线性代数培训之收获 ——对“克莱姆法则”的一个新教案
克莱姆法则
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
基于“情境创设”的实践教学研究与启示——以《克莱姆法则》一课为例
博士 ・ 专家论 坛
基 孑“ 情壤Ｂ Ｍ ’ ＵＰ ’ ，硇实践教学研究与启示
以《 克莱姆法则》 一课为例
大连工 业大 学应 用数 学 系 刘 燕 阎慧臻 东南大 学数 学 系 隆金玲
［ 要］ 摘 随着工科《 线性代数》 程建设和教学改革的深入发展 ， 课 需要对原有教 学模 式进行改进 ， 满足培养 实践创新型人 才的需 使之 求 。本文针对 当前课程 面临的主要 问题 ， 以植入 ＭＡ Ｌ Ｂ为切入点 ， 出基于“ ＴＡ 提 情境创设” 实践教 学， 的 思考 了该课程的 实践性 ， 论 述 了实践 、 认识 相互补 充的教学环节。 于“ 基 情境创设” 的实践教 学既能培养学生掌握数 学知识的能力， 又能培养学生应用 ＭＡＴ Ａ ＬＢ
理 论 的 理 解 ， 而全 面 、 入 地 掌 握 数学 知 识 。 同时 教 师应 注 意 引 导 学 从 深
生去发现 、 总结规律 ， 并通过反思 ， 将所探索的问题引向深层次 ， 同时将 所获得的结论纳入知识体系。 例如： 在上面所举的例子中 ， 对于上面学生依据实践 过程 提出的猜 想， 教师给予肯定和补充 ： 在猜想命题的条件下 ， 行列式之商不仅是解 ， 而且是唯一解 。 整个实践进入高潮 阶段 ， 学生通过实践得到 的感官认识 和 教 师 引导 下 的反 思 对 知 识 点进 行 了深 层 次 的 理 解 。
性代数在计算技术巾扮演着越来越重要的角色， 用线性代数解决实际
问题已渗透到工程 、 经济等众多领域 。另一方 面 ， 亟需提高大学生 的科 学计算 能力 ， 培养实践创新型人才 ， 以适 应时代 和社会 发展 的需要 。但 传统工科《 线性代数 》 教学一般从公理体 系出发 ， 仅采用演绎式教学方 法， 强调代数体 系的严 谨性 ， 忽略 了其实践性 和应 用性 。工科《 线性代
03-第三节-克莱姆法则
第三节 克莱姆法则分布图示★ 引例★ 齐次与非齐次线性方程组的概念 ★ 克莱姆法则 ★ 例 1★ 例 2 ★ 例3 ★ 例 4 ★ 齐次线性方程组解的定理 ★ 例 5 ★ 例6★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题7-3内容要点n 元线性方程组的概念从三元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。
在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n 元线性方程组的概念。
含有n 个未知数n x x x ,,,21 的线性方程组)1.3(,,,22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a称为n 元线性方程组.当其右端的常数项n b b b ,,,21 不全为零时,线性方程组(3.1)称为非齐次线性方程组,当n b b b ,,,21 全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即)2.3(.0,0,0221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a线性方程组(1)的系数ij a 构成的行列式称为该方程组的系数行列式D ，即nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=.克莱姆法则定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0≠D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为),,2,1(n j DD x j j ==(3)其中),,2,1(n j D j =是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理2 如果线性方程组(3.1)的系数行列式,0≠D 则(3.1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:定理2' 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(3.2), 易见021====n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(3.2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(3.2)，可得到下列结论.定理3 如果齐次线性方程组(3.2)的系数行列式,0≠D 则齐次线性方程组(3.2)只有零解.定理3' 如果齐次方程组(3.2)有非零解,则它的系数行列式.0=D注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0=D 则齐次线性方程组(3.2)有非零解.例题选讲例1用克莱姆法则求解线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++4535225323221321x x x x x x x 解 530021532=D31r r - ,2052253022530021002=⨯⨯== 5340255321=D 31r r -,2052)2(534025002-=⨯⨯-=- 5400515222=D 212r r -54051580-21r r ↔,605458540580051=--=--4305212323=D 212r r -43521810--21r r ↔.20438143810521-=---=---由克莱姆法则,.1,3,1332211-====-==DD x D Dx D D x例2 (E01) 用克莱姆法则解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x解 6741212060311512-----=D21242r r r r --1277212135712772120603113570----=-----212322c c c c ++.27273327701353=---=-------,8167402125603915181=------=D ,10867012150609115822=-----=D,2760412520693118123-=---=D ,2707415120903185124=-----=D ,3278111===∴D D x ,42710822-=-==D D x ,1272733-=-==D D x .1272744===D D x例3（E02） 大学生在饮食方面存在很多问题，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食没有规律，为了身体的健康就要制订营养改善行动计划，大学生一日食谱配餐：需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。
线性代数第二章3克莱姆法则.ppt
引理 若n阶矩阵A (aij )nn的元素aij在det A 中
的代数余子式为Aij，则对任意r, s, 1 r, s n 有:
n
arj Asj
j1
det A
第r行的元素乘以第s 行元素对应的代数余子式之和）
n
i1
a ir Ais
det A
x2 2 x2
x3 x3
x4 5x4
0 5
x1 x2 x3 x4 1
1 1 1 2 0
解：系数矩阵A
2
1
1
1
,
b
0
3 2 1 5 5
1
1
1
1
1
1 1 1 2
0 1 1 2
2 1 1 1
0 1 1 1
det A 3
2
9, 15
det A1(b) 5
2
0
当r s 当r s
(2.25)
（用第r列的元素乘以第s列元素对应的代数余子式之和）
证: r=s时,由定理2.1知两式均成立 r s 时,设A ( A1, A2, , An), Ai是列向量（i=1, ,n）
As 被替换为 Ar B (A1, , Ar , Ar , , An)
把det B按第s列展开
在第s列
n
n
0 det B bis Ais air Ais
i 1
i 1
n
所以，
i1
air Ais
det A
0
当r s 当r s
2 1 0 3
例：A
1
3
1 5
1 3
1 0
,
求A41
A42
A43
线性代数1-5克莱姆法则幻灯片PPT
所以〔1〕的解是唯一的.
课件
14
二、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果线性方程组 1无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11x1a12x2 a1nxn0
a2 1x1 a2 2x2 a2 nx n 0 2
n
D, ij
aikAjk
k1
0,
ij
一、克莱姆法那么
如果线性方程组
a1x 11a1x 22 a1nxnb1
a2 x 1 1 a 2 x 22 a2 nx n b2
(1)
an1x1an2x2 anx nnbn
的系数行列式不等于零.
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
第五节、克莱姆法那么
➢ 重要概念 ➢ 克莱姆法那么 ➢ 例子
非齐次与齐次线性方程组的概念
设 n 元线性方程组
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2 (1) an1x1an2x2 annxn bn
a i j( i , j 1 , 2 ,, n ) 称 为 ( 1 ) 的 系 数
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 10,8
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
2,7
x1D D 12 8 7 13,
有非零解.
例1 用克拉默那么解方程组
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
线性代数 1.4克莱姆法则
本章大作业： 本章大作业：见TAS，作业 ，
预习 §2.1 消元法
课后习题： 课后习题 P34
22(2), 23
13
10
解
（1） 构造行列式 ）
1 1 1 L 1 1 2 0 L 0 D1 = 1 0 3 L 0 M M M O M 1 0 0 L n
按第一行展开， 则，对D1按第一行展开，得
D1 = A11 + A12 + L + A1n
n 1 = n! 1 − ∑ . j j=2
11
( i = 1,2,L n)
2
定理1 定理1
克莱姆（ 克莱姆（Cramer）法则 ）
方程的线性方程组(1) 如果含 n 个未知量 n 个方程的线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x a x L a x 21 1 + 22 2 + + 2 n n = b2 (1) LLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn 那么它有唯一解 其解为: 有唯一解, 系数行列式 D ≠ 0 ,那么它有唯一解,其解为:
1) F是一些数的集合； 是一些数的集合； 是一些数的集合 2) 0∈ F ，1 ∈ F ； ∈ 3) F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 中任意两个数的和、 中任意两个数的和
0）仍然是F中的数。(即：关于四则运算封闭 ）仍然是 中的数 即 关于四则运算封闭) 中的数。 实数域R，复数域C, 例 实数域 ，复数域 有理数域 【注】 “代数”研究的主要是代数运算与性质，以数域 代数” 代数 研究的主要是代数运算与性质， 为对象，保证了代数运算后仍属于该集合. 为对象，保证了代数运算后仍属于该集合. “线性代数”在不同的数域上讨论问题会有不同 线性代数” 线性代数 的结论,我们主要在实数域上讨论问题，个别地方扩 的结论,我们主要在实数域上讨论问题， 大到复数域. 大到复数域. 9
行列式计算及克莱姆法则课件
02
克莱姆法则
克莱姆法则的概述
01 02
克莱姆法则定义
克莱姆法则是线性代数中的一个基本法则，用于解决线性方程组的问题 。它指出，对于一个给定的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零 ，则该方程组有唯一解。
线性方程组解的判定定理
唯一解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 不为0时，线性方程组有唯 一解。
无解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且不满秩时，线性方程 组无解。
无数解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且满秩时，线性方程组 有无数解。
04
矩阵的逆与行列式的关 系
矩阵的逆的定义与性质
定义
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵） ，则称B是A的逆矩阵。
利用伴随矩阵的性质计算逆矩 阵。
迭代法
利用迭代公式计算逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将矩阵分 块处理，然后分别求出各块的 逆矩阵，再组合起来得到原矩
阵的逆矩阵。
05
总结与展望
行列式计算及克莱姆法则的重要性和应用领域
线性代数基础
行列式计算是线性代数中的基础概念 ，对于理解矩阵、向量等概念至关重 要。
数值分析
行列式计算在数值分析中有着广泛的 应用，例如在求解线性方程组、计算 特征值和特征向量等方面。
工程领域
在工程领域中，行列式计算是解决各 种实际问题的关键工具，如结构分析 、流体动力学等。
线性代数—克莱姆法则
D 0,则(2)必有非零解.
8
例2 问 取何值时，齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 0
x1
x2
x3
0
x1 x2 x3 0
有非零解？
解 1 1 2 1 1
11 1
D 1 1 2 1 ( 2) 1 1
3 2
0 1
9 27,
5
14 0 6
1 4 7 0
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
7
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
称方程组 a21x1a22x2a2nxn 0
D 27,
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
1
2 81, D2 0
9 5
0 1
6 108,
2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
27, D4
1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
0,
an1 an2 ann
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线性代数培训之收获
——对“克莱姆法则”的一个新教案
有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。李老师对数学的
高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的
内在联系，使人耳目一新。李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学
生对抽象的数学概念（如n阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻
的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示
平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n阶行列式在几何上表示“n维体的有向体积”,这样可以发
挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了
学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。
对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。这里就结合这次培训的
体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。
§7克莱姆法则
一、教学内容
(1) 克莱姆法则的证明
(2) 克莱姆法则的应用
二、教学要求
（1）理解克莱姆法则的证明
（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解
（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D≠0，方程组只有零解
教学过程
一、（定理1）克莱姆法则
若n×n线性方程组
nnnnnnnnnnbxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,
,
⑴
的系数行列式
D=,0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa
则方程组⑴有唯一解：x1=,1DDx2=,2DD,xn=DDn. ⑵
其中Di(i=1,2,,n)是把系数行列式D中的第i列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，
即
Di=nninninnniiniiaabaaaabaaaabaa1,1,121,221,22111,111,111.
证：先证明⑵式是方程组⑴的解.
要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i个方程，如果左端也等于bi ，则说明⑵确是方程组⑴
的解.
将⑵代入方程组⑴的第i个方程的左端，并把Di按照第i列展开，
第i个方程的左端=a1iDD1+a2iDD2++ainDDn
=D1(a1iD1+a2iD2++ainDn)
=D1[ a1i(b1A11+b2A21++biAi1++bnAn1)+
ai2 (b1A12+b2A22++biAi2++bnAn2)+
+
ain(b1A1n+b2A2n++biAin++bnAnn)]
=D1[b1(ai1A11+ai2A12++ainA1n)+
b2(ai1A21+ai2A22++ainA2n)+
+
bi (ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin)+
+
bn(ai1An1+ai2An2++ainAnn)]
根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有bi的系数是D ，而其他bk(k≠i)的系数都是
零，从而第i个方程的左端=a1iDD1+a2iDD2++ainDDn =D1（bi D）=bi =第i个方程
的右端, i=1,2,,n.
故⑵确是方程组⑴的解.
再证明解的唯一性.
若方程组⑴还有一个解：
x1=c1 , x2=c2 , , xn=cn ⑶
只要证明⑶与⑵相同即可.
将⑶代入方程组⑴，得
nnnnnnnnnnbcacaca
bcacacabcacaca22112222212111212111,
,
⑷
现在构造一个新的行列式
c1 D=nnnnnnaacaaacaaaca211222121112111（即在D的第1列乘以c1）
给此行列式的第2，3，，n 列分别乘以c2，c3, ,，cn后都加到第1列，得
c1D= nnnnnnnnnnnnnnaacacacaaacacacaaacacaca2221122222221211121212111
根据⑷式，得
c1D=nnnnnnaabaabaab222221121=D1, 因为 D≠0,所以 c1=DD1.
同理可证，c2=DD2,, cn=DDn.
唯一性得证.
（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现
略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因
为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质
联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方
法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要
的数学思想方法。
基于以上想法，，本文给出克莱姆法则的一个简捷的证明. 先证明了解的存在性，再证明了解的唯一性，在证明
中充分应用了行列式的性质和行列式的展开定理，学生容易理解，而且具有一定意义的数学教育价值.
另外，不足之处是，能否象李老师所说引导学生去自然而然的发现这个定理，而不是一开始直接给出这个定理，
再去证明，本人目前还没有好的方法，有待继续考虑。）
例1 解线性方程组（现略）
（说明：这是一个含有4个未知数4个方程的非齐次线性方程组，其目的是熟悉克莱姆法则的内容和直接的、
简单的应用，也使学生对克莱姆法则从一般到特殊有感性的认识，加深学生对克莱姆法则的理解和应用。）
定理1的逆否定理为：
定理1ˊ
若线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式D=0
二、齐次线性方程组的克莱姆法则
若线性方程组（1）中的所有的常数项全为0，即b1=b2=„=bn=0, 若线性方程组（1）称为齐次线性方程组。
事实1：齐次线性方程组必有解，如x1=x2=„xn=0一定是它的解。这个解称为它的零解。如果有一组不全为0
的数是它的解，则这个解称为它的非零解。
事实2：若齐次线性方程组有一个非零解，则它有无穷多解。
（说明：这2个事实不难证明，它们在后续的学习中反复遇到，而且可以以不同的形式出现：如零向量可以用任
意一组向量线性表示，特别是事实2为后续学习齐次线性方程组的解的结构设下伏笔，正如李老师所说很多内容事
实上是一回事，只是表现形式不同而已，这里讲透了以后可以少讲，这样使得学生精装上阵，减轻学生头脑的负担，
先将书由薄读厚，再由厚读薄。）
定理2
若n×n齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则此齐次线性方程组只有零解。
定理2的逆否定理为：
定理2ˊ
若n×n齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0。
证：用反证法。
假设D≠0，则由 克莱姆法则可知该齐次线性方程组线性方程组有唯一解x1=,1DDx2=,2DD,xn=DDn。而
D1=D2=„DN=0,因此唯一解是零解，这与有非零解相矛盾。故D=0。
注1：定理2ˊ的逆命题也成立，即若n×n齐次线性方程组的系数行列式D=0，则它一定有非零解。（第三章
证明）
注2：关于更一般的m×n线性方程组的情况在本书第三章讨论。
例2 设齐次线性方程组0)4(2,0)6(2,022)5(3121321xxxxxxx有非零解，问取何值？
解 由定理2ˊ可知，若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0，
即D=402062225=6444465
=825=0
从而得2或5或8。
（说明：齐次线性方程组的情形是线性方程组的特例，从而定理2和定理2ˊ分别是定理1和定理1ˊ的特例，分
别由定理1和定理1ˊ演绎得到。数学教学中，归纳和演绎无处不在，我们要给学生强调一般化和特殊化的关系，
这容易被忽视。特别是定理2ˊ的逆命题我们还没有证明，所以这里的例2是将原例题改变而成，原例题是问取
何值时，此齐次线性方程组有非零解。这样，更符合逻辑，好让学生懂数学，让学生更好的掌握知识。因为李教授
说我们不但要教数学，也要教学生，不但要懂数学，更要懂学生。）
兰州交通大学 李兴东
2007，11，22