2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高二(上)期中数学试卷 (1)
（2）当 f（x），g（x）同时满足下列两个条件；
①∃t＜0 使
，
②∀x∈R，使 g（x）+8＞0，求实数 a 的取值范围． 21．（14 分）已知 Sn 是正项数列{an}的求和，a2＝2，2Sn＝an+12﹣an+1．
（1）证明：数列{an}是等差数列；
（2）设 bn＝ ，求{bn}的前 n 项和 Tn；
4．（4 分）已知等比数列{an}的公比为﹣2，且 等于（ ）
A．﹣5
B．﹣3
C．5
D．3
第 4页（共 13页）
【解答】解：由题意可得： ＝
＝1+（﹣2）2＝5．
故选：C． 5．（4 分）若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A． ＞
B． ＜
C． ＜
【解答】解：∵c＞＞b＞0，
﹣
），
即有 S6＝ （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ） ＝ ×（ ﹣ ）＝ ， 故选：A． 7．（4 分）已知等差数列{an}的首项和公差均不为 0，且满足 a2，a5，a7 成等比数列，则
2019-2020 学年江苏省苏州市昆山市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择（4*10＝40）
1．（4 分）已知实数 a＝2，b＝8，则 a，b 的等差中项为（ ）
A．4
B．±4
C．﹣5
D．5
2．（4 分）已知 a∈R，则 a＞1 是 a＞0 的（ A．充分不必要条件
） B．必要不充分条件
C．充要条件
A．
C．
的有（ ） B． D．y＝ex+2e﹣x
12．（4 分）已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn，则下列数列中一定是等比数列的是（ ）
A．
B．{anan+1}
C．{lgan}
D．Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n
13．（4 分）下列说法正确的是（ ）
A．命题∀x∈R，x2+x+1＞0 的否定为∃x∈R，x2+x+1≤0
∴
．
故选：D．
6．（4 分）已知数列{an}的前 n 项和
，
的前 6 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2+2n，
可得 a1＝S1＝3， n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）＝2n+1， 上式对 n＝1 也成立，
可得
＝
＝（
B． ＜
C． ＜
6．（4 分）已知数列{an}的前 n 项和
，
D．3
D． ＞ 的前 6 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）已知等差数列{an}的首项和公差均不为 0，且满足 a2，a5，a7 成等比数列，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4 分）已知 a＞﹣1，b＞﹣2，（a+1）（b+2）＝25，则 a+b 的最小值是（ ）
成等差数列，若存在求出 m 的集合，若不存在说明理由．
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2019-2020 学年江苏省苏州市昆山市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择（4*10＝40）
1．（4 分）已知实数 a＝2，b＝8，则 a，b 的等差中项为（ ）
A．4
B．±4
C．﹣5
D．5
【解答】解：∵实数 a＝2，b＝8，
A．3
B．7
C．9
D．10
9．（4 分）已知数列{an}满足，anam＝an+m，且 a2＝2，那么 a20＝（ ）
A．210
B．220
C．230
D．240
10．（4 分）设 a＞b＞0，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
第 1页（共 13页）
二、多项选择（4*3＝12） 11．（4 分）下列函数中，最小值是
）
A．（0，2]
B．[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【解答】解：令 y＝f（x）＝x+ ，∵f（﹣x）＝﹣x﹣ ＝﹣f（x），
∴y＝x+ 为奇函数，又当 x＞0 时，y＝x+ ≥2， ∴当 x＜0 时，y≤﹣2． ∴y＝x+ 的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 故选：D．
∴a，b 的等差中项为： ＝ ＝5．
故选：D．
2．（4 分）已知 a∈R，则 a＞1 是 a＞0 的（ A．充分不必要条件
C．充要条件
【解答】解：若 a＞1，则 a＞0 成立， 若 a＞0，无法推出 a＞1，
故则 a＞1 是 a＞0 的充分不必要条件，
故选：A．
3．（4 分）函数
的值域为（
） B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（4 分）函数
的值域为（ ）
A．（0，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
B．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
4．（4 分）已知等比数列{an}的公比为﹣2，且 等于（ ）
A．﹣5
B．﹣3
C．5
5．（4 分）若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A． ＞
．
16．（4 分）已知数列{an}，a1＝1，an+1＝
，则 a2019＝
．
17．（4 分）设 x＞0，y＞0，xy＝2，则
的最小值为
，此时 x＝
．
四、解答题（82 分） 18．（12 分）已知 A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}．
（1）求 A，B； （2）若 x∈A 是 x∈B 的必要不充分条件，求 a 的取值范围． 19．（14 分）某种汽车，购车费用 10 万元，第一年维修费 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元， 且每年保险、养路费、汽油费为 0.9 万． （1）设这种汽车使用 x 年的维修费的和 g（x）万元，求表达式． （2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？ 20．（14 分）已知函数 f（x）＝x2+ax﹣1，g（x）＝22x﹣2x+a． （1）当 a＝1 时，不等式 g（x）＜8 的解集；
B．对于命题 p：∃x≤1，x2﹣3x+2≥0 则，￢p 为∀x＞1，x2﹣3x+2＜0
C．a＜b 是 ac2＜bc2 的必要不充分条件
D．m＜2 是
对
恒成立的充分不必要条件
三、填空题（4*4＝16）
14．（4 分）不等式
的解集为
．
15．（4 分）已知等差数列{an}的公差为 2，且 a3+a5＝3，则 a5+a7＝
①求证：Tn＜2，
②解关于 n 的不等式：Tn＞3﹣
．
22．（14 分）已知数列{an}满足
．
（1）求数列{an}的通项； （ 2 ） 已 知 数 列 bn 的 通 项
，对于一切 n，不等式
恒成立，求实数 a 的范围；
（3）设
，是否存在正整数 m，使得数列 cn 中存在 ct 满足，c1，c5，ct（t≥6）
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二(上)期中数学试卷试题及答案(Word解析版)
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知两条直线1:(1)210l a x y -++=，2:30l x ay ++=平行，则(a = ) A ．1-B ．2C ．0或2-D ．1-或22．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ⊥，则1C 在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线CA 上D ．ABC ∆内部3．设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是( ) A ．若b α⊂，//c α，则//b c B ．若b α⊂，//b c ，则//c αC ．若//c α，αβ⊥，则c β⊥D ．若//c α，c β⊥，则αβ⊥4．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题 ①若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是( ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③5．直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是(3,3)-，则其斜率的取值范围是( ) A ．1(1,)5-B ．(-∞，11)(,)2-+∞ C ．(-∞，11)(,)5-+∞ D ．1(,)(12-∞⋃，)+∞6．给出下面四个命题：其中正确的命题是( )①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A ．②③B ．②④C ．①②③D ．①②④7．已知l αβ--是大小确定的一个二面角，若a ，b 是空间两条直线，则能使a ，b 所成的角为定值的一个条件是( ) A ．//a α且//b βB ．//a α且b β⊥C ．a α⊥且//b βD ．a α⊥且b β⊥8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是( )A ．1BC D 9．若二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是( ) A ．(0,)2πB ．[,]32ππC ．[,]62ππD ．[,]63ππ10．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．（理)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒12．某几何体的三视图如图所示，当a b +取最大值时，这个几何体的体积为( )A ．16B ．13C ．23D ．12二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是 ．14．（理)点(1,1)A 到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离的最大值是 ．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E 为1AA 的中点，在对角面11BB D D 上取一点M ，使AM ME +最小，其最小值为 ．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线，其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）三．解答题（本大题共有6小题，总分70分） 17．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．18．有一个倒置圆锥，它的轴截面是一个正三角形，容器内放一个半径为R 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器内水的深度．19．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （1）求证：PC AB ⊥．（2）求二面角B AP C --的正弦值．20．如图，已知，在空间四边形ABCD 中，BC AC =，AD BD =，E 是AB 的中点． （1）求证：平面CDE ⊥平面ABC ；（2）若3AB DC ==，5BC =，4BD =，求几何体ABCD 的体积；（3）若G 为ADC ∆的重心，试在线段AB 上找一点F ，使得//GF 平面CDE ．21．如图，四棱锥P ABCD-的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，6BAD∠=︒．AP=，60AB=，5（1）求证：平面PAC⊥平面POE；（2）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（3）若F是边DC的中点，求异面直线BF与PA所成角的余弦值．22．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE∆是等腰直角三角形，AB AE=，FA FE=，45∠=︒．AEF（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMP平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）求二面角F BD A--的正切值．2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知两条直线1:(1)210l a x y -++=，2:30l x ay ++=平行，则(a = ) A ．1-B ．2C ．0或2-D ．1-或2【解答】解：因为直线1:(1)210l a x y -++=的斜率存在， 又12//l l ， ∴112a a-=--， 1a ∴=-或2a =，两条直线在y 轴是的截距不相等，所以1a =-或2a =满足两条直线平行． 故选：D ．2．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ⊥，则1C 在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线CA 上D ．ABC ∆内部【解答】解：1CA AB CA CA BC ⊥⎧⎫⇒⊥⎨⎬⊥⎩⎭面1ABC⇒面ABC ⊥面1ABC ，∴过1C 在面ABC 内作垂直于平面ABC ，垂线在面1ABC 内，也在面ABC 内， ∴点H 在两面的交线上，即H AB ∈．故选：A ．3．设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是( )A ．若b α⊂，//c α，则//b cB ．若b α⊂，//b c ，则//c αC ．若//c α，αβ⊥，则c β⊥D ．若//c α，c β⊥，则αβ⊥【解答】解：A 选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面； B 选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行； C 选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；D 选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．故选：D ．4．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题 ①若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是( ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③【解答】解：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，因此正确；②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ或相交，因此不正确； ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则//αβ也可能相交，因此不正确；④若m α⊥，//n β，且//m n ，利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，因此正确． 综上可知：只有①④正确． 故选：C ．5．直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是(3,3)-，则其斜率的取值范围是( ) A ．1(1,)5-B ．(-∞，11)(,)2-+∞ C ．(-∞，11)(,)5-+∞ D ．1(,)(12-∞⋃，)+∞【解答】解：因为直线l 过点(1,2)A ，在x 轴上的截距取值范围是(3,3)-， 所以直线端点的斜率分别为：20113-=--，201132-=+， 如图：所以12k >或1k <-． 故选：B ．6．给出下面四个命题：其中正确的命题是( )①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A ．②③B ．②④C ．①②③D ．①②④【解答】解：对于①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条，当90θ=︒时有且只有一条．故错误．②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行，正确；③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行，有时过一条线上的点就不存在这样的平面，故错误．④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等，正确． 故选：B ．7．已知l αβ--是大小确定的一个二面角，若a ，b 是空间两条直线，则能使a ，b 所成的角为定值的一个条件是( ) A ．//a α且//b βB ．//a α且b β⊥C ．a α⊥且//b βD ．a α⊥且b β⊥【解答】解：如图，若a α⊥且b β⊥，过A 分别作直线a 、b 的平行线，交两平面α、β分别为C 、B 设平面ABC 与棱l 交点为O ，连接BO 、CO易知四边形ABOC 四点共面 BOC ∴∠与BAC ∠互补l αβ--是大小确定的一个二面角，而BOC ∠就是它的平面角，BOC ∴∠是定值，BAC ∴∠也是定值即a ，b 所成的角为定值 故选：D ．8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是( )A ．1BC D 【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A ，B ，D 1<，故C 不可能． 故选：C ．9．若二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是( ) A ．(0,)2πB ．[,]32ππC ．[,]62ππD ．[,]63ππ【解答】解：由二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，得m 与β所成的角的大小为3π， 于是β所在平面内的直线与m 所成的角的最小值为3π，而最大值为2π．故选：B ．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：如图：正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是BC 和11A D 的中点，连接AF 和1FC ，根据正方体的性质知，1BB AB ⊥，111C C B C ⊥，故1B 到异面直线AB ，1CC 的距离相等， 同理可得，D 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，又有AB BC ⊥，1C C BC ⊥，故E 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，F 为11A D 的中点，易计算1FA FC =，故F 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，共有4个点． 故选：C ．11．（理)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【解答】解：设三棱柱111ABC A B C -的棱长等于2，延长1MC 到N 使1MN BB =，连接AN ，则1//MN BB ，1MN BB =，∴四边形1BB NM 是平行四边形，可得1//B N BM因此，1AB N ∠（或其补角）就是异面直线1AB 和BM 所成角Rt △11B C N 中，112B C =，11C N =，1B N ∴=Rt ACN ∆中，2AC =，3CN =，AN ∴=又正方形11AA B B 中，1AB =∴△1AB N 中，1cos 0AB N ∠==，可得190AB N ∠=︒即异面直线1AB 和BM 所成角为90︒ 故选：A ．12．某几何体的三视图如图所示，当a b +取最大值时，这个几何体的体积为( )A ．16B ．13C ．23D ．12【解答】解：如图所示，可知AC =1BD =，BC b =，AB a =．设CD x =，AD y =，则226x y +=，221x b +=，221y a +=，消去2x，2y得222()82a ba b++=…，所以()4a b+…，当且仅当2a b==时等号成立，此时x=y=所以1111322V=⨯⨯=．故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a，b，c分别是ABC∆中A∠、B∠、C∠所对边的边长，则直线sin0x A ay c++=与sin sin0bx y B C-+=的位置关系是垂直．【解答】解：两直线的斜率分别为sin Aa-和sinbB，ABC∆中，由正弦定理得2sin sina bRA B==，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于sin121sin2A bRa B R-⨯=⨯=--，故两直线垂直，故答案为：垂直．14．（理)点(1,1)A到直线cos sin20x yθθ+-=的距离的最大值是2+【解答】解：由点到直线的距离公式可得，)2|24dπθ==+-…故答案为：2+15．如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为a，点E为1AA的中点，在对角面11BB D D上取一点M，使AM ME+最小，其最小值为2．【解答】解：取1CC的中点F，则ME MF=，32AM ME AM MF AF a∴+=+==…故答案为：32a16．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线，其中真命题的编号是 ①③④ ．（写出所有真命题的编号）【解答】解：①1//BC 平面1ACD ，1//BC ∴上任意一点到平面1AD C 的距离相等，所以体积不变，正确．②P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面1ACD 所成角和直线1AC 与平面1ACD 所成角不相等，所以不正确．③当P 在直线1BC 上运动时，AP 的轨迹是平面1PAD ，即二面角1P AD C --的大小不受影响，所以正确．④空间中到点D 和1C 距离相等的点的轨迹是线段1DC 的中垂面，又点M 在面1111A B C D 内，则点M 的轨迹是面1111A B C D 与 线段1DC 的中垂面的交线，即1AD ，所以正确． 故答案为：①③④三．解答题（本大题共有6小题，总分70分） 17．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）若20a -=，解得2a =，化为30x y +=． 若10a +=，解得1a =-，化为30y +=，舍去． 若1a ≠-，2，化为：1221x y a a a +=--+，令221a a a -=-+，化为11a +=，解得0a =， 可得直线l 的方程为：20x y ++=．综上所述直线l 的方程为：20x y ++=或30x y +=； （2）(1)2y a x a =-++-， l 不经过第二象限，∴(1)020a a -+⎧⎨-⎩……， 解得：1a -…．∴实数a 的取值范围是(-∞，1]-．18．有一个倒置圆锥，它的轴截面是一个正三角形，容器内放一个半径为R 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器内水的深度．【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为R 的铁球，这时水面记为AB ， 将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF ． 三角形PAB 为轴截面，是正三角形，三角形PEF 也是正三角形，圆O 是正三角形PAB 的内切圆． 由题意可知，DO CO R ==，2AO R OP ==，AC =， V ∴球343R π=，未取出小于时，圆锥的体积，即231)333V V R R ππ+=⋅=水球，又设HP h =，则EH =231)39V h h ππ∴=⋅=水，则3334393h R R πππ+=，h ∴=19．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （1）求证：PC AB ⊥．（2）求二面角B AP C --的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接PD ，CD ．AP BP =，PD AB ∴⊥．CA CB =，CD AB ∴⊥． PDCD D =，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，PA PAB =，APC BPC ∴∆≅∆，又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，且AC PC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ，连接BE ，CE ．BA BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE ∆中，90BCE ∠=︒，2BC =，BE AB ==，sin BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --20．如图，已知，在空间四边形ABCD 中，BC AC =，AD BD =，E 是AB 的中点． （1）求证：平面CDE ⊥平面ABC ；（2）若3AB DC ==，5BC =，4BD =，求几何体ABCD 的体积；（3）若G 为ADC ∆的重心，试在线段AB 上找一点F ，使得//GF 平面CDE ．【解答】解：（1）证明：BC AC =，E 为AB 的中点， AB CE ∴⊥．又AD BD =，E 为AB 的中点AB DE ∴⊥． DECE E =AB ∴⊥平面DCE AB ⊂平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC ．（2）在BDC ∆中，3DC =，5BC =，4BD =， CD BD ∴⊥，在ADC ∆中，3DC =，4AD BD ==，5AC BC ==， CD AD ∴⊥，AD BD D CD =∴⊥平面ABD ．所以线段CD 的长是三棱锥C ABD -的高又在ADB ∆中，DE ==11553553332C ABD V -∴==（3）在AB 上取一点F ，使2AF FE =，则可得//GF 平面CDE 取DC 的中点H ，连AH 、EH G 为ADC ∆的重心，G ∴在AH 上，且2AG GH =，连FG ，则//FG EH又FG ⊂/平面CDE ，EH ⊂平面CDE ， //GF ∴平面CDE21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O 、E 分别是AD 、AB 的中点，6AB =，5AP =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：四棱锥P ABCD -的底面是菱形， AC BD ∴⊥，又O ，E 分别是AD 、AB 的中点， //OE BD ∴， OE AC ∴⊥， PO ⊥底面ABCD ， AC ⊂面ABCD ，PO AC ∴⊥，又OE OP O =，AC ∴⊥平面POE ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面POE ．（2）解：过点B 作BM OE ⊥ 于M ，易证PO BM ⊥，OE ，OE OP O =，BM ∴⊥平面POE ，PM ∴ 是PB 在平面POE 上的射影，BPM ∠ 即为所求．四边形ABCD 是菱形， E 是AB 中点， 116322BE AE AB ∴====， 又底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， AOE ∴∆是等边三角形， 60AEO BEM ∴∠=∠=︒，BM ∴=又5AP =，3OA =，∴在直角三角形POA 中得4OP ==，在直角三角形POB 中，OB =，4OP =，PB ∴==，∴在Rt PMB ∆中，BM =PB =，所以sin BM BPM PB ∠==； （3）解：取PB 的中点T ，AB 的中点H ，连BF ，DH ，TH ．易证//DH BF ，//TH PA DHT ∴∠ 即为异面直线BF 与PA 所成角或其补角，在三角形PDB 中，5PD =，6DB =，PB = 222cos2PD PB DB BPD PD PB +-∠===在三角形PDT 中，2224379 2cos25543441043DT PD PT PD PT BPD=+-∠=+-=，所以DT=在DHT∆中，DH=，52HT=，DT=222cos2522332HT DH DTDHTHT DH+-∠===，tan DHT∠=．22．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE∆是等腰直角三角形，AB AE=，FA FE=，45AEF∠=︒．（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMP平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）求二面角F BD A--的正切值．【解答】（1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，平面ABEF⋂平面- 21 - ABCD AB =，所以BC ⊥平面ABEF ，所以BC EF ⊥．因为ABE ∆为等腰直角三角形，AB AE =，所以45AEB ∠=︒ 又因为45AEF ∠=︒，所以90FEB ∠=︒，即EF BE ⊥，因为BC BE B =，所以EF ⊥平面BCE ．（2）解：存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，//PM 平面BCE ． 取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，PM ，则MN 平行且等于12AB 平行且等于PC ， 所以PMNC 为平行四边形，所以//PM CN ，因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以//PM 平面BCE ；（3）解：由EA AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD ， 作FG AB ⊥，交BA 的延长线于G ，则//FG EA ，从而，FG ⊥平面ABCD ， 作GH BD ⊥于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD FH ⊥，因此，AEF ∠为二面角F BD A --的平面角． 因为FA FE =，45AEF ∠=︒，所以90AFE ∠=︒，45FAG ∠=︒． 设1AB =，则1AE =，AF =，1sin 2FG AF FAG =∠= 在Rt FGH ∆中，45GBH ∠=︒，13122BG AB AG =+=+=，3232sin 2GH BG GBH =∠== 在Rt FGH ∆中，tan FG FHGGH ==，故二面角F BD A --．。
2第二讲 空间向量的基本定理-教师版
第二讲空间向量的基本定理【基础知识】一、空间向量基本定理1.如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x a+y b+z c.我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底2.基向量的选择和使用方法用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向量应注意:(1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断;(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知向量;(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.3.用基底表示向量的步骤(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.二、空间向量的正交分解如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量x i,y j,z k,使a=x i+y j+z k.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.【考点讲解】考点一：对平面向量基本定理的理解例1．（多选）（2021-2022学年河北省邯郸市高二上学期期末）已知a，b，c是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（）A ．若0xa yb zc ++=，则0x y z ===B ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面C ．一定存在实数x ，y ，使得a xb yc =+D ．a b +，b c -，2c a +一定能构成空间的一个基底 【答案】ABD【解析】∵a ，b ，c 是空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，且两两共面､不共线， ∵若0xa yb zc ++=，则0x y z ===，A 正确，B 正确；若存在x ，y 使得a xb yc =+，则a ，b ，c 共面，与已知矛盾，C 错误；设()()()22a b x b c y c a ya xb y x c +=-++=++-，则21,1,0,y x y x =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，∵a b +，b c -，2c a +不共面，D 正确.故选ABD. 考点二：对基底的理解例2．设x a b =+，y b c =+，z c a =+，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：∵{},,a b x ；∵{},,x y z ；∵{},,b c z ；∵{},,x y a b c ++，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】如图，作平行六面体1111ABCD A B C D -，AB a =，AD b =，1AA c =， 则AC a b =+，1AD b c =+，1AB c a =+，1AC a b c =++，由平行六面体知，,,a b x 共面，,,x y z 不共面，,,b c z 不共面，,,x y a b c ++不共面， 因此可以作为空间的基底的有3组．故选C ．考点三：选择基底表示某一向量例3．（2021-2022学年河南省郑州市高二上学期期末）已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12c a b -- B ．()12b ac -- C ．()12a cb -- D ．()12c a b ++ 【答案】A【解析】()11122212MN ON OM OC OA O b B c a ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎭-⎝.故选A考点四：选择基底求解向量的模或线段长度例4．（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（ ）AB ．CD 【答案】C【解析】由题意得11,2AB AD AA ===，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒， 因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++,所以()2211AC AB AD AA =++212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒ 10=，所以110AC =C考点五：选择基底求解角度问题例6．（2021-2022学年重庆市四川外语学院高二上学期10月月考）二面角l αβ--的棱上有两个点A 、B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱l ，若4AB =，6AC =，8BD =，CD =α与平面β的夹角为_________.【答案】60【解析】设平面α与平面β的夹角为θ，因为AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以=0CA AB ⋅，=0BD AB ⋅由题意得CD CA AB BD =++，所以()(2222222222222361664268cos CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD CA AB BD CA BD πθ=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⋅=+++⨯⨯⨯-= 所以()1cos 2πθ-=-，所以1cos 2θ=，所以60θ︒=，即平面α与平面β的夹角为60.考点六：选择基底求解数量积问题例7．（2021-2022学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期期中）已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】D【解析】四面体ABCD 的所有棱长均为2，则向量,,AB AC AD 不共面，两两夹角都为60，则22cos 602AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=， 因点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则1()2AF AC AD =+，12CE AE AC AB AC =-=-， 211()(2)(22)44AF CE AC AD AB AC AC AB AD AB AC AC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅21(222222)24=+-⨯-⨯=-，所以2AF CE ⋅=-.故选D【课堂练习】1. （2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中）已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（ ） A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】D【解析】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面，故选D2. （2021-2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D【解析】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选D3.（2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中）如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，3MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）A ．118 B ．98C ．78D ．58【答案】C【解析】由题意，33()44OG OM MG OM MN OM OM OC CN =+=+=+-++133444OM OC CN =++133848OA OC CB =++133()848OA OC OB OC =++- 813388OA OB OC =++ 又OG xOA yOB zOC =++，所以133,,888x y z ===，78x y z ++=．故选C ．4. （2021-2022学年福建省福州市八县（市）一中高二上学期期中）若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A ．{,2,3}a b cB ．{,,}a b b c c a +++C ．{2,23,39}++-a b b c a cD ．{,,}++a b c b c【答案】ABD【解析】由于,,a b c 不共面,可A,B,D 中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(23)(39)3(2)++-=+b c a c a b ，故这三个向量是共面的,不能构成基底.故选ABD5.（多选） （2021-2022学年福建省福州市高二下学期期中）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB a =，AD b =，AA c '=．若CM MD '=，12A C A P ''=，则（ ）A ．a A C b c =++'B ．1122AM a b c =++C ．A ，P ，D 三点共线 D ．A ，P ，M ，D 四点共面【答案】BD【解析】A C AC AB AD a b c A A AA '=-=+-='+'-，A 选项错误. ()()11112222AM AC A AB AD AD a b c D AA =+=+++='++'，B 选项正确. 12A C A P ''=则P 是A C '的中点，()()()111222c AP AC AA AB AD A b A a ''=+=++++=， c AD b AD AA ''=+=+，则不存在实数λ使AP AD λ'=，所以C 选项错误.()1112212122P a b c a b c b M AM AP AD +==⎛⎫=--= ⎪⎝++⎭+，由于,P M ∉直线AD ，所以,,,A P M D 四点共面，所以D 选项正确. 故选BD6. （多选）（2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =___________.【答案】1231122e e e +-【解析】在ABC 中，因为E 是BC 的中点，所以()()121122AE AB AC e e +=+=， 所以1231122DE DA AE e e e =+=+-.7. （2021-2022学年河北省邯郸市高二上学期期末）已知平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为4，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1AA 的中点，则EC =___________. 【答案】6【解析】设AB a =，AD b =，1AA c =，则11122EC AC AE AB AD AA a b c =-=+-=+-，∵222222211111244424444443644222EC a b c a b a c b c =+++⋅-⋅-⋅=++⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∵6EC =.8.（2021-2022学年江苏省徐州市王杰中学高二下学期3月阶段性测试）如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =．(1)试用OA ，OB ，OC 表示向量OG ；(2)若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OG AB ⋅的值． 【解析】 (1)解：2AG GE =，∴2()OG OA OE OG -=-，32OG OE OA ∴=+又2OE OB OC =+∴111333OG OA OB OC =++(2)解：由（1）可得知111()()333OG AB OA OB OC OB OA ⋅=++⋅-22111111333333OA OB OA OB OB OA OC OB OC OA =⋅-+-⋅+⋅-⋅ 2211113333OA OB OC OB OC OA =-++⋅-⋅ 22111111233442333232=-⨯+⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 44732333=-++-=【课后练习】1.（2021-2022学年江苏省苏州市昆山市七校高二上学期12月联考）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形．若1160A AB A AD ∠=∠=，且12AA =，则1AC 的长为（ ）AB CD ．2【答案】A【解析】111AC AA AC AA AD AB =-+=-++，故()2211AC AA AD AB =-- 222111222AA AD AB AA AD AA AB AB AD =++-⋅-⋅+⋅11411212212022=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+2=，故12AC =，故选A 2. （2021-2022学年广东省佛山市南海区桂城中学高二下学期第二次段考）四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（ ） A ．121232a b c -+B ．221332a b c +-C ．111222a b c +-D ．211322a b c -++【答案】D【解析】由已知()11112222ON OB BN OB BC OB OC OB b c =+=+=+-=+，所以，()1221123322MN ON OM b c a a b c =-=+-=-++，故选D. 3. （2021-2022学年广东省揭阳市揭西县高二上学期期末）若{}a b c ，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A ．b c +，b ，b c - B ．a b +，a b -，c C ．a ，a b +，a b - D ．a b +，a b c ++，c【答案】B【解析】对于A ：()()20b c b c b ++--=，因此A 不满足题意；对于B ：根据题意知道a ，b ，c 不共面，而a b +和a b -显然位于向量a 和向量b 所成平面内，与向量c 不共面，因此B 正确；对于C ：()()2a a b a b =++-，故C 不满足题意；对于D ：显然有()()c a b c a b =++-+，选项D 不满足题意． 故选B4.（2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期3月月考）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）A ．[]0,4B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,2 【答案】B【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==, ()()()2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON ⋅=+⋅+=+⋅++⋅,因为MN 是正方体内切球的一条直径，所以0OM ON +=，1OM ON ⋅=-，所以21PM PN PO ⋅=-，又点Р在正方体表面上运动，所以当P 为正方体顶点时，PO 最大，且最大值为当P 为内切球与正方体的切点时，PO 最小 ，且最小为1；所以2012PO ≤-≤，所以PM PN ⋅的取值范围为[]0,2，故选B5. （多选）（2021-2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第一次学情调研）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）A ．b c +，b ，b c -B ．a ，a b +，a b -C ．a b +，a b -，cD ．a b +，a b c ++，c 【答案】ABD【解析】对于A ，因为()()12b c b b c ⎡⎤=+⎣⎦+-，故b c +，b ，b c -共面； 对于B ，因为()()12a b a a b ⎡⎤=+⎣⎦+-，故a ，a b +，a b -共面；对于D ，因为()c a b c a b =++-+，故a b +，a b c ++，c 共面；对于C ，若a b +，a b -，c 共面，则存在实数,λμ，使得：， ()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，故,,a b c 共面，这与{},,a b c 构成空间的一个基底矛盾，故选ABD6. （多选）（2021-2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列正确的是（ ）A ．1122BM a b c =-+B ．1AC a b c =++C ．1ACD ．16cos ,3AB AC =【答案】BD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A 选项，()111111222BM BB B M AA BA BC b a c =+=++=-+，A 错误， 对于B 选项，11AC AB AD CC a b c =++=++，B 正确：对于C 选项，1AC a b c =++，则222221()2226AC a b c ab c a b a c b c =++=+++⋅+⋅+⋅=， 则1AC =C 错误：对于()212AB AC a a b c a a b a c ⋅=⋅++=+⋅+⋅=，则1116cos ,3AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅D 正确.故选BD.7．（多选）（2021-2022学年浙江省金华市曙光学校高二上学期10月月考）已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ） A ．1m =，12n =- B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n = 【答案】CD【解析】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=， 而12OP OA mOB nOC =+-，所以有11122m n m n +-=⇒-=， 当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能； 当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能； 当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能； 当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能， 故选CD8. （2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末）已知向量OA ，OB ，OC 不共线，点P 在平面ABC 内，若存在实数λ，m ，n ，使得OP OA mOB nOC λ=++，那么m n λ++的值为________.【答案】1【解析】因为点P 在平面ABC 内，则由平面向量基本定理得：存在,x y ，使得：AP xAB yAC =+即()()OP OA x OB OA y OC OA -=-+-，整理得：(1)OP xOB yOC x y OA =++--， 又OP mOB nOC OA =++λ，所以1x y =--λ，m x =，n y =，从而1m n λ++=. 9. （2021-2022学年河南省名校联盟高二上学期期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，2AB =，13AA =，11A AB A AD θ∠=∠=，若15AC =，则cos θ=___________. 【答案】13【解析】()221111,AC AB AD AA AC AB AD AA =++=++ 212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 4490223cos 223cos θθ=++++⨯⨯+⨯⨯11724cos 25,cos 3θθ=+==. 10. 如图所示，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且60MAB MAD ∠=∠=︒，N 是CM 的中点，设a AB =，b AD =，c AM =，用a 、b 、c 表示向量BN ，并求BN 的长．【解析】因为N 是CM 的中点，底面ABCD 是正方形， 所以()1122BN BC CN AD CM AD AM AC =+=+=-+ ()11111112222222AD AM AD AB AB AD AM a b c ⎡⎤=+-+=-++=-++⎣⎦， 又由题意，可得2a AB ==，2b AD ==，3c AM ==，60MAB MAD ∠=∠=︒， 90DAB ∠=︒，因此2222211122222214BN a a a a b c b c b c b c ⎛⎫⎛⎫==-++++-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+ ()223cos610223co 174490044s6-⨯⨯︒+⨯⨯=︒++-=，所以17BN =BN .。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
2019-2020学年度第一学期教学质量监测与评价高二数学(理)试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．(a4，0)B．(−a4，0)C．(0，14a)D．(0，−14a)2．盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若90°＜θ＜180°，曲线x2﹣y2cosθ＝1表示（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆4．总体由编号为00，01，02，…48，49的50个个体组成．利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第8个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表：A．16 B．19 C．20 D．385．为积极支持和配合安顺市申报全国文明城市，全市中小学校开展了《扣好人生第一粒扣子》系列主题团课，某县文明办要从2018名学生中抽取50名开展相关问卷调查．先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2018人中，每个人被抽取的可能性（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为251009D．都相等，且为1406．如果执行如图的程序框图，那么输出的S＝（）A．22 B．46 C．94 D．1907．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（）A．15B．25C．35D．358．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为√2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．过点M （﹣4，0）的直线l 与椭圆x 2+4y 2＝8交于点P 1，P 2的两点，设线段P 1P 2的中点为P ．若直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．−12D ．−1410．已知实数a 满足1＜a ＜2，命题p ：函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间[0，1]上是减函数；命题q ：|x +1|＜1是x ＜a 的充分不必要条件．则（ ） A ．“￢p 或￢q ”为真命题 B ．“p 且q ”为假命题C ．“￢p 且q ”为真命题D ．“p 或q ”为真命题11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，2）B ．（1，√3）C ．（√3，2）D ．（2，+∞）12．已知F 1，F 2分别为椭圆的x 23+y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →=5F 2B →，则点A 的坐标可以是（ ） A ．（1，√63）B ．（−√3，0）C ．（0，﹣1）D ．（√2，√33）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x ∈[π4，π3]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 14．有下列四个命题：①“若a 2+b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0” ②若事件A 与事件B 互斥，则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）； ③在△ABC 中，“A ＜B ”是“sin A ＜sin B ”成立的充要条件；④若α、β是两个相交平面，直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 平行的直线．上述命题中，其中真命题的序号是 ．15．已知△ABC 的两边AB ＝4，AC ＝7，D 点为边BC 上一点，且AD 平分∠BAC ，现随机将一粒豆子撒在△ABC 内，则豆子落在△ABD 内的概率是 ． 16．如图，设椭圆x 216+y 24=1的左右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2的内切圆的面积为4，设A 、B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），。
江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一上学期期中数学试题(解析版)
江苏省常州市“教学研究合作联盟” 2019-2020学年度第一学期期中质量调研高一数学试卷一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合{1,2,4,6}A =，{2,6,7}B =，A B 的子集个数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合,A B 的交集,进而可求得交集的个数. 【详解】由题意,{2,6}A B =,故A B 的子集个数为224=.故选:C.【点睛】集合A 有n 个元素,则它的子集有2n 个.2.函数lg(3)y x =-的定义域为（ ）A. (1,3)B. [1,3)C. (3,)+∞D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可.【详解】由题意可得,1030x x -≥⎧⎨->⎩,解得13x ≤<.故选:B.【点睛】求函数定义域要注意: ①分母不为零;②偶次根式的被开方数非负; ③对数的真数部分大于零;④指数与对数的底数大于零且不等于1; ⑤函数tan y x =中ππ,2x k k ≠+∈Z ⑥0x 中0x ≠.3.已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，则[](3)f g =（ ）A. 4B. 1C. 3D. 9【答案】A 【解析】 【分析】由表中数据可求得()3g 的值,进而可求得[](3)f g 的值. 【详解】由题意,()31g =,则[](3)(1)4f g f ==. 故选:A.【点睛】本题考查求函数的值,利用表格中数据是解决本题的关键,属于基础题. 4.己知函数1()1x f x a+=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，则A 的坐标为（ ）A. (0,1)B. (1,1)-C. (1,2)-D. (0,2)【答案】C 【解析】 【分析】由01a =,将1x =-代入函数表达式,可求出答案.【详解】由函数xy a =（0a >,且1a ≠）的图象恒过定点()0,1,对函数()f x ,令1x =-,可得11(1)12f a-+-=+=, 故函数()f x 的图象恒过定点(1,2)-. 故选:C.【点睛】本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题. 5.函数()24xf x x =+-的零点所在的区间为（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)【答案】B 【解析】 【分析】由题易得(1)(2)0f f ⋅<,结合函数零点存在性定理可得到答案.【详解】由题意知,0(0)20430f =+-=-<,1(1)21410f =+-=-<,2(2)22420f =+-=>,3(3)23470f =+-=>,4(4)244160f =+-=>,因为(1)(2)0f f ⋅<,所以(1,2)是函数()f x 的零点所在的一个区间. 故选:B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题. 6.函数lg |1|y x =-+的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域,可排除A,C,再由1x =时,0y <,可排除B,从而选出答案. 【详解】函数lg |1|y x =-+定义域为{}1x x ≠-,可排除A,C;当1x =时,lg 20y =-<,显然只有D 符合题意. 故选:D.【点睛】本题考查了函数的图象,掌握对数函数的图象性质是解决本题的关键,属于基础题.7.若幂函数()y f x =的图象经过点P ⎛ ⎝⎭，则(9)f =（ ） A. 9 B.19C. 3D.13【答案】D 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式,将点3,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭代入,可求得()f x 的解析式,进而可求得(9)f . 【详解】由题意,设()f x x α=,则3(3)f α==,解得12α=-.的所以12()f x x -=,121(9)93f -==. 故选:D.【点睛】本题考查了幂函数的解析式,考查了求函数的值,属于基础题.8.已知 2.513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 3b =，132c =，则（ ） A. b a c << B. c b a << C. c a b <<D. a c b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,可比较出,,a b c 的大小.【详解】由指数函数的单调性可得, 2.511331a ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,103221c =>=,即01a <<,1c >, 由对数函数的单调性可得, 1122log 31log 0b =<=,即0b <,所以b a c <<. 故选:A.【点睛】本题考查几个数的大小比较,利用指数函数与对数函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题.9.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则12log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.1516B. 1516-C. 15-D. 15【答案】C 【解析】 【分析】由()12log 164f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,结合函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,可得()()44f f -=-,求出()4f 即可求得答案.【详解】由题意,()12log 164f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为函数()y f x =是定义在R 上奇函数，所以()()44f f -=-,当0x >时，()21xf x =-，则()442115f =-=,故()12log 16415f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故选:C.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.10.“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒时弓箭距离地面的高度为x 米，可由25x at t =-确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为（ ） A. 135米 B. 160米C. 175米D. 180米【答案】D 【解析】 【分析】将3t =,135x =,代入25x at t =-,可求得a 的值,进而结合二次函数的性质,可求得x 的最大值.【详解】由题意,当3t =时,135x =,代入25x a t t =-,可得135359a =-⨯,解得60a =,则()2260556180x t t t =--+=-,当6t =时,x 取得最大值180.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用,利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键,属于基础题.11.已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意x ∈R ，都满足()()f x f x -=，且对于任意的,(,0]a b ∈-∞，当a b ¹时，都有()()0f a f b a b-<-，若(2)(lg )f f x -<，则实数x 的取值范围是（ ）的A. 1,100⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 1,(100,)100⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 1,100100⎛⎫⎪⎝⎭ D. 10,(100,)100⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 分析】由题意可得,函数()f x 是定义在R 上的偶函数,在(,0]-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,结合(2)(lg )f f x -<,可得lg 2x >,求解即可. 【详解】由题意,函数()f x 对于任意的,(,0]a b ∈-∞，当a b ¹时，都有()()0f a f b a b-<-,则函数()f x 在(,0]-∞上单调递减,又()f x 的定义域为R ,且满足()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数,故函数()f x 在()0,∞+上单调递增. 由(2)(lg )f f x -<,可得lg 2x >,即lg 2x >或者lg 2x <-,解得100x >或10100x <<. 故选:D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.12.已知函数()y f x =，()y g x =，两者的定义域都是I ，若对于任意x I ∈，存在0x ，使得()0()f x f x ≥，()0()g x g x ≥，且()()00f x g x =，则称()f x ，()g x 为“兄弟函数”，已知函数2()2(,)f x x px q p q =++∈R ，24()x x g x x-+=是定义在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”那么函数()f x 在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ）A. 3B.343C.529D. 13【答案】C 【解析】 【分析】【结合“兄弟函数”的定义,可求得()g x 在2x =时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得()f x 的解析式,进而可求得()f x 在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】由题意,244()1x x g x x x x-+==+-,易知()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(]2,3上单调递增,则()g x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4(2)2132g =+-=. 所以()f x 在2x =时取得最小值3.故函数()f x 满足222(2)443pf p q -⎧=⎪⎨⎪=++=⎩,解得27p q =-⎧⎨=⎩,则22()47(2)3f x x x x =+=-+-, 故当13x =时,()f x 取得最大值为21152()(2)3339f =-+=. 故选:C.【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.二、填空题：共4题，每题5分，共20分13.若集合[2,1]A =-，{|0}B x x m =+≥，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】[2,)+∞. 【解析】 【分析】先求得集合B ,再由A B ⊆可列出不等式,进而可求得答案. 【详解】由题可知,[),B m =-+∞,因为[2,1]A =-,A B ⊆,所以2m -≥-,即2m ≥. 故答案为:[2,)+∞.【点睛】本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.14.已知函数()f x 在R 上为偶函数，且0x ≥时，3()2f x x x =-+，则当0x <时，()f x =________.【答案】32x x -++ 【解析】 【分析】当0x <时,0x ->,可求得()f x -的表达式,再由()f x 在R 上为偶函数,可得()()f x f x -=,从而可求出0x <时,()f x 的表达式.【详解】当0x <时,0x ->,则3()2f x x x -=-++,又函数()f x 在R 上为偶函数,则3()()2f x f x x x -==-++,故当0x <时,3()2f x x x -+=+. 故答案为:32x x -++.【点睛】本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题.15.已知函数2()24f x ax x =+-在(,1)x ∈-∞上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________.【答案】[1,0]- 【解析】 【分析】结合a 是否等于0进行分类讨论,再结合一次函数与二次函数的性质可求得答案. 【详解】当0a =时,()24f x x =-是R 上的增函数,显然符合题意;当0a ≠时,()f x 是二次函数,由函数在(,1)x ∈-∞上是单调递增函数,可得011a a<⎧⎪-⎨≥⎪⎩,解得10a -≤<.综上,实数a 的取值范围是[1,0]-. 故答案为:[1,0]-.【点睛】本题考查了函数单调性的应用,考查了一次函数与二次函数的性质,属于基础题.16.已知R a ∈，函数2234,0()2,0x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，若对于任意的[4,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[0,4] 【解析】 【分析】分0x >和40x -≤≤两种情况分类讨论,结合二次函数的性质可求得a 的范围. 【详解】对于任意的[4,)x ∈-+∞,()||f x x ≤恒成立, 当0x >时,2()2f x x x a x =-+-≤,即212a x ≥-, 因为20x >,所以2102x -<,则0a ≥; 当40x -≤≤时,2()34f x x x a x =++-≤-,即244a x x ≤--+, 令2()44h x x x =--+,则()h x 在[4,2]--上单调递增,在(]2,0-上单调递减,()()2(4)44444h -=---⨯-+=,(0)0044h =-+=,故2444x x --+≥,则4a ≤.所以,实数a 的取值范围是[0,4].【点睛】本题考查了分段函数的性质,利用参变分离及二次函数的性质是解决本题的关键,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分17.（1）已知2a ≤1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）求值：239log 63log 10(lg 2lg3)log 27-+⋅++. 【答案】（1）7；（2）3. 【解析】 【分析】（1）结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可; （2）结合对数的运算性质,进行化简即可.【详解】（1）2(2)|2|a a -=-,又2,20a a ≤-≤,2a =-.33(3)3a a +=+,12124-⎛⎫= ⎪⎝⎭, 12142327a a -⎛⎫ ⎪=-+++⎭=⎝. （2）239log 63log 10(lg 2lg3)log 27-+⋅++321log 32363log 10lg6log 3=+⋅+131322=++=. 【点睛】本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题.18.设U =R ，{|22,0}A x a x a a =-<<+>，{|41}B x x =-≤≤.（1）若2a =，求()U A B ∩ð；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|14}x x <<；（2）6a >【解析】【分析】 （1）由集合B 可求得U B ð,再由2a =可得到集合A ,然后将集合A 与U B ð取并集即可;（2）由A B A ⋃=可知B A ⊆,进而可得2421a a -<-⎧⎨+>⎩,求解即可. 【详解】（1）由{|41}B x x =-≤≤,则{4U B x x =<-ð或}1x >, 2a =,则{|04}A x x =<<所以(){|14}U A B x x ⋂=<<ð.（2）由A B A ⋃=,则B A ⊆, 可得2421a a -<-⎧⎨+>⎩,解得6a >. 所以实数a 的取值范围是6a >. 【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19.已知函数()121x m f x =--是奇函数. （1）求实数m 的值；,（2）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是单调增函数.【答案】（1）2m =-；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域,再由()f x 是奇函数,可得()()f x f x -=-对于定义域内的任意x 恒成立,即112121x x m m --=-+--,从而可求得实数m 的值; （2）利用定义法证明单调性即可,需要注意“作差”、“变形”、“定号”、“下结论”几个步骤.【详解】（1）由题意,210x -≠,解得0x ≠,所以()f x 的定义域为{|0}x x ≠,由()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-对于定义域内的任意x 恒成立. 则112121x x m m --=-+--,即221221x x x m m ⋅=-+--, 即()2212x x m m ⋅=+-,则()(2)210x m +-=,因为该式对于定义域中的任意x 都成立,所以2m =-.经检验,2m =-时,()f x 是奇函数.（2）证明:在(0,)+∞内任取12,x x ,且12x x <,21121212222(22)()()112121(21)(21)x x x x x x f x f x -----=--+=----, 120x x <<∴1210x ->,2210x ->,21220x x ->,()()12f x f x ∴<,()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.【点睛】本题考查了奇函数的性质的应用,考查了函数单调性的证明,考查了学生的推理能力,属于基础题. 20.甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元，甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.（1）分别写出在甲、乙两商场购买x 双运动鞋所需费用的函数解析式()f x 和()g x ；（2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？【答案】（1）2**80020,118,N ()440,18,Nx x x x f x x x x ⎧-≤≤∈=⎨>∈⎩，*()600()g x x x =∈N ；（2）见解析 【解析】【分析】（1）结合甲商场的销售方式,可得118x ≤≤时,去甲商场购买的单价为(80020)x -元,18x >时，去甲商场购买的单价为440元;去乙商场购买单价为80075%600⨯=元,进而可求出()f x 和()g x 的解析式; （2）分18x >和118x ≤≤两种情况,讨论()f x 和()g x 的大小关系,即可求出答案.【详解】（1）由题意,*N x ∈,由80020440x -≥,可得当118x ≤≤时,去甲商场购买运动鞋的单价为(80020)x -元,此时所需费用为2(80020)80020x x x x -=-;当18x >时，去甲商场购买运动鞋的单价为440元,所需费用为440x 元; 去乙商场购买运动鞋单价一直为80075%600⨯=元,所需费用为600x 元.则2**80020,118,N ()440,18,Nx x x x f x x x x ⎧-≤≤∈=⎨>∈⎩,*()600()g x x x =∈N . （2）当18x >且*N x ∈时,()()f x g x <成立;当118x ≤≤且*N x ∈时,令2()()800206000f x g x x x x -=-->,解得110x ≤<,令2()()800206000f x g x x x x -=--=,解得10x =,令2()()800206000f x g x x x x -=--<,解得1018x <≤,所以,该单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.【点睛】本题考查了实际问题,考查了分段函数的性质,考查了不等式的性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.21.已知函数()||(1)()f x x a x a =-⋅-∈R .（1）当5a =时，作出函数()f x 的图象；（2）是否存在实数a ，使得函数在区间[3,4]上有最小值8，若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）图象见解析；（2）存在1a =-或7a =满足条件，理由见解析.【解析】【分析】（1）将5a =代入,去绝对值,然后做出函数图象即可;（2）分3a ≤,34a <<和4a ≥三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在[3,4]上的最小值,令其等于8,可求出答案.【详解】（1）当5a =时,(5)(1),5()5(1)(5)(1),5x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨---<⎩, 图象见下图:（2）假设存实数a ,使得函数()f x 在区间[3,4]上有最小值8,()||(1)f x x a x =--,[3,4]x ∈.①当3a ≤时,2()()(1)(1)f x x a x x a x a =--=-++,函数()f x 的对称轴为12a x +=， 13,2,()2a a f x +≤∴≤∴在[3,4]上单调递增, min ()(3)2(3)8f x f a ∴==-=,解得1a =-,符合题意;②当34a <<时,()08,()f a f x =<∴不可能有最小值8（舍去）;③当4a ≥时,2()()(1)(1)f x a x x x a x a =--=-++-,()f x 是开口向下的二次函数,对称轴为12a x +=, 只需比较132a +-和142a +-的大小, 22221125104914342244a a a a a a +++-+----=-42464a a -==-, 若46a ≤≤,132a +-142a +≤-,此时()f x 在4x =时取得最小值,即min ()(4)3(4)8f x f a ==-=,解得203a =,不符合题意,舍去;若6a >,132a +-142a +>-,此时()f x 在3x =时取得最小值,即min ()(3)2(3)8f x f a ==-=,解得7a =,符合题意.综上,1a =-或7a =.【点睛】本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题.22.对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[,]m n 内是单调函数；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“优美区间”.（1）求证：[0,2]是函数21()2f x x =的一个“优美区间”. （2）求证：函数6()4g x x=+不存在“优美区间”. （3）已知函数22()1()a a x y h x a x+-==（,0a a ∈≠R ）有“优美区间”[,]m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【解析】【分析】（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;（2）若函数存在“优美区间”,可得函数()g x 在[,]m n 上单调递减,从而可得()()g m n g n m=⎧⎨=⎩,联立可推出矛盾,即可证明结论;（3）函数()h x 有“优美区间”,结合单调性可得()()h m m h n n=⎧⎨=⎩,联立可求得,m n 的关系,进而可求得n m -的最大值. 【详解】（1）212y x =在区间[0,2]上单调递增, 又(0)0f =,(2)2f =,∴212y x =的值域为[0,2],∴区间[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”. （2）设[,]m n 是已知函数()g x 的定义域的子集. 由0x ≠,可得[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞, ∴函数6()4g x x=+在[,]m n 上单调递减. 若[,]m n 是已知函数的“优美区间”,则6464n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相减得,66n m m n -=-,则6()n m n m mn-=-, 6,6,n m mn n m>∴=∴=, 则664m m+=,显然等式不成立, ∴函数6()4g x x =+不存在“优美区间”. （3）设[,]m n 是已知函数定义域的子集. 由0x ≠,则[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞, 而函数222()111a a x a y a x a a x+-+==-在[,]m n 上单调递增. 若[,]m n 是已知函数的“优美区间”,则()()h m m h n n =⎧⎨=⎩, ∴,m n 是方程211a x a a x+-=，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根. 210mn a=>,∴,m n 同号,只须2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->, 解得1a >或3a<-,n m -===,∴当3a =时,nm -【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.。
2020-2021学年江苏省苏州市姑苏区振华中学等五校联考七年级(下)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省苏州市姑苏区振华中学等五校联考七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每题2分，共20分，每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将正确选择项前的字母代号填在下列表格内）1．下列运算正确的是（）A．a+2a2＝3a2B．a8÷a2＝a4C．a3•a2＝a6D．（a3）2＝a6 2．如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（）A．3B．4C．5D．63．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2C．x2+2x+1＝x（x+2）+1D．﹣18x4y3＝﹣6x2y2•3x2y4．如图，下列条件不能判断1∥m的是（（）A．∠4＝∠5B．∠1+∠5＝180°C．∠2＝∠3D．∠1＝∠25．若a＝（﹣）﹣2，b＝（﹣）0，c＝（）2，则a，b，c数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．如图，要使五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A．1根B．2根C．3根D．4根7．若（x+2）（2x﹣n）＝＝2x2+mx+2，则m﹣n的值是（）A．6B．4C．2D．﹣68．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（）A．280°B．285°C．290°D．295°9．若3x＝5，3y＝4，则32x﹣y的值为（）A．100B．C．D．10．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分把答案填在答题卷相应位置上.）11．2019新型冠状病毒（2019﹣nCoD），2020年1月12日被命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的直径约为0.000 000 125米．则用科学记数法表示0.000 000 125为．12．已知x2﹣mx+16是完全平方式，则m的值是．13．已知一个等腰三角形的周长是13cm，若其中一边长为3cm，则另外两边长分别．14．如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为．15．已知a+b＝，ab＝，并满足a＞b，则a2﹣b2＝．16．如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF的大小为．17．我们知道，同底数幕的乘法法则为：a m．a n＝a m+n（其中a≠0，m、n为正整数）类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：g（m+n）＝g（m）•g（n），若g（1）＝﹣，那么g（2020）•g（2021）＝．18．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2．将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3……依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝（用含a和n的代数式表示）．三、解答题（本大题共9题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）|﹣2|﹣（2﹣π）0+（﹣）﹣1；（2）（2x5）2+（﹣x）4•x8÷（﹣x2）．20．先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣3y），其中x＝﹣2，y＝．21．分解因式：（1）（m+n）2﹣6（m+n）+9；（2）m2（a﹣3）+4（3﹣a）；（3）2x2﹣10x﹣12．22．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'．图中标出了点C的对应点C′．（利用网格与无刻度直尺画图）．（1）画出平移后的△A'B'C'；（2）利用格点，过点C画一条直线CM，将△ABC分成面积相等的两个三角形；（画出直线CM经过的格点）（3）在整个平移过程中，线段BC扫过的面积是．23．如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且病足∠DEB＝∠DBE．（1）DE与BC平行吗？请说明理由；（2）若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．24．先阅读后解题：若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：等式可变形为：m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0即（m+1）2+（n﹣3）2＝0因为（m+1）2＞0，（n﹣3）2＞0，所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法“．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x2+y2+4x﹣10y+29＝0，求y x的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，则△ABC的周长是；（3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x﹣3与x2+3x﹣4的大小，并说明理由．25．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AE平分∠BAC，AE、CD相交于点F，若∠BAC＝∠DCB．求证：∠CFE＝∠CEF．26．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S1﹣S2，则当a与b满足时，S为定值，且定值为.（用含a或b的代数式表示）27．如图1，已知AB∥CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM问时开始运动，设运动时间为t秒．①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝．。
2019-2020年中考数学模拟试卷(四)(I)
2019-2020年中考数学模拟试卷（四）(I)一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母在答题卡中相应的方框内涂黑．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．正方形C．平行四边形D．正三角形2．下列各式中，计算结果为a6的是（）A．a3+a3B．a7﹣a C．a2•a3 D．a12÷a63．用配方法解方程：x2﹣4x+1=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=3 B．（x+2）2﹣3=0 C．（x﹣2）2=0 D．x（x﹣4）=﹣14．已知一组数据x1，x2，x3的平均数和方差分别为5和2，则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数和方差分别是（）A．5和2 B．6和2 C．5和3 D．6和35．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象经过原点，则该图象的对称轴是直线（）A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=或x=﹣D．x=6．如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°．若此观测点离地面的高度CD为30米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（）米．A．30+10 B．40 C．45 D．30+157．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，梯形各边长为：AB=6，BC=9，CD=4，DA=3，分别以AB、CD为直径作圆，则这两圆的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外离 D．外切8．把5个大小、质地相同的球，分别标号为1，1，2，3，4，放入袋中，随机取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，则第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率是（）A． B． C． D．9．如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上的动点（不与点A、O重合），连结PB，作PE⊥PB交CD于点E．以下结论：①△PBC≌△PDC；②∠PDE=∠PED；③PC﹣PA=CE．其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．310．将直线l1：y=x和直线l2：y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S1，直线l2：y=2x+1和直线l3：y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S2，…，以此类推，直线l n：y=nx+n﹣1和直线l n+1：y=（n+1）x+n及x轴围成的三角形面积记为S n，记W=S1+S2+…+S n，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A． B． C． D．二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．计算×+=．12．已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的矩形，长为6π，宽为4π，那么这个圆柱底面圆的半径为．13．不等式组的整数解是．14．如图，在边长为4的正三角形ABC中，BD=1，∠BAD=∠CDE，则AE的长为．15．已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为．16．如图，点P是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，PA⊥x轴于A，PD⊥y轴于点D，分别交反比例函数y=（x＞0，0＜k＜6）的图象于点B，C．下列结论：①当k=3时，BC是△PAD的中位线；②0＜k＜6中的任何一个k值，都使得△PDA∽△PCB；③当四边形ABCD的面积等于2时，k＜3；④当点P的坐标为（3，2）时，存在这样的k，使得将△PCB沿CB对折后，P点恰好落在OA上．其中正确结论的编号是．三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（1）求多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式；（2）已知关于x的分式方程=3的解是正数，求m的取值范围．18．xx年5月某日，浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如图所示：（1）这11个城市当天的空气质量指数的众数是；中位数是；（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．若在这11个城市中随机抽取一个，求抽到的城市这一天空气质量为优的概率；（3）求杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数．19．如图，已知圆上两点A、B．（1）用直尺和圆规作以AB为底边的圆内接等腰三角形（不写画法，保留痕迹）；（2）若已知圆的半径R=5，AB=8，求所作等腰三角形底边上的高．20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，过A点作BC的平行线，截取AE=BD，连结EB，连结EC交AD于点F．（1）证明：当点F是AD的中点时，点D是BC的中点；（2）证明：当点D是AB的中垂线与BC的交点时，四边形AEBD是菱形．21．如图，已知Rt△ABC的两条直角边，AC=6，BC=8，点D是BC边上的点，过D作DE⊥AB 于E，点F是AC边上的动点，连结DF，EF，以DF、EF为邻边构造▱DFEG：（1）证明：△DBE∽△ABC；（2）设CD长为a（0＜a＜8），用含a的代数式表示DE；（3）若CD=4时，□DFEG的顶点G恰好落在BC所在直线上，求出此时AF的长．22．（1）已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点：①b、c的关系式为；②设直线y=9与该抛物线的交点为A、B，则|AB|=；③若该抛物线上有两个点C（m，n）、D（m+4，n），求|CD|及n的值．（2）若二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴有两个交点E（5，0）、F（k，0），且线段EF（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，这些整数之和为18：①b、c的关系式为；②k的取值范围是；当k为整数时，b=．23．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA在x轴上，点B在第一象限内，AO=4，∠BOA=30°．点C（t，0）是x轴正半轴上一动点（t＞0且t≠4）：（1）点B的坐标为；过点O、B、A的抛物线解析式为；（2）作△OBC的外接圆⊙P，当圆心P在（1）中抛物线上时，求点C和圆心P的坐标；（3）设△OBC的外接圆⊙P与y轴的另一交点为D，请将OD用含t的代数式表示出来，并求CD的最小值．xx年浙江省杭州市桐庐县三校共同体中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母在答题卡中相应的方框内涂黑．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．正方形C．平行四边形D．正三角形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．下列各式中，计算结果为a6的是（）A．a3+a3B．a7﹣a C．a2•a3 D．a12÷a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】A、原式合并得到结果，即可做出判断；B、原式不能合并，错误；C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=2a3，错误；B、原式不能合并，错误；C、原式=a5，错误；D、原式=a6，正确．故选D．【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．用配方法解方程：x2﹣4x+1=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=3 B．（x+2）2﹣3=0 C．（x﹣2）2=0 D．x（x﹣4）=﹣1【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：x2﹣4x+1=0，移项，得x2﹣4x=﹣1，配方，得x2﹣4x+4=﹣1+4，（x﹣2）2=3．故选：A．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方（当二次项系数为1时）．4．已知一组数据x1，x2，x3的平均数和方差分别为5和2，则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数和方差分别是（）A．5和2 B．6和2 C．5和3 D．6和3【考点】方差；算术平均数．【专题】计算题．【分析】由于数据x1+1，x2+1，x3+1的每个数比原数据大1，则新数据的平均数比原数据的平均数大1；由于新数据的波动性没有变，所以新数据的方差与原数据的方差相同．【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数为5，∴数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为6，∵数据x1，x2，x3的方差为2，∴数据x1+1，x2+1，x3+1的方差为2．故选B．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数．5．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象经过原点，则该图象的对称轴是直线（）A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=或x=﹣D．x=【考点】二次函数的性质．【分析】根据图象可以知道图象经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值，从而根据对称轴方程求得对称轴即可．【解答】解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得a2﹣4=0，解得a=±2，∴二次函数y=2x2﹣2x或二次函数y=﹣2x2﹣2x，∴对称轴为：x=﹣=±，故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．6．如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°．若此观测点离地面的高度CD为30米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（）米．A．30+10 B．40 C．45 D．30+15【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD，BD的长度，然后根据AB=AD+BD即可求出AB的值．【解答】解：由题意得，∠ECA=45°，∠FCB=60°，∵EF∥AB，∴∠CAD=∠ECA=45°，∠CBD=∠FCB=60°，∵∠ACD=∠CAD=45°，在Rt△CDB中，tan∠CBD=，∴BD==10米，∵AD=CD=30米，∴AB=AD+BD=30+10米，故选A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形．7．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，梯形各边长为：AB=6，BC=9，CD=4，DA=3，分别以AB、CD为直径作圆，则这两圆的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外离 D．外切【考点】圆与圆的位置关系．【分析】求得梯形的中位线为两圆的圆心距，AB和CD的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解．【解答】解：∵AD=3，BC=9，∴两圆的圆心距为=6，∵AB=6，CD=4，∴两圆的半径分别为3和2，∵2+3＜6，∴两圆外离，故选C．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半径，难度不大．8．把5个大小、质地相同的球，分别标号为1，1，2，3，4，放入袋中，随机取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，则第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率是（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的有9种情况，∴第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率为：．故选D．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比．9．如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上的动点（不与点A、O重合），连结PB，作PE⊥PB交CD于点E．以下结论：①△PBC≌△PDC；②∠PDE=∠PED；③PC﹣PA=CE．其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCP=∠DCP，由SAS即可证明△PBC≌△PDC，得出①正确；由三角形全等得出∠PBC=∠PDE，PB=PD，再证出∠PBC=∠PED，得出∠PDE=∠PED，②正确；证出PD=PE，得出DF=EF，作PH⊥AD于H，PF⊥CD于F，由等腰直角三角形得出PA=EF，PC=CF，即可得出③正确．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCP=∠DCP，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS）∴①正确；∴∠PBC=∠PDE，PB=PD，∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°﹣∠BPE﹣∠BCE=180°∵∠PEC+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PDE=∠PED，∴②正确；∴PD=PE，∵PF⊥CD，∴DF=EF；作PH⊥AD于点H，PF⊥CD于F，如图所示：则PA=PH=DF=EF，PC=CF，∴PC﹣PA=（CF﹣EF），即PC﹣PA=CE，∴③正确；正确的个数有3个；故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数；本题有一定难度，特别是③中，需要作辅助线运用三角函数才能得出结果．10．将直线l1：y=x和直线l2：y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S1，直线l2：y=2x+1和直线l3：y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S2，…，以此类推，直线l n：y=nx+n﹣1和直线l n+1：y=（n+1）x+n及x轴围成的三角形面积记为S n，记W=S1+S2+…+S n，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A． B． C． D．【考点】两条直线相交或平行问题．【专题】规律型．【分析】根据题意列出方程组，解出x，y的值，可知无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点，再求出y=nx+n﹣1与x轴的交点和y=（n+1）x+n与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S n，根据公式可求出S1、s2、s3、…，然后可求得w的表达式，从而可猜想出W最接近的常数的值．【解答】解：将y=nx+n﹣1和y=（n+1）x+n联立得：解得：∴无论k取何值，直线l n和直线l n+1均交于定点（﹣1，﹣1）k≠1时l1与l2的图象的示意图，png_iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAIgAAACOCAYAAADq40BPAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv 8YQUAAAAJcEhZcwAADsMAAA7DAcdvqGQAABBCSURBVHhe7Z1PiFxFHsdnBOPFfxglZhEF9SB6UONhsxAVREIw6 Rkjih5EPIiKMf7Zne54cGMWxU1Q0IPrdGcOccGDYMCLYDLtwYOHkLB4UbKZGSGsB0UvBg8KyUxtfavq169edf1ev+7M 9NSrVx9s0+91T09Pv0//6le/qldvQkTEysqKubd2qN8h/2tOTYiJiWmxKJbNIxl4F2v/TsZDXILgttqSLPe/Hn7HytJxMTHVHIuU 60lEgvR/k7OvsX5sNQWaPzwjmp3jvd8RqyZRCOI/OB5hVoVlJRmamPklsyv3u9bq964P9clBCh46evSo+PLLL81WMXiZFZl5 7ELzondZZHIU/LpKEZUgPPpbn8Ns/vHHH+Kqq64S1113nbhw4YLe6bBjxw7x8ccfmy0hFudnxXSzY7bipvKC2Ad+ZSU7wK 0GehkTOk+Q4Fs/JbezZkFz8OBBcdttt4mbbrpJtNttszfjt9/Oicsuu0z8+uuvZo8Qs62GmJ1fMFs2cTUvIJ4I4onpx2QiOdXKvulILC EISfXTTz+Ja6+9Vuzdu1c8++yz4vrrr8+JAD755BPx4IMPmi0t2s7JXaZ7q4VYFgtietIRsqi5qxDRNjE4PmgKJqb2mR1CdDqz+r 7hySefFK+99pp444031O25554Te/bsMY9q8Jz33nvPbOnXhHTdjpYNdDttcQbNGBOlbAaJE5pYcSWp5t8e38+rWgVA3aLdXd T35UE4eeo/MmL8STYhv/UE+eWXX1REOX36tHoecpKrr75anD37P7UNEIXsSJH9Up3ntPdNsYLg9csSiibRCNL7QM0d/KO KWRMN1Rw0m1oU4s9/2Srm5ubUfRIEvPPOOyopBV999ZW444471H0O+0AigjSb+ShFQLZbb71VfPPNN2aPQyhGOETbx CgWtSDtzr7ctxoHfsuWLWYrLwgOJJJWHMhXX31VvP7662p/Bp+IoqlZsBJlm48++kjcf//9ZstGyqvK9lrk0Ki+IJ5vXtaOL6ico NccWKB7S+zfv78nCKDH8I0/ceKEuq/JH0D7V1NlFVGk3Z43ezV4PSTA9mvZuQaV7ftZf2GiFITAwZrvWt1R5rmuIODbb79 VB7UM6PYiL6Fbu3vGPKJ5//33xcMPP2y2NLYg84f/JloeiUOg8oKs9H3LdJVTJagUtgskAnYTQ6A+8vzzz6v79OO9lxnwegrz HHSbN27cqITj2Jcr2xvK/I4xEFEOokXRian8JntDNpGXyifI1q1bxeeff262ymEfU4oQeN2nn35a3feBKKeE1huS9W9WbOJOUk viCoIC2uWXX57LU0aBCnFLS3xh5L/zH+aKeaGRBJG4OQi6v9PT02ZrdF555RXVEyoC+QvVZ0IkCSJxI8iuXbtUt/RiOHv2r BoERBSxsZPTC7J5afTK9prWdFhd3iSIxBYElVXfgR0W5B22dD5oVJjGiIhmo8HWU8ZNEkRiC/LZZ5+Je++9V923v+3DgB4 Lcg/0YIqSTrtsb/8mCJIiSEDYgjzzzDOqi3sxoOaB2gdHTzzGv5mpJEhQkCAos6M4RoN1o3Dy5EmxadOmEXtAWopmY0oJM moEW02SIBLqxaAUjnGYUcEBxXgLDQL64A66vbc1pQUJgSSIBHIcOHBAzQ2ZmZkxe4cHg4AYv1leHv3g9sr2hYW+8ZEE kVATg+jx9ddfm73Dc+edd6oZaDGRBJFAjpdeekn1PLiJy4NA7+euu+4yW/GQBJFAkO3bt/fGTNg8wdlP2zQZ6NixY2qb+/ki1 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pkSgnhSFIBi5pQOMyIGZ7Pbj+oP6h7mvPxT6cPAvBMGNnk83kqNKNy2BuS//Nnt7v/kMim62IN1uN44mhtYdQ9KFAbnFR X4qgK9poA8ng/ITPlyHhO8tDnzbzhPsJsauOldeEHvdMTQvo1xkMC+IP7Ej3AQvBEZ+L+YHIcSVV16pBIkuScW8D+QbmA SEPxKX+RiW/giSsXD8w1wdBqPIweanQ2J3c93pEUTlBcEi+5hB9uKLL3onA4Glbjs/uGcdYNwlQXBfNSuG2VZDSpFVbVfE GVXJtacehEL+7Sz3BjX1mJUespicnOwb5HSXBHWptCCIGuixLCwsqNyDwqP6sMwnRuV5bvQXz/NFECVHY8b65LUkusLr L/WHAtVEVpa+UJVnNZ5lRAG9P6kElRPETjIxa/2xxx5TeQd6Kr1H1B19ANutphruX+o96h7Y5T5BqMzvSoVXyAQZ7oNeL zCW9ddO/8qOZal0BMGZcW+//bZKUtGeuuCb054/LnZN7JSNg0smiitI0Yw1HboblnDrTMHbWJaPzXdauegxLJUVBINyaF4e emiHdzIQpgVgmoCaHiDDLFf5RDimGgmgJombNW/LE2QEoTcl/8Xf0mw0WNnLUBlB3AN89OhRcffdd6sLI/smAzWbetQX ggz6gOwIsmzmm/hyFq7pCZV2a59URAp/ic6ZUPjqAYFKdMcqG0GQd+Aackf+3b+0JWXwdOvvdeTzEEQQVB11PPFHkBX xfdaDwXYgfV3fu6C/n/6G1rSeNjGK2JUUBINzqHnQRQZ74FuBpsVqc1HHoO3eh+l8qm4Oonow1rwTmsUWdNOi5O5H7buI N1xJQbBiECYHuZOBKN+w6c41RcuTpOnPTEcSVxCAXENNUJJi4HY8d5IWDobbG4qTSgqCbisGk2x0UUsfVAql+iBbzQy 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8SRJIE4UmCSDhB7DGiupIEkUAOvZh/wiUJIklNDE8SRJIE4UmCSJIgHEL8H6zbXb40OWClAAAAAElFTkSuQmCC6I+B5 LyY572R∴S n=S△ABC===，当n=1时，结论同样成立．∴w=s1+s2+s3+…+s n=+…+）=（1﹣+﹣+…+）=（1﹣）=当n越来越大时，越来越接近与1．∴越来越接近于∴w越来越接近于．【点评】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．计算×+=4．【考点】实数的运算．【分析】利用二次根式的性质以及三次根式的性质化简求出即可．【解答】解：×+=﹣2=6﹣2=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式的性质和三次根式的性质等知识，正确化简各数是解题关键．12．已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的矩形，长为6π，宽为4π，那么这个圆柱底面圆的半径为2或3．【考点】几何体的展开图．【分析】分底面周长为4π和6π两种情况讨论，求得底面半径．【解答】解：①底面周长为4π时，圆柱底面圆的半径为4π÷π÷2=2；②底面周长为6π时，圆柱底面圆的半径为6π÷π÷2=1．故答案为：2或3．【点评】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解．13．不等式组的整数解是﹣1、0、1．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．【解答】解：，解①得：x＞﹣，解②得：x＜．则不等式组的解集是：﹣，则不等式组的整数解是：﹣1、0、1．故答案是：﹣1、0、1．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．如图，在边长为4的正三角形ABC中，BD=1，∠BAD=∠CDE，则AE的长为．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，则CD=BC﹣BD=3，再根据有两组角对应相等的两三角形相似可判断△ABD∽△DCE，利用相似比计算出CE=，然后利用AE=AC﹣CE进行计算即可．【解答】解：∵△ABC为边长为4的等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，∴CD=BC﹣BD=4﹣1=3，∵∠BAD=∠CDE，∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE，∴=，即=，∴CE=，∴AE=AC﹣CE=4﹣=．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．15．已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，分两种情况：（1）当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时；（2）当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时；然后根据一个角的正切值的求法，求出这个直角三角形中较小锐角的正切值为多少即可．【解答】解：（1）当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时，设直角三角形的斜边等于2，则一条直角边的长度等于1，∴另一条直角边的长度是：，∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为：1÷．（2）当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时，设一条直角边的长度等于1，则一条直角边的长度等于2，∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为：1÷2=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（2）此题还考查了勾股定理的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．16．如图，点P是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，PA⊥x轴于A，PD⊥y轴于点D，分别交反比例函数y=（x＞0，0＜k＜6）的图象于点B，C．下列结论：①当k=3时，BC是△PAD的中位线；②0＜k＜6中的任何一个k值，都使得△PDA∽△PCB；③当四边形ABCD的面积等于2时，k＜3；④当点P的坐标为（3，2）时，存在这样的k，使得将△PCB沿CB对折后，P点恰好落在OA上．其中正确结论的编号是①②③④．【考点】反比例函数综合题．【分析】①设点P的坐标为（m，），然后再求得点C和点B的坐标，从而得出DC=CP，PB=BA；②按照①的方法先求得点C和点B的坐标，从而得出；③先求得△PDA的面积，然后再求得△PCB的面积，根据相似三角形的面积等于相似比的平方，求得△PDA与△PCB的相似比，从而可求得k值；④先求得AD的解析式，然后可求得EP的解析式，从而可求得点E的坐标，然后再求得AB、BE的长度，最后在直角三角形ABE中由勾股定理可求得k的值．【解答】解：①设点p的坐标为（m，），则PD=m，PA=，将x=m代入y=得：y=，∴AB=PA，将y=代入y=得：x=，∴DC=PD，∴当k=3时，BC是△PAD的中位线，故①正确；②设点p的坐标为（m，），PD=m，PA=，将x=m代入y=得：y=，∴PB=﹣=，将y=代入y=得：x=，∴PC=m﹣=，∴=，=，∴，∴△PDA∽△PCB，故②正确；③∵点P的坐标为（3，2），∴△PDA的面积=3，∵四边形ABCD的面积等于2，∴△PBC的面积=1，∴S△PBC：S△PDA=1：3，∴△PBC与△PDA的相似比为：3，∴，解得：k=6﹣2，∵6﹣3＜3，∴k＜3，故③正确；④如下图所示：∵点P的坐标为（3，2），∴D（0，2）、A（3，0），∴直线AD的解析式为y=+2，∵直线PE⊥AD，∴设直线PE的解析式为y=x+b，将P（3，2）代入得：b=﹣，∴直线PE的解析式为y=x﹣，令y=0得：x=，∴AE=．将x=3代入y=得：y=，∴AB=，PB=2﹣，由轴对称的性质可知：BE=PB=2﹣，在直角△ABE中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2即：，解得：k=，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查的是反比例函数，一次函数、勾股定理以及轴对称图形的性质的综合应用，难度较大，熟练掌握相关知识是解题的关键．三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（1）求多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式；（2）已知关于x的分式方程=3的解是正数，求m的取值范围．【考点】分式方程的解；公因式．【专题】计算题．【分析】（1）两多项式分解因式后，找出公因式即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出解，根据解为正数求出m 的范围即可．【解答】解：（1）先分解因式：ax2﹣a=a（x+1）（x﹣1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴公因式是x﹣1；（2）去分母得：2x+m=3x﹣3，解得：x=m+3，根据题意得：m+3＞0，∴m＞﹣3，∵x=m+3=1是增根，∴m=﹣2时无解，∴m＞﹣3且m≠﹣2．【点评】此题考查了分式方程的解，以及公因式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．18．xx年5月某日，浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如图所示：（1）这11个城市当天的空气质量指数的众数是60；中位数是55；（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．若在这11个城市中随机抽取一个，求抽到的城市这一天空气质量为优的概率；（3）求杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数．【考点】众数；条形统计图；算术平均数；中位数；概率公式．【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案；（2）从条形统计图中找出这11个城市当天的空气质量为优的城市个数，再除以城市总数即可；（3）根据平均数的计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）将11个数据按从小到大的顺序排列为：37，42，43，49，52，55，60，60，63，75，80，60出现了两次，次数最多，所以众数是60，第6个数是55，所以中位数是55．故答案为60，55；（2）∵当0≤AQI≤50时，空气质量为优，由图可知，这11个城市中当天的空气质量为优的有4个，∴若在这11个城市中随机抽取一个，抽到的城市这一天空气质量为优的概率为；（3）杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数为：（75+63+60+80+52）÷5=66．【点评】此题主要考查了条形统计图，众数、中位数、平均数的定义以及概率公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．概率=所求情况数与总情况数之比．19．如图，已知圆上两点A、B．（1）用直尺和圆规作以AB为底边的圆内接等腰三角形（不写画法，保留痕迹）；（2）若已知圆的半径R=5，AB=8，求所作等腰三角形底边上的高．【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；垂径定理．【分析】（1）作AB的垂直平分线与圆相交于一点，分别与A、B连接即可得到以AB为底边的圆内接等腰三角形；（2）连结OA，先根据垂径定理得到AD的长，再根据勾股定理，以及线段的和差关系即可求解．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求．（2）连结OA，∵圆的半径R=5，AB=8，∴OA=OC=5，AD=4，在△AOD中，OD==3，∴CD=OC+OD=5+3=8．故所作等腰三角形底边上的高是8．【点评】本题考查了复杂作图，主要利用了线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，以及垂径定理．20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，过A点作BC的平行线，截取AE=BD，连结EB，连结EC交AD于点F．（1）证明：当点F是AD的中点时，点D是BC的中点；（2）证明：当点D是AB的中垂线与BC的交点时，四边形AEBD是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）证得△EAF≌△CDF后即可得到DC=AE，然后根据AE=BD得到BD=DC；（2）首先利用一组对边相等且平行的四边形为平行四边形证得平行四边形，然后根据中垂线的性质得到BD=AD，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠EAF=∠CDF，又∵F是AD的中点，∴AF=DF，∴∴△EAF≌△CDF，∴DC=AE，∵AE=BD，∴BD=DC；（2）∵AE=BD且AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形，又∵点D是AB的中垂线与BC的交点，则有BD=AD，∴平行四边形AEBD一组邻边相等，∴四边形AEBD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的几种判定方法，难度不大．21．如图，已知Rt△ABC的两条直角边，AC=6，BC=8，点D是BC边上的点，过D作DE⊥AB 于E，点F是AC边上的动点，连结DF，EF，以DF、EF为邻边构造▱DFEG：（1）证明：△DBE∽△ABC；（2）设CD长为a（0＜a＜8），用含a的代数式表示DE；（3）若CD=4时，□DFEG的顶点G恰好落在BC所在直线上，求出此时AF的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由DE⊥AB，得到∠BED=90°，于是得到∠BED=∠C=90°，由于∠B=∠B，即可证得△DBE∽△ABC；（2）解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理求得AB==10，由△DBE∽△ABC，得到，解方程，即可得到结果；（3）如图，顶点G落在BC所在直线上，由四边形DFEG是平行四边形，得到GD∥EF，证得△ABC∽△AFE，得到，代入数值即可得到结果．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BED=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC；（2）解：在直角三角形ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB==10，由（1）知，△DBE∽△ABC，∴，即，∴DE=（3）如图，顶点G落在BC所在直线上，∵四边形DFEG是平行四边形，∴GD∥EF，∴△ABC∽△AFE，∴，∵CD=a=4，∴DE==，∵BC=8，∴BD=4，∴BE==，∴AE=10﹣=，∴AF==．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．22．（1）已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点：①b、c的关系式为b2=c；②设直线y=9与该抛物线的交点为A、B，则|AB|=6；③若该抛物线上有两个点C（m，n）、D（m+4，n），求|CD|及n的值．（2）若二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴有两个交点E（5，0）、F（k，0），且线段EF（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，这些整数之和为18：①b、c的关系式为c=10b﹣25；②k的取值范围是7≤k＜8；当k为整数时，b=6．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）①根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则（2b）2﹣4c=0，由此可得到b、c 应满足关系；②把y=9代入y=x2﹣2bx+bc，得到方程x2﹣2bx+bc﹣9=0，根据根与系数的关系和①的结论即可求得；③把A（m，n）、B（m+4，n）分别代入抛物线的解析式，再根据①的结论即可求出n的值；（2）①因为y=x2﹣2bx+c图象与x轴交于E（5，0），即可得到25﹣10b+c=0，所以c=10b ﹣25；②根据①的距离进而得到k=2b﹣5，再根据E、F之间的整数和为18，即可求出k的取值范围和b的值．【解答】解：（1）①∵二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点，∴（2b）2﹣4c=0，∴b2=c；故答案为b2=c；②把y=9代入y=x2﹣2bx+c得，9=x2﹣2bx+c，∴x2﹣2bx+c﹣9=0，∵x1+x2=2b，x1x2=c﹣9，。
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市七年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市七年级（上）期末数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．﹣3的倒数是（）A．3 B．C．﹣3 D．﹣2．下列运算正确的是（）A．﹣23＝（﹣2）3B．（﹣3）2＝﹣32C．﹣3×23＝﹣32×3 D．﹣32＝﹣233．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（）元．A．140 B．120 C．160 D．1004．下列运算中，结果正确的是（）A．3a2+4a2＝7a4B．4m2n+2mn2＝6m2nC．2x﹣x＝x D．2a2﹣a2＝25．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（）A．B．C．D．6．下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两点之间所有连线中，线段最短C．等角的补角相等D．不相交的两条直线叫做平行线7．已知x3＝m，x5＝n，用含有m，n的代数式表示x14结果正确的是（）A．mn3B．m2n3C．m3n D．m3n28．实数a，b在数轴上的位置如图所示，给出如下结论：①a+b＞0；②b﹣a＞0；③﹣a＞b；④a＞﹣b；⑤|a|＞b＞0．其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．②③⑤D．②④⑤9．某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为（）A．13x＝12（x+10）+60 B．12（x+10）＝13x+60C．D．10．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m二、填空题（每小题3分，共24分）11．地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为．12．比较大小：﹣|﹣0.4| ﹣（﹣0.4）．（填“＜”、“＝”、“＞”）13．在墙上固定一根木棒时，至少需要两根钉子，这其中所体现的“基本事实”是．14．如图，∠AOD＝135°，∠COD＝75°，OB平分∠AOC，则∠BOC＝度．15．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于．16．如图示，一副三角尺有公共顶点O，若∠AOC＝3∠BOD，则∠BOD＝度．17．已知关于x的一元一次方程2020x+3a＝4x+2019的解为x＝4，那么关于y的一元一次方程2020（y﹣1）+3a＝4（y﹣1）+2019的解为y＝．18．实验室里，水平圆桌面上有甲乙丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两根相同的管子在容器的5cm高度处连接（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位高度为cm，则开始注入分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是cm．三、解答题（共76分）19．（6分）计算（1）﹣4+8÷（﹣2）×（﹣4）（2）20．（9分）解方程（组）（1）3（x﹣4）＝12 （2）（3）21．（6分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b﹣1），其中（a+2）2+|b﹣1|＝0．22．（6分）如图所示方格纸中，点O，A，B三点均在格点（格点指网格中水平线和竖直线的交点）上，直线OB，OA交于格点O，点C是直线OB上的格点，按要求画图并回答问题．（1）过点C画直线OB的垂线，交直线OA于点D；过点C画直线OA的垂线，垂足为E；在图中找一格点F，画直线DF，使得DF∥OB；（2）线段CE的长度是点C到直线的距离，线段CD的长度是点到直线OB的距离．23．（6分）如图，点C是AB上一点，点D是AC的中点，若AB＝12，BD＝7，求CB的长．24．（7分）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．25．（8分）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求1+2+3+…+100．小明于是对从1开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子：第1个等式：1＝12；第2个等式：1+3＝22；第3个等式：1+3+5＝32探索以上等式的规律，解决下列问题：（1）1+3+5+…+49＝2；（2）完成第n个等式的填空：1+3+5+……+（）＝n2；（3）利用上述结论，计算51+53+55+ (109)26．（8分）运动场环形跑道周长400米，小红跑步的速度是爷爷的倍，小红在爷爷前面20米，他们沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷跑步的速度各是多少？27．（10分）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如右图所示．（1）现已给出这个几何体的俯视图，请你画出这个几何体的主视图与左视图；（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，①在图1所示的几何体上最多可以再添加几个小正方体？②图1所示的几何体中最多可以拿走几个小正方体？③在②的情况下，把这个几何体放置在墙角，如图2所示是此时这个几何体放置的俯视图，若给这个几何体表面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少？28．（10分）如图，射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝40cm，AB＝30cm，BC＝20cm．点P从点O出发，沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．（1）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P，Q两点相遇？（2）当PB＝2PA时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；（3）自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求的值．。
2023-2024学年江苏省苏州市昆山市四年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省苏州市昆山市四年级（上）期末数学试卷一、选择题（选择合适答案的序号填在括号里，每题2分，共18分。
）1．（2分）一瓶眼药水的净含量大约有（ ）A．1毫升B．10毫升C．100毫升2．（2分）估计一下，（ ）比较接近自己的年龄。
A．550天B．550周C．550时3．（2分）下列算式中，商一定是一位数的是（ ）A．□12÷95B．7□7÷70C．5□□÷554．（2分）小军从右边观察如图所示的物体，看到的图形是（ ）A．B．C．5．（2分）与144÷24得数相等的算式是（ ）A．144÷3×8B．144÷6÷4C．144÷12÷126．（2分）四年级同学参加知识竞赛。
男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是83分。
男生组的第一名和女生组的第一名相比，（ ）A．男生组第一名的成绩高。
B．女生组第一名的成绩高。
C．无法确定谁的成绩高。
7．（2分）圆形纸对折3次以后所形成的角是（ ）A．锐角B．直角C．钝角8．（2分）2023年我因航天科技成就举世嘱目。
科技馆举行航模展，某日9：00～10：30有105人参观，10：30～12：00参观的人数是上一时段的2倍，下午参观的有264人。
105+105×2解决的问题是（ ）A．9：00～12：00参观的有多少人。
B．10：30～12：00参观的有多少人。
C．全天参观的有多少人。
9．（2分）第一小学910名师生乘车去博物馆参观，每辆车限乘客50人。
李明的计算过程如图。
算式中虚框的“1”表示（ ）A．租18辆车，还剩1人。
B．租18辆车，还剩10人。
C．租180辆车，还剩10人。
二、填空题（共22分，每空1分）10．（3分）在横线上填上“升”或“毫升”。
小明放学回到家，先到水龙头下放了大约600 的水洗手，然后拿起桌上容量是2 的水壶，往杯子里倒了杯水喝，最后走到厨房，发现家中新买了一台容量为300 的冰箱。
2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市七年级(下)期中数学试卷(含解析)
2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 计算(−a2)3的结果是( )A. a5B. −a5C. a6D. −a62. 已知空气的单位体积质量为1.24×10−3克/厘米 3，1.24×10−3用小数表示为( )A. 0.000124B. 0.0124C. −0.00124D. 0.001243. 若2m=4，2n=16，则2m−n的值为( )A. −12B. 14C. 12D. 44. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A. x2−4=(x−2)(x+2)B. (a−1)2=a2−2a+1C. x2−2x−6=x(x−2)−6D. x(x−1)=x2−x5.如图，直线a、b被c、d所截，且a//b，则下列结论中正确的是( )A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. ∠2+∠4=180°D. ∠1+∠4=180°6. 下列四个命题：①若a2=1，则a=1；②同位角相等；③在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形；④如果∠1=∠2，那么∠1与∠2是对顶角；⑤两直线平行，内错角相等.其中真命题的是( )A. ②③B. ③④C. ②⑤D. ③⑤7.某小区有一正方形草坪ABCD如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪AB边方向的长度增加3米，AD边方向的长度减少3米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比( )A. 增加6平方米B. 增加9平方米C. 减少9平方米D. 保持不变8.如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是( )A. ∠P=∠B+∠DB. ∠P=∠D−∠BC. ∠P=1(∠D−∠B)2D. ∠P=1(∠B+∠D)2二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 3−1=．10. 若a x=1，则a3x=______ ．211. 命题“如a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是______命题．(填“真”或“假”)12. 已知等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的第三边长为______ cm．13. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角是外角的3倍，那么这个多边形的边数是______．14.如图，直线m//n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2等于度.15.如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点F，若四边形CDFE的面积为16，则△ABC的面积为______ ．16.如图①所示，长为m、宽为n(m,n均为定值，且m>n)的小长方形纸片，现将7张这样的小长方形纸片按如图②所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示.设左上角的阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，记S=S1−S2，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，此时S的值始终保持不变，则m，n应满足的关系式是m=______ .(用含n的代数式表示m)三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
2021-2022学年江苏省苏州中学高二(上)质检数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州中学高二（上）质检数学试卷（10月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项2．已知数列{a n}的前n项和为S n，若，则a1+a3的值为（）A．8B．9C．10D．113．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣54．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a22＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值为（）A．6B．﹣2C．﹣2或6D．2或65．等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S156．已知{a n}是公比不为1的等比数列，S n为其前n项和，满足a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，则下列等式成立的是（）A．S2020S2021＝S20192B．S2020+S2021＝2S2019C．S2019S2021＝S20202D．S2019+S2021＝2S20207．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且a n＝，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13B．16C．31D．648．已知数列{a n}满足a1＝1，且，则数列{b n}前108项和为（）A．174B．672C．1494D．5904二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（）A．l的倾斜角等于120°B．l与x轴的交点坐标为C．l与直线垂直D．l与直线平行10．设数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则（）A．d＜0B．a8＝0C．S6＜S5D．S7，S8为S n的最大值11．在公比为q等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是（）A．q＝3B．数列是等差数列C．数列是等比数列D．数列是等比数列12．已知数列{a n}中的前n项和为S n，若对任意的正整数n，都有a n+1≤S n，则称{a n}为“和谐数列”，下列结论正确的有（）A．常数数列为“和谐数列”B．为“和谐数列”C．{2n+1}为“和谐数列”D．若公差为d的等差数列{a n}满足{a n+n}为“和谐数列”，则a1+d的最小值为﹣2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，若直线l的倾斜角为120°，则该直线的一个方向向量为．14．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，S5＝5，S10＝15，则a16+a17+a18+a19+a20的值为．15．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝2，且对任意p，q∈N*，都有a p•a q＝a p+q，则数列的最大值为．16．已知数列{a n}满足a1＝4，na n+1＝2（n+1）a n，则数列{a n}的通项公式为，若数列的前n项和S n，则满足不等式S n≥30的n的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）．（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程；（2）若点D（1，m2﹣2m+5），当实数m取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．19．某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．（1）今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？（精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活）（2）现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？（参考数据，精确到1万个）20．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a2＝2，a1﹣1，a2，a3成等差数列，数列{b n}满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n＝（n﹣1）2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列．21．在数列{a n}中，，．（1）求证：等比数列；（2）已知数列{b n}满足．①若数列{b n}的前n项和T n，可以表示成，求♠处的代数式；②若不等式对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2+2S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，求k和t的值．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项【分析】先求出数列的通项公式，a n＝，由此能求出答案．解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a n＝＝，∴＝2＝，∴n＝26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，若，则a1+a3的值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】由a n＝可求数列的通项，进而代入可求得a1+a3的值．解：由题意结合公式a n＝，可得a n＝，所以a1＝4，a3＝7，即a1+a3＝4+7＝11，故选：D．3．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5【分析】根据直线垂直的条件即可求出．解：∵直线l的倾斜角为π，∴直线l的斜率为k＝tan＝﹣，∵直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，∴×（﹣）＝﹣1，∴m＝﹣5，故选：D．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a22＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值为（）A．6B．﹣2C．﹣2或6D．2或6【分析】由已知结合等差数列的通项公式，可求出首项及公差，然后代入等差数列的求和公式，即可求出S4的值．解：因为a1+a22＝1，a2+a4＝4，所以，解得或，当时，S4＝6，或时，S4＝﹣2，所以S4＝6或﹣2．故选：C．5．等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S15【分析】利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于a7的关系式，由已知式子为定值得到a7为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简S13，也得到关于a7的关系式，进而得到S13为定值．解：∵a2+a8+a11＝（a1+d）+（a1+7d）+（a1+10d）＝3（a1+6d）＝3a7，且a2+a8+a11是一个定值，∴a7为定值，又S13＝＝13a7，∴S13为定值．故选：C．6．已知{a n}是公比不为1的等比数列，S n为其前n项和，满足a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，则下列等式成立的是（）A．S2020S2021＝S20192B．S2020+S2021＝2S2019C．S2019S2021＝S20202D．S2019+S2021＝2S2020【分析】先由等比数列结合条件a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020求出q2+q＝2，两边同乘q2019，化简即可得到答案．解：设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），因为a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，即a2019q2﹣a2019＝a2019﹣a2019q，可得q2﹣1＝1﹣q，即q2+q＝2，两边同乘q2019，得q2021+q2020＝2q2019，则1﹣q2021+1﹣q2020＝2﹣2q2019，∴，即S2020+S2021＝2S2019，故选：B．7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且a n＝，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13B．16C．31D．64【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的各项．解：由于a1＝1，所以a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝4，a4＝2a3﹣1＝7，a5＝2a4+2＝16，a6＝2a5﹣1＝31．故选：C．8．已知数列{a n}满足a1＝1，且，则数列{b n}前108项和为（）A．174B．672C．1494D．5904【分析】根据题意可知，利用累乘法求得{a n}的通项公式，即可求得数列{b n}通项公式，利用并项求和求得b3k﹣2+b3k﹣1+b3k关系，即可求得数列{b n}前108项和．解：由，则，由累乘法，所以，因为，所以，所以，所以数列{b n}前108项和，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（）A．l的倾斜角等于120°B．l与x轴的交点坐标为C．l与直线垂直D．l与直线平行【分析】对于A，先求出直线l的斜率，由此能求出l的倾斜角；对于B，求出直线l的斜率，再由l经过点（1，﹣2），求出直线l的方程，由此能求出l与x轴的交点坐标；对于C，∵直线l的斜率为k＝﹣，直线斜率为，从而l与直线不垂直；对于D，直线l的斜率为﹣，直线的斜率为﹣，从而l与直线平行．解：直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），对于A，直线l的斜率为k＝＝﹣，∴l的倾斜角等于120°，故A正确；对于B，直线l的斜率为k＝＝﹣，且l经过点（1，﹣2），∴直线l的方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+2﹣＝0，取y＝0，得l与x轴的交点坐标为（（1﹣，0），故B错误；对于C，∵直线l的斜率为k＝＝﹣，直线斜率为，∴l与直线不垂直，故C错误；对于D，∵直线l的斜率为k＝＝﹣，直线的斜率为﹣，∴l与直线平行，故D正确．故选：AD．10．设数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则（）A．d＜0B．a8＝0C．S6＜S5D．S7，S8为S n的最大值【分析】对于A，利用等差数列前n项和公式求出a1＝﹣7d，由此得到d＜0；对于B，由a1＝﹣7d，得到a8＝a1+7d＝0；对于C，求出S6＝﹣27d，S5＝﹣25d，由此得到S6＞S5；对于D，由a1＞0，a1＝﹣7d，得到S7，S8为S n的最大值．解：数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，对于A，＝，整理得a1＝﹣7d，∴d＜0，故A正确；对于B，∵a1＝﹣7d，∴a8＝a1+7d＝0，故B正确；对于C，S6＝6a1+d＝6a1+15d＝﹣27d，S5＝5a1+＝5a1+10d＝﹣25d，∴S6＞S5，故C错误；对于D，∵a1＞0，a1＝﹣7d，∴S7，S8为S n的最大值，故D正确．故选：ABD．11．在公比为q等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是（）A．q＝3B．数列是等差数列C．数列是等比数列D．数列是等比数列【分析】利用等比数列通项公式求出公式判断A；利用等比数列前n项和公式和等差数列定义判断B；利用等比数列通项公式及定义判断CD．解：在公比为q等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1＝1，a5＝27a2，∴1×q4＝27×1×q，解得q＝3，故A正确；S n＝＝，∴2S n﹣3n＝﹣1，∴数列是等差数列，故B正确；a n＝1×3n﹣1＝3n﹣1，∴a n﹣3n＝3n﹣1﹣3n＝﹣，∴数列是等比数列，故C正确；＝（n﹣1）lg3﹣3n，∴数列不是等比数列，故D错误．故选：ABC．12．已知数列{a n}中的前n项和为S n，若对任意的正整数n，都有a n+1≤S n，则称{a n}为“和谐数列”，下列结论正确的有（）A．常数数列为“和谐数列”B．为“和谐数列”C．{2n+1}为“和谐数列”D．若公差为d的等差数列{a n}满足{a n+n}为“和谐数列”，则a1+d的最小值为﹣2【分析】反例判断A；利用等比数列求和与通项公式的关系判断B；特例判断C；等差数列的形状判断D即可．解：数列{a n}中的前n项和为S n，若对任意的正整数n，都有a n+1≤S n，则称{a n}为“和谐数列”，如果数列{﹣1}，是常数列，但是不满足新定义，所以A不正确；是等比数列，S n＝＝，a n+1＝＝•≤S n＝1﹣，恒成立，所以数列是“和谐数列”，所以B正确；{2n+1}为“和谐数列”，S n＝n（n+2），a n+1＝2n+3，当n＝1时，a2＝5＞S1＝3，不满足新定义，所以C不正确；若公差为d的等差数列{a n}，可知a n＝a1+（n﹣1）d，令b n＝a n+n，{b n}为“和谐数列”，b1＝a1+1，b n+1＝a1+nd+n+1≤S n＝b1+b2+•••+b n＝a1+a2+•••+a n+1+2+3+•••+n＝na1++，恒成立，a1+nd+n+1≤na1++，（n﹣1）a1+d+﹣1≥0，当n＝1时，d≤﹣1，当n≥2时，不等式为恒成立，所以≥0，所以d≥﹣1，所以d＝﹣1，则（a1+1）n﹣a1﹣1≥0，可得a1≥﹣1，所以a1+d的最小值为﹣2，所以D正确；故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，若直线l的倾斜角为120°，则该直线的一个方向向量为，答案不唯一．【分析】先求出直线的斜率k＝tan120°＝﹣，由此能求出该直线的一个方向向量．解：在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为120°，∴直线的斜率k＝tan120°＝﹣，∴该直线的一个方向向量为，答案不唯一．故答案为：，答案不唯一．14．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，S5＝5，S10＝15，则a16+a17+a18+a19+a20的值为40．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，则有S10﹣S5＝q5（a1+a2+a3+a4+a5），求出q5，又由a16+a17+a18+a19+a20＝q15（a1+a2+a3+a4+a5），计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若S5＝5，即S5＝a1+a2+a3+a4+a5＝5，又由S10＝15，则S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝q5（a1+a2+a3+a4+a5）＝10，变形可得q5＝2，则a16+a17+a18+a19+a20＝q15（a1+a2+a3+a4+a5）＝23×5＝40，故答案为：40．15．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝2，且对任意p，q∈N*，都有a p•a q＝a p+q，则数列的最大值为．【分析】先令p＝1，n＝q，可知{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而得到，再令，作差f（n+1）﹣f（n）可知当n＝2时取得最大值．解：令p＝1，n＝q，则a1a n＝a n+1，即a n+1＝2a n，∴{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，令，则，易知当n≥2时，f（n+1）＜f（n），又，∴的最大值为．故答案为：．16．已知数列{a n}满足a1＝4，na n+1＝2（n+1）a n，则数列{a n}的通项公式为n⋅2n+1，若数列的前n项和S n，则满足不等式S n≥30的n的最小值为6．【分析】根据题意，可得为等比数列，即可求得数列{a n}的通项公式，即可求得数列，采用“裂项求和”求得S n，解不等式即可求得n的取值范围．解：由题意可知，，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，，所以，则，所以，由S n≥30，即，2n﹣3≥n+2，解得n≥6，所以n的最小值为6，故答案为：n⋅2n+1；6．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列的通项公式为a n＝a1+n﹣1，由于a1，a3，a9成等比数列，可得关于a1的方程，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入，即可求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列的通项公式为a n＝a1+n﹣1，由于a1，a3，a9成等比数列，得，解得a1＝1，∴a n＝n；（2）由题意，＝n+3n﹣1，∴．18．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）．（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程；（2）若点D（1，m2﹣2m+5），当实数m取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．【分析】（1）先求出AB的斜率，从而得以与直线AB平行的直线的斜率，由此能求出所求直线的方程；（2）求出直线AD的斜率为，由此能求出直线AD倾斜角的取值范围．解：（1）由已知可得AB的斜率为，所以与直线AB平行的直线的斜率也为﹣7，从而所求直线的方程为y﹣4＝﹣7（x+7），即y＝﹣7x﹣45；（2）由题意得直线AD的斜率为，所以直线AD倾斜角的取值范围为．19．某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．（1）今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？（精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活）（2）现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？（参考数据，精确到1万个）【分析】（1）由条件可得每月投入的鱼苗数量构成等差数列，再利用等差数列求和公式即可得解；（2）由条件可得每年投入的鱼苗数量构成等比数列，借助等比数列前n项和求出公比即可．解：（1）依题意，2021年每月投入的数量构成一个首项为3万，公差为0.2万的等差数列，2021年底一共养殖的数量为万尾．故2021年年底共有鱼13+49.2＝62.2万尾；（2）依题意，从2021年起，每年新投入的数量构成一个首项为60万的等比数列，设公比为q，且q＞1则60+60q+60q2≥800﹣13，即，解得，所以2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划．20．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a2＝2，a1﹣1，a2，a3成等差数列，数列{b n}满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n＝（n﹣1）2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列．【分析】（1）设等比数列的通项公式为，其中q＞1，由a1﹣1，a2，a3成等差数列，列方程求出q＝2，由此能求出数列{a n}的通项公式；（2）由，得，当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，，作差，得b n＝n，从而b n+1﹣b n＝1，由此能证明数列{b n}是等差数列．解：（1）设等比数列的通项公式为，其中q＞1，由于a1﹣1，a2，a3成等差数列，则，解得q＝2，从而数列{a n}的通项公式为；（2）证明：因为，即，当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，，作差，得，所以b n＝n；因此b n+1﹣b n＝1，所以数列{b n}是等差数列．21．在数列{a n}中，，．（1）求证：等比数列；（2）已知数列{b n}满足．①若数列{b n}的前n项和T n，可以表示成，求♠处的代数式；②若不等式对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由，结合即可证明数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）①由（1）可知+1＝3n，则，所以，从而利用错位相减求和法即可确定♠处的代数式；②由①可知T n+＝2﹣，于是得不等式（﹣1）nλ＜2﹣对一切正整数n恒成立，考虑{2﹣}是递增数列，从而分类讨论n为偶数和n为奇数两种情况即可确定λ的取值范围．解：（1）证明：由，又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）可知+1＝3n，则，所以，①T n＝+++…+，则T n＝+++…++，两式相减得T n＝++…+﹣＝﹣＝1﹣，则T n＝2﹣，又，所以♠的代数式为n+2；②由①可知T n+＝2﹣，于是得不等式（﹣1）nλ＜2﹣对一切正整数n恒成立，显然{2﹣}是递增数列，当n为偶数时，λ＜2﹣＝，当n为奇数时，﹣λ＜2﹣1＝1，即λ＞﹣1，所以实数λ的取值范围为．22．已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2+2S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，求k和t的值．【分析】（I）由3T n＝S n2+2S n，n∈N*．n＝1时，3T1＝+2S1，可得≠0，解得a1．（II）由3T n＝S n2+2S n，n∈N*．n≥2时，+2S n﹣1，相减可得：＝S n2﹣+2a n，3a n＝S n+S n﹣1+2．可得3a n+1＝S n+1+S n+2，相减化为：a n+1＝2a n．利用等比数列的通项公式即可得出．（III）由（II）可得：S n＝2n﹣1．由S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，可得，2t﹣2＝（2k﹣1）2﹣3•2k﹣1+1．，对k分类讨论即可得出．解：（I）由3T n＝S n2+2S n，n∈N*．n＝1时，3T1＝+2S1，可得≠0，解得a1＝1．（II）由3T n＝S n2+2S n，n∈N*．n≥2时，+2S n﹣1，相减可得：＝S n2﹣+2a n，∴3a n＝S n+S n﹣1+2．∴3a n+1＝S n+1+S n+2，可得：3a n+1﹣3a n＝a n+1+a n，化为：a n+1＝2a n．n＝1时，，可得+2（1+a2），a2＞0，解得a2＝2，满足上式．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n＝2n﹣1．（III）由（II）可得：S n＝＝2n﹣1．由S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，∴，可得（2k﹣2）2＝2t ﹣2k．化为：2t＝（2k）2﹣3•2k+4，可得：2t﹣2＝（2k﹣1）2﹣3•2k﹣1+1．（*）k＝1时不满足题意，∴k≥2．k＝2时，2t＝8，解得t＝3．k≥3时，t＝2时，化为2k＝3，不成立舍去．t≥3时，（*）左边为偶数，右边为奇数，不成立．综上可得：t＝3，k＝2．。