知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础
一元二次不等式及其解法 【学习目标】
1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：
250xx.一元二次不等式的一般形式：20axbxc(0)a或20axbxc(0)a.
设一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，则不等式20axbxc的解集为21xxxxx或，不等式20axbxc的解集为21xxxx 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，设acb42，它的解按
照0，0，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc(0)a的图像与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc(0)a或20axbxc(0)a
的解集.
24bac 0 0 0
二次函数 cbxaxy2（0a）的图象
20(0)axbxca
的根
有两相异实根 )(,2121xxxx 有两相等实根
abxx221 无实根
的解集)0(02acbxax
21xxxxx或
abxx
2 R 的解集)0(02acbxax
21xxxx
要点诠释： （1）一元二次方程20(0)axbxca的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是
抛物线ycbxax2与x轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分0,0,0三种情况，得到一元二次不等式20axbxc与20axbxc
的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程20axbxc(0)a，计算判别式： ①0时，求出两根12xx、，且12xx（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0时，求根abxx221； ③0时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
要点诠释： 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
开始 将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
Δ=b2-4ac
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2 方程ax2+bx+c=0没有实数根
原不等式解集为R 原不等式解集为b原不等式解集为
Δ≥0? x1=x2? 否
是
是 否 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】 类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式
（1）250xx； （2）2440xx； （3）2450xx 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 【解析】 （1）方法一：
因为2(5)410250
所以方程250xx的两个实数根为：10x，25x 函数25yxx的简图为：
因而不等式250xx的解集是{|05}xx. 方法二：250(5)0xxxx050xx 或050xx
解得05xx 或 05xx，即05x或x. 因而不等式250xx的解集是{|05}xx. （2）方法一： 因为0，
方程2440xx的解为122xx.
函数244yxx的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}xx 方法二：2244(2)0xxx（当2x时，2(2)0x） 所以原不等式的解集是{|2}xx （3）方法一： 原不等式整理得2450xx. 因为0，方程2450xx无实数解， 函数245yxx的简图为：
所以不等式2450xx的解集是. 所以原不等式的解集是. 方法二：∵2245(2)110xxx ∴原不等式的解集是. 【总结升华】 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】
【变式1】已知函数222,0,()2,0xxxfxxxx 解不等式f(x)＞3.
【答案】由题意知20,23xxx或20,23,xxx 解得：x＞1. 故原不等式的解集为{x|x＞1}． 【变式2】（2015 重庆）函数22(x)log(x2x3)f的定义域是（ ） A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞，-3]∪[1.+ ∞) D. (-∞，-3)∪(1.+ ∞) 【答案】由题意得：2230xx，即(x1)(x3)0 解得x>1或x<-3, 所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+ ∞)， 故选D。 类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．解下列关于x的不等式 （1）x2-2ax≤-a2+1； （2）x2-ax+1>0； （3）x2-(a+1)x+a<0； 【思路点拨】 解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 【解析】
(1) 22210[()1][()1]011xaxaxaxaaxa ∴原不等式的解集为{|11}xaxa. (2) Δ=a2-4
当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为}2424|{22aaxaaxx或 当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2axx. 当Δ<0，即-2（3）(x-1)(x-a)<0 当a>1时，原不等式的解集为{x|1当a<1时，原不等式的解集为{x|a当a=1时，原不等式的解集为. 【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步： ①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； ②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：)0(01)1(2axaax
【答案】原不等式化为0)1)((axax ①a=1或a=-1时，解集为； ②当0③当a>1或 -1【变式2】解关于x的不等式：223()0xaaxa（aR） 【答案】2232()0()()0xaaxaxaxa 当a＜0或a＞1时，解集为2{|}xxaxa或； 当a=0时，解集为{|0}xx； 当0＜a＜1时，解集为2{|}xxaxa或； 当a=1时，解集为{|1}xx； 【变式3】（2015春 房山区校级期中）解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。 【答案】
∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即[()]()078aaxx。
①当a=0时，78aa，不等式化为x2＜0，解得x∈。 ②当a＞0时，78aa，不等式解集为{|}78aaxx。 当a＜0时，78aa，不等式解集为{|}87aaxa 例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式211(1)0xxaa11()(1)0xxxaa或x＞1；
若a＞0，原不等式2111(1)0()(1)0xxxxaaa， 其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故 （1）当a=1时，原不等式x； （2）当a＞1时，原不等式11xa；
（3）当0＜a＜1时，原不等式11xa 综上所述： 当a＜0，解集为1{|1}xxxa或； 当a=0时，解集为{x|x＞1}；
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
一元二次不等式及其解法
§9.2一元二次不等式及其解法对应学生用书第120页1.一元二次不等式的定义形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.(1)定义的简单应用:判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个,未知数的最高次数是2,且最高次项的系数不能为0.(2)解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.3.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0( a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0( a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0( a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax 2+bx+c>0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c >0或{a >0,Δ<0.(2)不等式ax 2+bx+c<0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c <0或{a <0,Δ<0.【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)a>b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)若不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0.( ) (3)若方程ax 2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为R . ( ) (4)不等式ax 2+bx+c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ=b 2-4ac ≤0.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×【对接教材】2.(北师大版必修5P87习题T4改编)已知不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2},则实数m 的值为( ).A .2B .-3C .1D .3答案 D解析 因为不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2}, 所以1,2是关于x 的方程x 2-mx+2=0的实数根, 所以m=1+2=3.故选D .【易错自纠】3.关于x 的不等式x 2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax 2+x-3<0的解集为( ).A .(1,2)B .(-1,2)C .(-12,1) D .(-32,1)答案 D解析 由题意知,-3,1是关于x 的方程x 2+ax-3=0的两根,可得-3+1=-a ,解得a=2, 故所求不等式为2x 2+x-3<0,即(2x+3)(x-1)<0, 解得-32<x<1,所以不等式的解集为(-32,1). 故选D .4.若关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m 的取值范围为( ).A .(6,7]B .(6,7)C .[6,7)D .(6,+∞)答案 A解析 原不等式可化为(x-2)(x-m )<0, 若m ≤2,则不等式的解是m<x<2,此时不等式的解集中不可能有4个正整数,所以m>2, 所以不等式的解是2<x<m ,所以不等式的解集中的4个正整数分别是3,4,5,6, 故实数m 的取值范围是(6,7].【真题演练】5.(2019年天津卷)已知a ∈R .设函数f (x )={x 2-2ax +2a(x ≤1),x -alnx(x >1).若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立,则a的取值范围为( ). A .[0,1]B .[0,2]C .[0,e]D .[1,e]答案 C解析 当x ≤1时,f (x )=x 2-2ax+2a ,函数f (x )图象的对称轴为直线x=a ,又f (x )≥0在R 上恒成立, 所以当a ≥1时,f (x )min =f (1)=1>0恒成立, 当a<1时,f (x )min =f (a )=2a-a 2≥0,∴ 0≤a<1. 综上,a ≥0.当x>1时,f (x )=x-a ln x ,所以f (x )≥0在R 上恒成立,即a ≤xlnx恒成立. 设g (x )=xlnx,则g'(x )=lnx -1(lnx)2.令g'(x )=0,得x=e,所以当1<x<e 时,g'(x )<0;当x>e 时,g'(x )>0. 所以g (x )min =g (e)=e,所以a ≤e .综上,a 的取值范围是0≤a ≤e,即[0,e].故选C .对应学生用书第121页一元二次不等式的求解【考向变换】考向1 不含参数的一元二次不等式解不等式:(1)3+2x-x 2≥0;(2)1-2xx+1>0. 解析 (1)原不等式可化为x 2-2x-3≤0,即(x-3)(x+1)≤0,故所求不等式的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(1-2x )(x+1)>0,解得-1<x<12,故所求不等式的解集为{x|-1<x <12}.变—把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式判—计算对应方程的判别式求—求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根写—利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集【追踪训练1】解不等式:3x -52x -3≤2. 解析 原不等式可化为x -12x -3≥0,即{x -1≥0,2x -3>0或{x -1≤0,2x -3<0,解得x>32或x ≤1.故所求不等式的解集为{x|x >32或x ≤1}.考向2 含参数的一元二次不等式已知函数f (x )=ax 2-(a+1)x+1. (1)当a=-2时,解关于x 的不等式f (x )<0; (2)当a>0时,解关于x 的不等式f (x )>0. 解析 (1)当a=-2时,f (x )=-2x 2+x+1<0, 即2x 2-x-1>0,解得x<-12或x>1,∴不等式的解集为{x|x <-12或x >1}.(2)当a>0时,由f (x )>0,得ax 2-(a+1)x+1>0, 即(ax-1)(x-1)>0,①当1a =1,即a=1时,解得x ≠1;②当1a >1,即0<a<1时,解得x<1或x>1a ; ③当1a <1,即a>1时,解得x<1a 或x>1.综上所述,当a=1时,不等式的解集为{x|x ≠1}; 当0<a<1时,不等式的解集为{x|x <1或x >1a}; 当a>1时,不等式的解集为{x|x <1a或x >1}.点拨 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.(3)当确定方程无根时,可直接写出解集;当确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.【追踪训练2】解关于x 的不等式ax -1x -3>0. 解析 不等式等价于(ax-1)(x-3)>0. 当a<0时,不等式的解集为{x|1a<x <3}; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<3};当0<a<13时,不等式的解集为{x|x <3或x >1a}; 当a=13时,不等式的解集为{x|x ≠3};当a>13时,不等式的解集为{x|x >3或x <1a}.一元二次不等式恒成立问题【考向变换】考向1 在实数集R 上恒成立问题若一元二次不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).A .(-3,0]B .[-3,0)C .[-3,0]D .(-3,0)答案 D解析 因为2kx 2+kx-38<0为一元二次不等式,所以k ≠0.又2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立, 则{2k <0,Δ=k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.点拨 对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外,问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.【追踪训练3】设a 为常数,对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .(0,4) B .[0,4)C .(0,+∞)D .(-∞,4)答案 B解析 对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立, 则{a >0,Δ=a 2-4a <0或a=0,所以0≤a<4.考向2 在给定区间上恒成立问题(一题多解)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围. 解析 要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+34m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立. (法一)令g (x )=m (x -12)2+34m-6,x ∈[1,3],当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0,所以m<67,则0<m<67; 当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}. (法二)因为x 2-x+1=(x -12)2+34>0, 又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6x 2-x+1.因为函数y=6x 2-x+1=6(x -12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.因为m ≠0,所以m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}.点拨 解决恒成立问题时一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.【追踪训练4】若对任意m ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求x 的取值范围. 解析 f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x 2-4x+4, 令g (m )=(x-2)m+x 2-4x+4,由题意知,在[-1,1]上,g (m )的值恒大于零,所以{g(-1)=(x -2)×(-1)+x 2-4x +4>0,g(1)=(x -2)×1+x 2-4x +4>0,解得x<1或x>3.故x 的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).对应学生用书第122页转化与化归思想在分式不等式中的应用解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商式,另一边为0的形式,再通过等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.注意分母不为零.已知函数f (x )=2ax -bx -1(a ,b ∈R). (1)若关于x 的不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),求f (x )<0的解集; (2)若a=12,求不等式f (x )>0的解集.解析 (1)∵不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),∴a>0,a=b>0,∴f (x )<0,即a(2x -1)x -1<0,∴a (2x-1)(x-1)<0,解得12<x<1, ∴f (x )<0的解集为(12,1).(2)当a=12时,不等式f (x )>0,即f (x )=x -bx -1>0, ∴(x-b )(x-1)>0,当b>1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,1)∪(b ,+∞); 当b=1时,不等式f (x )>0的解集为{x|x ≠1}; 当b<1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,b )∪(1,+∞).对于分式不等式或高次不等式,常用的方法是穿针引线法,首先分解因式,判断各个因式的正负,然后根据各个因式的零点分析求解.【突破训练】(2021辽宁辽阳模拟)不等式x+61-x ≥0的解集为( ).A .{x|-6≤x ≤1}B .{x|x ≥1或x ≤-6}C .{x|-6≤x<1}D .{x|x>1或x ≤-6}答案 C 解析 不等式x+61-x≥0等价于{(x +6)(1-x)≥0,1-x ≠0,解得-6≤x<1.对应《精练案》第56页1.(2021山东聊城期中)一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为( ).A .{x|x<-2或x>1}B .{x|x<-1或x>2}C .{x|-2<x<1}D .{x|-1<x<2}答案 C解析 (x-1)(x+2)<0, 即{x -1>0,x +2<0或{x -1<0,x +2>0,解得-2<x<1.∴一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为{x|-2<x<1}.故选C .2.(2021山东临沂期中)若不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,则实数a 的取值范围是( ).A .(-16,0)B .(-16,0]C .(-∞,0)D .(-8,8)答案 D解析 ∵不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a 2-4×4×4<0,解得-8<a<8, ∴实数a 的取值范围是(-8,8).故选D .3.(2021河北沧州模拟)已知不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2],则b+c 的值为( ).A .-1B .1C .-2D .2答案 A解析 因为不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2], 所以关于x 的方程x 2+bx+c=0的实数根为1和2, 所以{1+2=-b,1×2=c,即{b =-3,c =2,所以b+c=-3+2=-1. 故选A .4.(2021福建泉州模拟)设f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集是( ).A .(-∞,-1)∪(3,+∞)B .RC .{x|x ≠1}D .{x|x=1}答案 C解析 ∵f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),∴-b 2=-1+32,解得b=-2.∴f (x )=x 2-2x+1=(x-1)2, ∴f (x )>0的解集为{x|x ≠1}.5.(2021重庆南开检测)已知集合A={x|0≤x ≤1},B={x|x 2-2(m+1)x+m<0},若A ⊆B ,则实数m 的取值范围是( ).A .(-∞,-1)B .(-1,0)C .[-1,0)D .(-∞,0) 答案 B解析 令f (x )=x 2-2(m+1)x+m , 若要满足A ⊆B ,则需满足{f(0)<0,f(1)<0,即{m <0,1-2(m +1)+m <0,解得-1<m<0.6.(2021陕西延安期中)已知不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a<0的解集为( ).A .{x|-1<x <12} B .{x|x <-1或x >12}C .{x|-2<x<1}D .{x|x<-2或x>1}答案 A解析 ∵不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},∴关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两根分别为-1,2,且a<0,即{-1+2=-ba,(-1)×2=2a,解得{a =-1,b =1,则所求不等式可化为2x 2+x-1<0, 解得{x|-1<x <12}. 故选A .7.(2021广东东莞期中)已知函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,则实数a 的取值范围是( ).A .[-2,1)B .[-2,-1]C .(-2,1)D .(-∞,-2)∪[1,+∞)答案 B解析 ∵函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,∴当a 2-1=0时,a=1或a=-1,验证可知a=1时不成立,a=-1时成立;当a 2-1≠0时,{a 2-1>0,Δ=4(a -1)2-12(a 2-1)≥0,解得-2≤a<-1.综上,-2≤a ≤-1,∴实数a 的取值范围是[-2,-1].故选B .8.(2021江苏南通期中)对于实数x ,规定[x ]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x ]2-36[x ]+45<0成立的x的范围是( ). A .(32,152) B .[2,8] C .[2,8) D .[2,7]答案 C解析 由4[x ]2-36[x ]+45<0,得32<[x ]<152, 又[x ]表示不大于x 的最大整数,所以2≤x<8.9.(2021重庆南开检测)二次不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),若f (x )=cx 2+bx+a ,则( ).A .f (2)>f (0)>f (1)B .f (2)>f (1)>f (0)C .f (0)>f (1)>f (2)D .f (0)>f (2)>f (1)答案 A解析 因为不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞), 所以1和2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两实数解,且a>0, 所以{1+2=-b a,1×2=c a ,解得{b =-3a,c =2a,所以f (x )=cx 2+bx+a=a (2x 2-3x+1),所以f (x )是二次函数,且其图象开口向上,对称轴是直线x=34, 且|1-34|<|0-34|<|2-34|, 所以f (1)<f (0)<f (2). 故选A .10.(2021湖南长沙模拟)定义运算:{x,xy ≥0,y,xy <0.例如=3,(-=4.则函数f (x )=x x-x 2)的最大值为 .答案 4解析 由已知得f (x )=x x-x 2)={x 2,x 2(2x -x 2)≥0,2x -x 2,x 2(2x -x 2)<0={x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x <0或x >2,易知函数f (x )的最大值为4.11.(2021湖北黄冈调考)设A :x x -1<0,B :0<x<m ,若B 是A 成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为 .答案 (1,+∞) 解析 由题意得,xx -1<0,则0<x<1.要使得B 是A 成立的必要不充分条件,则(0,1)⫋(0,m ), 所以m>1.12.(2021江西抚州模拟)若关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,则实数m 的取值范围为( ).A .(-3,+∞)B .(0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,-3) 答案 A解析 因为关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,所以22+2m-4>0或42+4m-4>0, 解得m>0或m>-3,所以实数m 的取值范围是(-3,+∞). 故选A .13.(2021河北张家口模拟)已知使不等式2ax 2+ax-3>0对任意的a ∈[1,3]恒成立的x 的取值集合为A ,使不等式mx 2+(m-1)x-m>0对任意的x ∈[1,3]恒成立的m 的取值集合为B ,则有( ). A .A ⊆(R B )B .A ⊆BC .B ⊆(R A )D .B ⊆A答案 D解析 令f (a )=(2x 2+x )a-3,因为f (a )>0对任意的a ∈[1,3]恒成立,所以{f(3)>0,f(1)>0,解得x<-32或x>1,即A=(-∞,-32)∪(1,+∞),又mx 2+(m-1)x-m>0,即m (x 2+x-1)>x.因为当x ∈[1,3]时,x 2+x-1>0,所以m>xx 2+x -1对任意x ∈[1,3]恒成立,又y=xx 2+x -1=1x -1x +1在[1,3]上单调递减,故y max =1,故m>1,即B=(1,+∞).综上,B ⊆A.14.(2021广东佛山模拟)(1)解关于x 的不等式ax 2-3x+2>5-ax (a ∈R).(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,求x 的取值范围.解析 (1)不等式ax 2-3x+2>5-ax 可化为ax 2+(a-3)x-3>0,即(x+1)(ax-3)>0,①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}. ②当a ≠0时,方程的两根为-1和3a ,当a>0时,不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}, 当a<0时,a.若3a>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1<x <3a }; b.若3a<-1,即-3<a<0,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; c .若3a =-1,即a=-3,原不等式的解集为⌀,综上所得,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}; 当a>0时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}; 当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1<x <3a}; 当-3<a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; 当a=-3时,原不等式的解集为⌀.(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,即mx 2-mx+m-6<0恒成立,所以(x 2-x+1)m-6<0恒成立,令函数f (m )=(x 2-x+1)m-6,m ∈[-2,2], 因为(x 2-x+1)=(x -12)2+34>0恒成立, 所以函数f (m )=(x 2-x+1)m-6在m ∈[-2,2]上单调递增, 所以只需要函数的最大值小于0即可, 所以f (2)=(x 2-x+1)×2-6<0,即x 2-x-2<0, 解得-1<x<2,即x 的取值范围是(-1,2).15.(2021思明区校级月考)已知函数f (x )=ax 2+(b-8)x-a-ab ,f (x )>0的解集为(-3,2),(1)求f (x )的解析式;(2)当x>-1时,求y=f(x)-21x+1的最大值; (3)若不等式ax 2+kx-b>0的解集为A ,且(1,4)⊆A ,求实数k 的取值范围.解析 (1)由题可知{a <0,f(-3)=0,f(2)=0,解得{a =-3,b =5. 则f (x )=-3x 2-3x+18.(2)由(1)知,y=f(x)-21x+1=-3x 2-3x -3x+1, 令t=x+1,x>-1,则t>0,y=-3(t +1t -1)≤-3,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立,则x=0, 故y=f(x)-21x+1的最大值为-3. (3)由题可知,不等式ax 2+kx-b>0在x ∈(1,4)上恒成立, 即kx>3x 2+5在x ∈(1,4)上恒成立, 即k>3x+5x 在x ∈(1,4)上恒成立.令g (x )=3x+5x ,则g'(x )=3x 2-5x 2, 令g'(x )=0,解得x=√153, 当x ∈(1,√153)时,g'(x )<0,当x ∈(√153,4)时,g'(x )>0. ∵g (1)=8,g (4)=534,∴g (x )max =g (4)=534,则k ≥534.。
【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)
1 ， 2
由函数 y 4 x 4 x 1的图象为：
2
原不等式的的解集是 { } . 方法二：∵ 原不等式等价于： (2 x 1) 0 ,
2
1 2
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∴原不等式的的解集是 { } . （4）方法一：
2 2 因为 0 ，方程 x 4 x 5 0 无实数解，
函数 y x 4x 5 的简图为：
2
所以不等式 x 4 x 5 0 的解集是 .
2
所以原不等式的解集是 . 方法二：∵ x 4x 5 ( x 2) 1 1 0
2
函数 y x 5x 的简图为：
2
因而不等式 x 5x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
方法二： x 5x 0 x( x 5) 0
2
x 0 x 0 或 x 5 0 x 5 0
解得
x 0 x 0 或 ，即 0 x 5 或 x . x 5 x 5
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【经典例题】 类型一：解一元二次不等式 例 1. 解下列一元二次不等式 （1） x 5x 0 ；
2
（2） x 4 x 4 0 ；
2
（3） x 4 x 5 0
2
思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为 (5)2 4 1 0 25 0 所以方程 x 5x 0 的两个实数根为： x1 0 ， x2 5
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。
2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。
因此，解集是实数集 R。
3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。
一元二次不等式及其解法优质课幻灯片课件
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式知识点归纳
一元二次不等式知识点归纳
一、一元二次不等式解集求解
【解题提示】通常的解题步骤为：求解对应方程的根、结合图像开口方向判定不等式解集具体是在两根之间还是两根两侧。
尤其注意函数开口向下时解集的判定。
在实际求解时，一、注意含有参数的一元二次不等式，运用十字分解求解;二、注意在题目中隐藏的根判别式小于0;
二、一元二次不等式恒成立
【解题提示】1、若一元二次不等式ax^2+bx+c>0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向上且无解;
2、若一元二次不等式ax^2+bx+c<0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向下且无解;
通常出题会出“无解”的如下两种方式：此时转化为题目的反面恒成立求解即可。
1、一元二次不等式ax^2+bx+c>0无解(a不为0)，此时即
ax^2+bx+c<=0恒成立，即：开口向下且根判别式小于等于0;
2、一元二次不等式
ax^2+bx+c<00=""2=""a=""ax=""bx=""c="">=0恒成立，即：开口向上且根判别式小于等于0;
【注】若不等式中的二次项含有未知系数时，务必要对二次项系数为0与不为0，进行分类讨论。
三、不等式解集端点值为对应方程的根
【解析提示】不等式解集的端点值为对应方程的根，结合韦达定理求解。
求解时注意二次项前系数的正负号判别。
一元二次不等式及其解法课件
一元二次不等式的解集在实数轴上可以用一个开区间或并集形式表示，它的解也可以用图像 来表示。
性质
一元二次不等式的解集对加、乘、取反等运算具有相应的不等性质，并与二次函数的图像有 密切关系。
一元二次不等式的解法
方程法解一元二次不等式
将不等式转化成关于未知数的二 次方程，并通过求根公式计算求 解。
图像法解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法 课件
欢迎来到一元二次不等式及其解法课件。本课程将为大家介绍一元二次不等 式的定义、特性以及解法，并提供疑难问题的解析与讨论。
一元二次不等式的定义和性质
定义
一元二次不等式是形如 ax^2+ bx + c < 0 (a > 0) 的不等式，其中 a、b、c 是实系数，x 是未知 数。
根据二次函数的图像来确定不等 式的解集，特别是在根与极值处 交叉的情况，可以通过分段来确 定解集。
直观法解一元二次不等式
常用于解决一元二次不等式的近 似解，因为不需要求解二次方程 或画出图像，只需要根据一些常 用不等关系，直观地确定不等式 解集的上下确界。
解一元二次不等式的注意事项
1 不等式的基本性质
一元二次不等式的应用举例
1
例一
已知 a + b + c = 1，证明 a^2 + b^2 + c^2 ≥
例二
2
1/3
求解 x/(x+1) < 2-x，其中 x≠-1
3
例三
求解方程根号析与讨论
题型难点分析
对于典型题目，分析其解法、注意事项和解答技巧， 还可以结合例题和考试真题来讲解。
答疑解惑小结
归纳、总结一些学生常犯的错误，提供对策和解决 方法，为学生答疑解惑。
一元二次不等式及其解法优秀课件
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围. 解 由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260， 化简得 8x2－30x＋13≤0，解得12≤x≤143. 所以在不等式中的应用
典例 (1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关 于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为__9__.
；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
多维探究
命题点1 在R上的恒成立问题
典例 (1)若一元二次不等式2kx2＋kx－3<0对一切实数x都成立，则k的取值 8
范围为
A.(0,4) C.(0，＋∞)
B.[0,4) √
D.(－∞，4)
解析 对于∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，
则必有aΔ>＝0，a2－4a<0 或 a＝0，∴0≤a<4.
解析 答案
命题点2 在给定区间上的恒成立问题 典例 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求 m的取值范围.
解答
思维升华
求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系. (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系， 建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
第七章 不等式
不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
我们知道，二次函数322--=x x y 的图像是一条开口向上的抛物线，它与x 轴有两个交点，由方程0322=--x x 的解可得交点的横坐标分别是1-=x ，3=x ，容易看出，当31>-<x x 或时上述函数的图像在x 轴上方，0322>--x x ；当31<<-x 时，上述函数的图像在x 轴下方，即0322<--x x ，于是可得不等式解集为}31|{<<-x x 。
[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。
解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。
例1．利用二次函数图像解下列不等式。
（1）0322<--x x（2）0442>+-x x练习:解下列不等式：（1）2x 2-3x-2≥0 （2）-3x 2+x+1>0 (3)9x 2+6x+1>0 (4)4x-x 2<5 (5)2x 2+x+1≤0（二）一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程02=++c bx ax 与二次函数c bx ax y ++=2的有关性质求解，具体见下表：0>a ，ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 02=++c bx ax的根有两实根21x x x x ==或 有两个相等的实根ab x x x 221-===无实根一元二次不等不等式02>++c bx ax的解集}|{21x x x x x ><或}|{1x x x ≠Ryx0 -1 32|a a -<（a R ∈）20aa -<-。