函数和共轭函数都解析
大学数学复变函数
大学数学复变函数数学是一门广泛应用于各个领域的学科，不论是物理学、工程学还是经济学，都离不开数学的支持和应用。
而复变函数作为数学中的一个重要分支，具有多样化的性质和广泛的应用。
本文将对大学数学中的复变函数进行详细的介绍和探讨。
一、复变函数的定义与性质复变函数是数学中的一种特殊函数形式，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以写成以下形式：f(z) = u(x, y) + i * v(x, y)其中，z = x + i * y，u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部。
复变函数的定义可以看作是将复平面上的点z映射到另一个复平面上的点w，从而建立起了一个函数关系。
复变函数有一些重要的性质：1. 解析性：如果在某个区域内，函数f(z)在该区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共轭函数：对于一个复变函数，可以定义其共轭函数。
共轭函数是将函数中所有虚部的符号取反而得到的的函数。
3. 调和函数：对于一个复变函数，如果其实部和虚部都是调和函数，则称该函数为调和函数。
4. 周期性：复变函数可以具有周期性，即存在某个常数T，使得f(z + T) = f(z)对于所有的z成立。
5. 极限性质：与实变函数类似，复变函数也具有极限性质，包括一致收敛、点态收敛等。
二、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 电路理论：复数电路理论是电工学中的一个重要部分，复变函数可以用来分析交流电路的性质和行为。
2. 信号处理：在信号处理领域，复变函数有着广泛的应用。
例如，复数域中的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
3. 流体力学：复变函数在流体力学中的应用也非常广泛。
例如，通过复变函数可以分析流体的速度场、流线场等。
4. 统计学：复变函数在统计学中也有重要的应用，特别是在复数域中的概率论和数理统计学中。
5. 工程优化：复变函数在工程优化中也发挥着重要的作用。
调和共轭及其在数学相关学科中的应用
本文首先介绍了交比的概念和计算方法，接着指出了一维射影变换与交比的关系，重点强调了调和共轭与交比等的密切关系，它是共线四点交比（共点四线交比）的重要特殊情形，而交比是射影几何中的基本的不变量，即交比通过任意射影对应（射影变换）保持不变；其次专门介绍了调和共轭的第四调和点的作法及如何处理调和共轭相关的问题 ；最后研究了调和共轭在相关学科中的一些运用。
disciplinesusageiii第一章前言第二章调和共轭及其相关概念和结论21交比的概念和计算22一维射影变换及与交比的关系23调和共轭及与交比的关系24对合与调和共轭的关系25完全四点形完全四线形中的调和共轭第三章调和共轭的问题及解决方法31第四调和共轭点的作法32调和共轭问题的解决方法举例10第四章调和共轭在数学相关学科中的运用1341在射影几何高等几何中的运用1342在初等几何中的运用1543在高等数学中的应用1744在复变函数中的应用1745在偏微分方程中的应用18结束语20参考文献22文献综述23四川理工学院毕业论文第一章前言调和共轭是高等几何或射影几何中一个非常重要的概念有关平面图形与二次曲线的许多重要概念都与此密切相关它是联系高等几何中各主要概念的一条主线在这里首先介绍了交比的概念和计算从多个方面的概念对交比进行了定义
设 是数轴上的4个有限点，由
可得
（2.2）
一般地对于欧式几何中，对于任意共线的四点 有：
（2.3）
换句话说，在欧式几何中可以用有向线段的值定义交比。
仿射平面上横纵坐标法
已知 仿射平面上共线四点，则这四点的交比值为
（2.4）
射影平面的齐次坐标法
若共线 的齐次坐标分别为 ，则
,（其中 是 中适当选择的两个）(2.5)
根据陈肇斌关于《谈谈调和共轭的意义和作用》中的报告，调和共轭是高等几何中的一个重要概念，它既能体现点与点，线与线，点与线的一些特殊位置关系，又能对欧氏几何中的一些概念和性质作出射影解释，进而理顺欧氏几何与射影几何间的某些关系。调和共轭在射影几何中的突出作用就是建立了点与直线的重要的对应关系——配极对应，进而可对二次曲线中的直径、共轭直径、中心、渐进线、切线、准线、焦点等等欧式几何的定义得到射影的解释。
第1篇 复变函数论-第2章 复变函数积分
Anhui University 在上一章学习了复变函数，重点介绍了解析函数的许多性质，这些性质都是在可导和可微的基础上得出的。
第2章复变函数积分()(,)(,) 若函数在区域内解析则有：f z u x y iv x y D =+1. 解析函数的调和性：解析函数的实部与虚部均满足二维拉普拉斯方程：（由C-R 条件可证明）。
220,0.xx yy xx yy u u u u v v v v ∆≡∇=+=∆≡∇=+=2. 解析函数的共轭性：解析函数的实部与虚部由C-R 方程联系，称为解析函数的共轭性。
具体说只要知道解析函数的实部或者虚部就可求得解析函数。
3. 解析函数的实部与虚部是彼此相互正交的曲线。
0),(),(=∇⋅∇y x v y x u为了深入理解复变函数，本章用积分理论来分析复变函数积分。
基本内容：1、掌握复积分的概念、性质和计算方法；2、掌握解析函数的基本定理－Cauchy定理及其应用；3、掌握解析函数的基本公式－Cauchy公式及其应用2.1 复数函数积分一. 复积分的定义1max 0()lim ()k n k k n C k z f z dz f z ζ→∞=∆→=∆∑∫记作：()w f z l =为被积函数，为积分路径。
二. 复积分存在的条件1max 0()lim ()k n k kn l k z f z dz f z ζ→∞=∆→=∆∑∫由上式可知：一个复积分的实质是两个实积分的和。
实积分存在的条件：(,)(,)分段光滑，，在上连续l u x y v x y l因此复积分存在的条件：分段光滑，在上连续。
()l f z l注1：所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线。
注2：边界的正方向：规定当观察者沿曲线边界前进时，所围的区域始终在观察者的左手边，则前进的方向为正方向。
rzz<−单连通区域Rzzr<−<复连通区域正方向正方向三. 复积分的性质(1)()d ()d l lf z z f z z −=−∫∫反转积分路径：(2)()d ()d ;() l l kf z z k f z z k =∫∫为复常数(3)[()()]d ()d ()d ;l l l f z g z z f z z g z z ±=±∫∫∫121()(),,k n n k L l f z dz f z dz n l l l ==∑∫∫"（4），若曲线L由段线段组成被积函数的线性可叠加性积分路径的可叠加性(5)|()||()|||L L f z dz f z dz ≤⋅∫∫(6) , () () ()d ()d .设曲线的长度为函数在上满足那么l l l L f z l f z M f z z f z s ML ≤≤≤∫∫积分估值定理四. 计算方法1. 用定义计算2. 通过计算实积分结果表明：被积函数与积分路径有关。
复变函数论第五版3-4 调和函数与解析函数
调和函数 共轭调和函数
设f (z)=u+iv 在区域D内解析，则由C.-R.方程
ux vy , uy vx 再求偏导 uxx vyx , uyy vxy
由于连续，混合偏导数相等
uxx uyy 0 或
2u x2
2u y 2
0
同理
vxx vyy 0
或
2v 2v 0 x2 y2
称
2 2 x2 y2
为拉普拉斯算子
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程∆H=0， 则称H(x,y)为区域D内的调和函数.
定义3.6 在区域D内满足C.-R.方程
ux vy , uy vx
的两个调和函数u , v 中，v 称为u 的共轭调和函数
记公式
已知u,求v
已知v,求u
dv(x, y) vxdx vydy du(x, y) uxdx uydy
C.-R.方程
C.-R.方程
dv(x, y) uydx uxdy du(x, y) vydx vxdy
例 1 证明 u( x, y) y3 3x2 y 为全平面上的调和
函数，并求以其实部的解析函数.
f (z) U(z)dz c, f (z) V (z)dz c,
例 2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 1. 解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1,
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y),
第三章第四节 解析函数与调和函数
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
复函数知识点总结
复函数知识点总结定义：复数是由一个实部和一个虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i² = -1。
其中a、b为实数，可以为任意实数，即a、b ∈ R。
复数的表示：通常来说，复数可以用三种形式表示：代数形式、图解形式和三角形式。
（1）代数形式：复数a+bi可以用代数形式表示为z=a+bi，其中z为复数。
（2）图解形式：复数a+bi可以在复平面上表示为点(x,y)，其中x=a，y=b，与实轴的交点为a，与虚轴的交点为b。
（3）三角形式：对于复数a+bi，假设它的极坐标形式为r(cosθ+isinθ)，则r为复数的模，θ为复数的幅角。
复数运算：（1）加减法：复数a+bi和c+di的加减法操作为：a+bi±c+di = (a±c) + (b±d)i（2）乘法：复数a+bi和c+di的乘法操作为：(a+bi)×(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac-bd) + (ad+bc)i（3）除法：复数a+bi和c+di的除法操作为：(a+bi)÷(c+di) = (a+bi)×(c-di)÷(c²+d²) = (ac+bd)÷(c²+d²) + (bc-ad)÷(c²+d²)i复数性质：（1）共轭：对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
（2）模：对于复数a+bi，它的模为|a+bi| = √(a²+b²)。
（3）幅角：对于复数a+bi，它的幅角为θ = arctan(b/a)。
（4）欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ对于复数z = a+bi，它可以表示为z = r(e^(iθ))，其中r为模，θ为幅角。
（5）复数的运算：复数满足加、减、乘、除的封闭性，即两个复数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是一个复数。
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
解析函数的两个充要条件之间的关系
解析函数的两个充要条件之间的关系复变函数是实变函数在复数域上的推广，其主要核心是解析函数。
解析函数除了拥有与实变函数相同的一些性质以外还具备一些独有的良好性质如无穷可微性，满足方程以及能展成泰勒级数等。
复分析主要通过微分、积分和级数的方法研究解析函数。
因此为了更好地研究学习解析函数，本文首先梳理判定函数解析的五个充要条件。
一、判定函数解析的五个充要条件定义1如果复变函数在区域内可微，则称是区域内的解析函数，或称在区域内解析。
若设在区域内有定义的解析函数为，则有如下五个判定函数解析的充分必要条件：充要条件1二元函数在区域内可微，在内满足方程。
充要条件2函数在区域内连续，且对内任一周线只要及其内部全部含于内且。
充要条件3对任意，只要圆含于，则在内能展成的幂级数。
充要条件4二元函数在区域内连续，且在内满足方程。
充要条件5在区域内是的共轭调和函数。
由如上的等价条件，不难看出其中的充要条件1，4，5均是利用二元实函数来描述的，也就是说利用二元实函数满足的性质就完全可以判定复变函数的解析性。
由于充要条件是一种等价关系，所以上述五个充要条件是彼此等价的。
但是，充要条件4从形式上显然是要强于充要条件1的，而且在数学分析中，多元实变函数偏导连续仅仅是该函数可微的充分不必要条件，这就让我们不得不好奇它们之间的等价性是有什么性质来保证的。
为此，我们不妨将这两个充要条件分别描述成如下两个完整的定理。
定理1函数在区域内解析的充分必要条件是二元实函数在区域内可微且在内满足方程：，.定理2函数在区域内解析的充分必要条件是二元实函数在区域内连续，在内满足方程。
二、两个充分必要条件的证明与等价在给出三个定理的具体证明之前，首先回顾一下解析函数具有着与实变函数完全不同的独有的良好性质：无穷可微性，即解析函数的导数仍为解析函数，从而它的任意阶阶导数仍为解析函数。
定理1的证明：（充分性）由及的可微性有对于内任意一点，其中及是的高阶无穷小。
复变函数的基本运算与性质
复变函数的基本运算与性质一、引言复变函数是数学中重要的概念之一，在很多科学领域中都有广泛的应用。
为了更好地理解复变函数，本文将探讨其基本运算与性质。
二、复变函数的定义复变函数是将复数集合映射到复数集合的函数。
若函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)是实函数，则称该函数为复变函数。
三、复变函数的基本四则运算1. 复变函数的加法：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)和g(z)=p(x,y)+iq(x,y)是两个复数函数，则它们的和为h(z)=f(z)+g(z)=(u+p)+(v+q)i。
2. 复变函数的减法：若f(z)和g(z)同上，则它们的差为h(z)=f(z)-g(z)=(u-p)+(v-q)i。
3. 复变函数的乘法：若f(z)和g(z)同上，则它们的乘积为h(z)=f(z)g(z)=(up-vq)+(uq+vp)i。
4. 复变函数的除法：若f(z)和g(z)同上，并且g(z)≠0，则它们的商为h(z)=f(z)/g(z)=[(up+vq)+(vp-uq)i]/(p^2+q^2)。
四、复变函数的导数与解析性1. 复变函数的导数：若f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在D内可导。
其导数可表示为f'(z)=lim((f(z+Δz)-f(z))/Δz)，其中Δz是趋于0的复数。
2. 复变函数的解析性：若f(z)在区域D内处处可导，并且导数f'(z)在D内连续，则称f(z)在D内解析。
五、复变函数的性质1. 复变函数的实部与虚部：对于f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部为u(x,y)，虚部为v(x,y)。
实部和虚部都是实函数，它们唯一确定了复变函数。
2. 复变函数的共轭函数：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则其共轭函数为f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)。
共轭函数与原函数有相同的实部，但虚部取负值。
02_解析函数
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) u v v u i i dz x x y y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v v 1 du , d
举例
dez z e dz
u u v v Ey , Ex Ex , Ey x y x y u v u v , C-R条件 x y y x 静电场的复势 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) v v E Ex iE y gradv i i F ( z ) x y
d 1 12 12 2 dz 2 2
d dz 1 d dz
dF ( ) dF d dz d dz
说明
反之则 不成立
如果函数 f(z)在区域 D内的每一点可导，则称f(z)在区域 D内可导
可导
连续
C-R条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定
根式函数
wn z
i arg z 2 k n
由于z的n次方根为wn n z n | z |e
(k 0,1,2,, n 1)
n
且辐角具有多值性，因此根值函数wn
z为n值函数
第四节 解析函数的应用——平 面场的复势
用复变函数刻画平面向量场
我们说某一个向量场是一个平面场，并不是指这个场中所有的向量都定 义在某一平面内，而是指所有的向量都平行于某一固定的平面，而且在 垂直于的任一条直线上所有的点处，向量的大小和方向都相同。这样， 向量场就可以用平面上的向量场来表示 。 如果我们用复数表示平面上的向量，那么场就惟一地确定了一个复变函 数
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函数和共轭函数都解析
在复变函数中，函数和共轭函数是两个非常重要的概念。
函数是指在复平面上给定一
个点，返回该点对应的复数的函数。
共轭函数则是指给定一个点，返回该点对应复数共轭
的函数。
这里的复数是指具有实部和虚部的数。
具体来说，如果一个复数z = x+iy，则它的共轭为z* = x-iy。
函数和其共轭函数都是解析的。
解析是指一个函数在其定义域内处处可导，并且在定
义域内的任何一点都有连续的导数。
在复变函数中，一个函数解析意味着它满足柯西-黎
曼方程，即：
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
在实际中，函数和共轭函数的关系经常被用到。
如果一个函数f(z)是解析的，则其共轭函数f*(z)也是解析的。
这是因为解析的定义保证了它都满足柯西-黎曼方程，而函数和共轭函数的实部和虚部之间只有正负号的差别。
因此，如果一个函数满足柯西-黎曼方程，则其共轭函数也一定满足。
另外，在某些情况下，可以使用函数和共轭函数之间的关系来求出一些复积分的值。
例如，如果一个曲线围成的区域内的函数和共轭函数都是解析的，则该曲线上的积分等于
该区域的面积的两倍。
这是因为，曲线上的积分可以表示为对复数函数的路径积分，而复
数函数和其共轭函数的积分可以表示为对该区域的积分。
由于函数和共轭函数都是解析的，因此该积分等价于零。
因此，该曲线上的积分等于该区域的面积的两倍。
总之，函数和共轭函数在复变函数中扮演着非常重要的角色。
它们都是解析的，因此
都满足柯西-黎曼方程。
这种关系经常被用来求解复积分的值。
同时，通过函数和共轭函
数之间的关系，可以简化一些计算。