2020年浙江高考数学一轮复习： 平面向量的概念及其线性运算
2020年高考文科数学一轮总复习：平面向量的概念及线性运算
2020年高考文科数学一轮总复习 第 1 页 共 11 页 2020年高考文科数学一轮总复习：平面向量的概念及线性运算
第1讲 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，
λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 2020年高考文科数学一轮总复习 第 2 页 共 11 页 常用知识拓展
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．
2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→.( )
(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
2020届高考数学一轮复习：教师用书-第五章 平面向量
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第五章
Error!平面向量 第一节 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小
叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0
单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的 单位向量为± a
|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做
共线向量)
0 与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
加法
求两个向量和的
运算 三角形法则
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
( ＋ )＋ ＝
a b c a
平行四边形法则
＋(b＋c)
求 a 与 b 的相反
减法
向量－b 的和的
a－b＝a＋(－b)
运算叫做 a 与 b 三角形法则
的差
求实数 λ
与向量
(1)|λ
a|＝|λ
||a|； λ
(μ
a)＝
(λμ
)a；
数乘
a 的积的运算
(2)当 λ
＞0 时，λ
a 的方向 (λ
＋μ
)a＝λ
a＋μ
a； 第 2 页 共 50 页
与 a 的方向相同；当 λ
＜0 λ
(a＋b)＝λ
a＋
λ
b
时，λ
a 的方向与 a 的方向 相反；当 λ
＝0 时，λ
a＝0
3.共线向量定理
向量 a(a≠
0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ
，使得 b＝λ
a.
[小题体验]
1．下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若 a∥b，则 a＝b B．若|a|＝|b|，则 a＝b
C．若|a|＝|b|，则 a∥b D．若 a＝b，则|a|＝|b|
答案：D
2．若 m∥n，n∥k，则向量 m 与向量 k( )
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
答案：D
3．若 D
2020高考数学理科大一轮复习导学案《平面向量的概念及其线性运算》
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
知识点一
向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
1．(必修4P78A组第6题)有关向量概念，下列命题中正确的是( D )
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若a和b都是单位向量，则a＝b
D．两个相等向量的模相等
解析：A.若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定重合；B.模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C.若a和b都是单位向量，则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D.两个相等向量的模相等是正确的．
知识点二 向量的线性运算
2．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于( A )
A．－BC→＋12BA→ B．－BC→－12BA→ C.BC→－12BA→ D.BC→＋12BA→
解析：如图．
3．(必修4P92习题2.2B组第5题改编)在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为矩形．
解析：如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，
所以|AC→|＝|DB→|.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2020版高考数学一轮复习二十五5.1平面向量的概念及其线性运算理解析版新人教A版
核心素养提升练二十五
平面向量的概念及其线性运算
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则= ( )
A. + B. +
C. + D. +
【解析】选D.如图,因为=,又因为=+,所以=+.
【变式备选】如图,向量a-b等于 ( )
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
【解析】选C.由题图可知a-b=e1-3e2.
2.下列说法正确的是 ( )
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量是0
C.长度相等的向量叫做相等向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选B.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法错误;对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确;对于选项C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误.
3.在△ABC中,点D满足=3,则 ( )
A. = -
B. = +
C. = -
D. = +
【解析】选D.因为点D满足=3,因为=+=+=+ (-)=+.
【变式备选】
已知向量a,b不共线, c=ka+b(k∈R), d =a-b,如果c∥d,那么 ( )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
【解析】选D.由题意可设c=λd,即ka+b=λ(a-b),(λ-k)a=(λ+1)b.因为a,b不共线,所以所以k=λ=-1,所以c与d反向. 4.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是 ( )
①=+;
②= (+);
③=-;
④=.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.因为由向量加法的平行四边形法则,知①=+,②= (+)都是正确的,由向量减法的三角形法则,知③=-是正确的,因为,的大小相同,方向相反,所以④=是错误的.
2020版高考浙江专用新精准大一轮精：第5章 第1讲 平面向量的概念及线性运算刷好题练能力
[基础达标]
1．下列各式中不能化简为PQ→的是( )
A．AB→＋(PA→＋BQ→) B．(AB→＋PC→)＋(BA→－QC→)
C．QC→－QP→＋CQ→ D．PA→＋AB→－BQ→
解析：选D.AB→＋(PA→＋BQ→)＝AB→＋BQ→＋PA→＝PA→＋AQ→＝PQ→；(AB→＋PC→)＋(BA→－QC→)＝(AB→＋BA→)＋(PC→－QC→)＝PC→＋CQ→＝PQ→；QC→－QP→＋CQ→＝PC→＋CQ→＝PQ→；
PA→＋AB→－BQ→＝PB→－BQ→，
显然由PB→－BQ→得不出PQ→，
所以不能化简为PQ→的式子是D.
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
3．(2019·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，|AB→|＝6，|CA→＋CB→|＝|CA→－CB→|，则|CM→|＝( )
A．12 B．6
C．3 D．32
解析：选C.因为|CA→＋CB→|＝2|CM→|，|CA→－CB→|＝|BA→|，所以2|CM→|＝|BA→|＝6，
所以|CM→|＝3，故选C.
4．已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是( )
A．|a|＋|b|≥|a－b|
B．|a·b|≤|a|·|b|
C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3
解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正确；
2020高考数学大一轮复习 平面向量的概念及其线性运算(含解析)(文)新人教A版
1 课下层级训练(二十四) 平面向量的概念及其线性运算
[A级 基础强化训练]
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
A．① B．③
C．①③ D．①②
A [根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．]
2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝( )
A．AD→ B．12AD→
C．12BC→ D．BC→
A [由题意得EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→.]
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使a|a|＝b|b|成立的充要条件是( )
A．a＝b B．a＝2b
C．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同
D [a|a|表示a方向的单位向量，因此a|a|＝b|b|的充要条件是a与b同向即可．]
4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
A [方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
方法二 利用向量加法的平行四边形法则．
在□ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知|AC→|＝|DB→|，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.]
5．(2019·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝13AB，BQ 2 ＝13BC．若AB→＝a，AC→＝b，则PQ→＝( )
A．13a＋13 b B．－13a＋13b
2020年高考数学一轮复习第四章第1节平面向量的概念及其线性运算
2020年高考数学一轮复习第四章第1节平面向量的概念及其线性运算
题组一 向量的差不多概念
1.给出以下六个命题：
①两个向量相等，那么它们的起点相同，终点相同；
②假设|a|＝|b|，那么a＝b；
③假设AB＝DC，那么四边形ABCD为平行四边形；
④在▱ABCD中，一定有AB＝DC；
⑤假设m＝n，n＝p，那么m＝p；
⑥假设a∥b，b∥c，那么a∥c，
其中不．正确的个数是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：两向量起点相同，终点相同，那么两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，因此a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，假设b＝0，那么a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的选项是③④⑤.
答案：B
2．以下四个命题，其中正确的个数有 ( )
①关于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb
②关于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na
③假设ma＝mb(m∈R)，那么有a＝b
④假设ma＝na(m，n∈R，a≠0)，那么有m＝n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：只有③不正确，∵a≠b，m＝0时，ma＝mb也成立，其余①②④均成立．
答案：C
题组二 向量的线性运算
3.假设A、B、C、D是平面内任意四点，给出以下式子：①AB＋DC＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；
2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题12平面向量的概念及其线性运算文(含解析)
专题12平面向量的概念及其线性运算
一、本专题要特别小心：
1.向量加减的几何意义
2. 向量共线的问题
3. 零向量问题
4.向量夹角为锐角和钝角问题
5.基本定理的两条路径法表示向量
6.向量共线与三点共线的区别与联系
7.向量的模与夹角的运算及应用问题
8.平行与垂直问题
二．【学习目标】
1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示．
2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．
3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
三．【方法总结】
1.向量线性运算技巧
(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理.
(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义.
2.向量共线问题
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
四．【题型方法】
（一）向量共线与三点共线
例1．下列说法正确的是（ ）
A．若||=||ab，则a、b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量AB、CD满足||||ABCD，且AB与CD同向，则ABCD
C．若ab，则a与b可能是共线向量
D．若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线
【答案】C
【解析】对于A选项，模相等的向量，方向不一定相同或者相反，也可能垂直，或者成其它的角度，故A选项错误.对于B选项，向量不能用大于或者小于号相连，向量的模可以比较大小，故B选项错误.对于C选项，不相等的向量可以共线，故C选项正确.对于D选项，平行向量不一定是共线的，故B选项错误.综上所述，本小题选C.
高三数学一轮复习精品教案1：5.1 平面向量的概念与线性运算教学设计
高三数学一轮复习教案
1 5.1平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 高三数学一轮复习教案
2 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
『试一试』
1.(2013·苏锡常镇二调)如下图，在△OAC中，B为AC的中点，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x－y＝________.
『解析』法一：(直接法)根据图形有 OC＝OA＋AC，
AC＝2AB，
AB＝OB－OA，
所以OC＝OA＋2(OB－OA)，
所以OC＝－OA＋2OB，而OC＝xOA＋yOB，所以 x＝－1，y＝2，故x－y＝－3.
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)
第五章 平面向量、复数
考试内容 等级要求
平面向量的概念
B
平面向量的加法、减法及数乘运算
B
平面向量的坐标表示
B
平面向量的数量积
C
平面向量的平行与垂直 B
平面向量的应用 A
复数的概念 B
复数的四则运算 B
复数的几何意义 A
§5.1 平面向量的概念及线性运算
考情考向分析 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；
(加法平行四边形)起点相同连对角；
(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．
3．向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
概念方法微思考
1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？
提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.