八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数综合讲义【人教版】
一次函数分段函数：（1）分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数解析式不同，其函数图象是一个折线.（2）分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求函数解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.探究类型之 行程问题中的分段函数 例：周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发1时后达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1时50分后，妈妈驾车沿相同的路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；
（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．
练习：1. 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5 h后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1 h 20 min后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多久后被妈妈追上？此时离家多远？2.小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分，到达学校的时间是7：55，为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步.（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？（2）下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问：①小刚到家的时间是下午几时？②小刚回家过程中，离家的路程s（米）与时间t（分）之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式.
探究类型之 天然气（或水费）中的分段函数例：为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源.某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：
（1）若甲用户3月份的用气量为60 m3，则应缴费______元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3）,y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2.3月份共用气175 m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2.3月份的用气量各是多少？
练习：为响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的阶梯电价，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如折线图请根据图象回答下列问题：当用电量是180千瓦时时，电费是_________元；（2）第二档的用电量范围是______________；（3）“基本电价”是____________元/千瓦时；
探究类型之 检票口中的分段函数例 ：“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示.（1）求a的值．（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？
(2)、主要知识点：一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线必通过原点,经过一、三象限当b＜0时，直线必通过三、四象限。 y=kx+b时： 当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。 当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。4.特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）确定一次函数的表达式已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A.B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。【类型一】利用一次函数的定义
1.当m为何值时，函数)4m(x)2m(y3m2是一次函数？
练习：①当m＝______时，5x4x)3m(y1m2是一次函数。 ②已知函数1kxx)2k(y，当=_____时，它是一次函数；当＝______时，它是正比例函数.考点1：一次函数的概念.
相关知识：一次函数是形如ykxb（k、b为常数，且0k）的函数，特别的当0b时函数为)0(kkxy，叫正比例函数.
【例题】1.下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=2x-1 B．y=3x C．y=2x2 D．y=-2x+12.已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，该函数的解析式为_________．
3.已知一次函数kxky)1(+3,则k= .4.函数nmxmyn12)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ，n 时为一次函数．考点2：一次函数图象与系数
相关知识：一次函数)0(kbkxy的图象是一条直线，图象位置由k、b确定，0k直线要经过一、三象限，0k直线必经过二、四象限，0b直线与y轴的交点在
正半轴上，0b直线与y轴的交点在负半轴上.【例题】1. 直线y=x－1的图像经过象限是( )A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限2. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3. 一次函数y= 3 x + 2的图象不经过第 象限.
4. 一次函数2yx的图象大致是（ ）
5. 关于x的一次函数y=kx+k2+1的图像可能是（ ）6.已知一次函数y=x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.27.若一次函数mxmy23)12(的图像经过 一、二、四象限，则m的取值范围是 ． 8. 已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示，则m、n的取值范围是（ ）
A.m＞0,n＜2 B. m＞0,n＞2 C. m＜0,n＜2 D. m＜0,n＞29．已知关于x的一次函数ymxn的图象如图所示，
则2||nmm可化简为__ __.如果一次函数y=4x+b的图像经过第一、三、四象限，那么b的取值范围是________考点3：一次函数的增减性
相关知识：一 次函数)0(kbkxy，当0k时，y随x的增大而增大，当0k时，y随x的增大而减小.
规律总结：从图象上看只要图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，经过二、四象限，y随x的增大而减小.【例题】1.写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式 2.一次函数y=-2x+3中，y的值随x值增大而_______.(填“增大”或“减小”)3.已知关于x的一次函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=_____;若y随x的增大而减小,则k的取值范围是________.
初二数学下册(人教版)第十九章一次函数19.2知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学下册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十九章 一次函数 19.2 一次函数一、学习任务1. 理解正比例函数一次函数的概念，掌握一次函数的图象和性质，会用待定系数法确定一次函数的解析式．2. 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的联系，并能解决相应的问题．二、知识清单一次函数的图象与性质一次函数的解析式 一次函数图象的变换一次函数与方程、不等式 一次函数的应用三、知识讲解1.一次函数的图象与性质正比例函数 （ 是常数，）的图象与性质一次函数（，是常数，）的图象与性质y =kx k k ≠0y =kx +b k b k ≠0y =kx +b k≠0如果一次函数 y =kx⎩对称例题：描述：着 轴下方的部分对应的横坐标的值；③ （）的解集可以通过函数 与函数 的图象得到解集．5.一次函数的应用一般步骤：① 找出问题中的变量和常量及它们之间的函数关系；② 列一次函数表达式表示它们之间的关系；③ 应用一次函数的图象及性质解题；④ 检验结果的合理性，检验是否符合实际意义．x ax +b >mx +n ma ≠0y =ax +b y =mx +n 一次函数 的图象如图所示，则方程 的解是_______，方程的解是_______．解：；．当 或 时，所对应的 值，分别是这两个方程的解．y =kx +b kx +b =0kx +b =1x =−2x =0y =01x 用作图象的方法解方程组 解：由 ，得 ；由 ，得 ．在同一直角坐标系内作出函数 的图象 和 的图象 ，如图由图象可知两条直线的交点坐标为 ．故方程组 的解为{2x−y=7,3x +y =8.2x −y =7y =2x −73x +y =8y =−3x +8y =2x −7l 1y =−3x +8l 2(3,−1){2x −y =7,3x +y =8{x =3,y =−1.如图，一次函数 的图象经过 、 两点，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D.解：D．观察图象，在 轴以下的图象所对应 的值就是不等式 的解集．y =kx +b A B kx +b <0x <00<x <1x <1x >1x x kx +b <030（5） 第 天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是_____ 400t。
八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数19.2.2.1一次函数的概念课件
5.(2017湖南邵阳一模)一次函数y=kx+2(k为常数,且k≠0)的图象如图19-
2-2-1-2所示,则k的可能值为
.(写出一个即可)
答案 -2(答案不唯一)
图19-2-2-1-2
解析 观察图象可知,OB<OA,k<0.
当x=0时,y=kx+2=2,∴OA=2,
令OB=1,则点B(1,0),将(1,0)代入y=kx+2,得0=k+2,解得k=-2.
4
4
故当k=-1时,直线与x轴交于点
3 4
,
0
.
(4)当
1 2k
3k 1
0, 即
0,
1 3
<k<
1 2
时,直线经过第二、三、四象限.
(5)当1-3k=-3,2k-1≠-5,
即k= 4 时,已知直线与直线y=-3x-5平行.
3
方法归纳 对于一次函数y=kx+b,(1)判断k值符号的方法:①增减性法, 当y随x增大而增大时,k>0;反之,k<0.②直线升降法,当直线从左到右上升 时,k>0;反之,k<0.③经过象限法,直线过第一、三象限时,k>0;直线过第 二、四象限时,k<0.(2)判断b值符号的方法:与y轴交点法,即直线y=kx+b 若与y轴交于正半轴,则b>0;若与y轴交于负半轴,则b<0;若与y轴交于原 点,则b=0.
例3 下列函数图象中,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图象的 是( )
解析 一次函数y=mx-(m-3)中,x的系数m决定着直线从左至右呈上升或 下降的趋势,-(m-3)即3-m决定着直线与y轴的交点是在正半轴、负半轴 还是原点,这两个方面不得有矛盾之处,应该结合一次函数的图象进行 分析.
人教初中数学八下 19.2.3《一次函数与方程、不等式》一次函数与一元一次不等式课件 【经典初中数学
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
例题讲解
1、计算: (1 )1x 69x (2 ) 8 045 解：(1) 16x 9x (2) 80 45
4 x3 x (43) x
4 53 5 (43) 5
7 x
5
探究
2、计算:
(1)2 81 181 32
18a , 28, x2 4, 5x4 y ,
×× √
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
1
2 5 3x
√
×√
×
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外 面的正方形边长为 cm，里2 面2的正方形的边 长为 cm，两个正方形2 的周长和为多少？
22
两个正方形的周长和为：
2
4(2 2 2)
8 24 2
若两个正方形的面积分别为 27cm2、12cm2，则两正方形的周长 和为多少？
1.求Y1和Y2与X的函数关系式
2.问拍这批照片到照相馆拍，费用省还是由学校自己拍费用省＝8x,Y2=4x+120
y
(2)由图象可知，当x=30 时，两家一样， Y=4x+120
当X>30时，照相馆省钱，
当X<30时，学校自己省钱.
0 30
x
24
25
教学反思：
5 63 2
3
4
下列解答是否正确？为什么？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算。
( 2 ) 72 18 3 2 2
人教版八年级数学下册课件-19.2.2 一次函数的图象和性质 (共17张PPT)
一次函数的图象和性质
温故知新
复习旧知识： 1、什么是一次函数？什么是正比例函数？二者什么区别和联系？
答： 形如 y=kx+b (k、b是常数 k≠0) 的函数叫做一次函数. 形如 y=kx （k是常数 k≠0) 的函数叫做正比例函数. 区别是：是否有常数项b. 联系是：一次函数 y=kx+b中，当b=0时是正比例函数.
第三步：判断 y=-2x+3 的图象比正比例函数多过了哪个象限. 多过了第一象限.
思考与总结
一次函数图象分布情况总结
一次函数y=kx+b (常数k≠0)
k的符号
b的符号
k>0
k<0
y
y
b>0
Ox
Ox
一、二、三
y
一、二、四
y
b<0
Ox
Ox
一、三、四
二、三、四
增减性:
倾斜程度：
当k>0时y随x的增大而增大. K决定图象的倾斜程度，| k | 越大，图象越陡
练练手
例题：一次函数 y=-2x+3 的图象经过第__一__、__二__、__四__象限； 与y轴交点坐标为__( _0_，__3_)__.
一次函数 y=kx+b 的图象交 y 轴于(0, b) 分析： 平移法
第一步：先找到对应的正比例函数，判断图象分布情况； y=-2x ，图象过第二、四象限.
第二步：判断由y=-2x 如何平移得到 y=-2x+3的图象； 向上平移3个单位得到的.
3. |k|越大，直线越陡峭； |k|越小，直线越平缓；
(k 反映了直线的倾斜程度)
一次函数y=kx+b
人教版数学八年级下册19.2.2求一次函数的解析式课件
∵图象过点_(2_，__5_), _(_1_，__3)
因为一次函数的一般形式
∴
2 k +b ＝ 5 1 k+b ＝ 3
是y你=kx能+b归（k纳≠0）出，：要求
出一次函数的解析式，关
求一次函数解析式
键是要确定 k 和 b 的值.
解得 k＝_2__ b＝__1_
的基本步骤吗？
因为图象过（2，5）
把k=1，b=2 代入 y = kx+b 中，
k的值
一个条件
确定一次函数的解析式y=kx+b,需求哪个值？需 要几个条件？
K、b的值 两个条件
总结：在确定函数解析式时，要求几个系数 就需要知道几个条件。
整理归纳
No
从数到形
Imag
函数解 选取 析式： y=kx+b (k≠0) 求出
满足条件 画出
的两点： (x1,y1)与 (x2,y2) 选取
两点法——两点确定一条直线
解析式的方法,叫做待定系数法. 新人教版 • 八年 级 《 数 学 ( 下) 》
两点法——两点确定一条直线
例：已知一次函数的图象经过点(3,5) 与点（－4，－9）.求这个一次函数的
解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 设
∵ 图象过点（3，5）与 点（-4，-9）
得一次函数解析式为__y__＝__2_x_+_1_.
与（1，3）两点， 所以这两点的坐标必
适合解析式
解题的基本步骤: 1、已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式．
函数解析式：y=kx+b(k≠0)
人教版初中数学八年级下册第19章19.2.2 一次函数(第1课时)优秀课件
〔解析〕根据一次函数的定义可 知:k+2≠0确定k的值即可.
解：当k+2≠0,即k≠-2时,它是一次函数.
课堂小结
注意一次函数的定义,并且正确理解 它和正比例函数的关系,一次函数y=kx+b 中必须满足的条件是k≠0.当b=0时,一次函 数也为正比例函数.
1.一般地,形如 y=kx+b (k,b是常数,k≠0)的函数
y=-5x+50(0≤x<10). 想一想：
(1)上面的四个函数解析式,有什么共同特点?
(2)这种函数解析式的一般形式如何表达?它叫什
么函数?与正比例函数有何关系?
学习新知
京沪高速铁路全长1318 km,设列车的平均速 度为300 km/h.
(1) 列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥 站,约需 4.4 小时.(结果保留一位小数)
当b=0时,y=kx+b,即y=kx.所以说正比例函数 是一种特殊的一次函数.
例：(补充)已知关于x的函数y=(k+2)x+k2-4, (1)当k满足什么条件时,它是正比例函数?
〔解析〕根据正比例函数的定义可 知:k2-4=0且k+2≠0确定k的值.
解:当k2-4=0且k+2≠0时,即k=2时, 它是正比例函数.
解析:一次函数y=kx+b的解析式中k≠0,自变量 的次数为1,常数项b可以为任意实数;正比例 函数的解析式中,比例系数k是常数,k≠0,自变 量的次数为1.
解:(1)根据一次函数的定义,得2-|m|=1,解得 m=±1.又∵m+1≠0,即m≠-1,∴当m=1,n为任意实数 时,这个函数是一次函数.
c=7t-35(20≤t≤25).
人教版八年级下册第十九章：19.2.2一次函数(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体运动速度与时间的关系？”（如骑自行车速度与时间的关系）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的定义、图像性质和增减性这两个重点。对于难点部分，如一次函数解析式的求解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如物品售价与购买数量的关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过观察物体运动过程中速度与时间的变化，演示一次函数的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的表达式，其中k和b是常数，且k≠0。它是描述两个变量之间线性关系的重要数学工具，广泛应用于物理、经济等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以物体匀速直线运动为例，分析速度与时间的关系，展示一次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-一次函数的增减性：明确斜率k的正负与函数增减的关系；
-实际问题中的应用：学会将一次函数应用于解决实际问题，如距离、速度等问题。
举例：讲解斜率k和截距b的概念时，可以通过实际例图（如交通图、温度变化图等）来解释其在图像上的具体表现，加深学生的理解。
2.教学难点
-一次函数解析式的求解：如何从给定的图像或条件中找出斜率k和截距b，列出一次函数的解析式；
19.2.3一次函数与方程不等式课件人教版八年级数学下册
解:画函数y=5x-3与y=3x+1 的图象。
从图中看出，当x>2时，
·y y=3x+1
7
直线y=5x-3上的点在直线 y=3x+1上相应点的上方，即 5x-3>3x+1，所以不等式的
y=5x-3
o2
x
解集为x>2。
4、已知直线y=2x+k与直线y=kx-2的交点横坐标
为2，求k的值和交点纵坐标。
K=6
(2,10)
y
5. 已知直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2
3
相交于点P（-2，3）。如图所示，当
y1＞y2时，x的取值范围是 x＜-2
。y1
-2 O
y2
x
数（y=ax +b）值为k 时对应的
自变量的值．
2x
2x +1=0 的解 1
+1=-1-2的解-1
O -1
2x +1=3 的解 1 2 3x
归纳总结
一次函数与一元一次方程的关系
求一元一次方程 kx+b=0的解．
从“函数值”看
一次函数y= kx+b
中y=0时x的值．
求一元一次方程 kx+b=0的解． 从“函数图象”看
的取值范围是（ D）
A．y>0 B．y<0 C．-2<y<0 D．y<-2
3.已知直线 y 2x k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式 2x k 0
C 的解集是（ ）
A.x 2
B.x 2
C.x 2
D.x 2
4.对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值范围是（ D）