-历年考研数学三真题及答案解析
是c+等价无穷小，则(C) R = 3,c = 4已知 f(x)在 X = O 处可导，且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M~2 / CV)Λ→0设｛冷｝是数列，则下列命题正确的是OOX若£心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛/1-1n-1X OC若£(%如)收敛，则收敛“■]/1-1OO X若X ©收敛，则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡lπ-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ©收敛π-l ∕ι≡lπ JT π设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K的大 小关系是解，k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为(A) k = l,c = 4(B) IC = ^C =-4⑷-2/(0)(B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0(C) (D)(A) I<J<K (B) I<K<J (C) J <I<K (D) K<J<I⑸ 设A 为3阶矩阵・将A 的第2列加到第1列得矩阵3.再交换B 的第2行与第31 O OU O 0,行得单位矩阵记为片=1 1 O，£ = O O 1,0 0 1’O 1 O 丿(C) P 2P 1 (D) P['P ∖(6)设人为4x3矩阵，7，J Il > “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的(B) P^P I (A)砒 ,则4 =(B)t h∑211 + k2{η2-η^(C)T h；+ & (% - 帀)+ £(“2 - 7)(D)+ «2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀)(7)设F i(x), F2(X)为两个分布函数，其相应的概率密度f l(x), /I(X)是连续函数, 则必为概率密度的是(A)∕1U)Λ(x)(B) If2(X)FM(C) ∕1(X)F2(X)(D) f l(x)F2(x) + f2(x)F i(x)(8)设总体X服从参数2(Λ>0)的泊松分布，X P X l,..∙X,1(∕z≥2)为来自总体的简1" IilZil单随即样本，贝IJ对应的统iiS7；=-yx(., T l =——Vx1-+-X,,刃台^ H-I ⅛r IJ '(A) ET i > ET2i DT l > DT2(B) ETl > ET^DT i < DT2(C) ET x < ET2.DT x > DT1(D) ET x < ET1,DT x < DT1二、填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.X(9)设/(x) = IimX(I+ 3r)7,则 / (X) = __ ・∕→0X(10)设函数2 = (1 +丄)匚则^I(II= _______ ・y(11)曲线tan(x + y + -)="在点(0,0)处的切线方程为_______ ・4(12)曲线y = 直线X = I及X轴所囤成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积 _____ .(13)设二次型/(X P X2,X3)= XΓAΛ-的秩为1, A中行元素之和为3,则/在正交变换下X = Qy的标准型为 ____ •(14)设二维随机变⅛(X,K)服从N(“,“;bSb?;。
),则E(XY2)= _____________ .三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)XIn(I+ x)(16)(本题满分10分)已知函数/(//,V)具有连续的二阶偏导数，/(1,1) = 2是/(ZΛV)的极值，z = /[(x+y),/(x,y)]。
求Lu)■(17)(本题满分10分)(18)(本题满分10分)证明4arctan X-x + — -∖∣3 =0 恰有2 实根。
(19)(本题满分10分)f(x)在［0,1］有连续的导数，/(0) = 1 ,且JJ f (x + y}dxdy = ∫∫f(t}dxdy ,D l = {(Λ∖y) I 0 ≤ Λ∙≤ r,0 ≤ y ≤ r,0 ≤ % + y ≤ f}(0 < r ≤ 1),求f(x)的表达式。
(20)(本题满分11分)设3 维向量组W=(1,0,l)7^, α2=(0,1,1/ , α3=(l,3,5)r不能由A=(Igl)J02=(1,2,3)7∖ 03=(1，3,5)7^线性标出。
求：(I)求a；(11)将”|，02，03 由d］, Ct2 , &3 线性表出.(21)(本题满分11分)已知A为三阶实矩阵，R(A) = 2 ,且人0 0 = 0 0 ,厂1 I丿〔1 1>求：(I)求A的特征值与特征向量：(II)求A(22)(本题满分11分)已知X, Y的概率分布如下:且 P(X 2=K 2) = I,求：(I) (X, Y)的分布；(H)Z = Xr 的分布； (III) Pχγ. (23)(本题满分11分)设(X,Y)在G 上服从均匀分布，G 由x-y = O, x + y = 2与y = 0围成。
求：(I)边缘密度办(X)：(Il)Aly(X l >,)≡2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：L 〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若 Iim --(L-a)e x =1,则 α 等于YTO LX X(A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 3⑵ 设儿是一阶线性非齐次微分方程PMy = c∣Mχ的两个特解，若常数兄, "使λy i+uy2是该方程的解，几”-©2是该方程对应的齐次方程的解，则()(A) λ = -j z/ = —(B) λ = ——, Ll =——2 2 2 2.2 1 2 2(C) A = — f // = —(D) λ = -9 H = -3 3 3 3(3)设函数/(Λ-), g(x)具有二阶导数，且g” (X)V0。
若g(兀)2是g(x)的极值，则/[g(x)]在心取极大值的一个充分条件是()(A)f (a) <0(B) f(α)>0(C) /3Vo (D) f(α)>OX(4)设/(x) = In IO X, g(x) = x f h(x) = eω ,则当X 充分大时有O(A) g(x)<h(x)<f(x)(B) Il(X) <g(x)<f(x)<C) f(x) < g(x) < h(x)(D) g(x)< fM < h(x)(5)设向量组I ：冬，σ2,..∙αf可由向量组II：卩、,/?,,••• A线性表示，下列命题正确的是(A)若向量组I线性无关，则r≤s (B)若向量组I线性相关，则厂>s(C)若向量组II线性无关，则虫S (D)若向咼组II线性相关，则厂>S⑹设A为4阶实对称矩阵，且A2 + A = 0,若A的秩为3,则A相似于'1 '111 (B)1-1■ 0.(8)设∕∣(x)为标准正态分布的概率密度，厶⑴为［一1，3］上的均匀分布的概率密度•af ∖(χ) x≤0若/(χ) = t ∙ c(α>0e>0)为概率密度，则应满足hj 2{x) x>O(A) 2a + 3b = 4 (B) 3a + 2b = 4 (C) a+b = ∖(D) a+b = 2二. 填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.⑼ 设可导函数y = y(x)由方程=^XSint 2dt 确定, (10) 设位于曲线y =1、(e ≤ X V +S)下方，X 轴上方的无界区域为G,则G Jx(I + In' x)绕X 轴旋转一周所得空间区域的体积是_______ •(11) 设某商品的收益函数为R(P),收益挥性为1 + /A 其中”为价格，且R(I) = I,(12) 若曲线y = √ +农+ bx +1有拐点(-1,0),则/?= _______ ・(13) 设 A, B 为 3 阶矩阵,且 PIl = 3, ∣B∣ = 2, ∣A~,+B∣ = 2,贝 ∣J∣A + B^,=, (14) 设x 2 >兀为来自整体N(∕Λσ2)(σ>0)的简单随机样本，记统计量O XVO(7)设随机变量的分布函数F(X)= - 1一厂 ■OSjIV 1,则 P{X = 1}= x≥∖三. 解答题：15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定的位置上•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤•(15)(本题满分10分)I 1求极限Iim (X X— 1)InV.t→+∞(16)(本题满分10分)计算二重积分∫∫(x+y)i dxdy ,其中D由曲线X = √l + y2与直线x + √2y = 0及D x-JΣy = 0围成。
(17)(本题满分10分)求函数"=Λ>∙ + 2yz在约束条件F + F + z2 = 10下的最大值和最小值(18)(本题满分10分)(I)比较∫ι1∣lnr∣[ln(l + r)μ∕r 与[:广IlnfMG = 1,2,…)的大小，说明理由(II)设M,,=∫'∣ln∕∣[ln(l+r)]∖∕r (H =1,2,∙.∙).求极PKlimw,,(19)(本题满分10分)设函数/(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2∕(0) = ∫θ∕(Λ-χv=/⑵廿⑶，(I)证明：存在；7 ∈ (0,2),使/(") = /(0)(II)证明：存在⅞∈(0,3),使/(⅞) = 0(20)(本题满分11分)λ 1 1 a设A = 0 2-1 0 ,b = 1J 1 J已知线性方程组Ax = b存在2个不同的解(I )求久，a(II)求方程组Ax = b的通解(21)(本题满分11分)0-14设A= -13«,正交矩阵0使得C7Λ(2为对角矩阵，若0的第1列为4 a 0(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为fix, y) = Ae-2^,-y2 , -CO<%<÷CO, -8<y V÷OO,求常数A及条件概率密度A∣χ(>'∣-v)(23)(本题满分11分)箱内有6个球，英中红，白，黑球的个数分别为1, 2, 3,现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，(I)求随机变量(X, 丫)的概率分布(II)求COV(X, Y)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题(A)(B)一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.V-V 3(1)函数/(X)=— 的可去间断点的个数为SIn πx(2〉当XT0时＞ /(Λ) = X-Sinax 与g(x) = "ln(l -加)是等价无穷小，则(4)设函数y=f(χ)在区间［-1,3］上的图形为/(AO⑷1・(B) 2. (03.①)无穷多个.(B) d = 1, b =—・6 (D) d = —1 , b =—(A) d = 1, h ——・6(C) a = -i, b = -—6(3)使不等式［平∕>lnx 成立的X 的范用是(B)(1迈)・⑷(OJ).(C)(A).(D) (",+oo)∙X2X-1-1(5)设AB 均为2阶矩阵，C 分别为AB 的伴随矩阵,若IAI=2JBI=3,则分(6) 设AP 均为3阶矩阵，0为P 的转置矩阵，且Pl A P = 若 P = (a l ,a 1,α3X(2 = (Q r l+a 2.a 2.a y ) > 则 Q lA0 为(I 1 0、rI 1 0、(A) 1 1 0.(B) 1 2 Ol 0 0 20 0 2(I O 0'r O 0、 (C) O 1 O .(D) 0 2 0<0 O 2 丿‘° O L(7)设事件A 与事件B 互不相容，则⑻ P(AB) = P(A)P(B)・(8)设随机变MX ⅛r 相互独立，且X 服从标准正态分布N(OJ),P(K = O) = P(K = I) =丄，记U(Z)为随机变MZ = XY 的分布函数，则函数代(Z)的间断2块矩阵的伴随矩阵为3B O >(C)rO 23八 ∖3∕f O ,'O2 A八O ,0 02>(A) P(AB) = O. (C) P(A) = I-P(B). (D) P(Λk√B) = l.Y 的概率分布为⑻(D二 填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上•(10)设 z = (x + e v y ∖ H∣J—∂x Xe " -f-ir(11) 幕级数工一疋的收敛半径为 _________ •紜 n-(12) 设某产品的需求函数为Q = Q(P),其对应价格P 的弹性O=O.2,则当需求疑为IOOOO 件时，价格增加1元会使产品收益增加 _______ 元."3 0 0、(13) 设α = (l,l,l)7^, 0 = (1,0,灯7^,若矩阵妙'相似于 0 0 0,贝咔=__________ .<θ ° 0>(14) 设X 「X 2,-, X,π为来自二项分布总体B(n, P)的简单随机样本，戸和S’分别为样本均值和样本方差，记统计⅛T = X-52,则Er= ______________ .三、解答题：15〜23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分9分)求二元函数 /(Λ; y) = X 2(2 + y 2J + y In y 的极值.(16) (本题满分10分)(17) (本题满分10分)计算二重积分 JJ(X -刃cZr√y ,其中 D = {(x,y)∣(x -1)' +(>,-l)2≤2,y ≥x}.D(18) (本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值泄理，若函数/(X)在W 问上连续，在(d,b)上可导，则gw(d,町,得证fφ)-f{a) = f ∖ξ)(b -a).(II)证明：若函数/(兀)在X = O 处连续，在(0, σ)Λσ>0)内可导，且 Iimf(X) =点个数为⑷0.(B)L (02. (D) 3.⑼忸e-evi+7 -1(1.0)A,则心(0)存在，且f+(O) = A∙x→0*(19)(本题满分10分)设曲线y = f(x),其中∕ω是可导函数，且/(X) >0.已知曲线y = fM与直线y = O,x = 1及X = t{t > 1)所用成的曲边梯形绕X轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形而积值的ZTt倍，求该曲线的方程.(20)(本题满分11分)设< 1 -1 -1「-1]A= -1 1 1 ，⅜ = 1T3 -4 一2丿(I )求满足Aξ2= ξx, A2⅛ = ⅞的所有向量§2,纟3・(II)对(I )中的任意向≡¾, ξ3 ,证明ξltξ2,ξ3线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型/(X p X25X3) = ax}2 +αv22+(Λ-I)X32 + 2x l x3 - 2x2x3・(I)求二次型/的矩阵的所有特征值•(II)若二次型/的规范形为y12 + y22.求"的值.(22)(本题满分11分)设二维随机变⅛(X.K)的概率密度为OVyVX其他(I )求条件概率密度fγlx(y∖χ);(H)求条件概率p{x≤ι∣r≤ι}.(23)(本题满分11分)袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y. Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.(I)求p{x = l∣z = θ}:(II)求二维随机变量(X,Y)的概率分布.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.∫f7(0^(1)设函数/(x)在区间［-1,1］上连续，则X = O是函数g(x)= -------- 的()X(A)跳跃间断点. (B)可去间断点.(C)无穷间断点. (D)振荡间断点.(2)如图，曲线段方程为y = ∕(χ),函数fω⅛区间［0,m上有连续的导数，则立积分J：H(XM•等于()(A)曲边梯形ABOD面积. (B)梯形ABOD面积.(C)曲边三角形ACD≡积. (D)三角形ACDWi积.(3)已知/(x,y) = fE r,则(A)£'(0,0), ∕v,(0,0)都存在(B)£'(0,0)不存在，<(0,0)存在(C)£'(0,0)存在,<(0,0)不存在(D)£'(0,0), A(0,0)都不存在(4)设函数/连续，若F(π,v)= ff M,λ^^ +V )J.v⅛¼英中％为图中阴影部分，则乞=(A)Vf(Ir) (B) -f(u2)(C) Vf(U) (D) -/(M)U U(5)设A为阶非O矩阵，E为”阶单位矩阵，若A3=O,则()(A)E-A不可逆，E+A不可逆.(B)E-A不可逆，E+A可逆.(C)E-A可逆，E+A可逆.(D)E-A可逆，E+A不可逆.(6)设AJ 12、b则在实数域上域与A合同的矩阵为() 12T 1 (2 -↑}(A) . (B)-2, (一1 2r2 1 -2}(C) ■(D)<1 2丿、-2 1 丿(7)随机变≡X,y独立同分布，且X分布函数为F(X),则Z = max{X,y}分布函数为()(A)F2(x). (B) F(X)F(y).(C) 1-[1-F(x)]2. (D) [1-F(χ)][i-F(y)].(8)随机变量X~N(O,1), F~N(1,4)且相关系数P XY = 1,则()(A) P{Y = -2X-∖} = ∖.(B) P{y = 2X-l} = l.(C) p{r=-2X÷ι} = ι.(D) p{y = 2X+ι} = ι.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(10)设/(x +丄) = ^4,则 f 27τ∕(XXV =(11)设D = {(x 9y)∖x 2 + y 2≤∖},则∫∫(x 2 -y ∖lxdy = ___________ (12) 微分方程Λ/ + y = O 满足条件y(l) = 1的解是y = _______ .(13) 设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 2, E 为3阶单位矩阵，则∣4A~,-E = _______ . (14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX 2} = _________________ .三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限Iim-Iln-・(16) (本题满分10分)设Z = Z(X,y)是由方程x 2+ y 2-z, = φ(x+y + z.)所确定的函数，貝中e 具有2阶导数 且φf≠-∖时•(I )求 dz(17) (本题满分11分)计算 JjmaX(Ay, l>∆∙√y,英中 D = {(x, y)∣O < ΛT ≤2,0≤V ≤2).D(18) (本题满分10分)设ι∕(x)是周期为2的连续函数，(I) 证明对任意的实数f,有∫,+2∕(Λ-)Jx = ∫θ∕(x)6∕X; (II) 证明G(Λ-) = ∫I ' f(s)ds 力是周期为2的周期函数.(19) (本题满分10分)设银行存款的年利率为r = 0.05,并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实 现.w ,(9)设函数J ∖x) = ↑(II)记 w(x, V)=第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取(10+9n)万元，并能按此规 律一直提取下去，问A 至少应为多少万元(20) (本题满分12分)设”元线性方程组Ax = b,其中(Ia 1 \'x ∖''1' A =a 2• •• •• • 19X =A 2■ ■ ,b = 0• ■2Cr2勺 n×n(I )求证行列式∣A∣=(n+l)βn;(II)"为何值时，该方程组有唯一解，并求母： (HI)"为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2005年)当a取值为( )时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点。
A．2。
B．4。
C．6。
D．8。
正确答案：B解析：由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)，知可能极值点为x=1，x=2，当x＜1和x＞2时，函数单调增加，1＜x＜2时，函数单调减小，且f(1)=5一a，f(2)=4一a。
可见当a=4时，f(1)=1＞0，且=一∞，由单调性和零点存在性定理可知，函数在(-∞，1)上有唯一的零点，而此时f(2)=0，在(1，2)和(2，+∞)上无零点，因此a=4时，f(x)恰好有两个零点。
故应选B。
知识模块：微积分2．(2001年)设函数f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点。
B．x=a是f(x)的极大值点。
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：B解析：又函数f(x)的导数在x=a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限且等于函数在该点的值，所以f’(a)=0，于是即f’(a)=0，f”(a)=一1＜0，根据判定极值的第二充分条件知x=a是f(x)的极大值点，因此，正确选项为B。
知识模块：微积分3．(2004年)设f(x)=|x(1-x)|，则( )A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。
B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。
C．x=0是f(x)的极值点，且(O，O)是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：C解析：令φ(x)=x(x一1)，则φ(x)=是以直线x=为对称轴，顶点坐标为开口向上的一条抛物线，与x轴相交的两点坐标为(0，0)，(1，0)，f(x)=|φ(x)|的图形如图。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有( )A．a=b或a+2b=0。
B．a=b或a+2b≠0。
C．a≠b且a+2b=0。
D．a≠b且a+2b≠0。
正确答案：C解析：根据A与其伴随矩阵A2秩之间的关系知，r(A)=2，故有=(a+2b)(a 一b)2=0，即有a+2b=0或a=b。
但当a=b时，显然r(A)≠2，故必有a≠b且a+2b=0。
应选C。
知识模块：线性代数2．设n阶矩阵A与B等价，则必有( )A．当｜A｜=a(a≠0)时，｜B｜=a。
B．当｜A｜=a(a≠0)时，｜B｜=一a。
C．当｜A｜≠0时，｜B｜=0。
D．当｜A｜=0时，｜B｜=0。
正确答案：D解析：因为当｜A｜=0时，r(A)＜n，又A与B等价，故r(B)＜n，即｜B｜=0，故选D。
知识模块：线性代数3．设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm-1线性表出，记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm-1，β，则( ) A．αm不能由(Ⅰ)线性表出，也不能由(Ⅱ)线性表出。
B．αm不能由(Ⅰ)线性表出，但可由(Ⅱ)线性表出。
C．αm可由(Ⅰ)线性表出，也可由(Ⅱ)线性表出。
D．αm可由(Ⅰ)线性表出，但不可由(Ⅱ)线性表出。
正确答案：B解析：β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，即存在常数k1，k2，…，km使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm，(*)β不能由α1，α2，…，αm-1线性表出，从而知km≠0(若km=0，则k1α1+k2α2+…+km-1αm-1，这和β不能由α1，α2，…，αm-1线性表出矛盾)。
(*)可变为kmαm=β一k1α1+k2α2+…+km-1αm-1，上式两端同除km αm=(β一k1α1+k2α2+…+km-1αm-1)，αm能由(Ⅱ)线性表出，排除A，D。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年] 行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：解一令则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式由命题2．1．1．1(1)，即得|A|=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad一bc)2．仅(B)入选．解二将|A|按第1行展开，然后可利用命题2．1．1．1(2)，即式(2．1．1．5)直接写出结果：解三仅(B)入选．解四仅(B)入选．(注：命题2．1．1．1 设非零元素仅在主、次对角线上的2n阶、2n一1阶行列式分别为D2n，D2n-1，则命题2．1．2．3 设A，B分别是m阶与n阶矩阵，则) 知识模块：线性代数2．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：解一由A3=O得E=E-A3=(E－A)(E+A+A3)，E=E+A3=(E+A)(E －A+A3)．由命题2．2．1．2知，E－A，E+A均可逆．仅(C)入选．解二因A3=0，即A为幂零矩阵，其n个特征值全部都等于零，则A的矩阵多项式f1(A)=E－A的n个特征值为f1(λ)｜λ=0=(1-λ)｜λ=0=1．因而|E－A|=1≠0，故E一A可逆．A的另一个矩阵多项式f2(A)=E+A的n个特征值为f2(λ)｜λ=0=(1+λ)｜λ=0=1．故|E+A|=1，所以E+A可逆．知识模块：线性代数3．[2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．A．E—ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E一2ααT不可逆正确答案：A解析：令A=ααT，则A2=A．又令AX=λX，由(A2－A)X=(λ2－λ)X=0得λ2－λ=0，即λ=0或λ=1．因为tr(A)=αTα=1=λ1+…+λn故得A的特征值为λ1=…=λn-1=0，λn=1．而E－ααT的特征值为λ1=…=λn－1=1，λn=0，从而|E－ααT|=0，E－ααT不可逆．仅(A)入选．知识模块：线性代数4．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．B．3C．1／3D．正确答案：A解析：解一显然矩阵A满足命题2．2．2．1中的三个条件，因而由该命题得|A|=1．将|A|按第1行展开得到1=|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故仅(A)入选．解二由A*=AT，即其中Aij为|A|中元素aij的代数余子式，得aij=Aij(i，j=1，2，3)．将|A|按第1行展开，得到|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到|A*|=|A|3-1=|AT|=|A|，即|A|(|A|=1)=0，而|A|>0，故|A|－1=0，即|A|=1，则3a112=1．因a11＞0，故仅(A)入选．注：命题2．2．2．1 设A为n(n≥3)阶实矩阵，其元素分别与其代数余子式相等(aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，即AT－A*或A=(A*)T)且其中一元素不等于0，则其行列式|A|等于1．知识模块：线性代数5．[2009年] 设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：解一令则|C|=(－1)2×2|A||B|=2×3=6，即分块矩阵可逆，则由C*=|C|C-1得到解二因对任一四阶矩阵C，有C*C=CC*=|C|4，其中C*为C的伴随矩阵．下面用直接验证法进行选择．对于选项(A)，有其中E2，E4分别为二阶、四阶单位矩阵．对于选项(B)，有满足伴随矩阵的性质．对选项(C)、(D)，分别有由此可知，仅(B)入选．知识模块：线性代数6．[2004年] 设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．A．当|A|=a(a≠0)时，|B|=aB．当|A|=a(a≠0)时，|B|=－aC．当|A|≠0时，|B|=0D．当|A|=0时，|B|=0正确答案：D解析：解一因A与B等价，由命题2．2．5．4(1)知，仅(D)入选．（注：命题2．2．5．4 (1)矩阵等价的必要条件是矩阵的行列式同时为零或同时不为零．）解二因A与B等价，其秩必相等．当|A|=0时，秩(A)<n，故秩(B)＜n，于是|B|=0．所以选项(D)正确．因秩(A)=秩(B)，不一定有|A|=|B|或|A|=－|B|，故(A)、(B)不成立．至于(C)，显然有秩(A)>秩(B)，故(C)不成立．仅(D)入选．解三因A与B等价，由矩阵等价的必要条件知，存在可逆矩阵P与Q，使得A=PBQ．两边取行列式得|A|=|P||B||Q|，而|P|≠0，|Q|≠0，因而|A|与|B|同时为零或同时不为零．故当|A|=0时，必有|B|=0．仅(D)入选．知识模块：线性代数7．[2013年] 设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )．A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B解析：解一对矩阵A，C分别按列分块，记A=[α1，α2，…，αn]，C=[γ1，γ2，…，γn]，又令B=(bγij)γn×n，则由AB=C得到可见，C的列向量组可由A的列向量组线性表出．因B可逆，由A=CB-1类似可证，A的列向量组也可由C的列向量组线性表出．由两向量组等价的定义知，仅(B)入选．解二因可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，而每个初等矩阵表示一次初等变换，可逆矩阵B左乘矩阵A，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换能保持变换前的矩阵与变换后所得矩阵的列向量组的等价关系(见命题2．3．1．3)，因而仅(B)入选．注：命题2．3．1．3 如果矩阵A 经有限次初等行(列)变换化成矩阵B(即A≌B)，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价．知识模块：线性代数8．[2003年] 设α1，α2，…，α3均为n维向量，下列结论中不正确的是( )．A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，有k1α1+k2α2+…+ksαs=0C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD．α1，α2，…，α3线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关正确答案：B解析：解一(A)正确．事实上，若α1，α2，…，α3线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0．这定义的逆否命题就是选项(A)中的命题．可见(A)成立．若α1，α2，…，αs线性相关，由其定义知，存在一组而不是任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2αs+…+ksαs=0．(B)不成立．由“向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是秩([α1，α2，…，αs])=s”知，(C)也成立．因α1，α2，…，αn线性无关的必要条件是其任一部分向量组线性无关．当然其中任意两个向量也线性无关，(D)也成立．仅(B)入选．解二可举反例证明(B)不正确：向量组α1=[1，0]T，α2=[4，0]T线性相关，但对于一组不全为零的常数k1=1，k2=0，却有k1α1+k2α2=α1=[1，0]T≠0．知识模块：线性代数9．[2006年] 设α1，α2，…，αs都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关正确答案：A解析：解一由定义知，若α1，α2，…，αs线性相关，则存在不全为零的数c1，c2，…，cs，使得c1α1+c2α2+…+csαs=0．用A左乘等式两边，得c1A α1+c2Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．仅(A)入选．解二若α1，α2，…，αs线性相关，则秩([α1，α2，…，αs])其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C解析：因故α1，α3，α4线性相关．仅(C)入选．知识模块：线性代数11．[2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1一α2，α2一α3，α3一α1B．α1+α2，α2+α3，α3+α1C．α1—2α2，α2—2α3，α3—2α1D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1正确答案：A解析：解一用观察易知，选项(A)中向量有关系(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α1)=0，故(A)中向量线性相关．解二由命题2．3．2．3判别之．s=3为奇数，k=3也为奇数，故(A)中向量线性相关．(注：命题2．3．2．3 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1±α2，β2=α2±α3，…，βs-1=αs-1±αs，βs=αs±α1，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1，β2，…，βs线性相关；(2)当s与k的奇偶性不同时，向量组β1，β2，…，βs线性无关．) 解三用线性相关的定义判定．为此令x1(α1－α2)+x2(α2－α3)+x3(α3－α1)=0，即(x1－x3)α1+(－x1+x2)α2+(－x2+x3)α3=0．因α1，α2，α3线性无关，故因其系数矩阵行列式等于零，故上述方程组有非零解，即α1－α2，α2－α3，α3－α1线性相关．知识模块：线性代数12．[2014年] 设α1，α2，α3是三维向量，则对任意常数k，l，向量α1+kα3，α2+α3线性无关是向量α1，α2，α3线性无关的( )．A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：A解析：记β1=α1+kα3，β2=α2+lα3，则若α1，α2，α3线性无关，则[α1，α2，α3]为可逆矩阵，故秩即β1=α1+kα3，β2=α2+lα3线性无关．反之，设α1，α2线性无关，α3=0，则对任意常数k，l必有α1+kα3，α2+lα3线性无关，但α1，α2，α3线性相关，故α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的必要但非充分条件．仅(A)入选．知识模块：线性代数填空题13．[2016年] 行列式正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：知识模块：线性代数14．[2010年] 设A，B为三阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=________．正确答案：3解析：|A+B-1|=|AE+EB-1|=|ABB-1+AA-1B-1|=|A(B+A-1)B-1|=|A||B+A-1||B-1|=|A||A-1+B ||B|-1=3×2×(1／2)=3．解二|A+B-1|=|EA+B-1E|=|B-1BA+B-1A-1A|=|B-1||B+A-1||A|=|B|-1|B+A-1||A|=(1／2)×2×3=3．知识模块：线性代数15．[2006年] 设矩阵E为二阶单位矩阵，矩阵A满足BA=B+2E，则|B|=____________．正确答案：2解析：解一由BA=B+2E得到B(A-E)=2E，两边取行列式利用命题2．1．2．1(2)和(5)得到|B||A—|=|2E|=22|E|=4．而故|B|=2．解二解一中没有求出矩阵B．但若要求出也不难．由B(A—E)=2E知B==2(A-E)-1而故从而|B|=2．(注：命题2．1．2．1 设A=[aij]n×n，B=[bij]n×n，E为n阶单位矩阵，k为常数．(2)|AB|=|A||B|，|AB|=|BA|，但AB≠BA；(5)|kA|=kn|A|，但[kaij]n ×n=k[aij]n×n=kA；) 知识模块：线性代数16．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A-1一E|=_________.正确答案：3解析：解一因A的特征值为1，2，2，故A-1的特征值为1，1／2，1／2．因而4A-1一E的特征值为λ1=4×1—1=3，λ2=4×(1／2)一1=1，λ3=4×(1／2)一1=1，故|4A-1一E|=λ1λ2λ3=3×1×1=3．解二所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP—diag(1，2，2)①=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4．PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1-E)P-1，两端取行列式得到|4A-1一E|=|P||4Λ-1一E||P-1|=|4Λ-1一E|=|4diag(1，1／2，l ／2)一E|=|diag(3，1，1)|=3．知识模块：线性代数17．[2003年] 设n维向量α=[a，0，…，0，a]T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E－ααT，B=E+(1／a)ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=____________．正确答案：－1解析：解一由题设有A－1=B，故AB=E，注意到αTα=2a2(是一个数)，有E=AB－(E－ααT)[E+(1／a)ααT]=E+(1／a)ααT－ααT－(1／a)α(αTα)αT =E+[1／a－1－(1／a)·2a2]ααT=E+(1／a－1－2a)ααT，故(1／a－1－2a)ααT=O．因ααT≠O，所以1／a－1－2a=0，即(2a－1)(a+1)=0．因而a=1／2或a=－1．因a＜0，故a=－1．解二因(E－A)2=(ααT)2=ααTααT=(αTα)ααT=2a2ααT=2a2(E－A)，即A2－2A+2a2A=2a2E－E，亦即A[A－(2－2a2)E]=(2a2－1)E，故A可逆，且由题设有故整理得到而ααT≠O，故(a+1)(2a－1)=0，又因a＜0，故a=-1．知识模块：线性代数18．[2012年] 设A为三阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A 的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=__________．正确答案：－27解析：由题设有B=E12A，两边右乘A*，得到BA*=E12AA*=|A|E12E=|A|E12，则|BA*|=||A|E12|=|A|3|E12|=33×(-1)=－27．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。
即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).A．存在且等于零B．存在但不一定为零C．一定不存在D．不一定存在正确答案：D解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．A．a=1，b=－1／6B．a=1，b=1／6C．a=－1，b=－1／6D．a=－1，b=1／6正确答案：A解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续6．[2010年]若则a等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．A．a=0B．b=1C．c=0D．正确答案：D解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续填空题8．[2012年]设函数则正确答案：解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续9．[2012年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．[2009年]正确答案：3e/2解析：知识模块：函数、极限、连续11．[2015年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续12．[2002年]设常数则正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续13．[2005年]正确答案：2解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续14．[2007年]正确答案：0解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(综合)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（综合）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(91年)曲线y＝A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：因为＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有铅直渐近线χ＝0，所以应选D．2．(93年)设f(χ)＝∫0sinχsin(t2)dt，g(χ)＝χ3＋χ4，则当χ→0时，f(χ)是g(χ)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：则应选B．3．(98年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：则f′(1)＝－2，由f′(χ)周期性知，f′(5)＝f′(1)＝－2．故应选D．4．(97年)设在区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，fχ(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)](b－a)则A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：由题设可知，在[a，b]上，f(χ)＞0单调减，曲线y＝f(χ)上凹，如图1．5．S1表示y＝f(χ)和χ＝a，χ＝b及χ轴围成曲边梯形面积，S2表示矩形abBC的面积，S3表示梯形AabB的面积．由图1．5可知，S2＜S1＜S3．故应选B．5．(97年)若f(－χ)＝f(χ)，(－∞＜χ＜＋∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＜0，fv(χ)＜0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ)知，f(χ)为偶函数，而由在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0知在(－∞，0)内，y＝f(χ)的图形下凹单调增，则f(χ)由图1．6图形可知，在(0，＋∞)内，f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0，则应选C．6．(93年)设随机变量X的密度函数是φ(χ)，且φ(－χ)＝φ(χ)，F(χ)是X的分布函数，则对任意实数a，有A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由φ(－χ)＝φ(χ)知，φ(χ)为偶函数，其图形关于y轴对称，如图1．7由几何意义可知，F(－a)＝S1 ∫1aφ(χ)dχ＝S2 则S1＝－S2，即F(－a)＝．故应选B．7．(99年)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则A．P{X＋Y≤0}＝B．P{X＋Y≤1}＝C．P{X－Y≤0}＝D．P{X－Y≤1}＝正确答案：B解析：由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态，则X＋Y～N(1，)．X－Y～N(－1，)由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为，则P{X＋Y＜1}＝故应选B．8．(06年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0．f〞(χ)＞0，△χ为自变量χ在点χ0处的增量，△y与曲分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△r＞0，则A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ2，在(0，＋∞)上，f′(χ)＝2χ＞0，f〞(χ)－2＞0，取χ0＝1．则dy＝2△χ△y＝f(1＋△χ)－f(1)＝(1＋△χ)2－12＝2△χ＋(△χ)2 由于△χ＞0，则0＜dy＜△y，从而选项B、C、D均不正确，故应选A．9．(06年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则A．f(0)＝0且f－′(0)存在．B．f(0)＝1且f－′(0)存在．C．f(0)＝0且f＋′(0)存在．D．f(0)＝1且f＋′(0)存在．正确答案：C解析：令f(χ)＝，显然f(χ)满足原题设条件，而f(0)＝0，f－′(0)＝＝∞(不存在)，则选项A、B、D均不正确，故应选C．10．(05年)以下四个命题中正确的是A．若f′(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．B．若f(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．C．若f′(χ)在(0，1)内有界，则f(χ)在(0，1)内有界．D．若f(χ)在(0，1)内有界，则f′(χ)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：令f(χ)＝，显然f(χ)，f′(χ)＝－都在(0，1)内连续，但f(χ)＝在(0，1)内无界，则选项A、B不正确．若令f(χ)＝，显然f(χ)在(0，1)内有界，但f′(χ)＝在(0，1)内无界，则D不正确，故应选C．11．(05年)设an＞0(n＝1，2，…)，若an发散，(－1)n-1an收敛，则下列结论正确的是A．B．C．D．正确答案：D解析：则A、B、C均不正确，故应选D．12．(96年)设函数f(χ)在区间(－δ，δ)内有定义，若当χ∈(－δ，δ)时，恒有｜f(χ)｜≤χ2，则χ＝0必是f(χ)A．间断点．B．连续而不可导的点．C．可导的点，且f′(0)＝0．D．可导的点，且f′(0)≠0．正确答案：C解析：令f(χ)＝χ3，显然χ∈(－δ，δ)时，｜f(χ)｜＝｜χ3｜≤χ2．且f′(χ)＝3χ2，f′(0)＝0，则A、B、D均不正确，故应选C．13．(90年)已知f(χ)在χ＝0某邻域内连续，且f(0)＝0，＝2，则在点χ＝0处f(χ)A．不可导．B．可导且f′(χ)≠0．C．取得极大值．D．取得极小值．正确答案：D解析：由于当χ→时0，1－cosχ～χ2，所以令f(χ)＝χ2，则f(χ)符合原题设条件．而f(χ)在χ＝0处可导，f′(0)＝0，取极小值，则A、B、C均不正确，故应选D．14．(01年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：若取f′(χ)＝－(χ－a)，即令f(χ)＝－(χ－a)2，则显然f(χ)符合原题条件，f(χ)＝－(χ－a)2在χ＝0取极大值，且(a，f(a))也不是y＝－(χ－a)2的拐点，则A、C、D均不正确，故应选B．15．(99年)设f(χ)是连续函数，F(χ)是f(χ)的原函数，则A．当f(χ)是奇函数时，F(χ)必是偶函数．B．当f(χ)是偶函数时，F(χ)必是奇函数．C．当f(χ)是周期函数时，F(χ)必是周期函数．D．当f(χ)是单调增函数时，F(χ)必是单调增函数．正确答案：A解析：令f(χ)＝cosχ＋1，F(χ)＝sinχ＋χ＋1．显然f(χ)是偶函数，周期函数，但F(χ)不是奇函数，也不是周期函数，则B、C均不正确．若令f(χ)＝χ，F(χ)＝χ2，则f(χ)单调增，但F(χ)不单调增，因此，D也不正确，故应选A．16．(96年)设f(χ)处处可导，则A．当f′(χ)＝＋∞时，必有f(χ)＝＋∞．B．当f(χ)＝＋∞时，必有f′(χ)＝＋∞．C．当f′(χ)＝－∞时，必有f(χ)＝－∞．D．当f(χ)＝－∞时，必有f′(χ)＝－∞．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ，则f′(χ)≡1 f(χ)＝＋∞，但f′(χ)＝1≠＋∞f(χ)＝－∞，但f′(χ)＝1≠－∞则选项B和D均不正确若令f(χ)＝χ2，则f′(χ)＝2χ＝－∞，但f(χ)＝＋∞≠－∞所以C也不正确，故应选A．17．(96年)设f(χ)有连续导数，f(0)＝0，f′(0)≠0，F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f(t)dt，且当χ→0时，F′(χ)与χk是同阶无穷小，则k等于A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由f(0)＝0，f′(0)≠0．取f(χ)＝χ，则F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)tdt＝．18．(87年)设f(χ)在χ＝a处可导，则等于A．f′(a)B．2f′(a)C．0D．f′(2a)正确答案：B解析：令f(χ)＝χ，则但f′(χ)＝1，从而f′(a)＝f′(2a)＝1，则A、C、D均不正确，故应选B．19．(91年)若连续函数f(χ)满足关系式f(χ)＝＋ln2，则f(χ)等于A．e2ln2B．e2χln2C．eχln2D．e2χ＋ln2正确答案：B解析：由f(χ)＝＋ln2知f(0)＝ln2 (1) f′(χ)＝2f(χ) (2) 显然C、D选项不符合(1)式，A选项不符合(2)式，故应选B．20．(95年)设f(χ)和φ(χ)在(－∞，＋∞)内有定义，f(χ)为连续函数，且f(χ)≠0，φ(χ)有间断点，则A．φ[f(χ)]必有间断点．B．[φ(χ)]2必有间断点．C．f[φ(χ)]必有问断点．D．必有间断点．正确答案：D解析：令φ(χ)＝f(χ)＝χ2＋1 显然f(χ)和φ(χ)符合原题条件，而φf[(χ)]＝1，φ2(χ)＝1，f[φ(χ)]＝2均无间断点，则A、B、C均不正确，故应选D．21．(93年)若f(χ)＝－f(－χ)，在(0，＋∞)内，f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则f(χ)在(－∞，0)内A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由原题设可令f(χ)＝χ3，显然f(χ)符合原题条件．而在(－∞，0)内，f′(χ)＝3χ2＞0，f〞(χ)＝6χ＜0．则A、B、D均不正确，故应选C．22．(96年)设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f″′(χ0)＞0，则下列选项正确的是A．f′(χ0)是f′(χ)的极大值．B．f(χ0)是f(χ)的极大值．C．f(χ0)是f(χ)的极小值．D．(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：D解析：由题设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f″′(χ0)＞0．可令f(χ)＝(χ－χ0)3．显然此f(χ)符合原题条件，而f′(χ)＝3(χ－χ0)2显然f′(χ0)是f′(χ)极小值而不是极大值，则A不正确，又f(χ0)＝0，而在χ0任何邻域内f(χ)可正也可负，从而f(χ0)不是f(χ)的极值点，因此B和C也不正确，故应选D．23．(98年)设f(χ)连续，则tf(χ2－t2)dt＝A．χf(χ2)B．－χf(χ2)C．2χf(χ2)D．－2χf(χ2)正确答案：A解析：令f(χ)≡1，则tf(χ2－t2)dt＝tdt＝χ显然B、C、D均不正确，故应选A．24．(94年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，则方程∫aχf(t)dt＋＝0在开区间(a，b)内的根有A．0个B．1个C．2个D．无穷多个正确答案：B解析：由题设条件，可令f(χ)≡1，此时方程∫f(t)dt＋＝0变为(χ－a)＋(χ－b)＝0，即2χ－(a＋b)＝0．该方程在(a，b)内有且仅有一个实根χ＝，则A、C、D均不正确，故应选B．25．(03年)设f(χ)为不恒等于零的奇函数，且f′(0)存在，则函数g(χ)＝A．在χ＝0处左极限不存在．B．有跳跃间断点χ＝0．C．在χ＝0处右极限不存在．D．有可去间断点χ＝0．正确答案：D解析：令f(χ)＝χ，显然f(χ)满足原题条件，而g(χ)＝．显然A、B、C 均不正确，故应选D．26．(99年)设A是m×n矩阵，B是，n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜＝0．C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜＝0．正确答案：B解析：用排除法：当m＞n时，若A＝，B＝[3，4]，则有｜AB｜＝＝0，故A不对；当n＞m时，若A＝[1 2]，B＝，则有｜AB｜＝0，故C不对；当n＞m时，若A＝[1 2]，B＝，则有｜AB｜＝3≠0，故D不对；因此，只有B正确．27．(94年)设有向量组α1(1，－1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，－2，2，0)，α5＝(2，1，5，10)．则该向量组的极大无关组是A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α2，α5D．α1，α2，α4，α5正确答案：B解析：观察易知α3＝3a1＋α2，α5＝2α1＋α2．故A、C都是线性相关组，A、C都不对．当C组线性相关时，D组也线性相关，故D也不对，于是只有B正确．28．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则(A*)*等于A．｜A｜n-1AB．｜A｜n+1AC．｜A｜n-2AD．｜A｜n+2A正确答案：C解析：令A＝，显然A符合原题条件，由伴随矩阵定义易知而｜A｜＝2，则｜A｜n-1＝2，｜A｜n+1＝8，｜A｜n+2＝16；故A、B、D均不正确，故应选C．填空题29．(00年)＝_______．正确答案：解析：本题常规的求解方法是先把根号里面配方，再用三角代换，但计算量较大·实际上，本题根据定积分几何意义立刻知道应填．事实上，该积分在几何上表示单位圆(χ－1)2＋y2≤1面积的，如图1．1．30．(91年)若随机变量X服从均值为2，方差为σ2的正态分布．且P{2＜X＜4}＝0．3，则P{X＜0}＝_______．正确答案：0．2解析：由于正态分布的密度函数是关于均值χ＝2对称．由图1．2易知P{X ＜0}＝S2＝0．5－S1＝0．5－0．3＝0．231．(91年)＝_______．正确答案：πa3解析：事实上，在几何上原题中积分应等于球体χ2＋y2＋z2≤a2的体积的一半，因此应为πa3．32．(94年)设D＝{(χ，y}｜χ2＋y2≤χ＋y＋1}，则(χ＋y)dχdy＝_______．正确答案：解析：积分域D实际上是圆域．由形心公式知：其中分别表示区域D形心的χ坐标和y坐标，SD表示区域D的面积．本题中的圆域形心显然是圆心()，则，而SD＝π×则故33．(99年)设D是由直线χ＝－2，y＝0，y＝2以及曲线χ＝－所围成的平面域，则ydχdy＝_______．正确答案：4－解析：积分域D如图1．3所示，由图1．3不难看出＝1，积分域D的面积SD应为正方形面积减去半圆面积，即SD＝4－因此，34．(87年)∫－χπχ4sinχdχ＝_______．正确答案：0解析：由于χ4sinχ为奇函数，且积分区间[－π，π]关于原点对称．35．(94年)_______．正确答案：ln3解析：原式＝36．(01年)(χ3＋sin2χ)cos2χdχ＝_______．正确答案：解析：37．(94年)设区域D为χ2＋y2≤R2，则＝_______．正确答案：解析：由于本题积分域为χ2＋y2≤R2，由χ和y的对称性知因此38．(01年)设平面域D由直线y＝χ，y＝－1及X＝1所围成．则＝_______．正确答案：解析：先画出积分域D如图1．4△ABC．y＝－χ将D分为两部分D1(△ABO)和D2(ABOC) 由于是χ的奇函数，D1关于y轴左右对称．则同理，是y的奇函数，D2关于X轴上下对称．则．故原式＝－．。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)设可微函数f(χ0，y0)在点(χ，y)取得极小僵，则下列结论正确的是【】A．f(χ0，y)在y＝y0处导数等于零．B．f(χ0，y)在y＝y0处导数大于零．C．f(χ0，y)在y＝y0处导数小于零．D．f(χ0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A解析：由于f(χ，y)在(χ0，y0)取得极小值，则f(χ0，y)在y＝y0取得极小值．又f(χ，y)在(χ0，y0)点处可微，则f′y(χ0，y0)存在，从而有f′y(χ0，y0)＝0，即f(χ0，y)在y＝y0处的导数为零，故应选A．知识模块：微积分2．(05年)设I1＝，I2＝cos(χ2＋y2)dσ，I3＝cos(χ2＋y2)2dσ，其中D ＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1}，则【】A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3C．I2＞I1＞I3D．I3＞I1＞I2正确答案：A解析：由于当0≤χ≤时，cosχ是减函数，而当0≤χ2＋y2≤1时，≥χ2＋y2≥(χ2＋y2)2，则cos≤cos(χ2＋y2)≤cos(χ2＋y2)2 故即I1≤I2≤I3 知识模块：微积分3．(06年)设f(χ，y)与φ(χ，y)均为可微函数，且φ′y愤怒(χ0，y0)≠0，已知(χ0，y0)是f(χ，y)在约束条件φ(χ，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是【】A．若f′χ(χ0，y0)＝0，则f′y(χ0，y0)＝0．B．若f′χ(χ0，y0)＝0，则f′y(χ0，y0)≠0．C．若f′χ(χ0，y0)≠0，则f′y(χ0，y0)＝0．D．若f′χ(χ0，y0)≠0，则f′y(χ0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(χ，y)是f(χ，y)在条件φ(χ，y)＝0下的极值点，则必有若f′χ(χ0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φ′y(χ0，y0)≠0，由②式可知f′y(χ0，y0)≠0，故应选D．知识模块：微积分4．(07年)设函数f(χ，y)连续，则二次积分f(χ，y)dy等于【】A．B．C．D．正确答案：B解析：二次积分对应的二重积分的积分域D如图所示．交换二次积分次序得故应选B．知识模块：微积分5．(08年)已知f(χ，y)＝，则【】A．f′χ(0，0)，f′y(0，0)都存在．B．f′χ(0，0)不存在，f′y(0，0)存在．C．f′χ(0，0)存在，f′y(0，0)不存在．D．f′χ(0，0)，f′y(0，0)都不存在．正确答案：B解析：f(χ，0)＝e｜χ｜，在χ＝0处不可导，事实上而不存在，则f′χ(0，0)不存在又f(0，y)＝在y＝0处可导，则f′y(0)存在，故应选B．知识模块：微积分6．(08年)设函数f连续，若F(u，v)＝，其中区域Duv为图中阴影部分，则＝【】A．vf(u2)．B．f(u2)．C．vf(u)．D．f(u)．正确答案：A解析：故应选A．知识模块：微积分填空题7．(01年)设生产函数为Q＝ALαKβ，其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A，α，β均为大于零的参数，则当Q＝1时K关于L的弹性为_______．正确答案：解析：当Q＝1时，1＝ALαKβ等式两边对L求导，得0＝αAL α－1Kβ＋βALαKβ－1 解得由弹性计算公式知，K关于L的弹性为知识模块：微积分8．(02年)交换积分次序＝_______．正确答案：解析：由原累次积分可知积分域如图2．16因此：知识模块：微积分9．(03年)设a＞0，f(χ)＝g(χ)＝，而D表示全面，则I＝f(χ)g(y－χ)d χdy＝_______．正确答案：a2解析：由题意知f(χ)g(y－χ)＝令Ω＝{(χ，y)｜0≤χ≤1且0≤y －χ≤1}．则I＝＝a2 其中区域Ω的面积为1．知识模块：微积分10．(04年)函数，(u，v)由关系式f[χg(y)，y]＝χ＋g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则＝_______．正确答案：解析：令χg(y)＝u，y＝v，则χ＝，g(y)＝g(v)，则知识模块：微积分11．(05年)设二元函数z＝χeχ＋y＋(χ＋1)ln(1＋y)，则dz｜(1，0)＝_______．正确答案：2edχ＋(e＋2)dy．解析：知识模块：微积分12．(06年)设函数f(u)可微，且f′(0)＝，则z＝f(4χ2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1,2)＝_______正确答案：4dχ－2dy．解析：则dz｜(1，2)4dχ－2dy 知识模块：微积分13．(07年)设f(u，v)是二元可微函数，z＝，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分14．(08年)设D＝{(χ2，y2)｜χ＋y≤1}，则(χ2－y)dχdy＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分15．(09年)设z＝(z＋ey)χ，则＝_______．正确答案：2ln2＋1解析：由z＝(χ＋eyy)χ知，z(χ，0)＝(χ＋1)χ．代入χ＝1得，＝2ln2＋1．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2000年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件( )A．{T(1)≥t0}。
B．{T(2)≥t0}。
C．{T(3)≥t0}。
D．{T(4)≥t0}。
正确答案：C解析：随机变量T(1)，T(2)，T(3)，T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)≥T(3)≥t0。
所以说断电事件就是{T(3)≥t0}。
2．(2009年)设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)。
C．P(A)=1-P(B)。
D．正确答案：D解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0。
选项A：=1-P(A∪B)，因为P(A ∪B)不一定等于1，所以A不正确；选项B：当P(A)，P(B)不为0时，选项B 不成立，故排除B；选项C：只有当A、B互为对立事件的时候才成立，故排除C；选项D：=1-P(AB)-1，故D正确。
3．(2014年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=( )A．0．1。
B．0．2。
C．0．3。
D．0．4。
正确答案：B解析：P(A-B)=0．3，则P(A)-P(AB)=0．3，又随机事件A与B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)。
因此有P(A)-P(A)P(B)=0．3，又P(B)=0．5，故P(A)=0．6，且P(AB)=P(A)P(B)=0．3。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：1 按第1列展开，得所求行列式=－ad(ad－bc)+bc(ad－bc)=－(ad－bc)22 先互换D的2、3两行，得再通过相邻列的互换将第1列移至第3列，得=－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．设A和B都是n×n矩阵，则必有( )A．|A+B|=|A|+|B|B．AB=BAC．|AB|=|BA|D．(A+B)－1=A－1+B－1正确答案：C解析：由于|AB|=|A||B|=|B||A|，及|BA|=|B||A|即知|AB|=|BA|总成立，故C正确．注意其它备选项都未必成立．知识模块：线性代数3．设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC 的秩为r1，则( )A．r＞r1．B．r＜r1．C．r=r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)=r(A)．本题主要考查“初等变换不改变矩阵的秩(即等价的矩阵具有相同的秩)”的性质．注意，用矩阵乘法表示等价矩阵的形式：A与B行等价存在可逆矩阵P，使得PA=B；A与B列等价存在可逆矩阵Q，使得AQ=B；A与B等价存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ= B．知识模块：线性代数4．设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则( )A．(A*)*=|A|n－1AB．(A)*)*=|A|n+1AC．(A*)*=|A|n－2AD．(A*)*=|A|n+2A正确答案：C解析：由A*=|A|A－1，得(A*)*=|A*|(A*)－1，又|A*|=|A|n－1，故(A*)*=|A|n －1(|A|A－1)－1=|A|n－11／|A|A=|A|n－2A．故C正确．本题综合考查A*与A －1的关系、A*的行列式、逆矩阵的运算等知识．本题亦可由(A*)－1=1／|A|A，及(A*)－1=1／|A*|(A*)*=1／|A|n－1(A*)*，从而得(A*)*=|A|n－2A．知识模块：线性代数5．设A、A为同阶可逆矩阵，则( )A．AB=BA．B．存在可逆矩阵P，使P－1AP=B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC=B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA=E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB=E．故有PA=MB，PAM －1=B，记M－1=Q，则P、Q可逆，使PAQ=B．于是知D正确．本题考查矩阵可逆、等价、相似、合同、可否乘法交换等概念及其相互关系．注意，A、B为同阶可逆矩阵，则A、B都等价于同阶单位阵，由等价的对称性和传递性立即可知D正确．但A、B却未必相似，故B 不对；也未必合同，故C不对．这里应特别注意，A和B有相同的秩，这只是A与B相似的必要条件而非充分条件，也只是A与B合同的必要条件而非充分条件．至于备选项A，可举反例如下：知识模块：线性代数6．设n(n≥3)阶矩阵的秩为n－1，则a必为( )A．1B．1／(1－n)C．-1D．1／(n－1)正确答案：B解析：因为r(A)=n－1＜n，故必有|A|=0，而=[1+(n－1)a](1－a)n－1因此，或者a=1／(1－n)，或者a=1．显然，当a=1时，有r(A)=1＜n－1，所以，有a=1／(1－n)(而且当a=1／(1－n)时，A的左上角的n－1阶子式等于[1+(n－2)a](1－a)n－2)n－2≠0，可知此时确有r(A)=n－1)，故B正确．知识模块：线性代数7．设其中A可逆，则B－1等于( )A．A－1P1P2B．P1A－1P2C．P1P2A－1D．P2A－1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B=AP2P1，故B－1=P1－1P2－1A－1，而P1－1=P1，P2－1=P2，故有B－1=P1P2A－1．知识模块：线性代数8．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0．C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b且a+2b≠0．正确答案：C解析：对于3阶方阵A，A的伴随矩阵A*的秩为故有r(A*)=1r(A)=2|A|=0且A中至少有一个2阶子式不等于零．于是由=(a+2b)(a－b)2=0．得a+2b=0，或a=b．若a=b，则显然有r(A)≤1，与前述条件r(A)=2发生矛盾．故a≠b，且a+2b=0，此时，A的左上角的2阶子式为=a2－b2=(－2b)2－b2=3b2≠0，(否则b=0，=－2b=0，a=b，这与a≠b矛盾)，所以r(A)=2．综上可知r(A*)=1a≠b且a+2b=0，故只有C正确．知识模块：线性代数9．设n阶矩阵A与B等价，则必有( )A．当|A|=a(a≠0)时，|B|=a．B．当|A|=a(a≠0)时，|B|=－a．C．当|A|≠0时，|B|=0．D．当|A|=0时，|B|=0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有|B|=－|A|，|B|=k|A|(常数k≠0)，|B|=|A|．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数填空题10．正确答案：－3．解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数11．正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4．解析：1 按第1列展开，得行列式为=λ4+λ3+2λ2+3λ+42 首先把第2列的λ倍加到第1列上去，其次把第3列的λ2倍加到第1列上去，最后把第4列的λ3加到第1列上去，然后将行列式按第1列展开，得行列式为=－(4+3λ+2λ2+λ3+λ4)=4+3λ+2λ2+λ3+λ4 知识模块：线性代数12．设矩阵A=，则A－1=_______．正确答案：解析：1 利用初等行变换法：故A－1=A．2 利用分块求逆法：记矩阵B=，则B－1=B，于是有知识模块：线性代数13．设A和B为可逆矩阵，X=为分块矩阵，则X－1=_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设X－1其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX－1=Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21=Em，AX22=O，BX11=O，BX12=En因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21=A－1，X22=O，X11=O，X12=B－1于是得X－1 知识模块：线性代数14．设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且|A|=a，|B|=b，C=，则|C|=_______．正确答案：(－1)mnab．解析：1 从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作n次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有|C|==(－1)mn=(－1)mn=|B||A|=(－1)mnab2 如知道行列式的拉普拉斯展开法则，则可将|C|按其前m行展开，得|C|=|A|(－1)1+2+…+m+(n+1)+…+(n+m)|B|=(－1)mnab本题主要考查行列式性质的应用及分块对角方阵行列式的计算．注意，对于分块对角方阵(其中A1，A2，…，Am都是方阵)有|C|=|A1||A2|…|A|m．知识模块：线性代数15．设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0．解析：因为r(A4×4)=2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*=O，从而有r(A*)=0．本题考查矩阵的秩及伴随矩阵等概念．注意，对于n 阶方阵A，A的每个元素的余子式就是A的一个n－1阶子式，因此，当r(A)＜n－1时，A的每个元素的余子式、从而代数余子式都为0，而A*的元素是A的元素的代数余子式，故此时有A*=O，从而有r(A*)=0．一般地成立：若r(An×n)＜n－1，则r(A*)=0．知识模块：线性代数16．设其中ai≠0，i=1，2，…，n，则A－1=_______．正确答案：解析：1 初等行变换法：上面分块矩阵中右边的矩阵就是A－1．2 令n－1阶方阵(对角矩阵) 知识模块：线性代数17．设A=，A*是A的伴随矩阵，则(A*)－1=_______．正确答案：解析：由A*A=|A|E，当|A|≠0时，得A*(1／|A|A)=E，故有(A*)－1=1／|A|A(或由A－1=1／|A|A*A*=|A|A－1(A*)－1=1／|A|A)，而|A|=10，所以(A*)－1本题主要考查逆矩阵、伴随矩阵的概念及它们之间的关系．必须理解并牢记公式AA*=A*A=|A|E，因为它是处理A的逆矩阵及伴随矩阵有关问题的一个基本公式．从解答中可见，只要弄清楚A、A－1及A*之间的关系，本题并不需要求出A*．知识模块：线性代数18．设矩阵A，B满足A*BA=2BA－8E，其中A=，E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=_______．正确答案：解析：1 由题设等式得(A*－2E)BA=－8E两端左乘A，并利用AA*=|A|E=－2E，得(－2E－2A)BA=－8A即(E+A)BA=4A两端右乘A－1，得(E+A)B=4E 故2 由题设等式得(A*－2E)BA=－8E由此可知(A*－2E)及A都可逆，两端左乘(A*－2E)－1，两端右乘A－1，得B=－8(A*－2E)－1A－1=－8[A(A*－2E)]－1=－8(AA*－2A)－1=－8(|A|E－2A)－1=－8(－2E－2A)－1=－8．(E+A)－1=4(E+A)－13 同解2，由题设等式可得B=－8(A*－2E)－1A－1 知识模块：线性代数19．设A=，而n≥2为正整数，则An－2An－1=_______．正确答案：O解析：因为A2=2A所以，当n=2时，有An－2An－1=A2－2A=O当n＞2时，有An－2An－1=An－2(A2－2A)=An－2O=O因此，总有An－2An－1=O(n ≥2)．本题主要考查矩阵的乘法运算．注意求方阵的n次幂，一般要先就n=2进行计算(有时还需再就n=3等进行计算)，然后归纳其规律并得出结论(有时还需用数学归纳法加以证明)．例如本题由n=2时为零矩阵：A2－2A=O，以下结论就很明显，上式两端左乘A，即得n=3时亦为零矩阵，若两端左乘An－2，即得一般结论An－2An－1=O．知识模块：线性代数20．设矩阵且秩(A)=3，则k_______．正确答案：－3．解析：因秩(A)=3，|A|=(k+3)(k－1)3=0，k=－3或k=1，而当k=1时显然有秩(A)=1，故必有k=－3(而且当k=－3时，A的左上角的3阶子式等于－4≠0，故此时的确有秩(A)=3．但作为单项选择题，这里可以不验证当k=－3时有秩(A)=3)．本题主要考查矩阵的秩的概念及简单行列式的计算．注意，秩(A)=3，即A中非零子式的最高阶数为3，故必有|A|=0，由此即可确定k的取值范围，这比用初等变换法(秩(A)=3，由A化成的阶梯形阵中非零行的个数为3)来确定志的值显然要简单．知识模块：线性代数21．设n维向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E－=ααT，B=E+ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=_______．正确答案：－1．解析：由A－1=B，得E=AB=(E－ααT)(E+ααT)=E+(－1)ααT－α(αT α)αT=E+(αTα)ααTαTα)ααT=O又易验证矩阵ααT≠O，故得αTα=0但αTα=‖α‖2=2a2，代入上式，得－1－2a=0，或(2a－1)(a+1)=0a=－1，或a=1／2(舍去)，故a=－1．本题主要考查逆矩阵的概念及矩阵乘法运算规律．注意ααT是一个n阶方阵，而αTα却是一个数．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。