(详细解析)1996年全国高考文科试题

1996年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）

第Ⅰ卷（选择题共65分）

注意事项：

1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7I =，集合{}{}1,3,5,7,3,5A B ==．则 A ．I A

B = B ．I A B =

C ．I A B =

D ．I A B =

【答案】C

【解析】显然C 正确．

2．当1a >时，在同一坐标系中，函数x

y a -=与log a y x =的图像

【答案】A

【解析】当1a >时，函数x

y a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且

过点(1,0)．

3．若2

2

sin cos x x >，则x 的取值范围是

A ．??????∈+<<-

Z k k x k x ,41

2432ππππ B ．?

???

??∈+<<+

Z k k x k x ,45

2412ππππ C ．??????∈+<<-

Z k k x k x ,41

41ππππ D ．?

???

??∈+<<+

Z k k x k x ,43

41ππππ 【答案】D

【解析】2

2

2

1sin cos sin sin 22x x x x >?>

?>

或sin 2

x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4

k x k π

ππ-+<<- 3()4k Z π+

∈，所以x 的取值范围是?

?????∈+<<+Z k k x k x ,43

41ππππ． 4．复数

5

4)

31()22(i i -+等于

A ．i 31+

B ．i 31+-

C ．i 31-

D ．i 31-- 【答案】B

4442

5

(2)12()i ω===--．

5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 A ．720种 B ．360种 C ．240种 D ．120种 【答案】C

【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有52

52240A A =．

6．已知α是第三象限角且24sin 25α=-

，则tan 2

α=

A ．

43 B ．34 C ．34- D ．43

- 【答案】D

【解析】由已知得7cos 25α=-

，所以2sin 2sin 1cos 22

tan 2

sin cos

2sin

cos

2

2

2

αα

α

α

α

α

α

α

-===

71()

42524325

--=

=--．

7．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=?和m γ⊥，那么必

有

A ．αγ⊥且l m ⊥

B ．αγ⊥且//m β

C ．//m β且l m ⊥

D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 8．当2

2

x π

π

-

≤≤

时，函数()sin f x x x =的

A ．最大值是1，最小值是1-

B ．最大值是1，最小值是12

-

C ．最大值是2，最小值是2-

D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D

【解析】因为()sin 2sin()3

f x x x x π

=+=+

，由已知56

3

6

x π

π

π

-

≤+

≤．故当 3

2

x π

π

+

=

，即6

x π

=

时，()f x 有最大值是2；当3

6

x π

π

+

=-

，即2

x π

=-

时，()f x 有最

小值是1-．

9．中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为

1

2

的椭圆方程是 A ．

22143x y += B ．22134

x y += C ．2214x y += D ．22

14y x += 【答案】A

【解析】由题设可得214,2a c c a ==，解得2,1a c ==，所以椭圆方程是22

143

x y +=．

10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240?，该圆锥的体积是

A B ．881π C D ．1081π

【答案】C

【解析】设圆锥底面半径为r ，则

2240

21360r ππ?=??，得23r =，3

=，

圆锥的体积是212()33π=

．

11．椭圆222515091890x x y y -+++=的两个焦点坐标是

A ．(3,5),(3,3)---

B ．(3,3),(3,5)-

C ．(1,1),(7,1)-

D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B

【解析】椭圆的标准方程为2222

(1)(3)153y x +-+=，而22

22153y x +=的焦点为(0,4)±，所以22

22

(1)(3)153y x +-+=的焦点坐标是(3,3),(3,5)-．

12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为

A ．63a

B ．123a

C ．3123a

D ．3

12

2a

【答案】D

【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．

,ABC ADC ??均为等腰直角三角形，2AC BO DO ==

=

， ∴2

BOD π

∠=

，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的

高，所以23

1132D ABC V a -=?=．

13．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C

【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以

323()210m m m S S S =-=．

14．设双曲线)0(122

22b a b

y a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点

到直线l 的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．3

3

2 【答案】A

【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4

=

，则

22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或e =0a b <<，所以

e ==>，所以e =

15． ()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5

)f

等于

A ．0.5

B ．0.5-

C ．1.5

D ． 1.5- 【答案】B

【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---

(0.5)0.5f =-=-．

第Ⅱ卷（非选择题共85分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

16．已知点(2,3)-与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离是5，则p = ． 【答案】4

5=，解得4p =．

17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32

【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．

18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3

【解析】∵tg20tg40

tg(2040)31tg20tg40

++=

=-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，

tg20tg403tg20tg403++=．

19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线

AD 与BF 所成角的余弦值是 ．

【答案】

4

2 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF

所成角，设正方形边长为a ，在CBF ?中，,,BF BC a FC =

===

=，222cos 24

BF BC FC CBF BF BC +-∠=

=?．

三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．（本小题满分11分） 解不等式log (1)1a x a +->．

【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．

（Ⅰ）1>a 时，原不等式等价于不等式组：10,

1.

x a x a a +->??

+->? ——2分

解得21x a >-． ——5分

（Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：10,

1.x a x a a +->??+-

——7分

解得121a x a -<<-． 10分

综上，当1>a 时，不等式的解集为{}

21x x a >-；

当01a <<时，不等式的解集为{}

121x a x a -<<-． ——11分

21．（本小题满分12分）

设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若3692S S S +=，求数列的公比q ．

【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．

若1q =，则有3161913,6,9S a S a S a ===．但10a ≠，

即得3692S S S +≠，与题设矛盾，故1q ≠． ——2分

又依题意3692S S S +=可得369111(1)(1)2(1)

111a q a q a q q q q

---+=

---． 整理得363(21)0q q q --=．

由0q ≠得方程63210q q --=．33(21)(1)0q q +-=， —— 9分

∵ 3

1,1q q ≠≠，∴3

210q +=，∴2

q =-． ——12分

22．（本小题满分11分）

已知ABC ?的三个内角,,A B C 满足：B

C A B C A cos 2

cos 1cos 1,

2-

=+=+，求 2

cos

C

A -的值． 解法一：由题设条件知60,120

B A

C =+=． ——2分

=-22cos 1cos 1-=+C A ． 将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为

)]cos()[cos(22cos 2cos

2C A C A C

A C A -++-=-+． ——6分 将21

)cos(,2160cos 2cos -=+==+C A C A 代入上式得

cos

)22

A C A C -=-． 将1)2

(

cos 2)cos(2

--=-C

A C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-C

A C A ——9分

(2cos 3)022

A C A C ---+=，

∵302A C -+≠

，∴2cos 02

A C

-=．

从而得cos

2A C -=

——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．

设2

A C

α-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以

)

60cos(1

)60cos(1cos 1cos 1αα-+

+=+ C A ααααsin 2

3

cos 211

sin 2

3cos 211

++

-=

ααα22sin 43cos 41cos -=

4

3cos cos 2-=

αα

． ——7分 依题设条件有

B

cos 2

43cos cos 2-=-

αα， ∵2

1

cos =

B ，∴224

3

cos cos 2-=-

αα．

整理得22cos 0,αα+-= ——9分

(2cos 3)0αα+=，

∵03cos 22

≠+α，∴02cos 2=-α．

从而得2

2

2cos =

-C A ． ——11分

23．（本小题满分12分）

【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】

如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1

3

AA AB a ==，,E F 分别是11,BB CC 上的点，且,2BE a CF a ==．

（Ⅰ）求证：面AEF ⊥面ACF ； （Ⅱ）求三棱锥1A AEF -的体积．

（Ⅰ）证明： ①∵,2BE a CF a ==，//BE CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ．

∴DBE

DCF ??，

∴DB BE

DC CF

=． ② ． ∴DB AB =．

③ ． ∴DA AC ⊥．

④ ． ∴FA AD ⊥．

⑤ ． ∴AEF ⊥面ACF ． （Ⅱ）解：

【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．

（Ⅰ）②∵:1:2BE CF =，∴2DC DB =，∴DB BC =， ——1分

③∵ABD ?是等腰三角形，且120ABD ∠=?，

∴30BAD ∠=?，∴90CAD ∠=?， —— 3分 ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是FA 在面ACD 上的射影，

且CA AD ⊥， —— 5分 ⑤∵FA AC A =，DA ⊥面ACF ，DA ?面ADF ，

∴面ADF ⊥面ACF ． 7分

（Ⅱ）∵11A AEF E AA F V V --=，

在面111A B C 内作111B G AC ⊥，垂足为G ．12

B G =． 面111A B

C ⊥面1AC ，∴1B G ⊥面1AC ，

∵1E BB ∈，而1//BB 面1AC ，∴三棱柱1E AA F -的高为

2

．——9分

1112A FA

S AA AC ?=?= ——10分

∴11A AEF E AA F

V V --== ——12分

24．（本小题满分10分）

某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=

耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数

总产量

）

【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．

设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．

依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4

10

4+??≥+?-?+?P M P x M ．——5分

化简得]22

.1)01.01(1.11[1010

3

+?-

?≤x ． ——7分 ∵103

312

210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22

C C ?+?-

=?-?+?+?+

3 1.1

10[1 1.1045] 4.11.22

≈?-

?≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分

25．（本小题满分12分）

已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ． （Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；

（Ⅱ）若1A 恰是双曲线的一个顶点，求22A B 的值．

【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．

（Ⅰ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程

组1122(0),1.

y k x k y x ?=+≠??-=?? ① ——1分

有两个不同的解．

在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②

若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故

0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为

2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ?=---=-．

设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组

?????=-≠+=.

1),

0)(2(2

2

22x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得

01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④ 同理有)13(4,0122222-=?≠-k k ．

又因为12l l ⊥，所以有121l l ?=-． ——4分

于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于???????≠-=?>->-.1,1,

013,

0131

212

221k k k k k

解得???

??≠<<.1,333

1

1k k

——6分

∴)3,1()1,3

3

()33,1()1,3(1 -

---∈k ． ——7分 （Ⅱ）双曲线12

2

=-x y 的顶点为(0,1),(0,1)-．

取1(0,1)A

时，有1(01k =，

解得12

k =

．从而211k k =-= ——8分

将2k =

2

30x ++=． ⑤

记2l 与双曲线的两交点为211222(,),(,)A x y B x y ，则

2

222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y x x x x x x =-+-=-=+-．

由⑤知1212)3x x x x +=-=．

∴2

22

2260,A B A B == ——11分

当取1(0,1)A -时，由双曲线122=-x y 关于x 轴的对称性，知22A B =

所以1l 过双曲线的一个顶点时，22A B = ——12分