类比探究(讲义及答案)

图1
A
B C D G
E
F
M
图2
A
B
C
D
G
E
F
M
图3
A
B C
D
G E
F
M
类比探究（讲义）
➢ 课前预习
1. 小明同学碰到如下问题：
如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．
（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明． （2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． （3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用． 经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：
MD ⊥MF ，MD =MF
等腰Rt △DFH ，M 为DH 中点FD =FH ，∠DFH =90°
DM =MH ，AD =EH △ADM ≌△EHM
延长DM ，交EF 于点H （平行夹中点）
仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？
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2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得
BC =2CD ，则
AE
EC
=_________． 提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”
相似是我们常用的一种做法．
A B
D
C
E
F
②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）
A ．124
x
y x =--
B ．21
x
y x =--
C ．31x
y x =-- D ．84
x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．
M F
E D
C B A
➢知识点睛
类比探究问题的处理思路
1.若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．
类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．
2.若不属于常见结构类型：
①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．
②类比解决下一问．
如果不能，分析条件变化，寻找______________．
③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．
➢精讲精练
1.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，
BC=3．
（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作
□PCQD，则当点P与点A重合时，PQ的长为__________．（2）如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
A(P)
D
Q
C
B
图1
A
P B
C
Q
D
图2
A
B C D E
P
Q
图3
A B C
D
A B C
D
2. 已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上
一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ．
（1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________．
（2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，若
5
2
AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．
图1
M Q
P
A
B
C
图2
M Q
P
A
B C
M
C B
A
P
Q
图3
3. （1）问题发现
如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空： ①∠AEB 的度数为___________；
②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．
图1
C
D
A
B
E
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB = ∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．
图2
M
E
D
C
B
A
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD 中，CD =2．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．
A B
C
D
图3
4. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分
别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现 ①当α=0°时，
AE
BD
=______；②当α=180°
时，AE
BD
=______． （2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，AE
BD
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决
当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．
图3
图2
图1
A
B
C
A
E
B
D
C
D E
C
B A
【参考答案】 ➢ 课前预习
1. 能，证明略
2. ①2
②A
➢ 知识点睛
2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征
➢ 精讲精练
1. （1）25．
（2）存在，最小值为4． （3）存在，最小值为5． （4）存在，最小值为2
(4)2
n +． 2. （1）PB =2CM ．
（2）成立，证明略． （3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．
（2）AE =2CM +BE ． （3）点A 到BP 的距离为312+或31
2
-． 4. （1）①
52；②52
． （2）0360α︒<︒≤时，
AE
BD
的大小没有变化，证明略． （3）线段BD 的长为45或
125
5
．。