三维几何模型在计算机内的表示
三维建模的概念
三维建模的概念及关键概念1. 概念定义三维建模是指利用计算机软件或其他数字工具来创建和呈现三维对象的过程。
它通过将实体的几何形状、外观和属性抽象为三维模型的形式，实现了对实际物体的数字表示。
三维建模的目的是为了模拟真实世界中的物体或环境，可以用于模拟、设计、演示和渲染等各种应用领域。
2. 关键概念在三维建模中，有几个关键概念需要了解和掌握：2.1 点、线和面点（vertex）是二维或三维空间中的一个基本单元，用于定义对象的位置。
线（edge）是由两个点连接起来的一条线段，用于定义对象的边界。
面（surface）是由三个或多个线相连形成的一个平面，用于定义对象的表面。
点、线和面是构成三维模型的基本元素，在三维建模软件中通常被称为顶点（vertex）、边（edge）和面（face）。
2.2 多边形多边形（polygon）是由多个直线段相连形成的一个封闭图形。
在三维建模中，多边形常用于表示物体的表面，可以是三角形、四边形或更多边形。
多边形是三维建模中最常用的形状类型之一，通过组合和排列多个多边形可以构建出复杂的物体。
2.3 曲面和NURBS曲面（surface）是由一组控制点和权重控制的参数化函数生成的，可以精确地描述实体的形状。
常见的曲面类型包括贝塞尔曲线、B样条曲线等。
NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）是一种常用于曲面建模的数学表示方法，它通过调整曲线上的控制点和权重来改变曲线的形状。
NURBS曲线和曲面具有高度灵活性和准确性，可以用于设计各种复杂的曲线和曲面。
2.4 纹理纹理（texture）是应用于三维模型表面的图像或图案，用于模拟物体的外观和细节。
纹理可以包括颜色、图案、材质等信息，常用于增加模型的真实感和细节。
在三维建模软件中，可以将纹理映射到模型表面，以实现真实的渲染效果。
2.5 光照和材质光照（lighting）是指模拟光线在三维场景中的传播和反射过程，用于模拟物体的明暗、阴影和反光效果。
计算机图形学孙家广第三版第3章3
在几何造型系统中，根据特征的参数我们并不 能直接得到特征的几何元素信息，而在对特 征及在特征之间进行操作时需要这些信息。 特征方法表示形体的覆盖域受限于特征的种类。
应用系统
用户
特征造型器
特征模型
几何造型器
几何模型
图3.2.8 基于特征的造型系统
R H L W H H R
（a）方块
（b）圆柱 图3.2.9 特征形状表示
CSG表示可以看成是一棵有序的二叉树。 其终端节点或是体素、或是形体变换参数。 非终端结点或是正则的集合运算，或是变换（平 移和/或旋转）操作，这种运算或变换只对其紧 接着的子结点（子形体）起作用。
CSG树是无二义性的，但不是唯一的.
CSG表示的优点： 数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的 管理比较容易； CSG表示可方便地转换成边界（Brep）表示； CSG方法表示的形体的形状，比较容易修改。 CSG表示的缺点： 对形体的表示受体素的种类和对体素操作的种类 的限制，也就是说，CSG方法表示形体的覆盖域 有较大的局限性。
对形体的局部操作不易实现，例如，不能对基本 体素的交线倒圆角； 由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含 地表示在CSG中，故显示与绘制CSG表示的形体需 要较长的时间。
(c)特征表示
从应用层来定义形体，因而可以较好的表达设 计者的意图。从功能上可分为形状、精度、 材料和技术特征。 特征是面向应用、面向用户的。特征模型的表 示仍然要通过传统的几何造型系统来实现。 不同的应用领域，具有不同的应用特征。
观看GEMS5.0演示 欧拉操作 选读
欧拉操作 对于任意的简单多面体，其面 (f) 、边 (e)、 顶点(v)的数目满足 欧拉公式 v-e+f=2 对于任意的正则形体，引入形体的其它几 个参数：形体所有面上的内孔总数 (r) 、 穿透形体的孔洞数 (h) 和形体非连通部分 总数(s)，则形体满足公式： v - e + f = 2(s-h) + r
什么是dwg文件
什么是dwg文件不少朋友在下载时，会下载到dwg文件，但是电脑又无法打开它，怎么办?店铺在这里给大家介绍什么是dwg文件。
这是CAD文件，如果高版本的DWG文件，用低版本的可能无法打开，建议使用CAD中文版2005。
什么是CAD?CAD即计算机辅助设计(Computer Aided Design,CAD)，其概念和内涵正在不断地发展中。
1972年10月，国际信息处理联合会(IFIP)在荷兰召开的“关于CAD原理的工作会议”上给出如下定义：CAD是一种技术，其中人与计算机结合为一个问题求解组，紧密配合，发挥各自所长，从而使其工作优于每一方，并为应用多学科方法的综合性协作提供了可能。
CAD是工程技术人员以计算机为工具，对产品和工程进行设计、绘图、分析和编写技术文档等设计活动的总称人们根据系统功能的要求，用有限的特征来描述设计问题，通过形式化用计算机的数据结构来表达特征，并将用数据结构描述的"特征"数据存放在数据库之中。
这样，"设计"过程变成了对数据库的处理。
这一过程可以看作是建模过程，模型被用来表示实际的或抽象的对象，是对被处理对象进行计算、分析、模拟和研究的基础。
因此，模型是实际结构在CAD系统中的具体体现，是计算机"认知"产品的基础。
我们知道，产品和工程结构本身能表现出来的属性("特征")是无限的，但可用的计算机资源、人们的认识知识是有限的，我们只能"认知"实际结构的部分属性，只能处理产品和工程结构设计的某些方面。
根据模型的不同，CAD系统一般分为二维CAD和三维CAD系统。
二维CAD系统一般将产品和工程设计图纸看成是“点、线、圆、弧、文本……”等几何元素的集合，系统内表达的任何设计都变成了几何图形，所依赖的数学模型是几何模型，系统记录了这些图素的几何特征。
二维CAD系统一般由图形的输入与编辑、硬件接口、数据接口和二次开发工具等几部分组成。
三维坐标系定义
三维坐标系定义三维坐标系是一个由三个互相垂直的坐标轴组成的数学模型。
它在几何学、物理学、计算机图形学等领域中被广泛应用。
本文将从三维坐标系的定义、坐标表示、坐标变换、空间距离等方面进行详细阐述。
一、三维坐标系的定义三维坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z 轴。
通常情况下，我们将x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸，z 轴垂直向外延伸。
这三个轴相交于原点O，形成了一个立体直角坐标系。
二、坐标表示在三维坐标系中，每个点都可以用一个有序三元组(x,y,z)来表示。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
这三个坐标值可以是正数、负数或零，表示点在各个轴上的位置关系。
三、坐标变换三维坐标系中的坐标变换包括平移、旋转和缩放等操作。
平移是指将点沿着各个轴的正方向移动一定的距离，可以用向量表示。
旋转是指将点绕着某个轴旋转一定的角度，可以用旋转矩阵表示。
缩放是指将点在各个轴上按比例进行拉伸或压缩，可以用缩放因子表示。
通过这些变换操作，我们可以实现对三维物体的位置、形状和大小等属性的改变。
四、空间距离在三维坐标系中，我们可以通过计算两个点之间的空间距离来衡量它们之间的位置关系。
常用的计算方法有欧氏距离和曼哈顿距离。
欧氏距离是指两点之间的直线距离，可以通过勾股定理计算得出。
曼哈顿距离是指两点之间在各个轴上坐标差的绝对值之和。
根据应用场景的不同，我们可以选择适合的距离度量方法来计算空间中的距离。
五、应用领域三维坐标系在几何学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
在几何学中，我们可以用三维坐标系来描述和计算物体的位置、方向和形状等属性。
在物理学中，三维坐标系可以用来描述物体在空间中的运动和相互作用。
在计算机图形学中，三维坐标系可以用来表示和处理三维物体的图像数据，实现真实感的渲染和动画效果。
六、总结通过本文的介绍，我们了解了三维坐标系的定义、坐标表示、坐标变换、空间距离等基本概念。
第5章几何建模与特征建模
二．数据结构（边界表示法数据结构）
实体建模采用表结构存储数据，其中棱线表和面表与曲面 造型有很大不同，从表中可以看出，棱线表记录的内容更加丰 富，可以从面表找到构成面的棱线，从棱线表中可以找到两个 构成的棱线的面。与曲面建模相比，实体模型不仅记录了全部 几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的信息。
二．数据结构
三维线框模型采用表结构，在计算机内部存储物体的顶 点及棱线信息，请实体的几何信息和拓扑信息层次清楚的记 录在以边表、顶点表中。如下图所示的物体在计算机内部是 用18条边，12个顶点来表示的。
三．特点
1、优点 这种描述方法信息量少，计算速度快，对硬件要求低。数 据结构简单，所占的存储空间少，数据处理容易，绘图显示速 度快。 2、缺点 1）存在二异性，即使用一种数据表示的一种图形，有时也 可能看成另外一种图形。 2）由于没有面的信息，不能解决两个平面的交线问题。 3）由于缺少面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面 4）由于没有面和体的信息，不能对立体图进行着色和特征 处理，不能进行物性计算。 5）构造的物体表面是无效的，没有方向性，不能进行数控 编程。
3)三维实体扫描体素： 实体扫描法是用 一个三维实体作为扫 描体，让它作为基体 在空间运动，运动可 以是沿某个曲线移 动，也可以是绕某个 轴的转动，或绕某一 个点的摆动。运动的 方式不同产生的结果 也就不同。
四．三维实体建模的计算机内部表示
1．边界表示法（B-Rep Boundary Representation
3）集合的交、并、差运算
4) 特点 （1）数据结构非常简单，每个基本体素不必再分，而是将 体素直接存储在数据结构中。 （2）对于物体结构的修改非常方便，只需要修改拼合的过 程或编辑基本体素。 （3）能够记录物体结构生成的过程。也便于修改 （4）记录的信息不是很详细，无法存储物体最终的详细信 息，如边界、顶点的信息等。 5）应用： 可以方便地实现对实体的局部修改 ，如下图
3D实现基本原理
3D实现基本原理3D实现的基本原理是指如何利用计算机技术将二维平面变为具有立体感的三维图像。
在计算机图形学中，常用的方法有几何建模、光栅化以及纹理映射等。
1.几何建模几何建模是指通过对物体的形状、大小、位置等进行数学建模，以描述物体的三维几何特征。
常见的几何建模方法有：-点、线、面构成物体的基本元素，通过组合这些基本元素可以构造出复杂的物体。
- 体素(grid representation)是指将物体划分为一个个小立方体，并赋予其属性。
通过改变各个体素的属性可以形成一个三维的物体。
-曲线和曲面的描述方法，如贝塞尔曲线、B样条曲线等。
几何建模可以通过手工建模、扫描现实物体、计算机辅助设计等方式进行。
一旦建立了几何模型，就可以根据模型来生成物体的三维表面。
2.光栅化光栅化是将几何模型转换为图像的过程，即将物体的三维表面映射到二维平面上的像素点。
光栅化的过程需要考虑物体的可见性、投影等问题。
常见的光栅化方法有：-扫描线算法：通过扫描线与物体表面的交点，确定每一条扫描线上的像素点的颜色和深度值。
- Z-buffer算法：通过为每个像素点分配一个存储深度值的缓冲区，记录每个像素点的位置和深度信息，从而确定可见性。
-边缘标记算法：通过检测物体表面的边缘，判断像素点是否在边缘内部，从而确定可见性。
光栅化将几何模型转换为图像的过程，决定了物体在屏幕上的显示效果。
3.纹理映射纹理映射是指将二维图像映射到物体表面上的过程，以增加真实感和细节。
-纹理坐标的计算：将二维图像的像素点与物体表面上的点一一对应起来，得到纹理坐标。
-纹理坐标的插值：根据纹理坐标的变化，在物体表面上进行插值计算得到纹理坐标。
-颜色的计算：根据纹理坐标得到对应像素的颜色值，将颜色赋值给物体表面的对应点。
纹理映射使得物体表面具有更加真实的细节和纹理。
综上所述，实现3D图像的基本原理是通过几何建模来描述物体的三维几何特征，通过光栅化将几何模型转换为图像，再利用纹理映射增加真实感和细节。
介绍几何模型
介绍几何模型几何模型是几何学的一个重要概念，用于描述和研究现实世界中的物体形状和结构。
它是对物体的几何特征进行抽象和建模的过程，使得我们能够通过数学方法来分析和解决与这些物体相关的问题。
几何模型可以分为二维模型和三维模型。
二维模型是在平面上进行建模，用于描述平面上的几何图形，如点、线、多边形等。
常见的二维几何模型有直线模型、射线模型、线段模型、圆模型等。
这些模型可以用来描述物体的位置、形状、大小等特征，从而帮助我们理解和分析几何问题。
三维模型则是在三维空间中进行建模，用于描述物体的立体形状和结构。
常见的三维几何模型有球体模型、立方体模型、圆柱模型、圆锥模型等。
这些模型可以用来描述物体的体积、表面积、几何中心、对称性等特征，从而帮助我们进行三维几何推理和计算。
几何模型在现实生活中有着广泛的应用。
在工程领域，几何模型可以用来设计和分析建筑、机械、电路等物体的形状和结构。
在计算机图形学中，几何模型可以用来描述和渲染三维图形，实现虚拟现实、电影特效、游戏等应用。
在地理学中，几何模型可以用来描述地球的形状和地理现象，帮助我们理解和研究地理问题。
几何模型的建立和使用需要一定的数学知识和技巧。
我们需要了解几何学的基本概念和定理，掌握几何模型的表示方法和计算方法。
同时，我们还需要具备空间想象力和几何直觉，能够将实际问题抽象为几何模型，并运用数学方法进行求解。
在几何模型的研究中，还涉及到一些与其他学科的交叉。
例如，在计算机图形学中，几何模型与计算机科学、物理学、光学等学科有着密切的联系。
在工程领域中，几何模型与材料科学、力学等学科相结合，可以用来设计和优化复杂的结构和系统。
几何模型是描述和研究物体形状和结构的重要工具和方法。
通过建立和使用几何模型，我们可以更好地理解和解决与几何相关的问题。
几何模型的应用领域广泛，涉及到工程、计算机图形学、地理学等多个学科。
几何模型的研究需要数学知识和技巧，并与其他学科进行交叉。
希望通过本文的介绍，读者对几何模型有更深入的了解和认识。
计算机图形学复习题
算机图形学复习题1. 像素（Pixel:Picture Cell）是构成屏幕图像的最小元素。
2. 容器坐标系的坐标原点，默认总是在容器的左上角。
3. 当用户执行不符合系统的操作或提出不正确的要求时，系统必须继续执行下去并与用户进行通讯，即具有容错性。
4. 在RGB 函数的颜色值中，255 表示亮度最高。
5. 矩阵[X Y] 通常称为点（X,Y ）的矢量，X 和Y 是这个矢量沿坐标轴的分量。
6. 扫描仪最重要的参数是光学精度和扫描精度。
7. 把三维物体变为二维图形表示的过程叫做投影变换。
8. 三维物体在计算机内常用的表示方法有线模型、面模型和立体模型三种。
9. 计算机图形的生成过程一般可分为图形的表示、表示图形的显示和图形的显示。
画擦法是图形动画中最简单的一种方法。
画——即是用指定前景色、执行相应程序、画出基本图形；擦——即是用背景色、执行同样程序、再画一遍。
Gif 格式在网络上被广泛使用，支持动画图像，支持256 色，对真彩图片进行有损压缩。
用多祯可以提高颜色准确度。
10. 3D MAX, MAY A 等等都是很好的计算机动画创作工具。
11. 虚拟现实（Virtual Reality ）或称虚拟环境（Virtual Environment）是用计算机技术来生成一个逼真的三维视觉、听觉、触觉或嗅觉等感觉世界。
12. 若把在线模型中棱线包围的部分定义为面，所形成的模型就是面模型，13. 刻画对象的颜色、材质等，构成了图形的非几何要素。
14. 计算机图形系统由硬件系统和软件系统组成。
15. 容器坐标系包括坐标原点、坐标度量单位和坐标轴的长度与方向。
16. Visual Basic 图形程序设计的步骤包括：（0）程序构思（1）窗体设计（2）代码设计（调试运行（4）保存工程。
17. 扫描仪最重要的参数是光学精度和扫描精度。
18. 由于斜投影与正投影是仿射变换关系，故可以先对三维空间物体做错切变换，然后再做正投影变换求出斜投影。
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
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8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
3d渲染原理
3d渲染原理3D渲染原理是指将三维模型通过计算机算法和图形学技术，转化为二维图像或动画的过程。
它是计算机图形学领域的重要技术，广泛应用于电影、游戏、建筑设计等领域。
本文将介绍3D渲染的基本原理和常用算法，以及其在实际应用中的一些技术挑战。
一、3D渲染的基本原理1. 几何建模：首先需要通过建模软件或者扫描仪等设备，将真实世界中的物体或场景转化为计算机可以识别的三维模型。
这些模型通常由多个三维几何图元（如点、线、面）组成，可以使用多边形网格、贝塞尔曲线等形式表示。
2. 光线追踪：光线追踪是3D渲染中的关键技术之一。
它模拟了光线从光源出发，经过物体表面反射、折射等过程，最终到达相机或观察者的过程。
通过追踪光线的路径和计算光线与物体表面的相互作用，可以确定每个像素的颜色和亮度，从而生成最终的图像。
3. 材质和纹理映射：为了使渲染结果更加真实，渲染引擎通常会给每个物体赋予适当的材质属性。
例如，金属、玻璃、木材等不同材质的物体在光线照射下会产生不同的反射和折射效果。
此外，还可以将纹理贴图应用到物体表面，使其具有更加丰富的细节和纹理。
4. 光照模型：光照模型用于计算光线与物体表面的相互作用，以确定每个像素的颜色和亮度。
常用的光照模型包括冯氏光照模型（Phong lighting model）、兰伯特反射模型（Lambertian reflection model）等。
这些模型考虑了光源的类型、光线的入射角度、物体表面的法线方向等因素，以模拟真实世界中的光照效果。
二、3D渲染的常用算法1. 光线追踪算法：光线追踪算法是3D渲染中最常用的算法之一。
它通过递归地追踪光线的路径，计算光线与物体表面的相互作用，从而生成真实感的阴影、反射和折射效果。
随着计算机硬件的不断发展，光线追踪算法的速度和质量都有了显著提升。
2. 光栅化算法：光栅化算法是另一种常用的3D渲染算法。
它将三维模型投影到二维屏幕上，并根据像素的位置和颜色进行渲染。
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三维几何模型在计算机内的表示CAD/CAM的核心技术是几何造型技术一项研究在计算机中如何表示物体模型形状的技术.在CAD/CAM技术四十多年的发展历程中，经历了四次重大的变革。
60年代初期的CAD系统只能处理简单的线框模型,提供二维的绘图环境,用途比较单一。
进入70年代,根据汽车造型中的设计需求,法国人提出了贝塞尔算法，随之产生了三维曲面造型系统CATIA.它的出现,标志着CAD技术从单纯模仿工程图纸的三视图模式中解放出来，首次实现以计算机完整描述产品零件的主要信息。
这是CAD发展历史中的第一次重大飞跃。
1979年，SDRC公司发布了世界上第一个完全基于实体造型技术的大型CAD/CAE软件──IDEAS.由于实体造型技术能够精确表达零件的全部属性,在理论上有助于统一CAD、CAE、CAM的模型表达，给设计带来了惊人的方便性.可以说,实体造型技术的普及应用标志着CAD发展史上的第二次技术革命.但是，在当时的硬件条件下,实体造型的计算及显示速度太慢,限制了它在整个行业的推广。
90年代初期，参数化技术逐渐成熟,标志着CAD技术的第三次革命。
参数化技术的成功应用，使得它在1990年前后几乎成为CAD业界的标准。
随后，SDRC攻克了欠约束情况下全参数的方程组求解问题，形成了一套独特的变量化造型理论。
SDRC将变量化技术成功的应用到CAD系统中，标志着CAD技术的第四次革命.随着CAD技术和几何造型技术的发展,近年来，市场上出现了一大批优秀的几何造型软件及工具。
例如，PTC公司的产品Pro/E、SDRC的产品I-DEAS Master Series、UGS公司的产品Unigraphics、IBM公司的产品CATIA/CADAM、Autodesk公司的产品MDT、Spatial Tech公司的ACIS、EDS公司的Parasolid等。
在国内，清华大学、北京航空航天大学、华中理工大学、浙江大学、上海交通大学、西北工业大学,以及其他一些单位也发表了一些关于特征造型技术研究的论著，并开发了一些特征造型系统，例如:清华大学开发的TiGems 造型系统，北京航空航天大学研制出的微机版“金银花(LONICERA）”系统,武汉开目信息技术有限责任公司开发的开目三维CAD软件等等。
造型系统简介Parasolid和ACIS是两个最有代表性的几何造型系统的开发平台。
在早期开发的实体造型系统中，英国的剑桥大学研制出了BUILD-1和BUILD-2系统，但都没有公开使用。
80年代初期,研究小组的一部分人组建了Shape Data公司，并开发了实体造型系统Romulus。
1986年，Shape Data并入EDS Unigraphics之后，推出了功能强大的几何造型核心Parasolid。
同时，Shape Data一部分保留人员研制了新的造型核心，就是后来由Spatial Technology公司推出的几何造型系统核心ACIS。
Parasolid和ACIS并不是面向最终用户的应用系统，而是“几何引擎”，作为应用系统的核心。
用户可用它们作为平台,开发自己的应用系统。
当今许多流行的商用CAD/CAM软件，如Unigraphics、Solidedge、Solidwork、MDT等，都是在Parasolid或ACIS的基础上开发出来的。
Parasolid有较强的造型功能，但是只能支持正则实体造型。
它提供的主要功能有：集合运算、特征的创建和编辑、局部操作、数据交换文件接口等.Parasolid采用精确的边界表示，包括拓扑、几何和关联三种数据类型.ACIS具有和Parasolid相似的形体结构,但在系统结构上采用了核心和外壳相结合的方式。
ACIS支持线框、表面和实体的统一表示，支持非正则形体的造型.在上述几何实体造型系统中，通常都会提供一些基本的形体输入方法,以及拉伸，旋转，蒙皮，扫描等直接构造形体的方法，通过集合运算对形体进行拼合。
虽然对这些造型方法的研究取得了一系列新进展，但是集合运算仍基本局限在对两个体进行正则运算（交，并,差)上，而且结果形体的信息都已经包含在两个参加运算的原始形体之中，不能引入新的信息。
实际应用中,有些机械零件具有特定的形状特征，不能通过集合运算来直接完成，或者直接实现时操作步骤非常复杂。
但是，它们的生成方法和集合运算非常相似，可以看作是集合运算的扩展。
拔模和抽壳都属于这一类型的造型方法。
三维形体的表示三维造型技术是建立恰当的模型来表示自然界中形态丰富的三维物体的技术，根据造型对象将造型技术分成3类。
第一类是曲面造型，主要研究计算机内如何描述一张曲面，及曲面的显示与控制。
曲面造型又分成规则曲面和不规则曲面两种。
不规则曲面造型方法主要有贝塞尔曲线曲面、B样条曲线曲面和孔斯曲面等。
（二维曲线：Nurbs(通过拟合点）、三次B样条（通过控制点）、贝塞尔（控制点和拟合点重合）和波浪线(B样条)））第二类是立体造型方法，主要研究在计算机内如何定义、表示一个三维物体，主要有体素构造法、边界表示法和八叉数法等等。
曲面造型和立体造型合称几何模型造型。
该技术主要应用在机械行业辅助设计制造领域（CAD）.第三类是自然景物模拟，主要研究在计算机内如何模拟自然景物,如云、流水、树等.该造型技术主要应用在游戏和艺术造型等领域。
如下主要说说几何模型的表示.在计算机中,表示几何形体的方法通常有三种：线框模型、表面模型和实体模型一、线框模型该模型采用三维形体的全部顶点及边的集合来描述三维形体，即用顶点表和边表两个表的数据结构来表示三维模型。
每条边由两个顶点表示.主要优点是结构简单，处理容易。
描述二维目标十分理想。
但对三维物体，存在如下缺点：1)没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体.2）不能明确定义点与物体之间的关系.3）点和边信息容易出现二义性。
二、表面模型在线框模型的基础上，增加了物体中的面的信息,用面的集合来表示物体，每个面由多条有向边构成,用环来定义面的边界,即是用顶点表、边表和面表来描述模型.表面模型又分为平面模型和曲面模型.前者以多边形网格为基础。
后者以参数曲面块为基础。
表面模型存在的不足就是它只能表示物体的表面边界,而不能表达出真实实体的属性，很难确认一个表面模型表示的三维图形是一个实体还是一个空壳.这个不足,在实体模型中得到了解决。
三、实体模型实体模型是最高级的模型，它能完整表示物体的所有形体信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部还是内部或表面上.实体模型使用有向边的右手法则来确定所在面的外法线方向。
即用右手沿边的顺序方向握住,大拇指所指向为该面的外法线方向。
法线方向指向体外。
体外实体模型存在着不同的数据结构，在这些结构中存在一个共同点，即数据结构不仅记录了物体全部的几何信息,而且还记录了所有的点、线、面、体的拓扑信息（即空间位置关系）.实体模型的构造通常使用体素(即原始的基本实体)，经集合论中的交、并、差运算构成复杂形体。
1．实体的定义实体就是有效的物体，即客观世界中确实存在的物体,要在计算机内表示、构造一个实体,就必须给出实体的确切定义(即用最小的数据结构唯一地确定实体的形状和位置。
）如下图带有悬挂面的立方体就不是实体，在客观世界中不可能存在这样的物体。
作为实体应满足如下条件：1．刚性。
一个实体必须具有一定的形状(流体不属于实体）2．维数一致性。
一个实体的各个部分必须是三维的，不能存在悬挂的、孤立的边界。
3．有限性。
一个实体必须占有有限的空间。
4．边界确定性。
根据实体的边界，可确定实体的内部或外部.5．封闭性.经过集合运算后,仍然是有效的实体。
实体的表面必须具备如下性质：1．连通性。
表面任意两点都可用表面上的一条路径连接起来。
2．边界性。
3．非自相交性.一个实体表面不可自相交。
4．可定向性。
一个实体的表面两则可明确定义出实体的内侧和外侧.5．封闭性。
一个表面的封闭性由多边形网格各元素的拓扑关系确定的。
即每条边连接且仅连接两个面，每条边有且仅有两个端点。
从点集拓扑角度给出实体的定义。
将三维实体看作是空间中点的集合，它由内点与边界点共同组成.内点是指点集中的这样一些点:它们具有完全包含于该点集的充分小的领域。
点集中除内点外的所有的点就是边界点.所以三维物体A可表示为:A= {bA，iA｝bA为物体A的边界点集；iA为物体A的内部点集。
定义点集的正则运算r如下:rA = ciAi为取A的内点运算;c为取闭包运算；A为一个点集。
iA为A的全体内点组成的集合,称为A的内部，它是一个开集（“开集”可以理解为没有边界值去判断点是否为内点）.ciA为A的内部的闭包,是iA与其边界点的并集。
(据此可以理解“闭包”的含义）,它本身是一个闭集，（“闭集”可以理解为可以通过明确的边界值来判断点是否在集合中）.正则运算即为：先对物体取内点再取闭包的运算。
rA称为物体A的正则点集.如图：带有悬边的二维点集A内点集合 iA(没有粗边界)正则点集ciA(有粗边界）以上图中，图1有悬边所以点集不是有效实体，图2没有边界，不是满足“封闭性"所以也不是实体.图3为正则点集,封闭性，也满足实体的其他条件，所以为实体。
正则点集有时也不一定是实体。
如下图：左图为正则点集，但它不是有效的物体。
由此，就会涉及到另外一个概念“二维流体”。
二维流体是指对于实体表面上的任何一点,都可以找到一个围绕着它的任意小的领域，该领域在拓扑（即是空间位置）上与平面上的一个圆盘是等价的（也就是在表面上存在着一个领域围绕着某个点）。
这意味着，在领域的点集和圆盘之间存在着连续的一对一的对应关系。
如上右图,立体表面上任一点都存在与圆盘同构的领域.而左图，两个立方体共享边被四个面共享，其上的点不存在这样的唯一的领域（在上图中，共享边的点，存在围绕它的领域有两个）。
有了上述概念后，实体可以这样描述为:对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是二维流形，则该正则点集为实体（有效物体）。
2．正则集合运算能产生正则几何体（有正则点集组成的形体）的集合运算称为正则集合运算。
正则集合运算与传统集合运算的区别主要是在对产生结果的边界面的处理上，其内部点的处理是一致的。
正则运算主要是考虑如何消除或不产生悬点、悬边和悬面。
如下图：上图，左边为传统的交运算结果，右边为正则的交运算结果.在传统的集合运算符后加“*”号表示正则运算符。
实现正则集合运算有两种方法：间接法和直接法.间接法是先按普通集合运算求出结果,后用一些规则判断，以消除不符合正则几何定义的部分（即悬边、悬面等），从而得到正则几何体.直接法是定义正则集合算子的表达式，用以直接得出符合正则几何体定义的结果。
正则几何运算定义如下：A<OP>＊B = r （A <OP〉B ) ；式中<OP〉表示传统集合并、交、差算子；<OP>＊表示相应的正则并、交、差算子;r是集合的正则化算子。