线性规划在实际生活中的应用

线性规划在实际生活中的应用

作者：教研室转贴自：本站原创点击数：6047更新时间：2006-9-30文章录入：jdb 教材：全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）

授课教师：江西省新余市第四中学聂清平

教学目标：

1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；

2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；

3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神．

教学重、难点：

教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．

教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；

2．寻找整点最优解的方法．

教具：多媒体、实物投影仪、印好的习题纸和直尺（习题纸附后）

教学方法：讲练结合、分组讨论法

教学过程：

（一）讲解新课

1．实例1讲解

引入：李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目．

（播放视频：李咏首支个人单曲MV《你是我们的大明星》）

当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题：

例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分3 0秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？

应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答．

分析：将已知数据列成下表

解：设电视台每周应播映片甲x次，片乙y次，总收视观众为z万人．

列约束条件时，要注意讲清xN.yN，这是学生容易忽略的问题．

列出了约束条件和目标函数后，应用问题转化为线性规划问题，用图解法求解．

先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：

①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；

②拖动直线l平移，平移过程中可以显示z值的大小变化．

由图解法可得：当x=3， y=2时，zmax=220．

答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．

例题小结：

简单线性规划应用问题的求解步骤：

（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）

1．将已知数据列成表格的形式，设出变量x，y和z;

2．找出约束条件和目标函数;

3．作出可行域，并结合图象求出最优解;

4．按题意作答．

2．实例2讲解 (课本例题修改，数据基本不变，改了题目的实际背景)

引入：“中国结”是中国特有的民间手工编结装饰品，“中国结”经过几千年的结艺演变，现已成为广大群众喜爱的具有中国特色的艺术品：

（展示中国结的图片，及其它相关图片，配有背景音乐）

例2：某校高二(1)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格．甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：

今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？

分析：将已知数据列成下表

解：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元；

z=8x+6y

在用图解法求解的过程中，学生发现：

直线l最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优的选择?

进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗? 此时花费为78元，可能是（2，10）吗？此时花费为76元，可能是……，如何寻找最优解？

满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l,最先经过的整点坐标是整数最优解．

由网格法可得：当x=3，y=9时，zmin=78．

答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少！

例题小结：

确定最优整数解的方法：

1．若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2．若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．

（结合例题1、例题2，可以归纳出以上两点）

（二）课堂练习

引入：2006年9月，历4载风雨，国家体育场“鸟巢”从图纸变成现实．××中学想组织学生去参观：

（动画演示到国家体育场行进路线，展示“鸟巢”效果图，配上背景音乐）

练习：××中学准备组织学生去国家体育场“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤集团有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？

学生练习分为三部分，引导学生动手，分解难点：

（每个学生发一张习题纸和一把直尺，在习题纸上作答、画图）

1．练习填表理解题意（习题纸上课堂练习题下印有下表）

思考片刻，请学生回答．

2．练习列约束条件和目标函数；

①将学生分为三组，分组讨论，各组竞争，教师巡视，对学生列式中出现的错误及时纠正；

②从三组中选出一位完成的好的同学的习题纸，用投影仪展示，教师讲解、点评，提醒学生注意解题的规范性；

3．练习画图，寻找整数最优解；

①习题纸上的课堂练习已画好网格和坐标系，学生在习题纸上练习画图，教师巡视，对学生画图中出现的错误及时纠正；

②把最先找出整点最优解的同学的习题纸用投影仪展示，教师讲解、点评．

解：设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元；

z=240x+180y

由网格法可得：x=2，y=4时，zmin=1200．

答：派4辆小巴、2辆大巴费用最少．

（三）回顾与小结

请同学们相互讨论交流：

1．本节课你学习到了哪些知识？

2．本节课渗透了些什么数学思想方法？

（引导学生从知识和思想方法两个方面进行小结）

知识：1．把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法．建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，如例题1．（链接到例题1，进行具体实例回顾）

2．求解整点最优解的解法：网格法．网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形．（链接到例题2，进行具体实例回顾）

思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题．

（四）布置作业

课本65页习题7．4 第3、5题

教学设计说明

1．课时分析

在组织社会化生产、经营管理活动中，我们经常会碰到最优决策的实际问题．而解决这类问题的现代管理科学以线性规划作为其重要的理论基础，为此，试验教材高二(上)编进了简单的线性规划知识．这不仅给传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的实践机会．

本课时讲线性规划在实际生活中的应用．为了激发学生学习数学的兴趣，养成学数学、用数学的意识并进一步提高解决实际问题的能力．在教材例题的框架下，我本着贴近时代、贴近生活、贴近学生为原则．以学生的日常学习、生活为背景，设计了两道例题、一道练习题，让学生感受到数学来源于实践，服务于生活．使学生在掌握数学知识和方法的同时，享受学习数学带来的情感体验和成功的喜悦．

2．重、难点解析

本节的重点是把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．难点是建立数学模型和整点最优解的寻找．

建模是解决线性规划问题的极为重要的环节与技术．一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的生产和管理内容，明确目标要求和错综复杂的约束条件．这对初学者来说，有相当的难度．解决这个难点的关键是根据问题中的已知条件，各种数据，依据条件在表中列出，从而找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理地表述出来．

线性规划中寻找整点最优解的问题，教材中提供了利用作图解决问题的方法，这种方法简单方便，学生容易掌握，体现了数形结合的数学思想。教师要引导学生规范地作出精确图形，并从图形中观察出整点最优解．另外，教师在本课后还可介绍其它一些代数求解方法．3．教学思路说明

本节课通过两道例题的讲解和一道习题的练习，使学生掌握解决线性规划在实际生活中应用的方法。每道题题前都以实际背景引入，提高学生学习兴趣．例题1的设计意图是让学生学会如何通过列表对复杂的条件进行整理，从而找出约束条件和目标函数；例题2的设计意图在于讲解如何运用网格法处理整数最优解问题；课堂练习题的目的是让学生动手操作，熟悉数学建模和用网格法寻找整点最优解的方法，提高学生动手作图能力。为了提高课堂效率，我把本节课的例题和课堂练习，及完成课堂练习要列的空表，画图要用的网格都打印在一张习题纸上，课前连同一把直尺发给学生．

4．多媒体的使用

利用多媒体手段，化静为动，动静结合，轻松观察求解，增加教学容量，激发学生学习兴趣，增强教学的条理性、形象性．

将学生的练习结果用投影仪展示给大家，通过老师的讲解与点评，纠正学生在解题过程中可能出现的错误，规范解题过程，使得课堂上学生的练习和老师的讲解更加紧密结合．