导数的概念说课ppt完美课件人教课标版

22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.1.2 导数的概念及其几何意义

5.1.2 导数的概念及其几何意义

课标解读课标要求素养要求

1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达;

⒉.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 1.数学抽象——能通过瞬时变化率了解导数的概念;

2.直观想象——能根据图形和导数的几何意义求切线斜率.

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一平均变化率

对于函数𝑦=𝑓(𝑥) ,设自变量𝑥 从𝑥0 变化到𝑥0+𝛥𝑥 ,相应地,函数值𝑦 就从𝑓(𝑥0) 变化到𝑓(𝑥0+𝛥𝑥) .这时,𝑥 的变化量为𝛥𝑥 ,𝑦 的变化量为① 𝛥𝑦=𝑓(𝑥0+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0) .

我们把比值𝛥𝑦𝛥𝑥 ，即𝛥𝑦𝛥𝑥=𝑓(𝑥0+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)𝛥𝑥 叫做函数𝑦=𝑓(𝑥) 从𝑥0 到𝑥0+𝛥𝑥 的平均变化率.

要点二导数的概念与表示

如果当𝛥𝑥→0 时,平均变化率𝛥𝑦𝛥𝑥 无限趋近于一个确定的值 ,即𝛥𝑦𝛥𝑥 有极限,则称𝑦=𝑓(𝑥) 在 𝑥=𝑥0 处的②导数(也称为瞬时变化率),记作③ 𝑓′(𝑥0) 或𝑦′|𝑥=𝑥0 ，即𝑓′(𝑥0)=lim𝛥𝑥→0𝛥𝑦𝛥𝑥=lim𝛥𝑥→0𝑓(𝑥0+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)𝛥𝑥 .

要点三切线

如图,在曲线𝑦=𝑓(𝑥) 上任取一点𝑃(𝑥,𝑓(𝑥)) ,如果当点𝑃(𝑥,𝑓(𝑥)) 沿着曲线𝑦=𝑓(𝑥)

无限趋近于点𝑃0(𝑥0,𝑓(𝑥0)) 时,割线𝑃0𝑃 无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线𝑃0𝑇 称为曲线𝑦=𝑓(𝑥) 在点𝑃0 处的④ 切线 .

自主思考

1.自变量的变化量𝛥𝑥 能否为0? 答案：提示由平均变化率的定义可知,|𝛥𝑥| 可以很小,但是𝛥𝑥≠0 .

高中数学 1.1.2导数的概念教案新人教版选修2-2

- 1 - / 3 §1.1.2导数的概念

教学目标

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率

（二）探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，

所以)/(004965)0()4965(mshhv，

虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是多少？考察2t附近的情况： h

t o高中数学 1.1.2导数的概念教案新人教版选修2-2

- 2 - / 3 思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t时的瞬时速度是13.1/ms

为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt

表示“当2t，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

《导数的概念》教学设计

一、教材分析

《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（人教A版）第一章1.1.2的内容，是在学生学习了变化率的内容后，通过实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念。它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。

教学重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵。

教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，可以通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。

二、学习目标

1.知识与技能目标

①理解导数的概念.

②掌握用定义求导数的方法.

2.过程与方法目标

3.情感、态度与价值观目标

①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度.

②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观. 三、教学程序

（一）创设情境，引入新课

[课件投影]播放一段视频林跃在2022年北京奥运会10米跳台夺冠的视频，给出一个思考题：假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h（m）与起跳后的时间t（）存在这样一个函数关系：.

计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：

（1）林跃在这段时间里是静止的吗？

（2）你認为用平均速度来描述他的运动状态有什么问题吗？

[设计意图]林跃是和我们的学生年纪相仿的国家优秀运动员，他夺冠的经历无疑能让我们的学生感到振奋，这无形中激发了学生的爱国热情。更重要的是，以此实例能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。通过数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

[设计意图]通过引导使学生进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自动手算、动脑思，让学生初步感受到逼近的趋势。

【新教材精创】5.1.2导数的概念及其几何意义( 教学设计)- (人教A版高二选择性必修第二册)

5.1.2导数的概念及其几何意义

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》,本节课主要学习导数的概念及其几何意义

本节内容通过分析上节中,高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题,总结归纳出导数的概念,并引出导数的几何意义。导数及其几何意义是本章中的核心概念,它是研究函数的基础。在学习过程中,注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。

课程目标学科素养

A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,体会导数的概念的实际背景．

B.了解导函数的概念,理解导数的几何意义．

1.数学抽象:导数的概念

2.逻辑推理:导数及导数的几何意义

3.数学运算:求曲线在某点处切线的斜率

4.直观想象:导数的几何意义

重点:导数的概念及其几何意义

难点:导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解

多媒体

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、新知探究

前面我们研究了两类变化率问题:一类是物理学中的问题,涉及平均速度和瞬时速度;另一类是几何学中的问题,涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域,但在解决问题时,都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法;问题的答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。

探究1: 对于函数𝑦=𝑓(𝑥) ,设自变量𝑥从𝑥0变化到𝑥0+ ∆𝑥 ,相应地,函数值𝑦就从𝑓(𝑥0)变化到𝑓(𝑥+𝑥0) 。这时, 𝑥的变化量为∆𝑥,𝑦的变化量为∆𝑦=𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

我们把比值∆𝑦∆𝑥,即∆𝑦∆𝑥=𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

∆𝑥

叫做函数从𝑥0到𝑥0+∆𝑥的平均变化率。

1．导数的概念

如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y＝f (x)在x＝x0处____,并把这个________叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为__________),记作f ′(x0)或________,即

高中数学导数的概念及其意义

导数(Derivative)概念及意义

一、导数的定义

1、导数的定义

导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。

2、导数的计算公式

导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。

3、导数的形式表示

导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用函数的微分式表示。

二、导数的意义

1、导数的实际意义

导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。

2、导数的数学意义数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。

3、导数的应用

导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。

人教版高中数学选修2-2学案：1.1.2导数的概念

1.1.2导数的概念

【学习目标】

1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵．

2.理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数在x附近变化的快慢等．

【新知自学】

知识回顾：

1.xy___________叫做函数)(xfy从21xx到的平均变化率．（类似的则有函数)(xfy在点0xx附近的平均变化率为xy_______________________）．

2.平均变化率的几何意义是______________

__________________________________________

___________________________________________.

新知梳理：

1.函数)(xfy在点0xx处的瞬时变化率是xyx0lim_____________．

2.函数)(xfy在点0xx处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/xxyxf或，即)(0/xfxyx0lim_____________________．

感悟：

函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：

平均变化率xxfxxfx)()(y0，当x趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快.

对点练习：

1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（）

A.)()(00xfxxfy叫做函数的增量

B.xxfxxfxy00叫做函数在0x到xx0之间的平均变化率

C.xxfxxf00叫做函数xfy在0x处的导数

D.00xx0limxxxfxf 叫做函数xfy在0x处的导数

高中数学新人教版A版精品教案《1.1.2 导数的概念》

人民教育出版社高中数学选修2-2（A版）第一章（教案设计）

导数的概念

课型：新授课

教学目的: ⑴ 通过对高台跳水案例的研究分析——从平均速度到瞬时速度，与学生共同体会抽象出：从函数的平均变化率到瞬时变化率。体会导数概念的实际背景。

⑵ 领会瞬时变化率的实质，形成导数的概念，了解导数的内涵。

⑶ 通过导数概念的形成过程，学习归纳，类比的推理方式。体验无限逼近，从特殊到一般，化归与转化的数学思想。提高广泛联系，抽象概括能力。培养学生正确认识量变到质变，运动与静止的统一（逼近的思想，运动的变化美），形成正确的数学观。

教学要求: ⑴ 通过查阅资料（数学史的发展），让学生了解导数产生的背景。

⑵ 通过跳水视频的观看，让学生求知的欲望和兴趣得到进一步释放。让学生明白数学与生活的联系。

⑶ 借助运动员的运动状态的描述的要求的变化（平均速度→瞬时速度），能让学生体会到导数产生的过程以及内涵（平均变化率→瞬时变化率）。

⑷借助熟悉的生活例子，体会导数的实际意义。

⑸通过例题的研究与讲解，让学生能简单的掌握导数的求解方法以及对相应的数学符号的把握。并能简单的应用导数的概念解释实际生活现象。

教学重点: 形成导数的概念，了解导数的内涵。

教学难点: 对导数概念的理解，对瞬时速度的求解（逼近思想的理解）。

教学手段: ⑴ 借助“设问式”的处理，与学生一起探究出导数的概念。

⑵ 通过“特殊→一般”的认知模式，提升学生对导数概念的理解。

⑶ 借助“图表”，“框图”比较直观的体会和解决这节课的重点和难点。

⑷ 利用“电子黑板”，“一体机”，“投影仪”等工具更好的促进和服务于课堂教学。

课前任务: （●第1张PPT图片——课前任务）

函数的导数的概念

函数的导数是指函数的变化率，它表示函数变化量与改变量之间的关系。换句话说，它表示函数输入发生变化时，输出值变化的幅度大小。导数常用来衡量曲线在某一点处的切线斜率，比如一元函数的导数可以表示曲线在该点处的斜率，二元函数的导数可以表示曲面在该点处的切面斜率等。

为了理解函数的导数，我们首先来考虑一维情形，即y=f(x)的函数。当x的值发生变化时，y的值也会相应的发生变化，此时，y的变化量Δy 与x的变化量Δx 的比值为曲线上此点的切线斜率，即函数的导数。因此，在微分学中，函数的导数被定义为：

函数f (x) 的导数为：

f '(x)=limΔx→0ΔyΔx

这是一种极限形式的描述，它表达的含义是： x 非常接近某一特定的值 x0 时，若Δx 极小，则ΔyΔx 就接近函数f (x) 在点x0 处的导数f '(x0)。

而在多元函数中，函数的导数可以被看成一个向量，它的每一个分量分别表示关于每个变量的导数值。比如，一个多元函数z =f (x，y) 的导数向量为：

∇f (x, y)=(f_x(x, y), f_y(x, y))

其中f_x (x, y) 表示 f (x，y) 关于 x 的偏导数，f_y (x, y) 表示 f

(x，y) 关于 y 的偏导数。

导数在微积分中扮演着重要的作用，它不但可以表示函数的变化量，还可以用来求函数的极值、求解微分方程、测量曲面等。这些重要的应用使得导数成为微积分的一个难点，有关它的学习和研究也成为数学应用领域中很重要的内容之一。

人教版高中数学选修(1-1)-3.1《导数的概念》导学案

3.1.2 导数的概念

课前预习学案

预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。

预习内容：

1：气球的体积V与半径r之间的关系是33()4VrV，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.

2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：2()4.96.510httt. 求在12t这段时间里，运动员的平均速度.

3：求2中当t=1时的瞬时速度.

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.

2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．

学习重难点： 1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用

二、学习过程

合作探究

探究任务一：瞬时速度

问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是

新知：

1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

探究任务二：导数问题2：瞬时速度是平均速度ts当t趋近于0时的

得导数的定义：函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxfxx，我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy即000()()()limxfxxfxfxx

注意：(1)函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可以为0

(3)xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00xfx）及点)(,(00xxfxx）的割线斜率

(4)导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化的快慢程度.