安徽省宿州市十三所重点中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年安徽省宿州市十三所重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项1．数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项2．不等式≥2的解集为（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）3．（5分）（2013罗湖区校级二模）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0 4．（5分）（2010广东模拟）等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）A．B．12 C．D．65．（5分）（2018春大连校级期末）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A．（﹣24，7）B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C．（﹣7，24）D．（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）6．（5分）（2012秋西峰区校级期末）在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（）A．B．C．D．7．（5分）（2014秋芜湖期末）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．28．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则等于（）A．B．C．D．9．在等比数列{a n}中，若a n＞0，且a3，a7是x2﹣32x+64=0的两根，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=（）A．27 B．36 C．18 D．910．（5分）（2012井冈山市模拟）锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（，2）D．（，）11．设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）12．（5分）（1992云南）设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，那么a3a6a9…a30等于（）A．210B．220C．216D．215二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014秋汪清县校级期末）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b 的值是．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=3，S3=3，则S5=．15．若不等式（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是．16．已知定义：在数列{a n}中，若a﹣a=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称数列{a n}为等方差数列，下列判断：①若{a n}是“等方差数列”，则数列{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是“等方差数列”；③若{a n}是“等方差数列”，则数列{a kn}（k∈N*，k为常数）不可能还是“等方差数列”；④若{a n}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数列．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2018春宿州校级期中）已知数列{a n}满足a n+1=，a1=1，n∈N*．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）（2018春宿州校级期中）设△ABC的内角，A，B，C对边的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（1）求的值；（2）求tan（A﹣B）的最大值．19．（12分）（2005湖北）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）（2011市中区校级模拟）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？21．（12分）（2018春宿州校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：cosAcosC+sinAsinC+cosB=，且a，b，c成等比数列，（1）求角B的大小；（2）若+=，a=2，求三角形ABC 的面积．22．（12分）（2007天津）在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=4a n ﹣3n+1，n ∈N *．（Ⅰ）证明数列{a n ﹣n}是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n ；（Ⅲ）证明不等式S n+1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．2017-2018学年安徽省宿州市十三所重点中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项1．数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项 【分析】求出数列的通项公式，即可得到结论．【解答】解：数列2，5，8，11，…，组成以2为首项，3为公差的等差数列，通项为a n =3n ﹣1，令3n ﹣1=23，可得n=8．故选：D ．【点评】本题主要考查数列的概念和简单表示，求出数列的通项公式是解决本题的关键．2．不等式≥2的解集为（ ）A ．[﹣1，0）B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．【解答】解：⇔⇔⇔⇔﹣1≤x＜0故选A【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题．在解题中，要注意等号．3．（5分）（2013罗湖区校级二模）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0 【分析】先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选A【点评】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．4．（5分）（2010广东模拟）等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）A．B．12 C．D．6【分析】令等差数列的前n项和公式中的n=15，化简后提取15整体代换得到关于a8的方程，求出即可．【解答】解：因为S15=15a1+d=15（a1+7d）=15a8=90，所以a8=6故选D【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的通项公式，解题的关键是求出S15后提取15找出S15与a8的关系．5．（5分）（2018春大连校级期末）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A．（﹣24，7）B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C．（﹣7，24）D．（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）【分析】根据点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，可得（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，解出即可．【解答】解：∵点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，∴（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，化为（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的有关问题、一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）（2012秋西峰区校级期末）在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合题意算出c=3，从而得到b为最大边，算出cosB的值即可得到最大角的余弦之值．【解答】解：∵在△ABC中，，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=49+64﹣2×7×8×=9，得c=3∵b＞a＞c，∴最大边为b，可得B为最大角因此，cosB==，即最大角的余弦值为故选：C【点评】本题给出三角形的两边和夹角，求最大角的余弦．着重考查了三角形中大边对大角、利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．7．（5分）（2014秋芜湖期末）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形，求出对应的面积即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则A（0，1），A到直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距离d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），则|BC|==，则△ABC的面积S==，故选：B【点评】本题二元一次不等式组表示平面区域，根据条件作出平面区域，根据三角形的面积公式是解决本题的关键．8．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则等于（）A．B．C．D．【分析】由二倍角的余弦公式变形、诱导公式化简已知的方程，求出cosB的值，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由正弦定理求出的值．【解答】解：在△ABC中，∵A+C=π﹣B，∴cos（A+C）=﹣cosB，∵cos2B+3cos（A+C）+2=0，∴2cos2B﹣3cosB+1=0，解得cosB=或1，又0＜B＜π，∴cosB=，即B=，由正弦定理得，==2，∴，故选：D．【点评】本题考查正弦定理，倍角的余弦公式变形、诱导公式的综合应用，考查化简、计算能力，属于中档题．9．在等比数列{a n}中，若a n＞0，且a3，a7是x2﹣32x+64=0的两根，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=（）A．27 B．36 C．18 D．9【分析】由韦达定理和等比数列性质得a3a7=64，a5=8，由此利用对数运算法则和等比数列性质能求出log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9的值．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a n＞0，且a3，a7是x2﹣32x+64=0的两根，∴a3a7=64，a5=8，∴log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=log2（a1a2a3 (9)=+log2a5=4log224+log28=24+3=27．故选：A．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意韦达定理、等比数列性质、对数运算法则的合理运用．10．（5分）（2012井冈山市模拟）锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（，2）D．（，）【分析】先根据正弦定理得到=，即可得到，然后把B=2A代入然后利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用余弦函数的值域即可求出的范围．【解答】解：根据正弦定理得：=；则由B=2A，得：====2cosA，而三角形为锐角三角形，所以A∈（，）所以cosA∈（，）即得2cosA∈（，）．故选D【点评】考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及会利用二倍角的正弦函数公式化简求值，会求余弦函数在某区间的值域．11．设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，利用函数的性质，我们可将0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，转化为m＜恒成立，结合正弦型函数的性质结合分析法，我们可得在0≤θ≤时的最小值，进而将恒成立问题转化为最值问题，得到实数m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，∴不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0可化为f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）即f（msinθ）＞f（m﹣1）即msinθ＞m﹣1即m＜在0≤θ≤时恒成立∵0≤θ≤时，1﹣sinθ的最大值为1，故的最小值为1故m＜1即实数m的取值范围是（﹣∞，1）故选C【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与函数的单调性及恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度为中档．12．（5分）（1992云南）设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，那么a3a6a9…a30等于（）A．210B．220C．216D．215【分析】由等比数列的通项公式，可得a1a2a3=（）3，同理a4a5a6=（）3，…，a28a29a30=（）3，故原式a1a2a3…a30=（）3=230，将q=2代入，即可求出a3a6a9…a30的值．【解答】解：∵a1a2a3=a3=（）3，a4a5a6=a6=（）3，…，a28a29a30=（）3，∴a 1a 2a 3…a 30=（）3（）3…（）3=（）3=230，又∵q=2， ∴a 3a 6a 9a 30=220． 故选B ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，找出已知a 1a 2a 3…a 30和未知a 3a 6a 9…a 30的关系是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014秋汪清县校级期末）不等式ax 2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b 的值是 ﹣14 ．【分析】由不等式ax 2+bx+2＞0的解集是（﹣，），可得a ＜0且方程ax 2+bx+2=0的解为﹣，；从而求解．【解答】解：∵不等式ax 2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴，解得：a=﹣12，b=﹣2；故答案为：﹣14．【点评】本题考查了二次不等式与二次方程及二次函数的关系，属于基础题．14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 3=3，则S 5= ﹣5 ．【分析】由等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=3，S 3=3，先求出a 3，由此利用等差数列性质能求出S 5．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=3，S 3=3，∴a 3=S 3﹣S 2=0，∴=5a 3=0． 故答案为：0．【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．若不等式（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是1≤m＜19．【分析】此题要分两种情况：①当m2+4m﹣5=0时，解出m的值，进行验证；②当m2+4m ﹣5=0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即△＜0，综合①②两种情况求出实数m的范围．【解答】解：①当m2+4m﹣5=0时，得m=1或m=﹣5，∵m=1时，原式可化为3＞0，恒成立，符合题意当m=﹣5时，原式可化为：24x+3＞0，对一切实数x不恒成立，故舍去；∴m=1；②m2+4m﹣5≠0时即m≠1，且m≠﹣5，∵（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立∴有解得1＜m＜19综上得1≤m＜19故答案为1≤m＜19．【点评】此题主要考查了二次函数的基本性质，以及分类讨论的思想，此题易错点为讨论m2+4m﹣5与0的关系，如果等于0，就不是二次函数了；16．已知定义：在数列{a n}中，若a﹣a=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称数列{a n}为等方差数列，下列判断：①若{a n}是“等方差数列”，则数列{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是“等方差数列”；③若{a n}是“等方差数列”，则数列{a kn}（k∈N*，k为常数）不可能还是“等方差数列”；④若{a n}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数列．其中正确的结论是①②④．（写出所有正确结论的编号）【分析】利用“等方差数列”与“等差数列”的定义及其性质即可判断出结论．【解答】解：①{a n}是“等方差数列”，∴a﹣a=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则数列{a n2}是等差数列，正确；②∵a n=（﹣1）n，∴=1，则n≥2时，a﹣a，=0，∴数列{a n}为等方差数列，正确；③{a n}是“等方差数列”，则数列{a kn}（k∈N*，k为常数）可能还是“等方差数列”，取a n=2满足条件，因此不正确；④若{a n}既是“等方差数列”，又是等差数列，设公差为d，∴n≥2时，a﹣a==d[2a1+（2n﹣3）d]为常数，必然d=0，则该数列是常数列，正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、新定义、“等方差数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A. 一个圆台B. 一个圆锥C. 一个圆柱D. 两个圆锥2.直线3x−3y−2=0的倾斜角是（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘3.已知直线l1：mx-y+3=0与l2：y=-12x+12垂直，则m=（）A. −12B. 12C. −2D. 24.在空间直角坐标系中，已知点P（1，2，3），过点P作平面xoz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（）A. (0,0)B. (0,C. (1,0，3)D. (1,2,0)5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A. 45∘B. 30∘C. 60∘D.90∘6.已知平面α，直线l，点P，则下列命题正确的是（）A. 若l⊄α，P∈l，则P∉αB. 若l⊄α，P∈l，则P∈αC. 若l⊂α，P∈l，则P∈αD. 若l⊂α，P∉l，则P∉α7.圆心在x轴上，且过点(2，4)的圆与y轴相切，则该圆的方程是（）A. x2+y2+10y=0B. x2+y2−10y=0C. x2+y2+10x=0 D. x2+y2−10x=08.直线x-y-4=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x+2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A. [2,4]B. [4,8]C. [8,16]D. [16,32]9.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）A. CC1与B1E是异面直线B. CC1与AE是共面直线C. AE与B1C1是异面直线D. AE与BB1是共面直线10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 5603B. 5803C. 200D. 24011.已知P（a，b）为圆C：x2+y2-2x-4y+4=0上任意一点，则b−1a+1的最大值为（）A. 2B. −43C. 43D. 012.已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+y-2=0相交于A，B两点，C为圆上的一点，OC的中点D在线段AB上，且3AD=5DB，则圆O的半径r为（）A. 11B. 103C. 10D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．14.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC=60°，那么这个二面角大小是______．15.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为2，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为120π，则正四棱柱体的体积为______．16.已知圆M：（x-1-cosθ）2+（y-2-sinθ）2=1，直线l：kx-y-k+2=0，下面五个命题：①对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；②存在实数k与θ，直线l和圆M相切；③存在实数k与θ，直线l和圆M相离；④对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切；⑤对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切．其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l1：x+y-1=0，l2：2x+3y-5=0，l3：6x-8y+3=0（1）求l1与l2的交点P的坐标．（2）求过交点P且与l3垂直的直线方程，并化为一般式．18.如图，已知矩形BB1C1C所在平面与平面ABB1N垂直，BB1∥AN，BB1=2AN，∠BAN=90°，CB=AB=AN=2．（1）求证：B1C1∥平面NB1C1．（2）求证：BN⊥平面NB1C1．19.在△ABC中，点A（7，4），B（2，9），C（5，8）（1）求△ABC的面积．（2）求△ABC的外接圆的方程．20.如图，在三棱锥P -ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC =90゜, D为线段AC的中点, E为线段PC上一动点，且PA=5，AB=BC=4(1)求证: BC⊥平面PAB(2)当PA∥平面BDE时，求三棱锥D -BCE的体积．21.已知圆的方程为x2+y2-2x-4y+1+k=0．（1）求k的取值范围．（2）若此圆与直线x+y-3=0相交于M，N两点，且OM⋅ON=0（O为坐标原点），求k的值．22.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=22，点E，F分别在BC、AD上，EF∥AB，并且E为BC中点．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）证明：AC⊥DE．（2）在AC上是否存在点M，使得CF⊥平面DEM，若存在确定M点位置，若不存在，说明理由；答案和解析1.【答案】D【解析】解：将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体是两个底面重合的圆锥，故选：D．根据圆锥的几何特征，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．2.【答案】A【解析】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，则α=30°．∴直线的倾斜角为30°，故选：A．由已知直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于直线倾斜角的正切值求解．本题考查直线的倾斜角，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：直线l1：mx-y+3=0与l2：y=-垂直，则m•（-）=-1，解得m=2，故选：D．根据相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵点P（1，），过点P作平面xoz的垂线PQ，∴垂足Q的坐标为（1，0，）．故选：C．点P（x，y，z），过点P作平面xoz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（x，0，z）．本题考查点的坐标的求法，考查空间向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，组成立体图形后，可得△ABC的各边均为正方形的对角线长，△ABC为等边三角形，∴∠ABC的度数为60°．故选：C．画出几何体的立体图形，由△ABC的形状判断∠ABC的度数．本题主要考查等边三角形的性质和展开图折叠成几何体等知识点，解决本题的关键是动手操作得到△ABC各边之间的关系．6.【答案】C【解析】解：对于选项A：当l∩α=P时，P∈α，故A错；对于选项B：当l∩α≠P或l∥α时，P∉α，故B错；对于选项C，若l⊂α，P∈l，则P∈α，满足直线与平面的基本性质，故C正确．对于选项D：若P∉l，则P∈α或P∉α，故D错；故选：C．通过反例判断选项A，B，D不正确，判断C正确即可．本题考查直线与平面的位置关系，点与直线，平面的位置关系的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．7.【答案】D【解析】解：根据题意，设圆心坐标为（r，0），半径为r，则（2-r）2+42=r2，解得r=5，可得圆的方程为（x-5）2+y2=25，即x2+y2-10x=0．故选：D．由题意设出圆心坐标为（r，0），半径为r，可得（2-r）2+42=r2，求得r值，则圆的方程可求．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵直线x+y-4=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=-4，令y=0，得x=4，∴A（4，0），B（0，-4），|AB|=4，∵点P在圆（x+2）2+y2=2上，∴设P（-2+cosθ，sinθ），∴点P到直线x+y-4=0的距离：d==|3+sin（θ-）|，∵sin（θ-）∈[-1，1]，∴d∈[2，4]，∴S△ABP的最大值为×4×4=16，S△ABP的最小值为×4×2=8，∴△ABP面积的取值范围是[8，16]，故选：C．求出A（4，0），B（0，-4），|AB|=4，设P（-2+cosθ，sinθ），求出点P到直线x+y+2=0的距离范围，由此能求出△ABP面积的取值范围．本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查异面直线判定定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．B1E⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1；由异面直线判定定理得：CC1与AE是异面直线，AE与B1C1是异面直线，AE与BB1是异面直线．【解答】解：在A中，∵三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，∴B1E⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴CC1与B1E是共面直线，故A错误；在B中，∵AE∩平面BCC1B1=E，CC1⊂平面BCC1B1，且E∉CC1，∴CC1与AE 是异面直线，故B错误；在C中，∵AE∩平面BCC1B1=E，B1C1⊂平面BCC1B1，且E∉B1C1，∴AE与B1C1是异面直线，故C正确；在D中，∵AE∩平面BCC1B1=E，BB1⊂平面BCC1B1，且E∉BB1，∴AE与BB1是异面直线，故D错误．故选C．10.【答案】C【解析】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：设k=，则k表示直线MA的斜率，其中A（-1，1）是定点，∵M（a，b）在圆C：x2+y2-2x-4y+4=0上，∴圆C与直线MA有公共点，圆C：x2+y2-2x-4y+4=0化为：（x-1）2+（y-2）2=1，而直线MA的方程为：y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0，则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径，即：≤1，解得：0≤k≤，∴的最大值为．故选：C．设k=，则k表示直线MA的斜率，其中A（-1，1）是定点，可知直线MA 与圆有公共点，从而可得≤1，由此能求出的最大值．本题考查圆的方程、性质，考查直线与圆的位置关系，考查与圆有关的最值问题，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．12.【答案】C【解析】解：过O作OE⊥AB于E，连结OA，则|OE|=，由垂径定理得|AE|=|EB|，设|DE|=x，则由3=5可知|AE|=4x，由勾股定理得（4x）2+2=r2，，解得：r=．故选：C．过O作OE⊥AB于E，连结OA，求出|OE|，由垂径定理得|AE|=|EB|，设|DE|=x，则由3=5可知|AE|=4x，由勾股定理得（4x）2+2=r2，，求解即可得答案．本题考查了直线与圆的位置关系关系，考查了垂径定理和勾股定理的应用，是基础题．13.【答案】x+y-5=0，或3x-2y=0【解析】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y-5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x-2y=0∴所求直线方程为x+y-5=0，或3x-2y=0故答案为x+y-5=0，或3x-2y=0分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．14.【答案】90°【解析】解：∵将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC=60°，∴AD=DB′=DC，AB′=AC=B′C，AD⊥DB′，AD⊥DC，∴△ADC≌△ADB′≌△DB′C，∴DB′⊥DC，∴这个二面角大小是∠B′DC=90°．故答案为：90°．推导出AD=DB′=DC，AB′=AC=B′C，AD⊥DB′，AD⊥DC，从而△ADC≌△ADB′≌△DB′C，进而DB′⊥DC，由此能求出这个二面角大小．本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】40【解析】解：由题意，设该球形容器的半径的最小值为R，正四棱柱体的高为h，则4πR2=120π，∴R=．∴，h=10．则正四棱柱体的体积为V=2×2×10=40．故答案为：40．由题意，求出球形容器的半径的最小值，即可求出正四棱柱体的高．再求正四棱柱体的体积．本题考查正棱柱的外接球，考查学生的计算能力，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：对于①，圆M：（x-1-cosθ）2+（y-2-sinθ）2=1的圆心为（1+cosθ，2+sinθ），半径为r=1；无论θ取何值，都有（1-1-cosθ）2+（2-2-sinθ）2=1，∴圆过定点（1，2）；又直线l：kx-y-k+2=0可化为k（x-1）-y+2=0，过定点（1，2）；∴直线l和圆M有公共点（1，2），①正确；对于②，圆心M到直线l的距离为d==|sin（θ-α）|≤1，其中tanα=k；∴存在实数k与θ，使直线l和圆M相切，②正确；对于③，由d≤r知不存在实数k与θ，使直线l和圆M相离，③错误；④对任意实数k，有k=tanα，∴必存在实数θ，使得d=|sin（θ-α）|=1=r，直线l与和圆M相切，④正确；⑤对任意实数θ，不一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切，如θ=0°时，tan90°不存在的，∴⑤错误．综上，正确的命题序号是①②④．故答案为：①②④．①由题意求得圆M与直线l有公共点（1，2）；②求得圆心到直线l的距离为d≤r；③由d≤r判断直线和圆不会相离；④由k存在知tanα存在，对应α存在，θ也存在；⑤举例说明不一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切．本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．17.【答案】解：（1）由 2x +3y −5=0x +y−1=0，解得x =-2，y =3，即点P （-2，3）， （2）由l 3：6x -8y +3=0可得直线的斜率为34，则过交点P 且与l 3垂直的直线方程的斜率为-43，则其直线方程为y -3=-43（x +2），即为4x +3y -1=0．【解析】（1）联立直线l 1和l 2的方程组成方程组，直接求解交点坐标，（2）求出直线l 3：6x-8y+3=0，利用点斜式方程求出与l 3垂直的直线方程． 本题考查直线方程求解直线的交点的求法，直线的垂直，考查计算能力．18.【答案】证明：（1）因为四边形矩形BB 1C 1C 是矩形，所以B 1C 1∥BC ，（2分）因为BC ⊂平面BCN ，B 1C 1⊄平面BCN ，所以B 1C 1∥平面BCN ．（5分）（2）矩形BB 1C 1C 所在平面与底面ABB 1N 垂直，且交线为BB 1，CB ⊥BB 1，所以CB ⊥平面ANB 1B ，（6分）又因为BC ∥B 1C 1，故C 1B 1⊥平面ANB 1B ，（7分）又BN 在平面ANB 1BB 1内，从而C 1B 1⊥BN ，过N 作MN 垂直BB 1于M ，可得MN =MB 1=MB =2，NB =NB 1=2 2，（9分）又BB 1=4，所以BB 12=NB 2+NB 12，即NB ⊥NB 1，（10分）而C 1B 1⊥BN ，又因为C 1B 1∩NB 1=B 1，所以BN ⊥平面NB 1C 1．（12分【解析】（1）推导出B 1C 1∥BC ，由此能证明B 1C 1∥平面BCN ．（2）推导出CB ⊥平面ANB 1B ，从而C 1B 1⊥平面ANB 1B ，进而C 1B 1⊥BN ，过N 作MN 垂直BB 1于M ，从而NB ⊥NB 1，由此能证明BN ⊥平面NB 1C 1．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.【答案】解：（1）∵A（7，4），B（2，9），∴|AB|=50=52，直线AB方程为：y−94−9=x−27−2，即x+y-11=0．点C到直线AB的距离d=2=2，故S△ABC=12|AB|d=12×52×2=5．（2）设△ABC的外接圆心为O（a，b）则|OA|=|OB|=|OC|，即（a-7）2+（b-4）2=（a-2）2+（b-9）2=（a-5）2+（b-8）2，∴a=2，b=4，故圆心坐标为（2，4），半径的平方为OA2=（a-7）2+（b-4）2 ；=25，∴△ABC的外接圆方程为（x-2）2+（y-4）2=25．【解析】（1）利用两点间的距离公式求得AB的值，用两点式求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出C到AB的距离d，再根据三角形的面积公式求得△ABC的面积．（2）设△ABC的外接圆心为O（a，b）则|OA|=|OB|=|OC|，求出a的值，可得圆的标准方程．本题主要考查两点间的距离公式，用两点式求直线的方程，点到直线的距离，求圆的标准方程，属于基础题．20.【答案】（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，∴PA⊥BC、AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB……（5分）（2）解：∵PA∥平面BDEPA⊂平面PAC平面PAC∩平面BDE=DE∴PA∥DE，又∵D为AC中点∴E为PC中点且DE=12PA=52，又∵V D-BCE=13S△DCB⋅DE=13×12×4×4×12×52=103，故三棱锥D-BCE的体积为：103……（12分）【解析】（1）证明PA ⊥BC 、AB ⊥BC ，即可证明BC ⊥平面PAB ．（2）求出DE ，通过V D-BCE =，即可求解三棱锥D-BCE 的体积． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21.【答案】解：（1）方程x 2+y 2-2x -4y +1+k =0，可化为（x -1）2+（y -2）2=4-k ，∵此方程表示圆，∴4-k ＞0，即k ＜4．…（4分）（2） x +y −3=0x 2+y 2−2x−4y +1+k =0，消去x 得2（y -2）2=4-k ，解得：y =2± 2−k 2， 则k ＜4，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则 y 1+y 2=4y 1⋅y 2=2+k 2，由OM ⊥ON 得y 1y 2+x 1x 2=0， 即y 1y 2+（3-y 1）（3-y 2）=0，∴25-3（y 1+y 2）+y 1y 2=0，得25-3×4+2+k 2=0， 解之得：k =-30，符合题意．…（12分）【解析】（1）由方程x 2+y 2-2x-4y+1+k=0配方为（x-1）2+（y-2）2=4-k ．由于此方程表示圆，可得4-k ＞0，解出即可；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．与圆的方程联立可得根与系数关系，再利OM ⊥ON 得y 1y 2+x 1x 2=0，即可解出k ．本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．22.【答案】解：如图∵在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD =6，BC =4，AB =2 2，点E ，F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ，并且E 为BC 中点．∴EC =2，FD =4，tan ∠EFC =EC EF =2 2= 22，tan ∠EDF =EF FD =2 24= 22． ∴∠CFD =∠EDF ．∴∠CFD +∠EDF =90°．∴FC ⊥ED ，（1）∵使平面ABEF ⊥平面EFDC ．AF ⊥EF ，∴AF ⊥ED又∵ED ⊥AF ，∴ED ⊥面AFC ，∴AC ⊥ED ．（2）设ED ∩FC =O ，过O 作OM ∥AF 交AC 于M ，则CF ⊥平面DEM ．理由：∵ FC ⊥AFFC ⊥ED AF ∥MO，∴FC ⊥平面DEM ． 【解析】由tan ，tan ∠EDF=．可得∠CFD=∠EDF ．∴∠CFD+∠EDF=90°．FC ⊥ED ， （1）可证明ED ⊥面AFC ，即可得AC ⊥ED ．（2）设ED∩FC=O ，过O 作OM ∥AF 交AC 于M ，则CF ⊥平面DEM ．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．。
陕西省宝鸡市渭滨中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年陕西省宝鸡市渭滨中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C2．已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），且⊥，则x=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．33．已知=5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．﹣4．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数5．sin15°•sin30°•sin75°的值等于（）A．B．C．D．6．函数y=3sin2x的图象可以看成是将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．8．如图所示的是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的部分图象，那么（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣9．函数f（x）=sin2x+4cosx+2的值域为（）A．（﹣∞，3]B．[﹣2，6] C．[﹣2，7] D．（﹣∞，7]10．（文）已知tan，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=（）A．﹣B．C． D．11．已知向量=（2，2），=（4，1），在x轴上有一点P，使•有最小值，则P点坐标为（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（2，0）D．（4，0）12．设与是两个不共线的向量，=+2，=k+，=3﹣2k，若A，B，D共线，则k的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．不存在二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．函数f（x）=+的值域是______．14．设=（，sinα），=（cosα，），且，则锐角α为______．15．已知O为平行四边形ABCD内一点，设=，=，=，则=______．16．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，则以下结论中正确的是______．（写出所有正确结论的编号）．①图象C关于直线x=对称；②图象C关于点对称；③函数f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE．18．已知向量．（1）求向量3的坐标；（2）当实数k为何值时，k与3共线．19．已知函数f（x）=2sin（2x+）+1．（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．20．已知tanα，tanβ是方程x2﹣4x﹣2=0的两个实根，求cos2（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）﹣2sin2（α+β）的值．21．已知点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（0，π），且||=||，求α的大小；（2），求．22．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的最值．2015-2016陕西省宝鸡市渭滨中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C【考点】任意角的概念；集合的包含关系判断及应用．【分析】先明确第一象限角的定义，锐角的定义，小于的角的定义，结合所给的选项，通过举反例、排除等手段，选出应选的选项．【解答】解：∵A={第一象限角}={θ|2kπ＜θ＜2kπ+，k∈Z}，C={小于的角}={θ|θ＜}，B={锐角}=，∴B∪C=C，故选：B．2．已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），且⊥，则x=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案．【解答】解：根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得，3x+1×（﹣3）=0，解可得，x=1，故选：C．3．已知=5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系可得=5，由此求得tanα的值．【解答】解：∵==5，∴tanα=﹣，故选：C．4．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选A．5．sin15°•sin30°•sin75°的值等于（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用三角函数的诱导公式将sin75°用ccos15°代替；再利用二倍角的正弦公式化简求值．【解答】解：sin15°•sin30°•sin75°===故选C6．函数y=3sin2x的图象可以看成是将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】观察从原来的函数到得到的函数解析式上在x上加的值，据图象平移的规律：左加右减得到选项．【解答】解：∵由到y=3sin2x是因为x加了∴函数y=3sin2x的图象可以看成是将函数向左平移个单位故选A．7．sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．【解答】解：原式=]==，故选A8．如图所示的是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的部分图象，那么（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图形，由函数y=2sin（ωx+φ）的图象经过点（0，1），结合|φ|＜，即可求出φ的值，又函数经过点（，0），由ω+=kπ，k∈Z，可得ω=，k∈Z，对比选项即可得解．【解答】解：∵函数y=2sin（ωx+φ）的图象经过点（0，1），∴1=2sinφ，解得：sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，又∵y=2sin（ωx+φ）的图象经过点（，0），∴0=2sin（ω+），∴解得：ω+=kπ，k∈Z，可得：ω=，k∈Z，∴当k=1时，可得：ω=．故选：A．9．函数f（x）=sin2x+4cosx+2的值域为（）A．（﹣∞，3]B．[﹣2，6] C．[﹣2，7] D．（﹣∞，7]【考点】三角函数的最值．【分析】函数f（x）=﹣（cosx﹣2）2+7，结合cosx∈[﹣1，1]，利用二次函数的性质求得它的值域．【解答】解：函数f（x）=sin2x+4cosx+2=﹣cos2x+4cosx+3=﹣（cosx﹣2）2+7，由于cosx∈[﹣1，1]，故当cosx=1时，f（x）取得最大值为6，当cosx=﹣1时，f（x）取得最小值为﹣2，故函数f（x）的值域为[﹣2，6]，故选：B．10．（文）已知tan，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=（）A．﹣B．C． D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先把所求的式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，然后利用两角差的正切函数公式化简后，把已知的tanα和tan（β﹣α）的值代入即可求出值．【解答】解；∵tan，∴tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣．故选B．11．已知向量=（2，2），=（4，1），在x轴上有一点P，使•有最小值，则P点坐标为（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（2，0）D．（4，0）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设P（x，0），可得、含有x的坐标形式，由向量数量积的坐标运算公式得•的表达式，结合二次函数的图象与性质，可得当x=3时，取得最小值1，得到本题答案．【解答】解：设点P的坐标为（x，0），可得：=（x﹣2，﹣2），=（x﹣4，﹣1），因此，•=（x﹣4）（x﹣2）+2=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，∵二次函数y=（x﹣3）2+1，当x=3时取得最小值为1，∴当x=3时，取得最小值1，此时P（3，0），故选：B．12．设与是两个不共线的向量，=+2，=k+，=3﹣2k，若A，B，D共线，则k的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．不存在【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的线性运算法则，利用共线定理和向量相等列出方程组，即可求出k 的值不存在．【解答】解：与是两个不共线的向量，且=+2，=k+，=3﹣2k，∴=﹣=（3﹣k）﹣（2k+1），若A，B，D共线，则=λ，即（3﹣k）﹣（2k+1）=λ+2λ，∴，解得k的值不存在．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．函数f（x）=+的值域是{2，﹣2，0} ．【考点】函数的值域．【分析】由三角函数的符号分类讨论取掉绝对值可得．【解答】解：由题意可得sinx≠0且cosx≠0，∴角x的终边不在坐标轴，当x的终边在第一象限时，sinx和cosx为正数，可得f（x）=+=1+1=2；当x的终边在第二象限时，sinx为正数，cosx为负数，可得f（x）=+=1﹣1=0；当x的终边在第三象限时，sinx和cosx为负数，可得f（x）=+=﹣1﹣1=﹣2；当x的终边在第四象限时，sinx为负数，cosx为正数，可得f（x）=+=﹣1+1=0综合可得函数的值域为：{2，﹣2，0}故答案为：{2，﹣2，0}．14．设=（，sinα），=（cosα，），且，则锐角α为．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由已知中=（，sina），=（cosa，），，我们易构造一个三角方程，解方程即可求出锐角a的大小．【解答】解：∵=（，sina），=（cosa，），又∵，∴sina•cosa﹣•=0即sina•cosa=即sin2a=1又∵α为锐角故α=故答案为：15．已知O为平行四边形ABCD内一点，设=，=，=，则=．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】先作出平行四边形ABCD，再由向量的加法及减法的三角形法则进行求解．【解答】解：由题意作出平行四边形ABCD：∵，∴==，∴=，∴=+=，故答案为：．16．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，则以下结论中正确的是②③．（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线x=对称；②图象C 关于点对称；③函数f （x ）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数f （x ）=3sin （2x ﹣）的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可．【解答】解：∵f （x ）=3sin （2x ﹣），①：由2x ﹣=k π+（k ∈Z ）得：x=+（k ∈Z ），∴f （x ）=3sin （2x ﹣）的对称轴方程为：x=+（k ∈Z ），当k=0时，x=，k=﹣1时，x=﹣，∴图象C 关于直线x=对称是错误的，即①错误；②：∵f （）=3sin （2×﹣）=0，∴图象C 关于点（，0）对称，即②正确；③：由2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+得：k π﹣≤x ≤k π+（k ∈Z ），∴f （x ）=3sin （2x ﹣）的增区间为[k π﹣，k π+]（k ∈Z ），当k=0时，[﹣，]为其一个增区间，故③正确；④：将y=3sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin2（x ﹣）=3sin （2x ﹣）≠3sin （2x ﹣）=f （x ），故④错误．综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA=CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE=2EB ，求证：AD ⊥CE ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的中点表示和三等分点表示形式，结合向量垂直的条件，化简计算即可得到•=0．【解答】证明：由D是CB的中点，则=（+）=（﹣2），E是AB上的点，且AE=2EB，则=2，即﹣=2（﹣），即有=，由在△ABC中，∠C为直角，CA=CB，则=0，则•=（+2）•（﹣2）=（2﹣2﹣3）=×（2﹣2﹣0）=0，则．即AD⊥CE．18．已知向量．（1）求向量3的坐标；（2）当实数k为何值时，k与3共线．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）直接利用向量的坐标运算求解即可．（2）利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：（1）向量．向量3=（3，﹣6）+（12+16）=（15，10）．（2）k=（k﹣3，﹣2k﹣4）．3=（15，10）．k与3共线，可得：10k﹣30=﹣30k﹣60，解得k=．19．已知函数f（x）=2sin（2x+）+1．（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．【分析】（1）由条件利用正弦函数的最值求得函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值．（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+）+1，当2x+=2kπ+，即x=kπ+，k∈z时，f（x）取得最大值为3．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，即kπ﹣≤x≤kπ+时，函数f（x）为增函数，故函数f（x）的递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈z．20．已知tanα，tanβ是方程x2﹣4x﹣2=0的两个实根，求cos2（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）﹣2sin2（α+β）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】先利用韦达定理，求出tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，利用正切的两角和公式求出tan（α+β）的值；再把原式化简成关于正切的分数，最后得出结果．【解答】解：由已知有tanα+tanβ=4，tanα•tanβ=﹣2，∴tan（α+β）==，∴cos2（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）﹣2sin2（α+β）====．21．已知点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（0，π），且||=||，求α的大小；（2），求．【考点】三角函数的化简求值；向量的模．【分析】（1）直接利用||=||，列出方程求出α的正切函数值，然后求解α的大小；（2）通过，得到α的三角函数值，化简求解即可．【解答】解：（1）点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．α∈（0，π），且||=||，可得：（3cosα﹣4）2+（3sinα﹣0）2=（3cosα）2+（3sinα﹣4）2，可得：﹣24cosα=﹣24sinα，即tanα=1，∴α=（2）=（3cosα﹣4，3sinα），=（3cosα，3sinα﹣4），，可得：9cos2α﹣12cosα+9sin2α﹣12sinα=0，sinα+cosα=．∴1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα===2sinαcosα=22．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的最值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由最低点求出A，利用周期求出ω，图象上一个最低点为．代入函数解析式求出φ，然后求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，，然后求出求f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）由最低点为由由点在图象上得即所以故又，所以所以（Ⅱ）因为，可得所以当时，即x=0时，f（x）取得最小值1；当，即时，f（x）取得最大值；2016年10月1日。
安徽省宿州市十三所重点中学第一学期期末质量检测高一数学试题(精品解析)【精编】.doc
宿州市十三所重点中学2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一数学试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.设集合,，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再由集合,即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以. 【点睛】本题主要考查集合的混合运算，属于基础题型.2.设角的终边过点，则的值是（）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】A【解析】由题意，，.故选A.3.等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选4.扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意可得圆心角，半径，所以弧长,故扇形面积为.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题型.5.已知，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据投影的定义，结合向量夹角公式即可求出结果.【详解】因为，所以向量在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题型.6.函数与直线相邻两个交点之间距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据确定函数与直线相邻两个交点之间距离为半个周期，从而可求出结果. 【详解】因为函数的最小正周期为，由可得所以函数与直线相邻两个交点之间距离为函数的半个周期，即.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.7.函数的最小值和最大值分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：因为，所以当时，；当时，，故选C．考点：三角函数的恒等变换及应用．8.已知为坐标原点，点在第二象限内，，且，设，则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由题意设C点坐标，利用向量的坐标表示表示出代入即可求出结果. 【详解】由题意可设：)，则；又因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题型.9.已知定义在上的奇函数在上递减,且,则满足的的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，，∴.∵f(x)是定义在R上的奇函数，且在递减，∴函数f(x)在R上递减，∴，解得0＜x＜2.10.设偶函数的部分图象如图所示,为等腰直角三角形,,则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数的图像，利用N以及，求出A和函数的周期，确定的值，利用函数是偶函数求出，即可求出结果.【详解】由题意可得，所以，所以，所以，又因为偶函数，所以,因为，所以，所以，因此.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.11.定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由偶函数，其图像关于点对称，可得，进而可推出最小正周期为2，所以，代入题中所给解析式即可求出结果.【详解】因为图像关于点对称，所以，所以，又为偶函数，所以，所以，所以函数最小正周期为2，所以.【点睛】本题主要考查根据函数的对称性和奇偶性求函数的值，属于基础题型.12.已知,函数在区间上恰有9个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D. (0,20)【答案】A【解析】【分析】由题意可得,且，由此即可求出的取值范围。
2019-2020学年安徽省宿州市十三所重点中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省宿州市十三所重点中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．映射f: A→B ，在f 作用下A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是( ) A ．()1,2- B ．()0,3C ．()1,2D ．()1,3-【答案】C 【解析】【详解】101312x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩，选C. 2．函数y=13x 的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】y=13x 过点(1,1)和点(8,2),由过点(8,2)可知此时函数y=13x 在直线y=x 下方.故选B.3．已知{}1,A x x k x N =-<<∈，若集合A 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,3 B ．[)2,3C ．(]2,3D ．[]2,3【答案】C【解析】由x ∈N ，可以确定集合A 中的元素，进而可以求出k 的取值范围． 【详解】解：因为{}1,A x x k x N =-<<∈，且集合A 中恰有3个元素， 所以集合{0,1,2}A =，所以23k <≤， 故选：C ．本题主要考查由集合中的元素个数求参数的取值范围，属于基础题． 4．下列表示错误的是（ ） A ．{}∅⊆∅ B ．{}{}{}{}10,1∈C ．A A ⋃∅=D ．R C Q =无理数【答案】D【解析】根据空集是任何集合的子集来判断选项A ，根据元素与集合的关系来判断选项B ，根据并集的定义来判断选项C ，根据集合的表示方法来判断选项D ． 【详解】解：空集是任何集合的子集，∴{}∅⊆∅正确； 显然{}1是集合{}{}{}0,1的元素，∴{}{}{}{}10,1∈正确；根据并集的定义，A A ⋃∅=正确；R C Q 表示无理数集，无理数不是无理数集，∴R C Q =无理数错误．故选：D ． 【点睛】本题考查了空集是任何集合的子集，元素与集合的关系，并集的定义及运算，补集的运算，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．5．已知集合{|12}A x x =<<，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B A =，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1)C ．(－1，＋∞)D ．[－1，＋∞)【答案】A【解析】根据指数函数的性质求出集合B ，根据交集的运算和条件求出实数a 的取值范围． 【详解】解：由22a a x --<得a a x <--，解得2x a <-， 所以{|2}B x x a =<-， ∵AB A =，∴A B ⊆， ∴22a -≥， 解得1a ≤-， 故选：A ．本题考查指数函数的性质，以及交集的运算，属于基础题． 6．若函数()1y f x =+的定义域是[]1,1-，则函数()()2f x g x x=的定义域是( ) A ．11[,]22- B ．11[,0)(0,]22-C ．[0,1)(1,4]D ．(0,1]【答案】D【解析】由函数()1y f x =+的定义域求出函数()f x 的定义域，再求函数()g x 的定义域． 【详解】解：解：由函数()1y f x =+的定义域是[]1,1-， 得11x -≤≤， 所以012x ≤+≤，所以函数()f x 的定义域为[0,2]， 函数()()2f x g x x=中， 令0220x x ≤≤⎧⎨≠⎩，解得01x <≤，所以函数()g x 的定义域是(0,1]． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抽象函数的定义域求法与应用问题，是基础题． 7．设554log 4,log 3,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用对数函数的单调性，并判断出与0，1 的大小关系，即可得出． 【详解】因为5log y x =在定义域内是单调递增函数，555440log 3log 4log 51,1og 5log 41b a c ∴<=<=<==>=，b ac ∴<<.【点睛】本题考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题． 8．设25a b ==m ，且111a b+=，则m 等于( )A ．B ．10C ．20D ．100【答案】B【解析】求出,a b ，代入111a b+=，根据对数的运算性质求出m 的值即可． 【详解】由25a b m ==得25log ,log a m b m ==，所以112510m m m a b+=+=log log log ， 因为111a b+=，所以log 101m =， 所以10m =， 故选：B ． 【点睛】本题考查指数式对数式的互化，考查对数的运算性质，是一道基础题． 9．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.10．若函数1x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第一象限，则有（ ） A ．1a >且0b ≤ B ．1a >且1b ≤ C ．01a <<且0b ≤ D ．01a <<且1b ≤【答案】C【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数xy a =单调递减，即01a <<，且当0x =时，010a b +-≤，求解不等式可得：0b ≤， 综上可得：01a <<且0b ≤. 本题选择C 选项.11．已知函数242,1()1log ,1x a x f x a x x +-<⎧=⎨+≥⎩，若()f x 的值域为(,)-∞+∞，则实数a ( ) A ．2 B ．(－∞，2]C ．(－∞，2)D ．(0,2]【答案】D【解析】通过a 与0的大小讨论，利用分段函数的单调性转化求解即可． 【详解】 当0a >时，若1x ≥时，2()1log 1f x a x =+≥；若1x <时，()42f x x a =+-的最大值(1)1421f a =+-≥，才能满足()f x 的值域为(,)-∞+∞，解得(0,2]a ∈；当0a ≤时，若1x ≥时，2()1log 1f x a x =+≤；若1x <时，()42(1)142f f a x x a =+-≤=+-，不符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力． 12．当(,1]x ∈-∞-时，不等式23(2)420x x m m --+--<恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．(1C ．[1D ．[－2,4]【答案】A【解析】推出m 在一侧的不等式，构造函数，利用函数的单调性，转化求解实数m 的取值范围． 【详解】 解：23(2)420x x m m --+--<，即2(2)428xx m m -<， 等式两边同乘4x 得：2282x m m -<⋅， ∵函数2x y =在(,1]-∞-上是增函数，102x ∴<≤，当(,1]x ∈-∞-时，2282x m m -<⋅恒成立等价于22002m m m -≤⇒≤≤， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数恒成立条件的应用，函数的单调性求解函数的最值的方法，是中档题．二、填空题13．函数2()lg(21)f x x =+的值域为_________ 【答案】[0,)+∞【解析】先求出221x +的值域，进而求出2()lg(21)f x x =+的值域． 【详解】 解：2211x +≥，2lg(21)lg10x ∴+≥=，函数2()lg(21)f x x =+的值域为[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞． 【点睛】本题考查简单复合函数的值域的求法，先求内层函数的值域，将内层函数的值域作为外层函数的定义域，求外层函数的值域，是基础题．14．计算2355log 9log 42log 10log 0.25⨯++= _________ 【答案】6【解析】利用对数的运算性质及换底公式进行计算即可． 【详解】解：原式()()2235521og 321og 2log 100.254log 256=⨯+⨯=+=，故答案为：6． 【点睛】本题考查对数的运算及换底公式，其中公式log log ma ab m b =以及log log 1a b b a ⋅=的应用是关键，是基础题．15．已知函数()f x =(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是【答案】()(],00,1a ∈-∞⋃【解析】对a 等于零，大于零，小于零分类讨论，利用函数的单调性、定义域和值域，求出实数a 的取值范围． 【详解】当0a =时，()0f x =不符合题意；当0a >时，符合题意，又101a a -≥⇒≤，故(]0,1a ∈； 当0a <时，符合题意； 综上()(],00,1a ∈-∞⋃． 故答案为：()(],00,1a ∈-∞⋃． 【点睛】本题主要考查函数的单调性、定义域和值域，要特别注意定义域，我们研究函数的一切性质，都是在函数的定义域下完成的，属于中档题．16．对于给定的函数()f x (,0,1),x x a a x R a a -=-∈>≠下列正确的是________．(只需写出所有正确的编号)①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 在R 上不具有单调性； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称； ④当1a >时，函数()f x 的最大值是0； ⑤当01a <<时，函数()f x 的最大值是0. 【答案】①③⑤【解析】①判断()f x 的奇偶性；②分别讨论1a >，01a <<时()f x 的单调性； ③判断()f x 的奇偶性；④讨论1a >时()f x 在(,0)-∞和[0,)+∞上的单调性； ⑤讨论01a <<时()f x 在(,0)-∞和[0,)+∞上的单调性． 【详解】解：∵()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，()f x 的图象关于原点对称，①真；当1a >时，()f x 在R 上为增函数，当01a <<时，()f x 在R 上为减函数，②假；()y f x =是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当1a >时，()y f x =在(,0)-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数，∴当0x =时，()y f x =的最小值为0，④假；当01a <<时，()y f x =在(,0)-∞上为增函数，在[0,)+∞上为减函数，∴当0x =时，()y f x =的最大值为0，⑤真，综上，正确的是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是中档题．三、解答题17．已知集合{|1A x x =<-或}2x > ，{|213}B x p x p =-<<+,若A B B =，求实数p 的取值范围． 【答案】4p ≤-或32p ≥ 【解析】根据A B B =可得出B A ⊆，从而可讨论B 是否为空集列不等式，解出p 的范围即可． 【详解】 解：A B B =，B A ∴⊆，当B =∅时， 213,4p p p -≥+≥；当B ≠∅时，21331p p p -<+⎧⎨+≤-⎩或213212p p p -<+⎧⎨-≥⎩，4p ∴≤-或342p ≤<， 综上所述：4p ≤-或32p ≥． 【点睛】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集和空集的定义，考查了计算能力，18．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）2a =；（2）2【解析】（1）直接由(1)=2f 求得a 的值；（2）由对数的真数大于0求得()f x 的定义域，判定()f x 在(1,3)-上的增减性，求出()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，即得值域．【详解】解：(1)∵(1)=2f ，∴(1)log 2log 2log 42a a a f =+==， ∴2a =； (2)由1030x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-，∴函数()f x 的定义域为(1,3)-，22222()log (1)log (3)log (1)(3)]log [[(1)4]f x x x x x x =++-=+---+=，∴当(0,1)x ∈时，()f x 是增函数；当3(1,)2x ∈时，()f x 是减函数， ∴函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2(1)log 42f ==．【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．19．已知函数()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.【解析】（1）利用奇函数的定义，由0x >时的解析式得0x <时，()()f x f x =--对应的解析式，即求出实数m 的值；（2）由（1）知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以121a -<-≤，得实数的取值范围. 【详解】（1）设0x <，则0x ->，22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---+-=+，所以2m =.（2）由()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩，知()f x 在区间[1,1]-上单调递增，所以121a -<-≤，解得13a <?. 【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题. 20．已知函数()1f x -，()g x ax =. （1）求证：()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若存在[]1,4x ∈，使()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a < 【解析】（1）由条件易知()1f x =，由定义可按照取值，作差变形，判定符号，下结论几个步骤证明单调性，其中变形可用分子有理化的方法进行；（2）存在[]1,4x ∈，使()()f x g x >成立，即2a <成立，故2max a ⎛⎫<+⎪⎪⎭即可． 【详解】解：（1）由已知得()1f x =+，令120x x >>，则()()12f x f x -==，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，故()f x 在()0,∞+上单调递增；(2)由[]1,4x ∈()()2f x g x a >⇒<+， ∴存在[]1,4x ∈，2a <+成立，故2max a ⎛⎫<+⎪⎪⎭，221124⎫+=+-⎪⎭，1[1,4],12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1=时，2max 2⎛⎫+=⎪⎪⎭， 故2a < .【点睛】本题考查了函数的单调性定义和存在性问题，考查了分子有理化的变形方法，分离参数法把存在性问题转化为最值问题，属于中档题．21．经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格（单位：元）均为销售时间t （天）的函数，且销售量（单位：件）近似地满足()2200(150,)f t t t t N =-+≤≤∈前30天价格（单位：元）为1()30(130,)2g t t t t N =+≤≤∈，后20天价格（单位：元）为()40(3150,)g t t t N =≤≤∈，（1）写出该种商品的日销售额S （元）与时间t （天）的函数关系；（2）求日销售额S 的最大值．【答案】（1）2406000,130,808000,3150,t t t t N S t t t N ⎧-++∈=⎨-+∈⎩剟剟；（2）最大值为6400元 【解析】（1）通过天数，直接写出该种商品的日销售额S （元）与时间t （天）的函数关系；（2）利用分段函数结合一次函数以及二次函数的性质求解函数的最值即可．【详解】（1）根据题意，得S =1(2200)30,130,240(2200),3150,t t t t N t t t N ⎧⎛⎫-++∈⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-+∈⎩剟剟 =2406000,130,808000,3150,t t t t N t t t N ⎧-++∈⎨-+∈⎩剟剟 ； （2）当130,t t N ≤≤∈时，2(20)6400S t =--+，当20t =时，S 有最大值，为6400；当3150,t t N ≤≤∈时，808000S t =-+为减函数，当31t =时，S 有最大值，为5520；∴当销售时间为20天时，日销售额S 有最大值，最大值为6400元．【点睛】本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力． 22．已知函数()()243,2 1.f x x x g x ax a =-+=-+ （1）若对任意1[1,4]x ∈，总有[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）定义区间[],m n 的长度为n m -，若函数()[]()1,y f x x t =∈的值域区间长度为D ，是否存在常数t ，使得区间D 的长度为52t -？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）(][),22,a ∈-∞-⋃+∞；（2）存在实数2t =，理由见解析【解析】（1）问题转化为()f x 的值域为()g x 的值域的子集，分别求出()f x 和()g x 的值域，求出a 的范围即可；（2）通过讨论讨论t 的范围，求出()f x 在[,4]t 的最大值和最小值，求出t 的值即可．【详解】解：（1）由题知当[]1,4x ∈，{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，当[]1,4x ∈，()[]1,3f x ∈-；当0a =时，()1g x =时不符合题意；当0a >时，()[]1,12g x a a ∈-+，要使[][]111,31,122123a a a a a -≤-⎧-⊆-+⇔⇒≥⎨+≥⎩；当0a <时，()[]12,1g x a a ∈+-，要使[][]1211,312,1213a a a a a +≤-⎧-⊆+-⇔⇒≤-⎨-≥⎩； 综上(][),22,a ∈-∞-⋃+∞ ；（2）由题意知1515202t t t >⎧⇒<<⎨->⎩, 当12t <<时，在[]1,t 上，()1f 最大，()f t 最小，故()()1522f f t t t -=-⇒=或4，不符合题意舍去； 当522t ≤<时，在[]1,t 上，()1f 最大，()2f 最小， 故()()12522f f t t -=-⇒=，符合题意.综上，存在实数2t =满足题意.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题．。
吉林省舒兰市第一中学2017-2018学年高一年级下学期期中考试数学试题 Word版含答案
2017-2018学年度第二学期中联考试题高一数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （ ）A. 输出a=10B. 赋值a=10C. 判断a=10D. 输入a=1 2. 错误！未找到引用源。
的值为 （ ）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D 错误！未找到引用源。
3. 一个扇形的圆心角为︒120，半径为3，则此扇形的面积为 （ ） A. πB.45πC. 33π D.2932π 4．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数是 （ ）A ．15,16,19B ．15,17,18C ．14,17,19D ．14,16,205.某射手一次射击中，击中错误！未找到引用源。
环、错误！未找到引用源。
环、错误！未找到引用源。
环的概率分别是错误！未找到引用源。
，则这射手在一次射击中不够错误！未找到引用源。
环的概率是（ ）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
6.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．37.将二进制数10001(2)化为十进制数为 （ ）A ．17B ．18C ．16D ．198．设角θ的终边经过点P （-3，4），那么sin θ+2cos θ= （ ） A ．错误！未找到引用源。
深圳市高级中学2017-2018学年高一下学期期中考试+数学(理)+Word版含答案
深圳高级中学（集团）2017--2018学年第二学期期中考试高一数学（理科）命题人：彭仕主审题人：李媛雪本试卷由两部分组成。
第一部分：高一数学第一学期期末前的基础知识和能力考查，共44 分； 选择题包含第1题.第7题.第9题.共20分 填空题没有，共0分解答题包含第19题.第22题，共24分第二部分：高一数学第一学期期末后的基础知识和能力考查，共 106分 选择题包含第2题.第3题.第5题.第6题.第8题，第10题.第10题.第12题，共40分填空题包含第13题.第14题.第15题，第16题，共20分 解答题包含第17题.第18题.第20题.第21题，共46分 全卷共计150分。
考试时间120分钟.一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2210,10A x x B x x =-≥=-≤，则A B ⋂= A. {}1x x ≥- B. {}1x x ≥ C. 112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D. 112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭2. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()3sin 5πα+=-，则tan α=A. 34-B. 43C. 34D. 43-3.若(1,3),(2,4),a b ==-则在方向上的投影是 A. B. C.D.4. 在ABC ∆中，,4ABC π∠=2,3,AB BC ==则sin BAC ∠＝ A ．1010B ．105C ．31010D ．555. 设，则A. B.C.D.6. 如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m的值为 A. 1 B. 19 C. 13D. 37.已知两点()()0,3,4,0,A B -若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则ABP ∆面积的最小值为A ．6 B.112C ．8 D.2128.若为第一象限角，且，则的值为A. 75- B.75 C.13 D. 73-9.已知四棱锥ABCD P -的三视图如图，则四棱锥ABCD P -的全面积为A ．52+B ．53+C ．5D ．410.已知两个单位向量,a b 的夹角为120k R ︒∈，，则a kb -的最小值为A.34 B. 32C. 1D. 3211.同时满足下列三个条件的函数为⎝⎭120,AB =2DC BD =，D 是边AD BC ⋅＝__________已知sin 6x π⎛+ ⎝53x ππ⎛⎫-=⎪⎭___________函数()sin f x =，如下结论中正确的是__________结论的编号）.①图象C 关于直线②图象C 关于点③()f x 在区间三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（本小题满分10()cos 2πα-=（本小题满分12分）设两个向量a b 、，满足2a =，1b =. ()()21a b a b +⋅-=，求a b 、的夹角；）若a b 、夹角为60°，向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，求实数（本小题满分12分）已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M N 、045,2,1AB AD ===.）求证：//MN 平面PAD ； ）求证：MN ⊥面PCD ；PC 与面PAD 所成角大小的正弦值. （本小题满分12分）)()sin x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示．）求函数()f x 的解析式； ）若将()f x 的图象向右平移π6个单位，再将所得图象的横坐标伸长到原来的标不变，得到()g x 的图象，求不等式()1g x ≥的解集．（本小题满分12分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.A3.C4.C5.A6.B7.B8.B9.B 10.B 11.D 12.D二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.-4 14.83-1915.1616.①②③ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（1）已知得4cos 5α=-，且为第三象限角,所以33sin ,cos sin 525πααα⎛⎫=-∴+=-= ⎪⎝⎭（2）()()tan sin cos 339tan sin sin tan cos 5420f f αααααααααα-⋅⋅==⋅=-∴=∴=--18.（1）由()()21a b a b +⋅-=得，2221a a b b +⋅-=， 又24a =，21b =， ∴1a b ⋅=-∴1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅，又0,180a b ︒≤≤︒，∴a b 、的夹角为120°.（2）由已知得21cos601a b ⋅=⨯⨯︒=.∴()()()2227227ta b a tb ta t a b +⋅+=++⋅2272157tb t t +=++， ∵向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角∴221570t t ++<，解得172t -<<-. 设()()27,0ta b a tb λλ+=+<. ∴2{7t t λλ==，解得227t =.∴当142t =-时，14λ=-. 即142t =-时，向量27ta b +与a tb +的夹角为180°.7ta b +与a tb +的夹角为钝角时，中点为E ，易得EN 平行且等于）证明：如图，取PD 的中点E ////CD AM ，且12EN =AMNE 是平行四边形./AE .平面PAD ，MN ⊄平面/平面PAD ；）证明：∵PA ⊥平面,ABCD ,CD PA AD ⊥，,AD PA AD A ⋂=， 平面PAD ，⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥045PDA =，E 为PD 中点，PD ，又∵PD CD D ⋂=平面PCD . /AE ，平面PCD .易得CPD ∠即为PC 与面PAD 所成角大小的正弦值为63； ）由图可知，2A =，34T ，2π2πω==． 0⎫⎪⎭，代入()(2sin 2f x =ππ6=∴()f x =()2sin g x x ⎛=-⎝为负，因此()()120f x f x -<，即，()()12f x f x <， 所以，函数()f x 在()1,+∞上单调递增。
安徽省宿州市十三所重点中学2020至2021学年高一下学期期中考试数学试题
宿州市十三所重点中学2020-2021学年度高一下学期期中考试数学试题（满分150分，时间120分钟）一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的.)1．已知数列,56,45,34,23那么它的一个通项公式是( )A.nnan1+= B.1-=nnanC.12++=nnanD.23++=nnan2．在ABC∆中，cba,,分别为内角CBA,,的对边，若bBaA cossin=，则B的值为（）A.30B．45 C．60 D．904．若数列{}n a满足112,0;2121, 1.2n nnn na aaa a+⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a=，则20a的值为（）A.67B.57C.37D.17【答案】B【解析】解：因为167a=，112,0;2121, 1.2n nnn na aaa a+⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，利用递推关系，我们依次得到该数列是个周期为3的数列，那么利用20a就是第二项257=a5．若二次不等式062>++bxxa的解集是=<<-baxx则,}32|{（）A. -1B.1C.6D.-66．在△ABC中，cba,,分别为内角CBA,,的对边，已知25=a，10=c，A =30，则角B等于( )A.105 B.60 C.15 D.105或157．若实数yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-1xyxyx,则yx+2的最小值是（）A．-1 B.21- C.0 D. 28．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若OCaOAaOB2001+=，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则200S等于( )A.100B.200C.101D.2019．已知2,0,0=+>>b a b a ，则ba y 41+=的最小值是（ ）A ．27B ．4C ． 29D ．510．设1＝≤≤21a a …7a ≤，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 33D. 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题(本大题共5小题 , 每小题5分，共25分)11．若△ABC 的三个内角满足8:7:5sin :sin sin =C B A ：，则△ABC 的最大内角的余弦值为 .12．不等式054≤-+x x 的解集为 .13．已知数列{}n a 中，141,21211-+==+n a a a n n ，则7a =_____________.14. 王明的爸爸开车以80km/h 的速度沿着正北方向行驶，王明坐在车里向外观察，在点A 处望见电视塔P 在北偏东300方向上，15分钟后到点B 处望见电视塔P 在北偏东750方向上，则汽车在点B 时与电视塔P 的距离是 km ．15．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且576S S S >>，有下列四个命题： (1)0<d ；(2)011>S ；(3)012<S ；(4)数列{}n S 中的最大项为11S ．其中正确命题的序号是________．三．解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分) 在△ABC 中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为153，求边b 的长．【解析】本试题主要考查了解三角形的运用，求解三角形的边长和面积的运算。
安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(图片版)
宿州市十三所重点中学2020-2021学年度第二学期期末质量检测数学试卷答案一、 选择题： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B A C D C A C D A C二、 填空题：13.− √13 14.12 15.32π3 16.√7−1三、 解答题：17.解：(1)当时，即或时，复数z 为实数；………………………5分(2)若z 为纯虚数，则，解得，，即时，复数z 为纯虚数； ………………………10分18.解：如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ， 则C 1E//O 1O ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高， 由题意知∠C 1CO =45°，∵正四棱台两底面边长分别为2和4，∴C 1E =CE =CO −EO =CO −C 1O 1=2√2−√2=√2，∴ 正四棱台的高为√2 …………………6分又EF =CE ⋅sin45°=√2×√22=1， ∴斜高C 1F =√C 1E 2+EF 2=√(√2)2+12=√3，∴S 侧=12×(2+4)×√3×4=12√3．S 表=12√3+2×2+4×4=12√3+20 ……………………………12分19.解：(1)根据函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得34⋅2πω=13π12−π3，求得ω=2，∴最小正周期T=2π2=π，再根据五点法作图可得2·π3+φ=π，∴φ=π3;∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π3)……………………………6分(2)∵x∈(−π4,π4]，∴2x+π3∈(−π6,5π6]∴sin(2x+π3)∈(−12,1]，函数f(x)在区间(−π4,π4]上的值域(−12,1]……………………………12分20.证明：(1)连BD，与AC交于O，连接EO，∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是PA的中点，∴EO//PC，又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC//平面EBD；……………………………6分(2)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PD，∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，又∵PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD,又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD……………………………12分21.解：(1)由√3(c−acosB)=bsinA．得√3(sinC−sinAcosB)=sinBsinA．√3sin (A+B)−√3sinAcosB=sinBsinA √3sinAcosB+√3cosAsinB−√3sinAcosB=sinBsinA√3cosAsinB=sinBsinA∵B是△ABC的内角∴sinB≠0∴√3cosA=sinA即tanA=√3∵0<A<π，∴A=π3．……………………………5分(2)因为asinA =bsinB=csinC=2R，且a=2，A=π3，所以b=4√33sinB，c=4√33sinC．所以a+b+c=2+4√33(sinB+sinC)=2+4√33[sinB+sin(2π3−B)]=2+4sin(B+π6)．∵ △ABC为锐角三角形，∴0<B<π2且0<2π3−B<π2∴π6<B<π2∴B+π6∈(π3,2π3)∴sin(B+π6)∈(√32,1]∴2+4sin(B+π6)∈(2+2√3，6]即a+b+c∈(2+2√3，6]故△ABC周长为(2+2√3，6]……………………………12分22.证明：(1)连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F//AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.A1E∩A1F=A1,所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．……………………………6分(2)取BC中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A 1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由(1)得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的投影在直线A1G上．连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2√3，EG=√3．由于O为A1G的中点，故E O=OG=A1G2=√152，所以cos∠EOG=EO2+OG2−EG22EO·OG =35．因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35．……………………………12分。
江苏省无锡市江阴市青阳中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一（下）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．直线x+y+1=0的倾斜角是．2．在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为．3．数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n（n∈N*），则a4=．4．若点（1，3）和（﹣4，﹣2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是．5．在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则实数m=．6．数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n=．7．若数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n+1n，S n是其前n项的和，则S100=．8．已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．10．若公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，等差数列{b n}满足b7=a7，则b1+b2…+b13的值为．11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为．12．△ABC中，若sin（π﹣A）=，tan（π+B）=，则cosC=．13．对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．14．设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设不等式x2≤5x﹣4的解集为A．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）设关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a≤0的解集为M，若M⊆A，求实数a的取值范围．16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2+bc=b2+c2（1）求∠A的大小；（2）若b=2，a=，求边c的大小；（3）若a=，求△ABC面积的最大值．17．已知直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点为A（1）若直线l3：（a2﹣1）x+ay﹣1=0与l1平行，求实数a的值；（2）求经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=n（3﹣b n），求数列{c n}的前n项和为T n．19．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．20．已知数列{a n}满足a n+1=a n+t，a1=（t为常数，且t≠）．（1）证明：{a n﹣2t}为等比数列；（2）当t=﹣时，求数列{a n}的前几项和最大？（3）当t=0时，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．直线x+y+1=0的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】利用倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：设直线x+y+1=0的倾斜角为θ，（θ∈[0，π）），∵tanθ=﹣，∴．故答案为：．2．在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理即可求值．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，∴由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=9+4﹣2×3×2×cos60°=7．∴BC=．故答案为：．3．数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n（n∈N*），则a4=．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由题设条件，利用公式求解即可．【解答】解：∵前n项和，∴a4=S4﹣S3=（2×16﹣3×4）﹣（2×9﹣3×3）=20﹣9=11．故答案为：11．4．若点（1，3）和（﹣4，﹣2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是﹣5＜m ＜10．【考点】简单线性规划．【分析】将点（1，3）和（﹣4，﹣2）的坐标代入直线方程，使它们异号，建立不等关系，求出参数m即可．【解答】解：将点（1，3）和（﹣4，﹣2）的坐标代入直线方程，可得两个代数式，∵在直线2x+y+m=0的两侧∴（5+m）（﹣10+m）＜0解得：﹣5＜m＜10，故答案为﹣5＜m＜10．5．在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则实数m=﹣．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直⇔am+bn=0解得即可．【解答】解：直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直⇔m+2（m+1）=0⇔m=﹣．故答案为：．6．数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n=．【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【分析】根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．【解答】解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：7．若数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n+1n，S n是其前n项的和，则S100=﹣50．【考点】数列递推式．+a2k=（2k﹣1）﹣（2k）=﹣1．利用分组求和方法即可【分析】a n=（﹣1）n+1n，可得a2k﹣1得出．【解答】解：∵a n=（﹣1）n+1n，∴a2k+a2k=（2k﹣1）﹣（2k）=﹣1．﹣1则S100=（a1+a2）+…+（a99+a100）=﹣1×50=﹣50．故答案为：﹣50．8．已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为16．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质，有2x+4y≥2=2，将已知条件x+2y=6代入可得答案．【解答】解：根据基本不等式的性质，有2x+4y≥2=2=2=16，当且仅当2x=4y即x=2y=3时取等号，∴2x+4y的最小值为16．故答案为：16．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．【考点】解三角形．【分析】根据正弦定理化简，得到a与c的关系式，由余弦定理表示出b2，把b和cosB以及a与c的关系式的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c 的值，进而得到a的值，利用三角形的面积公式，由a，c和sinB的值，即可求出△ABC的面积．【解答】解：由，根据正弦定理得：a=c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=4c2﹣3c2=c2，解得c=2，所以a=2，则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×=．故答案为：10．若公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，等差数列{b n}满足b7=a7，则b1+b2…+b13的值为26．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和对数的运算可得a7，再由等差数列的性质可得答案．【解答】解：∵公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，∴log2（a1•a2…a13）=log2（a7）13=13•log2a7=13，解得a7=2，∴b7=a7=2，由等差数列的性质可得b1+b2…+b13=13b7=26故答案为：2611．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为．【考点】简单线性规划的应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=．故答案为：．12．△ABC中，若sin（π﹣A）=，tan（π+B）=，则cosC=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由同角三角函数的基本关系可sinA和cosA，sinB和cosB，而cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB，代值计算可得．【解答】解：由题意可得sin（π﹣A）=sinA=，∴cosA=±=±，又可得tan（π+B）=tanB=∴sinB=，cosB=．当cosA=时，cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=﹣=当cosA=﹣时，A∈（，π），由tanB=＞1可得B∈（，），此时两角之和就大于π了，应舍去，故答案为：13．对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．【考点】数列递推式．【分析】根据“光阴”值的定义，及，可得a1+2a2+…+na n=，再写一式，两式相减，即可得到结论．【解答】解：∵∴a1+2a2+…+na n=∵∴a1+2a2+…+na n=①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n=②﹣1①﹣②得﹣=∴故答案为：14．设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=4．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【分析】首先用公比q和a1分别表示出S n和S2n，代入T n易得到T n的表达式．再根据基本不等式得出n0【解答】解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值．故答案为：4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设不等式x2≤5x﹣4的解集为A．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）设关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a≤0的解集为M，若M⊆A，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．【分析】（I）求出不等式x2≤5x﹣4的解集确定出集合A，（II）若B⊆A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．【解答】解：（Ⅰ）原不等式即为x2﹣5x+4=（x﹣1）（x﹣4）≤0，所以1≤x≤4所以不等式的解集A={x|1≤x≤4}（Ⅱ）不等式等价于（x﹣a）（x﹣2）≤0若a＜2，则M=[a，2]，要M⊆A，只需1≤a＜2若a＞2，则M=[2，a]，要M⊆A，只需2＜a≤4若a=2，则M=2，符合M⊆A综上所述，a的取值范围为[1，4]．16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2+bc=b2+c2（1）求∠A的大小；（2）若b=2，a=，求边c的大小；（3）若a=，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及余弦定理可得cosA===，即可解得A．（2）由（1）及余弦定理即可得解．（3）由余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，从而解得bc≤3，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵a2+bc=b2+c2，∴cosA===，∴A=．（2）∵由（1）可得：==，整理可得：c2﹣2c+1=0，∴解得：c=1（3）∵a=，A=．∴由余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，解得：bc≤3，∴≤=．17．已知直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点为A（1）若直线l3：（a2﹣1）x+ay﹣1=0与l1平行，求实数a的值；（2）求经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的截距式方程．【分析】（1）利用直线平行求出a，然后验证即可．（2）求出A的坐标，设出方程，求出截距，化简求解即可．【解答】解：（1）……当a=2时，l3：3x+2y﹣1=0，与l1重合，不合题意，舍去∴…（多一解扣1分）（2）…由题知直线l的斜率存在且不为0，设l方程为y﹣2=k（x+1）…∴解得k=﹣1或k=﹣2…∴l的方程为y=﹣x+1或y=﹣2x…（用截距式做漏解扣3分）18．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=n（3﹣b n），求数列{c n}的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用数列中a n与Sn关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n=．利用累加法求b n（3）由上求出c n=n （3﹣b n）=，利用错位相消法求和即可．【解答】解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．因为S n=2﹣a n，即a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0，即a n+1﹣a n+a n+1=0，故有2a n+1=a n．因为a n≠0，所以=（n∈N*）．所以数列{a n}是首项a1=1，公比为的等比数列，a n=（n∈N*）．（2）因为b n+1=b n+a n（n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n=．从而有b2﹣b1=1，b3=（n=2，3，…）．﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n﹣1将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（n=1，2，3，…）．19．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=，tanβ=，则tanθ=tan（α﹣β）==（x＞0），令u=，则ux2﹣2x+1.25u=0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max=，∵正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x==，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ===，即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2=﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．20．已知数列{a n}满足a n+1=a n+t，a1=（t为常数，且t≠）．（1）证明：{a n﹣2t}为等比数列；（2）当t=﹣时，求数列{a n}的前几项和最大？（3）当t=0时，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】（1）由已知得，由此能证明{a n﹣2t}是以为首项，以为公比的等比数列．（2）当t=﹣时，{a n+}是以为首项，以为公比的等比数列，求出，由此能求出数列{a n}的前几项和最大．（3）当t=0时，a n=，c n=4a n+1=+1，从而T n=4+n﹣，由不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，得到3k≥对任意的n∈N*恒成立，由此能求出实数k的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a n+1=a n+t，a1=（t为常数，且t≠），∴，∴=，又a1﹣2t=，∴{a n﹣2t}是以为首项，以为公比的等比数列．解：（2）当t=﹣时，{a n+}是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴，由≥0，解得n≤2．∴数列{a n}的前2项和最大．（3）当t=0时，∴{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n=，c n=4a n+1=+1，∴数列{c n}的前n项和：T n==4+n﹣，∵不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，∴3k≥对任意的n∈N*恒成立，设，由d n+1﹣d n==，∴当n≤4时，d n+1＞d n，当n≥4时，d n+1＜d n，∵，∴3k，解得k．∴实数k的取值范围是[）．2018年7月23日。
2019-2020学年安徽省宿州市十三所重点中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年安徽省宿州市十三所重点中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知在映射f 下，(x,y)的象是(x +y,x −y)，其中x ∈R ，y ∈R.则元素(3,1)的原象为( )A. (1,2)B. (2,1)C. (−1,2)D. (−2,−1)2. 函数y =√x 的图象可能是( )A. B.C. D.3. 已知集合A ={x|−2<x ≤1,x ∈Z}，则集合A 中元素的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3 4. 下列各式：①{a}⊆{a}；②Ø⊊{0}；③0⊆{0}；④{1,3}⊊{3,4}，其中正确的有( ) A. ② B. ①② C. ①②③D. ①③④ 5. 已知集合A ={x|3a ≤x ≤3a +1}，B ={x|127<(13)12x+1<13}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( ) A. (−2,0) B. (0,1) C. [0,1] D. (1,+∞) 6. 已知函数f(2x −1)的定义域为[−1,4]，则函数f(x)的定义域为( ) A. (−3,7]B. [−3,7]C. (0,52]D. [0,52) 7. 满足不等式的所有实数x 的取值范围是( ) A. (−∞,1) B. (1,3)C. (−1,3)D. (−1,1) 8. 已知函数f (x +1)=log 22x 2−x ，若f (a )=b ，则f (4−a )=( )A. bB. 2−bC. −bD. 4−b9. 设m ，n ∈z ，已知函数f(x)=log 2(−|x|+4)的定义域是[m,n]，值域是[0,2]，若函数g(x)=2|x−1|+m +1有唯一的零点，则m +n =( )A. 2B. −1C. 1D. 0 10. 已知函数f(x)=|1−1x |(x >0)，当0<a <b ，若f(a)=f(b)时，则有( )A. ab >1B. ab ≥1C. ab ≥12D. ab >1211. 设函数f(x)={12x −1x ≥01x x <0.，若f(a)>a ，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a <−1C. a >1或a <−1D. a <−2或−1<a <112. 已知定义域为R 的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且x ≥1时，f(x)=2x +√x 2−x +2，若f(log a 2a)<6(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A. (12,1)∪(1,2)B. (0,12)∪(2,+∞)C. (0,12)∪(1,2)D. (12,1)∪(2,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)={2x −1,x ≤11+log 2x,x >1，则函数f(x)的值域为__________． 14.______． 15. 函数y =311−x 的值域是 ____________．16. 函数f(x)=lg x 2+1|x|(x ≠0,x ∈R)，有下列命题：①f(x)的图象关于y 轴对称；②f(x)的最小值是2；③f(x)在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数；④f(x)没有最大值．其中正确命题的序号是______ .(请填上所有正确命题的序号)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x 丨a −1<x <1−a}，B ={x 丨x ≤−1，或x ≥4}，若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=log a (−x 2+2x +3)(a >0且a ≠1)的值域为[−2,+∞)．(1)求实数a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间．19. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)=−x 2+2x ，(1)求函数f(x)在R 上的解析式；(2)若函数f(x)在区间(−1,a −2)上单调递增，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f(x)=x +m x ,f(1)=2．(1)判定函数f(x)在[1,+∞)的单调性，并用定义证明；(2)若a −f(x)<x 在[1,2]有解，求实数a 的取值范围．21. 经市场调查，某商品在过去的30天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：天)的函数，且销售量近似地满足f(t)={10+t,1≤t ≤1540−t,16≤t ≤30(t ∈N)，价格为g(t)=30−t(1≤t ≤30,t ∈N)．(1)求该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t 的函数关系；(2)求t为何值时，日销售额最大？并求出最大值．22.已知函数f(x)=x2−2ax+a．(1)当a=1时，求函数f(x)在[0,3]上的值域；(2)是否存在实数a，使函数f(x)=x2−2ax+a的定义域为[−1,1]，值域为[−2,2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵在映射f 下，(x,y)的象是(x +y,x −y)，∴由{x +y =3x −y =1得{x =2y =1， 即元素(3,1)的原象为(2,1)，故选：B根据映射的定义进行方程关系进行求解即可．本题主要考查映射的应用，根据映射关系建立方程组是解决本题的关键．2.答案：A解析：【分析】利用幂函数的图象和性质判断即可．【解答】解：由y =√x ≥0，排除B ，D ，由y =√x =x 12，12<1，得函数在(0,+∞)上是增函数，但增长缓慢，故只有A 符合．故选A ．3.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的表示法，属于基础题．因为A ={x|−2<x ≤1,x ∈Z}，求出集合A ，数出元素个数即可．【解答】解：依题意，A ={x|−2<x ≤1,x ∈Z}={−1,0，1}，所以集合A 中元素的个数为3，4.答案：B解析：【分析】本题考查集合和它本身的关系，空集和非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义． 根据子集、真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0}，∴③错误；1∉{3,4}，∴{1,3}不是{3,4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选B ．5.答案：B解析：【分析】本题考查根据集合关系求参数范围，首先根据指数不等式求出集合B ，然后根据集合A ⊆B ，借助数轴，列出不等式组，即可求出a 的取值范围．【解答】解：B ={x|127<(13)12x+1<13}={x |0<x <4}， 又因为A ⊆B ，所以{3a >03a +1<4，解得0<a <1， 故选B ．6.答案：B解析：∵函数f(2x −1)的定义域为[−1,4]，即−1≤x ≤4，∴−3≤2x −1≤7，即函数f(x)的定义域为[−3,7].故选：B ．7.答案：D解析：【分析】本题考查了对数函数的性质，根据单调性可得答案．解：由题意可得{x +1>03−x >0x +1<3−x，解得−1<x <1，故选D ．8.答案：B解析：【分析】本题考查对数函数的运算性质，属于基础题．首先由已知求出f(a)，从而得到，再代入f(4−a)得到结果．【解答】 解：已知函数， 令x +1=a,则x =a −1，，，=1−(b −1)=2−b ．故选B ．9.答案：C解析：解：∵f(x)=log 2(−|x|+4)的值域是[0,2]，∴(−|x|+4)∈[1,4]，∴−|x|∈[−3,0]，∴|x|∈[0,3]…①若若关于x 的方程2|x−1|+m +1=0有唯一的实数解，则m =−2，又由函数f(x)=log 2(−|x|+4)的定义域是[m,n]，结合①可得n =3，即：m +n =1，故选C ．由关于x 的方程2|x−1|+m +1=0有唯一的实数解，我们易得m 的值，然后根据函数f(x)=log 2(−|x|+4)的定义域是[m,n]，值域是[0,2]，结合函数f(x)=log 2(−|x|+4)的性质，可求出n 的值，进而得到答案．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x 的方程2|1−x|+m +1=0有唯一的实数解，变形得到关于x 的方程2|1−x|+1=−m 有唯一的实数解，即−m 为函数y =2|1−x|+1的最值，是解答本题的关键．10.答案：A解析：解：∵x >0，当x ≥1时，1−1x ≥0，f(x)=|1−1x |=1−1x ，当x <1时，1−1x <0，f(x)=|1−1x |=1x −1，∴f(x)={1−1x , x ≥11x −1 ,0<x <1． ∴f(x)在(0,1)内递减，在(1,+∞)内递增．由0<a <b ，且f(a)=f(b)⇒0<a <1<b ，∴1a −1=1−1b ，即1a +1b =2，∴2>2√1ab ，解得ab >1， 故选：A ．由题意可得f(x)={1−1x , x ≥11x−1 ,0<x <1，故f(x)在(0,1)内递减，在(1,+∞)内递增．由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得1a +1b =2，再利用基本不等式求得ab >1．本题考查的知识点是带绝对值的函数，基本不等式的应用，其中根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将函数的解析式化为分段函数的形式是解答的关键，属于中档题． 11.答案：B解析：【分析】先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a≥0时，和a<0时两种情况求解，最后取并集．【解答】a−1>a，解得a<−2，当a⩾0时，f(a)=12矛盾，无解当a<0时，f(a)=1a>a，a<−1．综上：a<−1∴实数a的取值范围是(−∞,−1)．故选：B．12.答案：B解析：【分析】由已知可得f(x)关于直线x=1对称，把f(x)的图象左移1个单位，可得偶函数g(x)，判断其单调性，把f(log a2a)<6转化为g(|log a2|)<g(1)求解．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数奇偶性性质的应用，是中档题．【解答】解：由f(2−x)=f(x)，得f(x)关于直线x=1对称，令g(x)=f(x+1)=2x+1+√(x+1)2−(x+1)+2=2x+1+√x2+x+2．则函数g(x)为偶函数，且在(0,+∞)上为增函数，则f(log a2a)<6⇔f(log a2+1)<6⇔g(log a2)<g(1)⇔g(|log a2|)<g(1)⇔|log a2|<1⇔−1<log a2<1．；若0<a<1，则0<a<12若a>1，则a>2．)∪(2,+∞)．∴实数a的取值范围是(0,12故选：B．13.答案：(−1,+∞)解析：【分析】本题考查分段函数的值域，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题．【解答】解：当x≤1时，由−1<f(x)=2x−1≤1；当x>1时，由f(x)=1+log2x>1，所以函数f(x)的值域为(−1,+∞)．故答案为(−1,+∞)．14.答案：3解析：【分析】本题考查了对数的运算，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．【解答】解：原式．故答案为：3．15.答案：(0,1)∪(1,+∞)解析：【分析】本题考查函数单调性及值域问题，属于一般题．【解答】∈(−∞,0)∪(0,+∞)，y=3x单调递增，解：由题得11−x所以y∈(0,1)∪(1,+∞)，故答案为(0,1)∪(1,+∞).16.答案：①④解析：【分析】本题为函数的性质的应用，正确运用函数的性质及图象的关系式解决问题的关键，属基础题． 函数f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，再由函数t(x)=x +1x ,x >0，的单调性可判其他命题．【解答】解：∵函数f(x)=lgx 2+1|x|(x ≠0,x ∈R)，显然f(−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f(x)=lg x 2+1|x|=lg x 2+1x =lg(x +1x )，令t(x)=x +1x ,x >0，则t′(x)=1−1x 2，可知当x ∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x ∈(1,+∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x =1处取到最小值为2．由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③错误，④正确．故答案为：①④．17.答案：解：∵A ={x 丨a −1<x <1−a}，B ={x 丨x ≤−1，或x ≥4}，且A ∩B =⌀， ∴当A =⌀时，则有a −1≥1−a ，即a ≥1，满足题意；当A ≠⌀，可得a −1<1−a ，即a <1时，则有{a −1≥−11−a ≤4， 解得：0≤a <1，综上，a 的范围为a ≥0．解析：根据A ，B ，以及两集合的交集为空集，确定出a 的范围即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．18.答案：解：(1)∵−x 2+2x +3=−(x −1)2+4≤4，而f(x)≥−2，∴0<a <1，且log a 4=−2，解得a =12．(2)由(1)得f(x)=log 12(−x 2+2x +3)， 令−x 2+2x +3>0，解得−1<x <3，又y =−x 2+2x +3在(−1,1]上单调递增，在[1,3)上单调递减，而函数y =log 12x 单调递减， ∴函数f(x)的单调减区间为(−1,1]，单调增区间为[1,3)．解析：本题考查函数的值域，考查复合函数的单调区间，解题的关键是熟练掌握一元二次函数和对数函数的单调性，属于中档题．(1)−x 2+2x +3=−(x −1)2+4≤4，而f(x)≥−2，可得0<a <1，且log a 4=−2，求得a 值；(2)根据复合函数的单调性求得结果，注意函数的定义域．19.答案：解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x 2−2x ，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)=x 2+2x ，则f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0； (2)由(1)的结论，f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0，其递增区间为(−1,1)； 若函数f(x)在区间(−1,a −2)上单调递增，则有−1<a −2≤1，解可得：1<a ≤3，故a 的取值范围为(1,3]．解析：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式可得f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x 2−2x ，结合函数的奇偶性可得f(x)=−f(−x)=x 2+2x ，综合即可得答案；(2)根据题意，由函数的解析式分析f(x)的单调递增区间，结合题意可得−1<a −2≤1，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出函数的解析式．20.答案：解：(1)任取x 1,x 2∈[1,+∞)，且x 1<x 2．∵f(1)=1+m =2，∴m =1，∴f(x)=x +1x ．∵f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1)x 1x 2，其中x 1−x 2<0,x 1x 2>0,x 1x 2−1>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．(2)∵a <x +f(x)=2x +1x ,x ∈(1,+∞)， 设g(x)=2x +1x ,x ∈[1,2]，∴a ≤g(x)在区间[1,2]上的最大值．∵g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)=92，∴实数a 的取值范围是(−∞,92]．解析：本题考查的知识点是函数的单调性、最值和不等式的有解问题，属中档题．(1)由代入法，计算即可得到m =1，再判断函数f(x)在[1,+∞)上是增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号和下结论几个步骤；(2)将已知转化为a <x +f(x)=2x +1x ,x ∈(1,+∞)有解，令g(x)=2x +1x ,x ∈[1,2]需求a ≤g(x)在区间[1,2]上的最大值即可解答． 21.答案：解：(1)当1≤t ≤15时，ℎ(t)=f(t)g(t)=(10+t)(30−t)=−t 2+20t +300， 当16≤t ≤30时，ℎ(t)=f(t)g(t)=(40−t)(30−t)=t 2−70t +1200，∴该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t 的函数关系为ℎ(t)={−t 2+20t +300,1≤t ≤15t 2−70t +1200,16≤t ≤30(t ∈N)； (2)当1≤t ≤15时，ℎ(t)=−t 2+20t +300=−(t −10)2+400，当t =10时，此时最大，最大值为400元，当16≤t ≤30时，ℎ(t)=t 2−70t +1200=(t −35)2+25，其对称轴为t =35，故函数ℎ(t)在[16,30]单调递减，故当t =16时，最大，最大值为386，综上所述，当t =10时，日销售额最大，最大值为400元．解析：(1)利用ℎ(t)=f(t)⋅g(t)，通过t 的范围求出函数的解析式．(2)利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．22.答案：解：(1)∵函数f(x)=x 2−2ax +a ，a =1，∴f(x)=(x −1)2，∵x ∈[0,3]，∴f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,3]上单调递增，∴最小值为f(1)=0，而f(0)=1，f(3)=4，∴函数的值域为[0,4]．(2)当a ≥1时，由于f(x)在[−1,1]上是减函数，可得{f(−1)=2f(1)=−2，故有{a =13a =3(舍去)．当0≤a <1时，由{f(−1)=2f(a)=−2，即{1+2a +a =2a −a 2=−2(舍去)． 当−1≤a <0时，由{f(1)=2f(a)=−2，即{1−2a +a =2a −a 2=−2，求得a =−1． 当a <−1时，由{f(−1)=−2f(1)=2，求得{1+2a +a =−21−2a +a =2，解得a =−1(舍去)． 综上所述：a =−1．解析：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的定义域和单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)由题意可得，f(x)=(x −1)2，根据定义域为[0,3]，f(x)在[0,1)上单调减，在(1,3]上单调增，求得函数的值域．(2)由条件可得二次函数的对称轴为x =a ，分当a ≥1时、当0≤a <1时、当−1≤a <0时，当a <−1时四种情况，根据定义域为[−1,1]，值域为[−2,2]，分别利用二次函数的性质求得a 的值．。