线性代数相似矩阵讲解

例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4 2 解 1 2 2
(1) 由 A E 2 2
所以1 , 2 , 3线性无关.
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 T (1,1,1) ,
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
同理 , 对3 7,由 A E x 0,
求得基础解系 3 1,2,2
T
2 0 1 由于 0 1 2 0, 1 1 2
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
故A 不能化为对角矩阵.
6 0 4 例2 设A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角阵.
解
4
6
0
A E 3 3
5 0 6 1
2 1 2
n 1
, A的特征值为
1 n, 2 n 0. 又A是实对称矩阵, 存在可逆 矩阵 P 1 , 使得
P A P 1 diag(n,0,,0),
还可求得 det( B E ) ( n ) ( )
即B与A有相同的特征值 .
n 1
1 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
解之得基础解系
2 1 1 , 0
(4)若A与B相似, 而f ( x )是一多项式, 则f ( A)与 f ( B )相似.
２．相似变换与相似变换矩阵 相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 AP，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵． 这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
5.2.3 利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵 A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .
证明
假设存在可逆阵 P , 使P 1 AP 为对角阵,
把 P 用其列向量表示为P p1 , p2 ,, pn .
1 2 即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn n
由 P 1 AP , 得AP P ,
1 p1 , 2 p2 ,, n pn . 1 p1 , p2 ,, pn
又由于P可逆, 所以p1 , p2 ,, pn线性无关.
命题得证.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似． 说明 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
0 2 0 . 1
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系
3 1,1,1T .
所以 A 可对角化. 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
小结 １．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1) A与B相似, 则det( A) det( B);
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; ( 3) A与B相似, 则kA与kB相似, k为常数;
,
对应特征值 2 n 0, 有n 1个线性无关的 特征向量, 故存在可逆矩阵P 2 , 使得
P B P 2 , 从而 即
1 A P P1 P 2 B P 2 , 1 A P2 P P 1 P 2 B, 1 1 1 1
1 2
故A与B相似.
P 1 A E P
P 1 A E P A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1 2 n
相似, 则1 , 2 ,, n即是A的n个特征值.
利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 若A PB P 1 , 则 k A PB P 1 PB P 1 PB P 1PB P 1 P Bk P 1 . A的多项式
思考题
判断下列两矩阵 A, B是否相似.
1 1 A 1
1 1 1 1 , 1 1
n 0 0 1 0 0 B . 1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E ) ( n ) ( )
4. P 1 k1 A1 k2 A2 P k1 P 1 A1 P k2 P 1 A2 P
其中k1 , k 2是任意常数. 定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项
式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
证明
来自百度文库
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似.
( 2)对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
( 3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
2. P 1 A1 A2 P P 1 A1 P P 1 A2 P .
3. 若A与B相似, 则A 与B 相似m为正整数.
m m
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P 1 a1 P Bn1 P 1 a n1 PB P 1 a n PE P 1
P (a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E ) P 1 P ( B ) P 1 .
特别地, 若可逆矩阵P使 P 1 AP 为对角矩阵, 1 k k 1 ( A ) P ( ) 则 P , P . A P 对于对角矩阵 , 有 k 1 k 2 k , 利用上 k 述结论可以 n ( 1) 很方便地计 算矩阵A 的 ( 1) ( A ) ( ) , 多项式 . ( ) 1
由于 1 , 2 , 3 线性无关. 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0
则有
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
注意
2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
5.2 相似矩阵
5.2.1 相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
1
5.2.2 相似矩阵与相似变换的性质
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
于是有
Api i pi
i 1,2,, n.
可见 i 是A的特征值, 而P 的列向量 pi 就是 A的对应于特征值 i的特征向量.
反之,由于A恰好有n个特征值, 并可对应地求 得n个特征向量, 这n个特征向量即可构成矩 阵P , 使AP P .