第七章 约束变分原理
变分原理与变分法
变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。
它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。
变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。
变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。
它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。
作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。
换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。
在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。
通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。
变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。
泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。
在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。
这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。
变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。
这个变化就是变分，通常用符号δ表示。
然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。
最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。
在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。
它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。
总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。
它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。
变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。
关于力学变分原理
关于力学变分原理首先来说明几个概念:定律:对物理现象进行观察,实验,在积累了大量事实和实验结果的基础上经过归纳,总结而得到的一们科学的基本规律.如:牛顿三定律.定理:从基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的进一步反映事物间的内在联系的数学关系表达式.如:动量定理等原理:也是有基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的命题.其不同与定理之处在于:原理具有高度的概括性,可以认为与基本定律等价.变分原理的特征在于它只是提供了一个准则.根据这个准则可以把相同条件下系统的真实运动与约束所允许的一切可能运动区分出来,从而得到系统的真实运动.力学的变分原理可分为两大类:1. 微分形式的变分原理.它研究任一瞬时区分真实运动与可能运动的准则.如:动力学普遍方程.2.积分形式的变分原理. 它研究在任一有限时间历程中区分真实运动与可能运动的准则.如:哈密顿原理.真实位移.可能位移与虚位移真实位移:即实位移,是在力的作用下的真实运动中经过一定时间间隔内发生的位移,当Δt=0时,有dui=0.真实位移可以是微小的,也可以是有限的,它有约束限制,具有确定的方向性.可能位移:是给定时间间隔内约束允许的位移.当Δt=0时,有dui=0.可能位移是一种状态,有可能发生有可能尚未发生,或者只是作为一个抽象的描述.虚位移:是约束许可下某瞬时可能发生的微小位移.它只是一个抽象的几何概念,与系统或质点的实际运动,力的作用,时间历程,初始条件和能量无关.三个位移可由时间概念和约束概念加以联系和区分: 在定常约束条件下,虚位移为可能发生而未发生的可能位移,实位移是众多虚位移中的一个.在非定常约束条件下,虚位移与时间无关,实位移是众多可能位移中的一个.从数学概念上,可能位移是满足指定位移约束条件的位移自变函数,而虚位移是位移自变函数的变分.通过前面的一些基础，我们现在来说什么是变分原理变分原理是针对以下积分形式的标量（泛函）Π而言的：其中u是未知函数，F，E是确定的算子，对于小变化的δu使得Π取得驻值的函数u就是连续体问题的解。
第7章 极小值原理
−1≤ u ≤1
求最优控制和最优轨迹，使如下性能指标取得极小值。
T H = L(x,u,t) +λ f (x,u, t) 解：哈密尔顿函数为 − x1 +u = [λ λ2] 1 1 = λ (−x1 +u) +λ2x1 x1 & λ* = λ* −λ* 2 1 1 & = − ∂H −(∂g )T γ 协状态方程： λ & ∂x ∂x λ* = 0 2
m H[x*， *， ， ] = H[x*， *， *， ] in λ u t λ u t
u∈ U
∂H ∂g = −( )T γ ∂u ∂u
§7－1 极小值原理
3) H 函数在最优轨线终点处的值决定于
∂Φ T ∂N +µ =0 H + ∂t f ∂t f t =t f
J = x1(1 )
§7－1 极小值原理
* * 运用极小值原理： H[x*,u*, λ ] = m H[x*, u, λ ] in u≤ 1 * * * * = m {λ (u − x1 ) +λ2x1} in 1 u≤ 1 * * * * = −λ x1 +λ2x* + m {λ u} in 1 1 1 u≤ 1
求满足如下不等式约束条件
u ≤1
t ∈[0, t f ]
x0 = [x10 x20]T
tf
的控制 u(t) ，使系统自某一初始状态
转移到状态空间原点的时间最短。即使如下性能指标取极小值：
J = ∫ dt
0
§7－2 时间最优控制问题
哈密尔顿函数为：
H[x(t)， (t)， (t)] =1+λ (t)x2(t) +λ2(t)u(t) u λ 1
7-1 数学物理方程的变分原理
d du Lu ( p ) qu f , x (a, b) 1 2 (P ) dx dx u C [ a , b ] C (a, b) 1 u (a) 0, u(b) 0
以v乘方程(2.1)两端，沿区间[ a, b]积分，得 d du Lu ( p ) qu f , x (a, b) (2.1) dx dx b b b d du a Luvdx a [ dx ( p dx ) qu ]vdx a fvdx
T
T
(, )为Rn中的内积。
设二次泛函J 在 x0 达到极小，则对于一切
x R , x 0, R
n
1 J ( x) ( Ax, x) (b, x) 2
有
( ) J ( x0 x) J ( x0 ) (0) . 若A对称，
1 ( ) J ( x0 x ) ( Ax0 Ax , x0 x ) (b, x0 x ) 2 1 [( Ax0 , x0 ) ( Ax0 , x ) ( Ax x0 ) 2 2 ( Ax , x )] (b, x0 ) (b, x ) J ( x0 ) ( Ax0 b, x )
b b b du b du dv p va p dx quvdx fvdx a a a dx dx dx
u(b) 0
b b b du du dv (p v) x a p dx quvdx fvdx a a a dx dx dx v( a ) 0
取S {v | v C [a, b], v(a) 0}
1 0 1
b
a
b b du dv 1 p dx quvdx fvdx 0, v S0 a a dx dx
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
有限元基础(泛函、变分与变分法)
因此
aT K a ＝ aT K a
＝ aT( Ka - P ) ＝ 0 由 a 的任意性，就得到(1.3.6)式：
Ka — P ＝ 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零，即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函： 而问题的解 u 使泛函取驻值，即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹（Ritz）法
选择试探函数：
其中N为已知函数，a为待定参数
代入泛函积分式，泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件： J = 0
充分条件：J = 0 且：2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理：
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数，y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分，如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的，则有如下关系：
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理：
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函，因为此泛函中u的最高 次为二次，所以是二次泛函。
3. 泛函的极值性
条件：
1.算子L是偶数（2m）阶的；
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关，所以
变分法推导
L q j q j 0 q j
V (11b) 0 q j
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2
t1
d L j dt q j 1
k
L q j q j dt 0 q j
若再考虑时间，则有3个坐标，
2) 一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的 一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，… …qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到 一个点，该点表示一质点在t时的位置
M (q j+δqj,t ) A
,
δq j M(qj ,t)
B
(k+1)维空间
④ 质点系的真实运动：
q=q(t) t
t+dt
变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的
形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数
δq 式中： 是一个微小系数， dq q=q(t) p dt (t ) 是t的任意连续函数。 o 则： t t+dt 对于自变量的某一指定值，函数 q=q(t) 由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称 为该函数的变分。 q 实际上代表了虚位移。 从图中可看出， p
2
mi r i 2
2
(4)
将此结果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
i mi r T 2 i 1
n k
n
2
d T T mi ai ri j q j i 1 j 1 dt q
q j
(9)
F r m a r 0
ri ri (q1, q2 ,, qk , t )
变分原理推导拉格朗日方程
变分原理推导拉格朗日方程变分原理及拉格朗日方程简介在物理学中，拉格朗日方程是一种描述物体运动规律的方程，它源于变分原理。
变分原理是一种数学工具，用于研究力学系统中物体运动的最优化问题。
本文将详细介绍变分原理的推导过程，以及如何得到拉格朗日方程。
一、变分原理概述变分原理是基于欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）的一种数学原理，它广泛应用于力学、物理学和工程领域。
欧拉-拉格朗日方程描述了一个物体在受力作用下的运动状态，其中的拉格朗日量（Lagrangian）是与物体运动状态有关的标量函数。
二、变分原理推导拉格朗日方程1.设定问题：首先，我们需要明确研究的问题。
假设我们研究一个N维空间的质点，在受力F作用下的运动。
质点的位移为q，速度为v。
2.构造拉格朗日量：为了描述质点的运动状态，我们需要构造一个拉格朗日量L。
拉格朗日量是位移q和速度v的函数，即L(q, v)。
3.计算泛函：泛函是拉格朗日量关于位移和速度的偏导数之和。
对于给定的拉格朗日量L，我们可以计算其关于位移和速度的偏导数，然后将它们相加得到泛函J。
泛函J =∫(L(q, v) dt)4.求极值：为了找到质点的运动规律，我们需要求解泛函J的极值。
求极值的方法是求解欧拉方程，即泛函J关于位移和速度的偏导数等于0。
∂J/∂q =0∂J/∂v =05.求解运动方程：将欧拉方程求解得到质点的运动方程，即拉格朗日方程。
三、拉格朗日方程的应用拉格朗日方程可以描述质点、刚体、弹性体等各种力学系统的运动规律。
通过求解拉格朗日方程，我们可以得到物体在给定力作用下的位移、速度和加速度等物理量。
此外，拉格朗日方程还可以应用于控制理论、优化算法等领域。
总结通过变分原理，我们可以推导出拉格朗日方程，从而描述力学系统中物体的运动规律。
拉格朗日方程在物理学、工程学和控制理论等领域具有广泛的应用价值。
了解变分原理及其推导过程，有助于我们更好地理解拉格朗日方程，并在实际问题中发挥其重要作用。
变分学中最重要的定理
变分学中最重要的定理1.引言1.1 概述概述在数学和物理学领域中，变分学是研究函数的变化情况以及求解极值问题的数学分支。
它的应用范围极为广泛，涉及到数学分析、物理学、工程学等多个学科领域。
变分学的核心思想是寻找给定函数的变分，并通过分析这些变分的性质来研究函数的性质。
变分学最重要的定理是变分法的最小值原理，也被称为欧拉－拉格朗日方程。
这个定理提供了一种求解极值问题的通用方法，被广泛应用于物理学和工程学中的优化问题。
通过变分法的最小值原理，我们可以找到使得某个函数取得极小值的方程，并通过求解这个方程来得到极值点。
变分法的最小值原理对于解决许多实际问题具有重要意义。
它不仅能够处理连续函数的极值问题，还可以应用于处理离散函数等其他情况。
因此，研究变分学中的最重要定理有助于我们深入理解函数的性质，并为解决实际问题提供有效的方法和工具。
本文将首先介绍变分学的基础知识，包括变分和变分运算的定义以及一些基本性质。
然后，我们将重点讨论变分学中最重要的定理——变分法的最小值原理，并解释其应用。
通过对这个定理的深入研究，我们希望读者能够更好地理解变分学的核心思想，并将其应用于自己的研究和实践中。
在接下来的章节中，我们将逐步展开对变分学的讨论，并探究其在不同领域中的应用。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来可能的研究方向。
通过本文的阅读，读者将能够更全面地了解变分学的重要性以及其在数学和物理学中的广泛应用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分旨在提供读者一个对整篇文章的概览，帮助读者更好地理解文章内容的组织结构和逻辑关系。
本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
第一部分是引言，它包含了三个小节。
在引言中，我们首先会简要地介绍变分学的概述，包括它的定义、应用领域和重要性。
其次，我们将描述文章的结构，即介绍各个部分的内容和目标，以帮助读者更好地理解整篇文章的框架。
最后，我们会明确本文的目的，即为读者提供对变分学中最重要的定理的深入理解和应用。
运筹学[第七章约束极值问题]山东大学期末考试知识点复习
第七章约束极值问题1．库恩—塔克条件设X*是非线性规划的极小点，而且与X*点的各起约束作用的梯度线性无关，则存在向量，使下述条件成立上述条件常称为K一Τ条件，满足这个条件的点(它当然也满足非线性规划的所有约束条件)称为库恩—塔克点(或K—Τ点)。
2．制约函数(1)常用的制约函数基本上有两类：一为惩罚函数(或称罚函数)，一为障碍函数，对于这两种函数，SUMT有外点法和内点法。
(2)外点法的迭代步骤如下：①取M1>0(例如说取M1=1)，允许误差ε>0，并令k：=1。
②求无约束问题的最优解：③若对某一个j(1≤j≤l)有-gi(X(k))≥ε则取Mk+1>Mk(例如，Mk+1=cMk，c=5或10)令 k：=k+1并转向第2步。
否则，停止迭代，得Xmin≈X(k)(3)内点法迭代步骤。
①取ri >0(例如，r1=1)，允许误差ε>0。
②找出一可行内点X(0)∈R0，并令k：=1。
③构造障碍函数，障碍项可采用倒数函数，也可采用对数函数。
④以X(k-1)∈R0为初始点，并对障碍函数进行无约束极小化(在R0内)3．可行方向法的迭代步骤(1)确定允许误差ε1>0和ε2>0，选初始近似点X(0)∈R，并令k：=0。
(2)确定起作用约束指标集。
J(X(k))={j｜gi(X(k))=0，1≤j≤l)①若J(X(k))= ∅ (∅为空集)，而且‖▽f(X(k))‖2≤ε1，停止迭代，得点X(k)；②若J(X(k))= ∅，但▽‖f(X k)‖2>ε1，则取搜索方向D(k)=-▽f(X(k))，然后转向第(5)步；③若J(X(k))=∅，转下一步。
(3)求解线性规划。
设它的最优解是(D(k)，ηk)(4)检验是否满足｜ηk｜≤ε2。
若满足则停止迭代，得到点X(k)；否则，以D(k)为搜索方向，并转向下一步。
(5)解下述一维极值问题。
(6)令 X(k-1)=X(k)+λkD(k)k：=k+1转回第(2)步。
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第八章约束变分原理§8-1 引言通过以上各章的讨论，我们知道变分原理是有限元法的重要理论基础。
但是所涉及的仅是场变量已事先满足附加条件的自然变分原理。
例如最小位能原理中场函数——位移，事先应满足几何方程和给定的位移边界条件。
当用于二维、三维弹性力学问题的有限元分析时，位移还应满足在单元交界面上连续条件。
最小余能原理中的场函数——应力，事先应满足平衡方程和给定力的边界条件，当用于二维、三维弹性力学问题的有限元分析时，应力还应满足在单元交界面上使内力保持连续的条件。
利用自然变分原理的好处是通常仅保留一个场函数，同时泛函具有极值性。
在场函数能事先满足所要求的附加条件时，当然乐于采用。
这正是我们在前面各章的讨论中所看到的，在二维、三维问题的有限元分析中广泛采用基于属于自然变分原理的最小位能原理的实体单元的主要原因。
实际上，有相当多的物理或力学问题，如果采用自然变分原理，要求它所对应泛函中的场函数事先满足全部附加条件往往不易做到。
例如工程中常用的橡胶型材料和液体介质，它们是不可压缩的。
对它们进行分析时，位移场函数应事先满足体积不可压缩条件。
再如对工程结构中的板壳问题，由于对应于此问题的最小位能原理的泛函中包含场函数——挠度的二阶导数，因此要求挠度函数事先不仅要满足单元交界面上挠度自身连续条件，而且要满足交界面上挠度法向导数的连续条件。
而上述的一些附加条件，要事先满足并不那么简单，需要引入专门的理论和方法。
约束变分原理所研究的就是如何利用适当的方法将场函数应事先满足的附加条件引入到泛函，使有附加条件的变分原理变成无附加条件的变分原理。
仍以上述材料不可压缩问题和板壳问题的有限元分析为例，广义变分原理中通过利用适当的方法将附加条件引入泛函，而不再要求位移函数事先满足不可压缩的条件或单元交界面上法向导数连续的条件，使得问题的求解成为可能或比较方便。
其他如不同介质的耦合问题，不同类型结构或单元的联结等也常常依赖广义变分原理作为有限元分析的理论基础。
§8.2 约束变分原理在第一章的讨论中，我们已知对于一给定的微分方程和边界条件，在建立了对应的自然变分原理后，问题的解答就是使泛函П取驻值。
但是未知函数u往往事先要满足一定的附加约束条件，我们将这种变分原理称为“具有附加条件的变分原理”。
现在讨论另一种做法，就是将附加条件引入泛函，重新构造一个“修正泛函“，将问题转化为求修正泛函的驻值问题。
此时未知函数u不需要事先满足已引入修正泛函的附加条件。
这种引入附加条件构造修正泛函的变分原理叫作“约束变分原理”，又可称为“没有附加条件的变分原理”或“广义变分原理”。
引入附加条件构造修正泛函常用的有下述两种方法，即拉格朗日乘子法和罚函数法。
§8.2.1拉格朗日（lagrange ）乘子法首先考虑泛函П的驻值问题，其中未知函数u 还需要满足附加的约束关系0)(=u C （在Ω中） （8.2.1）这时引入这些附加条件构造另外一个泛函⎰ΩΩ+∏=∏d u C T )(*λ （8.2.2） 其中П是未知函数u 必须事先满足附加条件（8.2.1）式时的泛函；λ是Ω域中一组独立坐标的函数向量，称为拉格朗日乘子；*∏称为修正泛函。
在引入附加条件后，原泛函П的有附加条件驻值问题转化为修正泛函*∏的无附加条件驻值问题。
*∏的驻值条件是它的一次变分等于零，即⎰⎰ΩΩ=Ω+Ω+∏=∏0)()(*d u C d u C T T δλδλδδ （8.2.3） 用类似的方法也可以在域内某些点或边界上引入附加条件。
例如要求u 事先满足0)(=u E （在Г上） （8.2.4）可以将积分⎰ΓΓd u E T )(λ （8.2.5）引入原来的泛函。
其中λ只是定义于边界Г上的未知函数，假如仅要求附加条件)(u C 在系统的某个或若干个点上被满足，那么只需要在这些点上简单地将)(u C T λ引入泛函即可。
为了说明概念，先讨论一个函数具有附加条件时的驻值问题。
有二次函数y x y xy x y x z 61822),(22+++-= （a ）变量x 和y 服从附加条件0=-y x (b)现求使z 取驻值的x 和y 的值。
最简单的方法是将(b)式代入（a ）式，消去一个非独立的变量，例如消去y ，得到x x z 242+=(c)此时函数z 的有条件的极值问题化为无条件的极值问题，使z 取极值的x 值可由其一阶导数为零得到，即0242=+=x dxdz ，12-=x (d) 由附加条件(b)可知12-==x y 。
由(c)式可求得z 取驻值时的值为-144，又因为02/22>=dx z d ，所以144-=z 是极小值。
对于一般情况，有时附加条件（例如微分关系）不能将y 表示成x 的显式。
此时就不能简单地利用附加条件消去非独立的变量。
仍以上述讨论的问题为例，可以用拉格朗日乘子将附加条件（b ）引入函数(a)，得到修正函数。
此时)(),(),,(*y x y x z y x z -+=λλ)(6182222y x y x y xy x -++++-=λ （e ）其中3个变量x,y,λ都是独立的。
由于用拉格朗日乘子λ引入附加条件，使原来求解有附加条件的函数z 的驻值问题，转化为求无附加条件的修正函数*z 的驻值问题。
*z 的驻值条件是01824*=++-=∂∂λy x xz0622=+-+-=∂λy x y(f) 0*=-=∂∂y x z λ为求解x,y,λ，可将上式表示成矩阵形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0618011122124λy x （g ） 求解上述方程组，同样可以得到正确的答案：12-==y x ，6=λ，144*-=z由上面过程可以看到，直接使用拉格朗日乘子方法会遇到两个问题。
（1） 方程组的阶数随附加条件的增加而增加，从而增加了计算工作量；（2） λ∂∂*z 得到的是附加条件，其中必不包含λ，因此方程组（g ）的系数矩阵就必定存在零对角线元素。
通常不能简单地用循序消去法或三角分解法求解。
解决上述问题的方法是利用(f)式的第一或第二式消去修正函数*z 中的λ，使未知量恢复为原来的数目，从而得到另一修正函数*z 。
利用(f)式的第一式，则λ可由其它参量表示，即1824-+-=y x λ将上式代入（e ）式，则得消去λ函数为y y xy x y x z 2442),(22*+-+-= (h)它的驻值条件为044=+-=∂y x x02424*=+-=∂∂y x yz （i ） 写成矩阵形式求解x ，y ，则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2402444y x （j ） 解之得12-==y x ，144*-=z 还应指出，当利用拉格朗日乘子法求解有附加条件的函数驻值问题时，修正函数不再保持原函数在驻值点的极值性质。
上例中原函数z 在驻值点（12-==y x ）是极小值。
修正函数*z 或*z 虽然在驻值点仍保持和z 相同的数值（-144），但是它们是否仍保持极值，则要看它们的二次型矩阵是否保持正定（或负定）性。
在驻值点，若函数的二次型矩阵是正定的，则函数取极小值；若函数的二次型矩阵是负定的，则函数取极大值。
判定二次型矩阵正（负）定的方法是：若有函数0),,,(21=n x x x f引入函数的二次导数值ij n x x a x x x f ji =''),,,(00201 ),,2,1,(n j i = 式中),,2,1(0n i x i =是函数f 的驻值点坐标。
二次型矩阵为正定的必要而充分的条件是它的n ~1阶主子式大于零，即011>a ，022211211>a a a a ，…,0212222111211>nnn n n n a a a a a a a a a对于负定二次型则应有011<a ，022211211>a a a a ，…,0)1(212222111211>-nnn n nn n a a a a a a a a a在此例题中,二次型矩阵就是一次偏导数方程组(g)和(j)的系数矩阵。
*z 的二次型矩阵有04>，042224>=--，020********<-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---- *z 的二次型矩阵有04<-，082444<-=-- 它们既非正定又非负定，所以*z 和*z 在驻值点不可能取极值。
对于约束变分原理，用拉格朗日乘子构造的修正泛函包括两部分未知量u 和λ，都需要用试探函数构造它们的近似解。
例如αN a N u n i i i ==∑=1~，∑===m i i i b N b N 1~~~λ （8.2.6）由修正泛函变分为零得到一组方程0***=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∏∂∂∏∂=∂∏∂b a d ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a d （8.2.7） 由方程可解得两组参数a 和b 。
可以看到约束变分导致待定参数的增加，因而带来了求解的复杂性。
一般来说，假如原泛函П的欧拉方程是0)(=u A （8.2.8）附加条件是线性微分方程组0)()(11=+=C u L u C （8.2.9）其中1C 是常数组。
将（8.2.6）、（8.2.9）式一并代入（8.2.3）式，考虑到a N uδδ=~ b N δλδ~~=则得到⎰⎰ΩΩΩ++Ω=∏d C u L N b d u A N a T T T ])~([~)~(11*δδδ ⎰Ω=Ω+0~)(1d N L a T T λδ （8.2.10） 因为上式对于所有的变分a δ和b δ都必须成立，所以得到0~)()~(1=Ω+Ω⎰⎰ΩΩd N L d u A N T λ ⎰Ω=Ω+0])~([~11d C u L N T （8.2.11） （8.2.11）式中第一式的第一项就是线性微分方程组0)(=u A 所对应的自然变分原理的求解方程P Ka = （8.2.12）整个方程组（8.2.11）式可写成00=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+Q P b a K K K R d K T ab ab c （8.2.13） 其中⎰ΩΩ=d N L N K T T ab )(~1⎰ΩΩ=d C N Q T 1~ （8.2.14） 显然方程组的系数矩阵c K 仍然是对称的，但是主对角线上必然存在零元素。
修正泛函*∏的变分仅使*∏取驻值。
主对角线上存在零元素时往往不能用通常的直接解法求解。
与求函数驻值问题类同，也可以利用（8.2.3）式0*=∏δ所得到的u 和λ的关系（由此关系还可识别拉格让日乘子λ自身的物理意义），再代入修正泛函，使修正泛函中只包含未知函数u 。
现在仍以二维热传导问题为例说明这种做法。