直线与平面所成角方法归纳和典例分析
直线与平面所成的角精品PPT课件
E
• (3)求直线BF和平面BCE
B
• 所成角的正切值。
G
A
C
F
D
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，(1)求证： AF ⊥平面CDE
• (2)求证： AF ∥平面BCE E
• (3)求直线BF和平面BCE
• 所成角的正切值。
D
D’
A
B
C
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，
• (1)求证： AF ⊥平面CDE
• (2)求证： AF ∥平面BCE E
• (3)求直线BF和平面BCE所
• 成角的正切值。
B
A
C
F
D
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，
直线与平面所成的角
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的
射影所成的角 (0,900 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角 900
3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这 条直线与平面所成的角为00角
一条直线与平面所成的角的取值范围是 [00,900 ]
例1 正方体ABCD-A’B’C’D’中，
• (1)求证：BC⊥平面PCD • (2)求直线BD与平面PBC所成角的余弦值
P
P
D’
D
C
D
C
A
BA
B
思考1
两条平行直线与同一个平面所成的角的 大小关系如何？反之成立吗？一条直线与 两个平行平面所成的角的大小关系如何？
直线和平面所成的角 法向量
直线和平面所成的角法向量1. 直线和平面的定义和性质1.1 直线的定义和性质直线是由无数个点连成的一条轨迹，它没有起点和终点，也没有宽度和厚度。
直线可以用一条方程来表示，例如一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
直线的性质包括：•直线上的任意两点可以确定一条直线。
•直线上的任意一点到直线上的任意一点的距离都是最短的。
•直线上的两个相邻的点可以确定直线的方向。
1.2 平面的定义和性质平面是由无数个点组成的一个二维空间，它有无穷多个点，没有边界和厚度。
平面可以用一般式方程来表示，例如一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，x、y、z为变量。
平面的性质包括：•平面上的任意三点不共线，可以确定一个平面。
•平面上的任意一点到平面上的任意一点的距离都是最短的。
•平面上的两个相邻的点可以确定平面的方向。
2. 直线和平面的交点直线和平面可以相交于一点，也可以平行或重合。
2.1 直线和平面相交于一点的条件直线和平面相交于一点的条件是直线不在平面内，且直线与平面有且只有一个交点。
2.2 直线和平面平行或重合的条件直线和平面平行或重合的条件是直线在平面内，且直线与平面有无穷多个交点。
3. 直线和平面所成的角当一条直线与一个平面相交时，它们所成的角称为直线和平面所成的角。
3.1 直线和平面所成的角的定义直线和平面所成的角是由直线上的一条射线和平面上的一条射线所夹的角。
3.2 直线和平面所成的角的性质直线和平面所成的角具有以下性质：•直线和平面所成的角的度数范围是0°到180°之间。
•直线和平面所成的角的度数等于直线与平面的夹角的补角的度数。
4. 法向量4.1 法向量的定义法向量是垂直于平面的向量，它垂直于平面的每一条线。
4.2 法向量的性质法向量具有以下性质：•法向量垂直于平面上的任意一条线。
•平面上的任意两个不共线的向量的向量积是平面的法向量。
直线与平面所成的角(专业知识)
90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们
所成的角为0°.
稻谷课件
17
强调:任何一条直线和一个平面的相对倾斜度 都可以用一个角来反映，那么直线与平面所 成的角的取值范围是什么？
[0 ,90 ]
思考1、比较异面直线所成的角、直线与平面 所成的角
稻谷课件
18
1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别 引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 做这条直线和这个平面所成的角。
稻谷课件
19
比较
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
平面的斜线和平面
O
所成的角的取值范围：
(0o, 90o)．
1
A
B
稻谷课件
20
思考2、两条平行直线与同一个平面所成的 角的大小关系如何？反之成立吗？一条直 线与两个平行平面所成的角的大小关系如 何？
P
O
Aa
稻谷课件
11
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面
的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面
内的射影垂直
P
O
Aa
稻谷课件
12
知识探究（二）：直线和平面所成的角
思考1:平面的一条斜线与这个平面总存在一 个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反 映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与 平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点 宜选在何处？
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围一、引言空间中直线与平面之间的关系是几何学中的基本内容，对于空间的直线与平面所成角的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将探讨空间中直线与平面所成角的范围，并通过实例分析其应用。
二、空间中直线与平面所成角的定义与性质1.定义空间中直线与平面所成角是指直线与平面内一条直线所成的最小角。
这个角度可以用直线与平面内一条直线所成的锐角或直角来表示。
2.性质（1）直线与平面垂直时，所成角为90度。
（2）直线与平面斜交时，所成角大于90度。
（3）直线与平面平行时，所成角为0度。
三、空间中直线与平面所成角范围的推导1.直线与平面垂直的情况当直线与平面垂直时，根据性质1，所成角为90度。
2.直线与平面斜交的情况当直线与平面斜交时，所成角大于90度。
这是因为，根据性质2，直线与平面斜交的角度大于直线与平面垂直的角度。
3.直线与平面平行的情况当直线与平面平行时，根据性质3，所成角为0度。
四、应用与实例1.几何问题求解在几何问题中，了解空间中直线与平面所成角的范围有助于解决复杂的空间几何问题。
例如，在求解空间直线与平面之间的位置关系时，可以通过计算所成角的大小来判断直线与平面是否垂直、斜交或平行。
2.工程实践中的应用在工程实践中，空间中直线与平面所成角的应用十分广泛。
例如，在建筑、机械等领域，掌握空间中直线与平面所成角的范围有助于设计和施工过程中的精确度，保证工程质量。
五、总结与拓展本文对空间中直线与平面所成角的范围进行了探讨，通过对定义和性质的分析，推导出所成角的大小，并介绍了在几何问题和工程实践中的应用。
对于空间中直线与平面所成角的研究还有许多拓展空间，如更深入地探讨空间中直线与平面所成角与几何形状之间的关系，以及在更多实际应用领域中的应用。
《直线与平面所成角复习课——线面角的三种常见求法》教案-最新教学文档
直线与平面所成角复习课（2）——线面角的三种常见求法一、教学内容解析新课标立体几何内容较大纲教材变化大，三垂线及其逆定理作为阅读教材，对于有关线、面的垂直的求解方式方法带来很大的改变，对求解二面角及线面角的方式方法也带来很大的改变。
对我校大部分学生而言，二面角求解要求属于了解层次，斜线与平面角所成的角属于理解与掌握层次，“求解线面角”变成我校学生学习立体几何有关角的计算最难的一个问题。
特别是教材中对线在平面上的射影这一概念比较弱化，点面距离的概念在教材中已经退化，我校学生学习线面角主要方法就是定义法。
那如何化解难点，使学生能够有条不紊的找出线面角并求解，成为这堂课的重中之重。
二、教学目标设置1、知识与技能：正确认识直线与平面所成角的概念，能够利用面面垂直的性质找出已知平面的垂线从而找出线面角，能够利用向量法和等体积法帮助求解线面角。
2、过程与方法：（1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。
（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。
（3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。
3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
三、学生学情分析我班学生“偏文”，尤其是女生的空间想象能力很弱，拿到立体几何题恨不得道道用向量法求解，因而忽视了定义法的重要性。
学生在寻找线面角的过程中往往毫无头绪无从下手，缺少应有的逻辑推理能力和空间想象能力，不喜欢或不擅长添加复杂的辅助线帮助找角和证明。
本节课旨在打开他们的解题思路，将求解过程规范化，有序化，从而能够进一步提高他们求解立体几何有关角的计算能力。
四、教学策略分析由于这是一节复习课，所以我选择在前一节课留给他们一道简单而又经典的线面角问题，让他们自由发挥，各尽所能。
直线和平面所成的角的求法(学生版)
直线和平面所成的角的求法例1 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，ABBC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．变式练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=2，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，M是PB的中点。
（1）求证：CM∥侧面PAD，(2)求直线CM与底面ABCD所成角D C BPAM例2 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.【变式演练2】如图所示，已知P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.强化训练：1．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．3．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB 上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．11．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．答案1．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．，即，=2H==所成的角的正弦值是．2．（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．．3．（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．，，，﹣，﹣，解得x=﹣z，y=0．故可取n=（，0，﹣3）．于是cos＜n，A＞═=﹣．由此即知，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为．4．（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．EF=（，∴所成角的大小是5．（2005•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．EFPDa PA=a=EF，∴∴所成角的正弦值为所成角为，，∴，，∴）解：由可得，所成的角为，∴所成的角为所成的角为6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．的法向量为锐角时，所求的角即为它的余角；当AD==MD=，（，的一个法向量为，，的一个法向量为=，＞=∴＜＞=arcsin7．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．，代入公式的法向量的法向量可得AO=OC=，，﹣，所以=|，设的法向量=所以，的法向量所以的法向量所以，．10．（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．距离的，的一个法向量，结合然后求出距离的，可求得，则，，由PN=距离的）可知所求距离为的一个法向量，由可得：．，则，所以所求角的大小为，所以，则，距离的所以所求距离为11．（2008•海南）如图，已知点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．求出（Ⅰ）利用，求出的一个法向量是，得到．即可．，．连接，由已知可得．解得，所以（Ⅰ）因为，所以的一个法向量是因为，所以．，，，则，由已知，，，∴（Ⅰ）因为，所以的一个法向量是因为．射影O在AB上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．OP=与平面OP===OCP==．arctan为原点，建立空间直角坐标系．则=，，的一个法向量为=得出即﹣，所以=，的一个法向量为．故二面角arccos．OP=，，所以，），），==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=）=2的一个法向量为=，则由即，=（﹣的一个法向量为=arccos20．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．D=，22．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．DC中，DC，可得，∴的大小为24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．（Ⅰ）求出，推出．通过，求相关向量，计算，求二面角，∴，∴，且（易求得．的距离是易知=的大小是。
(完整word版)空间中线线角,线面角,面面角成法原理和求法思路
DBA C α空间中的夹角福建屏南一中 李家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝ PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
《直线与平面的夹角》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
知识梳理
题型一 用定义求线面角
【例1】在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角 的正弦值． [思路探索] 可作出线面角，在三角形中解出．
解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD， EG⊥平面BCD，O、G为垂足． ∴AO＝2GE，AO、GE确定平面AOD，连结 GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．
知识梳理
【例 3】(12 分)如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱 长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值．
审题指导 建立坐标系，用 sin θ＝|cosφ|＝求线面角．
知识梳理
【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意 计算上不要失误． (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接 确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的 坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．
知识梳理
公式cos θ＝cos θ 1 ·cos θ 2的理解 由0≤cos θ 2 ≤1，∴cos θ≤cos θ 1 ，从而θ1≤θ.在公式中，令θ 2 ＝90°，则cos θ＝cos θ 1 ·cos 90°＝0. ∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO. 此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆 定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
知识梳理
∵M 为 DC 的中点，∴CM＝12a
∴BM＝
a42＋a2＝
5 2a
又 ME＝12PD＝12a，∴BE＝ 54a2＋14a2＝ 26a
知识梳理
∴在 Rt△BME 中
cos∠MBE＝BBME ＝
直线到平面所成角公式
直线到平面所成角公式1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个有点数学味儿的东西——直线到平面所成的角公式。
别担心，咱不打算把你搞得头晕脑胀，而是想让这事儿变得轻松有趣。
想象一下，直线就像是个开朗的小家伙，而平面嘛，像是一块厚厚的饼。
直线和饼之间，咱得看看它们之间究竟有多大“夹角”。
说到这儿，你可能在想，嗯，这听起来有点复杂，实际上，咱们只要抓住几个简单的点，就能搞定。
2. 角的定义2.1 角的基本概念首先，咱得知道什么是角。
简单来说，角就是两个线段之间的“张开程度”。
想象一下，两只手指头从同一点出发，慢慢张开，你的手指就形成了一个角。
就这么简单。
角度越大，手指张得越开；角度越小，手指就越靠近。
嘿，这听起来是不是很形象？2.2 直线与平面的关系接下来，咱们来说说直线和平面。
直线可以想象成一根无限延伸的绳子，而平面就像一张无边无际的桌子。
它们相交的时候，就会形成一个角。
这个角的大小取决于直线与平面之间的相对位置。
就好像一只飞鸟要降落到地面，总得找个合适的角度，不然摔得可就不轻了。
3. 角的计算3.1 公式推导好啦，既然咱们知道了角的基本概念和直线与平面的关系，接下来就得聊聊怎么计算这个角了。
公式的推导其实也不复杂，关键在于理解。
我们可以用直线的法向量和直线的方向向量来计算。
具体来说，如果直线的方向向量是 (vec{d)，平面的法向量是(vec{n)，那么直线与平面之间的夹角 (theta) 就可以通过这个公式来计算：。
cos(theta) = frac{vec{d cdot vec{n{|vec{d| |vec{n|。
听起来是不是有点晦涩？别急，咱们一步步来。
3.2 角的应用说到这儿，大家肯定在想，这个公式有什么用呢？其实用途可大了！比如在建筑设计中，设计师常常需要计算光线与建筑表面之间的角度，这关系到光线的入射和反射，关乎到室内的亮度和美观。
再比如，在交通工程中，路面与车辆之间的角度也影响着行驶的安全性。
综合法求直线与平面所成的角(解析)
综合法求直线与平面所成的角方法：直线与平面所成的角 1.⎧⎨⎩作角：在斜线上取一点作平面的垂线2.用等积法求斜线上一点到平面的距离1.已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB 和平面α所成的角．．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33. ∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成的角． ∵△BCB 1∽△ACA 1，∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233. ∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3， ∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.2.如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====，在底 面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：11D A BC A ⊥平面；（2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.【答案】(1)略；(2)8 【解析】(1)利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；(2)通过添加辅助线，证明1A F ⊥平面11BB C C ，以此找到直线与平面所成角的平面角1A BF ∠，在直角三角形1A BF 中通过确定边长，计算1A BF ∠的正弦值.试题解析：(1)设E 为C B 中点，由题意得1A E ⊥平面C AB ，所以1A E AE ⊥.因为AB AC =，所以AE BC ⊥.所以AE ⊥平面1A BC .由D ，E 分别为11,B C BC 的中点，得1//DE BB 且1DE BB =，从而1//DE AA 且1DE AA =， 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE .来源学优高考网因为AE ⊥平面1A BC ，所以1A D ⊥平面1A BC .(2)作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结F B .因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥.因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE .所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C .所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=，得EA EB ==由AE ⊥平面1A BC，得1114,A A A B A E ==.由1114,90DE BB DA EA DA E ===∠=，得12A F =.所以1sin A BF ∠= 【考点定位】1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题主要考查空间直线与平面垂直的证明以及直线与平面所成角的大小的计算.能够利用直线与平面垂直的定义及判定，通过直线与直线垂直证明得到直线与平面垂直；通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力.3．在三棱柱中111ABC A B C -中，侧面11ABB A为矩形，12,AB AA D ==是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）证明：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析（2）5【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到，而线线垂直的寻找与论证，往往需要结合平几知识进行：如本题就可利用三角形相似得到1AB BD ⊥，再由线面垂直CO ⊥平面11ABB A 得到线线垂直1AB CO ⊥，因此得到1AB ⊥平面CBD ，即1AB BC ⊥（2）由（1）中垂直关系可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角：先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解试题解析：（1）由题意11tan tan 22AD AB ABD AB B AB BB ∠==∠==， 又10,2ABD AB B π<∠∠<，∴1ABD AB B ∠=∠， ∴1112AB B BAB ABD BAB π∠+∠=∠+∠=， ∵2AOB π∠=，∴1AB BD ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，∴1AB CO ⊥，∵BD 与CO 交于点O ，∴1AB ⊥平面CBD ，又BC ⊂平面CBD ， ∴1AB BC ⊥．（2）如图，分别以1,,OD OB OC 所在直线为,,x y z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则0,,0,B ,0,0,0,,,0,0A C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,,AB AC CD ⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0330x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1y =，则1,z x =-=，所以12n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则()012sin cos ,CD n CD n CD n α⎛++⨯- ⋅=====⋅考点：线面垂直判定与性质定理，利用空间向量求线面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.4.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．(1)证明 因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2， 从而PC FC＝6，AC EC ＝ 6. 因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解 在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2. 设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.6.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1的中点．(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成的角的大小．(1)证明 如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，得BC ⊥平面ACC 1A 1．连接AC 1，则BC ⊥AC 1．由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1．又BC ∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ．因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连接AB 1，则点M 是AB 1的中点． 又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN ∥AC 1．故MN ⊥平面A 1BC ．(2)解 如图所示，因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ， 连接BD ，则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成的角．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝22a ，BC 1＝2a ． 在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12， 所以∠C 1BD ＝30°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、定义法
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
图1
2、在三棱锥ABC P -中，6,30,120==∠===AB ACB PC PB PA ，则PB 与平面ABC
所成角的余弦值。
3、（2016年浙江高考）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.
（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；
（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.
4、（2016年天津高考）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，
AB=2，BC=EF=1，
，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.
(Ⅰ)求证：FG||平面BED ；
(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；
(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. B
M
H
S
C
A
5、在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，AA 1=√2，求BC 1与平面A 1BC 所成角的正弦值。
（定义法、等体积法、向量法）
二、等体积法
1.如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD//CD ， 60DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ， AE ⊥BD ，CB =CD=-CF ．(Ⅰ)求证：平面ABCD ⊥平面AED ；(Ⅱ)直线AF 与面BDF 所成角的余弦值
2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，ABE ∆为等腰直角三角形，
90BAE ∠=︒，且AD AE ⊥．
（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ．（Ⅱ）求直线EC 与平面BED 所成角的正弦值．
3.如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E ．（Ⅰ）求证：PC ⊥DE ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．
三、向量法
1、在正方体ABCD-1111D C B A 的棱长为1，求11C B 与平面C AB 1所成角的正弦值。
A B C
D E
2、正三棱柱ABC-111C B A 的底面边长为2，高为22，求1AC 与侧面11A ABB 所成的角。
3、如图，在四棱锥ABCD P -中，AB AB AD ABCD PA ,⊥⊥，底面∥DC,AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点。
（1）证明DC BE ⊥;
(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（3）若F 为棱PC 上一点，满足AC BF ⊥，求二面角P AB F --的余弦值。
4、如图，在四棱柱ABCD-1111D C B A 中，侧棱,5,2,11====⊥⊥CD AD AA AC AB AC ABCD AA ，底面且点M 和N 分别为C B 1 和D D 1的中点。
（1） 求证：MN ∥平面ABCD;
（2） 求二面角11B AC D --的正弦值；
（3） 设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为
3
1，求线段E A 1的长。