其几何意义(4)
高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.2.3向量的数乘运算及其几何意义（4）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()320x x a --=，则x =( )A ．2aB ．-2aC ．25aD ．-25a 2．将112[2(2a +8b )-4(4a -2b )]化简成最简形式为( ) A ．2a -bB ．2b -aC ．a -bD ．b -a 3．下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a ,b ,恒有m(a -b )=m a -m b ；② 对于实数m,n 和向量a ，恒有(m-n)a =m a -n a ；③ 若m a = m b ( m ∈ R), 则有a =b ；④ 若m a = n a (m, n ∈ R, a ≠ 0), 则m = n.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．若3,5AB a CD a ==-,且AD BC =,则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．非等腰梯形 5．已知向量,a b 不共线，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．,,AB D B ．,,A BC C ．,,B CD D ．,,A C D 6．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =7．设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若()1312R A A A A λλ=∈,()1412R A A A A μμ=∈,且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A .已知平面上的点,C D 调和分割点,A B ，则下列说法正确的是A ．C 可能线段AB 的中点B ．D 可能线段AB 的中点C ．,CD 可能同时在线段AB 上D ．,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题8．若O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，AB =41e , BC =62e , 则OA =____.9．若a =m +2n , b =3m -4n ，且m , n 共线，则a 与b 的关系是______. 10．在ΔABC 中， BC =a , CA =b , AB =c ,三边BC,CA,AB 的中点依次是D,E,F ，则AD +BE + CF =_____. 11．若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ （t ∈ R), O 为平面上任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =__ (用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 表示).三、解答题12．在ΔABC 中，D 为BC 的一个三等分点，求证: AD = 23AB +13AC 13．设12,e e 是两个不共线的向量，122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，若,,A B D 三点共线，求k 的值.14．已知,,A B P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA yOB =+，求x y +的值.15．在四边形ABCD 中，23AB a b =-, 8BC a b =-+,104CD a b =-+，且a , b 不共线，试判断四边形ABCD 的形状.参考答案1．B【解析】若()320x x a --=，则2x a =-.故选B.2．B【解析】()()()11122844241616812242121212a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤+--=+-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦.故选B.3．C【详解】对于①根据向量的数乘满足分配律,故恒有：m(a -b )=m -a m b ，故正确，对于②,根据向量的数乘运算律,恒有：(m-n)a =m a -n a ，故正确，对于③,若m =0,不一定有a =b 故不正确，对于④,若m a = n a ,则(m −n )0a =,由于0a ≠，则m =n ，故正确.综上，①②④正确，故选C.4．C【解析】【分析】由题意可知//AB CD ，且||||AB CD ≠，而对角线||||AD BC =，由此可知四边形为等腰梯形．【详解】解：∵3,5AB a CD a ==-，∴//AB CD ，||||AB CD ≠，∵||||AD BC =，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题．5．A【分析】先计算出BD ，从而可得2BD BA =-，故可得正确选项.【详解】解析：∵24BD BC CD a b =+=+，2BA AB a b =-=--∴2BD BA =-，∴,,A B D 三点共线.故选：A.【点睛】本题考查共线向量，一般地，如果,a b 共线（0a ≠ ），那么存在唯一的实数λ，使得b a λ=，反之也成立，本题属于容易题.6．A【详解】O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，且20OA OB OC ++=，∴0OA OD +=，即AO OD =，故选A.7．D【解析】由已知不妨设A (0,0)、B (1,0)、C (c ,0)、D (d ,0)，则(c ,0)=λ(1,0)，(d ,0)=μ(1,0)，∴λ=c ，μ=d ； 代入11λμ+ = 2得11c d+ = 2；(∗) 若C 是线段AB 的中点，则c =12，代入(∗)得，d 不存在，∴C 不可能是线段AB 的中点，A 错误；同理B 错误；若C ，D 同时在线段AB 上，则0⩽c ⩽1，0⩽d ⩽1，代入(∗)得，c =d =1，此时C 和D 点重合，与已知矛盾，∴C 错误.若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，则λ>1.μ>1，112λμ+<，这与112λμ+=矛盾， 所以C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上.故选D.8．-21e -32e【解析】()111(222OA CA AB BC ==-+=-41e +6212)23e e e =--. 故答案为1223e e --.点睛：应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，平面的基底可以有无穷多组．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．9．共线【解析】因为：m , n 共线，可设λm n =. a =m +2()λ2?n n =+， b =3m -4()3λ4?n n =-. ()()λ23λ4?b a +=-.所以a 与b 的关系是共线.点睛：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立.10．0【解析】()()1122AD AB AC c b =+=-. ()()1122BE BA BC c a =+=-+. ()()1122CF CA CB b a =+=-. 所以AD +BE +()()()1110222CF c b c a b a =-+-++-=. 故答案为; 0.11．(1-t )OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OB⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故答案为(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 12．见解析【解析】试题分析：由AD = AB + BD 和AD = AC + CD = AC -2BD ，消去BD 即可证得.试题解析：证明：AD = AB + BD ⇒ 2AD = 2AB + 2BD ， AD = AC + CD = AC -2BD ，⇒ 3AD = 2AB + AC∴ AD =23AB +13AC . 点睛：应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，平面的基底可以有无穷多组．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．13．【解析】试题分析：若A ，B ，D 三点共线，则AB BD 与共线，AB BD λ∴=设即121224e ke e e λλ+=-12e e 与不共线由于可得：故 考点：向量共线点评：三点共线问题转化为向量共线，两向量具有线性关系14．1x y +=【解析】试题分析：由共线可设AB BP λ=，进而得()OB OA OP OB λ-=-，化简对应的,x y 即可得解.试题解析：∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ=，∴()OB OA OP OB λ-=- ∴11OP OB OA λλλ+=-∵OP xOA yOB =+，∴1x y +=.15．四边形ABCD 是梯形【解析】试题分析：由1622AD AB BC CD a b BC =++=-+=，//AD BC ，2AD BC =且AB 不平行于CD 可得梯形.试题解析：∵23AB a b =-，8BC a b =-+，104CD a b =-+， ∴162AD AB BC CD a b =++=-+， ∴2AD BC =，∴//AD BC ，2AD BC =且AB 不平行于CD ∴四边形ABCD 是梯形.。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4-新人教A版
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。
——高尔基学习目标1．掌握向量数乘运算的概念.2．能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.3．掌握向量的共线定理及应用.学习重点平面向量数乘运算法则的应用.学习难点平面向量数乘运算法则的应用自主学习1．向量的数乘运算的概念(1)定义：实数λ与向量a的积是一个______.(2)运算律：①=②=③=特别地，( )= ( )，＝. 2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________.预习评价1．在四边形ABCD中，若，则此四边形是A.平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形2．设，是两个不共线的向量，若向量m=－+ k(k∈R)与向量n= －2 共线，则A.k=0B.k=1C.k=2D.3．若向量，a满足2 -3( -2a)=0,则向量=________.4．向量a与b不共线，向量c=3a-b，d=6a-2b，则向量c与的关系_______.(共线，不共线)5． =___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．向量数乘的概念及运算根据向量数乘的概念，思考下面的问题：(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量？2．所得向量λa的几何意义是什么？3．向量的大小与方向如何？4．共线向量定理根据共线向量定理，探究下面的问题：(1)若向量a与向量b(b≠0)共线，则a=λb，如何确定λ的值？(2)定理中为何要限制a≠0？5．若向量a，b不共线，且λa=μb，则λ，μ的值如何？为什么？教师点拨1．对向量数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与λ的正负有关.(2)当λ=0时，λa=0.(3)向量的数乘运算要遵循向量的数乘运算律.2．共线向量定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线.(2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线.交流展示——向量的数乘运算及理解已知向量a，b满足：|a|＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ＝A. B. C. D.变式训练设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是 ( )A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|交流展示——共线向量定理及其应用已知向量，，，则A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线变式训练在中，点是的中点，点在上，且，求证：，，三点共线．交流展示——向量线性运算的应用下列各式计算正确的个数是 ( )①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.A.0个B.1个C.2个D.3个变式训练=A.2a−bB.2b−aC.b−aD.a−b学习小结1．向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数.(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解. 2．由共线向量定理求向量系数的步骤(1)把向量等式通过向量线性运算，转化为与另一个式子相同的形式.(2)由两等式相同知对应系数相同，列方程可求向量的系数.3．用共线向量定理证明三点共线的三个步骤(1)定向量：由三点可确定多个不同的向量.(2)证共线：证明两个向量共线.(3)得结论：说明三点共线.当堂检测1．化简下列各式:(1)-+--;(2)2(a+2b)+3(3a+2b)-4(a-b).2．已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则实数λ的值为. 3．已知关于的方程有，则＝A. B. C. D.无解4．在平行四边形ABCD中，，，，则________(用e1,e2表示).5．已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1-e2，b=k e1+e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值.(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线?若存在，求出k的值，否则说明理由知识拓展已知两个向量e1,e2不共线.如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线?2.2.3 向量数乘运算及其几何意义详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)向量λa，｜λ｜｜a｜，相同相反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λbλa－aλa－λb2．b＝λa【预习评价】1．C2．D3．6a4．共线5．2b－a♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)实数λ与向量a数乘，得到向量λa，其方向由λ的正负及向量a的方向共同确定(2)所得向量与原向量是共线向量.2．是把向量a沿a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍或沿a的相反方向放大(λ<－1)或缩小(－1<λ<0)到原来的｜λ｜倍.3．向量的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量也是向量a方向上的单位向量.4．(1)当a，b同向时，λ＝，当a,b反向时，λ＝－.(2)共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立.并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在.5．:λ＝μ＝0.假设λ≠0，由于向量a，b不共线，则a≠0，b≠0，且a＝b，从而a，b共线，与向量a，b不共线矛盾，可知λ＝μ＝0.【交流展示——向量的数乘运算及理解】C【变式训练】C【解析】只有当λ>0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同.【交流展示——共线向量定理及其应用】B【解析】本题主要考查平面向量的共线的定理与向量的应用，由于与有公共点B，因此A、B、D三点共线，故答案为B.【变式训练】证明：．因为，，所以．由于，可知，即．又因为、有公共点，所以、、三点共线．【解析】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．【交流展示——向量线性运算的应用】C【解析】根据数乘向量的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.【变式训练】B【当堂检测】1．(1)原式=(-)-(+)=-0=.(2)原式=2a+4b+9a+6b-4a+4b=(2+9-4)a+(4+6+4)b=7a+14b.2．-1【解析】本题主要考查向量的相关知识,解题的关键是根据a+λb与b+λa的方向相反得到恒等式,进而得到关于λ的方程,从而得出λ的值.由a+λb与b+λa的方向相反得,a+λb=-k(b+λa),k>0,则λ=-k,-kλ=1,即λ2=1,又k>0,所以λ=-1,此时a+λb与b+λa的方向相反.3．B【解析】本题主要考查向量的线性运算.向量的线性运算同多项式的合并化简类似，具体解法如下：由已知得，则.4．5．（1）由，得，而与不共线，所以2,21k k λλ=⎧⇒=-⎨=-⎩. （2）不存在.若与共线，则， 有因为为非零向量，所以2λ≠且k λ≠-， 所以，即，这时与共线，所以不存在实数k 满足题意. 【知识拓展】显然c≠0,否则4e 1-7e 2=0,即e 1=e 2,与e 1,e 2不共线矛盾.又d=λa+μb=(λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2(λμ≠0),假设向量d=λa+μb 与c 共线,则存在一个实数γ,使得d=γc,即( λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2=4γe 1-7γe 2,从而,消去γ,得15λ=2μ(μ≠0).所以存在非零实数λ,μ,只要它们满足15λ=2μ(μ≠0),就能使得向量d 与c 共线.。
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3.关于共线向量定理的说明: (1)定理中,向量a为非零向量,即定理不包含0与0共线的情况. (2)条件a≠0是必须的.否则当a=0,b≠0时,虽然b与a共线,但不存在 实数λ,使得b=λa;当a=0,b=0时,λ可以是任意实数. (3)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可. (4)若b=λa(λ∈R),则a与b共线. (5)由本性质定理知,若向量 ������������=λ������������,则������������, ������������共线.又������������, ������������有 公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
共线向量定理及其应用
【例2】已知非零向量e1,e2不共线,且向量ke1-4e2与3e1-ke2共线, 求实数k的值.
解:因为向量ke1-4e2与3e1-ke2共线,所以存在实数λ,使得ke1-
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
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课标阐释
1.理解向量数乘的定义及几何意 义. 2.掌握向量数乘的运算律,能够用 已知向量表示未知向量. 3.掌握共线向量定理,会判断或证 明两个向量共线.