高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高考二模数学理试题分类汇编
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高考二模数学理试题分类汇编坐标系与参数方程选做题1（潮州市）已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=， 则圆心到直线距离为．2（佛山市）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y tx 4（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线C 的极坐标为)4sin(24πθρ+=，则直线l和曲线C 的公共点有个.3（广州市）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有个．4（惠州市）若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则PF 等于______．5（揭阳市）在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(2cos sin )3ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为．6（茂名市）已知圆的极坐标方程为θρcos 2=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为221x ty t⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ (t 为参数),则圆心到直线l 的距离为 .7（深圳市）在直角坐标系中，已知直线l ：12x sy s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）与曲线C ：23x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________． 8（肇庆市）在极坐标系)20,0)(,(πθρθρ＜＞≤中，点（1，0）关于直线1sin 2=θρ对称的点的极坐标是▲.答案：51147)4π)4,2(π高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：1.设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；2.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P （） 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（12分）如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1） 求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2ef x --<<.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．23.[选修45：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=，证明： （1）33()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．参考答案1．D 2．C【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =， 3．B【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．4．B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上5．A【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．6．D【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=7．D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．8．B【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A【解析】取渐近线by x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为2223b a b =+ 得224c a =，24e =，2e =．10．C【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，）可知1152MN AB ==，1122NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．1=PQ ，12MQ AC =ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭，7=AC则7MQ =，则MQP △中，2211MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP+-∠=⋅⋅222521110522⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-⋅⋅ 又异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，，则余弦值为10．11．A 【解析】()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，则()()32422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．12．B【解析】几何法：如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，D C则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又323PA PD AD +==⨯=， 则223324PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()3PA x y=--，，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，∴()222222PA PB PC x y y ⋅+=-+223324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，3y =．13．1.96【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，()231cos 3cos 4f x x x =-+-令cos x t =且[]01t ∈， 2134y t t =-++231t ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭则当3t =时，()f x 取最大值1． 15．2+1n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+= 414610S a d =+=求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=()()112222122311nk kS n n n n ==++++⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭16．6【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6NF NM MF =+=17.【解析】（1）依题得：21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=，∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，l FN M C B AOyx∴15cos 17B =， （2）由⑴可知8sin 17B =． ∵2ABC S =△， ∴1sin 22ac B ⋅=， ∴182217ac ⋅=， ∴172ac =， ∵15cos 17B =， ∴22215217a cb ac +-=，∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．18．【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=()()()0.4092P A P B P C == （2） 箱产量50kg <箱产量50kg ≥中/华资*源%库旧养殖法 62 38 新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．19．【解析】zyxM 'MOFPABCDE（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴12EF AD ∥．又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==，∴12BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，， (00P ，．M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，∴MBM '△为等腰直角三角形．∵POC △为直角三角形，33OC OP =，∴60PCO ∠=︒． 设MM a '=，3CM a '=，31OM a '=-．∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，． 222231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴3211OM a '=-=-． ∴2100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2610M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 26112AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 1160y z +=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，(001)n =，，．∴10cos ,m n m n m n⋅<>==⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10． 20．【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝⎭，∴12M x y ⎛⎫⎪⎝⎭，，又M 在椭圆上． ∴22122x += ⎪⎝⎭，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线l 与OQ l 垂直．∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+，∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．21．【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a=． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥．综上，1a =．⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x-'=-=，0x >． 令()0h x '=得12x =， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭．因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点．设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调减，所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()24220e e e e f x f ---->=+>．因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014f x <． 因此，()201e 4f x -<<． 22．【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=．()0x ≠⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．||OA 为定值．∴当高最大时，AOB S △面积最大，如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大 max 1||||2S AO HB =⋅ ()1||||||2AO HC BC =+2=23．【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=∴()()222a b a ab b +-+=∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦∴()()332a b ab a b +-+=∴()()323a b aba b +-=+由均值不等式可得：()()32232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤ ∴()()32232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭≤ ∴()()33324a b a b ++-≤∴()3124a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二次质量调研
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二次质量调研数学试卷（理）一、填空题（本大题有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1.已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ,},01{2R ∈≥-=x x x B ,则=B A ________． 【答案】12{-≤≤-x x 或}21≤≤x 【解析】 试题分析：因为{||2,}={|22}A x x x x x =≤∈-≤≤R ,2{10,}{|11}B x x x x x x =-≥∈=≤-≥R 或,所以=B A 12{-≤≤-x x 或}21≤≤x .考点：集合的运算.2.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4 【解析】试题分析：抛物线28x y =的焦点是()0,2,准线方程是2y =-,所以焦点到准线的距离是4.考点：抛物线性质.3.若(1i)i 2i a b +=-,其中a 、b R ∈,i 是虚数单位,则|i |a b +=_________． 【答案】5 【解析】试题分析：由(1i)i 2i a b +=-得2a =-,1b =-,所以()()22|i ||12i|=125a b +=---+-=.考点：复数相等、复数的模.4.已知函数xx g 2)(=,若0>a ,0>b 且2)()(=b g a g ,则ab 的取值范围是_______． 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 【解析】试题分析：由()()1222124a ba b g a g b a b ab ++⎛⎫=⇒=⇒+=⇒≤= ⎪⎝⎭,又,0>a ,0>b ,所以104ab <≤. 考点：1.指数运算；2.基本不等式.5.设等差数列{}n a 满足115=a ,312-=a ,{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ,则lg M =__________． 【答案】2 【解析】试题分析：由115=a ,312-=a 得公差3112125d --==--,所以()()1152212,n a n n =+--=- 故()()()22119220101001002n n n S n n n n -=+-=-+=--+≤,所以100M =,lg 2M =. 考点：等差数列的通项及前n 项和.6.若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ）,且565=a ,则=++++8210...a a a a_______________． 【答案】256 【解析】试题分析：由5358C 561a a a =-=⇒=-,8280128(1)...x a a x a x a x --=++++中取1x =-得()80128...2256a a a a ++++=-=.考点：二项式定理7.已知对任意*N ∈n ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量,设数列}{n a 的前n 项和为n S ,若11=a ,则=∞→n n S lim _____________．【答案】2 【解析】试题分析：,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量,则2211111110422n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=-⇒-=⇒= ⎪⎝⎭,}{n a 是公比为12的等比数列,所以1lim 2.112n n S →∞==-考点：1.直线的方向向量；2等比数列前n 项和的极限.8.已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,若函数()f x 的反函数为)(1x f -,则不等式51)2(21<+--x f 的解集为． 【答案】)4,0( 【解析】试题分析：)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,则()()32,22,f f -==- 所以()123f -=-,()122f --=,又)(x f 是单调函数且()()32f f ->,所以)(x f 是减函数,故1()f x -也是减函数,所以()()()()1112(2)15322222f x f x f f x f ----+<⇔-<-<⇔<-<-222x ⇔-<-<,所以04x <<,即不等式51)2(21<+--x f 的解集为)4,0(. 考点：1.函数单调性；2.反函数；3.不等式.9.已知方程1cos 3sin +=+m x x 在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解,则实数m 的取 值范围是____________． 【答案】)1,13[- 【解析】试题分析：因为πsin 2sin 3x x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭,所以方程1cos 3sin +=+m x x 在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解,即直线1y m =+ 与π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[0,π]x ∈的图像有两个不同交点,结合图像可得12m ≤+<,故实数m 的取值范围是)1,13[-.考点：1.三角变换；2.三角函数的图像.10.随机变量ξ的分布列如下表所示,其中a ,b ,c 成等差数列,若31=ξE ,则D ξ的值 是___________．【答案】95 【解析】试题分析：依题意可得2a c b +=,1a b c ++=,13a c -+=,解得111,,632a b c ===,所以22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点：随机变量的分布列、期望、方差.11.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________． 【答案】472 【解析】试题分析：若红色卡片有1张．则不同取法的种数为12412C C 466264=⨯=；若不取红色卡片．则不同取法的种数为33124C 3C 22012208-=-=,故不同取法的种数为264208472+=.考点：分类计数原理与组合12.在平面直角坐标系xOy 中,点),(P P y x P 和点),(Q Q y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P QP P Q y x y y x x 按此规则由点P 得到点Q ,称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下,m OQ OP =||,向量与的夹角为θ,其中O 为坐标原点,则θsin m 的值为____________． 【答案】21 【解析】试题分析：依题意可得(||2||OP m OQ ====,cos OP OQ OP OQθ⋅=()()222P P P p p p x x y y x y OP++-+====所以π4θ=.故π1sin sin 242m θ==. 考点：1.数量积坐标运算；2.信息迁移题13.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点,则实数b 的取值范围是____________．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛--2,23 【解析】试题分析：由⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 可知,设()t f x =,当且仅当()0,1t ∈时对应的x 值有4个,因此问题可转化为()22210g t t bt =++=在()0,1上有两个不同实根,结合二次函数图像可得()()201234802201012210b b b g g b ⎧<-<⎪⎪⎪->⇒-<<-⎨⎪=>⎪=++>⎪⎩. 考点：函数与方程。
广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-01选择题(基础题)2
广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（基础题）2一．并集及其运算（共1小题）1．（2023•广州二模）已知集合A＝{x|e x＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，0）D．（﹣1，2）二．交集及其运算（共1小题）2．（2023•广州二模）已知集合A＝{x|x＝3n﹣2，n∈N*}，B＝{6，7，10，11}，则集合A∩B的元素个数为（ ）A．1B．2C．3D．4三．交、并、补集的混合运算（共1小题）3．（2023•深圳二模）已知集合A＝{2，0}，B＝{2，3}，则∁A∪B（A∩B）＝（ ）A．{0}B．{2}C．{3}D．{0，3}四．充分条件与必要条件（共2小题）4．（2023•佛山二模）记数列{a n}的前n项和为S n，则“S3＝3a2”是“{a n}为等差数列”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2023•广州二模）已知非零向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），则“”是“∥”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件五．指数函数的单调性与特殊点（共1小题）6．（2023•广州二模）已知，，，则（ ）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a六．正弦函数的单调性（共2小题）7．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若恒成立，且，则f（x）的单调递增区间为（ ）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）8．（2023•广州二模）已知函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调，则ω的取值集合为（ ）A．{2}B．{8}C．{2，8}D．{2，8，14}七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）9．（2023•梅州二模）已知函数，且，当ω取最小的可能值时，φ＝（ ）A．B．C．D．八．利用导数研究函数的单调性（共1小题）10．（2023•梅州二模）设函数f（x）在R上存在导数f'（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f （x）＝2x2，且在（0，+∞）上f'（x）＜2x．若f（3﹣a）﹣f（a）≥9﹣6a，则实数a的取值范围为（ ）A．B．C．D．[3，+∞）九．利用导数研究函数的最值（共1小题）11．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝x3﹣3x+b，且f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，若h （x）＝，恰好有1个零点，则实数a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，﹣2）B．[，1]C．（﹣∞，﹣2）∪[，1）D．[﹣2，）一十．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题）12．（2023•佛山二模）若斜率为1的直线l与曲线y＝ln（x+a）和圆x2+y2＝都相切，则实数a的值为（ ）A．﹣1B．0C．2D．0或2一十一．平面向量的基本定理（共1小题）13．（2023•深圳二模）已知△OAB中，，，AD与BC相交于点M，，则有序数对（x，y）＝（ ）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）一十二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共1小题）14．（2023•广东二模）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ）A．B．C．D．一十三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）15．（2023•湛江二模）如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（ ）A．10πB．20πC．10nπD．18π一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）16．（2023•深圳二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V1、V2和V3，则（ ）A．V1＜V2＜V3B．V2＜V1＜V3C．V3＜V1＜V2D．V3＜V2＜V1一十五．直线与圆的位置关系（共2小题）17．（2023•湛江二模）若与y轴相切的圆C与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点，则圆C的直径为（ ）A．2B．2或C．D．或18．（2023•梅州二模）若直线l：mx+ny+m＝0将圆C：（x﹣2）2+y2＝4分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（ ）A．B．C．D．一十六．椭圆的性质（共1小题）19．（2023•广州二模）已知椭圆C：（a＞b＞0），过点（﹣a，0）且方向量为的光线，经直线y＝﹣b反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）A．B．C．D．一十七．圆锥曲线的综合（共1小题）20．（2023•佛山二模）已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个一十八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）21．（2023•广州二模）已知随机变量X的分布列如下：X12P m n 若，则m＝（ ）A．B．C．D．一十九．百分位数（共1小题）22．（2023•湛江二模）广东省第七次人口普查统计数据显示，湛江市九个管辖区常住人口数据如表所示，则这九个管辖区的数据的第70%分位数是（ ）管辖区常住人口赤坎区303824霞山区487093坡头区333239麻章区487712遂溪县886452徐闻县698474廉江市1443099雷州市1427664吴川市927275A ．927275B ．886452C ．698474D ．487712二十．线性回归方程（共1小题）23．（2023•梅州二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模型（其中e 为自然对数的底数）拟合，设z ＝lny ，得到数据统计表如表：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x 12345云计算市场规模y /千万元7.4112036.666.7z ＝lny22.433.64由上表可得经验回归方程z ＝0.52x +a，则2025年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（ ）A ．e 5.08B ．e 5.6C ．e 6.12D ．e 6.5二十一．排列、组合及简单计数问题（共1小题）24．（2023•佛山二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A ．120种B ．180种C ．240种D ．300种二十二．二项式定理（共1小题）25．（2023•广东二模）已知，则＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（基础题）2参考答案与试题解析一．并集及其运算（共1小题）1．（2023•广州二模）已知集合A＝{x|e x＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，0）D．（﹣1，2）【答案】B【解答】解：A＝{x|e x＜1，x∈R}＝{x|x＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（﹣∞，2）．故选：B．二．交集及其运算（共1小题）2．（2023•广州二模）已知集合A＝{x|x＝3n﹣2，n∈N*}，B＝{6，7，10，11}，则集合A∩B的元素个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：A＝{x|x＝3n﹣2，n∈N*}＝{1，4，7，10，13，16…}，B＝{6，7，10，11}，则集合A∩B＝{7，10}，故对应的元素个数为2个．故选：B．三．交、并、补集的混合运算（共1小题）3．（2023•深圳二模）已知集合A＝{2，0}，B＝{2，3}，则∁A∪B（A∩B）＝（ ）A．{0}B．{2}C．{3}D．{0，3}【答案】D【解答】解：集合A＝{2，0}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{0，2，3}，A∩B＝{2}，则∁A∪B（A∩B）＝{0，3}．故选：D．四．充分条件与必要条件（共2小题）4．（2023•佛山二模）记数列{a n}的前n项和为S n，则“S3＝3a2”是“{a n}为等差数列”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，则S3＝a1+a2+a3＝3a2，数列{a n}的前n项和为S n，取a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然S3＝3a2，而a4﹣a3≠a3﹣a2，即数列{a n}不是等差数列，所以“S3＝3a2”是“{a n}为等差数列”的必要不充分条件．故选：B．5．（2023•广州二模）已知非零向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），则“”是“∥”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：非零向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），则“”⇒“”，“”⇒“”或y1，y2中存在0，但是，λ≠0，∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．五．指数函数的单调性与特殊点（共1小题）6．（2023•广州二模）已知，，，则（ ）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a【答案】D【解答】解：，，＝，∵＞，y＝2x为增函数，∴b＞c；又a12＝38＝6561＞512＝29＝b12，∴a＞b；∴a＞b＞c．故选：D．六．正弦函数的单调性（共2小题）7．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若恒成立，且，则f（x）的单调递增区间为（ ）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【答案】D【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若，对x∈R 恒成立，则：x＝为函数f（x）的对称轴，∴2•+φ＝kπ+，k∈Z，φ＝kπ﹣，k∈Z，由于，∴sinφ＞cosφ，不妨取φ＝，即：f（x）＝sin（2x+），令：2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．故选：D．8．（2023•广州二模）已知函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调，则ω的取值集合为（ ）A．{2}B．{8}C．{2，8}D．{2，8，14}【答案】C【解答】解：f（x）关于点对称，所以，所以①；，而f（x）在上单调，所以，0＜ω≤8②；由①②得ω的取值集合为{2，8}．故选：C．七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）9．（2023•梅州二模）已知函数，且，当ω取最小的可能值时，φ＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意可知，当ω取最小值时，最小正周期T最大，，所以，而f（x）＝sin（2x+φ）在时取得最大值，故＝，则φ＝，又，所以．故选：D．八．利用导数研究函数的单调性（共1小题）10．（2023•梅州二模）设函数f（x）在R上存在导数f'（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f （x）＝2x2，且在（0，+∞）上f'（x）＜2x．若f（3﹣a）﹣f（a）≥9﹣6a，则实数a的取值范围为（ ）A．B．C．D．[3，+∞）【答案】A【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝2x2，所以f（﹣0）+f（0）＝0，得到f（0）＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，所以g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2＝2x2﹣f（x）﹣x2＝x2﹣f（x）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数，且g（0）＝f（0）﹣0＝0，又当x＞0时，g'（x）＝f'（x）﹣2x＜0，所以由奇函数的性质知，g（x）在R上单调递减，又f（3﹣a）﹣f（a）≥9﹣6a＝（3﹣a）2﹣a2，所以f（3﹣a）﹣（3﹣a）2≥f（a）﹣a2，即g（3﹣a）≥g（a），所以3﹣a≤a，即．故选：A．九．利用导数研究函数的最值（共1小题）11．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝x3﹣3x+b，且f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，若h （x）＝，恰好有1个零点，则实数a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，﹣2）B．[，1]C．（﹣∞，﹣2）∪[，1）D．[﹣2，）【答案】C【解答】解：因为f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，所以f（x）＝x3﹣3x+b的图象关于点（0，2）对称，所以b＝2，且函数f（x）＝x3﹣3x+2的零点为﹣2和1，y＝2﹣6x的零点为，在同一坐标系内分别画出函数f（x）＝x3﹣3x+2与y＝2﹣6x的图象，当且仅当a＜﹣2或时，函数恰好有1个零点，因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪．故选：C．一十．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题）12．（2023•佛山二模）若斜率为1的直线l与曲线y＝ln（x+a）和圆x2+y2＝都相切，则实数a的值为（ ）A．﹣1B．0C．2D．0或2【答案】D【解答】解：设直线l与曲线y＝ln（x+a）的切点为P（x0，y0），由，则，则x0＝1﹣a，y0＝0，即切点为P（1﹣a，0），所以直线l为y＝x﹣1+a，又直线l与圆都相切，则有，解得a＝2或a＝0．故选：D．一十一．平面向量的基本定理（共1小题）13．（2023•深圳二模）已知△OAB中，，，AD与BC相交于点M，，则有序数对（x，y）＝（ ）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【答案】D【解答】解：如图，∵，∴，∵C，M，B三点共线，∴设＝，且A，M，D三点共线，∴，解得，∴，且，∴，．故选：D．一十二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共1小题）14．（2023•广东二模）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：作轴截面图如下：△ABC为圆锥的轴截面，点O为与侧面相切球的球心，点E，F为切点，由已知，可得AB＝BC＝AC＝4，，∠ACB＝60°，OE⊥AC，在△OEC中，，∠OEC＝90°，∠OCE＝30°，所以，又AC＝4，所以，所以圆台的母线长为，因为CE＝CF，∠ECF＝60°，所以△ECF为等边三角形，所以，所以圆台的侧面积．故选：D．一十三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）15．（2023•湛江二模）如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（ ）A．10πB．20πC．10nπD．18π【答案】A【解答】解：根据题意，设圆柱的底面半径为r，高h，其轴截面的面积为2rh，新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，即2rh＝10，所以圆柱的侧面积为2πrh＝10π．故选：A．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）16．（2023•深圳二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V1、V2和V3，则（ ）A．V1＜V2＜V3B．V2＜V1＜V3C．V3＜V1＜V2D．V3＜V2＜V1【答案】B【解答】解：设正方体棱长为a，正四面体棱长为b，球的半径为R，面积为S，正方体表面积为S＝6a2，所以，所以，；如图，正四面体P﹣ABC，D为AC的中点，O为△ABC的中心，则PO是P﹣ABC底面ABC上的高，则，所以，所以，所以正四面体P﹣ABC的表面积为，所以，又O为△ABC的中心，所以，又根据正四面体的性质，可知PO⊥BO，所以，所以；球的表面积为S＝4πR2，所以，所以，因为，所以，所以V2＜V1＜V3．故选：B．一十五．直线与圆的位置关系（共2小题）17．（2023•湛江二模）若与y轴相切的圆C与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点，则圆C的直径为（ ）A．2B．2或C．D．或【答案】B【解答】解：因为直线l：y＝x的倾斜角为30°，所以圆心在两切线所成角的角平分线上y＝x上，设圆心C（a，a），则圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，将点代入圆的方程，得（2﹣a）2+（﹣a）2＝a2，整理得3a2﹣10a+7＝0，解得a＝1或a＝，∴圆C的直径为2或．故选：B．18．（2023•梅州二模）若直线l：mx+ny+m＝0将圆C：（x﹣2）2+y2＝4分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设直线与圆的交点为A，B，由题意可得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则几何关系可得圆心到直线的距离为×2＝1，即：d＝＝1，整理可得：8m2＝n2，当n＝0时，m＝0，方程mx+ny+m＝0不表示直线，舍去，当n≠0时，＝±，∴直线l的斜率为：k＝﹣＝±．故选：D．一十六．椭圆的性质（共1小题）19．（2023•广州二模）已知椭圆C：（a＞b＞0），过点（﹣a，0）且方向量为的光线，经直线y＝﹣b反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得方向向量为的光线的斜率为﹣1，直线y＝﹣b，平行于x轴，故由反射定律知，△AMF为等腰直角三角形，∴（a+c）＝b，∴a2+2ac+c2＝4b2＝4（a2﹣c2），∴3a2﹣2ac﹣5c2＝0，∴（3a﹣5c）（a+c）＝0，∴3a﹣5c＝0，∴e＝＝．故选：A．一十七．圆锥曲线的综合（共1小题）20．（2023•佛山二模）已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：当A＝B＝1，C＝0，D＝E＝﹣2，F＝﹣4时，方程化为x2+y2﹣2x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝6，此时方程表示圆的方程，所以A甲正确；当A＝1，B＝C＝D＝0，E＝﹣1，F＝﹣4时，Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0化为x2﹣y﹣4＝0，即y＝x2﹣4，此时方程表示抛物线方程，所以乙正确；当A＝2，B＝1，C＝D＝E＝0，F＝﹣4时，Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0化为2x2+y2＝4，即，此时方程表示椭圆方程，所以丙正确；当A＝2，B≥C＝D＝E＝0，F＝﹣4时，Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，不可能化为双曲线方程，所以丁不正确；真命题有3个．故选：C．一十八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）21．（2023•广州二模）已知随机变量X的分布列如下：X12P m n 若，则m＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意可得，解得，故选：B．一十九．百分位数（共1小题）22．（2023•湛江二模）广东省第七次人口普查统计数据显示，湛江市九个管辖区常住人口数据如表所示，则这九个管辖区的数据的第70%分位数是（ ）管辖区常住人口赤坎区303824霞山区487093坡头区333239麻章区487712遂溪县886452徐闻县698474廉江市1443099雷州市1427664吴川市927275A．927275B．886452C．698474D．487712【答案】A【解答】解：湛江市九个管辖区常住人口数据由小到大排列如下：303824，333239，487093，487712，698474，886452，927275，1427664，1443099；9×70%＝6.3，所以这九个管辖区的数据的第70%分位数是：927275．故选：A．二十．线性回归方程（共1小题）23．（2023•梅州二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设z＝lny，得到数据统计表如表：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y/千万元7.4112036.666.7z＝lny2 2.43 3.64由上表可得经验回归方程z＝0.52x+a，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ）A．e5.08B．e5.6C．e6.12D．e6.5【答案】B【解答】解：由题意得，∴，即经验回归方程z＝0.52x+1.44，当x＝8时，z＝0.52×8+1.44＝5.6，∴y＝e z＝e5.6，即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e5.6．故选：B．二十一．排列、组合及简单计数问题（共1小题）24．（2023•佛山二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A．120种B．180种C．240种D．300种【答案】C【解答】解：5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择的不同方法数＝240．故选：C．二十二．二项式定理（共1小题）25．（2023•广东二模）已知，则＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．【答案】A【解答】解：（1﹣x）2023的展开式通项为，所以，，所以，，所以，，且a0＝1，所以，＝．故选：A．。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二次高考模拟考试数学试卷理科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁. 考试结束后，将答题卷交回。
第一部分 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设集合{}220,11x A xB x y x x ⎧-⎫=<==-⎨⎬+⎩⎭，则A B =（）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}11x x -≤<D ．{}1,1- 2．“1a =”是“复数2(1)2(1)z a a i =-++（a R ∈）为纯虚数”的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()f x 在R 上是减函数，若)8(log 21f a =,])21[(31f b =,)2(21-=f c .则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布。
A ．12B ．815C ．1631D ．16295．若动圆的圆心在抛物线2112y x =上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( ) A.(0,2) B ．(0，－3)C.(0,3) D ．(0,6)6．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的 点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ，y 都为偶数且x≠y”，则A 发生的概率P （A ）为（ ）334俯视图侧视图正视图第10题图A.41B.16C. 31D.1127．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－4，则条件框内 应填写（）A. 3?i >B. 5?i <C.4?i >D.4?i <8．23451+1111x x x x -+--+-（）（）+（）（）展开式中2x 项的系数为（ ） A ．－19 B ．19 C ．20 D ．－209. 已知向量(3,2)a =-，(,1)a x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数， 则32x y+的最小值是 （ ） A ．24 B ．8 C ．38 D ．3510．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A. π34 B. π35C ．π36D ．π1711．已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c , 直线3()y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠, 则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．31+ 12．已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[3,3]x ππ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分.） 13．已知函数()2sin 3πf x ωx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω＝14．已知点A （1，2），点P （,x y ）满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，O 为坐标原点，则Z OA OP =•的最大值为15.已知△ABC 中，∠B=900，AB=3, BC=1.若把△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得几何体的体积为 .第7题图第13题图16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，若数列{}an 的前n 项和Sn 满足21n nS a n n=+，则56()()f a f a +＝ 三、解答题（本大题共8小题，共70分.其中17至21题为必做题，22至24题为选做题.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若3π=∠ABC ,2,7==c b ,D 为BC 的中点.（I ）求cos BAC ∠的值; （II ）求AD 的值.18．（本小题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，所得数据如下 列联表：从服药的动物中任取2只，记患病动物只数为ξ； （I ）求出列联表中数据x ，y ，t 的值，并求ξ的分布列和期望； （II ）根据参考公式，求2k 的值（精确到小数后三位）； （Ⅲ）能够有97.5%的把握认为药物有效吗？（参考数据如下）（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87919、（本小题满分12分)如图1，已知四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60A ,2=AB ,E 为AB 的中点。
广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-03解答题(提升题)2
广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2目录一．数列的求和（共1小题） (1)二．利用导数研究函数的最值（共1小题） (1)三．解三角形（共4小题） (1)四．直线与平面所成的角（共2小题） (2)五．二面角的平面角及求法（共1小题） (3)六．点、线、面间的距离计算（共1小题） (3)七．直线与抛物线的综合（共1小题） (4)八．直线与双曲线的综合（共2小题） (4)九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题） (4)一．数列的求和（共1小题）1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n+2﹣6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，求数列{b n}的前n项和T n．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数．（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．三．解三角形（共4小题）3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A﹣a cos B ＝b﹣c．（1）求A；（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cos B＝，求tan∠BAD．4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，，AC ＝2，设∠CAD＝θ．（1）当θ＝45°时，求BD的长；（2）求BD的最大值．5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cos A+sin B＝（sin A+cos B）．（1）若C＝，求A；（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．四．直线与平面所成的角（共2小题）7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC 的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：PB∥平面EAC．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．五．二面角的平面角及求法（共1小题）9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B．（1）证明：A1A＝A1C；（2）若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．六．点、线、面间的距离计算（共1小题）10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝＝2，点M为A1B1的中点．（1）在棱BB1上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1M？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求点C到平面BC1M的距离．七．直线与抛物线的综合（共1小题）11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M （a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N 在l1上．（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．八．直线与双曲线的综合（共2小题）12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．（1）求双曲线E的方程；（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：一般激动总计男性90120女性25总计200（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.1000.0500.0100.001xα 2.706 3.841 6.63510.828 15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图x100150200300450t9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）＝，＝x，＝240，＝365000，x i y i＝457，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，zi y i≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2参考答案与试题解析一．数列的求和（共1小题）1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n+2﹣6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】（1）a n＝3•2n﹣1；（2）T n＝3•2n+2﹣12﹣3n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，则q＞0，当n＝1时，有2S1＝a3﹣6，当n＝2时，有2S2＝a4﹣6，两式相减得，2a2＝a4﹣a3，即2＝q2﹣q，解得q＝2或﹣1（舍负），又2S1＝a3﹣6，所以2a1＝4a1﹣6，即a1＝3，所以a n＝3•2n﹣1．（2）由（1）知，S n＝＝3•（2n﹣1），所以S n﹣a n＝3•（2n﹣1）﹣3•2n﹣1＝3•（2n﹣1﹣1）≥0，即S n≥a n，当且仅当n＝1时，等号成立，S n﹣a n+1＝3•（2n﹣1）﹣3•2n＝﹣3＜0，即S n＜a n+1，所以a n≤S n＜S n+1＜a n+2＜S n+2，即a m≤S m＜S m+1＜a m+2＜S m+2，记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，则b m＝S m+1＝3•（2m+1﹣1），所以b n＝3•（2n+1﹣1）＝3•2n+1﹣3，所以T n＝3•（22+23+…+2n+1）﹣3n＝3•﹣3n＝3•2n+2﹣12﹣3n．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数．（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．【解答】解：（1）函数，x＞0，求导得：，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，则f（x）在上递增，在上递减，所以当a≥0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的递增区间是，递减区间是．（2）因为a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，当0＜x≤1时，∀a＞0，恒成立，因此a＞0，当x＞1时，⇔2alne ax+ln （lne ax）≥2alnx+ln（lnx），令g（x）＝2ax+lnx，原不等式等价于g（lne ax）≥g（lnx）恒成立，而，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此∀x＞1，lne ax≥lnx，即，令，，当1＜x＜e时，h'（x）＞0，当x＞e时，h'（x）＜0，函数h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，，因此，综上得，所以实数a的取值范围是．三．解三角形（共4小题）3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A﹣a cos B ＝b﹣c．（1）求A；（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cos B＝，求tan∠BAD．【答案】（1）A＝；（2）．【解答】解：（1）∵b cos A﹣a cos B＝b﹣c，∴根据正弦定理可得sin B cos A﹣sin A cos B＝sin B﹣sin C，∴sin B（cos A﹣1）＝sin A cos B﹣sin（A+B），∴sin B（cos A﹣1）＝﹣cos A sin B，又sin B＞0，∴cos A﹣1＝﹣cos A，∴2cos A＝1，又A∈（0，π），∴A＝；（2）设∠BAD＝θ，又A＝，则∠CAD＝﹣θ，∵D在BC边上，且CD＝2BD，∴S△ACD＝2S△ABD，设|AD|＝t，则，∴＝＝，又A＝，cos B＝，∴sin B＝，∴＝＝＝，∴＝，∴＝，即tan∠BAD＝．4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，，AC ＝2，设∠CAD＝θ．（1）当θ＝45°时，求BD的长；（2）求BD的最大值．【答案】（1）；（2）3．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，．在△ABD中，因为，由余弦定理得，因此；（2）在Rt△ACD中，AD＝AC cosθ＝2cosθ，在△ABD中，因为，由余弦定理得：＝＝，所以，所以当，即θ＝时，BD最长，BD的最大值为．5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cos A+sin B＝（sin A+cos B）．（1）若C＝，求A；（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．【答案】（1）A＝；（2）（1，2）．【解答】解：（1）∵C＝，又cos A+sin B＝（sin A+cos B），∴cos A+sin（﹣A）＝sin A+cos（﹣A），∴cos A+cos A+sin A＝sin A+（cos A+sin A），∴，∴tan A＝1，又A∈（0，π），∴A＝；（2）∵cos A+sin B＝（sin A+cos B），∴sin A﹣cos A＝sin B﹣cos B，∴2sin（A﹣）＝2sin（B﹣），∴A﹣＝B﹣或A﹣+B﹣＝π，∴A＝B﹣或A+B＝（舍），又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD＝，在△BCD中，由正弦定理可得，∴，∴|CD|＝，又sin C＝sin（﹣2B），又△ABC为锐角三角形，'∴，∴B∈（，），∴∈（，），∴sin C＝sin（﹣2B）∈（，1），∴|CD|＝∈（1，2）．6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1），即，即，由正弦定理得，B∈（0，π），sin B≠0，故，，，故，又，故，故；（2），设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又a2＝b2+c2﹣bc＝b2（1﹣x+x2），故，当且仅当x＝1时等号成立，故a的最小值为．四．直线与平面所成的角（共2小题）7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC 的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解答；（2）．【解答】解：（1）证明：可取CC1的中点M，连接DM，AM，又D为BC的中点，可得DM∥BC1，DM⊄平面BC1E，可得DM∥平面BC1E，又AD∥平面BC1E，AD∩DM＝D，可得平面ADM∥平面BC1E，所以AM∥平面BC1E，又平面BC1E∩平面A1ACC1＝C1E，可得AM∥C1E，即有E为AA1的中点，因为AB＝AC，D为BC的中点，可得AD⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥底面ABC，可得B1B⊥AD，由BC∩B1B＝B，可得AD⊥平面BB1C1C，取BC1的中点H，连接EH，可得EH∥AD，即有EH⊥平面BB1C1C，而EH⊂平面BC1E，可得平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）设BC＝2a，可得AD＝，三棱锥B1﹣BC1E的体积V＝EH•＝•×3×2a＝a≤（a2+9﹣a2）＝（当且仅当a＝取得等号），可得当AB⊥AC时，三棱锥B1﹣BC1E的体积取得最大值．由于A1C1∥AC，可得直线AC与平面BC1E所成角即为直线A1C1与平面BC1E所成角．设A1到平面BC1E的距离为h，由BE＝C1E＝＝，BC1＝＝3，可得＝×3×＝，所以＝h•＝h，又＝×3××3×＝，又＝，解得h＝，又A1C1＝3，可得直线A1C1与平面BC1E所成角的正弦值为＝，即有直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为．8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：PB∥平面EAC．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明详见解析，（2）．【解答】解：（1）连接BD交AC于F，连接EF，因为四边形ABCD是菱形，所以F是BD的中点，又E是PD的中点，所以EF∥PB，因为EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC．（2）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．设PD＝a，则，解得a＝3．因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以OC⊥AD，且．以O为坐标原点，以OC，OD，OP所在直线分别为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，故可设，则，所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为．五．二面角的平面角及求法（共1小题）9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B．（1）证明：A1A＝A1C；（2）若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．【解答】（1）证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，因为AB＝BC，所以OB⊥AC，因为A1C1⊥A1B，A1C1∥AC，所以AC⊥A1B，又OB∩A1B＝B，OB、A1B⊂平面A1BO，所以AC⊥平面A1BO，因为A1O⊂平面A1BO，所以AC⊥A1O，因为O为AC的中点，所以A1A＝A1C．（2）解：因为AB＝BC＝2，∠ABC＝，所以AC＝A1C1＝2，又A1C1⊥A1B，BC1＝，所以A1B＝＝，而OA1＝OB＝1，所以，即OA1⊥OB，所以OA1，OB，OC两两垂直，故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，，1），C（0，，0），B（1，0，0），所以＝（1，，0），＝（1，0，1），＝（0，，1），设平面A 1CB 1的法向量为＝（x ，y ，z ），则，即，令y ＝1，则x ＝﹣，z ＝，所以＝（﹣，1，），同理可得，平面BCC 1B 1的法向量＝（，1，﹣），设平面A 1CB 1与平面BCC 1B 1夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜，＞|＝＝＝，故平面A 1CB 1与平面BCC 1B 1夹角的余弦值为．六．点、线、面间的距离计算（共1小题）10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝＝2，点M 为A 1B 1的中点．（1）在棱BB 1上是否存在点Q ，使得AQ ⊥平面BC 1M ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求点C 到平面BC 1M 的距离．【答案】（1）＝7；（2）．【解答】解：（1）在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵点M 为A 1B 1的中点．∴C1M⊥A1B1，又∵A1A⊥平面A1B1C1，∴A1A⊥C1M，面A1A∩A1B1＝A1，∴C1M⊥平面AA1B1B，过点A作AQ⊥BM，AQ⊥C1M，且BM∩C1M＝M，∴AQ⊥平面BC1M，即点Q为所要找的点，易得：△ABQ∽△BB1M，∴＝，即有＝，于是BQ＝，∴B1Q＝B1B﹣BQ＝4﹣＝，∴＝7；（2）连接C与AB的中点N，易知CN∥平面BC1M，点C到平面BC1M的距离h C等于点N到平面BC1M的距离h N，又N为AB的中点，点N到平面BC1M的距离h N等于点A到平面BC1M的距离h A的一半，而由（1）知，当BQ＝时，AQ⊥平面BC1M，设AQ∩BM＝H，则h A＝AH＝AB cos∠BAQ＝2×＝，∴h C＝h N＝h A＝．七．直线与抛物线的综合（共1小题）11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M （a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N 在l1上．（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）λ＝2．【解答】（1）证明：如图所示：当a＝1时，M（1，0）恰为抛物线C：y2＝4x的焦点．由抛物线的定义可得：|AM|＝|AA1|，|BM|＝|BB1|．取AB的中点D，连接DN，则DN为梯形ABB1A1的中位线，所以．因为D为AB的中点，所以，所以|DA|＝|DN|．在△ADN中，由|DA|＝|DN|可得：∠AND＝∠NAD．因为DN为梯形ABB1A1的中位线，所以DN∥AA1，所以∠AND＝∠A1AN，所以∠NAD＝∠A1AN，同理可证：∠NBD＝∠B1BN．在梯形ABB1A1中，∠A1AB+∠B1BA＝180°，所以∠A1AN+∠NAD+∠DBN+∠NBB1＝180°，所以，所以∠ANB＝90°，即AN⊥BN．（2）解：假设存在实数λ，使得k1+k2＝λk3．由直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，可设l：x＝my+a．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，消去x可得：y2﹣4my﹣4a＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4a．则＝．而，所以，解得：λ＝2．八．直线与双曲线的综合（共2小题）12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．（1）求双曲线E的方程；（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解答】解：（1）|F1F2|＝2，则c＝，，2a＝|AF1|﹣|AF2|＝，解得a ＝1，b2＝c2﹣a2＝2，故双曲线E的方程为；（2）证明：设H（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则，，即①，，设＝λ，则（λ≠1），即，故，④，将①②代入④，则⑤，将③代入⑤，则2[（1﹣λ2）2x﹣（1﹣λ2）]＝（1﹣λ2）y，即4x﹣2＝y，故点H恒在定直线4x﹣y﹣2＝0．13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．【答案】（1）；（2）（，6]．【解答】解：（1）根据题意可得∠BAD＝90°，半焦距c＝2，由AF＝BF，可得a+c＝，∴a2+2a＝22﹣a2，解得a＝1，∴b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，∴双曲线C的方程的方程为；（2）显然直线MN不可能与坐标轴平行，∴设直线MN的方程为x＝my+n，联立，可得（3m2﹣1）y2+6mny+3（n2﹣1）＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则根据题意可得：，且，①，由k1k2＝﹣2，可得y1y2+2（x1+1）（x2+1）＝0，即y1y2+2（my1+n+1）（my2+n+1）＝0，整理得②，将①代入②中可得3（n2﹣1）（2m2+1）﹣12m2n（n+1）+2（n+1）2（3m2﹣1）＝0，化简可消去所有的含m的项，从而解得n＝5或n＝﹣1（舍去），∴直线MN的方程为x﹣my﹣5＝0，∴d＝，又MN都在双曲线的右支上，∴3m2﹣1＜0，∴，∴，∴d＝∈（，6]，∴点A到直线MN的距离d的取值范围为（，6]．九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：一般激动总计男性90120女性25总计200（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.1000.0500.0100.001xα 2.706 3.841 6.63510.828【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关；（2）分布列见解析，E（X）＝100．【解答】解：（1）补全的2×2列联表如下：一般激动总计男性3090120女性255580总计55145200零假设为H0：性别与对活动的观感程度相互独立．根据表中数据，计算得到χ2＝＝＜1＜2.706，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此我们可以认为H0成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关．（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，则P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝，由题意，X可取200，150，100，50，0，P（X＝200）＝×＝，P（X＝150）＝2××＝，P（X＝100）＝×+2××＝，P（X＝50）＝2××＝，P（X＝0）＝×＝，所以X的分布列为：X200150100500P所以E（X）＝200×+150×+100×+50×+0×＝100．15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图x100150200300450t9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）＝，＝x，＝240，＝365000，x i y i＝457，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，zi y i≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2则P（ξ＝0）＝∴ξ的分布列是ξ012P（2）由散点图可知＝z+a更适合于此模型依题意，则＝＝≈﹣0.47≈﹣0.5，＝＝0.5+0.47×5.35≈3.0，∴所求的回归方程为＝＝﹣0.5lnx+3.0．（3）依题意，L（x）＝100（﹣0.5lnx+3.0）x＝﹣50xlnx+300x，则L′（x）＝﹣50lnx+250由L′（x）＞0．得lnx＜5，x＜e5，由L′（x）＜0，得lnx＞5，x＞e5∴L（x）在（0，e5）上递增：在（e5，+∞）上递减当x＝e5≈150时，L（x）取到最大值∴当收费标准约为150（元/日）时，100天销售额L最大．。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二次模拟考试试题
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二次模拟考试试题数学（І）（正题）一、填空题.本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案填在相应位置. 1.若直线1+=kx y 与直线042=-+y x 垂直，则=k ． 2.已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P ，则整数=m ． 3.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为． 4.2000年级 高一 高二 高三人数800 600 600 现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为． 5.若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是． 6.某程序框图如图所示，若输出的10=S ，则自然数=a ． 7.若复数z 满足1=-i z （其中i 为虚数单位），则z 的最大值为． 8.已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，)(e a e -⊥，则向量a 与e 的夹角大小为．9.在等比数列{}n a 中，已知1235a a a =,78940a a a =,则567a a a =． 10.函数65cos2cos 6sin 2sin )(ππx x x f -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的单调递增区间为．11.过圆922=+y x 内一点)2,1(P 作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当BD AC =时，四边形ABCD 的面积为．12.若)(x f y =是定义在R 上周期为2的周期函数，且)(x f 是偶函数，当[]1,0∈x 时，12)(-=x x f ，则函数x x f x g 3log )()(-=的零点个数为．13.设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()('>+x xf x f .则不等式)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为14.在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，若1512mS S n n ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为． 二、解答题.本大题共2小题，共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.15.（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，CD AB //，BC AB ⊥，1==BC AB ，2=DC ，点E 在PB 上.（1）求证：平面⊥AEC 平面PAD ； （2）当//PD 平面AEC 时，求PE ：EB 的值. 16.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且.212ac b = （1）求证：43cos ≥B ； （2）若1cos )cos(=+-BC A ，求角B 的大小.17（本小题满分14分）因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即EF =50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离x (cm)在区间[140,180]内.设支架FG 高为h (0<h <90)cm ，AG =100cm,顾客可视的镜像范围为CD （如图所示），记CD 的长度为y (GC GD y -=).(1)当h =40cm 时，试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；(2)当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <≤(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h 的取值范围. 18.（本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.19（本小题满分16分）在数列{}n a 中，11a =,且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D . 20.已知函数|21|1(),x a f x e -+=||12(),x a f x e x R -+=∈.(1)若a =2,求12()()()f x f x f x =+在[2,3]x ∈上的最小值； (2)若[,)x a ∈+∞时，21()()f x f x ≥，求a 的取值范围； (3)求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在[1,6]x ∈上的最小值； 数学（Ⅱ）（附加题）(4)选做题A .选修14-：几何证明选讲如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，D 为劣弧BC 上一点，连结BD ，CD 并延长分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F . 求证：.2BC BF CE =⋅B .选修24-：矩阵与变换已知二阶矩阵A 将点)0,1(变换为)3,2(，且属于特征值3的一个特征向量是⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，求矩阵.AC .选修44-：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值. D .选修54-：不等式选讲设1a ，2a ，3a 均为正数，且m a a a =++321.求证：.29111133221ma a a a a a ≥+++++(5)（本小题满分10分）甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为p ，乙，丙的命中率均为q （)1,0(,∈q p ）.现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量ξ. （1）当21==q p 时，求数学期望)(ξE ； （2）当1=+q p 时，试用p 表示ξ的数学期望)(ξE .23.某班级共派出1+n 个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有n E 种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有n F 种选法. （1）试求n E 和n F ；（2）判断n E ln 和n F 的大小（+∈N n ），并用数学归纳法证明.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学二模试卷含答案
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学二模试卷含答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________ 12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案1. (0,1)2.13.π4.35. 5.16. 37. 28.19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1）（2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（3）15λ=解析：（3）不失一般性，不妨假设c b a <<（i ）若2a c b +=。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题理数试题002
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题理数试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“x R ∀∈，2240x x -+≤”的否定为A ．x R ∀∈，2240x x -+≥B ．x R ∀∈，2244x x -+≤C ．x R ∃∈，2240x x -+>D ．x R ∃∉， 2240x x -+>2．雅礼中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查.现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k=20，即分50组每组20人.在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是 A ． 177B ．157C ．417D ．3673．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A ．cos y x =B ．21y x =+C ．sin y x =D ．ln y x =4．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 A ．12B ．35C ．45D ．7105．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 A ． 6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．13π+B ．23π+C ．123π+D ．223π+ 7．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个 B ．120个C ．96个D ．72个8．函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则()f x 的递增区间是A ．[6k1，6k+2](k ∈Z)B ．[6k4，6k1](k ∈Z)C ．[3k1，3k+2](k ∈Z)D ．[3k4，3k1](k ∈Z)9．已知是{}n a 等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS >< C ．140,0a d dS <<D ．140,0a d dS <>10．设12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，P 在双曲线上，若12120,||||2PF PF PF PF ac ⋅=⋅=(c 为半焦距)，则双曲线的离心率为A ．312-B ．312+C ．2D ．512+ 11．一个二元码是由0和1组成的数字串()12*n x x x n N ⋅⋅⋅∈，其中()1,2,,k x k n =⋅⋅⋅称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x ⋅⋅⋅的码元满足如下校验方程组：456723671357000x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 A ． 4B ．5 C ．6 D ．712．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()'f x 满足()'1f x k >>，则下列结论中一定错误的是A ． 11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭B ．111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．sin15cos15︒︒+=.14．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）.15．如图所示，||2,||1,BAC 120AB AC ︒==∠=，O 为△ABC 的内心，则AO AC ⋅的值为.16．如图所示，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，1)处标数字2，点(0，1)处标数字3，点(1，1)处标数字4，点(1，0)处标数字5，点(1，1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推：记格点坐标为(m ，n)的点(m ，n 均为正整数)处所标的数字为f(m ，n)，若n >m ，则f(m ，n)=. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2cos ,sin 53A B C ==. (1) 求tanC 的值； (2) 若2a =c 的长及△ABC 的面积.18．(本小题满分12分)某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从该校1468份试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：（1）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计该校高三学生该题的平均分.（2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题得分ζ的分布列及数学期望. 19．(本小题满分12分) 如图，在三棱锥PABC 中，90PAB PAC ACB ︒∠=∠=∠=. (1) 求证：平面PBC ⊥平面PAC ；(2) 若PA=1，AB=2，BC=2，在直线AC 上是否存在一点D ，使得直线BD 与平面PBC 所成角为30°？若存在，求出CD 的长；若不存在，说明理由.20．(本小题满分12分)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (1) 求椭圆的方程；(2) 设不过原点O 的直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围.21．(本小题满分12分) 已知函数()()2ln x a f x x-=（其中a 为常数）.(1) 当a=0时，求函数的单调区间；(2) 当0<a<1时，设函数()f x 的3个极值点为123,,x x x ，且123x x x <<.证明：13x x e+>. 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. 22．(本小题满分10分) 选修41：几何证明选讲如图AB 是☉O 直径，AC 是☉O 切线，BC 交☉O 于点E.（1）若D 为AC 中点，求证：DE 是☉O 切线； （2）若OA=3CE ，求∠ACB 的大小.23．(本小题满分10分) 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数)，试判断直线与圆的位置关系.24．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数()|||21|f x x a x =++-(a ∈R). (1) 当a=1时，求不等式()2f x ≥的解集；(2) 若()2f x x ≤的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围. 高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二次质量调研
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二次质量调研数学试卷（理）一、填空题（本大题有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1.已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ,},01{2R ∈≥-=x x x B ,则=B A ________． 【答案】12{-≤≤-x x 或}21≤≤x 【解析】 试题分析：因为{||2,}={|22}A x x x x x =≤∈-≤≤R ,2{10,}{|11}B x x x x x x =-≥∈=≤-≥R 或,所以=B A 12{-≤≤-x x 或}21≤≤x .考点：集合的运算.2.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4 【解析】试题分析：抛物线28x y =的焦点是()0,2,准线方程是2y =-,所以焦点到准线的距离是4.考点：抛物线性质.3.若(1i)i 2i a b +=-,其中a 、b R ∈,i 是虚数单位,则|i |a b +=_________． 【答案】5 【解析】试题分析：由(1i)i 2i a b +=-得2a =-,1b =-,所以()()22|i ||12i|=125a b +=---+-=.考点：复数相等、复数的模.4.已知函数xx g 2)(=,若0>a ,0>b 且2)()(=b g a g ,则ab 的取值范围是_______． 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 【解析】试题分析：由()()1222124a ba b g a g b a b ab ++⎛⎫=⇒=⇒+=⇒≤= ⎪⎝⎭,又,0>a ,0>b ,所以104ab <≤. 考点：1.指数运算；2.基本不等式.5.设等差数列{}n a 满足115=a ,312-=a ,{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ,则lg M =__________． 【答案】2 【解析】试题分析：由115=a ,312-=a 得公差3112125d --==--,所以()()1152212,n a n n =+--=- 故()()()22119220101001002n n n S n n n n -=+-=-+=--+≤,所以100M =,lg 2M =. 考点：等差数列的通项及前n 项和.6.若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ）,且565=a ,则=++++8210...a a a a_______________． 【答案】256 【解析】试题分析：由5358C 561a a a =-=⇒=-,8280128(1)...x a a x a x a x --=++++中取1x =-得()80128...2256a a a a ++++=-=.考点：二项式定理7.已知对任意*N ∈n ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量,设数列}{n a 的前n 项和为n S ,若11=a ,则=∞→n n S lim _____________．【答案】2 【解析】试题分析：,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量,则2211111110422n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=-⇒-=⇒= ⎪⎝⎭,}{n a 是公比为12的等比数列,所以1lim 2.112n n S →∞==-考点：1.直线的方向向量；2等比数列前n 项和的极限.8.已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,若函数()f x 的反函数为)(1x f -,则不等式51)2(21<+--x f 的解集为． 【答案】)4,0( 【解析】试题分析：)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,则()()32,22,f f -==- 所以()123f -=-,()122f --=,又)(x f 是单调函数且()()32f f ->,所以)(x f 是减函数,故1()f x -也是减函数,所以()()()()1112(2)15322222f x f x f f x f ----+<⇔-<-<⇔<-<-222x ⇔-<-<,所以04x <<,即不等式51)2(21<+--x f 的解集为)4,0(. 考点：1.函数单调性；2.反函数；3.不等式.9.已知方程1cos 3sin +=+m x x 在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解,则实数m 的取 值范围是____________． 【答案】)1,13[- 【解析】试题分析：因为πsin 2sin 3x x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭,所以方程1cos 3sin +=+m x x 在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解,即直线1y m =+ 与π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[0,π]x ∈的图像有两个不同交点,结合图像可得12m ≤+<,故实数m 的取值范围是)1,13[-.考点：1.三角变换；2.三角函数的图像.10.随机变量ξ的分布列如下表所示,其中a ,b ,c 成等差数列,若31=ξE ,则D ξ的值 是___________． 95 【答案】【解析】试题分析：依题意可得2a c b +=,1a b c ++=,13a c -+=,解得111,,632a b c ===,所以22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点：随机变量的分布列、期望、方差.11.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________． 【答案】472 【解析】试题分析：若红色卡片有1张．则不同取法的种数为12412C C 466264=⨯=；若不取红色卡片．则不同取法的种数为33124C 3C 22012208-=-=,故不同取法的种数为264208472+=.考点：分类计数原理与组合12.在平面直角坐标系xOy 中,点),(P P y x P 和点),(Q Q y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P Q P P Q y x y y x x 按此规则由点P 得到点Q ,称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下,m OQ OP =||,向量与的夹角为θ,其中O 为坐标原点,则θsin m 的值为____________． 【答案】21 【解析】试题分析：依题意可得(||2||OP m OQ ====,cos OP OQ OP OQθ⋅=()()2222P P P p p p x x y y x y OP++-+====所以π4θ=.故π1sin sin 242m θ==. 考点：1.数量积坐标运算；2.信息迁移题 13.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点,则实数b 的取值范围是____________．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛--2,23 【解析】试题分析：由⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 可知,设()t f x =,当且仅当()0,1t ∈时对应的x 值有4个,因此问题可转化为()22210g t t bt =++=在()0,1上有两个不同实根,结合二次函数图像可得()()201234802201012210b b b g g b ⎧<-<⎪⎪⎪->⇒-<<-⎨⎪=>⎪=++>⎪⎩. 考点：函数与方程。