第四节对偶原理
10-特勒根定理、互易定理和对偶原理newrevPPT课件
关联参考
对偶
线性电路
两电路
所有元素对偶后，新电路 -特性与原电路完全相同
16
作业-1
2A
3A
I
6V
N
3V
N
2V
N为纯电阻网络，求I
-
17
作业-2
12
2A
1A
1 N
2V
1
I
N
2A 12V
12
N为纯电阻网络，求I
-
18
作业-3
R1
R2
R1
R2
2
2A
R3
R4
2
2A
R3
R4
10V
I
求I
-
19
-
14
如何得到对偶电路-例题
2A
3mH
5F
4
2V
3mF 5H
4S
求对偶电路
-
15
各定理之比较
适用 条件
相互 关系
内容
注意事项
叠加 线性电路
总=各独立源单 独作用之和
含受控源时保 持不动
齐性
线性电路 叠加的推论
所有独立源变K 倍，响应也变K倍
替代
线性 非线性
一元件
已知支路电压或电流，可用 同值电压源或电流源替代
-
9
特勒根定理2和互易定理的应用
1A
2
2A
I
N
2
N
4
Hale Waihona Puke 3A4N为纯电阻网络，求I
答案: I=-12A
-
10
特勒根定理2和互易定理的应用
4
0.5A
4
5V
对偶与范式4
命题公式的析取范式不唯一。 命题公式的析取范式不唯一。 同样，合取范式也是不唯一的。 同样，合取范式也是不唯一的。
范式的规范化形式
定义1.20(1.22) 在含有n个命题变项的简单合取式（ 定义1.20(1.22) 在含有n个命题变项的简单合取式（简单 析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现， 析取式） 若每个命题变项和它的否定式不同时出现， 而二者之一必出现且仅出现一次，且第i 而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变项或它 的否定式出现在从左算起的第i位上（ 的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题变项无角标 就按字典顺序排列），称这样的简单合取式（ ），称这样的简单合取式 ，就按字典顺序排列），称这样的简单合取式（简单析取 极小项（极大项） 式）为极小项（极大项）。 n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其中每个极小 个命题变项共可产生2 个不同的极小项。 项都有且仅有一个成真赋值。 项都有且仅有一个成真赋值。若成真赋值所对应的二进制 数转换为十进制数i 就将所对应极小项记作m 数转换为十进制数i，就将所对应极小项记作mi 。 类似地， 个命题变项共可产生2 个极大项， 类似地，n个命题变项共可产生2n个极大项，每个极大项 只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i 只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角 记作M 标，记作Mi。
求给定公式范式的步骤
(1)用基本等值式消去联结词→ (1)用基本等值式消去联结词→、↔等(若存在)。 若存在) A→B ⇔ ┐A∨B A↔B ⇔ (┐A∨B)∧(A∨┐B) (2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩 (2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移( 否定号的消去 根律) 根律)。 ┐┐A ┐┐A ⇔ A ┐(A∧B) ┐(A∧B) ⇔ ┐A∨┐B ┐(A∨B) A∨B)⇔ ┐(A∨B)⇔┐A∧┐B (3)利用分配律：利用∧ (3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式， 利用分配律 的分配律求析取范式， 的分配律求合取范式。 ∨对∧的分配律求合取范式。 A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C)
对偶原理的应用实例
对偶原理的应用实例1. 什么是对偶原理？对偶原理是计算机科学中的一种思想方法，它认为存在一种对应关系，即任何一个概念或问题，都可以找到一个与之对偶的概念或问题。
对偶原理认为，通过对问题进行转化，我们可以更好地理解问题本质，得到更好的解决方案。
2. 对偶原理的应用实例2.1. 对偶原理在逻辑电路中的应用对偶原理在逻辑电路中的应用非常广泛。
逻辑电路通常包括与门、或门、非门等基本门电路，通过对门电路的输入输出进行转换，可以得到对偶电路，从而更好地理解电路工作原理。
对偶原理可以帮助我们简化电路设计，提高电路的可靠性和效率。
2.2. 对偶原理在数据库查询中的应用对偶原理在数据库查询中也有重要应用。
数据库查询通常基于关系代数，通过关系代数中的操作，可以得到与之对偶的操作。
例如，选择操作对应于投影操作，而连接操作对应于并操作。
对偶原理的应用可以帮助我们更好地理解查询语言的运作方式，提高查询效率。
2.3. 对偶原理在编程中的应用对偶原理在编程中也有广泛的应用。
例如，对偶原理可以用于优化代码中的逻辑，通过对问题进行转化，可以得到与之对偶的问题，从而提高代码的可读性和效率。
对偶原理还可以用于解决一些复杂的问题，例如图论中的最短路径问题，通过对问题进行转化，可以得到与之对偶的问题，从而简化求解过程。
2.4. 对偶原理在数学中的应用对偶原理在数学中也有重要的应用。
例如，在线性规划中，对偶问题是原始问题的一种变形，通过对原始问题进行转化，可以得到对偶问题，从而简化求解过程。
对偶原理在几何学中也有应用，例如，在几何证明中，通过对问题进行转化，可以得到与之对偶的问题，从而简化证明过程。
3. 总结对偶原理作为一种思想方法，在计算机科学、数学和工程等领域中有着广泛的应用。
通过对问题进行转化，我们可以更好地理解问题的本质，得到更好的解决方案。
无论是在逻辑电路、数据库查询、编程还是数学中，对偶原理都起到了重要的作用。
对偶原理的运用不仅可以简化问题的求解过程，还可以优化代码和设计，提高系统的可靠性和效率。
(04)对偶与范式(2011-03-22-34)
2012年6月26日星期二
34
25
求解主合取范式<真值表法>举例
利用真值表技术求 A (P∧Q)∨(┐P∧R)的 主合取范式与主析取范式
A (P∧Q∧R) ∨ (P∧Q∧┐R) ∨ (┐P∧Q∧R) ∨ (┐P∧┐Q∧R) A (┐P∨Q∨┐R) ∧ (┐P∨Q∨R) ∧ (P∨┐Q∨R) ∧ (P∨Q∨R)
小项的性质
对每个小项，当其真值指派和小项的角码相同时，其 真值为T，在其余2n-1种指派情况下均为F。
任意两个不同小项的合取式永假。 全体小项的析取式永真。
m11
P∧Q
2012年6月26日星期二
m10
P∧┐Q
34
m01
┐P∧Q
m00
┐P∧┐Q
13
主析取范式
定义：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由 小项的析取所组成，则该等价公式称作原式的主析取范式。 定理：在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小 项的析取。即为此公式的主析取范式。
2012年6月26日星期二
同一律
34
分配律
16
求解主析取范式<真值表法>举例(1)
给定PQ，P∨Q和┐(P∧Q)，求这些公式的主析取范式。
P Q P∧Q P∧┐Q ┐P∧Q ┐P∧┐Q PQ P∨Q ┐(P∧Q) P∧Q P∧┐Q ┐P∧Q ┐P∧┐Q T T T F F T F F T F F F F T F F F F T F F F F T T F T T T T T F F T T T
范式不唯一
一个命题公式的合取或析取范式并不唯一。 如 P∨(Q∧R)是一个析取范式，但也可写成：
P∨(Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R) ((P∨Q)∧P)∨((P∨Q)∧R) (P∧P)∨(P∧Q)∨(P∧R)∨(Q∧R)
对偶原理在几何中的应用
对偶原理在几何中的应用1. 什么是对偶原理对偶原理是一种广泛应用于数学和逻辑推理的原理。
它通过交换命题中的主语与谓语，可以得到另一个等价的命题。
在几何中，对偶原理可以用来描述平面上的点和线之间的关系。
通过对图形的对偶操作，可以得到一个与原始图形相对应的对偶图形，这种对偶图形与原始图形具有一定的对应关系，且具有相似的性质和结构。
2. 对偶原理的基本规则对于几何中的对偶操作，有以下基本规则：•点的对偶：平面上任意一个点都对应着一条直线，这条直线是过这个点的所有直线的对偶。
•直线的对偶：平面上任意一条直线都对应着一个点，这个点是包含这条直线的所有点集合的对偶。
•包含关系的对偶：如果一条直线包含一个点，那么这个点的对偶是包含直线的所有点的对偶。
同样，如果一个点被一条直线所包含，那么这个直线的对偶是包含这个点的所有直线的对偶。
通过上述对偶规则，我们可以在平面几何中进行对偶操作，得到与原始图形相对应的对偶图形。
3. 对偶原理在几何中的应用对偶原理在几何中有许多应用。
下面将介绍其中几个主要的应用：3.1 平行关系的对偶在平面几何中，两个平行线之间的关系可以通过对偶原理进行描述。
对于两条平行线l和m，它们之间的对偶关系是l包含m的所有点的对偶等于m包含l的所有直线的对偶。
也就是说，如果一条直线包含了两个平行线被包含的所有点，那么这条直线的对偶就是包含这两条平行线的所有直线的对偶。
3.2 垂直关系的对偶对于平面上的两条垂直线，它们之间的对偶关系是一条直线包含另一条直线的对偶等于另一条直线包含一条直线的对偶。
这就是说，如果一条直线包含了两条垂直线中的一条，那么这条直线的对偶就是包含另一条直线的对偶。
3.3 垂直平分线和角平分线的对偶关系在平面几何中，垂直平分线和角平分线有着特殊的对偶关系。
对于一个角的垂直平分线，它的对偶是这个角的角平分线。
同样，对于一个角的角平分线，它的对偶是这个角的垂直平分线。
3.4 定理的对偶在几何中，对偶原理还可以应用于证明定理。
[工学]离散数学-1-7 对偶与范式
![[工学]离散数学-1-7 对偶与范式](https://img.taocdn.com/s3/m/78e4952c5a8102d276a22fa4.png)
例题1 写出下列表达式的对偶式
1.（ P∨Q）∧R 2. （ P ∧ Q）∨T 3. （ P∨Q）∧（ P∨（Q ∧ S））
3
一、对偶式与对偶原理
例题2 求P↑Q和P↓Q的对偶式。
解： P↑Q¬(P∧Q) ¬(P∧Q)的对偶式是¬(P∨Q)P↓Q 故P↑Q的对偶式是P↓Q；同样的方法可以证明P↓Q的 对偶式是P↑Q。 注意：根据例题2，对偶式概念可以推广为：在仅含有联 结词¬，∧，∨，↑，↓的命题公式中，将联结词∨，∧， ↑，↓， F，T 分别换成 ∧，∨，↓，↑， T，F，就得到 了它的对偶式。
2 n 1 i 0
m
i
m0 m1 m2 n 1 T
20
三、主析取范式
定义1-7.5 对于给定的命题公式，如果有 一个它的等价公式，仅由极小项的析取所 组成，称该公式为原公式的主析取范式。 定理1-7.3 在真值表中，一个公式的真值 为T 的指派所对应的极小项的析取，即为此 公式的主析取范式。 定理1-7.3的证明 P34
定理1-7.2 设P1，P2，…，Pn是出现在公式A和B中 的所有原子变元，如果AB，则A*B*。
*定理1.7.2叫做对偶原理。对偶原理是数理逻辑中最基本 的规律之一。
7
一、对偶式与对偶原理
例题4:如果A(P,Q,R)是P↑(Q∧¬ (R ↓P))，求它的对 偶式A*(P,Q,R)。并求A及A*的等价，但仅包含联 结词“∧”、“∨”及“¬”的公式。 解： 因A(P,Q,R)是P↑(Q∧¬ (R ↓P)) 所以 A*是 P↓(Q∨¬(R ↑ P)) 而 P↑(Q∧¬ (R ↓P)) ¬ (P∧(Q∧(R∨P)) 故 P↓(Q∨¬(R ↑ P)) ¬ (P∨(Q∨(R∧P))
第三章对偶单纯形法
··
≥ (c1,c2,…,cn)
y1，y2，…，ym≥0
m个变量，n个约束条件
2﹒约束条件全部为“=”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
max z=CX
AX＝b
等价
AX≤b AX≥b
AX≤b 等价 －AX≤－b
X≥0
min ω=(Y1,Y2) A
(Y1,Y2) －A Y1,Y2≥0
b －b
承租
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
厂家能接受的条件：
出 用同让6等代y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1 己生2产y2的利y润3。 1
收购方的意愿：
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
设备B
6
调试工序
1
5 15时 2 24时 1 5时
利润（元） 2
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制max变S量个数5n y1 约4束y方2 程个6数yn3
2、求下列问题的对偶问题 min Z 2x1 3x2 5x3 x4
4x1 x2 3x3 2x4 5
s.t
3x1 2x2 7x4 2x1 3x2 4x3
4 x4
6
s.t
3﹒约束条件为“≥”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
对
AX≥b
等价
－AX≤ － b
偶
X≥0 min ω=Yb
对偶 问题
X≥0
问
题
min ω=Y1 (－ b)
YA ≥C Y≤0
令Y= － Y1
有关对偶的知识点总结
有关对偶的知识点总结一、对偶的概念1. 对偶的概念起源于古希腊哲学，最早由柏拉图提出。
柏拉图通过对立的概念，强调了现实世界与理念世界之间的关系，认为二者是相互依存、相互对立的。
2. 在逻辑学中，对偶是指针对命题形式P↔Q，当P为真时Q也为真，当P为假时Q也为假。
P与Q的真值相同，称为对偶。
对偶是逻辑推理中的重要概念，有助于推理过程的简化和逻辑等价的判断。
3. 在数学中，对偶的概念也具有重要意义。
在代数学中，对偶空间是指给定向量空间V上的对偶空间V*，表示了V中的线性函数构成的空间。
在几何学中，对偶性可以表示为对偶几何，即在平面几何中，对偶可以对应于点与线的对偶关系。
在范畴论中，对偶由自然变换定义，在范畴理论中具有重要的作用。
4. 在物理学中，对偶的概念也具有重要的意义。
例如，在粒子物理学中，粒子-波对偶原理指出了粒子和波具有双重性质，在不同条件下会呈现出不同的行为。
在相对论和量子力学中，对偶的原理也有着深远的意义。
二、对偶的类型对偶的类型可以从不同的角度进行分类，包括逻辑对偶、数学对偶、物理对偶、文学对偶等等。
下面将针对不同类型的对偶进行详细介绍。
1. 逻辑对偶在逻辑学中，对偶是指一个蕴涵式的两部分，一般都是以“如果……那么……”的形式出现。
逻辑对偶是一个很重要的逻辑等价关系，在命题逻辑和谓词逻辑中都有广泛的应用。
在命题逻辑中，对偶是指P↔Q的真值表达式为真。
换言之，当P为真时Q也为真，当P为假时Q也为假。
例如，“如果今天下雨，那么地面会潮湿”与“如果地面不潮湿，那么今天没有下雨”就是一个对偶关系。
在谓词逻辑中，对偶是指量词的对偶，即∀xP(x)与∃x~P(x)的对偶关系。
其中∀表示全称量词，∃表示存在量词，P(x)表示一个关于x的命题函数。
2. 数学对偶数学中的对偶概念涉及到多个领域，例如代数学、几何学、范畴论等。
在代数学中，对偶空间是一个重要概念。
对于一个向量空间V，它的对偶空间V*是由所有从V到其定义域中的标量域的线性函数组成的。
1.7对偶与范式
B*(P1 , P2 ,…, Pn)→A*(P1 , P2 ,…, Pn)永真. 所以 B* A* .
2020/2/12
1.7.2命题公式的析(合)取范式
从前面的讨论可知,存在大量互不相同的命题 公式，实际上互为等价,因此,有必要引入命 题公式的标准形式,
使得相互等价的命题公式具有相同的标准形 式。这无疑对判别两个命题公式是否等价以 及判定命题公式的类型是一种好方法,同时对 命题公式的简化和推证也是十分有益的.
因此 A*B* .
2020/2/12
例1：因为： P(PQ)P 由对偶原理: P(PQ) P
例2: 若A1 则 A*(1)* 即 A*0. 例3: 设A为 (PQ)(┐P(┐PQ)),B为┐PQ,
且AB,则 A*B* ┐PQ.
2020/2/12
定理1.7.3:设A,B为两个仅含有联结词┐,,的命题 公式, 若AB，则 B*A*。
解: 原式┐(┐(P∨Q)∨R)∨P P∨(Q∧┐R) (析取范式) (P∧(Q∨┐Q)∧(R∨┐R))∨((P∨┐P)∧ (Q∧┐R)) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨
(P∧┐Q∧┐R)∨(P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧┐R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨
圆对偶定理
圆对偶定理圆对偶定理是几何中的重要定理之一，它揭示了平面上圆与直线之间的对偶关系。
下面将对圆对偶定理进行详细的说明。
圆对偶定理是由法国数学家波尔良·卡尔诺于1822年提出的。
该定理阐述了圆与直线之间的一种特殊对偶关系，准确地描述了圆上的一点对应着平行于对偶圆中心的直线，并且对偶圆上的一个点对应着以对偶直线为直径的圆。
具体来说，给定一个平面上的圆C，以及它的对偶圆C'。
设圆C的圆心为O，对偶圆C'的圆心为O'。
则对于圆C上的任意一点P，它与对偶圆C'之间的对偶关系为：点P对应着直线OO'的垂直平分线。
同样地，对于对偶圆C'上的任意一点P'，它与原圆C之间的对偶关系为：点P'对应着直线OO'。
由圆对偶定理可得，对偶圆C'上的所有点均对应着原圆C上的垂直平分线。
这表明了圆与直线之间的对偶关系，其中直线是经过对偶圆的圆心的。
圆对偶定理的证明可以通过投影几何和轴对称几何的方法进行推导。
在证明中，通过对圆C上的任意一点进行投影，得到对应的直线。
然后，再通过圆C'上的点投影得到相应的直线。
证明的思路是通过构造和相似三角形的运用，将圆与直线之间的对偶关系巧妙地体现出来。
圆对偶定理的应用广泛。
在计算机图形学和计算机视觉领域，对偶圆常常被用来表示图像中的圆形物体，而对偶直线则用来表示图像中的直线。
通过圆对偶定理，可以将图像中的圆与直线进行转化和处理，帮助进行图像分析和识别。
此外，圆对偶定理还可以应用于其他几何问题中。
例如，在构造几何和证明问题中，可以利用圆对偶定理的特性，将一个几何问题转化为另一个等价的几何问题，从而简化解题过程，提高解题效率。
总的来说，圆对偶定理是几何中的一个重要定理，描述了圆与直线之间的对偶关系。
它对于计算机图形学、计算机视觉以及其他几何问题的研究具有重要意义。
通过了解和应用圆对偶定理，可以更好地理解和解决与圆和直线相关的几何问题，推动几何学在实际应用中的发展。