2021届中考数学精品冲刺复习 新定义问题
2021年中考数学热点专题复习：由圆的定义发现隐圆巧解实际问题
第 1 页 共 3 页 2021年中考数学热点专题复习：由圆的定义发现隐圆巧解实际问题
题目
如图1，在⊙O中，OA是⊙O半径，BC，DE是⊙O的弦，BC垂直平分OA，DEBC于点H，连结AE交BC于点F.若DFAE，则AED的度数是
.
本题通过精确作图(手动逼近)，学生基本上可以猜到正确结果，但却难于完整推理.然而，在实际教学中，一位爱思考的学生的想法却给了我们启发.他的解法如下
连结OD，OF，如图2.
BC垂直平分OA
FOFA
AAOF
DEBC，OABC
//DEOA
AE
12EAOD(同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半)
FODFOA
又OAOD，OFOF
FODFOA
FDFAFO
即点O，A，D在以F为圆心，FO为半径的圆周上，
11904522AODAFD
122.52EAOD
第 2 页 共 3 页 题1
已知:AB是半径为1的⊙O的一条弦，且1ABa，以AB为一边在⊙O内作正ABC，D为⊙O上不同于点A的一点，且DBABa，DC的延长线交⊙O于点E，则AE的长为( )
(A)52a (B)1 (C)32 (D)a
解 如图3，连结AD，以B为圆心，AB长为半径作圆.
BABCBD
A，C，D都在⊙B上
11603022ADCABC
而在⊙O中，弧AE的度数等于2ADE的度数，其大小为60，
1AEr，选B.
题2
如图4，ABBCCAAD，AHCD于点H，CPBC交AH于点P.
求证:ABC的面积34SAPBD
证明 ABACAD
点B，C，D在⊙A上(如图5).
12BDCBAC，12CBDCAD
中考数学《二次函数中的新定义问题》专项训练含答案解析
专题22.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道） 【人教版】 考卷信息：
本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！
1．（2021•雅安）定义：min{a，b}={𝑎(𝑎≤𝑏)𝑏(𝑎＞𝑏)，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
【解答过程】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y={𝑥+1(−1≤𝑥≤2)−𝑥2+2𝑥+3(𝑥＜−1或𝑥＞2)，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
故选：C．
2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，则称x0为该函数的不动点，对于任意实数b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【解题思路】设x为不动点，使y＝x，可得关系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知Δ＞0，即得a的取值范围．
【解答过程】由题意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有两个不相等的实数解，
则△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，对任意实数b恒成立，
把b2﹣4ab+8a看作关于b的二次函数，
则有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，
解得a＝0或a＝2，
①当a≥2时，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，
②当a≤0时，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，
③0＜a＜2时，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，
专题30代数中的新定义问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(学生版)
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挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题30代数中的新定义问题
【例1】（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若𝐹(𝐴)+𝐺(𝐴)16为整数，求出满足条件的所有数A．
【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t1，t2，…tn），其中，t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．
例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算：
新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），M⊗N=12（x1*y1+x2*y2+…+xn*yn），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和N＝（0，0，1），有M⊗N=12（0+0+2）＝1．
（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有： ；
（2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则A⊗B＝ ；
（3）已知完美数组M＝（1，1，1，0）求出所有4元完美数组N，使得M⊗N＝2；
决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品(上海专版) 专题01 创新题型(教师版含解析)
专题01创新题型
模块一：定义应用
例1.定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6] = 3，[3.6] = 4．对于任意实数x，下列式子错误的是( )
A．[x] = x(x为整数) B．0[]1xx
C．[][][]xyxy D．[][]nxnx(n为整数)
【难度】★★
【答案】C．
【解析】由反例[3.82.7]6.56，[3.8][2.7]325可知C错误．
【总结】本题考查取整函数[x]的定义及应用．
例2.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，'y)，给出如下定义：若0'0yxyyx，则称点Q为点P的“可控变点”．如果点(1，2)为点M的可控变点，则点M的坐标为___________．
【难度】★★
【答案】(-1，2)
【解析】由题意得，当0x时，'yy，且x不变，所以当1x，时'2y，
即点M坐标为(1，2)． 【总结】把握好“可控变点”的定义，找出'y与y两者之间存在的关系．
例3.定义一种新运算：2xyxyx，如2212122，则421______．
【难度】★★
【答案】0．
【解析】先计算4224224，再计算2122102．
【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序．
例4.已知1mx，2nx，若规定11mnmnymnmn，则y的最小值为( )
A．0 B．1 C．1 D．2
【难度】★★
【答案】B．
【解析】把1mx，2nx代入，得到1221222xxyxx，当12x时，1y；
当12x时，1y．所以y的最小值是1，故选B．
2021年北京中考数学二模分类——新定义(学生版)
第1页（共12页） 2021年北京中考数学二模分类——新定义 1．在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度． （1）已知点N（2，0），在点M1（0，），M2（1，），M3（2，3）中，对线段ON的可视度为60°的点是 ． （2）如图2，已知点A（﹣2，2），B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2），D（2，2），E（0，4）． ①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为 °； ②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．
第2页（共12页） 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d（M，N）＝0． 已知点A（﹣2，0），B（0，2），C（2，0），D（0，m）． （1）①求d（点O，线段AB）； ②若d（线段CD，直线AB）＝1，直接写出m的值； （2）⊙O的半径为r，若d（⊙O，线段AB）≤1，直接写出r的取值范围； （3）若直线y＝x+b上存在点E，使d（E，△ABC）＝1，直接写出b的取值范围．
第3页（共12页） 3．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”． （1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中， 是点A的“直角点”； （2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
专题69 数与式中的新定义问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-新定义问题
例题精讲
【例1】．定义一种新运算
：，例
如．若
，则k＝．
变式训练
【变1-1】．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，
[﹣π]＝﹣4
，如果，则x的取值范围是（）
A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7
【变1-2】．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：[5]＝5，[2.6]
＝2，[0.2]＝0．现在有一列非负数a1，a
2，a
3，…，已知a
1＝10，当n≥2时，a
n＝a
n
﹣1+1
﹣5（
[]﹣
[]），则a2022的值为．
【例2】．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如
a+bi的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、
乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i
（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i
根据以上信息计算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．变式训练
【变2-1】．贾宪是生活在北宋年间的数学家，著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》等书，
但是均已失传．所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开
方作法本源”图，也称为“杨辉三角”．贾宪发明的“开方作法本源“图作用之一，是为
了揭示二项式（a+b）n
（n＝1，2，3，4，5）展开后的系数规律，即
（a+b）1＝a+b，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
则二项式（a+b）n（n为正整数）展开后各项的系数之和为（）
A．2n﹣1+1B．2n﹣1+2C．2nD．2n+1
【变2-2】．已知n行n列（n≥2）
的数表中，对任意的i＝1，2，…，
专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)
专题31 中考热点新定义问题专项训练（解析版）
专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类
讨论思想，方程思想，函数思想于一体。常以压轴题身份出现。本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载
使用。
一．选择题1．（2021•河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜
y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的
图象为（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：令3x＝x+2，解得x＝1，画出直线y＝3x和直线y＝x+2的图象即可判断．
解：令3x＝x+2，解得x＝1，
直线y＝3x和直线y＝x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x＜1时，x+2＞3x；
当x＞1时，3x＞x+2
，故关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．
二．填空题2．（2021•深圳模拟）用“●”“□”定义新运算：对于数a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，
3□2＝2，则（2020□2021）●（2021□2020）＝ ．
思路引领：根据“●”“□”的运算法则进行计算即可得解．
解：∵a●b＝a，a□b＝b，
∴（2020□2021）●（2021□2020）
＝2021●2020
＝2021．
故答案为：2021．
总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的关键．3．（2021•碑林区校级模拟）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线BF
的延长线与边DE的延长线交于点M，则∠M的大小为 ．
思路引领：根据正求出多边形的内角和公式∠DEF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE，
2021年中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型
2021年中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型 1 / 14 最新 Word
种类一 新定义型
例 1、对随意一个三位数 n，假如 n 知足各数位上的数字互不同样，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”随意两个数位上的数字对换后能够获得三个不一样
的新三位数， 把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F( n) ．比如 n＝123，对换百位与十位上的数字获得 213，对换百位与个位上的数字获得 321，对换十位与个位上的数字获得
132，这三个新三位数的和为 213＋321＋ 132＝ 666，666÷111＝ 6，因此 F(123) ＝ 6．
（ 1）计算： F(243) ， F(617);
（ 2）若 s， t 都是“相异数”，此中s＝ 100x＋ 32，t ＝ 150＋ y(1 ≤ x≤9，1≤ y≤9， x， y
F( s)
都是正整数），规定： k＝ F( t ) , 当 F( s) ＋F( t ) ＝ 18 时，求 k 的最大值．
【解答】解： (1) F(243) ＝ (423 ＋ 342＋234) ÷111＝ 9；
F(617) ＝ (167 ＋ 716＋671) ÷111＝ 14．
（2）∵ s，t 都是“相异数”， s＝ 100x＋ 32， t ＝150＋ y，
∴ F( s) ＝ (302 ＋ 10x＋ 230＋ x＋ 100x＋23) ÷111＝ x＋5， F( t ) ＝ (510 ＋ y＋ 100y＋ 51＋ 105＋
10y) ÷111＝ y＋ 6．
∵ F( t ) ＋ F( s) ＝ 18，
∴ x＋ 5＋ y＋ 6＝ x＋ y＋ 11＝ 18，
∴ x＋ y＝ 7．
∵1≤ x≤9，1≤ y≤9，且 x，y 都是正整数，
∴ x＝ 1或 x＝ 2或 x＝ 3或 x＝4或 x＝5或 x＝
6．
y＝ 6 y＝ 5 y＝ 4 y＝3 y＝2 y＝ 1
备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题2 新定义与阅读理解
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备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题2 新定义与阅读理解
一、单选题（共10题；共20分）
1. ( 2分 ) （2019八下·余姚月考）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 |𝑎𝑐 𝑏𝑑| 的意义是 |𝑎𝑐 𝑏𝑑|
=ad-bc．按照这个规定，若 |𝑥−22𝑥−1 𝑥𝑥−2| ＝0，则x的值是（ ）
A. －4 B. 1 C. －4或1 D. 不存在
2. ( 2分 ) （2020·山西模拟）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点O）到达点A ， 点A对应的数是多少？从图中可以看出OA的长是这个圆的周长π，所以点A对应的数是π，这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来，上述材料体现的数学思想是（ ）
A. 方程思想 B. 从特殊到一般 C. 数形结合思想 D. 分类思想
3. ( 2分 ) （2020·福田模拟）阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y=ax2+bx（a≠0），我们把点（ −𝑏2𝑎 ，
1−𝑏24𝑎 ）称为该抛物线的焦点，把y= −𝑏2+14𝑎 称为该抛物线的准线方程。例如：抛物线y=x2+2x的焦点为（-1， −34 ），准线方程是y= −54 。根据材料，现已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的焦点的纵坐标为3，准线方程y=5，则关于二次函数y=ax2+bx的最值情况，下列说法正确的是（ ）
2021年北京中考数学一模分类——新定义(学生版)
第1页（共14页） 2021年北京中考数学一模分类——新定义 1．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”． （1）已知点A的坐标是（0，2）． ①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标； ②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值； （2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．
第2页（共14页） 2．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交⊙O于点B和点C（AB≤AC），0≤BC≤1，我们把点B称为点A关于⊙O的“斜射点”． （1）如图，在点A1（﹣1，1），A2（0，），A3（，0）中，存在关于⊙O的“斜射点”的是 ． （2）已知若A（0，2），点A关于⊙O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是 ．（写出两个即可） （3）若点A直线y＝kx+k上，点A关于⊙O的“斜射点”为B（﹣1，0），画出示意图，直接写出k的取值范围．
第3页（共14页） 3．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G1，G2给出如下定义：点P为图形G1上一点，点Q为图形G2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形G1，G2的“中立点”．如果点P（x1，y1），Q（x2，y2），那么“中立点”M的坐标为（，）．已知，点A（﹣3，0），B（4，4），C（4，0）． （1）连接BC，在点D（，0），E（0，1），F（，）中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是 ； （2）已知点G（3，0），⊙G的半径为2．如果直线y＝x﹣1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标； （3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y＝2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”．直接写出点N的横坐标n的取值范围．