【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
2第二章 一般张量
这里实际上是把 ， 看作是矢量 的逆变分量了，但有类似于 这样非线性项的出现，将给运算带来不便。我们对上式作一调整，便得坐标的微分成为线元矢量 的逆变矢量：
， （2.1.14）
这样，就需要这两个微分的系数：
， （2.1.15）
作为新的基矢量，而不是用单位矢量作为基矢量。由此可见，在极坐标系中，基矢量 和 随点而变，相当于一个活动标架。
把一个协变基矢量分解成协变分量时，便导出一组新的重要的量：
（2.1.27）
这样定义的九个量 的总体，叫做度量张量，而每个量 是度量张量的协变分量。同理，可以把 分解成逆变分量：
（2.1.28）
这样我们就定义了度量张量的逆变分量。
现在考察同一组基矢量的点积：
（2.1.29）
或者，
（2.1.30）
并且 ， ，所以度量张量是二阶对称张量。
因此有：
是一个标量函数，考察它的坐标转换关系，利用度量张量协变分量的坐标变换关系并同时取其行列式，有：
如令协变转换系数的行列式 ，上式成为：
因此，尽管 是标量函数，但是在新旧两个坐标系的值是不同的，这样的标量称为伪标量。注意到协变基矢量构成右手系时，混合积是以三个基矢量为棱边的平行六面体的体积，而 等于混合积的平方，因此有：
，
上式中 称为协变转换系数， 称为逆变转换系数，各有九个量，但实际上协变转换系数和逆变转换系数互不独立，为此，作：
上式表示协、逆变转换系数组成的矩阵互逆，即
旧坐标系的协变基矢量对新坐标系的协变基矢量分解，也应有9个转换系数 ，
将上式左右点积 ，并利用对偶关系：
又将上式左端的 转换关系代入后得：
所以
以及
所以 和 是二阶协变张量和二阶逆变张量，根据一般张量的概念，度量张量还存在两种混变分量，它们是：
张量
附录1 张量（Ⅰ）正交变换一直角坐标系内任一矢量A可表示为)3,2,1(332211==++=∧∧∧∧j e A e A e A e A A jj沿坐标轴的三个基元矢量是正交规一的)3,2,1,(==⋅∧∧j i e e ijj i δ将坐标系绕原点作空间转动或空间反射，产生新坐标系。
矢量A表示为i i eA A ˆ''= 老系一个基元矢量以新系的基元矢量表示),cos(ˆˆˆˆ)ˆˆ(ˆ'''j i e ee e e e ej i ij i ij i j i j =⋅='='⋅=αα ij α 为变换系数，是j i ,'之间的方向余弦。
由此可得矢量分量之间的变换关系j ij i A A α=' (1)若在坐标变换下，矢量的模保持不变，则为正交变换。
正交变换下，变换系数必有)(,1T kl il ik ααδαα==-在正交变换下（1）式也可作为矢量的定义。
（Ⅱ）二阶张量（二并矢，dyadics ）将矢量B A,并列，叫并矢量。
在一坐标系内j i j i j j i i e e B A e B eA B A ˆˆˆˆ==j i e eˆˆ 称为基元二并矢。
因此任一并矢B A是9个基元二并矢的线性组合。
一般地说，若一个量是9个基元二并矢的线性组合则这个量就称为二并矢或二阶张量。
,ˆˆl k kl e eT T =(k,l =1,2,3)在坐标变换下'''ˆˆj i ij e e T T = (i,j=1,2,3)可证明，二阶张量的分量在新老坐标系中的变换关系为kl jl ik ij T T αα='(2)（2）式也可作为二并矢或二阶张量的定义。
二阶张量的代数运算规则： ⅰ)与标量相乘：j i ij e ecT T c ˆˆ)(=ⅱ）同阶张量相加减K e e K e eS T S T j i ij j i ij ij==±=±ˆˆˆˆ)( ⅲ）点乘：b e b ea T e e e a T e a e e T a T i i i j ij k j i k ij k k j i ij===⋅=⋅=⋅ˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆ T a a T⋅≠⋅ji ij l i k j kl ij l k j i kl ij l k kl j i ij l i il l i jl ij l k j i kl ij l k kl j i ij S T e e e eS T e e e e S T e e S e eT S T K e e K e eS T e e e e S T e e S e eT S T b c b a T b a T =⋅⋅=⋅⋅=====⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅=)ˆˆ)(ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆˆˆ:ˆˆ:ˆˆˆˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆˆ)(:定义单位二阶张量j i ij e eI ˆˆδ=TI T T I a I a a I=⋅=⋅=⋅=⋅,对非奇异张量T，即它的行列式不为零，就存在它的逆张量1-T ：T TI T T ijij∆==⋅--11,T 是T的行列式，ij ∆为ij T 的代数余子式。
张量分析(Tensor Analysis)
ds 2 (dx1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx3 ) 2
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds ij dx dx
2 i
j
克罗内克符号的一些常用性质：
i j xi x j
x j ij x i
i
j i k
j k
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
r i dr i dx x
空间一点P的位置矢量可用直角坐标表示为：
r z ji j
式中 ij 为沿坐标轴 zj 方向的单位矢量。
r r z j z j j i i ij i x z x x
r 上式表明， i 是单位矢量 ij 的线性组合，因此也是矢量。 x
基矢量（续）
r r i 变化时位置矢量r的变化，因此 i i 表征当 x i 的方向是沿坐标曲线 x x x r 的切线方向。矢量 i 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）： x
r z j gi i i i j x x
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。 基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交； 基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
1 张量的概念
在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中， 有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些 分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。例如受力 物体内一点的应力状态，有9个应力分量， 如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则 有：
xx xy xz ij yx yy yz zx zy zz
克罗内克符号 i j 的定义是:
张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
右特征矢量：
u1 0u2 u3 0
∵
u1
0u2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0u3
0
u1 0u2 u3 0
;∴
是方程组（1）的非零解。
u1 0
u
2
a
u 3 0
（a是任意实数）
uai2
A u ( i 1 i 3 i 2 i 1 i 2 i 2 i 3 i 1 ) ( a i 2 ) a i 2 1 u
（3.4-4）
（3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1, u2, u3的齐次线性代数方程 。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零。
或者说A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要条件是：
d e t( A I) 0
( a )
d e t( A * I) 0
( b )
∵
d e t ( A I ) * d e t ( A * I ) d e t ( A I )
ω
1 2
e
:
A
1 2
(eijk
iii
j
ik
)
:
(
Amnimin
)
1 2
eijk
Ajk
ii
1 2
( A23i1
A31i2
A12i3
A32i1
A21i3
A13i2
)
1 2
(2A23i1
在。但特征方程（3.4-6）至少有一个实特征值。因此可以 肯定二阶张量至少有一个右特征矢量和一个左特征矢量。
张量分析及其应用及应用
δ ki Ai = δ kk Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
例2： Tk j → Ti j
特别
δ ikTk j = δ i iTij = Tij
地，
δ ikδ k j = δ ij , δ ikδ k jδ jm = δ im
bi = Vimcm
m
bm = Vmncn
n or else
1.4 指标记法的运算
1.4.2 乘积
不符合 求和约
定设 则Βιβλιοθήκη p = U mam q = Vmbm
p q ≠ U mamVmbm
p q = U mamVnbn
1.4 指标记法的运算
1.4.3 因式分解
考虑 Ti j nj − λ ni = 0
为简化表达式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求 和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑 标。
于是
or
or
S = ai xi = ajxj = ak xk
n
a b x ∑ i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi i=1
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 eαβ (α, β = 1, 2)
从三维退化得到
eαβ = ei j3 = eαβ 3
其中
e11 = e22 = 0, e12 = −e21 = 1
有下列恒等式
eαβ eγδ = δαγ δ βδ − δαδ δ βγ
张量运算（ＰＤＦ）
★多个矢量的运算：可按三个矢量的运算法则展开
向量的加法和乘法，及 其运算时的分配律、结合 律、交换律。 加法的运算太简单，略 去；主要考虑乘法的运 算。
第四例应该是第一例
§ 1.2 三矢量的混合积
【解】
∇ (f · g) = ∇ (f · gc) + ∇ (fc · g) → (gc · ∇) f + (f × ∇) × gc + (∇ · fc) g + (g × ∇) × fc = (gc · ∇) f + gc × (∇ × f ) + (fc · ∇) g + fc × (∇ × g) = (g · ∇) f + (f · ∇) g + g × (∇ × f ) + f × × g) = ∇ · (fc × g) + ∇ · (f × gc) → −fc · (∇ × g) − gc · (f × ∇) = −fc · (∇ × g) + gc · (∇ × f ) = −f · (∇ × g) + g · (∇ × f )
例二
【形式变换】
(f · ∇) g
(k · ∇) r = ∇ (k · r) − k × (∇ × r) = ∇ (k · r) = k (f · ∇) (ϕg) = g [(f · ∇) ϕ] + ϕ [(f · ∇) g]
事实上由并矢可知：
(f · ∇) g = ∇ · (f g) − (∇ · f ) g
例三
【形式变换】
(f × ∇) × g
a1 a2 a3 a · (b × c) = b1 b2 b3 = b · (c × a) = c · (a × b)
张量分析简答题
22
张量分析
Tensor Analysis
x2
x1'
x2' x2
x
' 2
e2'
e2 e1'
x1' x1
e1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
x1
( i' , j 1,2 )
则：αi' j
ccooss((ee21''
,e1 ) ,e1 )
cos(e1' cos(e2'
标为哑指标。如：
ai xi (i 1,2, n)
a1x1 a2 x2 an xn
n i 1
ai
xi
又如： ii jj 11 22 33 x y z
11
张量分析
Tensor Analysis
1
求和约定仅对字母指标有效，如 33 z
Aij jk Aik
ij jk ik
ij jk kl il
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
18
张量分析
Tensor Analysis
§A－2 张量的定义和代数运算
1. 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 aiei
23
31 32 33
x xy xz
yx
y
yz
zx zy z
10
张量分析
Tensor Analysis
第二章-张量基础
5
例 2. 张量。
ai 和 bi 是两个任意矢量， ij ai b j 是标量。证明 ij 是一个二阶
证：由于 是一个标量，即坐标变换时的不变量，故
ij ai b j ij (ii ai )( jj b j ) ii jjij aib j ij aib j
为一个二阶张量。事实上
(2.21)
Cij Aij Bij ii jj Aij ii jj Bij
ii jj ( Aij Bij ) ii jj Cij
式(2.21)也可以写成 C Cij ei e j A B ( Aij Bij )ei e j 。 张量的线性组合满足加法交换律 A B B A 、结合律
T21e2 e1 T22e 2 e 2 T23e2 e3
T31e3 e1 T32e3 e 2 T33e3 e3
二阶的基张量有 9 个。需要指出的是，若 i j ，则 ei
e j e j ei 。
3
张量的第二种定义 在某一坐标系中，某一个量 T 可表示成 T Ti1i2 in ei1 ei2 ein 的形式， 则就称 T 是一个 n 阶张量。 可以证明，该定义和（2.19）式的定义是等价的：
(c)
Cij ii jj Cij ii jj Aijkl Bkl ii jj k k l l Aijkl Bk l
(b)-(c)得: ( Aijk l ii jj k k l l Aijkl ) Bk l 0 由于 Bk l 是任意的，从上式可得: Aij k l 上式表明， Aijkl 为一个四阶张量。
T Ti1i2 in ei1 ei2 ein Ti1i2 in i1i1 ei1 i2 i2 ei2 in in ein i1i1 i2 i2 in in Ti1i2 in ei1 ei2 ein Ti1i2 in ei1 ei2 ein
二阶张量的双点积计算matlab
二阶张量的双点积计算在matlab中是一个重要且复杂的主题。
让我们简要回顾一下二阶张量和双点积的基本概念，然后逐步深入探讨如何在matlab中进行这一计算。
1. 二阶张量在数学和物理学中，张量是一个非常重要的概念。
二阶张量是指一个具有两个指标的张量，通常可表示为一个矩阵。
二阶张量在描述物质的性质、力学中的作用等方面有着广泛的应用。
2. 双点积双点积是指两个张量的相乘并对其中一个张量的指标求和。
在物理学和工程中，双点积的计算经常出现在力学模型、应变分析等领域。
深入探讨二阶张量的双点积计算，我们需要先了解在matlab中如何表示和计算二阶张量。
在matlab中，二阶张量可以使用矩阵来表示。
假设我们有两个二阶张量A和B，它们分别表示为：A = [a11 a12; a21 a22]B = [b11 b12; b21 b22]其中，a11、a12等表示张量A的元素。
那么，A和B的双点积可以表示为：C = A:B = a11*b11 + a12*b21 + a21*b12 + a22*b22在matlab中，我们可以使用循环和逐元素相乘的方式来实现双点积的计算。
但是，这种方法在处理大型张量时效率较低，因此我们需要探讨更高效的方法。
一种更高效的方法是使用matlab中的张量运算函数。
在matlab的Tensor Toolbox中，有专门用于张量运算的函数，包括对二阶张量的双点积计算。
通过调用这些函数，我们可以更高效地进行二阶张量的双点积计算。
总结而言，二阶张量的双点积计算是一个重要且复杂的主题。
在matlab中，我们可以通过使用张量表示和张量运算函数来高效地进行这一计算。
通过深入学习和实践，我们可以更好地理解和运用二阶张量的双点积计算。
个人观点和理解：二阶张量的双点积计算在matlab中虽然复杂，但通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握这一技术，并将其应用于实际问题中。
掌握高效的计算方法，可以提高工作效率并解决复杂的工程和科学问题。
二阶张量的特征问题
二阶张量的特征问题王帅;杨恩孝【摘要】In this paper, we study the eigenvalue and eigenvector (function) of second order tensor.On this basis, we obtain some ideal results for the eigenvalues and eigenvectors of symmetric second order tensor.The characteristics of two order tensors in different bases are found by linear transformation.%本文对二阶张量的特征值与特征向量(函数)展开研究,并在此基础上研究了对称二阶张量的特征值与特征向量, 得到了一些较理想的结果.通过线性变换找到了在不同基底下的二阶张量的特征.【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2017(036)002【总页数】3页(P23-25)【关键词】二阶张量;特征值问题;线性变换【作者】王帅;杨恩孝【作者单位】长春光华学院基础教研部,吉林长春 130033;长春光华学院基础教研部,吉林长春 130033【正文语种】中文【中图分类】O151.24不同的物理量或几何量,表述的形式是不一样的,例如,在直角笛卡儿坐标中, 标量φ; 向量, ui(i=1,2,3);曲面的曲率张量, kαβ(α,β=1,2);应力张量, σij(i,j=1,2,3); 弹性系数张量, Cijkl(i,j,k,l=1,2,3)等.这些物理量和几何量，它们的分量个数是不同的.在直角坐标下, 它们可以写成.(采用Einstein求和约定).既然是物理量和几何量,它们表述的事实就应该与坐标系的选取无关，这就是张量的不变性.但在不同坐标系下,它们的分量却不同.只有在坐标系变换下,张量分量遵循确定的变换规律才能表述张量的不变性.为方便计,只考虑直角笛卡尔坐标系的变换.新旧两个直角笛卡尔坐标系,其单位正交基向量为i}(i=1,2,3), i′}(i′=1′,2′,3′).两组单位正交基向量满足变换:).式中Aii′Ai′i是变换系数,Aij′Aj′j=δij, Ai′jAjj′=δi′j′ ，(i=1,2,3;i′=1′,2′,3′).二阶张量定义: 二阶张量j在基向量变换(1.1)下,若其分量变换满足:σi′j′=Ai′iAj′jσij, (i=1,2,3,;i′=1′,2′,3′),则称是二阶张量.因此,二阶张量在不同基向量下,可以写为(1.5)式正好表明张量的不变性.张量的点积是一阶张量,这与用张量分量的缩并运算σijuj是相同的.2.1 线性变换)是二阶张量设V3是三维向量空间, 对∀∈V3,有且满足:∀∀,∀k∈R(实数).则称为V3上的线性变换.取,且易证是二阶张量,而且也是线性变换.因为,有又由(2.3)算式,显然满足(2.1),(2.2).由(2.3)算式定义的线性变换)是二阶张量.2.2 二阶张量的特征值问题若≠0,使得则称λ为二阶张量的特征值, 为的与特征值λ对应的特征向量.因为方程有非零解≠0, 必有亦即(2.5)或(2.6)称为二阶张量的特征方程,用以确定的特征值.式中j为度量张量.与λ(α)对应的特征向量(α)(≠0)由齐方程确定.2.3 对称二阶张量的特征值与特征向量二阶张量是对称的, (σij=σji),则必有3个实特征值λ(i)(i=1,2,3)，必存在与3个实特征值对应的单位正交的特征向量：于是而因此,σ(α)(β)=e(α)ie(β)jσij又因为则有因此σ(α)(β)=e(α)ie(β)jσij=λ(α)e(α)ie(β)i即有于是,在特征(基)向量下, 二阶张量为.【相关文献】[1] Seamus D Garvey, Uwe Prells,Michael I Friswell, Zheng Chen.General isospectral flows for linear dynamic systems[J]. Linear Algebra and its Applications， 2004,24(2):365-368.[2] M T Chu, Fasma Diele, Ivonne Sgura. Gradient flow methods for matrix completion with prescribed eigenvalues[J]. Linear Algebra and its Applications， 2004,34(1):85-112.[3] F Tisseur, K Meerbergen,The quadratic eigenvalue problem[J]. SIAM, Review，2001,24(6), 43:235-286.[4] M I Friswell, U Prells, S D Garvey.Low-rank damping modifications and defective systems[J]. Journal of Sound and Vibration， 2005,34(3):757-774.[5] P R Houlston, S D Garvey, A A Popov.Modal control of vibration in rotating machines and other generally damped systems[J].Journal of Sound and Vibration， 2007,12(3):104-116.。
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第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
(2) 正则T 是单射的：≠u v ⇒ ⋅≠⋅T u T v(3) 正则T 是满射的：∀u 所作的线性变换⋅=T u v ，必存在唯一的逆变换1-⋅=T v u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量1-T 使：11--⋅=⋅=T T T T G2.3 二阶张量的不变量张量分量的值随坐标改变而变化，但其某些组合却是不随坐标变化的标量—不变量。
(1) T 通过与自身T 、G 、ε进行缩并，得到的标量就是不变量::i j i j iiT T δ=⋅⋅==G T G Ttr()i jj i T T ⋅⋅==⋅T T T Tlmni j k ijk lm nT T T εε⊗⊗=εT T T ε(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量） (3) 主不变量（T 特征多项式的三个系数）1231123:m mnmnmmmn mn m T T T T G TGT T η∙∙∙∙∙=++=====G T()()112211122313222333312231312231312231312231321323111 221 :: 2m n p q ip j q m n q p jq i p T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ηδ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙=++=++---⎡⎤=-=⎣⎦=⎡-⋅⋅⎤⎣⎦G T G T T T[共有6项相加，m n ≠,p q ≠；指标,m n 和,p q 可以互换但乘积不变，所以要乘1/2]11112322231233331231113!66ijk l m n ijk l m n lmn i j k lmn i j k T T T T T T T T T T T T T T T ηδεε∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙==⊗⊗==εT T T ε[共有6项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零；,,l m n 均顺序和均逆序的排列有6种，同样,,i j k 也有六种，组合共有36种，除去重复的只有6种，所以要乘1/6]T T G tr ==*:1η()j ii j T T tr ∙∙*=⋅=⋅⋅=T T T T 2η ()k ij k i j T T T tr ∙∙∙*=⋅⋅=T T T 3η 两者之间的关系：11ηη=*，()22122ηηη-=*，()21313333ηηηηη-+=*(3) 二阶张量的独立不变量有6个，对称二阶张量有3个，反对称张量1个。
(4) [][][][]1,,,,,,,,η⋅=⋅=⋅=T a b c a T b c a b T c a b c [][][][]2,,,,,,,,η⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=T a T b c a T b T c a T b T c a b c [][]3,,,,η⋅⋅⋅=T a T b T c a b c2.4 二阶张量的标准形1． 实对称张量 N (1) 定义：ji ijN N =、jiijN N=、iji j N N∙∙=、j iji N N∙∙=，而一般：j ii j N N∙∙≠、ijj i N N∙∙=Nu u N ⋅=⋅(2) 对任一实对称2阶张量，总能找到一组正交标准化基：ie 333222111e e e e e e N N N N ++=， iN 为主分量，ie 为主方向。
(3) 坐标、主分量的求法：a a N λ=⋅⇒()0=-∙i i j i j a Nλδ⇒ja （主坐标系下，主方向矢量a 经变换后方向不变）21230N N N ληληη+-=设有复根：21λλλi +=，由()ijija i a N 21λλ+=∙⇒i a 必为复数：ii i i a βα+=⇒()()()i i j j ij i i i N βαλλβα++=+∙21⇒()()i i i i j i j j i j i iN N αλβλβλαλβα2121++-=+∙∙⇒()()()()i i ii i i j i j j i j i i i iN N βαλλαλβλβλαλβα--=+--=-∙∙212121⇒ a a N λ=⋅ ⇒21λλλi -=也是复根.⇒a a N λ=⋅→a a a N a ⋅=⋅⋅λ；a a N λ=⋅→a a a N a ⋅=⋅⋅λ ⇒因为N 对称，所以()0=⋅-=⋅⋅-⋅⋅a a a N a a N a λλ ⇒0=-λλ ⇒λ为实数。
1) 无重根321λλλ>>时：111a a N λ=⋅→12112a a a N a ⋅=⋅⋅λ；222a a N λ=⋅ → 21221a a a N a ⋅=⋅⋅λ()021121221=⋅-=⋅⋅-⋅⋅a a a N a a N a λλ ⇒ 021=⋅a a2) 二重根时：如设321λλλ≠=3a 的方向是确定的，与3a 垂直平面内的任意方向均是主方向。
(130⋅=a a , 230⋅=a a )3) 三重根时：321λλλ==空间任意一组迪卡尔坐标系均是主坐标系。
(4) 对应的线性变换N 将N 主方向上的矢量ia 映射为平行自身方向的矢量，且放大iN 倍：ii iN a a N =⋅(5) iN 是对角元的极值：求对角元的极值：ij j i i i i i N N ∙''''∙=ββ 且满足：1=''i ii i ββ。
(i '不求和)以 i jj i N N ∙''''∙=1111ββ 为例： ⇒()max 11111→--=''∙''ii i j j i N J ββλββ⇒()()0111111=-+-=''∙'''∙'ij i j i j j j i i j i j iN N J δββλδβδββλδβδ⇒011=-'∙'i i j i j i N βλδβ; 011=-'∙'j i j i jj N βλδβ⇒()01=-'∙ii ji jN βλδ; ()01=-'∙j i ji jN βλδ⇒同理1'推广到i ': ()0=-'∙i ii ji jN βλδ; ()0=-'∙j ii ji jN βλδ ⇒使转换系数i i'β和j i 'β有非零解的条件: 0=-∙i ji jN λδ⇒求极值的计算等同于求特征值的计算。
2． 实反对称二阶张量 Ω(1) 定义：jiij Ω-=Ω、jiij Ω-=Ω、i j i j ∙∙Ω-=Ω、j ij i ∙∙Ω-=Ω，而一般：j i i j ∙∙Ω-≠Ω、i jj i ∙∙Ω-≠Ω Ωu u Ω⋅-=⋅ (2) 不变量：01=Ωη；03=Ωη (对角元为零)()()()22132232121313232312122000000ϕη=Ω+Ω+Ω=Ω-Ω+Ω-Ω+Ω-Ω=∙∙∙∙∙∙∙∙∙Ω(3) 主方向：特征方程：023=+=-ΩΩ∙ληλλδi ji j⇒ 一个零根：03=λ；一对共轭虚根：i i ϕηλ±=±=Ω22,1 ⇒03=λ对应的特征方向的单位矢量为3e ，0e e Ω==⋅333λiϕλ±2,1对应的特征方向的单位矢量设为1g 、2g ，则在3e 、1g 、2g 坐标中，[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Ω0000000i i ϕϕ⇒取1e 、2e 为垂直于3e 的平面内的任意一组正交单位矢量，以1e 、2e 、3e 为基矢量的元素矩阵满足：第三列为零；反对称；利用在正交标准化基中Ω的反对称性和条件22ϕη=Ω，可以的推出：[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Ω0000000ϕϕ(4) 反偶矢量：定义Ωεω:21-=，称ω为Ω的反偶矢量 ωεΩ⋅-= u ωu Ω⨯=⋅ 3e ωϕ=(5) 对应的线性变换21311e e e e ωe Ωϕϕ=⨯=⨯=⋅ 12322e e e e ωe Ωϕϕ-=⨯=⨯=⋅ 03333=⨯=⨯=⋅e e e ωe Ωϕ)()(12213322113e e e e e e u Ωu u u u u -=++⨯=⋅ϕϕ将u 在1e 、2e 平面投影，放大ϕ倍，绕3e 旋转2π。