浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除3
2024春七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式(1)教案(新版)浙教版
计算 $(a-b)^2$。
解答：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
解析：
此题考查了完全平方公式的应用。学生需要记住完全平方公式的结构，并能够正确地将括号内的项平方。
例题3：
计算 $(2a+3b)(3a-2b)$。
解答：
$(2a+3b)(3a-2b) = 2a \cdot 3a + 2a \cdot (-2b) + 3b \cdot 3a + 3b \cdot (-2b) = 6a^2 - 4ab + 9ab - 6b^2 = 6a^2 + 5ab - 6b^2$。
2024春七年级数学下册 第3章 整式的乘除3.4乘法公式（1）教案（新版）浙教版
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容
本节课的教学内容来自2024春七年级数学下册第3章，主要涉及整式的乘除，特别是3.4节乘法公式（1）。本节课将重点介绍平方差公式和完全平方公式的概念、应用及其在解决实际问题中的重要性。我们将通过具体的例子，让学生理解并掌握这两个公式的推导过程和应用方法。
7. 培养合作能力和解决问题的能力，通过小组讨论和合作解决实际问题，学生能够学会与他人合作，共同解决问题。
8. 增强表达能力和交流能力，通过课堂展示和点评，学生能够更好地表达自己的思考和观点，并能够倾听他人的意见和建议。
七、板书设计
1. 整式乘除的基本概念和运算规则
- 整式乘除的定义和运算规则
- 例子：$(a+b)(c+d)$ 的计算方法
三、重点难点及解决办法
重点：
1. 平方差公式和完全平方公式的推导过程及应用。
七年级数学下册第3章整式的乘除3.5整式的化简教案新版浙教版
教学目标
1、使学生学会合理运用平方差公式和完全平方公式来进行整式化简，提高综合运算能力．
2、应用整式乘法、平方差公式、完全平方公式来解决一些实际应用问题中的整式化简，体会用数学．
3、通过探究活动、探索学习，进一步熟悉乘法公式的运
综合运用平方差公式和完全平方公式进行整式的化简．
（10n＋5）2=
（3）根据上面的归纳、猜想，试计算：
19952=
四、实际问题，应用数学
1、题目：甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%．
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
（1）、通过计算，探索规律
152=25可写成100×1×（1＋1）＋25
252=225可写成100×2×（2＋1）＋25
352=625可写成100×3×（3＋1）＋25
452=1225可写成100×4×（4＋1）＋25
……
752=5625可写成
852=7225可写成
（2）从第（1）题的结果、归纳、猜想得
2、分析
（1）
3月份
4月份
5月份
甲超市
销售额
a
a（1＋x%)
a（1＋x%)x（1＋x%)
=a（1＋x%)2
乙超市
销售额
a
a（1－x%)
a（1－x%)x（1－x%)
=a（1－x%)2
差额为：
a（1＋x%)2－a（1－x%)2
=a（1+ + ）-a（1- + ）
=
2024春七年级数学下册第3章整式的乘除3.7整式的除法教案(新版)浙教版
整式除法
1.定义
2.性质
3.步骤
4.运算法则
5.应用
6.注意事项
1.定义：将一个整式（多项式）除以另一个整式（单项式或多项式）的过程。
2.性质：除数可以是单项式或多项式，被除数是多项式。
3.步骤：
-将除数和被除数按照相同的字母序排列。
-从被除数的最左侧开始，找到一个与除数相乘得到最接近被除数但不超过它的数。
4.行为习惯：学生在课堂参与、提问回答、合作交流等方面存在差异。部分学生可能在课堂上较为内向，不愿主动参与讨论；部分学生可能对问题缺乏思考，盲目跟从他人；还有部分学生在合作交流中难以与他人达成共识，影响学习效果。
针对以上学情分析，本节课的教学设计应注重以下几个方面：
1.针对学生对整式除法知识的掌握程度，教师应从基本概念和运算法则入手，进行讲解和巩固。对于理解程度较好的学生，可以适当增加难度，提高他们的能力；对于理解程度较差的学生，则需重点辅导，帮助他们消除模糊概念。
在课前自主探索环节，我通过在线平台和微信群发布了预习资料和预习问题，引导学生自主阅读和思考，培养他们的自主学习能力和独立思考能力。从学生的预习成果来看，大部分学生能够认真完成预习任务，对整式除法有了初步的了解。但在预习问题的思考上，部分学生还存在一定的困难，这需要在课堂上进行重点讲解和辅导。
在课中强化技能环节，我通过故事、案例和视频等方式导入新课，激发学生的学习兴趣。在讲解知识点时，我详细地解释了整式除法的基本概念和运算法则，并通过实例帮助学生理解。在组织课堂活动时，我设计了小组讨论、角色扮演和实验等活动，让学生在实践中掌握整式除法的步骤和技巧。在解答疑问环节，我及时地回应了学生的问题，给予了他们指导。从课堂表现来看，学生对整式除法的理解程度有所提高，但在实际操作中仍存在一些问题，需要进一步加强练习和指导。
浙教版七年级数学下册第三章《整式乘除》PPT课件
b ab
b²
(a+b)²
a a² ab
a
b
(a b)2 a2+2ab +b2
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 两数和的平方,等于这两数的 平方和 , 加上这两数积的2倍.
一般的，我们有以下两数和的完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2
计算：(2x 3y)2 （2x)2 2(2x)(3y) (3y)2
a
(2)(x-2)(x2+4)(x+2)(x4+16)
b
1).(3+4)2= 49
32+42 = 25
≠ (3+4)2
32+42
2). (2+6)2= 64
22+62 = 40
(2+6)2 ≠ 22+62
运用多项式与多项式相乘的法则计
算下列各式：
合
1、(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
小明写出了如下的算式: (a−b)2 [a+(−b)]2 他是怎么想的? 你能继续=做下去吗?
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a2 +2a(-b)+ (−b)2
= a2 –2ab+ b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
提高题:计算:
(1) (-a2b)(-2ab2c)3ab3
初中数学浙教版七年级下册第3章整式的乘除3.3多项式的乘法【区一等奖】
课题：多项式的乘法●教学目标：知识与技能目标：1．掌握多项式乘法法则；2．学会用多项式乘法法则进行计算；过程与方法目标：1．经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则；2．学生在探索多项式乘法法则的过程中，感受整体思想、转化思想和数形结合思想，并培养学生由具体到抽象的思维能力；情感态度与价值观目标：1．培养学生用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想；2．感受数学概念与实际生活的紧密联系；●重点：掌握多项式的乘法法则并加以运用；难点：理解多项式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算；●教学流程：一、情境引入1.回顾一下：多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即(a+m)(b+n) = a(b+n) + m (b+n)=ab+an+mb+mn.设计说明：让学生回顾“多项式×多项式”运算法则，也为后面的探究活动作好了准备.二、自主探究例题讲解：例3:计算（1）(x-2)(x2-4)（2）(a-b)(a2+ab+b2)解：（1）(x-2)(x2-4)= x3-4x-2 x2+8= x3-2 x2-4x+8（2）(a-b)(a2+ab+b2=a 3+a 2b +ab 2 -a 2b -ab 2 –b 3=a 3–b 3例4:化简()()()2103234ab a b a b ab a ---- ，这个代数式 的值和a ，b 的取值有关吗？分析：化简后，最后的结果中是否含有字母a 、b 的项，若有，则与此字母取值有关，否则无关。
解：()()()2103234ab a b a b ab a ---- ()2223221036834a b ab a b a ab a b =----+2223221036834a b ab a b a ab a b =--++-()()2231064338a b ab a =--+-+38.a =因为这个代数式化简后只含字母a ，所以这个代数式的值只和字母a 的取值有关，和字母b 的取值无关. 例5 解方程：3x (x+2)-4(x 2+8)= (x+1)(1-x )解：3x (x+2)-4(x 2+8)= (x+1)(1-x )3x 2+6x -4x 2-32= x -x 2+1-x-x 2+6x -32= -x 2+16x = 33x =112例6.如图,在长方形地中有两条小路.依据图中标注的数据,计算绿地的面积?（a>b ）【解析】（a+b)(a-b)-(a+b)c-2c(a-b)+2c 2=a 2-b 2+bc-3ac+2c 2学以致用：1.计算：（1）（2x ﹣7y ）（3x+4y ﹣1）；（2）（x ﹣y ）（x 2+xy+y 2）．解：（1）原式=6x 2+8xy ﹣2x ﹣21xy ﹣28y 2+7y=6x 2﹣2x ﹣13xy ﹣28y 2+7y ；（2）原式=x 3+x 2y+xy 2﹣x 2y ﹣xy 2﹣y 3=x 3﹣y 3．2.已知（x 3+mx+n ）（x 2﹣3x+1）展开后的结果中不含x 3和x 2项．（1）求m 、n 的值；（2）求（m+n ）（m 2﹣mn+n 2）的值．解：（1）原式=x 5﹣3x 4+（m+1）x 3+（n ﹣3m ）x 2+（m﹣3n）x+n，由展开式不含x3和x2项，得到m+1=0，n﹣3m=0，解得：m=﹣1，n=﹣3；（2）当m=﹣1，n=﹣3时，原式=m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3=m3+n3=﹣1﹣27=﹣283已知（x+my）（x+ny）=x2+2xy﹣8y2，求m2n+mn2的值．解：∵（x+my）（x+ny）=x2+2xy﹣8y2，∴x2+nxy+mxy+mny2=x2+（m+n）xy+mny2=x2+2xy﹣8y2，∴m+n=2，mn=﹣8，∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣8×2=﹣16．设计说明：对于例题的学习，教师引导学生通过观察、思考，寻求解决问题的方法，教师在示范过程中引导学生注意这三题都按多项式相乘的法则进行，运算过程中注意符号，防止漏乘，结果要合并同类项．通过例题的讲解，教师给出了解题规范，并注意对学生良好学习习惯的培养．三、小结通过本节课的内容，你有哪些收获？1.如何进行多项式与多项式乘法运算？2.运用多项式乘法法则，要有序地逐项相乘，不要漏乘，并注意项的符号．最后的计算结果要化简合并同类项．设计说明：让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。
初中数学浙教版七年级下册《第三章 整式的乘除3.5 整式的化简》教材教案
课题：整式的化简●教学目标：一、知识与技能目标：1.能够准确的说出整式化简的顺序和遵循的规则；2.能够准确的对方程式进行化简；3.能够准确的运用乘法公式对方程式进行计算、化简和求值；二、过程与方法目标：经历探索方程式化简的顺序，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；三、情感态度与价值观目标：体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。
●重点：1.整式的化简；2.整式的化简的应用。
●难点：整式化简过程中根据题目的特点确定合理的运算顺序（或运用乘法公式）。
●教学流程：一、课前回顾我们在前面的学习中，已经学习了一系列的乘法公式，现在我们一起来回忆一下：同底数幂乘法：a m×a n=a m+n，积的乘方：（ab）n=a n b n，幂的乘方（a n）m=a nm，单项式乘多项式:a（b+c）=ab+ac，多项式乘多项式:(a+n)（b+m）=ab+am+bn+nm，平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²，完全平方和公式: (a+b)²=a²+2ab+b²，完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这些乘法公式在数学界里到底有什么用处呢？在前面的几节课里，我们大体的了解了乘法公式的一些奇妙用处，这节课我们将进一步的走进这些乘法公式，体会乘法公式对于整式的化简的奇妙作用。
整式的化简是什么呢？乘法公式和整式的化简又有什么奇妙关系呢？现在我们一起来学习。
【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
二、活动探究同学们，我们首先来看一个例子。
看看整式的化简到底是怎样的呢？同学们，大家先看下这个例子，这里我们到底要怎么解决这个问题呢？学生活动：看例子并思考问题。
（1）在这里我们根据题意，可以发现两个等式关系：AP=AM+MP，BP=BM-MP，而又得知M是AB的中点，于是我们可以得到AP=2a+b，BP=2a-b。
七年级数学下册 第3章 整式的乘除 3.2 单项式的乘法课
3.2 单项式的乘法
筑方法
类型一 运用单项式的乘法进行计算
例 1 教材例 1、例 2 变式题 计算： (1)14ax2·(－8a3x3)； (2)(2xy)2·(－3x)3·y； (3)－3x·(2x2－x＋4)．
3.2 单项式的乘法
解：(1)14ax2·(－8a3x3) ＝14×（－8）·(a·a3)·(x2·x3) ＝－2a4x5. (2)(2xy)2·(－3x)3·y＝4x2y2·(－27x3)·y＝－108x5y3. (3)－3x·(2x2－x＋4) ＝－3x·2x2－3x·(－x)－3x·4 ＝－6x3＋3x2－12x.
第3章 整式的乘除
3.2 单项式的乘法
第3章 整式的乘除
3.2 单项式的乘法
学知识 筑方法 勤1 单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__相__乘____，其 余字母连同它的指数___不_变____，作为积的因式．
3.2 单项式的乘法
类型二 运用单项式的乘法进行化简求值
例 2 教材补充例题 先化简，再求值：8x2－5x(4y－x)＋4x－4x＋52y， 其中 x＝－1，y＝3.
解：原式＝8x2－20xy＋5x2－16x2＋10xy＝－3x2－10xy.当 x＝－1，y＝3 时， 原式＝－3＋30＝27.
3.2 单项式的乘法
【归纳总结】单项式乘法的“四点注意” (1)积的系数是所有系数的积，应注意符号； (2)对于只在一个单项式里出现的字母，应连同它的指数作为积的一个 因式，防止遗漏； (3)单项式乘多项式时，单项式必须乘多项式的每一项，不能漏乘任何 一项； (4)计算过程中不要忽略各项的符号．
3.2 单项式的乘法
1．化简(－3x2)·2x3 的结果是( A ) A．－6x5 B．－3x5 C．2x5 D．6x5
第3章 整式的乘除——单项式与多项式乘法及化简题型归纳 2023—2024学年浙教版数学七年级下册
专题：单项式的乘法、多项式乘法整式化简题型知识点1：单项式乘单项式单项式与单项式的乘法法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
1．计算y 2•（﹣2xy ）的结果是（ ） A ．﹣2xy 3B ．2x 2y 3C ．﹣2x 2y 3D ．2xy 32．计算2a 2•3a 4的结果是（ ） A ．5a 6B ．5a 8C ．6a 6D ．6a 83．（2019•乐清市模拟）计算2a 3•3a 3的结果是（ ） A ．5a 3B ．6a 3C ．6a 6D ．6a 94．计算（﹣3x 2）•2x 3的结果是（ ） A ．﹣5x 6B ．﹣6x 6C ．﹣5x 5D ．﹣6x 55．计算2x •（﹣3xy ）2•（﹣x 2y ）3的结果是（ ） A ．18x 8y 5B ．6x 9y 5C ．﹣18x 9y 5D ．﹣6x 4y 56．若□•3xy ＝27x 3y 4，则□内应填的单项式是（ ） A ．3x 3y 4B ．9x 2y 2C ．3x 2y 3D ．9x 2y 37．若单项式﹣8x a y 和14x 2y b 的积为﹣2x 5y 6，则ab 的值为（ ） A ．2B ．30C ．﹣15D ．158．长方形的长为3x 2y ，宽为2xy 3，则它的面积为（ ） A ．5x 3y 4 B ．6x 2y 3C ．6x 3y 4D ．32xy 2二、填空题9．计算：2a 2b •（﹣3a 3b 2）＝．10．计算：（2xy ）2（﹣5x 2y ）＝ ． 11．计算(−12xy 3)2⋅6x 2y 的结果是 ． 12．计算﹣3a 2b •（-4ab 2）•（-2a 3b ）2的结果为 ． 13．计算：x 4•2（﹣x 2）•（﹣x ）2•[﹣（﹣x 2）3]4•2（﹣x ）2的值为 ． 14．若5a m +1b 2与3a n +2b n 的积是15a 8b 4，则n m ＝ ．三、解答题15．计算（1）（8xy3）4•14xy2z（2）（−23x3y2）3（-15xy）（3）-3ab•（-a2c）2•6ab2 （4）（-2a2b）•364ab2•（-8a3bc）2（5）（3a）2•a4+a•a5﹣（﹣a3）2．（6）7x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．1、化简(−3s+12t)⋅(−7st2)=（）A．21s2t2﹣14st3B．21s2t2−72st3C．﹣21s2t2+14st3D．−21s2t2+7 2 st2．把2a（ab﹣b+c）化简后得（）A．2a2b﹣ab+ac B．2a2﹣2ab+2acC．2a2b+2ab+2ac D．2a2b﹣2ab+2ac3．已知x2﹣4x﹣1＝0，则代数式x（x﹣4）+1的值为（）A．2B．1C．0D．﹣14．若□×xy＝3x2y+2xy，则□内应填的式子是（）A．3x+2B．x+2C．3xy+2D．xy+25．若2x（x﹣2）＝ax2+bx，则a、b的值为（）A．a＝1，b＝2B．a＝2，b＝﹣2C．a＝2，b＝4D．a＝2，b＝﹣46．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy （4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（）A．3xy B．﹣3xy C．﹣1D．17．已知xy2＝﹣2，则﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）的值为（）A．2B．6C．10D．148．已知，a +b ＝2，b ﹣c ＝﹣3，则代数式ac +b （c ﹣a ﹣b ）的值是（ ） A ．5B ．﹣5C ．6D ．﹣69、已知210m m --=，则322023m m m --+的值是（ ） A ．2021B ．2022C ．2023D ．202410、代数式()()232236532a a ab a b a ab a a +-++-的值（ ）A ．与字母a ，b 都有关B ．只与a 有关C ．只与b 有关D ．与字母a ，b 都无关二、填空题10．﹣2xy （x 2y ﹣3xy 2）＝ ．11．若x 2+7x +9＝a （x +1）2+b （x +1）+c ，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ 12．已知x 2+2x ＝﹣1，则代数式5+x （x +2）的值为 ． 13．如果a ﹣b ＝6，ab ＝2019，那么b 2+6b +6＝ ．14．对于任意的x 、y ，若存在a 、b 使得8x +y （a ﹣2b ）＝ax ﹣2b （x ﹣2y ）恒成立，则a +b ＝ ． 15．一个多项式与﹣x 3y 的积为x 6y 2﹣3x 4y ﹣x 3y 4z ，那么这个多项式为 ． 三、解答题 16．计算：（1）−6a ⋅(−12a 2−13a +2) （2）（5mn 2﹣4m 2n+1）（﹣2mn ）（3）（25xy 2）2（54x - 32y + 2） （4）（34x 2y - 12xy 2−56y 3 ）⋅（-4xy 2）17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（−12xy ）＝3x 2y ﹣xy 2+12xy（1）求所捂的多项式；（2）若x =23，y =12，求所捂多项式的值．18．已知：A =12x ，B 是多项式，王虎同学在计算A +B 时，误把A +B 看成了A ×B ，结果得3x 3﹣2x 2﹣x ． （1）求多项式B ． （2）求A +B ．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 1.下列结果计算错误的是( )A.(x +2)(x −3)=x 2−x −6B.(x +4)(x −4)=x 2−16C.(2x +3)(2x −6)=2x 2−3x −18D.(2x −1)(2x +2)=4x 2+2x −22. (x −a)(x 2+ax +a 2)的计算结果是( ) A.x 3+2ax 2−a 3 B.x 3−a 3C.x 3+2a 2x −a 3D.x 3+2ax 2+2a 2−a 33.化简(2x −1)(x 2−3x +3)的结果中，二次项的系数是（ ） A.−5B.−7C.5D.74.若x −3与多项式x +a 的乘积为x 2+x −12，则a 的值为( ) A.2B.4C.−2D.−45.若(x +4)(x −2)=x 2+mx +n ，则m ，n 的值分别是( ) A.2，8B.−2，−8C.−2，8D.2，−86.计算：（1）(3x −2y)⋅(2x −3y)=________. （2）（a + b ）（a 2 – ab + b 2）=7．对于任何实数，我们规定符号|a cb d |=ad −bc ．按照这个规定，当x 2﹣3x +1＝0时，|x 2+x2x −4x +3|的值是 ．8．新定义一种运算，其法则为|acbd |=a 3b 2÷bc ，则|−x 2x 2x 3x|= ．题型01 （x+p ）（x+q ）型多项式乘法1.已知(x +m )(x +n )=x 2+ax +6，且m ，n ，a 都是整数，则a 的值是________.2.已知x 2+bx +c =(x −2)(x +5)，则b +c 的值为________.3.多项式x 2−3x +a 可分解为(x −5)(x −b)，则a ，b 的值分别为________.4.若x 3 - 6x 2 + 11x – 6 = （x - 1）（x 2 + mx + n ），则m= ，n= .5．若2x 3 – ax 2 – 5x + 5 = （2x 2 + ax - 1）（x - b ）+ 3，其中a 、b 为整数，则a + b 的值为 6．若()3221(1)1ax bx ax x x ++=---，则b = ．题型02 已知多项式乘积不含某项求字母的值1.若(x +a)(x −3)的积中不含x 的一次项，则a 的值是________．2．如果多项式(2)y a +与多项式(5)y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ） A ．52-B ．52C ．5D ．25-3、已知()()242x ax x b +-+的展开式中不含2x 项，常数项是8-，则a b -= ．4.已知多项式x ﹣a 与2x 2﹣2x +1的乘积中不含x 2项，则常数a 的值是5.已知将(x 3+mx +n )(x 2−3x +4)展开的结果中不含x 2项，并且x 3的系数为2． 则m +n =______.6.若(x 2+nx +3)(x 2−3x +m )的展开式中不含x 2项和x 3项，求m ，n 的值．7．已知（x ﹣2）（x 2+mx +n ）的乘积项中不含x 2和x 项，求m ，n 的值题型03 整式化简运算1．先化简，再求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x ﹣2）2﹣3x （x ﹣1），其中x ＝1．y ＝﹣3．2.已知x 2﹣2x ﹣2＝0，将下式先化简，再求值：（x ﹣1）2+（x +3）（x ﹣3）+（x ﹣3）（x ﹣1）．3.先化简，再求值：[（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）（x +2y ）﹣2x （2x ﹣y ）]÷2x ，其中x ＝3，y ＝﹣3．4．先化简，再求值：()()()322222084x y x y xy x y xy +-+-÷，其中2023,2024x y ==．5．（1）已知x 2+y 2＝34，x ﹣y ＝2，求（x +y ）2的值．（2）设y ＝kx （x ≠0），是否存在实数k ，使得（3x ﹣y ）2﹣（x ﹣2y ）（x +2y ）+6xy 化简为28x 2？若能，请求出满足条件的k 的值；若不能，请说明理由．题型04多项式乘多项式与图形面积1．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（ ） ①()()2a b m n ++；①()()2a m n b m n +++；①()()22m a b n a b +++；①22am an bm bn +++．A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①①2．将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为1S 和2S ．已知小长方形纸片的长为a ，宽为b ，且a b >．当AB 长度不变而BC 变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD 内，1S 与2S 的差总保持不变，则a ，b 满足的关系是 ．3．如图，某中学校园内有一块长为()32a b +米，宽为()2a b +米的长方形地块，学校计划在中间位置留出一块长为()2a b -米，宽为2b 米的小长方形地块修建一座雕塑，然后将阴影部分进行绿化．(1)求绿化部分的面积；（用含a 、b 的代数式表示） (2)当3a =，1b =时，求绿化部分的面积．题型05 多项式乘法中的规律性问题1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即()na b + (0n =，1，2，3，…)展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，()6a b +展开式的系数和是（ ） A ．32B ．64C ．128D ．2562．观察以下等式①第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯， 第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯ 第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯ 第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯ ……按照以上规律，写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示）： ．3．在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律．例如：()23(1)11a a a a +-+=+；()23(2)428y y y y +-+=+；()2233(3)3927m n m mn n m n +-+=+．(1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a ，b 的等式表示该规律并证明；(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为364(4)t t ->，底面积为2(2)t n +-，装满水时的高度为4t -．求n 的值．4．发现与探索你能求（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…由此我们可以得到：（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）＝．请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：（1）32019+32018+32017+…+3+1；（2）（﹣3）50+（﹣3）49+（﹣3）48+…+（﹣3）．5．解答下列问题：（1）已知a2+b2＝10，a+b＝4，求a﹣b的值．（2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝1，求5n2+9n+2的值．6．阅读理解：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝，（x+y）2＝；（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．7．（1）计算：（a﹣1）（a+1）＝；（a﹣1）（a2+a+1）＝；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝；（2）由此，猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝．（3）请你利用上式的结论，求2199+2198+…+22+2+1的值．。
七年级数学下册第三章整式的乘除3.4乘法公式一课件新版浙教版
两个较复杂的数相乘，且这两数的平均数是一个较简单的 数(或整数)，可以通过变形后运用平方差公式简便运算．
【例 3】 计算： (1)(x＋y)(x－y)(x2＋y2)(x4＋y4)． (2)(2＋1)(22＋1)(24＋1)×…×(232＋1)＋1.
【解析】 (1)若按多项式的乘法进行计算则较为繁琐，可连续运用 平方差公式． (x＋y)(x－y)(x2＋y2)(x4＋y4)＝(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4) ＝(x4－y4)(x4＋y4)＝x8－y8. (2)乘积式不能直接运用平方差公式计算，可以构造两数差(2－1)， 再用平方差公式计算． (2＋1)(22＋1)(24＋1)×…×(232＋1)＋1 ＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)×…×(232＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)×…×(232＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)×…×(232＋1)＋1 ＝……＝264－1＋1＝264.
【答案】 (1)x8－y8 (2)264
3.4乘法公式(一)
学习指要
知识要点
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
2．运用平方差公式进行数的简便运算：根据相乘两数的 形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积 形式．
重要提示
1．平方差公式的结构特征： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同， 另一项互为相反数． (2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)． (3)公式中的 a，b 具有广泛的含义，可以表示一个数，一个字母， 一个单项式，还可以表示一个多项式．
初中数学浙教版七年级下册第3章整式的乘除3.3多项式的乘法【市一等奖】
第3章 整式的乘除多项式的乘法（2）【教学目标】知识与技能1、进一步掌握多项式与多项式相乘的法则.2、会用多项式、单项式的加、减、乘运算化简整式.3、了解多项式的升幂排列和降幂排列.过程与方法⒈让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验多项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算.⒉经历探索多项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力.情感、态度与价值观培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值.【教学重难点】重点：一个一次多项式与一个二次多项式相乘.难点: 用多项式、单项式的加、减、乘运算化简整式.【导学过程】【知识回顾】说一说：多项式相乘的问题，你应该注意些什么？【新知探究】例3计算（1） )4)(2(2--xx（2） ))((22b ab ab a ++-例 4.已知2-=a ，能确定代数式)43)(2()310(2a ab b a b a ab ----的值吗？如果能确定，试求出这个代数式的值.例5.解方程 )1)(1()8(4)2(32x x x x x -+=+-+【随堂练习】1、化简 )2)(1()232)(1(2-+-+--x x x x x x2、解方程 0)7)(1(2)52(=+---x x x x 3、一个长方体的长是)35(b a +，宽是)35(b a -，高是)3(b a +.（1）试用含b a ,的代数式表示该长方体的体积；（2）当3,2==b a 时，求长方体的体积.4、有A,B 两个长方体，A 长方体的长、宽、高分别是x （cm ）,y(cm),z(cm),B 长方体的长、宽、高分别比A 长方体的长、宽、高大1cm,那么B 长方体的体积比A 长方体的体积大多少立方厘米？5、已知36))(3(2++=++mx xp x x ，求p m +的值.6、若)35)((23+-++x x n mx x 展开后不含3x 和2x 项，求n m ,的值.7、观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系；1)1)(1(32+=+-+x x xx ； 8)42)(2(32+=+-+x x xx ； 27)93)(3(32+=+-+x x x x 你发现有什么规律？能用数学符号表示规律吗？按你发现的规律填空： 332()())366)(6(+=+-+x xx 你能很快说出)(y x +与)(22y xy x +-的积吗？那么))((22y xy x y x ++-呢？【知识梳理】这节课你收获了什么？你的问题有哪些？你的困惑是什么？。
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除
3.4乘法公式（2）
【知识重点】
1．完全平方公式：
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
2．字母表示：
(1)(a +b )2=a 2 +2ab +b 2；(2)(a －b )2=a 2－2ab +b 2；(3)两个公式也可以写成(a ± b )2 = a 2 ± 2ab +b 2.
3．乘法公式：
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
4．公式拓展：
拓展一：a 2+b 2=(a +b )2－2aba 2+b 2=(a －b )2+2ab
2)1(1222-+=+a a a
a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：(a +
b )2－(a －b )2=4ab (a +b )2+(a －b )2=2a 2+2b 2
(a +b )2=(a －b )2+4ab (a －b )2=(a +b )2－4ab
拓展三：a 2+b 2+c 2= (a +b +c )2－2ab －2ac －2bc .
【经典例题】
【例1】运算： (x +2)2
【例2】利用完全平方公式计算.
（1）（5-a ）2；（2）（-3m-4n ）2；（3）（-3a+b ）2
【例3】已知 (x +y)2=16 ， (x −y)2=36 ，分别求 x 2+y 2 和 xy 的值.
【基础训练】
1．计算(x −1)2的正确结果是（ ）
A ．x 2+1
B ．x 2−1
C ．x 2−2x +1
D ．x 2+2x +1 2．已知(3x +a)2=9x 2+bx +4，则b 的值为（ ）
A ．4
B ．±6
C ．12
D ．±12 3．已知x 2+2mx+9是完全平方式，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．﹣3
D ．±3 4．设(a+3b)2=(a-3b)2+A ，则A=( )
A ．6ab
B ．12ab
C ．-12ab
D ．24ab 5．若x +y =−2，x 2+y 2=10，则xy =（ ）
A ．-3
B ．3
C ．-4
D ．4
6．计算 ①(2x +y)(2x −y)= ； ②(2x +3y)2= . 7．若m 2+n 2＝5，m+n ＝3，则mn ＝ ．
8．若x −y =3，xy =1，则x 2+y 2= .
9．若x= √2 -1， 则x 2+2x+1= .
10．计算：2952+10×295+52=
11．若9x 2-2（m －4）x ＋16是一个完全平方式，则m 的值为 ．
12.简便计算.（1）89.82 （2）2×20092-20102-20082
13．已知a+b=3，ab=2，求①a 2+b 2 ；②a 2+b 2−ab 的值
14．运用乘法公式计算： (2x +y −2)(2x +y +2) .
【培优训练】
15．已知a ＝2 002x ＋2 003，b ＝2 002x ＋2 004，c ＝2 002x ＋2 005，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
16．已知（x+y ）2﹣2x ﹣2y+1=0，则x+y= ．
17．已知： a 2+b 2=5 ， (3a −2b)2−(3a +2b)2=−48 ，求 a +b 的值．
18．已知 √5−xy +(x +y −7)2=0, 求 x 2+y 2−xy 的值。
19．（1）已知a ＋b ＝2，ab ＝－3，求（1）5a 2＋5b 2
（2）(a －b )2的值．
20．已知 a +b =2,ab =−24,
（1）求 a 2+b 2 的值；
（2）求 (a +1)(b +1) 的值；
（3）求 (a −b)2 的值.
21．根据条件，求代数式的值：
（1）若 x +y =3 ， x 2+y 2=5 ,求 2(x −y)2 的值. （2）若 x −1x =−2 ,求 x 2+1x 2 的值.
22．若 x 、 y 满足 x 2+y 2=8 ， xy =2 ，求下列各式的值.
（1）(x+y)2；
（2）x4+y4；
（3）x-y.
23．两个不相等的实数m，n满足m2+n2＝40.
（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；
（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值.
24．已知x﹣1x=3，求x2+ 1
x2
和x4+
1
x4
的值．
25．阅读材料：若x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，求x、y的值.
解：∵x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，
∴（x2－2xy＋y2）＋（y2－8y＋16）＝0
∴（x－y）2＋（y－4）2＝0，
∴（x－y）2＝0，（y－4）2＝0，
∴y＝4，x＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
已知a、b满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.
26．
（1）已知x＋y＝3，xy＝2．求x2+y2、(x−y)2的值；
（2）已知x＋2y＝3，xy＝1．求x2−xy+4y2的值．
27．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块
小长方形拼成一个如图2的图形．
（1）观察图形，请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系式；
（2）若x+1
x=3
，利用（1）中的结论，求x−1
x的值；
（3）若(2021−m)(2022−m)=4，求(m−2021)2+(2022−m)2的值．
28．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式.
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=8，a2+b2+c2=36，求ab+bc+ac 的值.
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为(4a+7b)(6a+5b)长方形，求x+y+z的值.
【直击中考】
29．计算：(x+2y)2=（）
A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4x2
30．已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（）
A．24B．48C．12D．2 √6
31．若m+n=10，mn=5，则m2+n2的值为．
32．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值.”可以这样解：6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是.。