1.7 定积分的物理中的应用(2)
高中数学 1.7.2定积分在物理中的应用教案 理 新人教A版选修2-2
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.7.2定积分在物理中的应用教案 理 新人教A 版选修2-2一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三、教学过程： （一）练习1．曲线y = x 2+ 2x 直线x = – 1，x = 1及x 轴所围成图形的面积为（ B ）． A ．38 B ．2 C ．34 D ．322．曲线y = cos x 3(0)2x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ） A ．4B ．2C ．52D ．33．求抛物线y 2= x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．解：如图：由2230y xx y ⎧=⎨--=⎩得A （1，– 1），B （9，3）．选择x 作积分变量，则所求面积为1011((3)]2S dx x dx =+-⎰⎰=91112(3)2x dx +--⎰⎰⎰ =3321992201142332||()|33423x x x x +--=．（二）新课变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分，即⎰=badt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为325 ． 例1．教材P58面例3。
练习：P59页1。
变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰badx x F )(．例2．教材例4。
1.7.2定积分在物理中的应用
例 3 一辆汽车的速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程.
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知: 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
Si v(ti ) t v(ti ) t
一、变速直线运动的路程
b
s v(t )dt
a
n n i 1 i 1
v
v v(t )
Sn Si v(ti ) t
S lim v(ti ) t v(t )dt
b x i 1 a n
a
Wi F ( xi ) x
Wn Wi F ( xi ) x
i 1 i 1 n n
F
y F ( x)
S lim F ( xi ) x F ( x)dx
b n i 1 an源自Oaba x n
xi
b
x
例 4 如图1.7 4, 在弹性限 度内 , 将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 l m 处, 求弹 力所作的功. 解 在弹性限度内 ,拉伸(或 压缩) 弹簧所需的力 Fx 与 弹簧拉伸或压缩 的长度x 成正比, 即Fx kx, 其中常 数k是比例系数 .
10 40 60 0 10 40
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
1.7.2 定积分在物理中的应用
【解答】
由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动， 当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程为
2 2 4 6 s1＝ (8t－2t )dt－ (8t－2t )dt
0 4
4 2 ＝4t2－3t3 0
b
三、《教材》 P59 练习.
2018年5月31日星期四
练一练
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s) 的速度运动,求该物体在3~5s间行进的路程.
S (2t 3)dt 22m
3
5
2、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力 F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求F(x) 所作的功.
边城高级中学 张秀洲
1、能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程；
2、学会利用定积分求变力做功问题；
3、感受定积分在物理中的应用，加深对定积分的认识.
自学教材 P58—P59 解决下列问题
一、能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程.
二、学会利用定积分求变力做功问题
三、《教材》 P59 练习.
O
10
40
60
3 2 t 2Βιβλιοθήκη 10 30t 100
40
3 2 ( t 90t ) 1350( m) 4 40
60
有一动点 P 沿 x 轴运动， 在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度 的正方向与 x 轴正方向一致)．求：点 P 从原点出发，当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程和位移．
1.7.2定积分在物理中的应用
人教A 版 选修2—2 精讲细练1.7.2 定积分在物理中的应用一、知识精讲1.做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t 。
2.一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所作的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝⎠⎛a b F (x )d x 。
二、典例细练【题型一】：求变速直线运动的路程、位移例题1：有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为v(t)＝8t －2t 2 (速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝3时，离开原点的路程；(2)当t ＝5时，P 点的位置；(3)从t ＝0到t ＝5时，点P 经过的路程；(4)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【解析】 (1)由v(t)＝8t －2t 2≥0，得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P 点向x 轴正方向运动，t>4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝3时，点P 离开原点的路程s 1＝⎠⎛03(8t －2t 2)dt ＝(4t 2－23t 3)|30＝18.(2)当t ＝5时，点P 离开原点的位移s 2＝⎠⎛05(8t －2t 2)dt ＝(4t 2－23t 3)|50＝503.∴点P 在x 轴正方向上距离原点503处．(3)从t ＝0到t ＝5时，点P 经过的路程s 3＝⎠⎛04(8t －2t 2)dt －⎠⎛45(8t －2t 2)dt ＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|54＝26. (4)依题意⎠⎛0t(8t －2t 2)dt ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， t ＝6是所求的值．变式训练：A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为(24－1.2t)m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．【解析】 (1)设A 到C 经过t 1s ，由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2tdt ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D→B 经过t 2s ，由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)，所以DB ＝∫200(24－1.2t)dt ＝240(m)．(3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)．从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．【题型二】：求变力做的功例题2：设有一根长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm所做的功．【解析】设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F(x)＝kx，且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，即0.05k＝100，∴k＝2000，∴F(x)＝2000x.∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为＝22.5(J)．W＝∫0.1502000xdx＝1000x2|0.15变式训练：一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8J B．10J C．12J D．14J【答案】D3(4x－1)dx＝(2x2－x)|31＝14(J)，故应选D. 【解析】由变力做功公式有：W＝⎠⎛1。
1.7.2 定积分在物理中的应用
2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底 半径为 3 米，池内盛满了水.问要 把池内的水全部吸出，需作多少 o x 功？
解： 建立坐标系如图 x [0,5] 取 x 为积分变量，
5
x x
3
取任一小区间 [ x, x x] , 这一薄层水的重力为 9.8π 32 x w 88.2π x x, 2 5 5 x w 88.2 x dx 88.2 3462 (千焦)． 0 2 0
1.7.2定积分在物理中的应用
1
一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求
汽车在这 1 min 行驶的路程。
v/m/s A
30
B
C t/s
O 10 40 60
设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时 b 间区间[a, b]内运动的距离s为 s v(t )dt
一、变速直线运动的路程
a
Si v(ti ) t v(ti ) t
i 1 i 1 n n
y F ( x)
S lim F ( xi )x F ( x)dx
b n i 1 a
n
O
a
ba x n
xi
b
x
如图：在弹性限度内，将一弹簧从 平衡位置拉到离水平位置L 米处，求 克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸 （或压缩）弹簧所需的力Ｆ （x）与弹簧拉伸（或压缩） 的长度x成正比． 即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有
Sn Si t v(ti )t
i 1 i 1 n n
v
v v(t )
S lim v(ti )t v(t )dt
b x i 1 a
n
20-21版：§1.7 定积分的简单应用（步步高）
§1.7定积分的简单应用学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一定积分在几何中的应用(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21()dt t t t⎰v求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()dt t t t⎰v求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为21()dt t t t-⎰v.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.知识点三变力做功问题如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x ＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为ʃb a F(x)d x.1．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．(×)2．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．(×)3.||ʃb a f(x)d x＝ʃb a|f(x)|d x.(×)4．若在区间[a ，b ]上，f (x )图象在g (x )图象上方，则由f (x )，g (x )以及x ＝a ，x ＝b 所围成图形的面积等于ʃb a [f (x )－g (x )]d x .( √ )一、求平面图形的面积例1 求由函数y ＝e x ，y ＝2e －e x 的图象及两坐标轴围成的图形(如图中的阴影部分)的面积．解 易知y ＝e x 与y ＝2e －e x 的图象的交点坐标为(1，e)，y ＝2e －e x 的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)，∴所求面积S ＝ʃ10e x d x ＋ʃ21(2e －e x )d x＝e x ⎪⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2e x －12e x 221＝32e －1. 反思感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 在同一平面直角坐标系内作出直线与抛物线如图所示，设所求图形面积(即图中阴影面积)为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 22－3－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2－3 ＝252－⎝⎛⎭⎫－253＝1256. 二、定积分在物理中的应用 命题角度1 变速直线运动的路程例2 (1)已知物体自由落体时运动的速度v ＝gt (g 是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t ＝0到t ＝t 0下落的距离为( ) A.gt 203 B ．gt 20 C.gt 202 D.gt 206答案 C解析 由定积分的物理意义，得下落的距离s ＝02001d |2t t gt t gt =⎰＝12gt 20. (2)一辆汽车以32 m /s 的速度行驶在公路上，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－8 m/s 2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，该汽车行驶的路程为( ) A ．128 m B ．64 m C ．32 m D ．80 m答案 B解析 由匀减速运动可得v t ＝v 0＋at ， 其中v 0＝32 m /s ，a ＝－8 m/s 2，故v t ＝32－8t . 令v t ＝0，即32＝8t ，解得t ＝4， 即刹车时间为4 s.故从开始刹车到停车，该汽车行驶的路程为s ＝ʃ40(32－8t )d t ＝(32t －4t 2)|40＝64(m)．命题角度2 变力做功例3 一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处力F (x )做的功．解 由题图力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝ʃ2010d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x ＝10x ⎪⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x 42＝46(J)． 反思感悟 (1)求变速直线运动的路程的步骤： ①求每一时间段上的速度函数．②根据定积分的物理意义，求对应时间段上的定积分． ③求出各定积分之和即得所求路程． (2)求变力所做功的步骤： ①求出变力F (x )的表达式．②求出位移的起始位置与终止位置．③根据变力做功公式W ＝ʃb a F (x )d x ，求出变力F (x )所做的功．跟踪训练2 (1)若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t 做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________． 答案 13解析 v (2)－v (0)＝ʃ20a (t )d t ＝ʃ206t d t ＝3t 2|20＝12，所以v (2)＝v (0)＋12＝1＋12＝13.(2)一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( ) A ．8 J B ．10 J C ．12 J D ．14 J 答案 D解析 由变力做功公式有W ＝ʃ31(4x －1)d x ＝(2x 2－x )|31＝14(J)，故选D.1．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积S 是( ) A ．2 B ．3 C.52 D ．4答案 B 解析 332222022cos d cos d sin |sin |S x x x x x x ππππππ=-=-⎰⎰＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( ) A ．31 m B ．36 m C ．38 m D ．40 m答案 B解析 S ＝ʃ30(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)|30＝33＋32＝36(m)．3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163 D.23 答案 A解析 如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象，则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. 所以A (2,4)，O (0,0)．所以S ＝ʃ202x d x －ʃ20x 2d x＝x 2⎪⎪⎪⎪20－13x 320＝4－⎝⎛⎭⎫83－0＝43. 4．由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．答案 1－ln 2解析 因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2，所以围成的封闭图形的面积S 1等于正方形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 5．一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为________． 答案16930J 解析 设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝2 0003，所以F ＝2 0003x .由变力做功公式，得W ＝ʃ0.1302 0003x d x ＝⎪⎪1 000x 230.130＝16930(J)， 故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为16930J.1．知识清单： (1)求平面图形的面积． (2)求变速运动的路程． (3)求变力做功．2．方法归纳：数形结合、转化思想． 3．常见误区：(1)求平面图形面积时曲线在x 轴下方易错． (2)混淆路程、位移．。
1.7 定积分的简单应用(2)
1.7 定积分的简单 应用x)≤0),x∈[a,b], x=a, x=b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积S b 等于______________. f ( x)dx
a
2.做直线运动的质点在任意位置x处,所受 的力F(x)=1+ex,则质点沿着F(x)相同的方 向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所 做的功是_____________. e
例1 求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0 及y=0所围成的图形的面积.
例2 已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0 围成的平面图形的面积为4/3,求a的值.
若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3” 呢?
练习:
已知直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围 图形为面积相等的两部分,求k的值.
例3 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速 度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求: (1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
例4 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车 获得加速度a=-0.4 m/s2,问列车应在进站前多长 时间,以及离车站多远处开始制动?
练习: A 、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开 往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一 段速度为1.2t (m/s),到C点速度达24 m/s, 从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点 开始刹车,经过t s后,速度为(24-1.2t)m/s, 在B点恰好停车,试求: (1)A、C间的距离; (2) B、D间的距离; (3)电车从A站到B站所需的时间.
定积分在物理中的应
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学习目标
1.应用定积分求平面图形的面积、变速 直线运动的路程及变力做功． 2．将实际问题抽象为定积分的数学模 型，然后应用定积分的性质来求解．
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知识点复习
1．定积分在几何中的应用 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数 f(x)
__连__续____ 且 ___恒__有__f_(x_)_≥__0___ ， 那 么 定 积 分 ab
练习： 设有一根长25 cm的弹簧，若加以 100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹 簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比， 求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功． 【思路点拨】 先求出拉力F(x)，然后再求 功．
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【解】 设 x 表示弹簧伸长的量(单位：m)， F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意 F(x)＝kx， 且当 x＝0.05 m 时，F(0.05)＝100 N，即 0.05k ＝100， ∴k＝2000， ∴F(x)＝2000x. ∴将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所做的功为 W＝∫00.152000xdx＝1000x2|00.15＝22.5(J)．
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线
运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方
向从x=a移动到x=b（a<b），那么变力
Ｆ（x）所作的功
b
W F(x)dx
a
W i W (x i) x W (x i) x F
y F(x)
n
n
Wn Wi x F(xi)x
i1
i1
x
n
Oa
b
Slni m i1F(xi)x编辑a课F 件 (x)dx
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高中数学专题1.7.2定积分在物理中的应用练习(含解析)新人教A版选修2-2
定积分在物理中的应用（时间：25分,满分50分)班级姓名得分1。
一物体在力F（x)＝错误!（单位：N）的作用下沿与F(x)相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：m）处,则力F(x）做的功为( )A．44 J B．46 JC．48 J D．50 J【答案】B2．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋e x，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F（x）所做的功是( ）A．1＋e B．eC.错误!D．e－1【答案】B【解析】W＝ʃ错误!F（x）d x＝ʃ错误!（1＋e x)d x＝（x＋e x）｜错误!＝（1＋e）－1＝e。
3.以初速40 m/s竖直向上抛一物体,t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为（）．A.错误! m B。
错误! m C.错误! m D.错误! m【答案】A【解析】由v＝40－10t2＝0⇒t2＝4，t＝2.∴h＝⎰20（40－10t2)d t＝错误!错误!＝80－错误!＝错误!(m)．4．一物体在力F(x）＝3x2－2x＋5(力单位：N,位移单位：m）作用力下，沿与力F(x）相同的方向由x＝5 m直线运动到x＝10 m处做的功是( )．A．925 J B．850 J C．825 J D．800 J【答案】C【解析】W＝⎰105F(x）d x＝⎰105 (3x2－2x＋5）d x＝（x3－x2＋5x)错误!＝（1 000－100＋50）－(125－25＋25)＝825(J)．5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m ）是 （ )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 【答案】C6．变速直线运动的物体的速度v (t )＝5－t 2，前2 s 所走过的路程为________．A 。
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y 2 x ( 2,2), (8,4). y x4 4 1 2 S (4 y y )dy 2 2
2
y2 2 x
Y型求解法
一、变速直线运动的路程
设物体运动的速度vv(t) (v(t)≥0) ，则此 物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
r 解 取 r 为积分变量， [a , b],
q
o
b a
r
所求功为
kq 1 kq 1 1 . w a 2 dr kq r r a a b
y 2x
解1: 求两曲线的交点:
y 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
2
S1
2
S2
y x4
8
y2 2 x
S1
S 2S1 S2 2
2 0
2
2 2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
0 8
2 xdx ( 2 x x 4)dx
2.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为 m/s)的速度运动,求该物体在3~5s间行进的路程.
S (2t 3)dt 22m
5 3
3、把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处， 它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物 理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 F k q2 r （ k 是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿
1.7.2 定积分在物理中的 应用
复习：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
练习： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围
2
成的图形的面积.
解：在弹性限度内，拉伸
（或压缩）弹簧所需的力Ｆ （x）与弹簧拉伸（或压缩） 的长度x成正比．
即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有
l
W F ( x)dx
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx kx |0 kL 2 2
练一练
1、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着 与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m), 求F(x)所作的功. 40
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，
并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到 x= b点，则变力F(x) 所做的功为:
2、变力所做的功
W F ( x)dx
a
b
F
y F ( x)
O
a
x
xi
b
例2 如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置
拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功．
a
b
v
v v(t )
O
a
ti
b
t
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求 汽车在这 1min 行驶的路程。
v/m/s
B C t/s
40 60
解：由速度－时间曲线可知： 30 A (0 t 10) 3t vt 30 (10 t 40) - 1.5t 90 (40 t 60) O 10
2
8
4 2 2 2 1 2 16 64 26 8 x | ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
3 2 2 0
3 2
X型求解法
练习： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围
2
成的图形的面积.
y 2x
y x4
解2: 求两曲线的交点:
10 40 60 0 10 40
S 3tdt 30dt (1.5t 90)dt
3 2 t 2
10
3 ( t 90t ) 1350(m) 4 40
60
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功 由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W F s.
b
b