探究四点共圆的条件
人教版数学九年级上册
探究四点共圆的条件
活 动 目
标
知识 技能 1、 了解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
2、 掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
数学
思考
1、 通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆， 发展学生合 情
推理能力和演绎推理能力。
2、 通过观察图形，提高学生的识图能力。
3、 通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。
解决
问题
在探究四边形四个顶点能否共圆的活动中，学会运用由特殊到一般的数 学思想，并能利用转
化的数学思想解决问题。
情感
态度
在数学活动中发展学生使其主动参与师生、生生的交流活动，学会和人 合作，学会倾听，培
养学生大胆实践、勇于创新、团结互助的精神，使 学生在活动中获取成功的体验，建立学习
的自信心。
重点 通过活动探究四点共圆的条件。
难点 对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
活动过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
一、创设情境： 教师演示课件： 从生活中的实际问题入
问题 教师解释：古代人最早是从 手，使学生认识到数学总是
演示课件： 太阳，从阴丿力十五的月亮得到圆 与现实冋题密不可分，人们
1、向学生展示一组圆在生 的概念的，那么是什么人作出第 的需要产生了数学。
活中的图片。 一个圆的呢？ 将实际问题数学化，让
2、一些学生正在做投圈游 会作圆并且真正了解圆的 学生从一些简单的实例中，
戏，他们呈“一”字型排 性质，却是在2000多年前，是 不断体会从现实世界中寻找
开，这样的队形对每个人 由我国的墨子给出圆的概念的： 数学模型、建立数学关系的
公平吗？你认为他们应当 “一中同长也”。意思是说，圆 方法。
排成什么样的队形？怎样 有一个圆心，圆心到圆周的长都 引导学生对图形的观
排? 相等。这个定义比希腊数学家欧 察，发现，激发学生的好奇
几里得给圆下定义要早 100年。 心和求知欲，并在运用数学
问题与情境 师生行为 设计意图
对于问题2,教师引导学生 知识解答冋题的活动中获取
将实际问题转化成数学问题， 既 成功的体验，建立学习的自
到中间物体的距离相等的点应 信心。
该满足什么条件？如何去找到
这几位冋学的位置？
二、分析交流： 教师提出问题，引导学生利 此环节的设计是为探究
问题 用作图工具作出图形。 四点共圆的条件作好铺垫工
1、过一个点能作圆吗？能 由学生经过观察，分析，总 作。由简单到复杂，让学生
作几个圆，圆心和半径能 结归纳出简单的点与圆的关系， 在亲自动手操作的过程中进
确定吗？ 并了解点共圆所必须满足的基 行实验、探究，得到问题的
2、过两个点能作圆吗？能 本条件。 答案。激发学生的求知欲望，
作几个圆，圆心和半径能 教师可利用课件进行演示， 调动学生的积极性。
确定吗？ 让学生能直观的对所作图形进
3、过三个点能作圆吗？能 行观察，以验证自己所得到的结
作几个圆，圆心和半径能 论是否止确。
确定吗？过四个点呢？
三、合作探究： 教师提出问题，让学生先 活动1、2的设计是让学
【活动1】 进行思考，然后动手操作，在活 生学会利用载体去对问题进
1、过三点作圆可以看成是 动中探寻问题的答案。 行研究。从单一的点过渡到
过三角形的顶点作圆，那 在学生动手画四边形的外 形，让学生由无法下手到主
过四点作圆同样可以看作 接圆的过程中，学生会发现有的 动探究，一步一步地向探究
是过四边形的顶点作圆， 四边形的四个顶点能共圆，有的 的目标靠近。
那同学们会作吗？ 却不行，那这些四边形有什么不 在学生动手活动的过程
2、这里有一些四边形，冋 同呢？引导学生从四边形的边 中，通过交流和沟通，让学
学们尝试着作一下，看能 和角的方面去猜测，探究。 生明确一个问题的解决方
否过它们的四个顶点作一 在学生猜到对角互补的四 案，在推测之后要进验证，
个圆？ 边形的四个顶点能共圆后， 还需 通过证明，让学生感受数学
3、作圆的方法有几种？怎 要引导学生进行证明。 的严谨性，感受到数学结论
样去判断这四点共圆？ 在证明这个推测时，要让 的确定性和证明的必要性，
问题与情境
4、 按要求画出图形后，为 什么
有的四边形的四个顶 点能共圆，
有的却不行， 那这些四边形有哪
些不同 呢？它们的边长有关系
吗？它们的内角有如何 呢？
5、 刚才我们是先画的四边 形，
再作的圆，得到了这 样一个猜
想。还有没有另 外的方法也能做
到呢？
【活动2】
1通过活动，同学们推测 出了四
边形的四个顶点共 圆的条件，可
我们只画了 几个图形，要想运用
这个 推断，还需要证明，那如 何
证明呢？
2、 不在同一条直线上的三 点是
能共圆的，如果四点 不能共圆，
但其中的三点 是可以保证共圆
的，余下 的点与过三点的圆是什
么 位置关系呢？
3、 圆周角定理有哪些内 容？
4、 怎样利用圆中的性质定
理来解决问题呢?
师生行为 学生先进行讨论，思考最好的证 明方法。然后引导学生利用反证 法进行证明。在证明的过程中要 让学生考虑到所有的图形情况。 证明过程： 在四边形ABCD中，若/ B+ / ADC=18(0，那么 A、B、C D 四点共圆吗？为什么？ 解：如图1:假设A、B、C D 四点不共圆，过A、B C三点作 圆，D点在圆内。 延长AD与圆交于点 E,连接CE 则：/ B+Z E=180o •••/ ADC >Z E •••Z B+Z ADC >180o 这与已知条件Z B+Z ADC=18(0 矛盾，故假设不成立，原结论正 确，A、B C、D四点共圆。 如图2,假设A B、C、D四点 不共圆，D点在圆外。 证明方法与证明图1时同理。 B A E D C 设计意图
培养学生和情推理能力。
附图：
问题与情境 师生行为 设计意图
四、归纳反思： 教师带领学生从知识、方 通过小节使学生总结本
问题 法、数学思想等方面小结本节课 节课所学到的知识、技能、
1通过这节课的活动，你 所做活动, 并关注不同层次的学 方法。培养学生数学思想、
有哪些收获？ 生对所学内容的理解和掌握。 数学方法、数学能力和对数
2、你还能借助第三种载体 教师布置新的问题继续激 学的积极情感。
探究四点共圆的条件吗？ 发学生的探究热情。
五、课外探究： 教师在学生元成一次探究 此的设计是为 了让学
问题 后，提出新的问题：我们通过四 生在掌握活动1 2之后能学
1过四个点还可以作出这 边形这种载体研究了四点共圆 会这种探究问题的方法, 并
样的图形，同学们观察一 的条件。但这并不是探究四点共 能立刻应用到新的问题的探
下，它们有什么特征？ 圆条件唯一的方法，我们还能找 究中去 ，解决新的问题。
到另外的载体进行探究。
2、先观察具有公共斜边的 让学生明确解决问题方法 数学教学是在教师的引
两个直角三角形，这四个 的多样性, 在解决一个问题的时 导下， 进行的再创造、再发
点共圆吗？为什么？ 候应该思维活跃，学会借助旧的 现的教学，通过数学活动，
知识点去寻找新的知识点。 教给学生一种科学研究的方
由于有了活动1、2作为基 法。学会发现问题，提出问
V?
础，学生在进行此探究时， 教师 题，解决问题。
只做引导, 更多的让学生去操
A
3、再观察一般的图形，探 作，去判断，去证明。
E
D
究过这两个三角形顶点的
/
/
四点共圆的条件？
i
(
£
1
C
4、仿照活动1、2中的方
X
法和步骤，对推测出来的
/
L C
条件应该如何证明？
1
q
B
f
◎ B
数学人教版九年级上册数学活动——探究四点共圆的条件
圆
第二十四章 数学活动
第2课时 探究四点共圆的条件
活动1:复习回顾
过平面内任意一点能确定一个圆吗？两个点呢、三个点呢？
过一个点的圆不确定
过两个点的圆不确定
活动1：复习回顾
过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆
4.我们已对上述三种情况有了深刻的认识，那么请问过平面内 四个点能确定一个圆吗？
活动2：自主探究，合作交流
2.这里有一些四边形，同学们尝试着作一下，看能否过它们的 四个顶点作一个圆？
结论：不是所有四边形的四个顶点共圆，只有一部分四边形 的四个顶点共圆. 问题：具有什么特点的四边形的四个顶点共圆呢？
活动2：自主探究，合作交流 在四边形ABCD中，若∠B+∠ADC=180º ，试猜想A、 B、C、D四点共圆吗？为什么？ C 解： A、B、C、D四点可以共圆
过A、B、C点作圆，假设D点在圆内
D B
延长AD与圆交于点E，连接CE。 则：∠B+∠E=180º ∵∠ADC >∠E ∴∠B+∠ADC >180º .
这与已知条件∠B+∠ADC=180º 矛盾， 故假设不成立，原结论正确，A、B、C、
E
A
C
D
B
D四点共圆.
另一种D点在圆外的情况证明同理可证.
A
活动2：自主探究直角三角形，A、B、C、D四点 共圆吗？为什么？ 思路点拨：连接OA,OB,证OA=OB=OC=OD.
A D
B
C
o
活动3：归纳反思
通过本节课的活动，你有那些收获？
1.数学探究活动的一般步骤：
操作
猜想
验证
归纳
2.数学学习中每一个新结论的产生，都是从特殊性中猜 测结论，然后对猜测的结论在一般情况下进行严格的 推理和证明。 3.掌握思考数学问题的方法，并能合理利用，去解决 生活中的问题.
探究四点共圆的条件
证明：假设过A、B、C、D四个点不能作一个圆，过A、B、C
三点作圆，若D点在圆外。
AD交圆于点F，连结CF，则∠B+∠AFC=180°（圆内接四边形对角互补）
∵∠AFC=∠D+∠DCF
∴∠B+∠D<180°
与已知∠B+∠D=180° 矛盾
所以点D不在圆外
证明猜想： 已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
课堂小结：
本节课学到了什么知识？ 学到的知识能解决什么问题？ 你是如何获得这些知识的？ 数学探究活动的一般步骤：
感谢您的观看
授课教师：小派老师
四点共圆的条件
授课教师：亦墨工作室 小派老师
旧知回顾：
过任意一个三角形的三个顶点都能作圆吗？ 能，三个不在同一直线上的点确定一个圆
能作几个圆？ 能作一个圆
怎么确定这个圆的圆心和半径？ 边的垂直平分线的交点为圆心，交点到任意一条边的距离为半径
新知探究：
过任意一个四边形的四个顶点都能作圆吗？ 活动： 第1步：请同学们在草稿纸上画一个你喜欢的四边形ABCD
猜想： 对角互补的四边形的四个顶点共圆
已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：过A、B、C、D可作一个圆
证明方法：反证法
分析：假设过A、B、C、D四个点不能作一个圆，过A、B、C
三点作圆，则点D__要_么_在__圆_内_，__要_么_在__圆_外____
证明猜想： 已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
当第四个顶点在圆内时 四点不共圆
当第四个顶点在圆上时 四点共圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法二： 作三条边的垂直平分线，若三条垂直平分线有且只有一个交点，则以该 交点为圆心，交点到任意一个顶点的距离为半径作圆，可以使四边形的 四个顶点都在该圆上。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件说课稿
五、板书设计与教学反思
本节课通过引导学生探究四点共圆的条件，让学生掌握四点共圆的基本性质和判定方法，培养学生运用几何知识分析和解决问题的能力。同时，为学生进一步学习圆的性质、圆周角定理等知识奠定基础。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生了解四点共圆的定义和性质，掌握四点共圆的判定方法，能运用四点共圆的知识解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和几何推理能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备的基本前置知识有：平面几何的基本概念，如点、线、面的关系；四边形的性质；圆的基本性质等。在技能方面，学生需要具备一定的作图能力和逻辑推理能力。
在学习本节课时，学生可能存在的障碍主要包括：对四点共圆的概念理解不清，难以把握其本质特征；对圆的性质和圆周角定理的运用不熟练，难以证明四点共圆。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：首先，让学生独立完成一些相关的练习题，检验他们对四点共圆的理解和应用能力；然后，组织学生进行小组合作探究，让他们运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，培养他们的合作能力和解决问题的能力；最后，让学生结合自己的生活实际，设计一些关于四点共圆的应用问题，提升他们的数学应用能力。
4.设置具有挑战性的练习题，激发学生的好奇心和求知欲，如引导学生运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，提高他们的逻辑推理能力。
第24章圆章末数学活动探究四点共圆的条件(教案)2022-2023学年人教版九年级数学上册
然而，我也注意到，在小组讨论中，有些学生显得比较被动，可能是因为他们对自己的想法不够自信，或者是在小组中缺乏发言的机会。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，增强他们的自信心。
4.培养学生的合作交流能力，在小组讨论与分享中，促进学生对四点共圆条件的理解，学会倾听、表达与协作，形成良好的学习习惯和团队精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-四点共圆的定义及其性质：理解四点共圆的概念，掌握其性质，如圆内接四边形对角互补、圆外接四边形对角相等。
-四点共圆的判定方法：掌握利用圆内接四边形、圆外接四边形的性质来判定四点共圆的方法。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与四点共圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示四点共圆的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“四点共圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于四点共圆的概念和性质的理解整体上是积极的。他们在课堂上能够跟随我的思路，对于我提出的案例和问题也能够给出恰当的回应。我尝试通过生动的例子引入新课，这样做的效果不错，学生们明显对于这个话题产生了兴趣。
在讲授过程中，我注意到了一些学生对于四点共圆判定方法的掌握还不够熟练。这可能是因为这个部分需要较强的逻辑思维和空间想象能力。我意识到，对于这样的难点，仅仅通过理论讲解是不够的，还需要结合更多的图形展示和实际操作来帮助他们理解。
新课标教案九年级数学上册第二十四章数学活动探究四点共圆的条件(第2课时)课件(新版)新人教版
A
活动3：归纳反思
通过本节课的活动，你有那些收获？
1.数学探究活动的一般步骤：
操作 猜想 验证
归纳
2.在数学活动中要勇于探究，大胆猜想，学会和同学合 作交流，分享成功的喜悦.
3.掌握思考数学问题的方法，并能合理利用，去解决 生活中的问题.
活动4：课外探究
1.如图：△ABC与△BDC都是直角三角形，A、B、C、D四点 共圆吗？为什么？
思路点拨：连接OA,OB,证OA=OB=OC=OD.
D
A
B
C
o
活动4：课外探究
2.在这个图形中，A、B、C、D四点能共圆又需要满足什么 条件呢？请先提出猜想再验证说明.
解：∠BAC=∠BDC=90°
D
取BC的中点O,连接OA,OD，
A
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半即可得OA=OB=OC=OD.
活动2：自主探究，合作交流
问题：从边上看有什么共同特征呢，从角上看有什么共同特 征呢？
1 2
3 4
5 6
∠1+∠2=180°∠3+∠4=180°∠5+∠6=180° 猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆
活动2：自主探究，合作交流 在四边形ABCD中，若∠B+∠ADC=180º，试猜想A、
B、C、D四点共圆吗？为什么？
活动1:复习回顾
3.过平面内任意一点能确定一个圆吗？两个点呢、三个点呢？ （谈谈你的认识.）
过一个点的圆不确定
过两个点的圆不确定
活动1：复习回顾
过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆
4.我们已对上述三种情况有了深刻的认识，那么请问过平面内 四个点能确定一个圆吗？
第二十四章+圆数学活动+活动2+探究四点共圆的条件课件++2023—2024学年人教版数学九年级上册
A D
判定3：外角等于内对角的四边形四点共圆
ABE D ABCD 四点共圆
E B
A
D
E
B
C C
探究新知
三.四点共圆的判定
A D
B
C
判定4：张角相等，四点共圆
ACB ADB ABCD 四点共圆
A D
B
C
探究新知
三.四点共圆的判定
C D
B
A
判定5：共斜边的两直角三角形，四点共圆
探究新知
三.四点共圆的判定
判定1（定义判别法）：到定点的距离等于定长的四点共圆
OA OB OC OD ABCD 四点共圆
A
D B
O
A
D B
O
C C
探究新知
三.四点共圆的共圆
A C 180 ，B D 180 ABCD 四点共圆
A
D B
B
C
探究新知
典例分析
例5：如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是 CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG， 求AG长的最小值．
课堂小结
1.四点共圆的性质 2.四点共圆的判定
性质1：四点共圆，对角互补
性质2：四点共圆，张角相等
判定1（定义判别法）：到定点的距离等于定长的四点共圆 判定2：对角互补的四边形四点共圆 判定3：外角等于内对角的四边形四点共圆 判定4：张角相等，四点共圆 判定5：共斜边的两直角三角形，四点共圆
典例分析
例3：如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、 DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点， 求PA+PG的最小值.
探究四点共圆的条件教学设计
不断体会从现实世界中寻找 数学模型、建立数学关系的 方法。
2、摄制组安排四个
人从住地去抢宝对每个人 公平吗？你认为怎样安排 才是最公平的？
引导学生对图形的观 察，发现，激发学生的好奇 心和求知欲，并在运用数学
对于问题 2，教师引导学生 知识解答问题的活动中 获取成功的体验，建立学习
将实际问题转化成数学问题，既 的自信心。 到中间物体的距离相等的点应 该满足什么条件？如何去找到 这几位明星的位置？
学习者分析
通过初中三年数学学习，学生在自主学习运用合理推理与演绎推理认知新 事物，构建新知识，同学交流协作完成有效的数学学习活动中，经历探究， 思考，抽象，预测，验证，反思等过程积累了发现问题，分析问题，解决问 题的基本经验和数学能力。大部分学生能运用合理推理与演绎推理认知新事 物，构建新知识。
活动过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
教学/活动过程
【活动 1】 问题
教师演示课件：
从生活中的实际问题入
向学生展示一组《奔跑吧！手，使学生认识到数学总是
兄弟》抢宝图片。
与现实问题密不可分，人们
的需要产生了数学。
演示课件：
将实际问题数学化，让
1、向学生展示一组
提出问题
学生从一些简单的实例中，
《奔跑吧！兄弟》抢宝图 片。
的，余下的点与过三点的 圆是什么位置关系呢？
这与已知条件
∠B+∠ADC=180º 矛盾，故假
设不成立，容？
图1
如图 2，假设 A、B、C、D 8、怎样利用圆中的
四点不共圆，D 点在圆外。 性质定理来解决问题呢？
证明方法与证明图 1 时同 理。
作圆，那同学们会作吗？ 不同呢？引导学生从四边形的 中，通过交流和沟通，让学
数学人教版九年级上册数学活动——探究四点共圆的条件
数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。
学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。
二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。
达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。
数学人教版九年级上册探究四点共圆的条件
小组讨论：在同一平面内，四点在同一 个圆上需要满足怎样的条件？
1.若四点在同一直线上，则四点不在同一个 圆上。 2.若任意三点在同一直线上，则四点不在同 一个圆上. *3.若任意三点不在同一直线上，且四点连线 构成的四边形对角互补，则四点在同一个圆 上。
• 通过这节活动课你学到 了什么？
思想认知上：1.学习上善于实践，共同协作，学会分类 思考,化难为易。 2.数学知识源于生活，合理利用数学知识解 决我们生活中的每一个问题。 知识能力上：3.懂得了四点共圆要具备的条件
C
D
B
这与已知条件∠B+∠D=180º 矛盾，故
假设不成立，原结论正确:A、B、C、D 四点在同一个圆上。
A
证明猜想
已知：在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°． 求证： A、B、C、D 四点在同一个圆上． 分析：过 A、B、C 三点作圆，若点 D 在圆外．
证明：假设过 A、B、C、D 四点不在同一个圆上．过 A、B、 A D E C 三点作圆，若点 D 在圆外． 设 AD 与圆交于点 E，连接 CE， 则 ∠B+∠AEC=180° ∵∠AEC＞∠D ∴∠B+∠D＜180° C 与∠B+∠D =180°矛盾，故假设不成 B 立．原结论正确：A.B.C.D四点在同一个 圆上． 对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上。
（图四）
（图五）
讨论问题：
• 请同学们从四边形的边，对角线，角 等元素去分析和讨论：什么条件下能 使四边形的四个顶点在同一个圆上？
（图三）
（图四）
（图五）
证明猜想
猜想：对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上． 已知：在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°． 求证： A、B、C、D 四点在同一个圆上BCD 中，∠B+∠D=180°． 求证： A、B、C、D 四点在同一个圆上．
数学人教版九年级上册探究四点共圆的条件
新人教探究四点共圆的条件第二十四章圆数学活动二探究四点共圆的条件学习目标1、通过动手作图、测量，猜测、证明后，得出四点共圆的条件。
2、在探究的整个过程中，体会分类讨论的方法，感受从“特殊到一般”的数学思想。
学习重点：通过动手操作，得到四点共圆的条件。
学习难点：得到四点共圆的条件，并证明结论。
学习过程：一、回顾思考：1、请说说你最喜欢生活中存在的哪种圆形图案。
那你也一定知道，作一个圆必须先确定圆心和半径。
2、从点和圆的位置关系思考（1）过一个点可以作无数个圆，圆心的位置，半径的大小，怎样确定。
（2）过两个点可以作无数个圆，圆心，半径的大小的确定。
（3）过三个点呢？二、类比探究四点共圆的条件。
过任意四点能作一个圆么？（类比三点的方法分类讨论）活动一：图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！（提示：可以类比使用三点确定圆的方法作图）选择1至2个自己喜欢的常见的四边形试试，看看过这些四边形的四个顶点能否作一个圆。
活动二：分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？猜想：如果四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角互补。
活动三：证明猜想已知：求证：（提示：可以利用圆周角定理来证明）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间还有上面的关系吗？（提示：利用圆周角与其所对弧的大小关系，考虑∠B+∠D与180º之间的关系）由上面的探究，试归纳判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
三、归纳小结本节课你有什么收获？。