新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案
《二次根式》第 1 课时 课题 二次根式的概念
学习目标 1．知识与技能：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体问题． 2．过程与方法：提出问题探讨、分析归纳得出概念，•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． 3．情感、态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 学习重点 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； a的意义。
学习难点 利用“a（a≥0）、”解决具体问题．
学情分析 能初步理解平方根的意义；具有平方根的初步计算的方法和能力。
学习准备 基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法 活动内容 教师活动 学生活动 备注
知识回顾 1、什么是一个数的平方根？如何求一个数的平平方根？ 2、正数的平方根有 个，它们的关系是 ，表示为 ； 零的平方根有 个它是 ；负数 平方根。 3、什么是一个数的算术平方根？a的意义是什么？
回忆作答
探索归纳 1、由a算术平方根的意义：（1）a是一个什么数？（2）a是什么数？⑶由（1）（2）你发现了什么？即a是什么数？a是什么数？ 2、归纳得出：①a≥0；②a≥0。③形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：⑴ 必须有二次根号；⑵被开方数不能小于0 。 探索归纳出结论
分析应用 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0
、42、-2、1xy、xy．
例2、下列式子一定是二次根式的是（ ）：A.2;B.1;C)(32pingfang；D.a. 例3、（课本例1）例3、(1)已知y=2x+2x+5，求xy的值． 引导：应用二次根式的意义求解。 (2)若1a+1b=0，求a2010+b2010的值． 根据定义作出判断
备注 活动内容 教师活动 学生活动 备注
课堂练习 1、下列式子中，是二次根式的是（ ） A．－7；B．37；C．x D．x 2．面积为a的正方形的边长为__ __． 3．负数 平方根． 4．当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？ 5．若3x+3x有意义，则2x=______． 6、若1a与1b互为相反数，求a2010+b2010的值． 7.已知a、b为实数，且5a+2102a=b+4，求a、b的值． 1-3题口答 4-5题解答
小 结 1、本节课有何收获？ 2、本节课要掌握：①形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：( 1 ) 必须有二次根号；( 2 ) 被开方数不能小于0 。 ②要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 理解记忆； 谈收获或疑惑。 作 业 习题1（1）（2）
板书设计 课题：二次根式
1、形如a（a≥0）的式子 例1．„„ 例2．„„ 例3．„„ 做二次根式。“”称为二次根号． （解答过程） （解答过程） 2、a≥0； a≥0，a是一个非负数 练习4 练习5
教学反思 《二次根式》第 2 课时 课题 二次根式的性质1 学习目标 1.知识与技能：理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进
行计算化简． 2．过程与方法：通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 3．情感、态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力。 学习重点 a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．
学习难点 用分类思想导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的类比的方法导出（a）2=a（a
≥0）． 学情分析 能初步理解平方根的意义；具有平方根的初步计算的方法和能力。
学习准备 基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法 活动内容 教师活动 学生活动 备注
知识回顾 1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 知识回顾
探索归纳 1.议一议：a（a≥0）是一个什么数呢？ 归纳得出：a（a≥0）是一个非负数． 2、做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=__ ；（2）2=___ ；(9）2=_ ； （3）2=_；（13）2=___；（72）2=___；（0）2=___． 归纳得出：a）2=a（a≥0）. 1. 归纳得出：1 2、归纳得出：2
分析应用 例1 计算 1．（32）2；2．（35）2；3．（72）2 例2 计算：①（1x）2（x≥0）； ②（2a）2； ③（221aa）2 ； ④（24129xx）2 例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 ； （2）x4-4 ；(3) 2x2-3
直接利用（a）2=a（a≥
0）的结论解题 活动内容 教师活动 学生活动 备注
课堂练习 1.若：①3x有意义，则x的取值范围是 ；
②a+a有意义，则a的取值范围是 ； ③(Ix)2=x–1, 则x的取值范围是 ； 2、计算下列各式的值：（18）2 ； （23）2 ； （94）
2；（0）2；（478）2； 22(35)(53) ．
3．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5； （2）3.4； （3）16；（4）x（x≥0）
4.已知：2a+∣b－1∣=0,求（a+b）2011的值。
直接利用（a）2=a（a≥
0）的结论解题
小 结 1、本节课有何收获？ 2、本节课要掌握：二次根式的两个性质、 ①a（a≥0）是一个非负数； ②（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）． 理解记忆； 谈收获或疑惑。 作 业 教材复习巩固2．（1）、（2） P9 7．
板书设计 课题：二次根式1性质
1、a（a≥0）是一个非负数． 例1．„„ 例2．„„
2、a）2=a（a≥0）. 练习2 练习3 练习4
3、公式逆用： a=（a）2（a≥0）．
教学反思 《二次根式》第 3 课时 课题 二次根式的性质2
学习目标 1．知识与技能：理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2．过程与方法：通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 3．情感、态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 学习重点 2a＝a（a≥0）．2a＝—a（a≤0）．
学习难点 探究结论2a＝∣a∣；关键：弄清a≥0时，2a＝a才成立．
学情分析 能初步理解平方根的意义及二次根式的性质；具有平方根的初步计算的方法和能力。
学习准备 基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法 活动内容 教师活动 教师活动 备注
知识回顾 1什么叫做二次根式？2．你知道二次根式的那些性质？a（a≥0）是一个非负数；
探索归纳 1、由(a)2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，2a=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题，填空： 22=_______；20.01=_______；21()10=______； 22()3=________；20=________；23()7=_______． 2、老师点评（根据算术平方根的意义，我们可以得到）： 22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37．3、归纳得出：一般地：2a=a（a≥0） 1、尝试作答
2、探索思考
分析应用 例1、化简：（1）9；（2）2(4)；（3）25 ；（4）2(3)；
例2、、①-0.0004=__②2211(2)(2)33的值是 ． 例3填空：当a≥0时，2a=___；当a<0时，
直接利用2a
=a的
结论解题 活动内容 教师活动 学生活动 备注
2a
=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若
2a=a，则a可以是什么数？（2）若2a
=-a，则a可以
是什么数？ （3）2a>a，则a可以是什么数？（1）分析；（2）板演 例4当x>2，化简2(2)x-2(12)x 用2a=a•去化简．
听讲理解
课堂练习 1、 教材P7练习2． 2、 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？ 3、当时，，当时， 4. 例5. 化简 （）． 根据性质作答
小 结 1、本节课有何收获？2、本节课要掌握：二次根式的两个性质 ①a（a≥0）是一个非负数； ②（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）． 理解记忆； 谈收获或疑惑。 作 业 习题1（1）（2）
板书设计 课题：二次根式1性质
二次根式1性质
1、a（a≥0）是一个非负数． 例1、2．„„ 例3．„„例4 ．„„
2、a）2=a（a≥0）.
3.2a＝∣a∣；公式逆用：a=（a）2（a≥0）．练习2 练习3
教学反思
(最新)数学八年级下册第16章第2节《二次根式的乘除》省优质课一等奖教案
《二次根式的乘除》教学设计一、考点突破次根式进行化简和计算 运用二次根式的除法法则对二次根式进行化简和计算常考判断二次根式是否是最简二次二、重难点提示重点：1. 正确理解二次根式乘除法则及最简二次根式的概念；2. 熟练运用二次根式乘除法则化简二次根式；3. 会进行二次根式的乘除混合运算。
难点：1. 二次根式乘法法则的逆用；2. 二次根式除法法则的逆用。
二次根式的乘法【考点精讲】ab ab =（a b （a ≥0（1）二次根式的乘法法则：。
①意义：两个二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变。
②被开方数a ，b 可以是非负的数字、字母或代数式。
=a 1，a 2，…a n 均大于等于0）。
a b ab =（２）积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方（a≥0，b≥0）。
该表达式有两个特点：①这个性质是针对算术平方根而言的；②等式左边是两个非负数a 、b 的积的算术平方根，右边是这两个非负数a、b 的算术平方根的积。
【典例精析】例题1计算：（1；（2； （3）； （4）。
思路导航：（1）（2）两题直接利用公式abb a =⋅（a≥0，b≥0）计算即可；（3）（4）两题要利用乘法交换律和结合律，将两个系数和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号。
答案：解：（1；（2）8642564125641==⨯=⨯； （3）x yxy yxy 41414=⋅=⋅；（4）()()3272632276⨯⨯-⨯=-⨯=1089128112-=⨯-=-。
点评：本题考查了二次根式的乘法运算，可以先进行乘法运算，再进行二次根式的化简，也可以先化简再进行二次根式的乘法运算，最终结果一定要化为最简二次根式。
例题2 化简：（1）300；（2）()()11214-⨯-；（3）345200c b a （c≥0）。
思路导航：运用公式b a ab ⋅=（a≥0，b≥0）进行化简即可。
答案：解：（1）31010310330022=⨯=⨯=；（2）()()22847247211214112142222=⨯⨯=⨯⨯=⨯=-⨯-； （3）()()c c b a a c b a ⋅⋅⋅⋅⋅⨯=222222345102200=()()c c b aa 222222102⋅⋅⋅⋅=ac c b a 21022。
(最新)数学八年级下册第16章第2节《二次根式的乘除》省优质课一等奖教案
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与商的平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的除法法则，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1）=________，=_________；（2）=________，=________；（3）=________，=_________；（4）=________，=________．规律：______；______；_______；_______．二、探索新知一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0），反过来，=（a≥0，b>0）思考索，论，交流，结方法。
9 169 1616 3616 364 164 1636 813681 916916163616364 1641636813681a b ababab下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1）（2） （3）（4） 例2．化简：（1） （2）（3）（4） 分析：直接利用=（a ≥0，b>0） 就可以达到化简之目的． 解：（1）=学例，两式确性。
1233128÷11416÷64836422649b a 2964x y 25169xya b ab36433864=（2）= （3）= （4）= 三、应用拓展例3．已知，且x 为偶数， 求（1+x ）的值．四、归纳小结本节课要掌握=（a ≥0，b>0）和先探究，小作析结流。
人教版数学八年级下册第16章二次根式16.1二次根式(教案)
此外，课后我也收到了一些学生的反馈，他们表示在二次根式的乘除运算方面还存在一定的困惑。针对这个问题，我打算在下一节课中，通过更多的例题和练习，帮助学生巩固乘除运算的规则，提高他们的运算速度和准确性。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的性质和化简方法这两个重点。对于难点部分，比如分母有理化，我会通过具体例题和步骤解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算土地面积等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过剪纸或模型来演示二次根式在几何图形中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的定义与性质。二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负数。它是解决非完全平方数平方根问题的重要工具，并在数学和实际生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算√18，我们可以将其分解为√9*√2，进而简化为3√2，展示了二次根式在实际中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级下册第十六章《二次根式》第二课时教案
人教版八年级下册第十六章《二次根式》第二课时教案 【教学目标】：1.掌握二次根式的基本性质：()0)(2≥=a a a ,()02≥=a a a 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 【教学重、难点】①重点：二次根式的性质a a =2，()02≥=a a a ． ②难点：综合运用性质进行化简和计算. 【教学过程】 一、复习引入（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）x 二、探索新知：1. 根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______．观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当()=>2,0a a 时a认真阅读P3例2，完成下列计算：（1） ()218 （2）232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()272（4）249⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （5）2874⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（6）22-2. 填空：（1）计算：=24= =220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当=>2,0a a 时a （2）计算：=-2)4(===观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当=<2,0a a 时=a a -（3）计算：=20 . 当==aa ,0时0 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当==a a ,0时0认真阅读P4例3，完成下列化简：（1（2 （3 （4三、课堂总结:将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>== 0 00 0 2a a a a a a a 思考、讨论：二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系.四、当堂小测1．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0 D ．a =02．（2=________=________． 3．计算（1）2 （2）-）2 （3）（12）2（4）（2 (5) 4．指出下列各式中哪些是代数式，那些不是代数式. （1）12-x （2）12=a （3）14.3-π （4）2R S π= （5）27 （6）3121>。
人教版八年级数学下册第16章二次根式(教案)一
-教学难点2举例：对比\(\sqrt{8}\)和\(\sqrt{6}\)，解释为什么\(\sqrt{8}\)可以化简为\(2\sqrt{2}\)，因为8是2的平方的倍数，而6则不是任何整数的平方的倍数，因此不能化简。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如√a（a≥0）的表达式，它是表示非负数平方根的一种数学表达方式，对于解决实际问题和某些数学问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式在几何中的应用，例如计算非整数边长的正方形面积。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的概念：强调根号下的数必须是非负数，以及二次根式的书写规范。
-二次根式的性质：掌握二次根式的非负性、乘除法运算法则，如\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)。
-二次根式的化简：学会将二次根式化简至最简形式，如\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)。
3.增强学生数学建模素养，培养学生运用二次根式解决实际问题的能力，如对二次根式的估算，使学生能够将数学知识应用于生活实际。
4.培养学生直观想象能力，通过二次根式的图形表示，使学生能够形象地理解二次根式的概念及其运算规律，提高数学思维品质。
5.培养学生数学抽象素养，使学生能够从具体的二次根式实例中抽象出一般性规律，形成数学的一般概念。
人教版八年级数学下第16章16.3二次根式的加减(教案)
（1）掌握二次根式的定义及性质，理解二次根式中的“根号”表示的含义。
举例：理解√9和√(9a²)的含义，以及它们与3和3a的区别。
（2）熟练运用二次根式的加减法则，进行合并同类二次根式的运算。
举例：解决如下问题：√3 + √6 - √3，以及2√5 - √(20/4)。
（3）掌握将二次根式化简为最简形式的方法，包括分解质因数、提取平方因子等。
3.培养学生数学抽象素养，让学生理解二次根式的概念，并能将其应用于实际问题，提高数学抽象素养。
4.培养学生数学建模素养，通过解决实际应用问题，使学生学会建立数学模型，运用所学知识解决现实问题。
5.培养学生合作交流能力，课堂讨论与小组合作中，提高学生表达、沟通、协作能力，增强团队意识。
三、教学难点与重点
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的定义、性质、加减法则以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在这次教授《二次根式的加减》的课程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解总体上是比较顺利的。他们在课堂上能够跟随我的讲解，对于基本的运算法则也能够较快地掌握。然而，我也注意到了一些需要改进的地方。
另外，我也注意到，在学生小组讨论的环节，有些学生并不是很积极。为了鼓励他们更主动地参与到讨论中来，我打算在下次的课堂中尝试一些新的策略，比如设置更具挑战性的问题，或者引入一些竞争机制，激发学生的学习兴趣。
在课程的总结回顾环节，我觉得自己可以做得更好。我意识到，我应该更多地引导学生自己来总结今天的学习内容，这样不仅能够检验他们对于知识点的掌握情况，还能培养他们的自主学习能力。下次，我会尝试让学生们自己来总结二次根式的关键概念和运算规则，我来辅助补充和纠正。
人教版数学八年级下册第十六章二次根式(教案)
-难点二：二次根式的乘除运算。在进行乘除运算时，如何正确应用乘除法则，特别是当根号下的数不明确时，如何进行化简。
-举例：解决√(12/18)的问题，需要先化简分数，再进行根号下的运算。
-难点三：二次根式的化简。在化简二次根式时，如何正确识别和分解根号下的因数，以及如何处理含有变量的问题。
我也注意到，在讲解二次根式的乘除法则时，需要更多的例题和练习来巩固学生的理解。有些学生对于如何正确应用这些法则感到困惑，特别是在处理含有变量的二次根式时。因此，我计划在下一节课中增加一些更具挑战性的练习题，让学生在解决问题的过程中深化对法则的理解。
此外，我发现学生在化简二次根式时，对因数分解的掌握不够熟练，这影响了他们对二次根式的化简能力。针对这一点，我打算在未来的课堂中，加强对因数分解的复习和练习，帮助学生更好地掌握这个工具。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的基本概念。二次根式是表示非负数的平方根的数学表达式，如√9。它在解决面积、速度等实际问题中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式在计算非标准图形面积中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-重点二：二次根式的乘除运算。掌握二次根式的乘除法则，能够正确进行运算，包括合并同类项，如√a * √b = √(ab)。
-重点三：二次根式的化简与应用。能够对二次根式进行化简，解决实际问题，如计算√(4x^2)或求解含二次根式的方程。
2.教学难点
-难点一：对二次根式概念的理解。学生对二次根式定义的理解可能存在困难，特别是对于根号下的非负性要求，以及根号内外的数如何进行运算。
四、教学流程
新人教版八年级下数学第16章二次根式教案(表格式)
(一)填空题：
2
1、
3 5
2、若 2x 1 y 1 0 ，那么 x = ，y = 。
3 、 当 x=
时 ， 代 数 式 4x 5 有 最 小 值 ， 其 最 小 值
是
。
4、在实数范围内因式分解：
x2 9 x2 ( )2=（x+ ）(y-
)
（二）选择题： 1、一个数的算术平方根是 a，比这个数大 3 的数为（ ）
新授
发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。
情感 培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。 目标
教学重点 二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
教学难点 综合运用性质 a 0(a 0)和 ( a )2 a(a 0) 。
板书
16.1 二次根式 a 0(a 0) ( a )2 a(a 0)
a a 0 a 2 a 0 0
a a 0
2、化简下列各式：
（1）、 0.32 （2）、 (0.5)2 （3）、 (6)2 （4）、
2a2 = （ a 0）
3、请大家思考、讨论二次根式的性质 ( a )2 a(a 0) 与 a2 a 有什
么区别与联系。 1、化简下列各式
（1） 4x2 (x 0)
。
思考： 16 ， h ， s , b 3 等式子的实际意义.说一说他们的共同 5
特征.
定义: 一般地我们把形如 a （ a 0）叫做二次根式， a 叫做
_____________。
。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3 ， 16 ， 3 4 ， 5 ， a (a 0) ， x2 1 3
A、 a 3 B、 a 3 C、 a 3 D、 a2 3
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》全章教学设计(教案)
16．1二次根式第1课时二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．问题2：上面得到的式子3，S，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a－b）2(ab≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围． (1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 利用二次根式的非负性求解 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1； (2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112； ②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n2＋1（n＋1）2＝1＋1n－1n＋1＝11n（n＋1）(n为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．第2课时二次根式的性质1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点)2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)一、情境导入a2等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a2的值，看看有什么规律．22＝4＝2；（－2）2＝4＝2；32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…你能概括一下a2的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】化简：(1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.方法总结：利用a2＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．【类型二】在实数范围内分解因式．(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．解：(1)a2－13＝a2－(13)2＝(a＋13)(a－13)；(2)4a2－5＝(2a)2－(5)2＝(2a＋5)(2a－5)；(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2.方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a －b|.解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b －1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋x2＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x ＋(－x )＝1－2x ；当0＜x ≤1时，x －1≤0，原式＝1－x ＋x ＝1；当x ＞1时，x －1＞0，原式＝x －1＋x ＝2x －1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子a 2＝|a |，当a 的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．【类型四】 二次根式的规律探究性问题细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．(1)2＋1＝2，S 1＝12， (2)2＋1＝3，S 2＝22， (3)2＋1＝4，S 3＝32.(1)请用含n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n 个三角形的一直角边长就是n ，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．解：(1)(n )2＋1＝n ＋1，S n ＝n2(n 是正整数)； (2)∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…∴OA 10＝10；(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫1022＝14(1＋2＋3＋…＋10)＝554. 方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．n →立方→＋n →÷n →－n →答案解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n 3＋n n －n .故答案为n 3＋nn－n .方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计1．二次根式的性质1：(a)2＝a(a≥0)；2．二次根式的性质2：a2＝a(a≥0)．3．代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活．16．2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；(重点) 2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入 计算：(1)4×25与4×25； (2)16×9与16×9. 思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？ 二、合作探究探究点一：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】 二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2)14×64； (3)627×(－33)； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15； (2)14×64＝14×64＝16＝4；(3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a ＝－34·2a ·18ab ·6b 2a ＝－32a ·36×3b 3＝－32a ·6b 3b ＝－9b a 3b .方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．探究点二：积的算术平方根的性质化简：(1)（－36）×16×（－9）； (2)362＋482； (3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2.解析：主要运用公式ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)和a 2＝a (a ≥0)对二次根式进行化简． 解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2＝x （x ＋3y ）2＝（x ＋3y ）2·x ＝|x ＋3y |x . 方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简． 探究点三：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm ，宽为48πcm 的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算． 解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm 2)，所以πr 2＝168π，r ＝242cm(r ＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 三、板书设计1．二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0) 2．积的算术平方根： ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．第2课时 二次根式的除法1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算： (1)0.760.19；(2)－123÷554； (3)6a 2b 2ab；(4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．解：(1)0.760.19＝0.760.19＝4＝2； (2)－123÷554＝－123÷554＝－53×545＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab＝6a 2b2ab＝3a ； (4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145＝－5÷595＝－5×15×59＝－15×53＝－13. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算： (1)945÷3212×32223； (2)a 2·ab ·bb a÷9b 2a. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183；(2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b3a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a 2－a ＝a2－a，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； (2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；(5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πlg，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T＝2π0.59.8≈1.42，60T＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．三、板书设计1．二次根式的除法运算2．商的算术平方根3．最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．16．3 二次根式的加减第1课时 二次根式的加减1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点) 2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m ，宽5m 的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m 2和18m 2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式已知最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，求a ＋b 的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a ，b 的值，再代入a ＋b 求解即可． 解：∵最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，∴a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3a －4，解得a ＝3，b ＝－1，∴a ＋b ＝3＋(－1)＝2. 方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的加减【类型一】 二次根式的加减运算计算：12－13－(2)2＋|2－3|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式． 解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝⎛⎭⎫2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】 二次根式的化简求值先化简，再求值：a 2－b 2a ÷⎝⎛⎭⎫a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3.解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出．解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2a ＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a（a －b ）2＝a ＋b a －b .当a＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423＝233.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型三】 二次根式加减运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长． 解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为 1.2m ＝120cm ＜197.96cm ，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm 的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．三、板书设计1．被开方数相同的最简二次根式 2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点) 2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点) 一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？ 二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132； (3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5；(3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算 计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)；(2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)；(3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－46B ．2C ．25D ．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】 二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1； 第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
(最新)数学八年级下册第16章第2节《二次根式的乘除》省优质课一等奖教案
16.2:二次根式的乘除（一）
目标确定的依据：
1、课程标准相关要求
了解二次根式的概念。
2、教材分析
人教版八年级下册《二次根式》是《课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。
主要研究二次根式的概念和运算。
在本章中，学生将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法，通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识。
学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据。
本节是本章的第一节，主要学习二次根式的概念，与已学“实数”“整式”“勾股定理”等内容联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
本节既是相关内容的发展，同时又是后面内容的基础，因此本节起承上启下的作用。
3、学情分析
学生基础差，学习积极性不高，动手能力差的前提下，从培养学生积极参与和动手能力入手，充分调动学生的学习积极性，培养他们爱学习的习惯
目标
1 a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2（a≥0，b≥0）．
3
a<0,b<0）
=b，
评价任务
1
a≥0，b≥0）
a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化
简
2
（a≥0，b≥0）．
3、
a<0,b<0）a b，
教学过程
自学导航（课前预
习）1
习，加深学生对平方、平方根和算术平方根的概念与关系的理解。
2
问题引入新课。