新课标高考数学试题研究_概率统计

A.直方图

(2014Ⅰ)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2

(,)N μδ，其

中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（,）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .

.

若Z ～2

(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=，(22)P Z μδμδ-<<+=.

B.茎叶图

(2015Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的

评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.

C.回归分析

（2015Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中i w =

，8

1

i i w w ==∑.

(Ⅰ)

根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费

x

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(Ⅱ)根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)n n u v u v u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小

二乘估计分别为：^

^^

1

2

1

()()

,()

n

i

i

i n

i

i u u v v v u u u βαβ==--=

=--∑∑

解：

（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型………………2分

（Ⅱ）令w =

y 关于w 的线性回归方程，由于

8

^

1

8

2

1

()()

108.8

681.6

()

i

i

i i

i w w y y d w w ==--=

=

=-∑∑ ^

^

56368 6.8100.6c y d w =-=-?=

所以y 关于w 的线性回归方程为^

100.668y w =+，

因此y 关于x

的线性回归方程^

100.6y =+6分

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值

^

100.6576.6y =+=

年利润z 的预报值

^

576.60.24966.32z =?-=…………………………………9分

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值

^

0.2(100.620.12z x x =+-=-+

13.6

6.82

==，即46.24x =时，^z 取得最大值，

故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大……………12分

D.随机变量

(2011湖南理)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．

，将频率视为概率。 （Ⅰ）求当天商品不进货的概率；

（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望.

解：（I ）P （“当天商品不进货”）P =（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售

量为1件”）.10

3

205201=+=

（Ⅱ）由题意知，X 的可能取值为2,3.

P X P ==)2(（“当天商品销售量为1件”）;4

1

205==

P X P ==)3(（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售量为2件”）P +（

“当天商品销售量为3件”）.4

3

205209201=++=

故X

X 的数学期望为.4

4342=?+?

=EX

(2011全国理)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望. 解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ …………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+=

…………6分

（II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=u r

~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布，

…………10分 所以期望1000.220.EX =?=

…………12分

(2013Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1

2

，且

各件产品是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

解：

(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，

第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，

第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，

第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，

这批产品通过检验为事件A，

依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以

P(A)＝P(A

1B

1

)＋P(A2B2)

＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)

＝

41113 161616264?+?=.

(2)X可能的取值为400,500,800，并且

P(X＝400)＝

4111

1

161616

--=，

P(X＝500)＝

1 16

，

P(X＝800)＝1 4 .

所以X的分布列为

EX＝

1111 400+500+800

16164

???＝.

E.独立性检验

(2010)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

是否需要志愿性别男女

需要4030

不需要 160 270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由. 附：

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为70

14%500

=

（2）2

2

500(4027030160)9.96720030070430

K ??-?=

=??? 由于>,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。

（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

F.与函数结合

(2013Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，

T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T 表示为X 的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．

解：(1)当X∈[100,130)时，

T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，

当X∈[130,150]时，

T＝500×130＝65 000.

所以

80039000,100130,

65000,130150.

X X

T

X

-≤<

?

=?

≤≤

?

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为，

所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为.

(3)依题意可得T的分布列为

所以ET＝45 000×＋53 000×＋61 000×＋65 000×＝59 400.

（2012）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：

枝，n N

∈）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

(2014三检)

(2012一检)第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。

（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。

(2014Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

(2016三检)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．

已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为

7

．

（Ⅰ）请完成上面的列联表；

（Ⅱ）根据列联表的数据，若按95％的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（Ⅲ）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到

11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．

参考数据：

（2009北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立

的，遇到红灯的概率都是1

3

，遇到红灯时停留的时间都是2min。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望。

（2014湖北理）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都

在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

(2011)